Помощь по Теле2, тарифы, вопросы

Если окружность располагается внутри угла и касается его сторон, её называют вписанной в этот угол. Центр такой вписанной окружности располагается на биссектрисе этого угла .

Если же она лежит внутри выпуклого многоугольника и соприкасается со всеми его сторонами, она называется вписанной в выпуклый многоугольник.

Окружность, вписанная в треугольник, соприкасается с каждой стороной этой фигуры лишь в одной точке. В один треугольник возможно вписать лишь одну окружность.

Радиус такой окружности будет зависеть от следующих параметров треугольника:

1. Длин сторон треугольника.
2. Его площади.
3. Его периметра.
4. Величины углов треугольника.

Для того чтобы вычислить радиус вписанной окружности в треугольник, не всегда обязательно знать все перечисленные выше параметры, поскольку они взаимосвязаны между собой через тригонометрические функции.

Вычисление с помощью полупериметра

1. Если известны длины всех сторон геометрической фигуры (обозначим их буквами a, b и c), то вычислять радиус придётся путём извлечения квадратного корня.
2. Приступая к вычислениям, необходимо добавить к исходным данным ещё одну переменную - полупериметр (р). Его можно рассчитать, сложив все длины и полученную сумму разделив на 2. p = (a+b+c)/2. Таким образом можно существенно упростить формулу нахождения радиуса.
3. В целом формула должна включать в себя знак радикала, под который помещается дробь, знаменателем этой дроби будет величина полупериметра р.
4. Числителем данной дроби будет представлять собой произведение разностей (p-a)*(p-b)*(p-c)
5. Таким образом, полный вид формулы будет представлен следующим образом: r = √(p-a)*(p-b)*(p-c)/p).

Вычисление с учётом площади треугольника

Если нам известна площадь треугольника и длины всех его сторон, это позволит найти радиус интересующей нас окружности, не прибегая к извлечению корней.

1. Для начала нужно удвоить величину площади.
2. Результат делится на сумму длин всех сторон. Тогда формула будет выглядеть следующим образом: r = 2*S/(a+b+c).
3. Если воспользоваться величиной полупериметра, можно получить совсем простую формулу: r = S/p.

Расчёт с помощью тригонометрических функций

Если в условии задачи присутствует длина одной из сторон, величина противоположного угла и периметр, можно воспользоваться тригонометрической функцией - тангенсом. В этом случае формула расчёта будет иметь следующий вид:

r = (P /2- a)* tg (α/2), где r - искомый радиус, Р - периметр, а - значение длины одной из сторон, α - величина противоположного стороне, а угла.

Радиус окружности, которую необходимо будет вписывать в правильный треугольник, можно найти по формуле r = a*√3/6.

Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник

В прямоугольный треугольник можно вписать только одну окружность . Центр такой окружности одновременно служит точкой пересечения всех биссектрис. Эта геометрическая фигура имеет некоторые отличительные черты, которые необходимо учесть, вычисляя радиус вписанной окружности.

1. Для начала необходимо выстроить прямоугольный треугольник с заданными параметрами. Построить такую фигуру можно по размеру её одной стороны и величинам двух углов или же по двум сторонам и углу между этими сторонами. Все эти параметры должны быть указаны в условии задачи. Треугольник обозначается как АВС, причём С - это вершина прямого угла. Катеты при этом обозначаются переменными, а и b , а гипотенуза - переменной с .
2. Для построения классической формулы и вычисления радиуса окружности необходимо найти размеры всех сторон описанной в условии задачи фигуры и по ним вычислить полупериметр. Если в условиях даются размеры двух катетов, по ним можно вычислить величину гипотенузы, исходя из теоремы Пифагора.
3. Если в условии дан размер одного катета и одного угла, необходимо понять, прилежащий этот угол или противолежащий. В первом случае гипотенуза находится с помощью теоремы синусов: с=a/sinСАВ , во втором случае применяют теорему косинусов с=a/cosCBA .
4. Когда все расчёты выполнены и величины всех сторон известны, находят полупериметр по формуле, описанной выше.
5. Зная величину полупериметра, можно найти радиус. Формула представляет собой дробь. Её числителем является произведение разностей полупериметра и каждой из сторон, а знаменателем -величина полупериметра.

Следует заметить, что числитель данной формулы является показателем площади. В этом случае формула нахождения радиуса гораздо упрощается - достаточно разделить площадь на полупериметр.

