СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

I. Постановка задачи.

II. Совместность однородных и неоднородных систем.

III. Система т уравнений с т неизвестными. Правило Крамера.

IV. Матричный метод решения систем уравнений.

V. Метод Гаусса.

I. Постановка задачи.

Систему уравнений вида

называют системой m линейных уравнений с n неизвестными
. Коэффициенты уравнений этой системы записывают в виде матрицы

которую называют матрицей системы (1).

Числа, стоящие в правых частях уравнений, образуют столбец свободных членов {B }:

.

Если столбец {B }={0 }, то система уравнений называется однородной . В противном случае, когда {B }≠{0 } – система неоднородна .

Система линейных уравнений (1) может быть записана в матричном виде

[A ]{x }={B }. (2)

Здесь - столбец неизвестных.

Решить систему уравнений (1) - значит найти совокупность n чисел
такую, что при подстановке в систему (1) вместо неизвестных
каждое уравнение системы обращается в тождество. Числа
называются решением системы уравнений.

Система линейных уравнений может иметь одно решение

,

может иметь бесчисленное множество решений

или не иметь решений совсем

.

Системы уравнений, не имеющие решений, называются несовместными . Если система уравнений имеет хотя бы одно решение, то она называетсясовместной . Система уравнений называетсяопределенной , если она имеет единственное решение, инеопределенной , если имеет бесчисленное множество решений.

II. Совместность однородных и неоднородных систем.

Условие совместности системы линейных уравнений (1) формулируется в теореме Кронекера-Капелли : система линейных уравнений имеет хотя бы одно решение в том и только в том случае, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы:
.

Расширенной матрицей системы называют матрицу, получающуюся из матрицы системы приписыванием к ней справа столбца свободных членов:

.

Если RgA A * , то система уравнений несовместна.

Однородные системы линейных уравнений в соответствии с теоремой Кронекера-Капелли всегда совместны. Рассмотрим случай однородной системы, в которой число уравнений равно числу неизвестных, то есть т=п . Если определитель матрицы такой системы не равен нулю, т.е.
, однородная система имеет единственное решение, которое является тривиальным (нулевым). Однородные системы имеют бесчисленное множество решений, если среди уравнений системы есть линейно зависимые, т.е.
.

Пример. Рассмотрим однородную систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными:

и исследуем вопрос о количестве ее решений. Каждое из уравнений можно считать уравнением плоскости, проходящей через начало координат (D =0 ). Система уравнений имеет единственное решение, когда все три плоскости пересекаются в одной точке. При этом их нормальные векторы некомпланарны, и, следовательно, выполняется условие

.

Решение системы при этом x =0, y =0, z =0 .

Если хотя бы две из трех плоскостей, например, первая и вторая, параллельны, т.е. , то определитель матрицы системы равен нулю, а система имеет бесчисленное множество решений. Причем решениями будут координатыx , y , z всех точек, лежащих на прямой

Если же все три плоскости совпадают, то система уравнений сведется к одному уравнению

,

а решением будут координаты всех точек, лежащих в этой плоскости.

При исследовании неоднородных систем линейных уравнений вопрос о совместности решается с помощью теоремы Кронекера-Капелли. Если же число уравнений в такой системе равно числу неизвестных, то система имеет единственное решение, если ее определитель не равен нулю. В противном случае система либо несовместна, либо имеет бесчисленное множество решений.

Пример . Исследуем неоднородную систему двух уравнений с двумя неизвестными

.

Уравнения системы можно рассматривать как уравнения двух прямых на плоскости. Система несовместна, когда прямые параллельны, т.е.
,
. В этом случае ранг матрицы системы равен 1:

RgA =1 , т.к.
,

а ранг расширенной матрицы
равен двум, т. к. для нее в качестве базисного минора может быть выбран минор второго порядка, содержащий третий столбец.

В рассматриваемом случае RgA A * .

Если прямые совпадают, т.е. , то система уравнений имеет бесчисленное множество решений: координаты точек на прямой
. В этом случаеRgA = RgA * =1.

Система имеет единственное решение, когда прямые не параллельны, т.е.
. Решением этой системы являются координаты точки пересечения прямых

III. Система т уравнений с т неизвестными. Правило Крамера.

Рассмотрим простейший случай, когда число уравнений системы равно числу неизвестных, т.е. m = n . Если детерминант матрицы системы отличен от нуля, решение системы может быть найдено по правилу Крамера:

(3)

Здесь
- определитель матрицы системы,

- определитель матрицы, получаемой из [A ] заменой i -ого столбца на столбец свободных членов:

.

Пример . Решить систему уравнений методом Крамера.

Решение :

1) найдем определитель системы

2) найдем вспомогательные определители

3) найдем решение системы по правилу Крамера:

Результат решения может быть проверен подстановкой в систему уравнений

Получены верные тождества.

