Помощь по Теле2, тарифы, вопросы

Моментом силы относительно произвольного центра в плоскости действия силы, называется произведение модуля силы на плечо.

Плечо - кратчайшее расстояние от центра О до линии действия силы, но не до точки приложения силы, т.к. сила-скользящий вектор.

Знак момента:

По часовой-минус, против часовой-плюс;

Момент силы можно выразить как вектор. Это перпендикуляр к плоскости по правилу Буравчика.

Если в плоскости расположены несколько сил или система сил, то алгебраическая сумма их моментов даст нам главный момент системы сил.

Рассмотрим момент силы относительно оси, вычислим момент силы относительно оси Z;

Спроецируем F на XY;

F xy =Fcosα = ab

m 0 (F xy)=m z (F), то есть m z =F xy * h = Fcosα * h

Момент силы относительно оси равен моменту ее проекции на плоскость перпендикулярную оси, взятому на пересечении осей и плоскости

Если сила параллельна оси или пересекает ее, то m z (F)=0

Выражение момента силы в виде векторного выражения

Проведем r а в точку A. Рассмотрим OA x F.

Это третий вектор m o , перпендикулярный плоскости. Модуль векторного произведения можно вычислить с помощью удвоенной площади заштрихованного треугольника.

Аналитическое выражение силы относительно координатных осей.

Предположим, что с точкой О связаны оси Y и Z, X с единичными векторами i, j, k Учитывая, что:

r x =X * Fx ; r y =Y * F y ; r z =Z * F y получим: m o (F)=x =

Раскроем определитель и получим:

m x =YF z - ZF y

m y =ZF x - XF z

m z =XF y - YF x

Эти формулы дают возможность вычислить проекцию вектор-момента на оси, а потом и сам вектор-момент.

Теорема Вариньона о моменте равнодействующей

Если система сил имеет равнодействующую, то её момент относительно любого центра равен алгебраической сумме моментов всех сил относительно этой точки

Если приложить Q= -R , то система (Q,F 1 … F n) будет равен уравновешиваться.

Сумма моментов относительно любого центра будет равен нулю.

Аналитическое условие равновесия плоской системы сил

Это плоская система сил, линии действия которых расположены в одной плоскости

Цель расчета задач данного типа - определение реакций внешних связей. Для этого используются основные уравнения в плоской системе сил.

Могут использоваться 2 или 3 уравнения моментов.

Пример

Составим уравнение суммы всех сил на ось X и Y.

Почти две тысячи лет просуществовало правило рычага, открытое Архимедом еще в третьем веке до нашей эры, пока в семнадцатом веке с легкой руки французского ученого Вариньона не получило более общую форму.

Правило момента сил

Было введено понятие момента сил. Момент силы - это физическая величина, равная произведению силы на ее плечо:

где M - момент силы,
F - сила,
l - плечо силы.

Из правила равновесия рычага напрямую вытекает правило моментов сил:

F1 / F2 = l2 / l1 или, по свойству пропорции F1 * l1= F2 * l2, то есть M1 = M2

В словесном выражении правило моментов сил звучит следующим образом: рычаг находится в равновесии под действием двух сил, если момент силы, вращающей его по часовой стрелке, равен моменту силы, вращающей его против часовой стрелки. Правило моментов сил справедливо для любого тела, закрепленного вокруг неподвижной оси. На практике момент силы находят следующим образом: по направлению действия силы проводят линию действия силы. Потом из точки, в которой находится ось вращения, проводят перпендикуляр до линии действия силы. Длина этого перпендикуляра будет равняться плечу силы. Умножив значение модуля силы на ее плечо, получаем значение момента силы относительно оси вращения. То есть, мы видим, что момент силы характеризует вращающее действие силы. Действие силы зависит и от самой силы и от ее плеча.

Применение правила моментов сил в различных ситуациях

Отсюда вытекает применение правила моментов сил в различных ситуациях. Например, если мы открываем дверь, то толкать ее мы будем в районе ручки, то есть, подальше от петель. Можно проделать элементарный опыт и убедиться, что толкать дверь тем легче, чем дальше мы прилагаем силу от оси вращения. Практический эксперимент в данном случае прямо подтверждается формулой. Так как, дабы моменты сил при разных плечах были равны, надо, чтобы большему плечу соответствовала меньшая сила и наоборот, меньшему плечу соответствовала большая. Чем ближе к оси вращения мы прилагаем силу, тем она должна быть больше. Чем дальше от оси мы воздействуем рычагом, вращая тело, тем меньшую силу нам необходимо будет приложить. Числовые значения легко находятся из формулы для правила моментов.

