Удобный и простой онлайн калькулятор дробей с подробным решением может:

• Складывать, вычитать, умножать и делить дроби онлайн,
• Получать готовое решение дробей картинкой и удобно его переносить.



Результат решения дробей будет тут...

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Знак дроби "/" + - * :
_cтереть Очистить
У нашего онлайн калькулятора дробей быстрый ввод . Чтобы получить решение дробей, к примеру , просто напишите 1/2+2/7 в калькулятор и нажмите кнопку "Решать дроби ". Калькулятор напишет вам подробное решение дробей и выдаст удобную для копирования картинку .

Знаки используемые для записи в калькуляторе

Набирать пример для решения вы можете как, с клавиатуры, так и используя кнопки.

Возможности онлайн калькулятора дробей

Калькулятор дробей может выполнить операции только с 2-мя простыми дробями. Они могут быть как правильными(числитель меньше знаменателя), так и неправильными(числитель больше знаменателя). Числа в числителе и знаменатели не могут быть отрицательными и больше 999.
Наш онлайн калькулятор решает дроби и приводит ответ к правильному виду - сокращает дробь и выделяет целую часть, если потребуется.

Если вам нужно решить отрицательные дроби, просто воспользуйтесь свойствами минуса. При перемножении и делении отрицательных дробей минус на минус дает плюс. То есть произведение и делении отрицательных дробей, равно произведению и делению таких же положительных. Если одна дробь при перемножении или делении отрицательная, то просто уберите минус, а потом добавьте его к ответу. При сложении отрицательных дробей, результат будет таким же как если бы вы складывали такие же положительные дроби. Если вы прибавляете одну отрицательную дробь, то это тоже самое, что вычесть такую же положительную.
При вычитании отрицательных дробей, результат будет таким же, как если бы поменяли их местами и сделали положительными. То есть минус на минус в данном случае дает плюс, а от перестановки слагаемых сумма не меняется. Этими же правилами мы пользуемся при вычитании дробей одна из которых отрицательная.

Для решения смешанных дробей (дробей, в которых выделена целая часть) просто загоните целую часть в дробь. Для этого умножьте целую часть на знаменатель и прибавьте к числителю.

Если вам нужно решить онлайн 3 и более дроби, то решать их следует по очереди. Сначала посчитайте первые 2 дроби, потом с полученным ответом прорешайте следующую дробь и так далее. Выполняйте операции по очереди по 2 дроби, и в итоге вы получите верный ответ.

Дроби бывают обыкновенные и десятичные. Когда школьник узнает о существовании последних, он начинает при каждом удобном случае переводить все, что возможно, в десятичный вид, даже если этого не требуется.

Как ни странно, у старшеклассников и студентов предпочтения меняются, потому что проще выполнять многие арифметические действия с обыкновенными дробями. Да и значения, с которыми имеют дело выпускники, преобразовать в десятичный вид без потерь порой бывает попросту невозможно. В результате оба вида дробей оказываются, так или иначе, приспособлены к делу и обладают своими преимуществами и недостатками. Посмотрим, как с ними работать.

Определение

Дроби - это те же доли. Если в апельсине десять долек, а вам дали одну, то у вас в руке 1/10 часть фрукта. При такой записи, как в предыдущем предложении, дробь будет называться обыкновенной. Если написать то же самое как 0,1 - десятичной. Оба варианта являются равноправными, однако имеют свои преимущества. Первый вариант удобнее при умножении и делении, второй - при сложении, вычитании и в ряде других случаев.

Как перевести дробь в другой вид

Предположим, у вас есть обыкновенная дробь, и вы хотите сделать из неё десятичную. Что для этого нужно сделать?

К слову сказать, нужно заранее определиться, что не любое число можно без проблем записать в десятичном виде. Иногда приходится результат округлять, теряя некоторое количество знаков после запятой, а во многих областях - например, в точных науках - это совершено непозволительная роскошь. В то же время действия с десятичными и обыкновенными дробями в 5 классе позволяют осуществлять такой перевод из одного вида в другой без помех, хотя бы в качестве тренировки.

