Построения сечений многогранников. Построение сечений многогранника на примере призмы

Вся история геометрии и некоторых других разделов математики тесно связана с развитием теории геометрических построений. Важнейшие аксиомы геометрии, сформированные Евклидом около 300 года до нашей эры, ясно показывают, какую роль сыграли геометрические построения в формировании геометрии.

Есть в школьной геометрии особые темы, которые ждешь с нетерпением, предвкушая встречу с невероятно красивым материалом. К таким темам можно отнести "Многогранники и построение их сечений”. Здесь не только открывается удивительный мир геометрических тел, обладающих неповторимыми свойствами, но и интересные научные гипотезы. И тогда урок геометрии становится своеобразным исследованием неожиданных сторон привычного школьного предмета.

На уроках геометрии в этом году мы прошли тему “Построение сечений многогранников”. В рамках программы мы изучили один метод построения сечений, но мне стало интересно, а какие методы ещё существуют.

Цель моей работы : Изучить все методы построения сечений многогранников.

Ни одни геометрические тела не обладают таким совершенством и красотой, как многогранники. "Многогранников вызывающе мало, - написал когда-то Л. Кэролл, - но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук".

В настоящее время теория геометрических построений представляет обширную и глубоко развитую область математики, связанную с решением разнообразных принципиальных вопросов, уходящих в другие ветви математики.

История начертательной геометрии

Еще в глубокой древности человек чертил и рисовал на скалах, камнях, стенах и предметах домашнего обихода изображения вещей, деревьев, животных и людей. Он делал это для удовлетворения своих потребностей, в том числе эстетических. При этом основное требование к таким изображениям заключалось в том, чтобы изображение вызывало правильное зрительное представление о форме изображаемого предмета.

С ростом практических и технических применений изображений (в строительстве зданий и других гражданских и военных сооружений и т. п.) к ним стали предъявлять и такие требования, чтобы по изображению можно было судить о геометрических свойствах, размерах и взаиморасположении отдельных элементов определенного предмета. О таких требованиях можно судить по многим памятникам древности, уцелевшим до наших дней. Однако строгие геометрические обоснованные правила и методы изображения пространственных фигур (с соблюдением перспективы) стали систематически разрабатывать художники, архитекторы и скульпторы лишь в эпоху Возрождения: Леонардо да Винчи, Дюрер, Рафаэль, Микеланджело, Тициан и др.

Начертательная геометрия как наука была создана в конце XVIII века великим французским геометром и инженером Гаспаром Монжем (1746 – 1818). В 1637 г. французский геометр и философ Рене Декарт (1596 – 1650) создал метод координат и заложил основы аналитической геометрии, а его соотечественник, инженер и математик Жирар Дезаг (1593 – 1662), использовал этот метод координат для построения перспективных проекций и обосновал теорию аксонометрических проекций.

В XVII веке в России успешно развивались технические чертежи, выполненные в виде планов и профилей в масштабе. Здесь в первую очередь следует назвать чертежи выдающегося русского механика и изобретателя И.П. Кулибина (1735 – 1818). В его проекте деревянного арочного моста впервые были использованы ортогональные проекции (1773). (Ортогональное проектирование плоскости на лежащую в ней прямую или пространства на плоскость – это частный случай параллельного проектирования, в котором направление проекции перпендикулярно прямой или плоскости, на которую проектируют.)

Большой вклад в развитие ортогональных проекций внес французский инженер А. Фрезье (1682 –1773), который впервые рассмотрел проецирование объекта на две плоскости – горизонтальную и фронтальную.

Величайшей заслугой Г. Монжа явилось обобщение всех научных трудов его предшественников, всей теории о методах изображения пространственных фигур и создание единой математической науки об ортогональном проецировании – начертательной геометрии.

Рождение этой новой науки почти совпало с основанием в Петербурге первого в России высшего транспортного учебного заведения – Института Корпуса инженеров путей сообщения (2 декабря 1809 г.)

Выпускники этого института, его профессора и ученые внесли существенный вклад в развитие геометрических методов изображения, в теорию и практику начертательной геометрии.

Определения многогранников

В стереометрии изучаются фигуры в пространстве, называемые телами . Наглядно (геометрическое) тело надо представлять себе как часть пространства, занятую физическим телом и ограниченную поверхностью.

Многогранник - это такое тело, поверхность которого состоит из нескольких плоских многоугольников. Многогранник называется выпуклым , если он расположен по одну сторону плоскости каждого плоского многоугольника на его поверхности. Общая часть такой плоскости и поверхности выпуклого многогранника называется гранью . Грани выпуклого многогранника являются плоскими выпуклыми многоугольниками. Стороны граней называются ребрами многогранника , а вершины - вершинами многогранника.

Сечением многогранника плоскостью называется геометрическая фигура, представляющая собой множество всех точек пространства, принадлежащих одновременно данным многограннику и плоскости; плоскость при этом называется секущей плоскостью.

Поверхность многогранника состоит из ребер, отрезков и граней плоских многоугольников. Так как прямая и плоскость пересекаются в точке, а две плоскости - по прямой, то сечением многогранника плоскостью является плоский многоугольник ; вершинами этого многоугольника служат точки пересечения секущей плоскости с ребрами многогранника, а сторонами - отрезки, по которым секущая плоскость пересекает его грани. Это означает, что для построения искомого сечения данного многогранника плоскостью α достаточно построить точки ее пересечения с ребрами многогранника. Затем последовательно соединить отрезками эти точки, при этом выделить сплошными линиями, видимые и штриховыми невидимые стороны полученного многоугольника сечения.

III. Методы построения сечений многогранников

Метод сечений многогранников в стереометрии используется в задачах на построение. В его основе лежит умение строить сечение многогранника и определять вид сечения.

Данный материал характеризуется следующим особенностями:

Метод сечений применяется только для многогранников, так как различные сложные (наклонные) виды сечений тел вращения не входят в программу средней школы.
В задачах используются в основном простейшие многогранники.
Задачи представлены в основном без числовых данных, чтобы создать возможность их многовариантного использования.