Именно исходя из правила моментов сил мы берем лом или длинную палку, если нам надо приподнять что-то тяжелое, и, подсунув под груз один конец, тянем лом возле другого конца. По этой же причине шурупы мы вворачиваем отверткой с длинной ручкой, а гайки закручиваем длинным гаечным ключом.

Момент силы (синонимы: крутящий момент, вращательный момент, вертящий момент, вращающий момент ) - векторная физическая величина , равная векторному произведению радиус-вектора , проведённого от оси вращения к точке приложения силы, на вектор этой силы. Характеризует вращательное действие силы на твёрдое тело .

Понятия «вращающий» и «крутящий» моменты в общем случае не тождественны, так как в технике понятие «вращающий» момент рассматривается как внешнее усилие, прикладываемое к объекту, а «крутящий» - внутреннее усилие, возникающее в объекте под действием приложенных нагрузок (этим понятием оперируют в сопротивлении материалов).

Энциклопедичный YouTube

1 / 5

7 кл - 39. Момент силы. Правило моментов

Момент силы тяжести.Гантеля и рука

Сила и масса

Момент силы. Рычаги в природе, технике, быту | Физика 7 класс #44 | Инфоурок

Зависимость углового ускорения от момента сил 1

Субтитры

Общие сведения

Специальные случаи

Формула момента рычага

Очень интересен особый случай, представляемый как определение момента силы в поле:

| M → | = | M → 1 | | F → | {\displaystyle \left|{\vec {M}}\right|=\left|{\vec {M}}_{1}\right|\left|{\vec {F}}\right|} , где: | M → 1 | {\displaystyle \left|{\vec {M}}_{1}\right|} - момент рычага, | F → | {\displaystyle \left|{\vec {F}}\right|} - величина действующей силы.

Проблема такого представления в том, что оно не дает направления момента силы, а только его величину. Если сила перпендикулярна вектору r → {\displaystyle {\vec {r}}} , момент рычага будет равен расстоянию до центра и момент силы будет максимален:

| T → | = | r → | | F → | {\displaystyle \left|{\vec {T}}\right|=\left|{\vec {r}}\right|\left|{\vec {F}}\right|}

Сила под углом

Если сила F → {\displaystyle {\vec {F}}} направлена под углом θ {\displaystyle \theta } к рычагу r, то M = r F sin ⁡ θ {\displaystyle M=rF\sin \theta } .

Статическое равновесие

Для того чтобы объект находился в равновесии, должна равняться нулю не только сумма всех сил, но и сумма всех моментов силы вокруг любой точки. Для двумерного случая с горизонтальными и вертикальными силами: сумма сил в двух измерениях ΣH=0, ΣV=0 и момент силы в третьем измерении ΣM=0.

Момент силы как функция от времени

M → = d L → d t {\displaystyle {\vec {M}}={\frac {d{\vec {L}}}{dt}}} ,

где L → {\displaystyle {\vec {L}}} - момент импульса.

Возьмём твердое тело. Движение твёрдого тела можно представить как движение конкретной точки и вращения вокруг неё.

Момент импульса относительно точки O твёрдого тела может быть описан через произведение момента инерции и угловой скорости относительно центра масс и линейного движения центра масс.

L o → = I c ω → + [ M (r o → − r c →) , v c → ] {\displaystyle {\vec {L_{o}}}=I_{c}\,{\vec {\omega }}+}

Будем рассматривать вращающиеся движения в системе координат Кёнига , так как описывать движение твёрдого тела в мировой системе координат гораздо сложнее.

Продифференцируем это выражение по времени. И если I {\displaystyle I} - постоянная величина во времени, то

M → = I d ω → d t = I α → {\displaystyle {\vec {M}}=I{\frac {d{\vec {\omega }}}{dt}}=I{\vec {\alpha }}} ,

где α → {\displaystyle {\vec {\alpha }}} - угловое ускорение , измеряемое в радианах в секунду за секунду (рад/с 2). Пример: вращается однородный диск.

Если тензор инерции меняется со временем, то движение относительно центра масс описывается с помощью динамического уравнения Эйлера:

M c → = I c d ω → d t + [ w → , I c w → ] {\displaystyle {\vec {M_{c}}}=I_{c}{\frac {d{\vec {\omega }}}{dt}}+[{\vec {w}},I_{c}{\vec {w}}]} .

На данном уроке, тема которого: «Момент силы», мы поговорим о силе, с которой нужно подействовать на тело, чтобы изменить его скорость, а также о точке приложения этой силы. Рассмотрим примеры поворота разных тел, например качели: в какую точку нужно подействовать силой, чтобы качели начали движение или остались в равновесии.

