Помощь по Теле2, тарифы, вопросы

Оценка статистической значимости параметров и уравнения в целом – это обязательная процедура, которая позволяет сделать ввод о возможности использования построенного уравнения связи для принятия управленческих решений и прогнозирования.

Оценка статистической значимости уравнения регрессии осуществляется с использованием F-критерия Фишера, который представляет собой отношение факторной и остаточных дисперсий, рассчитанных на одну степень свободы.

Факторная дисперсия – объясненная часть вариации признака-результата, то есть обусловленная вариацией тех факторов, которые включены в анализ (в уравнение):

где k – число факторов в уравнении регрессии (число степеней свободы факторной дисперсии); - среднее значение зависимой переменной; - теоретическое (рассчитанное по уравнению регрессии) значение зависимой переменной у i – й единицы совокупности.

Остаточная дисперсия – необъясненная часть вариации признака-результата, то есть обусловленная вариацией прочих факторов, не включенных в анализ.

= , (71)

где - фактическое значение зависимой переменной у i – й единицы совокупности; n-k-1 – число степеней свободы остаточной дисперсии; n – объем совокупности.

Сумма факторной и остаточной дисперсий, как отмечалось выше, есть общая дисперсия признака-результата.

F-критерия Фишера рассчитывается по следующей формуле:

F-критерий Фишера – величина, отражающая соотношение объясненной и необъясненной дисперсий, позволяет ответить на вопрос: объясняют ли включенные в анализ факторы статистическую значимую часть вариации признака-результата. F-критерий Фишера табулирован (входом в таблицу является число степеней свободы факторной и остаточной дисперсий). Если , то уравнение регрессии признается статистически значимым и, соответственно, статистически значим коэффициент детерминации. В противном случае, уравнение – статистически не значимо, т.е. не объясняет существенной части вариации признака-результата.

Оценка статистической значимости параметров уравнения осуществляется на основе t-статистики, которая рассчитывается как отношение модуля параметров уравнения регрессии к их стандартным ошибкам ():

, где ; (73)

, где . (74)

В любой статистической программе расчет параметров всегда сопровождается расчетом значений их стандартных (среднеквадратических) ошибок и t-статистики. Параметр признаются статистически значимым, если фактическое значение t-статистики больше табличного.

Оценка параметров на основе t-статистики, по существу, является проверкой нулевой гипотезы о равенстве генеральных параметров нулю (H 0: =0; H 0: =0;), то есть о не значимости параметров уравнения регрессии. Уровень значимости принятия нулевых гипотез = 1-0,95=0,05 (0,95 – уровень вероятности, как правило, устанавливаемый в экономических расчетах). Если расчетный уровень значимости меньше 0,05 , то нулевая гипотеза отвергается и принимается альтернативная - о статистической значимости параметра.

Проводя оценку статистической значимости уравнения регрессии и его параметров, мы можем получить различное сочетание результатов.

· Уравнение по F-критерию статистически значимо и все параметры уравнения по t-статистике тоже статистически значимы. Данное уравнение может быть использовано как для принятия управленческих решений (на какие факторы следует воздействовать, чтобы получить желаемый результат), так и для прогнозирования поведения признака-результата при тех или иных значениях факторов.

· По F-критерию уравнение статистически значимо, но незначимы отдельные параметры уравнения. Уравнение может быть использовано для принятия управленческих решений (касающихся тех факторов, по которым получено подтверждение статистической значимости их влияния), но уравнение не может быть использовано для прогнозирования.

· Уравнение по F-критерию статистически незначимо. Уравнение не может быть использовано. Следует продолжить поиск значимых признаков-факторов или аналитической формы связи аргументов и отклика.

Если подтверждена статистическая значимость уравнения и его параметров, то может быть реализован, так называемый, точечный прогноз, т.е. рассчитывается вероятное значение признака-результата (y) при тех или иных значениях факторов (x). Совершенно очевидно, что прогнозное значение зависимой переменной не будет совпадать с фактическим ее значением. Это связано, прежде всего, с самой сутью корреляционной зависимости. Одновременно на результат воздействует множество факторов, из которых только часть может быть учтена в уравнении связи. Кроме того, может быть неверно выбрана форма связи результата и факторов (тип уравнения регрессии). Между фактическими значениями признака-результата и его теоретическими (прогнозными) значениями всегда существует различие (). Графически эта ситуация выражается в том, что не все точки поля корреляции лежат на линии регрессии. Лишь при функциональной связи линия регрессии пройдет через все точки поля корреляции. Разность между фактическими и теоретическими значениями результативного признака называют отклонениями или ошибками, или остатками. На основе этих величин и рассчитывается остаточная дисперсия, являющаяся оценкой среднеквадратической ошибки уравнения регрессии. Величина стандартной ошибки используется для расчета доверительных интервалов прогнозного значения признака-результата (Y).