Определить площадь геометрической фигуры можно и в том случае, если известны оба катета. По сумме квадратов этих катетов находится гипотенуза, далее вычисляется полупериметр. Вычислить площадь можно, умножив друг на друга величины катетов и разделив полученное на 2.

Если в условиях даны длины и катетов и гипотенузы, определить радиус можно по очень простой формуле: для этого складываются длины катетов, из полученного числа вычитается длина гипотенузы. Результат необходимо разделить пополам.

Видео

Из этого видео вы узнаете, как находить радиус вписанной в треугольник окружности.

Не получили ответ на свой вопрос? Предложите авторам тему.

МКОУ «Волчихинская СШ №2»

Учитель Бакута Е.П.

9 класс

Урок по теме «Формулы радиусов вписанных и описанных окружностей правильных многоугольников"

Цели урока:

Образовательные: изучение формул радиусов вписанных и описанных окружностей правильных многоугольников;

Развивающие: активизация познавательной деятельности учащихся через решение практических задач, умение выбирать правильное решение, лаконично излагать свои мысли, анализировать и делать выводы.

Воспитательные: организация совместной деятельности, воспитание у учащихся интереса к предмету, доброжелательности, умения выслушивать ответы товарищей.

Оборудование: Мультимедийный компьютер, мультимедиапроектор, экспозиционный экран

Ход урок:

1. Организационный момент

Чтобы спорилось нужное дело,

А девизом нашего урока буду такие слова:

Думать - коллективно!

Решать - оперативно!

Отвечать - доказательно!

Бороться - старательно!

2. Мотивация урока.

3. Актуализация опорных знаний. Проверка д/з.

Фронтальный опрос:

Какая фигура называется многоугольником?

Какой многоугольник называется правильным?

Какое другое название правильного треугольника?

Какое другое название правильного четырехугольника?

Формула суммы углов выпуклого многоугольника.

Формула угла правильного многоугольника.

4. Изучение нового материала. (слайды)

Окружность называется вписанной в многоугольник, если все стороны многоугольника касаются окружности.

Окружность называется описанной около многоугольника, если все вершины многоугольника лежат на окружности.

Окружность можно вписать или описать около любого треугольника, причём центр вписанной в треугольник окружности лежит на пересечении биссектрис треугольника, а центр описанной около треугольника окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров.

Около любого правильного многоугольника можно описать окружность, и в любой правильный многоугольник можно вписать окружность, причём центр окружности, описанной около правильного многоугольника, совпадает с центром окружности, вписанной в тот же многоугольник.

Формулы для радиусов вписанных и описанных окружностей правильного треугольника, правильного четырехугольника, правильного шестиугольника.

Радиус вписанной окружности в правильный многоугольник (r):

a - сторона многоугольника, N - количество сторон многоугольника

Радиус описанной окружности правильного многоугольника(R):

a - сторона многоугольника, N - количество сторон многоугольника.

Заполним таблицу для правильного треугольника, правильного четырехугольника, правильного шестиугольника.

5. Закрепление нового материала.

Решить № 1088, 1090, 1092, 1099.

6. Физминутка . Раз – потянуться Два – нагнуться

Три – оглянуться Четыре – присест

Пять – руки вверх Шесть – вперед

Семь – опустили Восемь – сели

Девять – встали Десять – снова сели

7. Самостоятельная работа учащихся (работа в группах)

Решить № 1093.

8.Итоги урока. Рефлексия. Д/з.

Какое впечатление у Вас сложилось? (Понравилось – не понравилось)

– Какое настроение после урока? (Радостное – грустное)

– Какое самочувствие? (Устал – не устал)

– Какое отношение к пройденному материалу? (Понял – не понял)

– Какова твоя самооценка после урока? (Доволен – не доволен)

– Оцени свою активность на уроке. (Старался – не старался).

п.105-108 повторить;

выучить формулы;

№ 1090, 1091, 1087(3)

Есть у математики молва,

Что она в порядок ум приводит,

Потому хорошие слова

Часто говорят о ней в народе.

Ты нам, геометрия, даёшь

Для победы важную закалку.

Учится с тобою молодёжь

Развивать и волю, и смекалку.

Примечание Презентация содержит разделы:

Повторение теоретического материала

Проверка домашнего задания

Вывод основных формул, т.е. новый материал

Закрепление: решение задач в группах и самостоятельно

Просмотр содержимого презентации
«9_klass_pravilnye_mnogougolniki_urok_2»

• Чтобы спорилось нужное дело,
• Чтобы в жизни не знать неудач,
• В математики мир отправимся смело,
• В мир примеров и разных задач.