Представьте, что вы футболист и перед вами футбольный мяч. Чтобы он полетел, его нужно ударить. Всё просто: чем сильнее ударите, тем быстрее и дальше полетит, и бить будете, скорее всего, в центр мяча (см. рис. 1).

А чтобы мяч в полете вращался и летел по искривленной траектории, вы ударите не в центр мяча, а сбоку, что и делают футболисты, чтобы обмануть соперника (см. рис. 2).

Рис. 2. Кривая траектория полета мяча

Здесь уже важно, в какую точку бить.

Еще один простой вопрос: в каком месте нужно взять палку, чтобы она при подъеме не перевернулась? Если палка равномерная по толщине и плотности, то возьмем мы её посередине. А если она с одного края массивнее? Тогда мы возьмем её ближе к массивному краю, иначе он перевесит (см. рис. 3).

Рис. 3. Точка подъема

Представьте: папа сел на качели-балансир (см. рис. 4).

Рис. 4. Качели-балансир

Чтобы его перевесить, вы сядете на качели поближе к противоположному концу.

Во всех приведённых примерах нам важно было не просто подействовать на тело с некоторой силой, но и важно, в каком месте, на какую именно точку тела действовать. Эту точку мы выбирали наугад, пользуясь жизненным опытом. А если на палке будет три разных груза? А если поднимать ее вдвоем? А если речь идёт о подъемном кране или вантовом мосте (см. рис. 5)?

Рис. 5. Примеры из жизни

Для решения таких задач интуиции и опыта недостаточно. Без четкой теории их решить уже нельзя. О решении таких задач сегодня и пойдёт речь.

Обычно в задачах у нас есть тело, к которому приложены силы, и мы их решаем, как всегда до этого, не задумываясь над точкой приложения силы. Достаточно знать, что сила приложена просто к телу. Такие задачи встречаются часто, мы умеем их решать, но бывает, что недостаточно приложить силу просто к телу, - становится важно, в какую точку.

Пример задачи, в которой размеры тела не важны

Например, на столе лежит маленький железный шарик, на который действует сила тяжести 1 Н. Какую силу нужно приложить, чтобы его поднять? Шарик притягивается Землей, мы будем действовать на него вверх, прикладывая некоторую силу.

Силы, действующие на шарик, направлены в противоположные стороны, и, чтобы поднять шарик, нужно подействовать на него с силой, большей по модулю, чем сила тяжести (см. рис. 6).

Рис. 6. Силы, действующие на шарик

Сила тяжести равна , значит, на шарик нужно подействовать вверх с силой:

Мы не задумывались, как именно мы берем шарик, мы его просто берем и поднимаем. Когда мы показываем, как мы поднимали шарик, мы вполне можем нарисовать точку и показать: мы воздействовали на шарик (см. рис. 7).

Рис. 7. Действие на шарик

Когда мы можем так поступить с телом, показать его на рисунке при объяснении в виде точки и не обращать внимания на его размеры и форму, мы считаем его материальной точкой. Это модель. Реально же шарик имеет форму и размеры, но мы на них в этой задаче не обращали внимания. Если тот же шарик нужно заставить вращаться, то просто сказать, что мы воздействуем на шарик, уже нельзя. Здесь важно, что мы толкали шарик с краю, а не в центр, заставляя его вращаться. В этой задаче тот же шарик уже нельзя считать точкой.

Мы уже знаем примеры задач, в которых нужно учитывать точку приложения силы: задача с футбольным мячом, с неоднородной палкой, с качелями.

Точка приложения силы важна также в случае с рычагом. Пользуясь лопатой, мы действуем на конец черенка. Тогда достаточно приложить небольшую силу (см. рис. 8).

Рис. 8. Действие малой силы на черенок лопаты

Что общего между рассмотренными примерами, где нам важно учитывать размеры тела? И мяч, и палка, и качели, и лопата - во всех этих случаях речь шла о вращении этих тел вокруг некоторой оси. Мяч вращался вокруг своей оси, качели поворачивались вокруг крепления, палка - вокруг места, в котором мы ее держали, лопата - вокруг точки опоры (см. рис. 9).

Рис. 9. Примеры вращающихся тел

Рассмотрим поворот тел вокруг неподвижной оси и увидим, что заставляет тело поворачиваться. Будем рассматривать вращение в одной плоскости, тогда можно считать, что тело поворачивается вокруг одной точки О (см. рис. 10).

Рис. 10. Точка вращения

Если мы захотим уравновесить качели, у которых балка будет стеклянной и тонкой, то она может просто сломаться, а если балка из мягкого металла и тоже тонкая - то согнуться (см. рис. 11).

Такие случаи мы рассматривать не будем; будем рассматривать поворот прочных жестких тел.