IV. Матричный метод решения систем уравнений.

Запишем систему линейных уравнений в матричном виде (2)

[A ]{x }={B }

и умножим правую и левую части соотношения (2) слева на матрицу [A -1 ], обратную матрице системы:

[A -1 ][A ]{x }=[A -1 ]{B }. (2)

По определению обратной матрицы произведение [A -1 ][A ]=[E ], а по свойствам единичной матрицы [E ]{x }={x }. Тогда из соотношения (2") получаем

{x }=[A -1 ]{B }. (4)

Соотношение (4) лежит в основе матричного метода решения систем линейных уравнений: необходимо найти матрицу, обратную матрице системы, и умножить на нее слева вектор-столбец правых частей системы.

Пример . Решим матричным методом систему уравнений, рассмотренную в предыдущем примере.

Матрица системы
ее определитель detA ==183 .

Столбец правых частей
.

Чтобы найти матрицу [A -1 ], найдем матрицу, присоединенную к [A ]:

или

В формулу для вычисления обратной матрицы входит
, тогда

Теперь можно найти решение системы

Тогда окончательно получаем .

V. Метод Гаусса.

При большом числе неизвестных решение системы уравнений методом Крамера или матричным методом связано с вычислением определителей высокого порядка или обращением матриц больших размеров. Эти процедуры весьма трудоемки даже для современных ЭВМ. Поэтому для решения систем большого числа уравнений чаще пользуются методом Гаусса.

Метод Гаусса заключается в последовательном исключении неизвестных путем элементарных преобразований расширенной матрицы системы. К элементарным преобразованиям матрицы относят перестановку строк, сложение строк, умножение строк на числа, отличные от нуля. В результате преобразований удается матрицу системы свести к верхней треугольной, на главной диагонали которой стоят единицы, а ниже главной диагонали - нули. В этом заключается прямой ход метода Гаусса. Обратный ход метода состоит в непосредственном определении неизвестных, начиная с последнего.

Проиллюстрируем метод Гаусса на примере решения системы уравнений

На первом шаге прямого хода добиваются того, чтобы коэффициент
преобразованной системы стал равен 1 , а коэффициенты
и
обратились в ноль. Для этого первое уравнение умножим на1/10 , второе уравнение умножим на 10 и сложим с первым, третье уравнение умножим на -10/2 и сложим с первым. После этих преобразований получим

На втором шаге добиваемся того, чтобы после преобразований коэффициент
стал равным1 , а коэффициент
. Для этого второе уравнение разделим на 42 , а третье уравнение умножим на -42/27 и сложим со вторым. Получим систему уравнений

На третьем шаге должны получить коэффициент
. Для этого третье уравнение разделим на(37 - 84/27) ; получим

На этом прямой ход метода Гаусса заканчивается, т.к. матрица системы сведена к верхней треугольной:

Осуществляя обратный ход, найдем неизвестные

Продолжаем разбираться с системами линейных уравнений. До сих пор мы рассматривали системы, которые имеют единственное решение. Такие системы можно решить любым способом: методом подстановки («школьным»), по формулам Крамера, матричным методом , методом Гаусса . Однако на практике широко распространены еще два случая, когда:

1) система несовместна (не имеет решений);

2) система имеет бесконечно много решений.

Для этих систем применяют наиболее универсальный из всех способов решения – метод Гаусса . На самом деле, к ответу приведет и «школьный» способ, но в высшей математике принято использовать гауссовский метод последовательного исключения неизвестных. Те, кто не знаком с алгоритмом метода Гаусса, пожалуйста, сначала изучите урок метод Гаусса

Сами элементарные преобразования матрицы – точно такие же , разница будет в концовке решения. Сначала рассмотрим пару примеров, когда система не имеет решений (несовместна).

Пример 1

Что сразу бросается в глаза в этой системе? Количество уравнений – меньше, чем количество переменных. Есть такая теорема, которая утверждает:«Если количество уравнений в системе меньше количества переменных , то система либо несовместна, либо имеет бесконечно много решений». И это осталось только выяснить.

Начало решения совершенно обычное – запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду:

(1). На левой верхней ступеньке нам нужно получить (+1) или (–1). Таких чисел в первом столбце нет, поэтому перестановка строк ничего не даст. Единицу придется организовать самостоятельно, и сделать это можно несколькими способами. Мы поступили так. К первой строке прибавляем третью строку, умноженную на (–1).

(2). Теперь получаем два нуля в первом столбце. Ко второй строке прибавляем первую строку, умноженную на 3. К третьей строке прибавляем первую, умноженную на 5.

(3). После выполненного преобразования всегда целесообразно посмотреть, а нельзя ли упростить полученные строки? Можно. Вторую строку делим на 2, заодно получая нужную (–1) на второй ступеньке. Третью строку делим на (–3).

(4). К третьей строке прибавляем вторую строку. Наверное, все обратили внимание на нехорошую строку, которая получилась в результате элементарных преобразований:

. Ясно, что так быть не может.

Действительно, перепишем полученную матрицу

обратно в систему линейных уравнений:

Если в результате элементарных преобразований получена строка вида, где λ – число, отличное от нуля, то система несовместна (не имеет решений).

Как записать концовку задания? Необходимо записать фразу:

«В результате элементарных преобразований получена строка вида , где λ ≠ 0 ». Ответ: «Система не имеет решений (несовместна)».

Обратите внимание, что в этом случае нет никакого обратного хода алгоритма Гаусса, решений нет и находить попросту нечего.

