Натуральный логарифм 1. Логарифм

Что такое логарифм?

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно "не очень..."
И для тех, кто "очень даже...")

Что такое логарифм? Как решать логарифмы? Эти вопросы многих выпускников вводят в ступор. Традиционно тема логарифмов считается сложной, непонятной и страшной. Особенно - уравнения с логарифмами.

Это абсолютно не так. Абсолютно! Не верите? Хорошо. Сейчас, за какие-то 10 - 20 минут вы:

1. Поймете, что такое логарифм .

2. Научитесь решать целый класс показательных уравнений. Даже если ничего о них не слышали.

3. Научитесь вычислять простые логарифмы.

Причём для этого вам нужно будет знать только таблицу умножения, да как возводится число в степень...

Чувствую, сомневаетесь вы... Ну ладно, засекайте время! Поехали!

Для начала решите в уме вот такое уравнение:

Если Вам нравится этот сайт...

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

Инструкция

Запишите заданное логарифмическое выражение. Если в выражении используется логарифм 10, то его запись укорачивается и выглядит так: lg b - это десятичный логарифм. Если же логарифм имеет в виде основания число е, то записывают выражение: ln b – натуральный логарифм. Подразумевается, что результатом любого является степень, в которую надо возвести число основания, чтобы получилось число b.

При нахождении от суммы двух функций, необходимо просто их по очереди продифференцировать, а результаты сложить: (u+v)" = u"+v";

При нахождении производной от произведения двух функций, необходимо производную от первой функции умножить на вторую и прибавить производную второй функции, умноженную на первую функцию: (u*v)" = u"*v+v"*u;

Для того, чтобы найти производную от частного двух функций необходимо, из произведения производной делимого, умноженной на функцию делителя, вычесть произведение производной делителя, умноженной на функцию делимого, и все это разделить на функцию делителя возведенную в квадрат. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

Если дана сложная функция, то необходимо перемножить производную от внутренней функции и производную от внешней. Пусть y=u(v(x)), тогда y"(x)=y"(u)*v"(x).

Используя полученные выше , можно продифференцировать практически любую функцию. Итак, рассмотрим несколько примеров:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2*x));
Также встречаются задачи на вычисление производной в точке. Пусть задана функция y=e^(x^2+6x+5), нужно найти значение функции в точке х=1.
1) Найдите производную функции: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) Вычислите значение функции в заданной точке y"(1)=8*e^0=8

Видео по теме

Полезный совет

Выучите таблицу элементарных производных. Это заметно сэкономит время.

Источники:

производная константы

Итак, чем же отличается иррациональное уравнение от рационального? Если неизвестная переменная находиться под знаком квадратного корня, то уравнение считается иррациональным.

Инструкция

Основной метод решения таких уравнений - метод возведения обоих частей уравнения в квадрат. Впрочем. это естественно, первым делом необходимо избавиться от знака . Технически этот метод не сложен, но иногда это может привести к неприятностям. Например, уравнение v(2х-5)=v(4х-7). Возведя обе его стороны в квадрат, вы получите 2х-5=4х-7. Такое уравнение решить не составит труда; х=1. Но число 1 не будет являться данного уравнения . Почему? Подставьте единицу в уравнение вместо значения х.И в правой и в левой части будут содержаться выражения, не имеющие смысла, то есть . Такое значение не допустимо для квадратного корня. Поэтому 1 - посторонний корень, и следовательно данное уравнение не имеет корней.

Итак, иррациональное уравнение решается с помощью метода возведения в квадрат обоих его частей. И решив уравнение, необходимо обязательно , чтобы отсечь посторонние корни. Для этого подставьте найденные корни в оригинальное уравнение.

Рассмотрите еще один .
2х+vх-3=0
Конечно же, это уравнение можно решить по той же , что и предыдущее. Перенести составные уравнения , не имеющие квадратного корня, в правую часть и далее использовать метод возведения в квадрат. решить полученное рациональное уравнение и корни. Но и другой , более изящный. Введите новую переменную; vх=y. Соответственно, вы получите уравнение вида 2y2+y-3=0. То есть обычное квадратное уравнение. Найдите его корни; y1=1 и y2=-3/2. Далее решите два уравнения vх=1; vх=-3/2. Второе уравнение корней не имеет, из первого находим, что х=1. Не забудьте, о необходимости проверки корней.