Неправильно будет сказать, что вращательное движение определяется только силой. Ведь на качелях одна и та же сила может вызвать их вращение, а может и не вызвать, смотря где мы сядем. Дело не только в силе, но и в расположении точки, на которую воздействуем. Все знают, насколько трудно поднять и удержать груз на вытянутой руке. Чтобы определять точку приложения силы, вводится понятие плеча силы (по аналогии с плечом руки, которой поднимают груз).

Плечо силы - это минимальное расстояние от заданной точки до прямой, вдоль которой действует сила.

Из геометрии вы наверняка уже знаете, что это перпендикуляр, опущенный из точки О на прямую, вдоль которой действует сила (см. рис. 12).

Рис. 12. Графическое изображение плеча силы

Почему плечо силы - минимальное расстояние от точки О до прямой, вдоль которой действует сила

Может показаться странным, что плечо силы измеряется от точки О не до точки приложения силы, а до прямой, вдоль которой эта сила действует.

Проделаем такой опыт: привяжем к рычагу нить. Подействуем на рычаг с некоторой силой в точке, где привязана нить (см. рис. 13).

Рис. 13. Нить привязана к рычагу

Если создастся момент силы, достаточный для поворота рычага, он повернется. Нить покажет прямую, вдоль которой направлена сила (см. рис. 14).

Попробуем потащить рычаг с той же силой, но теперь взявшись за нить. В воздействии на рычаг ничего не изменится, хотя точка приложения силы поменяется. Но сила будет действовать вдоль той же прямой, ее расстояние до оси вращения, то есть плечо силы, останется тем же. Попробуем подействовать на рычаг под углом (см. рис. 15).

Рис. 15. Действие на рычаг под углом

Теперь сила приложена к той же точке, но действует вдоль другой прямой. Ее расстояние до оси вращения стало малό, момент силы уменьшился, и рычаг может уже не повернуться.

На тело оказывается воздействие, направленное на вращение, на поворот тела. Это воздействие зависит от силы и от её плеча. Величина, характеризующая вращательное воздействие силы на тело, называется момент силы , иногда его называют еще вращающим или крутящим моментом.

Значение слова «момент»

Нам привычно употреблять слово «момент» в значении очень короткого промежутка времени, как синоним слова «мгновение» или «миг». Тогда не совсем понятно, какое отношение имеет момент к силе. Обратимся к происхождению слова «момент».

Слово происходит от латинского momentum, что означает «движущая сила, толчок». Латинский глагол movēre означает «двигать» (как и английское слово move, а movement означает «движение»). Теперь нам ясно, что вращающий момент - это то, что заставляет тело вращаться.

Момент силы - это произведение силы на ее плечо.

Единица измерения - ньютон, умноженный на метр: .

Если увеличивать плечо силы, можно уменьшить силу и момент силы останется прежним. Мы очень часто используем это в повседневной жизни: когда открываем дверь, когда пользуемся плоскогубцами или гаечным ключом.

Остался последний пункт нашей модели - надо разобраться, что делать, если на тело действует несколько сил. Мы можем вычислить момент каждой силы. Понятно, что если силы будут вращать тело в одном направлении, то их действие сложится (см. рис. 16).

Рис. 16. Действие сил складывается

Если в разных направлениях - моменты сил будут уравновешивать друг друга и логично, что их нужно будет вычесть. Поэтому моменты сил, которые вращают тело в разных направлениях, будем записывать с разными знаками. Например, запишем, если сила предположительно вращает тело вокруг оси по часовой стрелке, и - если против (см. рис. 17).

Рис. 17. Определение знаков

Тогда мы можем записать одну важную вещь: чтобы тело пребывало в равновесии, сумма моментов действующих на него сил должна быть равна нулю .

Формула для рычага

Мы уже знаем принцип действия рычага: на рычаг действуют две силы, и во сколько раз больше плечо рычага, во столько раз меньше сила:

Рассмотрим моменты сил, которые действуют на рычаг.

Выберем положительное направление вращения рычага, например против часовой стрелки (см. рис. 18).

Рис. 18. Выбор направления вращения

Тогда момент силы будет со знаком плюс, а момент силы - со знаком минус. Чтобы рычаг был в равновесии, сумма моментов сил должна быть равна нулю. Запишем:

Математически это равенство и соотношение, записанное выше для рычага, - одно и то же, и то, что мы получили экспериментально, подтвердилось.

Например, определим, будет ли пребывать в равновесии рычаг, изображенный на рисунке. На него действуют три силы (см. рис. 19). , и . Плечи сил равны , и .

Рис. 19. Рисунок к условию задачи 1

Чтобы рычаг пребывал в равновесии, сумма моментов сил, которые на него действуют, должен быть равен нулю.