Чтобы решить задачу построения сечения многогранника ученик должен знать:

Что значит построить сечение многогранника плоскостью;
Как могут располагаться относительно друг друга многогранник и плоскость;
Как задается плоскость;
Когда задача на построение сечения многогранника плоскостью считается решенной.

Поскольку плоскость определяется:

Тремя точками;
Прямой и точкой;
Двумя параллельными прямыми;
Двумя пересекающимися прямыми,

Построение плоскости сечения проходит в зависимости от задания этой плоскости. Поэтому все способы построения сечений многогранников можно разделить на методы.

3.1 Построение сечений многогранников на основе системы аксиом стереометрии

Задача 1 . Постройте сечение пирамиды РАВС плоскостью α = (МКH), где М, К и Н- внутренние точки соответственно ребер РС, РВ и АВ (рис. 1, а).

Решение .

1-й шаг . Точки М и K лежат в каждой из двух плоскостей α и РВС. Поэтому по аксиоме пересечения двух плоскостей плоскость α пересекает плоскость РВС по прямой МК. Следовательно, отрезок МК - одна из сторон искомого сечения (рис. 1, б).

2-й шаг . Аналогично, отрезок КН - другая сторона искомого сечения (рис. 1, в).

3-й шаг . Точки М и Н не лежат одновременно ни в одной из граней пирамиды РАВС, поэтому отрезок МН не является стороной сечения этой пирамиды. Прямые КН и РА лежат в плоскости грани АВР и пересекаются. Построим точку T= КН ∩АР (рис. 1, г).

Поскольку прямая КН лежит в плоскости α, то и точка T лежит в плоскости α. Теперь мы видим, что плоскости α и АРС имеют общие точки М и T. Следовательно, по аксиоме пересечения двух плоскостей плоскость α и плоскость АРС пересекаются по прямой МТ, которая, в свою очередь, пересекает ребро АС в точке R (рис. 1, д).

4-й шаг . Теперь так же, как в шаге 1, устанавливаем, что плоскость α пересекает грани АСР и АВС по отрезкам MR и HR соответственно. Следовательно, искомое сечение - четырехугольник MKHR (рис. 1, е).

Рис. 2

Задача 2. Постройте сечение пирамиды MABCD плоскостью α = (КНР), где K, H и P - внутренние точки ребер соответственно МА, МВ и MD (рис. 2, а).

Решение. Первые два шага аналогичны шагам 1 и 2 предыдущей задачи. В результате получим стороны КР и КН (рис. 2, б) искомого сечения. Построим остальные вершины и стороны многоугольника - сечения.

3-й шаг . Продолжим отрезок КР до пересечения с прямой AD в точке F (рис. 2, в). Так как прямая КР лежит в секущей плоскости α, то точка F= КР ∩ AD = КР ∩ (АВС) является общей для плоскостей α и АВС.

4-й шаг . Продолжим отрезок КН до пересечения с прямой АВ в точке L (рис. 2, г). Так как прямая КН лежит в секущей плоскости α, то точка L = КН ∩ АВ = КН ∩ (АВС) является общей для плоскостей α и АВС.

Таким образом , точки F и L являются общими для плоскостей α и АВС. Это означает, что плоскость α пересекает плоскость АВС основания пирамиды по прямой FL.

5-й шаг . Проведем прямую FL. Эта прямая пересекает ребра ВС и DС соответственно в точках R и T (рис. 2, д), которые служат вершинами искомого сечения. Значит, плоскость α пересекает грань основания ABCD по отрезку RT - стороне искомого сечения.

6-й шаг . Теперь проводим отрезки RH и РТ (рис. 2, е), по которым плоскость α пересекает грани ВМС и MCD данной пирамиды. Получаем пятиугольник РКНRТ - искомое сечение пирамиды MABCD (рис. 2, е).

Рассмотрим более сложную задачу.

Задача 3 . Постройте сечение пятиугольной пирамиды PABCDE плоскостью α = (KQR), где K, Q - внутренние точки ребер соответственно РА и РС, а точка R лежит внутри грани DPE (рис. 3, а).

Решение . Прямые (QK и АС лежат в одной плоскости АСР (по аксиоме прямой и плоскости) и пересекаются в некоторой точке T1, (рис. 3 б), при этом T1 є α, так как QК є α.

Прямая РR пересекает DE в некоторой точке F (рис. 3, в), которая является точкой пересечения плоскости АРR и стороны DE основания пирамиды. Тогда прямые КR и АF лежат в одной плоскости АРR и пересекаются в некоторой точке Т2 (рис. 3, г), при этом Т2 є α, как точка прямой KR є α (по аксиоме прямой и плоскости).

Получили: прямая Т1 Т2 лежит в секущей плоскости α и в плоскости основания пирамиды (по аксиоме прямой и плоскости), при этом прямая пересекает стороны DE и АЕ основания ABCDE пирамиды соответственно в точках М и N (рис. 3, д), которые являются точками пересечения плоскости α с ребрами DE и АЕ пирамиды и служат вершинами искомого сечения.

Далее , прямая MR лежит в плоскости грани DPE и в секущей плоскости α (по аксиоме прямой и плоскости), пересекая при этом ребро PD в некоторой точке Н - еще одной вершине искомого сечения (рис. 3, е).

Далее, построим точку Т3 - Т1Т2 ∩ АВ (рис. 3, ж), которая, как точка прямой Т1Т2 є α, лежит в плоскости а (по аксиоме прямой и плоскости). Теперь плоскости грани РАВ принадлежат две точки Т3 и К секущей плоскости α, значит, прямая Т3К - прямая пересечения этих плоскостей. Прямая Т3К пересекает ребро РВ в точке L (рис. 3, з), которая служит очередной вершиной искомого сечения.

Рис. 3

Таким образом, «цепочка» последовательности построения искомого сечения такова:

1 . Т1 = QK ∩АС;

2 . F = PR ∩ DE;

3. Т2 = KR ∩ AF;

4 . М = Т1Т2 ∩ DE;

5 . N = Т1Т2 ∩ АЕ;

6 . Н = MR ∩ PD;

7. T3 = Т1Т2 ∩ АВ;

8 . L = T3K ∩ PB.