Пример 2

Решить систему линейных уравнений

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.

Снова напоминаем, что Ваш ход решения может отличаться от нашего хода решения, метод Гаусса не задаёт однозначного алгоритма, о порядке действий и о самих действиях надо догадываться в каждом случае самостоятельно.

Еще одна техническая особенность решения: элементарные преобразования можно прекращать сразу же , как только появилась строка вида , где λ ≠ 0 . Рассмотрим условный пример: предположим, что после первого же преобразования получилась матрица

.

Эта матрица еще не приведена к ступенчатому виду, но в дальнейших элементарных преобразованиях нет необходимости, так как появилась строка вида , где λ ≠ 0 . Следует сразу дать ответ, что система несовместна.

Когда система линейных уравнений не имеет решений – это почти подарок студенту, ввиду того, что получается короткое решение, иногда буквально в 2-3 действия. Но всё в этом мире уравновешено, и задача, в которой система имеет бесконечно много решений – как раз длиннее.

Пример 3:

Решить систему линейных уравнений

Тут 4 уравнений и 4 неизвестных, таким образом, система может иметь либо единственное решение, либо не иметь решений, либо иметь бесконечно много решений. Как бы там ни было, но метод Гаусса в любом случае приведет нас к ответу. В этом и его универсальность.

Начало опять стандартное. Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду:

Вот и всё, а вы боялись.

(1). Обратите внимание, что все числа в первом столбце делятся на 2, поэтому на левой верхней ступеньке нас устраивает и двойка. Ко второй строке прибавляем первую строку, умноженную на (–4). К третьей строке прибавляем первую строку, умноженную на (–2). К четвертой строке прибавляем первую строку, умноженную на (–1).

Внимание! У многих может возникнуть соблазн из четвертой строки вычесть первую строку. Так делать можно, но не нужно, опыт показывает, что вероятность ошибки в вычислениях увеличивается в несколько раз. Только складываем: к четвертой строке прибавляем первую строку, умноженную на (–1) – именно так!

(2). Последние три строки пропорциональны, две из них можно удалить. Здесь опять нужно проявить повышенное внимание , а действительно ли строки пропорциональны? Для перестраховки не лишним будет вторую строку умножить на (–1), а четвертую строку разделить на 2, получив в результате три одинаковые строки. И только после этого удалить две из них. В результате элементарных преобразований расширенная матрица системы приведена к ступенчатому виду:

При оформлении задачи в тетради желательно для наглядности делать такие же пометки карандашом.

Перепишем соответствующую систему уравнений:

«Обычным» единственным решением системы здесь и не пахнет. Нехорошей строки , где λ ≠ 0, тоже нет. Значит, это и есть третий оставшийся случай – система имеет бесконечно много решений.

Бесконечное множество решений системы коротко записывают в виде так называемого общего решения системы .

Общее решение системы найдем с помощью обратного хода метода Гаусса. Для систем уравнений с бесконечным множеством решений появляются новые понятия: «базисные переменные» и «свободные переменные» . Сначала определим, какие переменные у нас являются базисными , а какие переменные - свободными . Не обязательно подробно разъяснять термины линейной алгебры, достаточно запомнить, что вот существуют такие базисные переменные и свободные переменные .

Базисные переменные всегда «сидят» строго на ступеньках матрицы . В данном примере базисными переменными являются x 1 и x 3 .

Свободные переменные – это все оставшиеся переменные, которым не досталось ступеньки. В нашем случае их две: x 2 и x 4 – свободные переменные.

Теперь нужно все базисные переменные выразить только через свободные переменные . Обратный ход алгоритма Гаусса традиционно работает снизу вверх. Из второго уравнения системы выражаем базисную переменную x 3:

Теперь смотрим на первое уравнение: . Сначала в него подставляем найденное выражение :

Осталось выразить базисную переменную x 1 через свободные переменные x 2 и x 4:

В итоге получилось то, что нужно – все базисные переменные (x 1 и x 3) выражены только через свободные переменные (x 2 и x 4):

Собственно, общее решение готово:

.

Как правильно записать общее решение? Прежде всего, свободные переменные записываются в общее решение «сами по себе» и строго на своих местах. В данном случае свободные переменные x 2 и x 4 следует записать на второй и четвертой позиции:

.

Полученные же выражения для базисных переменных и , очевидно, нужно записать на первой и третьей позиции:

Из общего решения системы можно найти бесконечно много частных решений . Это очень просто. Свободными переменные x 2 и x 4 называют так, потому что им можно придавать любые конечные значения . Самыми популярными значениями являются нулевые значения, поскольку при этом частное решение получается проще всего.

Подставив (x 2 = 0; x 4 = 0) в общее решение, получим одно из частных решений:

, или – это частное решение, соответствующее свободным переменным при значениях (x 2 = 0; x 4 = 0).

Другой сладкой парочкой являются единицы, подставим (x 2 = 1 и x 4 = 1) в общее решение:

, т. е. (-1; 1; 1; 1) – еще одно частное решение.

Легко заметить, что система уравнений имеет бесконечно много решений, так как свободным переменным мы можем придать любые значения.