На рычаг по условию действуют три силы: , и . Их плечи соответственно равны , и .

Направление вращения рычага по часовой стрелке будем считать положительным. В этом направлении рычаг вращает сила , ее момент равен:

Силы и вращают рычаг против часовой стрелки, их моменты запишем со знаком минус:

Осталось вычислить сумму моментов сил:

Суммарный момент не равен нулю, значит, тело не будет пребывать в равновесии. Суммарный момент положительный, значит, рычаг будет поворачиваться по часовой стрелке (в нашей задаче это положительное направление).

Мы решили задачу и получили результат: суммарный момент сил, действующих на рычаг, равен . Рычаг начнет поворачиваться. И при его повороте, если силы не изменят направление, будут изменяться плечи сил. Они будут уменьшаться, пока не станут равны нулю, когда рычаг повернется вертикально (см. рис. 20).

Рис. 20. Плечи сил равны нулю

А при дальнейшем повороте силы станут направлены так, чтобы вращать его в противоположном направлении. Поэтому, решив задачу, мы определили, в какую сторону начнет вращаться рычаг, не говоря о том, что будет происходить потом.

Теперь вы научились определять не только силу, с которой нужно действовать на тело, чтобы изменить его скорость, но и точку приложения этой силы, чтобы оно не поворачивалось (или поворачивалось, как нам нужно).

Как толкать шкаф, чтобы он не перевернулся?

Мы знаем, что, когда мы толкаем шкаф с силой в верхней его части, он переворачивается, а чтобы этого не произошло, мы толкаем его ниже. Теперь мы можем объяснить это явление. Ось его вращения находится на том его ребре, на котором он стоит, при этом плечи всех сил, кроме силы , либо малы, либо равняются нулю, поэтому под действием силы шкаф падает (см. рис. 21).

Рис. 21. Действие на верхнюю часть шкафа

Прикладывая силу ниже, мы уменьшаем ее плечо , а значит, и момент этой силы, и опрокидывания не происходит (см. рис. 22).

Рис. 22. Сила приложена ниже

Шкаф как тело, размеры которого мы учитываем, подчиняется тому же закону, что и гаечный ключ, дверная ручка, мосты на опорах и т. п.

На этом наш урок окончен. Спасибо за внимание!

Список литературы

1. Соколович Ю.А., Богданова Г.С Физика: Справочник с примерами решения задач. - 2-е издание передел. - X.: Веста: Издательство «Ранок», 2005. - 464 с.
2. Перышкин А.В. Физика. 7 кл.: учеб. для общеобразоват. учреждений — 10-е изд., доп. - М.: Дрофа, 2006. - 192 с.: ил.

1. Abitura.com ().
2. Solverbook.com ().

Домашнее задание

Момент пары сил

Моментом силы относительно какой-либо точки (центра) называется вектор, численно равный произведению модуля силы на плечо, т.е. на кратчайшее расстояние от указанной точки до линии действия силы, и направленный перпендикулярно плоскости, проходящей через выбранную точку и линию действия силы в ту сторону, откуда "вращение", совершаемое силой вокруг точки, представляется происходящим против хода часовой стрелки. Момент силы характеризует ее вращательное действие.

Если О – точка, относительно которой находится момент силы F , то момент силы обозначается символом М о (F) . Покажем, что если точка приложения силыF определяется радиус-вектором r , то справедливо соотношение

М о (F)=r×F . (3.6)

Согласно этому соотношению момент силы равен векторному произведению вектора r на вектор F .

В самом деле, модуль векторного произведения равен

М о (F )=rF sin=Fh , (3.7)

где h – плечо силы. Заметим также, что вектор М о (F) направлен перпендикулярно плоскости, проходящей через векторы r и F , в ту сторону, откуда кратчайший поворот вектора r к направлению вектора F представляется происходящим против хода часовой стрелки. Таким образом, формула (3.6) полностью определяет модуль и направление момента силы F .

Иногда формулу (3.7) полезно записывать в виде

М о (F )=2S , (3.8)

где S – площадь треугольника ОАВ .

Пусть x , y , z – координаты точки приложения силы, а F x , F y , F z – проекции силы на координатные оси. Тогда, если точка О находится в начале координат, момент силы выражается следующим образом:

Отсюда следует, что проекции момента силы на координатные оси определяются формулами:

M Ox (F )= yF z -zF y ,

M Oy (F )= zF x -xF z ,

M Oy (F )= xF y -yF x . (3.10)

Введем теперь понятие проекции силы на плоскость.

Пусть даны сила F и некоторая плоскость. Опустим из начала и конца вектора силы перпендикуляры на эту плоскость.