ДЕВИЗ УРОКА

Думать - коллективно!

Решать - оперативно!

Отвечать - доказательно!

Бороться - старательно!

И открытия нас ждут обязательно!

Повторение.

• Какая геометрическая фигура

изображена на рисунке?

D

Е

2.Какой многоугольник называется

правильным?

О

3.Какая окружность называется

вписанной в многоугольник?

F

С

4.Какая окружность называется

описанной около многоугольника?

5.Назовите радиус вписанной окружности.

А

В

Н

6.Назовите радиус описанной окружности.

7.Как найти центр вписанной в правильный

многоугольник окружности?

8.Как найти центр окружности описанной около

правильного многоугольника?

Проверка выполнения

домашнего задания ..

№ 1084.

β – угол, соответствующий

дуге, которую стягивает

сторона многоугольника .

О

А п

А 2

β

Ответы:

а) 6;

б) 12;

А

А 1

в) 4;

г) 8;

г) 10

д) 20;

е) 7.

е) 5.

ПРАВИЛЬНЫЙ МНОГОУГОЛЬНИК

Правильным многоугольником называется выпуклый многоугольник, у которого все углы равны и все стороны равны.

Сумма углов правильного n -угольника

Угол правильного n - угольника

Окружность называется вписанной в многоугольник,

если все стороны многоугольника касаются этой окружности.

Окружность называется описанной около многоугольника, если все его вершины лежат на этой

окружности.

Вписанная и описанная окружность

Окружность, вписанная в правильный многоугольник, касается сторон многоугольника в их серединах.

Центр окружности, описанной около правильного многоугольника, совпадает с центром окружности, вписанной в тот же многоугольник.

Выведем формулу радиуса вписанной и радиуса описанной окружности правильного многоугольника.

Пусть r – радиус вписанной окружности,

R – радиус описанной окружности,

п – количество сторон и углов многоугольника.

Рассмотрим правильный п-угольник.

Пусть а – сторона п-угольника,

α – угол.

Построим точку О – центр вписанной и описанной окружности.

ОС – высота ∆АОВ.

∟ С = 90 º - (по построению),

Рассмотрим ∆АОС:

∟ ОАС = α /2 - (ОА – биссектриса угла п- угольника),

АС = а/2 – (ОС – медиана к основанию равнобедренного треугольника),

∟ АОВ = 360 º: п,

пусть ∟АОС = β .

тогда β = 0,5 ∙ ∟АОВ

0,5 ∙ (360 º: п)

2 sin (180 º: п)

2 tg (180 º: п)

Площадь правильного многоугольника

Сторона правильного многоугольника

Радиус вписанной окружности

Группа 1 Дано: R , n =3 Найти: а

Группа 2 Дано: R , n =4 Найти: а

Группа 3 Дано: R , n =6 Найти: а

Группа 4 Дано: r , n =3 Найти: а

Группа 5 Дано: r , n = 4 Найти: а

Группа 6 Дано: r , n = 6 Найти: а

Группа 1 Дано: R , n =3 Найти: а

Группа 2 Дано: R , n =4 Найти: а

Группа 3 Дано: R , n =6 Найти: а

Группа 4 Дано: r , n =3 Найти: а

Группа 5 Дано: r , n = 4 Найти: а

Группа 6 Дано: r , n = 6 Найти: а

п = 3

п = 4

п = 6

2 tg (180 º: п)

2 sin (180 º: п)

тогда 180 º: п

У правильного треугольника п = 3,

откуда 2 sin 60 º =

тогда 180 º: п

У правильного четырехугольника п = 4,

откуда 2 sin 45 º =

У правильного шестиугольника п = 6,

тогда 180 º: п

откуда 2 sin 30 º =

Используя формулы радиусов вписанных и описанных окружностей некоторых правильных многоугольников, вывести формулы для нахождения зависимости сторон правильных многоугольников от радиусов вписанных и описанных окружностей и заполнить таблицу:

2 R ∙ sin (180 º: п)

2 r ∙ tg (180 º: п)

треугольник

шестиугольник

Пп. 105 – 108;

№ 1087;

№ 1088 – подготовить таблицу.

n = 4

R

r

a 4

P

2

6

4

S

28

16

3

3√2

24

32

2√2

4

16

16

16√2

32

4√2

2√2

7

3,5√2

3,5

49

4

2√2

16

2

№ 1087(5)

Дано: S=16 , n =4

Найти: a, r, R, P

Мы знаем формулы:

№ 1088( 5 )

Дано: P=6 , n = 3

Найти: R, a, r, S

Мы знаем формулы:

№ 108 9

Дано:

Найти:

Подведем итог

Мы знаем формулы:

• п.105-108 повторить;
• выучить формулы;
• № 1090, 1091, 1087(3)

Как найти радиус окружности? Этот вопрос всегда актуален для школьников, изучающих планиметрию. Ниже мы рассмотрим несколько примеров того, как можно справиться с поставленной задачей.