В социально-экономических исследованиях часто приходится работать в условиях ограниченной совокупности, либо с выборочными данными. Поэтому после математических параметров уравнение регрессии необходимо оценить их и уравнение в целом на статистическую значимость, т.е. необходимо убедиться, что полученное уравнение и его параметры сформированы под влиянием неслучайных факторов.

Прежде всего, оценивается статистическая значимость уравнения в целом. Оценка, как правило, проводится с использованием F-критерия Фишера. Расчет F-критерия базируется на правиле сложения дисперсий. А именно, общего дисперсионного признака-результата = дисперсия факторная + дисперсия остаточная.

Фактическая цена

Теоретическая цена
Построив уравнение регрессии можно рассчитать теоретическое значение признака-результата, т.е. рассчитанные по уравнению регрессии с учетом его параметров.

Эти значения будут характеризовать признак-результат, сформировавшийся под влиянием факторов включенных в анализ.

Между фактическими значениями признака-результата и рассчитанными на основе уравнения регрессии всегда существуют расхождения (остатки), обусловленные влиянием прочих факторов, не включенных в анализ.

Разность между теоретическими и фактическими значениями признака-результата называется остатками. Общая вариация признака-результата:

Вариация по признаку-результату, обусловленная вариацией признаков факторов, включенных в анализ оценивается через сопоставления теоретических значений резул. признака и его средних значений. Остаточная вариация через сопоставление теоретических и фактических значений результатирующего признака. Общая дисперсия , остаточная и фактическая имеют разное число степеней свободы.

Общая , п - число единиц в изучаемой совокупности

Фактическая , п - число факторов, включенных в анализ

Остаточная

F-критерий Фишера рассчитывается как отношение к , причем рассчитаны на одну степень свободы.

Использование F-критерия Фишера в качестве оценки статистической значимости уравнения регрессии очень логично. - это результат. признака, обусловленная факторами включенными в анализ, т.е. это доля объясненной результат. признака. - это (вариация) признака результата обусловленная факторами влияние которых не учитывается, т.е. не включенными в анализ.

Т.о. F-критерий призван оценить значимое превышение над . Если несущественно ниже , а тем более, если оно превышает , следовательно, в анализ включены не те факторы, которые действительно влияют на признак-результат.

F-критерий Фишера табулирован, фактическое значение сравнивается с табличным. Если , то уравнение регрессии признается статистически значимым. Если наоборот – уравнение статистически не значимо и не может использоваться на практике, значимость уравнения в целом говорит о статистической значимости показателей корелляции.

После оценки уравнения в целом необходимо оценить статистическую значимость параметров уравнения. Эта оценка осуществляется с использованием t-статистики Стьюдента. t-статистика рассчитывается как отношение параметров уравнения (по модулю) к их стандартной средней квадратической ошибке. Если оценивается однофакторная модель, то рассчитывается 2 статистики.

Во всех компьютерных программах расчет стандартной ошибки и t-статистики для параметров проводится с расчетом самих параметров. T-статистика табулирована. Если значение , то параметр признается статистически значимым, т.е. сформированным под влиянием неслучайных факторов.

Расчет t-статистики по существу означает проверку нулевой гипотезы о незначимости параметра, т.е. равенстве его нулю. При однофакторной модели оценивается 2 гипотезы: и

Уровень значимости принятия нулевой гипотезы зависит от уровня принятой доверительной вероятности. Так если исследователь задает уровень вероятности 95%, уровень значимости принятия будет рассчитываться , следовательно, если уровень значимости ≥ 0,05, то принимается и параметры считаются статистически незначимыми. Если , то отвергается и принимается альтернатива: и .