Проекцией силы на плоскость называется вектор , начало и конец которого совпадают с проекцией начала и проекцией конца силы на эту плоскость.

Если в качестве рассматриваемой плоскости принять плоскость хОу , то проекцией силы F на этуплоскость будет вектор F ху .

Момент силы F ху относительно точки О (точки пересечения оси z с плоскостью хОу ) может быть вычислен по формуле (3.9), если в ней принять z =0, F z =0. Получим

M O (F ху )=(xF y -yF x )k .

Таким образом, момент направлен вдоль оси z , а его проекция на ось z в точности совпадает с проекцией на ту же ось момента силы F относительно точки О . Другими словами,

M Oz (F )=M Oz (F ху )= xF y -yF x . (3.11)

Очевидно, тот же результат можно получить, если спроектировать силуF на любую другую плоскость, параллельную хОу . При этом точка пересечения оси z с плоскостью будет уже иной (обозначим новую точку пересечения через О 1). Однако все входящие в правую часть равенства (3.11) величины х , у , F х , F у останутся неизменными, и, следовательно, можно записать

M Oz (F )=M O 1 z (F ху ).

Другими словами, проекция момента силы относительно точки на ось, проходящую через эту точку, не зависит от выбора точки на оси . Поэтому в дальнейшем вместо символа M Oz (F ) будем применять символ M z (F ). Эта проекция момента называется моментом силы относительно оси z . Вычисление момента силы относительно оси часто бывает удобнее производить посредством проектирования силы F на плоскость, перпендикулярную оси, и вычисления величины M z (F ху ).

В соответствии с формулой (3.7) и учитывая знак проекции, получим:

M z (F )=M z (F ху )=± F ху ·h* . (3.12)

Здесь h* – плечо силы F ху относительно точки О . Если наблюдатель видит со стороны положительного направления оси z, что сила F ху стремится повернуть тело вокруг оси z против хода часовой стрелки, то берется знак "+", и в противном случае – знак "–".

Формула (3.12) дает возможность сформулировать следующее правило для вычисления момента силы относительно оси. Для этого нужно:

· выбрать на оси произвольную точку и построить плоскость, перпендикулярную оси;

· спроектировать на эту плоскость силу;

· определить плечо проекции силы h*.

Момент силы относительно оси равен произведению модуля проекции силы на ее плечо, взятому с соответствующим знаком (см. изложенное выше правило).

Из формулы (3.12) следует, что момент силы относительно оси равен нулю в двух случаях:

· когда проекция силы на плоскость, перпендикулярную оси, равна нулю, т.е. когда сила и ось параллельны ;

· когда плечо проекции h* равно нулю, т.е. когдалиния действия пересекает ось .

Оба эти случая можно объединить в один: момент силы относительно оси равен нулю тогда и только тогда, когда линия действия силы и ось находятся в одной плоскости .

Задача 3.1. Вычислить относительно точки О момент силы F , приложеннойк точке А и направленной по диагонали грани куба со стороной а .

При решении подобных задач целесообразно сначала вычислить моменты силы F относительно координатных осей x , y , z . Координаты точки А приложения силы F будут

Проекции силы F на координатные оси:

Подставляя эти значения в равенства (3.10), найдем

Эти же выражения для моментов силы F относительно координатных осей можно получить, пользуясь формулой (3.12). Для этого спроектируем силу F на плоскости, перпендикулярные оси х и у . Очевидно, что . Применяя изложенное выше правило, получим, как и следовало ожидать, те же выражения:

, , .

Модуль момента определится равенством

.

Введем теперь понятие момента пары. Найдем сначала, чему равна сумма моментов сил, составляющих пару, относительно произвольной точки. Пусть О – произвольная точка пространства, а F и F" – силы, составляющие пару.

Тогда М о (F)=ОА ×F , М о (F")=ОВ ×F" ,

М о (F)+ М о (F")= ОА ×F + ОВ ×F" ,

но так как F= -F" , то

М о (F)+ М о (F")= ОА ×F - ОВ ×F =(ОА -ОВ )× F .

Принимая во внимание равенство ОА-ОВ=ВА , окончательно находим:

М о (F)+ М о (F")= ВА ×F .

Следовательно, сумма моментов сил, составляющих пару, не зависит от положения точки, относительно которой берутся моменты .