Шестиугольник MNKLQH - искомое сечение.

Сечение пирамиды на рис. 1 и сечение куба на рис. 2 построены на основании лишь аксиом стереометрии.

Вместе с тем сечение многогранника, имеющего параллельные грани (призма, параллелепипед, куб), можно строить, используя свойства параллельных плоскостей.

3.2 Метод следов в построении плоских сечений многогранников

Прямая, по которой секущая плоскость α пересекает плоскость основания многогранника, называется следом плоскости α в плоскости этого основания.

Из определения следа получаем: в каждой его точке пересекаются прямые, одна из которых лежит в секущей плоскости, другая - в плоскости основания. Именно это свойство следа используют при построении плоских сечений многогранников методом следов. Причем в секущей плоскости, удобно использовать такие прямые, которые пересекают ребра многогранника.

Сначала секущую плоскость зададим ее следом в плоскости основания призмы (пирамиды) и точкой, принадлежащей поверхности призмы (пирамиды).

Задача 1 . Построить сечение призмы АВСВЕА1В1С1D1Е1 плоскостью α, которая задана следом l в плоскости АВС основания призмы и точкой М, принадлежащей ребру DD1.

Решение. Анализ . Предположим, что пятиугольник MNPQR - искомое сечение (рис. 4). Для построения этого плоского пятиугольника достаточно построить его вершины N, P, Q, R (точка М дана) - точки пересечения секущей плоскости α с ребрами соответственно СС1, ВB1, АА1, ЕЕ1 данной призмы.

Е1 D1

Для построения точки N =α ∩ СС1 достаточно построить прямую пересечения секущей плоскости α с плоскостью грани СDD1C1. Для этого, в свою очередь, достаточно построить в плоскости этой грани еще одну точку, принадлежащую секущей плоскости α. Как построить такую точку?

Так как прямая l лежит в плоскости основания призмы, то она может пересекать плоскость грани СDD1C1 лишь в точке, которая принадлежит прямой CD = (CDD1) ∩ (АВС), т.е. точка X = l ∩ СD = l ∩ (CDD1) принадлежит секущей плоскости α. Таким образом, для построения точки N = α ∩ СС1 достаточно построить точку X = l ∩ СD.

Аналогично, для построения точек Р= α ∩ ВВ1, Q = α ∩ АА1 и R = α ∩ ЕЕ1 достаточно построить соответственно точки: У = l ∩ ВС, Z = 1 ∩ АВ и Т =1 ∩ АЕ.

Построение . Строим (рис. 5):

1. X = l ∩ СD (рис. 5, б);

2. N = МХ ∩ СС1 (рис. 5, в);

3. У = l ∩ ВС (рис. 5, г);

4. Р = NY ∩ ВВ1 (рис. 5, д);

5. Z = 1 ∩ АВ (рис. 5, е);

6. Q= РZ ∩ АА1 (рис. 5, ж);

7. T= l ∩ АЕ (рис. 5, з);

8. R= QT ∩ ЕЕ1 (рис. 5, и).

Пятиугольник MNPQR - искомое сечение (рис. 5, к).

Доказательство. Так как прямая l - след секущей плоскости α, то точки X = l ∩ СD, Y = l ∩ ВС, Z = 1 ∩ АВ и T= l ∩ АЕ принадлежат этой плоскости.

Поэтому имеем :

М Є α, X Є α => МХ є α, тогда МХ ∩ СС1 = N є α , значит, N = α ∩ СС1;

N Є α, Y Є α => NY Є α, тогда NY ∩ ВВ1= Р Є α, значит, Р = α ∩ ВВ1;

Р Є α, Z Є α => РZ Є α, тогда PZ ∩ AА1 = Q Є α, значит, Q = α ∩ АA1;

Q Є α, T Є α => QТ Є α, тогда QТ ∩ EЕ1 =R Є α, значит, R = α ∩ ЕЕ1.

Следовательно, MNPQR - искомое сечение.

Исследование. След l секущей плоскости α не пересекает основание призмы, а точка М секущей плоскости принадлежит боковому ребру DD1 призмы. Поэтому секущая плоскость α не параллельна боковым ребрам. Следовательно, точки N, Р, Q и R пересечения этой плоскости с боковыми ребрами призмы (или продолжениями этих ребер) всегда существуют. А поскольку, кроме того, точка М не принадлежит следу l, то определяемая ими плоскость α единственна. Это означает, что задача имеет (всегда) единственное решение.

3.3 Метод внутреннего проектирования в построении плоских сечений многогранников

В некоторых учебных пособиях метод построения сечений много-гранников, ко¬торый мы сейчас будем рассматривать, называют методом внутреннего проекти¬рования или методом соответствий, или методом диа-гональных сечений.

Задача 1 . Постройте сечение пирамиды PABCDE плоскостью α = (МFR), если точки М, F и R являются внутренними точками ребер соответ-ственно РА, РС и РЕ. (Рис. 6)

Решение . Плоскость основания пирамиды обозначим β. Для построе-ния искомого сечения построим точки пересечения секущей плоскости α с ребрами пирамиды.

Построим точку пересечения секущей плоскости с ребром РD данной пирамиды.

Плоскости APD и CPE пересекают плоскость β по прямым соответ-ственно АD и СЕ, которые пересекаются в некоторой точке К. Прямая РК=(АРD) ∩(СРЕ) пересекает прямую FR є α в некоторой точке К1: К1 = РК ∩ FR, при этом К1 є α. Тогда: М є α, К1 є α => прямая МK є а. Поэтому точка Q = МК1 ∩ РD есть точка пересечения ребра РD и секущей плоскости: Q =α ∩ PD. Точка Q- вершина искомого сечения. Аналогично строим точку пересечения плоскости α и ребра РВ. Плоскости ВРЕ и АРD пересекают плоскость β по прямым соответственно ВЕ и АD, которые пересекаются в точке Н. Прямая РН = (ВРЕ) ∩ (АРD) пересекает прямую МQ в точке Н1.Тогда прямая RН1 пересекает ребро РВ в точке N = α ∩ РВ - вершине сечения.