Если из знаменателя путём умножения или деления на целое число можно получить значение, кратное 10, перевод пройдёт без каких-либо трудностей: ¾ превращается в 0,75, 13/20 - в 0,65.

Обратная процедура выполняется ещё проще, поскольку из десятичной дроби можно всегда получить обыкновенную без потерь в точности. Например, 0,2 становится 1/5, а 0,08 - 4/25.

Внутренние преобразования

Прежде чем осуществлять совместные действия с обыкновенными дробями, нужно подготовить числа к возможным математическим операциям.

Перво-наперво нужно привести все имеющиеся в примере дроби к одному общему виду. Они должны быть либо обыкновенными, либо десятичными. Сразу оговоримся, что умножение и деление удобнее выполнять с первыми.

В подготовке чисел к дальнейшим действиям вам поможет правило, известное как и используемое как в первые годы изучения предмета, так и в высшей математике, которую изучают в университетах.

Свойства дробей

Предположим, у вас есть некоторое значение. Скажем, 2/3. Что изменится, если вы умножите числитель и знаменатель на 3? Получится 6/9. А если на миллион? 2000000/3000000. Но постойте, ведь число качественно совершенно не меняется - 2/3 остаются равны 2000000/3000000. Меняется только форма, но не содержание. То же самое произойдёт при делении обеих частей на одно и то же значение. В этом и заключается основное свойство дроби, которое неоднократно поможет вам производить действия с десятичными и обыкновенными дробями на контрольных и экзаменах.

Умножение числителя и знаменателя на одно и то же число называется расширением дроби, а деление - сокращением. Надо сказать, что зачеркивание одинаковых чисел в верхней и нижней части при перемножении и делении дробей - удивительно приятная процедура (в рамках урока математики, конечно). Создается впечатление, что ответ уже близок и пример практически решен.

Неправильные дроби

Неправильной дробью называется такая, у которой числитель больше или равен знаменателю. Иными словами, если у неё можно выделить целую часть, она попадает под это определение.

Если такое число (большее либо равное единице) представлено в виде обыкновенной дроби, она будет называться неправильной. А если числитель меньше знаменателя - правильной. Оба вида одинаково удобны при осуществлении возможных действий с обыкновенными дробями. Их можно беспрепятственно умножать и делить, складывать и вычитать.

Если же одновременно выделена целая часть и при этом имеется остаток в виде дроби, полученное число будет называться смешанным. В будущем вы столкнетесь с различными способами комбинации таких структур с переменными, а также решением уравнений, где потребуются эти знания.

Арифметические операции

Если с основным свойством дроби всё ясно, то как вести себя при перемножении дробей? Действия с обыкновенными дробями в 5 классе подразумевают все виды арифметических операций, которые выполняются двумя различными способами.

Умножение и деление выполняются очень просто. В первом случае просто перемножаются числители и знаменатели двух дробей. Во втором - то же самое, только крест-накрест. Таким образом, числитель первой дроби умножается на знаменатель второй, и наоборот.

Для выполнения сложения и вычитания нужно произвести дополнительное действие - привести все компоненты выражения к общему знаменателю. Это значит, что нижние части дробей должны быть изменены до одинакового значения - числа, кратного обоим имеющимся знаменателям. Например, для 2 и 5 это будет 10. Для 3 и 6 - 6. Но что тогда делать с верхней частью? Мы же не можем оставить её в прежнем виде, если изменили нижнюю. Согласно основному свойству дроби мы умножим числитель на то же число, что и знаменатель. Эта операция должна быть произведена с каждым из чисел, которые мы будем складывать или вычитать. Впрочем, такие действия с обыкновенными дробями в 6 классе выполняются уже «на автомате», а трудности возникают только на начальном этапе изучения темы.

Сравнение

Если у двух дробей одинаковый знаменатель, то больше будет та из них, числитель которой больше. Если же одинаковы верхние части, то больше будет та, у которой меньше знаменатель. Стоит иметь в виду, что столь удачные ситуации для сравнения выпадают нечасто. Скорее всего, и верхние, и нижние части выражений совпадать не будут. Тогда понадобится вспомнить про возможные действия с обыкновенными дробями и использовать приём, применяемый при сложении и вычитании. Кроме того, помните, что если мы говорим об отрицательных числах, то большая по модулю дробь окажется меньшей.