В зависимости от условия задачи радиус окружности вы можете найти так.

Формула 1: R = Л / 2π, где Л - это а π - константа, равная 3,141…

Формула 2: R = √(S / π), где S - это величина площади круга.

Формула 1: R = В/2, где В - гипотенуза.

Формула 2: R = М*В, где В - гипотенуза, а М - медиана, проведенная к ней.

Как найти радиус окружности, если она описана вокруг правильного многоугольника

Формула: R = А / (2 * sin (360/(2*n))), где А - длина одной из сторон фигуры, а n - количество сторон в данной геометрической фигуре.

Как найти радиус вписанной окружности

Вписанной окружность называется тогда, когда она касается всех сторон многоугольника. Рассмотрим несколько примеров.

Формула 1: R = S / (Р/2), где - S и Р - площадь и периметр фигуры соответственно.

Формула 2: R = (Р/2 - А) * tg (а/2), где Р - периметр, А - длина одной из сторон, а - противолежащий этой стороне угол.

Как найти радиус окружности, если она вписана в прямоугольный треугольник

Формула 1:

Радиус окружности, которая вписана в ромб

Окружность можно вписать в любой ромб, как равносторонний, так и неравносторонний.

Формула 1: R = 2 * Н, где Н - это высота геометрической фигуры.

Формула 2: R = S / (А*2), где S - это а А - длина его стороны.

Формула 3: R = √((S * sin А)/4), где S - это площадь ромба, а sin А - синус острого угла данной геометрической фигуры.

Формула 4: R = В*Г/(√(В² + Г²), где В и Г - это длины диагоналей геометрической фигуры.

Формула 5: R = В*sin (А/2), где В - диагональ ромба, а А - это угол в вершинах, соединяющих диагональ.

Радиус окружности, которая вписана в треугольник

В том случае, если в условии задачи вам даны длины всех сторон фигуры, то сначала высчитайте (П), а затем полупериметр (п):

П = А+Б+В, где А, Б, В - длин сторон геометрической фигуры.

Формула 1: R = √((п-А)*(п-Б)*(п-В)/п).

А если, зная все те же три стороны, вам дана еще и то можете рассчитать искомый радиус следующим образом.

Формула 2: R = S * 2(А + Б + В)

Формула 3: R = S/п = S / (А+Б+В)/2), где - п - это полупериметр геометрической фигуры.

Формула 4: R = (п - А) * tg (А/2), где п - это полупериметр треугольника, А - одна из его сторон, а tg (А/2) - тангенс половины противолежащего этой стороне угла.

А ниже приведенная формула поможет отыскать радиус той окружности, которая вписана в

Формула 5: R =А * √3/6.

Радиус окружности, которая вписана в прямоугольный треугольник

Если в задаче даны длины катетов, а также гипотенуза, то радиус вписанной окружности узнается так.

Формула 1: R = (А+Б-С)/2, где А, Б - катеты, С - гипотенуза.

В том случае, если вам даны только два катета, самое время вспомнить теорему Пифагора, чтобы гипотенузу найти и воспользоваться вышеприведенной формулой.

С = √(А²+Б²).

Радиус окружности, которая вписана в квадрат

Окружность, которая вписана в квадрат, делит все его 4 стороны ровно пополам в точках касания.

Формула 1: R = А/2, где А - длина стороны квадрата.

Формула 2: R = S / (Р/2), где S и Р - площадь и периметр квадрата соответственно.

Окружность считается вписанной в границы правильного многоугольника, в случае, если лежит внутри него, касаясь при этом прямых, которые проходят через все стороны. Рассмотрим, как найти центр и радиус окружности. Центром окружности будет являться точка, в которой пересекаются биссектрисы углов многоугольника. Радиус рассчитывается: R=S/P; S – площадь многоугольника, Р – полупериметр окружности.

В треугольнике

В правильный треугольник вписывают лишь одну окружность, центр которой называется инцентром; он от всех сторон удалён на одинаковое расстояние и является местом пересечения биссектрис.