Таким образом , последовательность шагов построения искомого сечения такова:

1 . К = АD ∩ ЕС; 2 . К1 = РК ∩ RF;

3 . Q = МК1 ∩ РD; 4. H = BE ∩ АD;

5 . Н1 = РН ∩ МQ; 6 . N = RН1 ∩ РВ.

Пятиугольник MNFQR - искомое сечение.

3.4 Комбинированный метод в построении плоских сечений многогранников

Сущность комбинированного метода по¬строения сечений многогранников состоит в следующем. На некоторых этапах по¬строения сечения применяется или метод следов, или метод внутреннего проектирования, а на других этапах построения этого же сечения используются изученные теоремы о параллельности, перпендикулярности прямых и плоскостей.

Для иллюстрации применения этого метода рассмотрим следующую задачу.

Задача1 .

Постройте сечение параллелепипеда АВСDА1В1С1D1 плоскостью α, заданной точками Р, Q и R, если точка Р лежит на диагонали А1C1, точка Q на ребре ВВ1 и точка R на ребре DD1. (Рис. 7)

Решение

Решим эту задачу с применением метода следов и теорем о параллельности прямых и плоскостей.

Прежде всего, построим след секущей плоскости α = (РQR) на плоско-сти АВС Для этого строим точки Т1 = РQ ∩ Р1В (где PP1 ║AA1,P1є AC) и T2 = RQ ∩ ВD. Построив след Т1Т2, замечаем, что точка Р лежит в плоскости А1B1C1, которая параллельна плоскости АВС. Это означает, что плоскость α пересекает плоскость А1B1C1 по прямой, проходящей через точку Р и парал-лельной прямой Т1Т2. Проведем эту прямую и обозначим через М и Е точки ее пересечения с ребрами соответственно А1B1 и А1D1 Получаем: М = α ∩ А1B1, Е =α∩ А1D1. Тогда отрезки ЕR и QМ являются сторонами искомого сечения.

Далее, так как плоскость ВСС1 параллельна плоскости грани ADD1A1, то плоскость α пересекает грань ВСC1B1 по от резку QF (F= α ∩ СС1), параллельному прямой ЕR. Таким образом, пятиугольник ERFQM - искомое сечение. (Точку F можно получить, проведя RF║ MQ)

Решим эту задачу, применяя метод внутреннего проектирования и теоремы о параллельности прямых и плоскостей. (Рис. 8)

Рис. 8

Пусть Н=АС ∩ ВD. Проведя прямую НН1 параллельно ребру ВВ1 (Н1 є RQ), построим точку F: F=РН1 ∩ CC1.Tочка F является точкой пересечения плоскости α с ребром СС1, так как РН1 є α. Тогда отрезки RF и QF, по которым плоскость α пересекает соответственно грани CС1D1D и ВСС1В1 данного параллелепипеда, являются сторонами его искомого сечения.

Так как плоскость АВВ1 параллельна плоскости CDD1, то пересечением плоскости α и грани АВВ1А1 является отрезок QМ (М Є А1В1), параллельный отрезку FR; отрезок QМ - сторона сечения. Далее точка Е = МР ∩ А1D1 является точкой пересечения плоскости α и ребра А1D1, так как МР є α. Поэтому точка Е - еще одна вершина искомого сечения. Таким образом, пятиугольник ERFQM - искомое сечение. (Точку Е можно построить, проведя прямую RЕ ║ FQ. Тогда М = РЕ ∩ А1B1).

IV. Заключение

Благодаря этой работе я обобщила и систематизировала знания, полученные за курс геометрии этого года, ознакомилась с правилами выполнения творческой работы, получила новые знания и применила их на практике.

Мне бы хотелось чаще использовать свои новые полученные знания на практике.

К сожалению, я рассмотрела не все методы построения сечений многогранников. Существует ещё множество частных случаев:

построение сечения многогранника плоскостью, проходящей через заданную точку параллельно заданной плоскости;
построение сечения, проходящего через заданную прямую параллельно другой заданной прямой;
построение сечения, проходящего через заданную точку параллельно двум заданным скрещивающимся прямым;
построение сечения многогранника плоскостью, проходящей через заданную прямую перпендикулярно заданной плоскости;
построение сечения многогранника плоскостью, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданной прямой и др.

В будущем я планирую расширить своё исследование и дополнить свою работу разбором выше перечисленных частных случаев.

Я считаю, что моя работа актуальна, так как она может быть использована учащимися средних и старших классов для самостоятельной подготовки к ЕГЭ по математике, для углубленного изучения материала на факультативах и для самообразования молодых учителей. Выпускники средних школ должны не только овладеть материалом школьных программ, но и уметь творчески применять его, находить решение любой проблемы.

V. Литература

Потоскуев Е.В., Звавич Л.И. Геометрия. 10 кл.: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики. - М.: Дрофа, 2008.
Потоскуев Е.В., Звавич Л.И. Геометрия. 10 кл.: Задачник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики. - М.: Дрофа, 2008.
Потоскуев Е.В. Изображение пространственных фигур на плоскости. Построение сечений многогранников. Учебное пособие для студентов физико-математического факультета педвуза. - Тольятти: ТГУ, 2004.
Научно-практический журнал для старшеклассников «Математика для школьников»,2009,№2/№3,1-64.
Геометрия в таблицах - Учебное пособие для учащихся старших классов - Нелин Е.П.
Геометрия, 7-11 класс, Справочные материалы, Безрукова Г.К., Литвиненко В.Н., 2008.
Математика, Справочное пособие, Для школьников старших классов и поступающих в ВУЗы, Рывкин А.А., Рывкин А.З., 2003.
Алгебра и геометрия в таблицах и схемах, Роганин А.Н., Дергачёв В.А., 2006.

Задачи на построение сечений куба плоскостью, как правило, проще чем, например, задачи на сечения пирамиды.

Провести прямую можем через две точки, если они лежат в одной плоскости. При построении сечений куба возможен еще один вариант построения следа секущей плоскости. Поскольку две параллельные плоскости третья плоскость пересекает по параллельным прямым, то, если в одной из граней уже построена прямая, а в другой есть точка, через которую проходит сечение, то можем провести через эту точку прямую, параллельную данной.