В пакетах прикладных программ по статистике также приводится уровень значимости принятия нулевых гипотез. Оценка значимости уравнения регрессии и его параметров может дать следующие результаты:

Во-первых, уравнение в целом значимо(по F-критерию) и также статистически значимы все параметры уравнения. Это означает, что полученное уравнение может быть использовано как для принятия управленческих решений, так и для прогнозирования.

Во-вторых, по F-критерию уравнение статистически значимо, но не значим хотя бы один из параметров уравнения. Уравнение может быть использовано для принятия управленческих решений относительно анализируемых факторов, но не может быть использовано для прогнозирования.

В-третьих, уравнение статистически не значимо, либо по F- критерию уравнение значимо, но не значимы все параметры полученного уравнения. Уравнение не может быть использовано не для каких целей.

Чтобы уравнение регрессии можно было признать моделью связи между признаком-результатом и признаками-факторами необходимо чтобы в него были включены все важнейшие факторы, определяющие результат, чтобы содержательная интерпретация параметров уравнения соответствовала теоретически обоснованным связям в изучаемом явлении. Коэффициент детерминации R 2 должен быть > 0,5.

При построении множественного уравнения регрессии целесообразно осуществить оценку по так называемому скорректированному коэффициенту детерминации (R 2). Величина R 2 (как и корелляции) возрастает при увеличение числа факторов включенных в анализ. Особенно завышается значение коэф-в в условиях небольших совокупностей. С целью погасить отрицательное влияние R 2 и корелляции корректируют с учетом числа степеней свободы, т.е. числа свободно варьирующих элементов при включении определенных факторов.

Скорректированный коэф-т детерминации

п –объем совокупности/число наблюдений

k – число факторов включенных в анализ

п-1 – число степеней свободы

(1-R 2) - величина остатка/ необъясненной дисперсии результативного признака

Всегда меньше R 2 . на основе можно сравнивать оценки уравнений с разным числом анализируемых факторов.

34. Задачи изучения динамических рядов.

Ряды динамики называют временными рядами или динамическими рядами. Динамический ряд – это упорядоченная во времени последовательность показателей, характеризующих то или иное явление (объем ВВП с 90 по 98 гг). Целью изучения рядов динамики является выявление закономерности развития изучаемого явления (основной тенденции) и прогнозирование на этой основе. Из определения РД следует, что любой ряд состоит из двух элементов: время t и уровень ряда (те конкретные значения показателя, на основе которого построен ДРяд). ДРяды могут быть 1)моментными – ряды, показатели которых фиксируются на момент времени, на определенную дату, 2)интервальными – ряды, показатели которого получают за какой-то период времени (1.численность населения СПб, 2.объем ВВП за период). Разделение рядов на моментные и интервальные необходимо, поскольку это определяет специфику расчета некоторых показателей ДРядов. Суммирование уровней интервальных рядов дает содержательно интерпретируемый результат, что нельзя сказать о суммировании уровней моментных рядов, поскольку последние содержат повторный счет. Важнейшей проблемой в анализе рядов динамики является проблема сопоставимости уровней ряда. Это понятие очень разноплановое. Уровни должны быть сопоставимы по методам расчета и по территории и охвату единиц совокупности. Если ДРяд строится в стоимостных показателях, то все уровни должны быть представлены или рассчитаны в сопоставимых ценах. При построении интервальных рядов уровни должны характеризовать одинаковые отрезки времени. При построении моментных РядовД уровни должны фиксироваться на одну и ту же дату. ДРяды могут быть полными и неполными. Неполные ряды используются в официальных изданиях (1980,1985,1990,1995,1996,1997,1998,1999…). Комплексный анализ РД включает изучение следующих моментов:

1. расчет показателей изменения уровней РД

2. расчет средних показателей РД

3. выявление основной тенденции ряда, построение трендовых моделей

4. оценка автокорреляции в РД, построение авторегрессионных моделей

5. корреляция РД (изучение связей м/у ДРядами)

6. прогнозирование РД.

35. Показателей изменения уровней временных рядов .