В четырёхугольнике

Часто приходится решать, как найти радиус вписанной окружности в эту геометрическую фигуру. Она должна быть выпуклой (если нет самопересечений). Окружность вписать в неё можно только в случае равенства сумм противоположных сторон: AB+CD=BC+AD.

При этом центр вписанной окружности, середины диагоналей, расположены на одной прямой (согласно теореме Ньютона). Отрезок, концы которого находятся там, где пересекаются противоположные стороны правильного четырёхугольника, лежит на этой же прямой, называемой прямой Гаусса. Центром окружности будет точка, в которой пересекаются высоты треугольника с вершинами, диагоналями (по теореме Брокара).

В ромбе

Им считается параллелограмм с одинаковой длиной сторон. Радиус окружности, вписываемой в него, можно рассчитать несколькими способами.

1. Чтобы сделать это правильно, найдите радиус вписанной окружности ромба, если известна площадь ромба, длина его стороны. Применяется формула r=S/(2Хa). К примеру, если площадь ромба составляет 200 мм кв., длина стороны 20 мм, то R=200/(2Х20), то есть, 5 мм.
2. Известен острый угол одной из вершин. Тогда необходимо использовать формулоу r=v(S*sin(α)/4). Например, при площади в 150 мм и известном угле в 25 градусов, R= v(150*sin(25°)/4) ≈ v(150*0,423/4) ≈ v15,8625 ≈ 3,983 мм.
3. Все углы в ромбе равны. В этой ситуации радиус окружности, вписанной в ромб, будет равен половине длины одной стороны данной фигуры. Если рассуждать по Евклиду, утверждающего, что сумма углов всякого четырёхугольника равна 360 градусов, то один угол будет равен 90 градусам; т.е. получится квадрат.

Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны. Следовательно, он наследует все свойства параллелограмма. А именно:

• Диагонали ромба взаимно перпендикулярны.
• Диагонали ромба являются биссектрисами его внутренних углов.

Окружность можно вписать в четырехугольник тогда и только тогда, когда суммы противоположных сторон равны.
Следовательно, в любой ромб можно вписать окружность. Центр вписанной окружности совпадает с центром пересечения диагоналей ромба.
Радиус вписанной окружности в ромб можно выразить несколькими способами

1 способ. Радиуса вписанной окружности в ромб через высоту

Высота ромба равна диаметру вписанной окружности. Это следует из свойства прямоугольника, который образуют диаметр вписанной окружности и высота ромба – у прямоугольника противолежащие стороны равны.

Следовательно формула радиуса вписанной окружности в ромб через высоту:

2 способ. Радиус вписанной окружности в ромб через диагонали

Площадь ромба можно выразить через радиус вписанной окружности
, где Р – периметр ромба. Зная, что периметр это сумма всех сторон четырехугольника имеем P= 4×а. Тогда
Но площадь ромба также равна половине произведения его диагоналей
Прировняв правые части формул площади, имеем следующее равенство
В результате получаем формулу, позволяющую вычислить радиус вписанной окружности в ромб чрез диагонали

Пример расчета радиуса окружности вписанной в ромб, если известны диагонали
Найти радиус окружности вписанной в ромб, если известно, что длина диагоналей 30 см и 40 см
Пусть ABCD -ромб, тогда AC и BD его диагонали. AC= 30 см, BD =40 см
Пусть точка О – это центр вписанной в ромб ABCD окружности, тогда она будет также являться и точкой пересечения его диагоналей, делящих их пополам.


т.к диагонали ромба пересекаются под прямым углом, то треугольник AOB прямоугольный. Тогда по теореме Пифагора
, подставляем в формулу ранее полученные значения

AB = 25 см
Применив ранее выведенную формулу для радиуса описанной окружности в ромб, получаем

3 способ. Радиус вписанной окружности в ромб через отрезки m и n

Точка F – точка касания окружности со стороной ромба, которая делит ее на отрезки AF и BF . Пусть AF= m, BF=n.
Точка O – центр пересечения диагоналей ромба и центр вписанной в него окружности.
Треугольник AOB – прямоугольный, так как диагонали ромба пересекаются под прямым углом.
, т.к. является радиусом, проведенным в точку касания окружности. Следовательно OF – высота треугольника AOB к гипотенузе. Тогда AF и BF – проекции катетов на гипотенузу.
Высота в прямоугольном треугольнике, опущенная на гипотенузу есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу.

Формула радиуса вписанной окружности в ромб через отрезки равна корню квадратному из произведения этих отрезков, на которые делит сторону ромба точка касания окружности