Рассмотрим на конкретных примерах, как построить сечения куба плоскостью.

1) Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки A, C и M.

Задачи такого вида — самые простые из всех задач на построение сечений куба. Поскольку точки A и C лежат в одной плоскости (ABC), то через них можем провести прямую. Ее след — отрезок AC. Он невидим, поэтому изображаем AC штрихом. Аналогично соединяем точки M и C, лежащие в одной плоскости (CDD1), и точки A и M, которые лежат в одной плоскости (ADD1). Треугольник ACM — искомое сечение.

2) Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки M, N, P.

Здесь только точки M и N лежат в одной плоскости (ADD1), поэтому проводим через них прямую и получаем след MN (невидимый). Поскольку противолежащие грани куба лежат в параллельных плоскостях, то секущая плоскость пересекает параллельные плоскости (ADD1) и (BCC1) по параллельным прямым. Одну из параллельных прямых мы уже построили — это MN.

Через точку P проводим прямую, параллельную MN. Она пересекает ребро BB1 в точке S. PS — след секущей плоскости в грани (BCC1).

Проводим прямую через точки M и S, лежащие в одной плоскости (ABB1). Получили след MS (видимый).

Плоскости (ABB1) и (CDD1) параллельны. В плоскости (ABB1) уже есть прямая MS, поэтому через точку N в плоскости (CDD1) проводим прямую, параллельную MS. Эта прямая пересекает ребро D1C1 в точке L. Ее след — NL (невидимый). Точки P и L лежат в одной плоскости (A1B1C1), поэтому проводим через них прямую.

Пятиугольник MNLPS — искомое сечение.

3) Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки M, N, P.

Точки M и N лежат в одной плоскости (ВСС1), поэтому через них можно провести прямую. Получаем след MN (видимый). Плоскость (BCC1) параллельна плоскости (ADD1),поэтому через точку P, лежащую в (ADD1), проводим прямую, параллельную MN. Она пересекает ребро AD в точке E. Получили след PE (невидимый).

Больше нет точек, лежащей в одной плоскости, или прямой и точки в параллельных плоскостях. Поэтому надо продолжить одну из уже имеющихся прямых, чтобы получить дополнительную точку.

Если продолжать прямую MN, то, поскольку она лежит в плоскости (BCC1), нужно искать точку пересечения MN с одной из прямых этой плоскости. С CC1 и B1C1 точки пересечения уже есть — это M и N. Остаются прямые BC и BB1. Продолжим BC и MN до пересечения в точке K. Точка K лежит на прямой BC, значит, она принадлежит плоскости (ABC), поэтому через нее и точку E, лежащую в этой плоскости, можем провести прямую. Она пересекает ребро CD в точке H. EH -ее след (невидимый). Поскольку H и N лежат в одной плоскости (CDD1), через них можно провести прямую. Получаем след HN (невидимый).

Плоскости (ABC) и (A1B1C1) параллельны. В одной из них есть прямая EH, в другой — точка M. Можем провести через M прямую, параллельную EH. Получаем след MF (видимый). Проводим прямую через точки M и F.

Шестиугольник MNHEPF — искомое сечение.

Если бы мы продолжили прямую MN до пересечения с другой прямой плоскости (BCC1), с BB1, то получили бы точку G, принадлежащую плоскости (ABB1). А значит, через G и P можно провести прямую, след которой PF. Далее — проводим прямые через точки, лежащие в параллельных плоскостях, и приходим к тому же результату.

Работа с прямой PE дает то же сечение MNHEPF.

4) Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точку M, N, P.

Здесь можем провести прямую через точки M и N, лежащие в одной плоскости (A1B1C1). Ее след — MN (видимый). Больше нет точек, лежащих в одной плоскости либо в параллельных плоскостях.

Продолжим прямую MN. Она лежит в плоскости (A1B1C1), поэтому пересечься может только с одной из прямых этой плоскости. С A1D1 и C1D1 точки пересечения уже есть — N и M. Еще две прямые этой плоскости — A1B1 и B1C1. Точка пересечения A1B1 и MN — S. Поскольку она лежит на прямой A1B1, то принадлежит плоскости (ABB1), а значит, через нее и точку P, лежащую в этой же плоскости, можно провести прямую. Прямая PS пересекает ребро AA1 в точке E. PE — ее след (видимый). Через точки N и E, лежащие в одной плоскости (ADD1), можно провести прямую, след которой — NE (невидимый). В плоскости (ADD1) есть прямая NE, в параллельной ей плоскости (BCC1) — точка P. Через точку P можем провести прямую PL, параллельную NE. Она пересекает ребро CC1 в точке L. PL — след этой прямой (видимый). Точки M и L лежат в одной плоскости (CDD1), значит, через них можно провести прямую. Ее след — ML (невидимый). Пятиугольник MLPEN — искомое сечение.

Можно было продолжать прямую NM в обе стороны и искать ее точки пересечения не только с прямой A1B1, но и с прямой B1C1, также лежащей в плоскости (A1B1C1). В этом случае через точку P проводим сразу две прямые: одну — в плоскости (ABB1) через точки P и S, а вторую — в плоскости (BCC1), через точки P и R. После чего остается соединить лежащие в одной плоскости точки: M c L, E — с N.

1. Понятие о позиционной задаче. Напомним, что плоскость называется секущей плоскостью многогранника, если по обе стороны от этой плоскости имеются точки многогранника. Сечением многогранника плоскостью называется многоугольник, сторонами которого являются отрезки, по которым секущая плоскость пересекает грани многогранника.

На рис. 30 изображена треугольная призма . (На этом проекционном чертеже изображения точек обозначены теми же буквами, что и соответствующие точки-оригиналы). Представим, что нам необходимо отметить точки: а) М , лежащую на ребре ; б) N , лежащую в грани ; в) , лежащую внутри призмы.