Преимущества обыкновенных дробей

Случается, что преподаватели говорят детям одну фразу, содержание которой можно выразить так: чем больше информации дано при формулировке задания, тем проще будет решение. Кажется, что звучит странно? Но действительно: при большом количестве известных величин можно пользоваться практически любыми формулами, а вот если предоставлена лишь пара чисел, могут потребоваться дополнительные размышления, придётся вспоминать и доказывать теоремы, приводить аргументы в пользу своей правоты…

К чему мы это? Да к тому, что обыкновенные дроби при всей своей громоздкости могут сильно упростить жизнь ученику, позволяя при перемножении и делении сокращать целые строки значений, а при расчёте суммы и разности выносить общие аргументы и, опять же, сокращать их.

Когда требуется осуществить совместные действия с обыкновенными и десятичными дробями, трансформации осуществляются в пользу первых: как вы переведете 3/17 в десятичный вид? Только с потерями информации, не иначе. А вот 0,1 можно представить как 1/10, а далее - как 17/170. И тогда два получившихся числа можно складывать или вычитать: 30/170 + 17/170 = 47/170.

Чем полезны десятичные дроби

Если действия с обыкновенными дробями осуществлять и сподручнее, то записывать все с их помощью крайне неудобно, десятичные здесь имеют существенное преимущество. Сравните: 1748/10000 и 0,1748. Это одно и то же значение, представленное в двух различных вариантах. Разумеется, второй способ проще!

Кроме того, десятичные дроби проще представить, поскольку все данные имеют общее основание, различающееся исключительно на порядки. Скажем, скидку в 30% мы легко осознаем и даже оценим как значительную. А сразу ли вы поймете, что больше - 30% или 137/379? Таким образом, десятичные дроби обеспечивают стандартизацию расчётов.

В старших классах ученики решают квадратные уравнения. Выполнять действия с обыкновенными дробями здесь уже крайне проблематично, поскольку формула для расчёта значений переменной содержит квадратный корень из суммы. При наличии дроби, не сводимой к десятичной, решение усложняется настолько, что рассчитать точный ответ без калькулятора становится практически невозможно.

Итак, каждый способ представления дробей имеет свои преимущества в соответствующем контексте.

Формы записи

Существует два способа записи действий с обыкновенными дробями: через горизонтальную черту, в два «яруса», и через наклонную черту (она же - «слэш») - в строку. Когда ученик пишет в тетради, первый вариант обычно удобнее, а потому и более распространен. Распределение рядом цифр по клеточкам способствует развитию внимательности при расчётах и проведении преобразований. При записи в строку можно по невнимательности перепутать порядок действий, потерять какие-либо данные - то есть, ошибиться.

Достаточно часто в наше время возникает необходимость напечатать числа на компьютере. Разделять дроби традиционной горизонтальной чертой можно, используя функцию в программе «Майкрософт Ворд» 2010 и более позднего года выпуска. Дело в том, что в этих версиях софта есть опция под названием «формула». Она выводит на экран прямоугольное трансформируемое поле, в рамках которого можно комбинировать любые математические символы, составлять и двух-, и «четырехэтажные» дроби. В знаменателе и числителе можно пользоваться скобками, знаками операций. В результате вы сможете записать любые совместные действия с обыкновенными и десятичными дробями в традиционной форме, т. е. так, как это учат делать в школе.

Если же вы будете пользоваться стандартным текстовым редактором «Блокнот», то все дробные выражения нужно будет писать через наклонную черту. Другого способа здесь, к сожалению, не предусмотрено.

Заключение

Вот мы и рассмотрели все основные действия с обыкновенными дробями, которых, оказывается, не так уж и много.

Если поначалу может казаться, что это сложный раздел математики, то это только временное впечатление - помните, когда-то вы так думали про таблицу умножения, а ещё раньше - про обычные прописи и счёт от одного до десяти.

Важно понимать, что дроби используются в повседневной жизни повсюду. Вы будете иметь дело с деньгами и инженерными расчётами, информационными технологиями и музыкальной грамотой, и везде - везде! - дробные числа будут фигурировать. Поэтому не поленитесь и изучите эту тему хорошенько - тем более не такая уж она и сложная.

