Определение точки разрыва функции
Конечная точка x 0 называется точкой разрыва функции f(x) , если функция определена на некоторой проколотой окрестности точки x 0 , но не является непрерывной в этой точке.

То есть, в точке разрыва, функция либо не определена, либо определена, но хотя бы один односторонний предел в этой точке или не существует, или не равен значению f(x 0 ) функции в точке x 0 . См. «Определение непрерывности функции в точке ».

Определение точки разрыва 1-го рода
Точка называется точкой разрыва первого рода , если является точкой разрыва и существуют конечные односторонние пределы слева и справа :
.

Определение скачка функции
Скачком Δ функции в точке называется разность пределов справа и слева
.

Определение точки устранимого разрыва
Точка называется точкой устранимого разрыва , если существует предел
,
но функция в точке или не определена, или не равна предельному значению: .

Таким образом, точка устранимого разрыва - это точка разрыва первого рода, в которой скачек функции равен нулю.

Определение точки разрыва 2-го рода
Точка разрыва называется точкой разрыва второго рода , если она не является точкой разрыва 1-го рода. То есть если не существует, хотя бы одного одностороннего предела, или хотя бы один односторонний предел в точке равен бесконечности.

Исследование функций на непрерывность

При исследовании функций на непрерывность мы используем следующие факты.

• Элементарные функции и обратные к ним непрерывны на своей области определения. К ним относятся следующие функции:
  , а также постоянная и обратные к ним функции. См. «Справочник по элементарным функциям ».
• Сумма, разность и произведение непрерывных, на некотором множестве функций, является непрерывной, функцией на этом множестве.
  Частное двух непрерывных, на некотором множестве функций, является непрерывной, функцией на этом множестве, за исключением точек, в которых знаменатель дроби обращается в нуль. См. «Арифметические свойства непрерывных функций »
• Сложная функция непрерывна в точке , если функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке . См. «Предел и непрерывность сложной функции »

Примеры

Пример 1

Задана функция и два значения аргумента и . Требуется: 1) установить, является ли данная функция непрерывной или разрывной для каждого из данных значений аргумента; 2) в случае разрыва функции найти ее пределы в точке разрыва слева и справа, установить вид разрыва; 3) сделать схематический чертеж.
.

Заданная функция является сложной. Ее можно рассматривать как композицию двух функций:
, . Тогда
.

Рассмотрим функцию . Она составлена из функции и постоянных с помощью арифметических операций сложения и деления. Функция является элементарной - степенной функцией с показателем степени 1 . Она определена и непрерывна для всех значений переменной . Поэтому функция определена и непрерывна для всех , кроме точек, в которых знаменатель дроби обращается в нуль. Приравниваем знаменатель к нулю и решаем уравнение:
.
Получаем единственный корень .
Итак, функция определена и непрерывна для всех , кроме точки .

Рассмотрим функцию . Это показательная функция с положительным основанием степени. Она определена и непрерывна для всех значений переменной .
Поэтому заданная функция определена и непрерывна для всех значений переменной , кроме точки .

Таким образом, в точке , заданная функция является непрерывной.

График функции y = 4 1/(x+2) .

Рассмотрим точку . В этой точке функция не определена. Поэтому она не является непрерывной. Установим род разрыва. Для этого находим односторонние пределы.

Используя связь между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями , для предела слева имеем:
при ,
,
,
.

Здесь мы использовали следующие общепринятые обозначения:
.
Также мы использовали свойство показательной функции с основанием :
.

Аналогично, для предела справа имеем:
при ,
,
,
.

Поскольку один из односторонних пределов равен бесконечности, то в точке разрыв второго рода.

В точке функция непрерывна.
В точке разрыв второго рода,
.

Пример 2

Задана функция . Найти точки разрыва функции, если они существуют. Указать род разрыва и скачек функции, если есть. Сделать чертеж.
.

График заданной функции.

Функция является степенной функцией с целым показателем степени, равным 1 . Такую функцию также называют линейной. Она определена и непрерывна для всех значений переменной .

В входят еще две функции: и . Они составлены из функции и постоянных с помощью арифметических операций сложения и умножения:
, .
Поэтому они также непрерывны для всех .