Векторное произведение ВА ×F и называется моментом пары . Обозначается момент пары символом М(F, F") , причем

М(F, F") = ВА ×F= АВ ×F" ,

или, короче,

М = ВА ×F= АВ ×F" . (3.13)

Рассматривая правую часть этого равенства, замечаем, что момент пары представляет собой вектор, перпендикулярный плоскости пары, равный по модулю произведению модуля одной сил пары на плечо пары (т.е. на кратчайшее расстояние между линиями действия сил, составляющих пару) и направленный в ту сторону, откуда "вращение" пары видно происходящим против хода часовой стрелки . Если h – плечо пары, то М(F, F") =h×F .

Из самого определения видно, что момент пары сил представляет собой свободный вектор, линия действия которого не определена (дополнительное обоснование этого замечания следует из теорем 2 и 3 этой главы).

Для того, чтобы пара сил составляла уравновешенную систему (систему сил, эквивалентную нулю), необходимо и достаточно, чтобы момент пары равнялся нулю. Действительно, если момент пары равен нулю, М =h×F , то либо F =0, т.е. нет сил, либо плечо пары h равно нулю. Но в этом случае силы пары будут действовать по одной прямой; так как они равны по модулю и направлены в противоположные стороны, то на основании аксиомы 1 они составят уравновешенную систему. Обратно, если две силы F 1 иF 2 , составляющие пару, уравновешены, то на основании той же аксиомы 1 они действуют по одной прямой. Но в этом случае плечо пары h равно нулю и, следовательно, М =h×F =0.

Теоремы о парах

Докажем три теоремы, с помощью которых становятся возможными эквивалентные преобразования пар. При всех рассмотрениях следует помнить, что они относятся к парам, действующим на какое-либо одно твердое тело.

Теорема 1. Две пары, лежащие в одной плоскости, можно заменить одной парой, лежащей в той же плоскости, с моментом, равным сумме моментов данных двух пар.

Для доказательства этой теоремы рассмотрим две пары (F 1 ,F" 1 ) и (F 2 ,F" 2 ) и перенесем точки приложения всех сил вдоль линий их действия в точки А и В соответственно. Складывая силы по аксиоме 3, получим

R=F 1 +F 2 и R"=F" 1 +F" 2 ,

но F 1 =-F" 1 и F 2 =-F" 2 .

Следовательно, R=- R" , т.е. силы R и R" образуют пару. Найдем момент этой пары, воспользовавшись формулой (3.13):

М=М (R , R" )=ВА× R=ВА× (F 1 +F 2 )=ВА× F 1 +ВА× F 2 . (3.14)

При переносе сил, составляющих пару, вдоль линий их действия ни плечо, ни направление вращения пар не меняются, следовательно, не меняется и момент пары. Значит,

ВА×F 1 =М (F 1 ,F" 1 )=М 1 , ВА× F 2 = М (F 2 ,F" 2 )=М 2

и формула (3.14) примет вид

М=М 1 +М 2 , (3.15)

что и доказывает справедливость сформулированной выше теоремы.

Сделаем два замечания к этой теореме.

1. Линии действия сил, составляющих пары, могут оказаться параллельными. Теорема остается справедливой и в этом случае, но для ее доказательства следует воспользоваться правилом сложения параллельных сил.

2. После сложения может получиться, что М (R , R" )=0; на основании сделанного ранее замечания из этого следует, что совокупность двух пар (F 1 ,F" 1 , F 2 ,F" 2 )=0.

Теорема 2. Две пары, имеющие геометрически равные моменты, эквивалентны.

Пусть на тело в плоскости I действует пара (F 1 ,F" 1 ) с моментом М 1 . Покажем, что эту пару можно заменить другой с парой (F 2 ,F" 2 ), расположенной в плоскости II , если только ее момент М 2 равен М 1 (согласно определению (см. 1.1) это и будет означать, что пары (F 1 ,F" 1 ) и (F 2 ,F" 2 ) эквивалентны). Прежде всего заметим, что плоскости I и II должны быть параллельны, в частности они могут совпадать. Действительно, из параллельности моментов М 1 и М 2 (в нашем случае М 1 =М 2 ) следует, что плоскости действия пар, перпендикулярные моментам, также параллельны.

Введем в рассмотрение новую пару (F 3 ,F" 3 ) и приложим ее вместе с парой (F 2 ,F" 2 ) к телу, расположив обе пары в плоскости II . Для этого, согласно аксиоме 2 нужно подобрать пару (F 3 ,F" 3 ) с моментом М 3 так, чтобы приложенная система сил (F 2 ,F" 2 , F 3 ,F" 3 ) была уравновешена. Это можно сделать, например, следующим образом: положим F 3 =-F" 1 и F" 3 = -F 1 и совместим точки приложения этих сил с проекциями А 1 и В 1 точек А и В на плоскость II . В соответствии с построением будем иметь: М 3 = -М 1 или, учитывая, что М 1 = М 2 ,

М 2 +М 3 = 0.