Каждое частное решение должно удовлетворять каждому уравнению системы. На этом основана «быстрая» проверка правильности решения. Возьмите, например, частное решение (-1; 1; 1; 1) и подставьте его в левую часть каждого уравнения исходной системы:

Всё должно сойтись. И с любым полученным вами частным решением – тоже всё должно сойтись.

Строго говоря, проверка частного решения иногда обманывает, т.е. какое-нибудь частное решение может удовлетворять каждому уравнению системы, а само общее решение на самом деле найдено неверно. Поэтому, прежде всего, более основательна и надёжна проверка общего решения.

Как проверить полученное общее решение ?

Это несложно, но довольно требует длительных преобразований. Нужно взять выражения базисных переменных, в данном случае и , и подставить их в левую часть каждого уравнения системы.

В левую часть первого уравнения системы:

Получена правая часть исходного первого уравнения системы.

В левую часть второго уравнения системы:

Получена правая часть исходного второго уравнения системы.

И далее – в левые части третьего и четвертого уравнение системы. Эта проверка дольше, но зато гарантирует стопроцентную правильность общего решения. Кроме того, в некоторых заданиях требуют именно проверку общего решения.

Пример 4:

Решить систему методом Гаусса. Найти общее решение и два частных. Сделать проверку общего решения.

Это пример для самостоятельного решения. Здесь, кстати, снова количество уравнений меньше, чем количество неизвестных, а значит, сразу понятно, что система будет либо несовместной, либо с бесконечным множеством решений.

Пример 5:

Решить систему линейных уравнений. Если система имеет бесконечно много решений, найти два частных решения и сделать проверку общего решения

Решение: Запишем расширенную матрицу системы и, с помощью элементарных преобразований, приведем ее к ступенчатому виду:

(1). Ко второй строке прибавляем первую строку. К третьей строке прибавляем первую строку, умноженную на 2. К четвертой строке прибавляем первую строку, умноженную на 3.

(2). К третьей строке прибавляем вторую строку, умноженную на (–5). К четвертой строке прибавляем вторую строку, умноженную на (–7).

(3). Третья и четвертая строки одинаковы, одну из них удаляем. Вот такая красота:

Базисные переменные сидят на ступеньках, поэтому – базисные переменные.

Свободная переменная, которой не досталось ступеньки здесь всего одна: .

(4). Обратный ход. Выразим базисные переменные через свободную переменную:

Из третьего уравнения:

Рассмотрим второе уравнение и подставим в него найденное выражение :

, , ,

Рассмотрим первое уравнение и подставим в него найденные выражения и :

Таким образом, общее решение при одной свободной переменной x 4:

Еще раз, как оно получилось? Свободная переменная x 4 одиноко сидит на своём законном четвертом месте. Полученные выражения для базисных переменных , , - тоже на своих местах.

Сразу выполним проверку общего решения.

Подставляем базисные переменные , , в левую часть каждого уравнения системы:

Получены соответствующие правые части уравнений, таким образом, найдено верное общее решение.

Теперь из найденного общего решения получим два частных решения. Все переменные выражаются здесь через единственную свободную переменную x 4 . Ломать голову не нужно.

Пусть x 4 = 0, тогда – первое частное решение.

Пусть x 4 = 1, тогда – еще одно частное решение.

Ответ: Общее решение: . Частные решения:

и .

Пример 6:

Найти общее решение системы линейных уравнений.

Проверка общего решения у нас уже сделана, ответу можно доверять. Ваш ход решения может отличаться от нашего хода решения. Главное, чтобы совпали общие решения. Наверное, многие заметили неприятный момент в решениях: очень часто при обратном ходе метода Гаусса нам пришлось возиться с обыкновенными дробями. На практике это действительно так, случаи, когда дробей нет – встречаются значительно реже. Будьте готовы морально, и, самое главное, технически.

Остановимся на особенностях решения, которые не встретились в прорешанных примерах. В общее решение системы иногда может входить константа (или константы).

Например, общее решение: . Здесь одна из базисных переменных равна постоянному числу: . В этом нет ничего экзотического, так бывает. Очевидно, что в данном случае любое частное решение будет содержать пятерку на первой позиции.

Редко, но встречаются системы, в которых количество уравнений больше количества переменных . Однако метод Гаусса работает в самых суровых условиях. Следует невозмутимо привести расширенную матрицу системы к ступенчатому виду по стандартному алгоритму. Такая система может быть несовместной, может иметь бесконечно много решений, и, как ни странно, может иметь единственное решение.

Повторимся в своем совете – чтобы комфортно себя чувствовать при решении системы методом Гаусса, следует набить руку и прорешать хотя бы десяток систем.

Решения и ответы:

Пример 2:

Решение: Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду.

Выполненные элементарные преобразования:

(1) Первую и третью строки поменяли местами.

(2) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на (–6). К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на (–7).

(3) К третьей строке прибавили вторую строку, умноженную на (–1).

В результате элементарных преобразований получена строка вида , где λ ≠ 0 . Значит, система несовместна. Ответ: решений нет.

Пример 4:

Решение: Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду:

Выполненные преобразования:

(1). Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на 2. К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на 3.

Для второй ступеньки нет единицы , и преобразование (2) направлено на её получение.