Говоря о математике, нельзя не вспомнить дроби. Их изучению уделяют немало внимания и времени. Вспомните, сколько примеров вам приходилось решать, чтобы усвоить те или иные правила работы с дробями, как вы запоминали и применяли основное свойство дроби. Сколько нервов было потрачено для нахождения общего знаменателя, особенно если в примерах было больше двух слагаемых!

Давайте же вспомним, что это такое, и немного освежим в памяти основные сведения и правила работы с дробями.

Определение дробей

Начнем, пожалуй, с самого главного - определения. Дробь - это число, которое состоит из одной или более частей единицы. Дробное число записывается в виде двух чисел, разделенных горизонтальной либо же косой чертой. При этом верхнее (или первое) называется числителем, а нижнее (второе) - знаменателем.

Стоит отметить, что знаменатель показывает, на сколько частей разделена единица, а числитель - количество взятых долей или частей. Зачастую дроби, если они правильные, меньше единицы.

Теперь давайте рассмотрим свойства данных чисел и основные правила, которые используются при работе с ними. Но прежде чем мы будем разбирать такое понятие, как "основное свойство рациональной дроби", поговорим о видах дробей и их особенностях.

Какими бывают дроби

Можно выделить несколько видов таких чисел. В первую очередь это обыкновенные и десятичные. Первые представляют собой уже указанный нами вид записи с помощью горизонтальной либо косой черты. Второй вид дробей обозначается с помощью так называемой позиционной записи, когда сначала идет указание целой части числа, а затем, после запятой, указывается дробная часть.

Тут стоит отметить, что в математике одинаково используются как десятичные, так и обыкновенные дроби. Основное свойство дроби при этом действительно только для второго варианта. Кроме того, в обыкновенных дробях выделяют правильные и неправильные числа. У первых числитель всегда меньше знаменателя. Отметим также, что такая дробь меньше единицы. В неправильной дроби наоборот - числитель больше знаменателя, а сама она больше единицы. При этом из нее можно выделить целое число. В данной статье мы рассмотрим только обыкновенные дроби.

Свойства дробей

Любое явление, химическое, физическое или математическое, имеет свои характеристики и свойства. Не стали исключением и дробные числа. Они имеют одну немаловажную особенность, с помощью которой над ними можно проводить те или иные операции. Каково основное свойство дроби? Правило гласит, что если ее числитель и знаменатель умножить либо же разделить на одно и то же рациональное число, мы получим новую дробь, величина которой будет равна величине исходной. То есть, умножив две части дробного числа 3/6 на 2, мы получим новую дробь 6/12, при этом они будут равны.

Исходя из этого свойства, можно сокращать дроби, а также подбирать общие знаменатели для той или иной пары чисел.

Операции

Несмотря на то что дроби кажутся нам более сложными, по сравнению с с ними также можно выполнять основные математические операции, такие как сложение и вычитание, умножение и деление. Кроме того, есть и такое специфическое действие, как сокращение дробей. Естественно, каждое из этих действий совершается согласно определенным правилам. Знание этих законов облегчает работу с дробями, делает ее более легкой и интересной. Именно поэтому дальше мы с вами рассмотрим основные правила и алгоритм действий при работе с такими числами.

Но прежде чем говорить о таких математических операциях, как сложение и вычитание, разберем такую операцию, как приведение к общему знаменателю. Вот тут нам как раз таки и пригодится знание того, какое основное свойство дроби существует.

Общий знаменатель

Для того чтобы число привести к общему знаменателю, сначала понадобится найти наименьшее общее кратное для двух знаменателей. То есть наименьшее число, которое одновременно делится на оба знаменателя без остатка. Наиболее простой способ подобрать НОК (наименьшее общее кратное) - выписать в строчку для одного знаменателя, затем для второго и найти среди них совпадающее число. В том случае, если НОК не найдено, то есть у данных чисел нет общего кратного числа, следует перемножить их, а полученное значение считать за НОК.