Поскольку функции, входящие в состав непрерывны для всех , то может иметь точки разрыва только в точках склейки ее составляющих. Это точки и . Исследуем на непрерывность в этих точках. Для этого найдем односторонние пределы.

Рассмотрим точку . Чтобы найти левый предел функции в этой точке, мы должны использовать значения этой функции в любой левой проколотой окрестности точки . Возьмем окрестность . На ней . Тогда предел слева:
.
Здесь мы использовали тот факт, что функция является непрерывной в точке (как и в любой другой точке). Поэтому ее левый (как и правый) предел равен значению функции в этой точке.

Найдем правый предел в точке . Для этого мы должны использовать значения функции в любой правой проколотой окрестности этой точки. Возьмем окрестность . На ней . Тогда предел справа:
.
Здесь мы также воспользовались непрерывностью функции .

Поскольку, в точке , предел слева не равен пределу справа, то в ней функция не является непрерывной - это точка разрыва. Поскольку односторонние пределы конечны, то это точка разрыва первого рода. Скачек функции:
.

Теперь рассмотрим точку . Тем же способом вычисляем односторонние пределы:
;
.
Поскольку функция определена в точке и левый предел равен правому, то функция непрерывна в этой точке.

Функция имеет разрыв первого рода в точке . Скачек функции в ней: . В остальных точках функция непрерывна.

Пример 3

Определить точки разрыва функции и исследовать характер этих точек, если
.

Воспользуемся тем, что линейная функция определена и непрерывна для всех . Заданная функция составлена из линейной функции и постоянных с помощью арифметических операций сложения, вычитания, умножения и деления:
.
Поэтому она определена и непрерывна для всех , за исключением точек, в которых знаменатель дроби обращается в нуль.

Найдем эти точки. Приравниваем знаменатель к нулю и решаем квадратное уравнение :
;
;
; .
Тогда
.

Используем формулу:
.
С ее помощью, разложим числитель на множители:
.

Тогда заданная функция примет вид:
(П1) .
Она определена и непрерывна для всех , кроме точек и . Поэтому точки и являются точками разрыва функции.

Разделим числитель и знаменатель дроби в (П1) на :
(П2) .
Такую операцию мы можем проделать, если . Таким образом,
при .
То есть функции и отличаются только в одной точке: определена при , а в этой точке не определена.

Чтобы определить род точек разрыва, нам нужно найти односторонние пределы функции в точках и . Для их вычисления мы воспользуемся тем, что если значения функции изменить, или сделать неопределенными в конечном числе точек, то это не окажет ни какого влияние на величину или существование предела в произвольной точке (см. «Влияние значений функции в конечном числе точек на величину предела »). То есть пределы функции в любых точках равны пределам функции .

Рассмотрим точку . Знаменатель дроби в функции , при в нуль не обращается. Поэтому она определена и непрерывна при . Отсюда следует, что существует предел при и он равен значению функции в этой точке:
.
Поэтому точка является точкой устранимого разрыва первого рода.

Рассмотрим точку . Используя связь бесконечно малых и бесконечно больших функций , имеем:
;
.
Поскольку пределы бесконечные, то в этой точке разрыв второго рода.

Функция имеет точку устранимого разрыва первого рода при , и точку разрыва второго рода при .

Использованная литература:
О.И. Бесов. Лекции по математическому анализу. Часть 1. Москва, 2004.

Этот математический калькулятор онлайн поможет вам если нужно вычислить предел функции . Программа решения пределов не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями , т.е. отображает процесс вычисления предела.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Обнаружено что не загрузились некоторые скрипты, необходимые для решения этой задачи, и программа может не работать.
Возможно у вас включен AdBlock.
В этом случае отключите его и обновите страницу.

Т.к. желающих решить задачу очень много, ваш запрос поставлен в очередь.
Через несколько секунд решение появится ниже.
Пожалуйста подождите сек...

Если вы заметили ошибку в решении , то об этом вы можете написать в Форме обратной связи .
Не забудте указать какую задачу вы решаете и что вводите в поля .

Наши игры, головоломки, эмуляторы:

Немного теории.