В общем виде РядД может быть представлен:

у – уровень ДР, t – момент или период времени к которому относится уровень (показатель), n – длина ДРяда (число периодов). при изучении ряда динамики рассчитывают следующие показатели: 1. абсолютный прирост, 2. коэффициент роста (темп роста), 3. ускорение, 4. коэффициент прироста (темп прироста), 5. абсолютное значение 1 % прироста. Рассчитываемые показатели могут быть: 1. цепные – получают путем сопоставления каждого уровня ряда с непосредственно предшествующим, 2. базисные – получают путем сопоставления с уровнем, выбранным за базу сравнения (если специально не оговаривается, за базу берется 1ый уровень ряда). 1. Цепные абсолютные приросты: . Показывает на сколько больше или меньше . Цепные абсолютные приросты называют показателями скорости изменения уровней динамического ряда. Базисный абсолютный прирост : . Если уровни ряда представляют собой относительные показатели, выраженные в %-ах, то абсолютный прирост выражается в пунктах изменения. 2. коэффициент роста (темпы роста): Рассчитывается как отношение уровней ряда к непосредственно предшествующим (цепные коэффициенты роста), либо к уровню, принятому за базу сравнения (базисные коэффициенты роста): . Характеризует во сколько раз каждый уровень ряда > или < предшествующего или базисного. На основе коэффициентов роста рассчитываются темпы роста. Это коэффициенты роста, выраженные в %ах: 3. на основе абсолютных приростов рассчитывают показатель – ускорение абсолютных приростов : . Ускорение – абсолютный прирост абсолютных приростов. Оценивает как изменяются сами приросты, они стабильны или принимают ускорение (возрастают). 4. темп прироста – это отношение прироста к базе сравнения. Выражается в %-ах: ; . Темп прироста – это темп роста минус 100%. Показывает на сколько % данный уровень ряда > или < предшествующего либо базисного. 5. абсолютное значение 1% прироста. Рассчитывается как отношение абсолютного прироста к темпу прироста, т.е.: - сотая доля предыдущего уровня. Все эти показатели рассчитываются для оценки степени изменения уровней ряда. Цепные коэффициенты и темпы роста называются показателями интенсивности изменения уровней ДРядов.

2. Расчет средних показателей РД Рассчитывают средние уровни рядов, средние абсолютные приросты, средние темпы роста и средние темпы прироста. Средние показатели рассчитываются с целью обобщения информации и возможности сравнивать уровни и показатели их изменения по различным рядам. 1. средний уровень ряда а) для интервальных временных рядов рассчитывается по средней арифметической простой: , где n – число уровней во временном ряду; б) для моментных рядов средний уровень рассчитывается по специфической формуле, которая называется средней хронологической: . 2. средний абсолютный прирост рассчитывается на основе цепных абсолютных приростов по средней арифметической простой:

. 3. Средний коэффициент роста рассчитывается на основе цепных коэффициентов роста по формуле средней геометрической: . При комментарии средних показателей ДРядов необходимо указывать 2 момента: период, который характеризует анализируемый показатель и временной интервал, за который построен ДРяд. 4. Средний темп роста : . 5. средний темп прироста : .

Оценив параметры a и b , мы получили уравнение регрессии, по которому можно оценить значения y по заданным значениям x . Естественно полагать, что расчетные значения зависимой переменной не будут совпадать с действительными значениями, так как линия регрессии описывает взаимосвязь лишь в среднем, в общем. Отдельные значения рассеяны вокруг нее. Таким образом, надежность получаемых по уравнению регрессии расчетных значений во многом определяется рассеянием наблюдаемых значений вокруг линии регрессии. На практике, как правило, дисперсия ошибок неизвестна и оценивается по наблюдениям одновременно с параметрами регрессии a и b . Вполне логично предположить, что оценка связана с суммой квадратов остатков регрессии. Величина является выборочной оценкой дисперсии возмущений , содержащихся в теоретической модели . Можно показать, что для модели парной регрессии

где - отклонение фактического значения зависимой переменной от ее расчетного значения.

Если , то для всех наблюдений фактические значения зависимой переменной совпадают с расчетными (теоретическими) значениями. Графически это означает, что теоретическая линия регрессии (линия, построенная по функции ) проходит через все точки корреляционного поля, что возможно только при строго функциональной связи. Следовательно, результативный признак у полностью обусловлен влиянием фактора х.