(2). К третьей строке прибавили вторую строку, умноженную на –3.

(3). Вторую с третью строки поменяли местами (переставили полученную –1 на вторую ступеньку)

(4). К третьей строке прибавили вторую строку, умноженную на 3.

(5). У первых двух строк сменили знак (умножили на –1), третью строку разделили на 14.

Обратный ход:

(1). Здесь – базисные переменные (которые на ступеньках), а – свободные переменные (кому не досталось ступеньки).

(2). Выразим базисные переменные через свободные переменные:

Из третьего уравнения: .

(3). Рассмотрим второе уравнение: , частные решения:

Ответ: Общее решение:

Комплексные числа

В этом разделе мы познакомимся с понятием комплексного числа , рассмотрим алгебраическую , тригонометрическую и показательную форму комплексного числа. А также научимся выполнять действия с комплексными числами: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня.

Для освоения комплексных чисел не требуется каких-то специальных знаний из курса высшей математики, и материал доступен даже школьнику. Достаточно уметь выполнять алгебраические действия с «обычными» числа, и помнить тригонометрию.

Сначала вспомним «обычные» Числа. В математике они называются множеством действительных чисел и обозначаются буквой R, либо R (утолщённой). Все действительные числа сидят на знакомой числовой прямой:

Компания действительных чисел очень пёстрая – здесь и целые числа, и дроби, и иррациональные числа. При этом каждой точке числовой оси обязательно соответствует некоторое действительное число.

§1. Системы линейных уравнений.

Система вида

называется системой m линейных уравнений сn неизвестными.

Здесь
- неизвестные,- коэффициенты при неизвестных,
- свободные члены уравнений.

Если все свободные члены уравнений равны нулю, система называется однородной .Решением системы называется совокупность чисел
, при подстановке которых в систему вместо неизвестных все уравнения обращаются в тождества. Система называетсясовместной , если она имеет хотя бы одно решение. Совместная система, имеющая единственное решение, называетсяопределенной . Две системы называютсяэквивалентными , если множества их решений совпадают.

Система (1) может быть представлена в матричной форме с помощью уравнения

(2)

.

§2. Совместность систем линейных уравнений.

Назовем расширенной матрицей системы (1) матрицу

Теорема Кронекера - Капелли . Система (1) совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы:

.

§3. Решение систем n линейных уравнений с n неизвестными.

Рассмотрим неоднородную систему n линейных уравнений сn неизвестными:

(3)

Теорема Крамера .Если главный определитель системы (3)
, то система имеет единственное решение, определяемое по формулам:

т.е.
,

где - определитель, получаемый из определителязаменой-го столбца на столбец свободных членов.

Если
, а хотя бы один из≠0, то система решений не имеет.

Если
, то система имеет бесконечно много решений.

Систему (3) можно решить, используя ее матричную форму записи (2). Если ранг матрицы А равенn , т.е.
, то матрицаА имеет обратную
. Умножив матричное уравнение
на матрицу
слева, получим:

.

Последнее равенство выражает способ решения систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы.

Пример. Решить систему уравнений с помощью обратной матрицы.

Решение. Матрица
невырожденная, так как
, значит, существует обратная матрица. Вычислим обратную матрицу:
.

,

Задание . Решить систему методом Крамера.

§4. Решение произвольных систем линейных уравнений.

Пусть дана неоднородная система линейных уравнений вида (1).

Предположим, что система совместна, т.е. выполнено условие теоремы Кронекера-Капелли:
. Если ранг матрицы
(числу неизвестных), то система имеет единственное решение. Если
, то система имеет бесконечно много решений. Поясним.

Пусть ранг матрицы r (A )= r < n . Поскольку
, то существует некоторый ненулевой минор порядкаr . Назовем его базисным минором. Неизвестные, коэффициенты которых образуют базисный минор, назовем базисными переменными. Остальные неизвестные назовем свободными переменными. Переставим уравнения и перенумеруем переменные так, чтобы этот минор располагался в левом верхнем углу матрицы системы:

.

Первые r строк линейно независимы, остальные выражаются через них. Следовательно, эти строки (уравнения) можно отбросить. Получим:

Дадим свободным переменным произвольные числовые значения: . Оставим в левой части только базисные переменные, свободные перенесем в правую часть.

Получили систему r линейных уравнений сr неизвестными, определитель которой отличен от 0. Она имеет единственное решение.

Эта система называется общим решением системы линейных уравнений (1). Иначе: выражение базисных переменных через свободные называется общим решением системы. Из него можно получить бесконечное множествочастных решений , придавая свободным переменным произвольные значения. Частное решение, полученное из общего при нулевых значениях свободных переменных называетсябазисным решением . Число различных базисных решений не превосходит
. Базисное решение с неотрицательными компонентами называетсяопорным решением системы.

Пример .

,r =2.

Переменные
- базисные,
- свободные.

Сложим уравнения; выразим
через
:

- общее решение.

- частное решение при
.

- базисное решение, опорное.

§5. Метод Гаусса.

Метод Гаусса - это универсальный метод исследования и решения произвольных систем линейных уравнений. Он состоит в приведении системы к диагональному (или треугольному) виду путем последовательного исключения неизвестных с помощью элементарных преобразований, не нарушающих эквивалентности систем. Переменная считается исключенной, если она содержится только в одном уравнении системы с коэффициентом 1.