Итак, мы нашли НОК, теперь следует найти дополнительный множитель. Для этого нужно поочередно разделить НОК на знаменатели дробей и записать над каждой из них полученное число. Далее следует умножить числитель и знаменатель на полученный дополнительный множитель и записать результаты в виде новой дроби. Если вы сомневаетесь в том, что полученное вами число равняется прежнему, вспомните основное свойство дроби.

Сложение

Теперь перейдем непосредственно к математическим операциям над дробными числами. Начнем с самой простой. Есть несколько вариантов сложения дробей. В первом случае оба числа имеют одинаковый знаменатель. В таком случае остается лишь сложить числители между собой. Но знаменатель не меняется. Например, 1/5 + 3/5 = 4/5.

В случае если у дробей разные знаменатели, следует привести их к общему и лишь затем выполнять сложение. Как это сделать, мы с вами разобрали чуть выше. В данной ситуации вам как раз и пригодится основное свойство дроби. Правило позволит привести числа к общему знаменателю. При этом значение никоим образом не изменится.

Как вариант, может случиться, что дробь является смешанной. Тогда следует сначала сложить между собой целые части, а затем уже дробные.

Умножение

Не требует никаких хитростей, и для того чтобы выполнить данное действие, необязательно знать основное свойство дроби. Достаточно сначала перемножить между собой числители и знаменатели. При этом произведение числителей станет новым числителем, а знаменателей - новым знаменателем. Как видите, ничего сложного.

Единственное, что от вас требуется, - знание таблицы умножения, а также внимательность. Кроме того, после получения результата следует обязательно проверить, можно ли сократить данное число или нет. О том, как сокращать дроби, мы расскажем немного позже.

Вычитание

Выполняя следует руководствоваться теми же правилами, что и при сложении. Так, в числах с одинаковым знаменателем достаточно от числителя уменьшаемого отнять числитель вычитаемого. В том случае, если у дробей разные знаменатели, следует привести их к общему и затем выполнить данную операцию. Как и в аналогичном случае со сложением, вам понадобится использовать основное свойство алгебраической дроби, а также навыки в нахождении НОК и общих делителей для дробей.

Деление

И последняя, наиболее интересная операция при работе с такими числами - деление. Она довольно простая и не вызывает особых трудностей даже у тех, кто плохо разбирается, как работать с дробями, в особенности выполнять операции сложения и вычитания. При делении действует такое правило, как умножение на обратную дробь. Основное свойство дроби, как и в случае с умножением, задействовано для данной операции не будет. Разберем подробнее.

При делении чисел делимое остается без изменений. Дробь-делитель превращается в обратную, то есть числитель со знаменателем меняются местами. После этого числа перемножаются между собой.

Сокращение

Итак, мы с вами уже разобрали определение и структуру дробей, их виды, правила операций над данными числами, выяснили основное свойство алгебраической дроби. Теперь поговорим о такой операции, как сокращение. Сокращением дроби называется процесс ее преобразования - деление числителя и знаменателя на одно и то же число. Таким образом, дробь сокращается, не меняя при этом своих свойств.

Обычно при совершении математической операции следует внимательно посмотреть на полученный в итоге результат и выяснить, возможно ли сократить полученную дробь или же нет. Помните, что в итоговый результат всегда записывается не требующее сокращения дробное число.

Другие операции

Напоследок отметим, что мы перечислили далеко не все операции над дробными числами, упомянув лишь самые известные и необходимые. Дроби также можно сравнять, преобразовать в десятичные и наоборот. Но в данной статье мы не стали рассматривать данные операции, так как в математике они осуществляются намного реже, чем те, что были приведены нами выше.

Выводы

Мы с вами поговорили о дробных числах и операциях с ними. Разобрали также основное свойство Но заметим, что все эти вопросы были рассмотрены нами вскользь. Мы привели лишь наиболее известные и употребляемые правила, дали наиболее важные, на наш взгляд, советы.

Данная статья призвана скорее освежить забытые вами сведения о дробях, нежели дать новую информацию и "забить" голову бесконечными правилами и формулами, которые, вероятнее всего, вам так и не пригодятся.

Надеемся, что материал, представленный в статье просто и лаконично, стал для вас полезным.

