Треугольник Рёло и кривые постоянной ширины. Отношения по замкнутому треугольнику
Простыми словами
Каникулы. Продолжаем отдыхать. Сегодня в качестве занимательного отдыха у нас кривые и фигуры постоянной ширины, сверление квадратных отверстий, езда на велосипедах с треугольными колесами и многое другое. Пост по мотивам Википедии и некоторых других сайтов. Все соответствующие источники будут указаны в нужных местах.)
Начну с определений.
Кривые и фигуры постоянной ширины
Кривая постоянной ширины a - плоская выпуклая кривая, длина ортогональной проекции которой на любую прямую равна a .
Иными словами, кривой постоянной ширины называется плоская выпуклая кривая, расстояние между любыми двумя параллельными опорными прямыми которой постоянно и равно a - «ширине» кривой.
На картинке (кликабельно) представлены примеры таких кривых (и ими ограниченных фигур).
Фигурой постоянной ширины
называется фигура, граница которой является кривой постоянной ширины.
Самой простой и "тривиальной" фигурой постоянной ширины является, конечно же, круг. Нетривиальные фигуры - многоугольники Рёло, изображенные на картинке выше. Об одной из них - треугольнике Рёло - я расскажу отдельно.
Свойства (весьма любопытные)
- Длина кривой постоянной ширины `a` равна `pi*a` (теорема Барбье).
- Центры вписанной и описанной окружностей в кривую постоянной ширины совпадают, а сумма их радиусов равна ширине кривой.
- Фигура постоянной ширины `a` может вращаться в квадрате со стороной `a` всё время касаясь каждой из сторон.
- Среди всех фигур данной постоянной ширины треугольник Рёло имеет наименьшую площадь, а круг - наибольшую.
- Любую плоскую фигуру диаметра `a` можно накрыть фигурой постоянной ширины `a`.
Центральная часть моего рассказа - треугольник Рёло.
Это Франц Рёло, в честь которого названы все эти фигуры.
Вот буквально два предложения о нем из Википедии:
Занимался проблемами эстетичности технических объектов, промышленным дизайном. В своих конструкциях придавал большое значение внешним формам машин, за что Рёло при жизни называли «поэтом в технике».
Треугольник Рёло
Треугольник Рёло
представляет собой область пересечения трёх равных кругов с центрами в вершинах правильного треугольника и радиусами, равными его стороне. Негладкая замкнутая кривая, ограничивающая эту фигуру, также называется треугольником Рёло.
Построение треугольника Рёло
Треугольник Рёло является простейшей после круга фигурой постоянной ширины. То есть если к треугольнику Рёло провести пару параллельных опорных прямых, то независимо от выбранного направления расстояние между ними будет постоянным. Это расстояние называется шириной треугольника Рёло.
Среди прочих фигур постоянной ширины треугольник Рёло выделяется рядом экстремальных свойств: наименьшей площадью, наименьшим возможным углом при вершине, наименьшей симметричностью относительно центра. Треугольник получил распространение в технике - на его основе были созданы кулачковые и грейферные механизмы, роторно-поршневой двигатель Ванкеля и даже дрели, позволяющие сверлить квадратные отверстия.
В Википедии очень интересная статья про треугольник Рёло. Я не буду ее цитировать полностью, но всем заинтересовавшимся рекомендую почитать. Сама же ограничусь только «популярной» составляющей.
Качение по квадрату
Любая фигура постоянной ширины вписана в квадрат со стороной, равной ширине фигуры, причём направление сторон квадрата может быть выбрано произвольно. Треугольник Рёло - не исключение, он вписан в квадрат и может вращаться в нём, постоянно касаясь всех четырёх сторон.
Качение треугольника Рёло по квадрату
Каждая вершина треугольника при его вращении «проходит» почти весь периметр квадрата, отклоняясь от этой траектории лишь в углах - там вершина описывает дугу эллипса. Центр этого эллипса расположен в противоположном углу квадрата, а его больша́я и малая оси повёрнуты на угол в 45° относительно сторон квадрата и равны
`a*(\sqrt{3}\pm1)`,
где `a` - ширина треугольника. Каждый из четырёх эллипсов касается двух смежных сторон квадрата на расстоянии
`a * (1 - {\sqrt{3}}/2) = a * 0,13397...` от угла.
1.
2.