Предел функции при х->х 0

Пусть функция f(x) определена на некотором множестве X и пусть точка \(x_0 \in X \) или \(x_0 \notin X \)

Возьмем из X последовательность точек, отличных от х 0:
x 1 , x 2 , x 3 , ..., x n , ... (1)
сходящуюся к х*. Значения функции в точках этой последовательности также образуют числовую последовательность
f(x 1), f(x 2), f(x 3), ..., f(x n), ... (2)
и можно ставить вопрос о существовании ее предела.

Определение . Число А называется пределом функции f(х) в точке х = х 0 (или при х -> x 0), если для любой сходящейся к x 0 последовательности (1) значений аргумента x, отличных от x 0 соответствующая последовательность (2) значений функции сходится к числу A.

$$ \lim_{x\to x_0}{ f(x)} = A $$

Функция f(x) может иметь в точке x 0 только один предел. Это следует из того, что последовательность
{f(x n)} имеет только один предел.

Существует другое определение предела функции.

Определение Число А называется пределом функции f(x) в точке х = x 0 , если для любого числа \(\varepsilon > 0 \) существует число \(\delta > 0 \) такое, что для всех \(x \in X, \; x \neq x_0 \), удовлетворяющих неравенству \(|x-x_0| Используя логические символы, это определение можно записать в виде
\((\forall \varepsilon > 0) (\exists \delta > 0) (\forall x \in X, \; x \neq x_0, \; |x-x_0| Отметим, что неравенства \(x \neq x_0, \; |x-x_0| Первое определение основано на понятии предела числовой последовательности, поэтому его часто называют определением «на языке последовательностей». Второе определение называют определением «на языке \(\varepsilon - \delta \)».
Эти два определения предела функции эквивалентны и можно использовать любое из них в зависимости от того, какое более удобно при решении той или иной задачи.

Заметим, что определение предела функции «на языке последовательностей» называют также определением предела функции по Гейне, а определение предела функции «на языке \(\varepsilon - \delta \)» - определением предела функции по Коши.

Предел функции при x->x 0 - и при x->x 0 +

В дальнейшем будут использованы понятия односторонних пределов функции, которые определяются следующим образом.

Определение Число А называется правым (левым) пределом функции f(x) в точке x 0 , если для любой сходящейся к x 0 последовательности (1), элементы x n которой больше (меньше) x 0 , соответствующая последовательность (2) сходится к А.

Символически это записывается так:
$$ \lim_{x \to x_0+} f(x) = A \; \left(\lim_{x \to x_0-} f(x) = A \right) $$

Можно дать равносильное определение односторонних пределов функции «на языке \(\varepsilon - \delta \)»:

Определение число А называется правым (левым) пределом функции f(х) в точке x 0 , если для любого \(\varepsilon > 0 \) существует \(\delta > 0 \) такое, что для всех x, удовлетворяющих неравенствам \(x_0 Символические записи:

Решение пределов функции онлайн . Найти предельное значение функции либо функциональной последовательности в точке, вычислить предельное значение функции на бесконечности. определить сходимость числового ряда и многое другое можно выполнить благодаря нашему онлайн сервису - . Мы позволяем находить лимиты функций онлайн быстро и безошибочно. Вы сами вводите переменную функции и предел, к которому она стремится, анаш сервис проводит все вычисления за вас, выдавая точный и простой ответ. Причем для нахождения предела онлайн вы можете вводить как числовые ряды, так и аналитические функции, содержащие константы в буквенном выражении. В этом случае найденный предел функции будет содержать эти константы как постоянные аргументы в выражении. Нашим сервисом решаются любые сложные задачи по нахождению пределов онлайн , достаточно указать функцию и точку в которой необходимо вычислить предельное значение функции . Вычисляя пределы онлайн , можно пользоваться различными методами и правилами их решения, при этом сверяя полученный результат с решением пределов онлайн на www.сайт, что приведет с успешному выполнению задачи - вы избежите собственных ошибок и описок. Либо вы полностью можете довериться нам и использовать наш результат в своей работе, не затрачивая лишних усилий и времени на самостоятельные вычисления предела функции. Мы допускаем ввод таких предельных значений, как бесконечность. Необходимо ввести общий член числовой последовательности и www.сайт вычислит значение предела онлайн на плюс или минус бесконечности.