Обычно на практике имеет место некоторое рассеивание точек корреляционного поля относительно теоретической линии регрессии, т. е. отклонения эмпирических данных от теоретических . Этот разброс обусловлен как влиянием фактора х , т.е. регрессией y по х , (такую дисперсию называют объясненной, так как она объясняется уравнением регрессии),так и действием прочих причин (необъясненная вариация, случайная). Величина этих отклонений и лежит в основе расчета показателей качества уравнения.

Согласно основному положению дисперсионного анализа общая сумма квадратов отклонений зависимой переменной y от среднего значения может быть разложена на две составляющие: объясненную уравнением регрессии и необъясненную:

,

где - значения y , вычисленные по уравнению .

Найдем отношение суммы квадратов отклонений, объясненной уравнением регрессии, к общей сумме квадратов:

, откуда

. (7.6)

Отношение части дисперсии, объясненной уравнением регрессии к общей дисперсии результативного признака называется коэффициентом детерминации . Значение не может превзойти единицы и это максимальное значение будет только достигнуто при , т.е. когда каждое отклонение равно нулю и поэтому все точки диаграммы рассеяния в точности лежат на прямой.

Коэффициент детерминации характеризует долю объясненной регрессией дисперсии в общей величине дисперсии зависимой переменной. Соответственно величина характеризует долю вариации (дисперсии) у, необъясненную уравнением регрессии, а значит, вызванную влиянием прочих неучтенных в модели факторов. Чем ближе к единице, тем выше качество модели.

При парной линейной регрессии коэффициент детерминации равен квадрату парного линейного коэффициента корреляции: .

Корень из этого коэффициента детерминации есть коэффициент (индекс) множественной корреляции, или теоретическое корреляционное отношение.

Для того чтобы узнать, действительно ли полученное при оценке регрессии значение коэффициента детерминации отражает истинную зависимость между y и x выполняют проверку значимости построенного уравнения в целом и отдельных параметров. Проверка значимости уравнения регрессии позволяет узнать, пригодно уравнение регрессии для практического использования, например, для прогноза или нет.

При этом выдвигают основную гипотезу о незначимости уравнения в целом, которая формально сводится к гипотезе о равенстве нулю параметров регрессии, или, что то же самое, о равенстве нулю коэффициента детерминации: . Альтернативная гипотеза о значимости уравнения - гипотеза о неравенстве нулю параметров регрессии или о неравенстве нулю коэффициента детерминации: .

Для проверки значимости модели регрессии используют F- критерий Фишера, вычисляемый как отношение суммы квадратов (в расчете на одну независимую переменную) к остаточной сумме квадратов (в расчете на одну степень свободы):

, (7.7)

где k – число независимых переменных.

После деления числителя и знаменателя соотношения (7.7) на общую сумму квадратов отклонений зависимой переменной, F- критерий может быть эквивалентно выражен на основе коэффициента :

.

Если нулевая гипотеза справедлива, то объясненная уравнением регрессии и необъясненная (остаточная) дисперсии не отличаются друг от друга.

Расчетное значение F- критерий сравнивается с критическим значением, которое зависит от числа независимых переменных k , и от числа степеней свободы (n-k-1) . Табличное (критическое) значение F- критерия – это максимальная величина отношений дисперсий, которое может иметь место при случайном расхождении их для заданного уровня вероятности наличия нулевой гипотезы. Если расчетное значение F- критерий больше табличного при заданном уровне значимости, то нулевая гипотеза об отсутствии связи отклоняется и делается вывод о существенности этой связи, т.е. модель считается значимой.

Для модели парной регрессии

.

В линейной регрессии обычно оценивается значимость не только уравнения в целом, но и отдельных его коэффициентов. Для этого определяется стандартная ошибка каждого из параметров. Стандартные ошибки коэффициентов регрессии параметров определяются по формулам:

, (7.8)

(7.9)

Стандартные ошибки коэффициентов регрессии или среднеквадратические отклонения, рассчитанные по формулам (7.8,7.9), как правило, приводятся в результатах расчета модели регрессии в статистических пакетах.

Опираясь на среднеквадратические ошибки коэффициентов регрессии, проверяют значимость этих коэффициентов используя обычную схему проверки статистических гипотез.