Элементарными преобразованиями системы являются:

Умножение уравнения на число, отличное от нуля;

Сложение уравнения, умноженного на любое число, с другим уравнением;

Перестановка уравнений;

Отбрасывание уравнения 0 = 0.

Элементарные преобразования можно совершать не над уравнениями, а над расширенными матрицами получающихся эквивалентных систем.

Пример .

Решение. Выпишем расширенную матрицу системы:

.

Выполняя элементарные преобразования, приведем левую часть матрицы к единичному виду: на главной диагонали будем создавать единицы, а вне ее - нули.

Замечание . Если при выполнении элементарных преобразований получено уравнение вида 0= к (где к 0), то система несовместна.

Решение систем линейных уравнений методом последовательного исключения неизвестных можно оформлять в виде таблицы .

Левый столбец таблицы содержит информацию об исключенных (базисных) переменных. Остальные столбцы содержат коэффициенты при неизвестных и свободные члены уравнений.

В исходную таблицу записывают расширенную матрицу системы. Далее приступают к выполнению преобразований Жордана:

1. Выбирают переменную , которая станет базисной. Соответствующий столбец называют ключевым. Выбирают уравнение, в котором эта переменная останется, будучи исключенной из других уравнений. Соответствующую строку таблицы называют ключевой. Коэффициент, стоящий на пересечении ключевой строки и ключевого столбца, называют ключевым.

2. Элементы ключевой строки делят на ключевой элемент.

3. Ключевой столбец заполняют нулями.

4. Остальные элементы вычисляют по правилу прямоугольника. Составляют прямоугольник, в противоположных вершинах которого находятся ключевой элемент и пересчитываемый элемент; из произведения элементов, стоящих на диагонали прямоугольника с ключевым элементом, вычитают произведение элементов другой диагонали, полученную разность делят на ключевой элемент.

Пример . Найти общее решение и базисное решение системы уравнений:

Решение.

Общее решение системы:

Базисное решение:
.

Перейти от одного базиса системы к другому позволяет преобразование однократного замещения: вместо одной из основных переменных в базис вводят одну из свободных переменных. Для этого в столбце свободной переменной выбирают ключевой элемент и выполняют преобразования по указанному выше алгоритму.

§6. Нахождение опорных решений

Опорным решением системы линейных уравнений называется базисное решение, не содержащее отрицательных компонент.

Опорные решения системы находят методом Гаусса при выполнении следующих условий.

1. В исходной системе все свободные члены должны быть неотрицательны:
.

2. Ключевой элемент выбирают среди положительных коэффициентов.

3. Если при переменной, вводимой в базис, имеется несколько положительных коэффициентов, то в качестве ключевой строки берется та, в которой отношение свободного члена к положительному коэффициенту будет наименьшим.

Замечание 1 . Если в процессе исключения неизвестных появится уравнение, в котором все коэффициенты неположительны, а свободный член
, то система не имеет неотрицательных решений.

Замечание 2 . Если в столбцах коэффициентов при свободных переменных нет ни одного положительного элемента, то переход к другому опорному решению невозможен.

Пример.

Системы уравнений получили широкое применение в экономической отрасли при математическом моделировании различных процессов. Например, при решении задач управления и планирования производства, логистических маршрутов (транспортная задача) или размещения оборудования.

Системы уравнения используются не только в области математики, но и физики, химии и биологии, при решении задач по нахождению численности популяции.

Системой линейных уравнений называют два и более уравнения с несколькими переменными, для которых необходимо найти общее решение. Такую последовательность чисел, при которых все уравнения станут верными равенствами или доказать, что последовательности не существует.

Линейное уравнение

Уравнения вида ax+by=c называют линейными. Обозначения x, y - это неизвестные, значение которых надо найти, b, a - коэффициенты при переменных, c - свободный член уравнения.
Решение уравнение путем построение его графика будет иметь вид прямой, все точки которой являются решением многочлена.

Виды систем линейных уравнений

Наиболее простыми считаются примеры систем линейных уравнений с двумя переменными X и Y.

F1(x, y) = 0 и F2(x, y) = 0, где F1,2 - функции, а (x, y) - переменные функций.

Решить систему уравнений - это значит найти такие значения (x, y), при которых система превращается в верное равенство или установить, что подходящих значений x и y не существует.

Пара значений (x, y), записанная в виде координат точки, называется решением системы линейных уравнений.

Если системы имеют одно общее решение или решения не существует их называют равносильными.

Однородными системами линейных уравнений являются системы правая часть которых равна нулю. Если правая после знака "равенство" часть имеет значение или выражена функцией, такая система неоднородна.

Количество переменных может быть гораздо больше двух, тогда следует говорить о примере системы линейных уравнений с тремя переменными или более.

Сталкиваясь с системами школьники предполагают, что количество уравнений обязательно должно совпадать с количеством неизвестных, но это не так. Количество уравнений в системе не зависит от переменных, их может быть сколь угодно много.