Одним из основных понятий математического анализа является лимит функции и предел последовательности в точке и на бесконечности, важно уметь правильно решать пределы . С нашим сервисом это не составит никакого труда. Производится решение пределов онлайн в течение нескольких секунд, ответ точный и полный. Изучение математического анализа начинается с предельного перехода , пределы используются практически во всех разделах высшей математики, поэтому полезно иметь под рукой сервер для решения лимитов онлайн , каковым является сайт.

Подборка онлайн калькуляторов для полного исследования функции и построение графика.

Найти Область определения функции

Вычислить Четность функции

Вычисление точек пересечения графика с осью (нули функции)

Найти экстремумы функции

Точки перегиба, интервалы выпуклости и вогнутости

Построить график функции

Данный калькулятор предназначен для нахождения точек разрыва функции онлайн.

Точки разрыва функции – это точки, в которых функция имеет разрыв, при этом функция в этих точках не является непрерывной.

Существует определенная классификация точек разрыва функции. Точки разрыва функции делятся на точки разрыва первого рода и точки разрыва второго рода.

Точки разрыва первого рода при x=a имеют место быть, если существуют левосторонний и правосторонний пределы: lim(x→a-0)⁡f(x) и lim(x→a+0)⁡f(x). Эти пределы должны быть конечны. Если хотя бы один из односторонних пределов равен нулю или бесконечности, то в таком случае функция имеет точки разрыва второго рода.

Для того чтобы найти точки разрыва функции онлайн, необходимо указать функцию и значение аргумента.

Для получения полного хода решения нажимаем в ответе Step-by-step.

Исследовать функцию, построить график

План исследования функций и построения графика .

Ответ означает следующее: even - функция четная, odd - функция нечетная, neither even nor odd - функция ни четная ни нечетная.

3. Точки пересечения графика функции с осями координат;

4. Непрерывность функции, точки разрыва;

5. Асимптоты графика функции;

6. Интервалы монотоности и критические точки;

7 . Интервалы выпуклости и точки перегиба;

8. Посторение графика на основании проведённого исследования.

Образовательные онлайн сервисы: теория и практика

Решения типовых задач - Математический анализ

Исследовать функцию на непрерывность, определить характер разрыва.

Пример 1 .

Функция не определена в точках, уже нарушено первое условие непрерывности, следовательно, в этих точках функция испытывает разрыв.

Для выяснения характера разрыва нужно вычислить односторонние пределы в точках.

Так как левый предел в точке равен бесконечности, то в ней разрыв II рода.

Так как правый предел в точке равен бесконечности, то в ней разрыв II рода.

Пример 2 Функция определена на всей числовой прямой, но при этом она не является непрерывной, так как, т.е. правый и левый пределы в нуле не равны между собой и не равны значению функции в нуле, нарушены 2 и 3 условия непрерывности. Так как правый и левый пределы в нуле существуют и конечны, то это разрыв I рода.

Пример 3 Функция неопределена в нуле, следовательно, – точка разрыва.

Так как и, то это устранимый разрыв, функцию можно в нуле доопределить “по непрерывности”, положив равной единице.

Пример 4

Функция является элементарной, поэтому она непрерывна в области её определения. В область определения не входят точки, следовательно, они являются точками разрыва данной функции.

Определим тип точек разрыва.

Так как, то точка является точкой

разрыва второго рода функции.

Односторонние пределы функции в точке равны, но функция при не определена, следовательно, является устранимой точкой разрыва первого рода.

Так как заданная функция является четной функцией, то, очевидно, что

И является точкой разрыва второго рода функции.

Для построения эскиза графика функции исследуем поведение функции при

и. Так как функция четная, то

Построим эскиз графика функции.

Предлагаем наиболее хорошие на наш взгляд учебники для самостоятельного изучения математики и экономики

Компактные справочные материалы, формулы по различным разделам высшей математики и экономической статистики.

Некоторые задачи можно решить онлайн, введя числовые значения, с подробным решением.