Если мы изобразим эти точки так, как это сделано на рисунке а), то лишь про точку М можно условно сказать, что она лежит на ребре . Положение точек N и K по этому рисунку определить нельзя. Рисунок б) уже позволяет заключить, что точка N лежит в грани , а точка –

внутри призмы. За счет чего можно сделать эти выводы? Дело в том, что на втором рисунке мы задали проекции точек N и K на плоскость основания параллельно боковым ребрам призмы. Строго говоря, для того, чтобы быть уверенным, что и точка М лежит на ребре , одних зрительных восприятий также недостаточно. (В проектировании, с помощью которого выполнялось изображение призмы, точка М служит проекцией любой точки прямой, параллельной направлению проектирования и через нее проходящей.)

Если же указать, что при проектировании, параллельном боковым ребрам призмы, точка М проектируется на основание в точку А , то такая уверенность появляется.

Аналогичная ситуация показана на рис. 31. Здесь нужно отметить точки: а) М на боковом ребре SA ; б) N – в грани SАB ;
в) К – внутри пирамиды. Разница заключается в том, что на правом рисунке используется центральное проектирование отмечаемых точек на плоскость основания пирамиды из ее вершины S .

Для того чтобы сделать изображение наглядным, в рассмотренных примерах приходится использовать не одно проектирование, а два. Первое проектирование, с помощью которого выполнено изображение многогранника, называется внешним. Второе проектирование носит вспомогательный характер. Оно связано с самой фигурой, – это, как правило, проектирование на плоскость, содержащую одну из граней многогранника. Мы будем иметь дело только с призмами и пирамидами, а в качестве такой плоскости чаще всего выбирать плоскость их основания. Вспомогательное проектирование называется внутренним. Из рассмотренных примеров видно, что для призмы удобно использовать внутреннее параллельное проектирование, а для пирамиды – центральное.

Пусть F 0 – некоторая фигура в пространстве, которая параллельно проектируется на плоскость p (внешнее проектирование). Для того чтобы изображение фигуры было наглядным, мы выбираем в пространстве некоторую плоскость , отличную от плоскости p , и рассматриваем новое проектирование, параллельное или центральное, точек фигуры F 0 на эту плоскость (внутреннее проектирование).

Рассмотрим в пространстве точку М 0 и ее проекцию на плоскость p 0 ¢ при внутреннем проектировании. Обе эти точки спроектируем на плоскость p . При этом проекция М точки М 0 называется основной (или просто проекцией), а проекция М¢ точки – вторичной.

Если для точки М 0 фигуры F 0 известны ее проекция и вторичная проекция, то по изображению мы можем судить о положении этой точки на оригинале. В этом случае говорят, что точка М 0 , принадлежащая фигуре F 0 , является заданной на проекционном чертеже. Изображение фигуры F 0 , на котором каждая точка фигуры является заданной, называется полным.

На проекционных чертежах часто приходится решать задачи о нахождении пересечения различных фигур. Такие задачи называются позиционными. Если некоторое изображение является полным, то на этом изображении разрешима любая позиционная задача.

В заключение заметим следующее. Если M 0 ¢ , N 0 ¢, K 0 ¢, ... – образы точек M 0 , N 0 , K 0 , ... при внутреннем проектировании, то при внешнем проектировании (параллельном) образы MM¢ , NN ¢, KK ¢, ... параллельных прямых M 0 M 0 ¢, N 0 N 0 ¢, K 0 K 0 ¢, ... на плоскости p также будут параллельными. Если же M 0 ¢, N 0 ¢, K 0 ¢, ... – образы точек M 0 , N 0 , K 0 , ... при внутреннем центральном проектировании с центром S 0 , то образы MM ¢, NN ¢, KK ¢, ... прямых M 0 M 0 ¢, N 0 N 0 ¢, K 0 K 0 ¢, ... при внешнем проектировании пересекаются на плоскости p в одной точке S. Эта точка будет образом точки S 0 .

Среди позиционных задач нас будут интересовать только задачи, связанные с построением сечений многоугольников. Рассмотрим основные методы построения таких сечений. Обычно при решении стереометрических задач образы точек фигуры на проекционном чертеже обозначают теми же буквами, что и соответствующие им точки на фигуре-оригинале. Мы также в дальнейшем будем придерживаться этого правила.

2. Построения сечений, основанные на свойствах параллельных прямых и плоскостей. Данный способ особенно часто используется при построении сечений параллелепипедов. Это объясняется тем, что противоположные грани параллелепипеда параллельны. По теореме о пересечении параллельных плоскостей третьей плоскостью линии пересечения параллельных граней являются параллельными отрезками.

Задача 1. Основанием четырехугольной пирамиды SABCD является параллелограмм. Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку , лежащую на боковом ребре AS , параллельно диагонали BD основания.

Сколько таких плоскостей можно построить? Какие фигуры могут получаться в сечении?

Решение. В плоскости основания пирамиды проведем произвольную прямую a , параллельную диагонали BD . Через эту прямую и точку проходит плоскость a , и притом единственная. По признаку параллельности прямой и плоскости и, значит, плоскость a является искомой.

В плоскости основания существует бесконечно много прямых, параллельных прямой BD, поэтому существует бесконечно много плоскостей, удовлетворяющих условию задачи.

Вид многоугольника, получающегося в сечении, зависит от числа граней, которые пересекает плоскость a . Так как четырехугольная пирамида имеет пять граней, то в сечении могут получаться треугольники, четырехугольники и пятиугольники.

На рис. 32 показаны различные случаи расположения прямой a относительно параллелограмма ABCD . Очевидно, что в зависимости от этого расположения будет определяться вид многоугольника-сечения.

Слева на рис. 33 рассмотрен случай, когда прямая a 1 пересекает стороны AD , AB в точках M , N соответственно и лежит с точкой в одном полупространстве с границей BSD . Здесь сечением является треугольник MKN.