В качестве основной гипотезы выдвигают гипотезу о незначимом отличии от нуля «истинного» коэффициента регрессии. Альтернативной гипотезой при этом является гипотеза обратная, т. е. о неравенстве нулю «истинного» параметра регрессии. Проверка этой гипотезы осуществляется с помощью t- статистики, имеющей t -распределение Стьюдента:

Затем расчетные значения t- статистики сравниваются с критическими значениями t- статистики, определяемыми по таблицам распределения Стьюдента. Критическое значение определяется в зависимости от уровня значимости α и числа степеней свободы, которое равно (n-k-1), п - число наблюдений, k - число независимых переменных. В случае линейной парной регрессии число степеней свободы равно (п- 2). Критическое значение также может быть вычислено на компьютере с помощью встроенной функции СТЬЮДРАСПОБР пакета Ехсеl.

Если расчетное значение t- статистики больше критического, то основную гипотезу отвергают и считают, что с вероятностью (1-α) «истинный» коэффициент регрессии значимо отличается от нуля, что является статистическим подтверждением существования линейной зависимости соответствующих переменных.

Если расчетное значение t- статистики меньше критического, то нет оснований отвергать основную гипотезу, т. е. «истинный» коэффициент регрессии незначимо отличается от нуля при уровне значимости α . В этом случае фактор, соответствующий этому коэффициенту должен быть исключен из модели.

Значимость коэффициента регрессии можно установить методом построения доверительного интервала. Доверительный интервал для параметров регрессии a и b определяют следующим образом:

,

,

где определяется по таблице распределения Стьюдента для уровня значимости α и числа степеней свободы (п- 2) для парной регрессии.

Поскольку коэффициенты регрессии в эконометрических исследованиях имеют четкую экономическую интерпретацию, доверительные интервалы не должны содержать нуль. Истинное значение коэффициента регрессии не может одновременно содержать положительные и отрицательные величины, в том числе и нуль, иначе мы получаем противоречивые результаты при экономической интерпретации коэффициентов, чего не может быть. Таким образом, коэффициент значим, если полученный доверительный интервал не накрывает нуль.

Пример 7.4. По данным примера 7.1:

а) Построить парную линейную модель регрессии зависимости прибыли от реализации от отпускной цены с использованием программных средств обработки данных.

б) Оценить значимость уравнения регрессии в целом, используя F- критерий Фишера при α=0,05.

в) Оценить значимость коэффициентов модели регрессии, используя t -критерий Стьюдента при α=0,05 и α=0,1.

Для проведения регрессионного анализа используем стандартную офисную программу EXCEL. Построение регрессионной модели проведем с помощью инструмента РЕГРЕССИЯ настройки ПАКЕТ АНАЛИЗА (рис.7.5), запуск которого осуществляется следующим образом:

СервисАнализ данныхРЕГРЕССИЯОК.

Рис.7.5. Использование инструмента РЕГРЕССИЯ

В диалоговом окне РЕГРЕССИЯ в поле Входной интервал Y необходимо ввести адрес диапазона ячеек, содержащих зависимую переменную. В поле Входной интервал Х нужно ввести адреса одного или нескольких диапазонов, содержащих значения независимых переменных Флажок Метки в первой строке – устанавливается в активное состояние, если выделены и заголовки столбцов. На рис. 7.6. показана экранная форма вычисления модели регрессии с помощью инструмента РЕГРЕССИЯ.

Рис. 7.6. Построение модели парной регрессии с помощью

инструмента РЕГРЕССИЯ

В результате работы инструмента РЕГРЕСИЯ формируется следующий протокол регрессионного анализа (рис.7.7).

Рис. 7.7. Протокол регрессионного анализа

Уравнение зависимости прибыли от реализации от отпускной цены имеет вид:

Оценку значимости уравнения регрессии проведем используя F- критерий Фишера. Значение F- критерий Фишера возьмем из таблицы «Дисперсионный анализ» протокола EXCEL (рис. 7.7.). Расчетное значение F- критерия 53,372. Табличное значение F- критерия при уровне значимости α=0,05 и числе степеней свободы составляет 4,964. Так как , то уравнение считается значимым.

Расчетные значения t -критерия Стьюдента для коэффициентов уравнения регрессии приведены в результативной таблице (рис. 7.7). Табличное значение t -критерия Стьюдента при уровне значимости α=0,05 и 10 степенях свободы составляет 2,228. Для коэффициента регрессии a , следовательно коэффициент a не значим. Для коэффициента регрессии b , следовательно, коэффициент b значим.