Решать тождества достаточно просто. Для этого требуется совершать тождественные преобразования, пока поставленная цель не будет достигнута. Таким образом, при помощи простейших арифметических действий поставленная задача будет решена.

Вам понадобится

- бумага;
- ручка.

Инструкция

Простейший таких преобразований – алгебраические сокращенного умножения (такие как квадрат суммы (разности), разность квадратов, сумма (разность) , куб суммы (разности)). Кроме того существует множество и тригонометрических формул, которые по своей сути теми же тождествами.

Действительно, квадрат суммы двух слагаемых равен квадрату первого плюс удвоенное произведение первого на второе и плюс квадрат второго, то есть (a+b)^2= (a+b)(a+b)=a^2+ab +ba+b^2=a^2+2ab+b^2.

Упростите обеих

Общие принципы решения

Повторите по учебнику по математическому анализу или высшей математике, что собой представляет определённый интеграл. Как известно, решение определенного интеграла есть функция, производная которой даст подынтегральное выражение. Данная функция называется первообразной. По данному принципу и строится основных интегралов.
Определите по виду подынтегральной функции, какой из табличных интегралов подходит в данном случае. Не всегда удается это определить сразу же. Зачастую, табличный вид становится заметен только после нескольких преобразований по упрощению подынтегральной функции.

Метод замены переменных

Если подынтегральной функцией является тригонометрическая функция, в аргументе которой некоторый многочлен, то попробуйте использовать метод замены переменных. Для того чтобы это сделать, замените многочлен, стоящий в аргументе подынтегральной функции, на некоторую новую переменную. По соотношению между новой и старой переменной определите новые пределы интегрирования. Дифференцированием данного выражения найдите новый дифференциал в . Таким образом, вы получите новый вид прежнего интеграла, близкий или даже соответствующий какому-либо табличному.

Решение интегралов второго рода

Если интеграл является интегралом второго рода, векторный вид подынтегральной функции, то вам будет необходимо пользоваться правилами перехода от данных интегралов к скалярным. Одним из таких правил является соотношение Остроградского-Гаусса. Данный закон позволяет перейти от потока ротора некоторой векторной функции к тройному интегралу по дивергенции данного векторного поля.

Подстановка пределов интегрирования

После нахождения первообразной необходимо подставить пределы интегрирования. Сначала подставьте значение верхнего предела в выражение для первообразной. Вы получите некоторое число. Далее вычтите из полученного числа другое число, полученное нижнего предела в первообразную. Если один из пределов интегрирования является бесконечностью, то при подстановке ее в первообразную функцию необходимо перейти к пределу и найти, к чему стремится выражение.
Если интеграл является двумерным или трехмерным, то вам придется изображать геометрически пределы интегрирования, чтобы понимать, как рассчитывать интеграл. Ведь в случае, скажем, трехмерного интеграла пределами интегрирования могут быть целые плоскости, ограничивающие интегрируемый объем.

Рис. 16. Поведение функции f(x) = x4 4x3

При переходе через точку x = 0 производная не меняет знака: функция убывает как на промежутке (1; 0], так и на промежутке . Поэтому точка x = 0 является седловой точкой функции.

А вот при переходе через точку x = 3 производная меняет знак с () на (+). На промежутке {\displaystyle } . Простота этого определения, которое согласуется со многими другими формулами, в которых применяется данный логарифм, объясняет происхождение названия «натуральный».