На правом рисунке показан случай, когда прямая a 3 лежит с точкой по разные стороны от плоскости BSD и пересекает стороны DC , BC основания в точках M , N соответственно. Обозначим через Х точку пересечения прямых AD и a 3 . Так как прямая AD лежит в плоскости грани ASD , то в этой грани лежит и точка Х . С другой стороны, точка Х принадлежит прямой a 3 , лежащей в секущей плоскости. Поэтому прямая будет линией пересечения секущей плоскости и плоскости грани ASD. Это позволяет найти точку R=SD ÇKX . Аналогично, точка позволяет построить вершину T ÎBS искомого сечения. В рассмотренном случае секущая плоскость пересекает все грани пирамиды и сечение является пятиугольником.

Остальные случаи взаимного расположения прямой a и основания пирамиды рассмотрите самостоятельно.

Рассмотрим специальные методы построения сечений.

4. Метод следов. Если секущая плоскость не параллельна грани многогранника, то она пересекает плоскость этой грани по прямой. Прямая, по которой секущая плоскость пересекает плоскость грани многогранника, называется следом секущей плоскости на плоскости этой грани. Один из методов построения сечений многогранников основан на использовании следа секущей плоскости на плоскости одной из его граней. Чаще всего при построении сечений призмы и усеченной пирамиды в качестве такой плоскости выбирается плоскость нижнего основания, а в случае пирамиды – плоскость ее основания.

Рассмотрим построение сечений методом следов на примерах.

Задача 2. Дано изображение четырехугольной призмы ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Задать три точки, принадлежащие ее различным боковым граням, и построить сечение, проходящее через эти три точки.

Решение. Напомним, что для задания точки на проекционном чертеже необходимо задать ее основную и вторичную проекции. В случае призмы для задания вторичных проекций мы договорились использовать внутреннее параллельное проектирование. Поэтому, чтобы задать точку М , лежащую в грани АВВ 1 А 1 , указываем ее проекцию М 1 на плоскость основания параллельно боковым ребрам призмы. Аналогично задаются точки N и K , лежащие в гранях AD 1 DA 1 , CDD 1 C 1 соответственно (рис. 34). Построим след секущей плоскости на плоскости нижнего основания призмы. Параллельные прямые ММ 1 , лежат в одной плоскости и, значит, в общем случае прямые , пересекаются в некоторой точке Х . Так как прямая лежит в секущей плоскости, а прямая – в плоскости нижнего основания, то точка Х принадлежит следу секущей плоскости на плоскости нижнего основания призмы. Аналогично, точки K , N и их вторичные проекции K 1 , N 1 позволяют найти вторую точку Y , принадлежащую искомому следу.

Прямая АВ , лежащая в грани АВВ 1 А 1 , пересекает след XY в точке Z , поэтому прямая MZ лежит как в плоскости грани АВВ 1 А 1 , так и в секущей плоскости. Отрезок ТР , где T=MZ ÇAA 1 , P=MZ ÇBB 1 , будет стороной многоугольника-сечения. Далее последовательно строим его стороны TR и RQ , проходящие через данные точки N и K соответственно. Наконец, строим сторону PQ .

Задача 3. Дано изображение пятиугольной пирамиды SABCDE. Задать точки N и K , принадлежащие боковым ребрам SC , SD соответственно и точку М , лежащую в грани ASE. Построить сечение, проходящее через заданные точки.

Решение. Для задания точек K , N и М воспользуемся внутренним центральным проектированием с центром в вершине пирамиды. При этом проекциями точек K и N будут точки D и C , а проекцией точки М – точка (рис. 35).

Прямые и , лежащие в плоскости , в общем случае пересекаются в точке Х , лежащей в секущей плоскости. С другой стороны, точка Х лежит в плоскости основания, и, значит, она принадлежит следу секущей плоскости на плоскости основания. Второй точкой искомого следа будет точка . Прямая АЕ , лежащая в грани ASE пирамиды, пересекает след XY в точке Z . Проводя прямую ZМ , находим сторону LP многоугольника-сечения. Для того чтобы найти вершину сечения, строим точку , а затем прямую .

5. Метод внутреннего проектирования. Суть этого метода заключается в том, что здесь с помощью внутреннего проектирования точки сечения ищутся по их известным вторичным проекциям. Метод внутреннего проектирования особенно удобно применять в тех случаях, когда след секущей плоскости далеко удален от заданной фигуры. Этот метод незаменим и тогда, когда некоторые из прямых, содержащих стороны основания многогранника, пересекают след за пределами чертежа. Рассмотрим применение метода на примерах.

Задача 4. Дано изображение шестиугольной призмы и трех точек, лежащих в трех боковых гранях, никакие две из которых не являются смежными. Построить сечение призмы плоскостью, проходящей через заданные точки.

Решение. Пусть заданные точки М , L , K лежат в гранях , , , а M¢ , L¢ , K¢ – их вторичные проекции
(рис. 36).

Найдем точку, в которой секущая плоскость пересекает боковое ребро . Для этого с помощью внутреннего проектирования для точки найдем основную проекцию Х , лежащую в секущей плоскости. Искомая точка Х является точкой пересечения прямой, проходящей через точку Х¢ параллельно боковым ребрам призмы, и прямой ML , лежащей в секущей плоскости. Точка Х позволяет построить вершину , а затем сторону QR сечения. Аналогично, используя точку , строим точку Y , прямую KY и находим вершину Р сечения. Далее строятся стороны PQ и PO сечения.

Оставшиеся построения выполняем в следующей последовательности:

1) строим точку Z¢=AK¢ ÇBD ;

2) находим точку Z (Z ÎPK );

3) проводим прямую OZ и находим вершину S (S ÎDD 1) сечения;

4) последовательно строим стороны SR , ST и TO сечения.

Задача 5. Дано изображение четырехугольной пирамиды и трех точек, лежащих на ее боковых ребрах. Построить сечение, проходящее через заданные точки.

Решение. Пусть SABCD – данная пирамида, а M , N , K – данные точки (рис. 37). Вторичными проекциями точек M , N , K во внутреннем центральном проектировании из вершины S на плоскость основания являются точки A , C и D соответственно. Заметим, что в данной задаче стороны и KN сечения сразу строятся. Остается найти только вершину сечения L , лежащую на боковом ребре SB . Для этого построим точку и «поднимем» ее в секущую плоскость с помощью внутреннего проектирования. Прообразом точки Х¢ при этом центральном проектировании будет точка Х=Х¢S ÇMN. Вершина L , принадлежащая ребру SB , лежит на прямой KX.