1. Эллипс (выделен красным цветом), очерчивающий один из углов фигуры (её граница выделена чёрным цветом), которую покрывает треугольник Рёло при вращении в квадрате. 2. Угол покрываемой вращением фигуры. Подписаны точки касания сторон квадрата с эллипсом. Светло-жёлтым показан не затронутый вращением угол квадрата.
Центр треугольника Рёло при вращении движется по траектории, составленной из четырёх одинаковых дуг эллипсов. Центры этих эллипсов расположены в вершинах квадрата, а оси повёрнуты на угол в 45° относительно сторон квадрата и равны `a(1+-1/sqrt(3))`
Траектория центра треугольника Рёло при вращении в квадрате.
Выделены точки сопряжения четырёх дуг эллипсов.
Для сравнения показана окружность (синим цветом), проходящая через эти же четыре точки
ПРИМЕНЕНИЕ
1. Сверление квадратных отверстий
Сверло с сечением в виде треугольника Рёло и режущими кромками, совпадающими с его вершинами, позволяет получать почти квадратные отверстия. Отличие таких отверстий от квадрата состоит лишь в немного скруглённых углах. Другая особенность подобного сверла заключается в том, что его центр при вращении не остаётся на месте, как это происходит в случае традиционных спиральных свёрл, а описывает кривую, состоящую из четырёх дуг эллипсов. Поэтому патрон, в котором зажато сверло, не должен препятствовать этому движению.
Впервые сделать подобную конструкцию удалось Гарри Уаттсу, английскому инженеру, работавшему в США. Для сверления он использовал направляющий шаблон с квадратной прорезью, в котором двигалось сверло, вставленное в «плавающий патрон». Патенты на патрон и сверло были получены Уаттсом в 1917 году. Продажу новых дрелей осуществляла фирма Watts Brothers Tool Works. Ещё один патент США на похожее изобретение был выдан в 1978 году.
2. Двигатель Ванкеля
Другой пример использования можно найти в двигателе Ванкеля: ротор этого двигателя выполнен в виде треугольника Рёло. Он вращается внутри камеры, поверхность которой выполнена по эпитрохоиде. Вал ротора жёстко соединён с зубчатым колесом, которое сцеплено с неподвижной шестернёй. Такой трёхгранный ротор обкатывается вокруг шестерни, всё время касаясь вершинами внутренних стенок двигателя и образуя три области переменного объёма, каждая из которых по очереди является камерой сгорания. Благодаря этому двигатель выполняет три полных рабочих цикла за один оборот.
Двигатель Ванкеля позволяет осуществить любой четырёхтактный термодинамический цикл без применения механизма газораспределения. Смесеобразование, зажигание, смазка, охлаждение и пуск в нём принципиально такие же, как у обычных поршневых двигателей внутреннего сгорания
Схема работы двигателя Ванкеля
3. Каток
Для перемещения тяжёлых предметов на небольшие расстояния можно использовать не только колёсные, но и более простые конструкции, например, цилиндрические катки. Для этого груз нужно расположить на плоской подставке, установленной на катках, а затем толкать его. По мере освобождения задних катков их необходимо переносить и класть спереди. Такой способ транспортировки человечество использовало до изобретения колеса.
Катки с сечением в виде круга и треугольника Рёло. Немецкий технический музей
При этом перемещении важно, чтобы груз не двигался вверх и вниз, так как тряска потребует дополнительных усилий от толкающего. Для того, чтобы движение по каткам было прямолинейным, их сечение должно представлять собой фигуру постоянной ширины. Чаще всего сечением был круг, ведь катками служили обыкновенные брёвна. Однако сечение в виде треугольника Рёло будет ничуть не хуже и позволит передвигать предметы столь же прямолинейно.
Несмотря на то, что катки в форме треугольника Рёло позволяют плавно перемещать предметы, такая форма не подходит для изготовления колёс, поскольку треугольник Рёло не имеет фиксированной оси вращения.
(А вот это утверждение из Википедии опровергнуто настойчивыми инженерами-энтузиастами! Но об этом чуть позже.) Если признаться честно, сначала я увидела каток, и он потряс меня настолько, что из-за него я начала разбираться в матчасти и взялась за эту статью)
В Википедии еще можно узнать про:
4. Грейферный механизм
5. Крышки для люков
6. Кулачковый механизм
7. Плектр
8. Треугольник Рёло в искусстве
А также
9. Нечто из соотношения формы и цвета.