Простые и сложные методы решения систем уравнений

Не существует общего аналитического способа решения подобных систем, все методы основаны на численных решениях. В школьном курсе математики подробно описаны такие методы как перестановка, алгебраическое сложение, подстановка, а так же графический и матричный способ, решение методом Гаусса.

Основная задача при обучении способам решения - это научить правильно анализировать систему и находить оптимальный алгоритм решения для каждого примера. Главное не вызубрить систему правил и действий для каждого способа, а понять принципы применения того или иного метода

Решение примеров систем линейных уравнений 7 класса программы общеобразовательной школы довольно простое и объяснено очень подробно. В любом учебнике математике этому разделу отводится достаточно внимания. Решение примеров систем линейных уравнений методом Гаусса и Крамера более подробно изучают на первых курсах высших учебных заведений.

Решение систем методом подстановки

Действия метода подстановки направлены на выражение значения одной переменной через вторую. Выражение подставляется в оставшееся уравнение, затем его приводят к виду с одной переменной. Действие повторяется в зависимости от количества неизвестных в системе

Приведем решение примера системы линейных уравнений 7 класса методом подстановки:

Как видно из примера, переменная x была выражена через F(X) = 7 + Y. Полученное выражение, подставленное во 2-е уравнение системы на место X, помогло получить одну переменную Y во 2-е уравнении. Решение данного примера не вызывает трудностей и позволяет получить значение Y. Последний шаг это проверка полученных значений.

Решить пример системы линейных уравнений подстановкой не всегда возможно. Уравнения могут быть сложными и выражение переменной через вторую неизвестную окажется слишком громоздким для дальнейших вычислений. Когда неизвестных в системе больше 3-х решение подстановкой также нецелесообразно.

Решение примера системы линейных неоднородных уравнений:

Решение с помощью алгебраического сложения

При поиске решении систем методом сложения производят почленное сложение и умножение уравнений на различные числа. Конечной целью математических действий является уравнение с одной переменной.

Для применений данного метода необходима практика и наблюдательность. Решить систему линейных уравнений методом сложения при количестве переменных 3 и более непросто. Алгебраическое сложение удобно применять когда в уравнениях присутствуют дроби и десятичные числа.

Алгоритм действий решения:

1. Умножить обе части уравнения на некое число. В результате арифметического действия один из коэффициентов при переменной должен стать равным 1.
2. Почленно сложить полученное выражение и найти одно из неизвестных.
3. Подставить полученное значение во 2-е уравнение системы для поиска оставшейся переменной.

Способ решения введением новой переменной

Новую переменную можно вводить, если в системе требуется найти решение не более чем для двух уравнений, количество неизвестных тоже должно быть не больше двух.

Способ используется, чтобы упростить одно из уравнений, вводом новой переменной. Новое уравнение решается относительно введенной неизвестной, а полученное значение используется для определения первоначальной переменной.

Из примера видно, что введя новую переменную t удалось свести 1-е уравнение системы к стандартному квадратному трехчлену. Решить многочлен можно отыскав дискриминант.

Необходимо найти значение дискриминанта по известной формуле: D = b2 - 4*a*c, где D - искомый дискриминант, b, a, c - множители многочлена. В заданном примере a=1, b=16, c=39, следовательно, D=100. Если дискриминант больше нуля, то решений два: t = -b±√D / 2*a, если дискриминант меньше нуля, то решение одно: x= -b / 2*a.

Решение для полученных в итоге системы находят методом сложения.

Наглядный метод решения систем

Подходит для систем с 3-мя уравнениями. Метод заключается в построении на координатной оси графиков каждого уравнения, входящего в систему. Координаты точек пересечения кривых и будут общим решением системы.

Графический способ имеет ряд нюансов. Рассмотрим несколько примеров решения систем линейных уравнений наглядным способом.

Как видно из примера, для каждой прямой было построено две точки, значения переменной x были выбраны произвольно: 0 и 3. Исходя из значений x, найдены значения для y: 3 и 0. Точки с координатами (0, 3) и (3, 0) были отмечены на графике и соединены линией.

Действия необходимо повторить для второго уравнения. Точка пересечения прямых является решением системы.

В следующем примере требуется найти графическое решение системы линейных уравнений: 0,5x-y+2=0 и 0,5x-y-1=0.

Как видно из примера, система не имеет решения, потому что графики параллельны и не пересекаются на всем своем протяжении.

Системы из примеров 2 и 3 похожи, но при построении становится очевидно, что их решения разные. Следует помнить, что не всегда можно сказать имеет ли система решение или нет, всегда необходимо построить график.

Матрица и ее разновидности

Матрицы используются для краткой записи системы линейных уравнений. Матрицей называют таблицу специального вида, заполненную числами. n*m имеет n - строк и m - столбцов.

Матрица является квадратной, когда количество столбцов и строк равно между собой. Матрицей - вектором называется матрица из одного столбца с бесконечно возможным количеством строк. Матрица с единицами по одной из диагоналей и прочими нулевыми элементами называется единичной.

Обратная матрица - это такая матрица при умножении на которую исходная превращается в единичную, такая матрица существует только для исходной квадратной.

Правила преобразования системы уравнений в матрицу

Применительно к системам уравнений в качестве чисел матрицы записывают коэффициенты и свободные члены уравнений, одно уравнение - одна строка матрицы.