Проверить значимость параметров уравнения регрессии можно, используя t-статистику .

Задание:
По группе предприятий, выпускающих один и тот же вид продукции, рассматриваются функции издержек:
y = α + βx;
y = α x β ;
y = α β x ;
y = α + β / x;
где y – затраты на производство, тыс. д. е.
x – выпуск продукции, тыс. ед.

Требуется:
1. Построить уравнения парной регрессии y от x:

• линейное;
• степенное;
• показательное;
• равносторонней гиперболы.

2. Рассчитать линейный коэффициент парной корреляции и коэффициент детерминации . Сделать выводы.
3. Оценить статистическую значимость уравнения регрессии в целом.
4. Оценить статистическую значимость параметров регрессии и корреляции.
5. Выполнить прогноз затрат на производство при прогнозном выпуске продукции, составляющем 195 % от среднего уровня.
6. Оценить точность прогноза, рассчитать ошибку прогноза и его доверительный интервал.
7. Оценить модель через среднюю ошибку аппроксимации.

Решение :

1. Уравнение имеет вид y = α + βx
1. Параметры уравнения регрессии.
Средние значения

Дисперсия

Среднеквадратическое отклонение

Коэффициент корреляции

Связь между признаком Y фактором X сильная и прямая
Уравнение регрессии

Коэффициент детерминации
R 2 = 0.94 2 = 0.89, т.е. в 88.9774 % случаев изменения х приводят к изменению y. Другими словами - точность подбора уравнения регрессии - высокая

x	y	x 2	y 2	x ∙ y	y(x)	(y-y cp) 2	(y-y(x)) 2	(x-x p) 2
78	133	6084	17689	10374	142.16	115.98	83.83	1
82	148	6724	21904	12136	148.61	17.9	0.37	9
87	134	7569	17956	11658	156.68	95.44	514.26	64
79	154	6241	23716	12166	143.77	104.67	104.67	0
89	162	7921	26244	14418	159.9	332.36	4.39	100
106	195	11236	38025	20670	187.33	2624.59	58.76	729
67	139	4489	19321	9313	124.41	22.75	212.95	144
88	158	7744	24964	13904	158.29	202.51	0.08	81
73	152	5329	23104	11096	134.09	67.75	320.84	36
87	162	7569	26244	14094	156.68	332.36	28.33	64
76	159	5776	25281	12084	138.93	231.98	402.86	9
115	173	13225	29929	19895	201.86	854.44	832.66	1296
		0	0	0	16.3	20669.59	265.73	6241
1027	1869	89907	294377	161808	1869	25672.31	2829.74	8774

Примечание: значения y(x) находятся из полученного уравнения регрессии:
y(1) = 4.01*1 + 99.18 = 103.19
y(2) = 4.01*2 + 99.18 = 107.2
... ... ...

2. Оценка параметров уравнения регрессии
Значимость коэффициента корреляции

По таблице Стьюдента находим Tтабл
T табл (n-m-1;α/2) = (11;0.05/2) = 1.796
Поскольку Tнабл > Tтабл, то отклоняем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициента корреляции статистически - значим.

Анализ точности определения оценок коэффициентов регрессии





S a = 0.1712
Доверительные интервалы для зависимой переменной

Рассчитаем границы интервала, в котором будет сосредоточено 95% возможных значений Y при неограниченно большом числе наблюдений и X = 1
(-20.41;56.24)
Проверка гипотез относительно коэффициентов линейного уравнения регрессии
1) t-статистика


Статистическая значимость коэффициента регрессии a подтверждается

Статистическая значимость коэффициента регрессии b не подтверждается
Доверительный интервал для коэффициентов уравнения регрессии
Определим доверительные интервалы коэффициентов регрессии, которые с надежность 95% будут следующими:
(a - t S a ; a + t S a)
(1.306;1.921)
(b - t b S b ; b + t b S b)
(-9.2733;41.876)
где t = 1.796
2) F-статистики


Fkp = 4.84
Поскольку F > Fkp, то коэффициент детерминации статистически значим

Проверку значимости уравнения регрессии произведем на основе

F-критерия Фишера:

Значение F-критерия Фишера можно найти в таблице Дисперсионный анализ протокола Еxcel. Табличное значение F-критерия при доверительной вероятности α = 0,95 и числе степеней свободы, равном v1 = k = 2 и v2 = n – k – 1= 50 – 2 – 1 = 47, составляет 0,051.