Построим (исследуем) график функции y=f(x), для этого задайте функцию f(x)

Важно : a должно быть меньше b , иначе график не сможет построиться. Cледите за масштабом - если графика на рисунке нету, значит стоит поварьировать значения a и b

С применением степени

(квадрат и куб) и дроби

С применением синуса и косинуса

Гиберболические синус и косинус

Гиберболические тангенс и котангенс

Гиберболические арксинус и арккосинус

Гиберболические арктангенс и арккотангенс

Для периодических функций идет исследование графика функции только на промежутке периода

Наш калькулятор позволяет исследовать график функции. Но пока что нет возможности находить область определения функции

Что умеет находить этот калькулятор:

Правила ввода выражений и функций

Выражения могут состоять из функций (обозначения даны в алфавитном порядке):

absolute(x) Абсолютное значение x

(модуль x или |x| ) arccos(x) Функция - арккосинус от x arccosh(x) Арккосинус гиперболический от x arcsin(x) Арксинус от x arcsinh(x) Арксинус гиперболический от x arctg(x) Функция - арктангенс от x arctgh(x) Арктангенс гиперболический от x e e число, которое примерно равно 2.7 exp(x) Функция - экспонента от x (что и e ^x ) log(x) or ln(x) Натуральный логарифм от x

(Чтобы получить log7(x) , надо ввести log(x)/log(7) (или, например для log10(x) =log(x)/log(10)) pi Число - "Пи", которое примерно равно 3.14 sin(x) Функция - Синус от x cos(x) Функция - Косинус от x sinh(x) Функция - Синус гиперболический от x cosh(x) Функция - Косинус гиперболический от x sqrt(x) Функция - квадратный корень из x sqr(x) или x^2 Функция - Квадрат x tg(x) Функция - Тангенс от x tgh(x) Функция - Тангенс гиперболический от x cbrt(x) Функция - кубический корень из x floor(x) Функция - округление x в меньшую сторону (пример floor(4.5)==4.0) sign(x) Функция - Знак x erf(x) Функция ошибок (Лапласа или интеграл вероятности)

В выражениях можно применять следующие операции:

Действительные числа вводить в виде 7.5 , не 7,5 2*x - умножение 3/x - деление x^3 - возведение в степень x + 7 - сложение x - 6 - вычитание

Контрольная работа РУ - калькуляторы онлайн

Учреждение образования «Белорусская государственная

сельскохозяйственная академия»

Кафедра высшей математики

Методические указания

по изучению темы «Непрерывность функций одной переменной»

студентами бухгалтерского факультета заочной формы получения

образования (НИСПО)

Горки, 2013

Непрерывность функций одной переменной

Односторонние пределы

Пусть функция
определена на множестве
. Введём понятие односторонних пределов функции при
. Будем рассматривать такие значениях , что
. Это означает, что
, оставаясь всё время слева от
при
то он называетсялевым пределом этой функции в точке (или при
) и обозначается

.

Пусть теперь
, оставаясь всё время справа от, т.е. оставаясь больше. Если при этом существует предел функции
, то он называется правым пределом этой функции в точке и обозначается

.

Левый и правый пределы называются односторонними пределами функции в точке.

Если существуют односторонние пределы функции в точке и они равны между собой, то функция имеет тот же предел в этой точке :

.

Если односторонние пределы функции в точке существуют, но не равны между собой, то предел функции в этой точке не существует .

Непрерывность функции в точке

Пусть функция
определена на некотором множестве D . Пусть независимая переменная х переходит от одного своего (начального) значения
к другому (конечному) значению. Разность конечного и начального значений называется приращением величины х и обозначается
. Приращение может быть как положительным, так и отрицательным. В первом случае величинах при переходе от кх увеличивается, а во втором случае - уменьшается.

Если независимая переменная х получает некоторое приращение
, то функция
получает приращение
. Так как
, то.

Приращением функции
в точке называется разность, где
– приращение независимой переменной.

Можно дать несколько определений непрерывности функции в точке.

Функция называется непрерывной в интервале , если она непрерывна в каждой точке этого интервала. Геометрически непрерывность функции
в замкнутом интервале означает, что график функции представляет собой сплошную линию без разрывов.

Непрерывные на отрезке функции обладают важными свойствами, которые выражаются следующими утверждениями.

Если функция
непрерывна на отрезке [a , b ], то она ограничена на этом отрезке.