Принимая во внимание второе замечание к предыдущей теореме, получим (F 2 ,F" 2 , F 3 ,F" 3 )=0. Таким образом, пары (F 2 ,F" 2 ) и (F 3 ,F" 3 ) взаимно уравновешены и присоединение их к телу не нарушает его состояния (аксиома 2), так, что

(F 1 ,F" 1 )= (F 1 ,F" 1 , F 2 ,F" 2 , F 3 ,F" 3 ). (3.16)

С другой стороны, силы F 1 и F 3 , а также F" 1 и F" 3 можно сложить по правилу сложения параллельных сил, направленных в одну сторону. По модулю все эти силы равны друг другу, поэтому их равнодействующие R и R" должны быть приложены в точке пересечения диагоналей прямоугольника АВВ 1 А 1 ; кроме того, они равны по модулю и направлены в противоположные стороны. Это означает, что они составляют систему, эквивалентную нулю. Итак,

(F 1 ,F" 1 , F 3 ,F" 3 )=(R , R" )=0.

Теперь мы можем записать

(F 1 ,F" 1 , F 2 ,F" 2 , F 3 ,F" 3 )=(F 3 ,F" 3 ). (3.17)

Сравнивая соотношения (3.16) и (3.17), получим (F 1 ,F" 1 )=(F 2 ,F" 2 ), что и требовалось доказать.

Из этой теоремы следует, что пару сил можно перемещать в плоскости ее действия, переносить в параллельную плоскость; наконец, в паре можно менять одновременно силы и плечо, сохраняя лишь направление вращения пары и модуль ее момента (F 1 h 1 = F 2 h 2).

В дальнейшем мы будем широко пользоваться такими эквивалентными преобразованиями пары.

Теорема 3. Две пары, лежащие в пересекающихся плоскостях, эквивалентны одной паре, момент которой равен сумме моментов двух данных пар.

Пусть пары (F 1 ,F" 1 ) и (F 2 ,F" 2 ) расположены в пересекающихся плоскостях I и II соответственно. Пользуясь следствием теоремы 2, приведем обе пары к плечу АВ , расположенному на линии пересечения плоскостей I и II . Обозначим трансформированные пары через (Q 1 ,Q" 1 ) и (Q 2 ,Q" 2 ). При этом должны выполняться равенства

М 1 =М (Q 1 ,Q" 1 )=М (F 1 ,F" 1 ) и М 2 =М (Q 2 ,Q" 2 )=М (F 2 ,F" 2 ).

Сложим по аксиоме 3 силы, приложенные в точках А и В соответственно. Тогда получим R=Q 1 +Q 2 и R"= Q" 1 +Q" 2 . Учитывая, что Q" 1 =-Q 1 и Q" 2 =-Q 2 , получим R=-R" . Таким образом, мы доказали, что система двух пар эквивалентна одной паре (R ,R" ).

Найдем момент М этой пары. На основании формулы (3.13) имеем

М (R ,R" )=ВА× (Q 1 +Q 2 )=ВА× Q 1 +ВА× Q 2 =

=М (Q 1 ,Q" 1 )+М (Q 2 ,Q" 2 )=М (F 1 ,F" 1 )+М (F 2 ,F" 2 )

М=М 1 +М 2 ,

т.е. теорема доказана.

Заметим, что полученный результат справедлив и для пар, лежащих в параллельных плоскостях. По теореме 2 такие пары можно привести к одной плоскости, а по теореме 1 их можно заменить одной парой, момент которой равен сумме моментов составляющих пар.

Доказанные выше теоремы о парах позволяют сделать важный вывод: момент пары является свободным вектором и полностью определяет действие пары на абсолютно твердое тело . В самом деле, мы уже доказали, что если две пары имеют одинаковые моменты (следовательно, лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях), то они друг другу эквивалентны (теорема 2). С другой стороны, две пары, лежащие в пересекающихся плоскостях, не могут быть эквивалентны, ибо это означало бы, что одна из них и пара, противоположная другой, эквивалентны нулю, что невозможно, так как сумма моментов таких пар отлична от нуля.

Таким образом, введенное понятие момента пары чрезвычайно полезно, так как оно полностью отражает механическое действие пары на тело. В этом смысле можно сказать, что момент исчерпывающим образом представляет действие пары на твердое тело.

Для деформируемых тел изложенная выше теория пар неприменима. Две противоположные пары, действующие, например, по торцам стержня, с точки зрения статики твердого тела эквивалентны нулю. Между тем их действие на деформируемый стержень вызывает его кручение, и тем большее, чем больше модули моментов.

Перейдем к решению первой и второй задач статики, когда на тело действуют только пары сил.