Поскольку Fрасч > Fтабл, уравнение регрессии следует признать значимым, то есть его можно использовать для анализа и прогнозирования.

Оценку значимости коэффициентов полученной модели, используя результаты отчета Excel, можно осуществить тремя способами.

Коэффициент уравнения регрессии признается значимым в том случае, если:

1) наблюдаемое значение t-статистики Стьюдента для этого коэффициента больше, чем критическое (табличное) значение статистики Стьюдента (для заданного уровня значимости, например α = 0,05, и числа степеней свободы df = n – k – 1, где n – число наблюдений, а k – число факторов в модели);

2) Р-значение t-статистики Стьюдента для этого коэффициента меньше, чем уровень значимости, например, α = 0,05;

3) доверительный интервал для этого коэффициента, вычисленный с некоторой доверительной вероятностью (например, 95%), не содержит ноль внутри себя, то есть нижняя 95% и верхняя 95% границы доверительного интервала имеют одинаковые знаки.

Значимость коэффициентов a 1 и a 2 проверим по второму и третьему способам:

P-значение (a 1 ) = 0,00 < 0,01 < 0,05.

Р-значение (a 2 ) = 0,00 < 0,01 < 0,05.

Следовательно, коэффициенты a 1 и a 2 значимы при 1%-ном уровне, а тем более при 5%-ном уровне значимости. Нижние и верхние 95% границы доверительного интервала имеют одинаковые знаки, следовательно, коэффициенты a 1 и a 2 значимы.

Определение объясняющей переменной, от которой

Может зависеть дисперсия случайных возмущений.

Проверка выполнения условия гомоскедастичности

Остатков по тесту Гольдфельда–Квандта

При проверке предпосылки МНК о гомоскедастичности остатков в модели множественной регрессии следует вначале определить, по отношению к какому из факторов дисперсия остатков более всего нарушена. Это можно сделать в результате визуального исследования графиков остатков, построенных по каждому из факторов, включенных в модель. Та из объясняющих переменных, от которой больше зависит дисперсия случайных возмущений, и будет упорядочена по возрастанию фактических значений при проверке теста Гольдфельда–Квандта. Графики легко получить в отчете, который формируется в результате использования инструмента Регрессия в пакете Анализ данных).

Графики остатков по каждому из факторов двухфакторной модели

Из представленных графиков видно, что дисперсия остатков более всего нарушена по отношению к фактору Краткосрочная дебиторская задолженность.

Проверим наличие гомоскедастичности в остатках двухфакторной модели на основе теста Гольдфельда–Квандта.

Упорядочим переменные Y и X2 по возрастанию фактора Х4 (в Excel для этого можно использовать команду Данные – Сортировка по возрастанию Х4):

Данные, отсортированные по возрастанию X4:

1. Уберем из середины упорядоченной совокупности С = 1/4 · n = 1/4 · 50 = 12,5 (12) значения. В результате получим две совокупности соответственно с малыми и большими значениями Х4.

   Для каждой совокупности выполним расчеты:

Сумма					111234876536,511
					966570797682,068
					455748832843,413
					232578961097,877
					834043911651,192
					193722998259,505
					1246409153509,290
					31419681912489,100
					2172804245053,280
					768665257272,099
					2732445494273,330
					163253156450,331
					18379855056009,900
					10336693841766,000
Сумма					69977593738424,600

Уравнения для совокупностей

Y = -27275,746 + 0,126X2 + 1,817 X4

Y = 61439,511 + 0,228X2 + 0,140X4

Результаты данной таблицы получены с помощью инструмента Регрессия поочередно к каждой из полученных совокупностей.

4. Найдем отношение полученных остаточных сумм квадратов

(в числителе должна быть большая сумма):

5. Вывод о наличии гомоскедастичности остатков делаем с помощью F-критерия Фишера с уровнем значимости α = 0,05 и двумя одинаковыми степенями свободы k1 = k2 = == 17

где р – число параметров уравнения регрессии:

Fтабл (0,05; 17; 17) = 9,28.

Так как Fтабл > R ,то подтверждается гомоскедастичность в остатках двухфакторной регрессии.