6. Комбинированный метод . Суть этого метода заключается в сочетании метода следов или метода внутреннего проектирования с построениями, выполняемыми на основе свойств параллельных прямых и плоскостей.

Рассмотрим следующий пример.

Задача 6. Точка М является серединой ребра AD куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точку М параллельно диагонали ВD основания и диагонали АВ 1 боковой грани АА 1 В 1 В .

Решение. Секущая плоскость a параллельна диагонали BD основания и проходит через точку М , также лежащую в основании, поэтому она пересекает основание по прямой
(рис. 38).

Прямая l будет следом плоскости a на плоскости нижнего основания куба. Обозначим . След m плоскости a на плоскости грани АВВ 1 А 1 строится аналогично. Этот след проходит через точку N , параллельно АВ 1 . Обозначим .

Можно продолжить построение сечения, не прибегая к специальным методам. Однако мы воспользуемся методом следов. Пусть прямая ВС пересекает след l в точке Х . Точки Х и искомой плоскости a лежат и в плоскости грани ВСС 1 В 1 . Обозначим через L точку пересечения прямой и ребра В 1 С 1 . Далее удобно воспользоваться теоремой о пересечении двух параллельных плоскостей третьей плоскостью. В силу этой теоремы , . Здесь R ÎDD 1 , P ÎC 1 D 1 .

Докажите, что полученный в сечении шестиугольник является правильным.

Изображение окружности

1. Эллипс и его свойства. При изображении цилиндра, конуса и шара (сферы) нам придется вычерчивать эллипсы. Эллипс можно определить различными способами. Приведем определение с помощью сжатия плоскости к прямой.

Эллипсом называется линия, которая является образом окружности при сжатии плоскости к прямой, проходящей через центр окружности (рис. 39).

Если заданы окружность, прямая, проходящая через ее центр, и коэффициент сжатия, с помощью приведенного определения легко построить образ любой точки заданной окружности. Выполнив построение нескольких точек-образов и соединив их плавной линией, можно вычертить эллипс, который является образом окружности.

Oxy так, чтобы ее ось Ox совпала с прямой сжатия l , а начало О было центром окружности w радиуса a (рис. 40). В этой системе координат окружность w определяется уравнением: или

Это значит, что любая точка , координаты которой удовлетворяют уравнению (1), принадлежит окружности w , а точка, координаты которой не удовлетворяют (1) – не принадлежит.

Пусть – коэффициент сжатия, – произвольная точка плоскости, а М 0 – ее проекция на прямую l . При сжатии к точка М переходит в точку такую, что . Так как прямая ММ 1 параллельна оси Oy , то , а проекция М 0 этих точек на прямую сжатия Ox определяется координатами .

Отсюда , . Поэтому формулы сжатия имеют вид

Обратно, формулы (2) определяют сжатие плоскости к оси Ox с коэффициентом сжатия , в котором точка переходит в точку .

Из этих формул , . Подставляя x и y в уравнение (1), получим: . Значит, координаты точки М 1 , являющейся образом точки окружности, удовлетворяют уравнению

где . Это уравнение в системе Oxy определяет эллипс g , который получается при сжатии окружности w к оси Ox . Напомним, что уравнение (3) называется каноническим уравнением эллипса.

Используя каноническое уравнение эллипса, можно изучать его геометрические свойства. Вспомним некоторые понятия, связанные с эллипсом, и его свойства.

Пусть эллипс g задан в прямоугольной системе координат каноническим уравнением (3). Так как x и y входят в это уравнение во второй степени, то можно сделать следующие выводы.

Если , то Îg (рис. 41). Отсюда следует, что начало координат О является центром симметрии эллипса. Центр симметрии эллипса называется его центром .

Если , то , . Отсюда следует, что прямые Ox и Oy являются осями симметрии эллипса. Оси симметрии эллипса называются его осями . Каждая из осей пересекает эллипс в двух точках. Ось Ox имеет уравнение , поэтому из уравнения (3) для абсцисс точек А 1 , А 2 пересечения имеем . Отсюда А 1 (a ;0), А 2 (–a ;0). Аналогично находим, что ось Oy пересекает эллипс в точках В 1 (0;b ) и В 2 (0;–b ). Точки пересечения эллипса с его осями называются вершинами эллипса. Отрезки А 1 А 2 и В 1 В 2 также называются осями эллипса . Центр эллипса О является общей серединой каждого из этих отрезков.

Отрезок, концы которого принадлежат эллипсу,называется хордой этого эллипса. Хорда эллипса, проходящая через его центр, называется диаметром эллипса . Значит, оси эллипса являются его взаимно перпендикулярными диаметрами.

Заметим, что при , имеем . В этом случае A 1 A 2 >B 1 B 2 и отрезки A 1 A 2 , B 1 B 2 называются соответственно большой и малой осями эллипса. При этом числа , называются соответственно большой и малой полуосями эллипса. При , наоборот, . Здесь названия осей меняются соответствующим образом.

Рассмотрим параметрические уравнения эллипса и основанный на них способ построения точек эллипса.

Пусть отрезки А 1 А 2 и В 1 В 2 являются осями эллипса. Построим на них, как на диаметрах, концентрические окружности w 1 и w 2 соответственно (рис. 42). Рассмотрим луч h с началом в точке О . Этот луч пересекает окружности w 1 и w 2 в точках М 1 и М 2 . Через точку М 1 проведем прямую, параллельную малой оси В 1 В 2 , а через точку М 2 – прямую, параллельную большой оси А 1 А 2 . Покажем, что точка М пересечения этих прямых принадлежит эллипсу с заданными осями.

Выберем прямоугольную систему координат Oxy с началом в точке О . Пусть в этой системе точка М имеет координаты (x ;y ). Далее, пусть луч h образует с лучом ОА 1 угол t. Если , то , . Поскольку точки М и М 1 имеют равные абсциссы, а точки М и М 2 – равные ординаты,