Строка матрицы называется ненулевой, если хотя бы один элемент строки не равен нулю. Поэтому если в каком-либо из уравнений количество переменных разнится, то необходимо на месте отсутствующей неизвестной вписать нуль.

Столбцы матрицы должны строго соответствовать переменным. Это означает что коэффициенты переменной x могут быть записаны только в один столбец, например первый, коэффициент неизвестной y - только во второй.

При умножении матрицы все элементы матрицы последовательно умножаются на число.

Варианты нахождения обратной матрицы

Формула нахождения обратной матрицы довольно проста: K -1 = 1 / |K|, где K -1 - обратная матрица, а |K| - определитель матрицы. |K| не должен быть равен нулю, тогда система имеет решение.

Определитель легко вычисляется для матрицы "два на два", необходимо лишь помножить друг на друга элементы по диагонали. Для варианта "три на три" существует формула |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Можно воспользоваться формулой, а можно запомнить что необходимо взять по одному элементу из каждой строки и каждого столбца так, чтобы в произведении не повторялись номера столбцов и строк элементов.

Решение примеров систем линейных уравнений матричным методом

Матричный способ поиска решения позволяет сократить громоздкие записи при решении систем с большим количеством переменных и уравнений.

В примере a nm - коэффициенты уравнений, матрица - вектор x n - переменные, а b n - свободные члены.

Решение систем методом Гаусса

В высшей математике способ Гаусса изучают совместно с методом Крамера, а процесс поиска решения систем так и называется метод решения Гаусса - Крамера. Данные способы используют при нахождении переменных систем с большим количеством линейных уравнений.

Метод Гаусса очень похож на решения с помощью подстановок и алгебраического сложения, но более систематичен. В школьном курсе решение способом Гаусса применяется для систем из 3 и 4 уравнений. Цель метода состоит в приведении системы к виду перевернутой трапеции. Путем алгебраических преобразований и подстановок находится значение одной переменной в одном из уравнении системы. Второе уравнение представляет собой выражение с 2-мя неизвестными, ну а 3 и 4 - соответственно с 3-мя и 4-мя переменными.

После приведения системы к описанному виду, дальнейшее решение сводится к последовательной подстановке известных переменных в уравнения системы.

В школьных учебниках для 7 класса пример решения методом Гаусса описан следующим образом:

Как видно из примера, на шаге (3) было получено два уравнения 3x 3 -2x 4 =11 и 3x 3 +2x 4 =7. Решение любого из уравнений позволит узнать одну из переменных x n .

Теорема 5, о которой упоминается в тексте, гласит что если одно из уравнений системы заменить равносильным, то полученная система будет также равносильна исходной.

Метод Гаусса труден для восприятия учеников средней школы, но является одним из наиболее интересных способов для развития смекалки детей, обучающихся по программе углубленного изучения в математических и физических классах.

Для простоты записи вычислений принято делать следующим образом:

Коэффициенты уравнений и свободные члены записываются в виде матрицы, где каждая строка матрицы соотносится с одним из уравнений системы. отделяет левую часть уравнения от правой. Римскими цифрами обозначаются номера уравнений в системе.

Сначала записывают матрицу, с которой предстоит работать, затем все действия проводимые с одной из строк. Полученную матрицу записывают после знака "стрелка" и продолжают выполнять необходимые алгебраические действия до достижения результата.

В итоге должна получиться матрица в которой по одной из диагоналей стоят 1, а все другие коэффициенты равны нулю, то есть матрицу приводят к единичному виду. Нельзя забывать производить вычисления с цифрами обеих частей уравнения.

Данный способ записи менее громоздкий и позволяет не отвлекаться на перечисление многочисленных неизвестных.

Свободное применение любого способа решения потребует внимательности и определенного опыта. Не все методы имеют прикладной характер. Какие-то способы поиска решений более предпочтительны в той иной области деятельности людей, а другие существуют в целях обучения.

где x * - один из решений неоднородной системы (2) (например (4)), (E−A + A) образует ядро (нуль пространство) матрицы A .

Сделаем скелетное разложение матрицы (E−A + A) :

E−A + A=Q·S

где Q n×n−r - матрица rank(Q)=n−r , S n−r×n -матрица rank(S)=n−r .

Тогда (13) можно записать в следующем виде:

x=x*+Q·k, ∀ k∈ R n-r .

где k=Sz .

Итак, процедура нахождения общего решения системы линейных уравнений с помощью псевдообратной матрицы можно представить в следующем виде:

1. Вычисляем псевдообратную матрицу A + .
2. Вычисляем частное решение неоднородной системы линейных уравнений (2): x *=A + b .
3. Проверяем совместность системы. Для этого вычисляем AA + b . Если AA + b ≠b , то система несовместна. В противном случае продолжаем процедуру.
4. Высисляем E−A + A.
5. Делаем скелетное разложение E−A + A=Q·S.
6. Строим решение

x=x*+Q·k, ∀ k∈ R n-r .

Решение системы линейных уравнений онлайн

Онлайн калькулятор позволяет найти обшее решение системы линейных уравнений с подробными объяснениями.