Если рассматривать натуральный логарифм как вещественную функцию действительной переменной, то она является обратной функцией к экспоненциальной функции , что приводит к тождествам:

e ln ⁡ a = a (a > 0) ; {\displaystyle e^{\ln a}=a\quad (a>0);} ln ⁡ e a = a (a > 0) . {\displaystyle \ln e^{a}=a\quad (a>0).}

Подобно всем логарифмам, натуральный логарифм отображает умножение в сложение:

ln ⁡ x y = ln ⁡ x + ln ⁡ y . {\displaystyle \ln xy=\ln x+\ln y.}

Это может быть, например, калькулятор из базового набора программ операционной системы Windows. Ссылка на его запуск упрятана довольно в главное меню ОС - раскройте его щелчком по кнопке «Пуск», затем откройте его раздел «Программы», перейдите в подраздел «Стандартные», а затем в секцию «Служебные» и, наконец, щелкните пункт «Калькулятор». Можно вместо мыши и перемещений по меню использовать клавиатуру и диалог запуска программ - нажмите сочетание клавиш WIN + R, наберите calc (это имя исполняемого файла калькулятора) и нажмите клавишу Enter.

Переключите интерфейс калькулятора в расширенный режим, позволяющий осуществлять . По умолчанию он открывается в «обычном» виде, а вам нужен «инженерный» или « » (в зависимости от версии используемой ОС). Раскройте в меню раздел «Вид» и выберите соответствующую строку.

Введите аргумент, натуральный которого нужно вычислить. Это можно сделать как с клавиатуры, так и щелкая мышкой соответствующие кнопки в интерфейсе калькулятора на экране.

Кликните кнопку с надписью ln - программа рассчитает логарифма по основанию e и покажет результат.

Воспользуйтесь каким-либо из -калькуляторов в качестве альтернативного вычисления значения натурального логарифма. Например, тем, который размещен по адресу http://calc.org.ua . Его интерфейс предельно прост - есть единственное поле ввода, куда вам надо впечатать значение числа, логарифм от которого надо вычислить. Среди кнопок найдите и щелкните ту, на которой написано ln. Скрипт этого калькулятора не требует отправки данных на сервер и ответа, поэтому результат вычисления вы получите практически мгновенно. Единственная особенность, которую следует учитывать - разделителем между дробной и целой частью вводимого числа здесь обязательно должна быть точка, а не .

Термин «логарифм » произошел от двух греческих слов, одно из которых обозначает «число», а другое - «отношение». Им обозначают математическую операцию вычисления переменной величины (показателя степени), в которую надо возвести постоянное значение (основание), чтобы получить число, указанное под знаком логарифм а. Если основание равно математической константе, называемое числом "e", то логарифм называют «натуральным».

Вам понадобится

Доступ в интернет, Microsoft Office Excel или калькулятор.

Инструкция

Воспользуйтесь во множестве представленными в интернете -калькуляторами - это, пожалуй, и простой способ вычисления натурального а. Поиском соответствующего сервиса вам заниматься не придется, так как многие поисковые системы и сами имеют встроенные калькуляторы, вполне пригодные для работы с логарифм ами. Например, перейдите на главную страницу самого крупного сетевого поисковика - Google. Никаких кнопок для ввода значений и выбора функций здесь не потребуется, просто наберите в поле ввода запроса нужное математическое действие. Скажем, для вычисления логарифм а числа 457 по основанию "e" введите ln 457 - этого будет вполне достаточно, чтобы Google отобразил с точностью до восьми знаков после запятой (6,12468339) даже без нажатия кнопки отправки запроса на сервер.

Используйте соответствующую встроенную функцию, если необходимость вычисления значения натурального логарифм а возникает при работе с данными в популярном табличном редакторе Microsoft Office Excel. Эта функция здесь вызывается с использованием общепринятого обозначения такого логарифм а в верхнем регистре - LN. Выделите ячейку, в которой должен быть отображен результат вычисления, и введите знак равенства - так в этом табличном редакторе должны начинаться записи в ячейках, содержащих в подразделе «Стандартные» раздела «Все программы» главного меню. Переключите калькулятор в более функциональный режим, нажав сочетание клавиш Alt + 2. Затем введите значение, натуральный логарифм которого требуется вычислить, и кликните в интерфейсе программы кнопку, обозначенную символами ln. Приложение произведет вычисление и отобразит результат.

Видео по теме