Всё это очень интересно и с картинками. Но просто нельзя объять необъятное (с).
А я вернусь к невозможности создать колесо в виде многоугольника Рёло. Действительно, как это сделать, если у него ось вращения сама вращается по четырем склеенным частям эллипса?
Однако в мире очень мало чего абсолютно невозможного. А условно невозможное... Ну, упорство и труд всё перетрут!
Впервые Дима пожалел, что в жизни Маши он действительно никто. Раньше его это совершенно не тревожило, но теперь, чтобы осуществить задуманное, надо было стать для Маши хоть кем-то, иначе она не станет даже слушать его. Диме было даже немного обидно, что Машу он абсолютно не интересует. Он считал, да и на самом деле был, привлекательным молодым человеком, который привык без проблем покорять девичьи сердца. Даже такая красавица как Виталина не смогла перед ним устоять. Дима, конечно, интуитивно понимал, что интерес Виты к нему обусловлен не только его внешностью. Но ведь он хоть как-то её интересовал, а Маше и в самом деле было наплевать на него. Ему вдруг захотелось покорить сердце этой недотроги и вовсе не для того, чтобы утвердиться в собственной мужественности – ему хотелось понять и узнать Машу. Но, списав эти мысли на очередную слабость и недоступность на данный момент Виты, Дима всего лишь принял решение почаще видеться с Машей, конечно же, для того, чтобы изучить её пристрастия и найти ей хорошего парня. Странно, но теперь Дима хотел найти ей человека, который действительно будет достоин Марии. Митя пока ещё не осознавал, что хочет узнать Машину душу не потому что эти сведения пригодятся ему в поиске парня для неё, но и потому что ему самому стала интересна эта загадочная девушка. С этого дня Дима решил чаще присутствовать на девичьих посиделках и вытрясти из Виталины всё, что она знала о Маше. Однако сначала надо было найти способ помириться с Виталиной. Дима отправился домой, на ходу размышляя как выпросить прощение у своей красавицы.
Маша задумчиво смотрела в окно. Точнее это со стороны казалось, что она смотрит на улицу, ожидая кого-то, а она на самом деле наблюдала за тем, как сползают капли дождя по стеклу. Да, сегодня явно был не лучший день для встречи с подругой. Маша терпеть не могла такие дни, когда дождь шёл не переставая – на неё в такие дни находила тоска, ничего не хотелось, опускались руки, она не могла даже почитать книгу, таким скучным всё вокруг казалось. Но именно сегодня в этот противный дождливый день они с Виталиной договорились встретиться в кафе. Маша уже минут десять пила горячее какао, а Виты всё не было. Впрочем, девушку это не удивляло. Виталина имела стойкую привычку опаздывать. Причём всегда и всюду. Маша допила какао, и уже было решила заказать ещё чашку, когда на пороге, наконец, возникла Вита. Помахав подруге рукой, Виталина почти модельной походкой приблизилась к их столику:
Машуль, извини, ради бога. Честное слово, я в этот раз совершенно не виновата в опоздании.
Знаю, ты всегда не виновата. Я привыкла к твоей феноменальной способности всегда опаздывать. Садись уже и давай, наконец, сделаем заказ, а не то я умру от голода.
Виталина опустилась на стул. Вита даже в дождливую погоду умудрялась выглядеть так, будто только что вышла из салона красоты. Она достала зеркало и поправила свой макияж.
Ты не поверишь. Еле сбежала от Репетитора. – Виталина всегда называла так Диму, когда они оставались с Машей наедине. Репетитор – это было что-то вроде его прозвища.
Ты разве с ним не поругалась?
Да в том-то и дело, что поругалась. – Виталина вздохнула, и Маша поняла, что рассказ предстоит долгий, поэтому вместо одного запланированного пирожного она заказала два.
Популярность: 2%
 |
|
Задание 4
Разделите отрезок AB точками C и D на 3 части. Составьте разные ломаные из этих частей. Удалось ли получить замкнутую трехзвеннную ломаную? Проведите эксперимент, меняя положение точек C и D на отрезке AB .
Задание 5
Сумма длин всех сторон многоугольника называется его периметром .
Изобразите несколько многоугольников, у которых периметр одинаковый, а форма различна.
Подсказка:
можно сначала выбрать отрезок, а затем, расставляя на нем различным образом точки, строить замкнутые ломаные: длина отрезка при этом и будет периметром.