Если функция
непрерывна на отрезке [a , b ], то она достигает на этом отрезке своего наименьшего и наибольшего значений.

Если функция
непрерывна на отрезке [a , b ] и
, то каким бы ни было числоС , заключённое между числами А и В , найдётся точка
, что
.

Из этого утверждения следует, что если функция
непрерывна на [a , b ] и на концах этого отрезка принимает значения разных знаков, то на этом отрезке существует хотя бы одна точка c , в которой функция обращается в нуль.

Справедливо следующее утверждение: если над непрерывными функциями производить арифметические действия, то в результате получается непрерывная функци я.

Пример 1 .

в точке
.

Решение . Значение функции при
есть
. Вычислим односторонние пределы функции в точке
:

Так как односторонние пределы при
равны между собой и равны значению функции в этой точке, то данная функция непрерывна в точке
.

3. Непрерывность элементарных функций

Рассмотрим функцию
. Эта постоянная функция непрерывна в любой точке, так как
.

Функция
также непрерывна в каждой точке
, так как
. Так как
, то на основании приведённого утверждения об арифметических операциях над непрерывными функциями
будет непрерывной. Непрерывными будут такжен функции
.

Аналогично можно показать непрерывность остальных элементарных функций.

Таким образом, любая элементарная функция непрерывна в своей области определения, т.е. область определения элементарной функции совпадает с областью её непрерывности.

Непрерывность сложной и обратной функций

Пусть функция
непрерывна в точке, а функция
непрерывна в точке
. Тогда сложная функция
непрерывна в точке. Это означает, что если сложная функция составлена из непрерывных функций, то она также будет непрерывной, т.е.непрерывная функция от непрерывной функции есть функция непрерывная . Это определение распространяется на конечное число непрерывных функций.

Из этого определения следует, что под знаком непрерывной функции можно переходить к пределу:

Это означает, что если функция непрерывна, то знак предела и знак функции можно поменять местами.

Пусть функция
определена, строго монотонна и непрерывна на отрезке [a , b ]. Тогда обратная ей функция
определена, строго монотонна и непрерывна на отрезке [A , B ], где
.

Точки разрыва и их классификаци я

Как уже известно, что если функция
определена на множестве D и в точке
выполняется условие
, то функция непрерывна в этой точке. Если же это условие непрерывности не выполняется, то в точкех 0 функция имеет разрыв.

Точка называетсяточкой разрыва первого рода функции
, если в этой точке функция имеет конечные односторонние пределы, не равные друг другу, т.е. . При этом величина

называется скачком функции
в точке .

Точка называетсяточкой устранимого разрыва функции
, если односторонние пределы функции в этой точке равны друг другу и не равны значению функции в этой точке, т.е. В этом случае для устранения разрыва в точкенужно положить

Точка х 0 называется точкой разрыва второго рода функции
если хотя бы один из односторонних пределов
или
в этой точке либо не существует, либо равен бесконечности.

Пример 2 . Исследовать на непрерывность функцию

.

Решение . Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой, за исключением точки
. В этой точке функция имеет разрыв. Найдём односторонние пределы функции в точке
:

Так как в точке
односторонние пределы равны между собой, а функция в этой точке не определена, то точка
является точкой устранимого разрыва. Чтобы устранить разрыв в этой точке, необходимо доопределить функцию, положив
.

Пример 3 . Исследовать на непрерывность функцию

.

Решение . Функция определена и непрерывна на всём множестве действительных чисел, кроме
. В этой точке функция имеет разрыв. Найдём односторонние пределы функции при
:

.

Так как данная функция в точке
имеет конечные односторонние пределы, не равные друг другу, то эта точка является точкой разрыва первого рода. Скачок функции в точке
равен.

Вопросы для самоконтроля знаний

Что называется приращением аргумента и приращением функции?

Что называется левосторонним (левым) пределом функции?

Что называется правосторонним (правым) пределом функции?

Какая функция называется непрерывной в точке, в интервале?

Какая точка называется точкой разрыва функции?

Какая точка называется точкой разрыва первого рода?

Какая точка называется точкой разрыва второго рода?

Какая точка называется точкой устранимого разрыва?

Задания для самостоятельной работы

Исследовать функции на непрерывность:

в точке
.