Задание 6
Нарисуйте следующие многоугольники и найдите их периметры.
Задание 7
Через каждую вершину треугольника проведите прямую, которая делит его периметр пополам.
Подсказка:
вспомните, как из отрезка получали треугольник.
Задание 8
Если все стороны треугольника равны, то треугольник называется равносторонним .
Задание 9
Задание 10
Задание 11. Снежинка Коха
Дан равносторонний треугольник. Поделите каждую его сторону на три равные части и постройте на средних третях сторон как на сторонах меньшие правильные треугольники. Образуется замкнутая ломаная из 12 отрезков – шестиугольная звезда. Повторите построение на каждом из отрезков и продолжите его столько раз, сколько сможете. Вы получите снежинку Коха , которая впервые была описана шведским математиком Хельге фон Кохом еще в 1905 году.
Устало потирая виски и откидываясь на спинку дивана девушка вновь задала вопрос:
- Лиза, если ты любишь Витю, то какого чёрта встречаешься с Антоном?
Тушка, что до сего момента сидела на коленях девушки и мирно посапывала, вдруг раскрыла глаза и уставилась на вышеназванную Лизу, но потом закрыла глаза и поудобнее обняв свою "подушку" и прошептав "Женя, ты тёплая" опять засопела. Девушка сидела на стуле смущённо краснея и накручивая локон каштановых волос на палец. Рядом с ней стоял диван, а на нём расположились ещё две умирающие особы. Причём лежали они свесив головы и приглушённо постанывая, как бы выражая как их задолбал тупизм одной из присутствующих.
- Как какого чёрта?! - удивилась Лиза отпуская волосы и вставая со стула. - Конечно, что бы быть ближе с Витенькой! Ты что совсем не понимаешь?!
Девушка, что была оскорблена вопросом уже протянула руки для того, что бы подёргать её за волосы, или что-то в этом роде. Как вдруг, сидевшая на Жене, а именно так звали задавшую вопрос распахнула глаза и лениво, но с явной угрозой сказала.
- Только тронь её, и ты будешь собирать свои кости следующие сто лет.
Лиза вздрогнула убрала руки и села на место. А Женя погладила угрожавшую по голове.
- Спасибо, Лера, - улыбнувшись прошептала она на ушко чёрноволосой особе, что опять погрузилась в сон. - Хорошо, а от нас-то ты что хочешь?
Лиза вздохнула и выдала всё на одном дыхании:
- Я хочу, что бы вы влюбили Витеньку в меня и стёрли Антона с лица земли!
На диване, что-то закопошилось, а после раздался звук шлепка. Русоволосую девушку, которую собственно шлёпнули, увидели лежащей на полу.
- С фигали мы должны это делать? - натянуто и выговаривая каждую букву, словно издеваясь произнесла шатенка, сев на диван нормально. На неё обиженно посмотрела русоволосая, но всё-таки села рядом.
- Ну, Сонь, пойми так вы совершите доброе дело, а я ведь ваша подруга! - проныла Лиза вновь теребя прядку волос, но уже заметно подрагивая и с нетерпением ждя ответа на свою просьбу.
- Бесплатным презерватив бывает лишь использованным, - закрыв глаза заговорила русоволосая особа. Лиза покраснела, а Соня сдержанно хихикнула.
- Света, блин! Извращенка!!! - взвизгнула Лиза. - Да блин, вам что, сложно?!
- Нет, не сложно конечно, но формально лень, - сказала Женя и закрыв глаза откинула голову назад. Лиза заинтересованно посмотрела на Женю и затихла словно чего-то ждала. А ждать было чего, от этой четвёрки тем более.
- Он моется. - два слова, а в квартире стоит такой визг, что мама не горюй! Лере пришлось даже уши Жене закрыть, что бы подруга прекратила дёргаться и не оглохла. Когда "вопль умирающего тюленя" закончился, Лера заговорила:
- А теперь, за то, что Женя использовала свой дар не по назначению, ты должна продать мне душу, - коварно улыбнулась Лера и сев рядом с Женей как-то по-кошачьи потянулась.
- А может вы всё-таки мне поможете? - глаза Лизы подозрительно заблестели, что намекало на то. что девушка вот-вот расплачется. Света задумалась, Соня зевнула, Лера устроила голову на Жениных коленках, а сама Женя закрыла глаза. Лиза была напряжена, а девушкам было глубоко плевать.