Дробь — форма представления числа в математике. Дробная черта обозначает операцию деления. Числителем дроби называется делимое, а знаменателем — делитель. Например, в дроби числителем является число 5, а знаменателем — 7.

Правильной называется дробь, у которой модуль числителя больше модуля знаменателя. Если дробь является правильной, то модуль её значения всегда меньше 1. Все остальные дроби являются неправильными .

Дробь называют смешанной , если она записана как целое число и дробь. Это то же самое, что и сумма этого числа и дроби:

Основное свойство дроби

Если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же число, то значение дроби не изменится, то есть, например,

Приведение дробей к общему знаменателю

Чтобы привести две дроби к общему знаменателю, нужно:

1. Числитель первой дроби умножить на знаменатель второй
2. Числитель второй дроби умножить на знаменатель первой
3. Знаменатели обеих дробей заменить на их произведение

Действия с дробями

Сложение. Чтобы сложить две дроби, нужно

1. Сложить новые числители обеих дробей, а знаменатель оставить без изменений

Пример:

Вычитание. Чтобы вычесть одну дробь из другой, нужно

1. Привести дроби к общему знаменателю
2. Вычесть из числителя первой дроби числитель второй, а знаменатель оставить без изменений

Пример:

Умножение. Чтобы умножить одну дробь на другую, следует перемножить их числители и знаменатели:

Деление. Чтобы разделить одну дробь на другую, следует числитель первой дроби умножить на знаменатель второй, а знаменатель первой дроби умножить на числитель второй:

Калькулятор онлайн.
Вычисление выражения с числовыми дробями.
Умножение, вычитание, деление, сложение и сокращение дробей с разными знаменателями.

С помощью данного калькулятора онлайн вы можете умножить, вычесть, поделить, сложить и сократить числовые дроби с разными знаменателями.

Программа работает с правильными, неправильными и смешанными числовыми дробями.

Данная программа (калькулятор онлайн) умеет:
- выполнять сложение смешанных дробей с разными знаменателями
- выполнять вычетание смешанных дробей с разными знаменателями
- выполнять деление смешанных дробей с разными знаменателями
- выполнять умножение смешанных дробей с разными знаменателями
- приводить дроби к общему знаменателю
- преобразовывать смешанные дроби в неправильные
- сокращать дроби

Также можно ввести не выражение с дробями, а одну единственную дробь.
В этом случае дробь будет сокращена и из результата выделена целая часть.

Калькулятор онлайн для вычисления выражений с числовыми дробями не просто даёт ответ задачи, он приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс нахождения решения.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Если вы не знакомы с правилами ввода выражений с числовыми дробями, рекомендуем с ними ознакомиться.

Правила ввода выражений с числовыми дробями

В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.

Знаменатель не может быть отрицательным.

При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: /
Ввод: -2/3 + 7/5
Результат: \(-\frac{2}{3} + \frac{7}{5} \)

Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: &
Ввод: -1&2/3 * 5&8/3
Результат: \(-1\frac{2}{3} \cdot 5\frac{8}{3} \)

Деление дробей вводится знаком двоеточие: :
Ввод: -9&37/12: -3&5/14
Результат: \(-9\frac{37}{12} : \left(-3\frac{5}{14} \right) \)
Помните, что на ноль делить нельзя!

При вводе выражений с числовыми дробями можно использовать скобки.
Ввод: -2/3 * (6&1/2-5/9) : 2&1/4 + 1/3
Результат: \(-\frac{2}{3} \cdot \left(6 \frac{1}{2} - \frac{5}{9} \right) : 2\frac{1}{4} + \frac{1}{3} \)

Введите выражение с числовыми дробями.

Вычислить

Обнаружено что не загрузились некоторые скрипты, необходимые для решения этой задачи, и программа может не работать.
Возможно у вас включен AdBlock.
В этом случае отключите его и обновите страницу.

У вас в браузере отключено выполнение JavaScript.
Чтобы решение появилось нужно включить JavaScript.
Вот инструкции, как включить JavaScript в вашем браузере .

Т.к. желающих решить задачу очень много, ваш запрос поставлен в очередь.
Через несколько секунд решение появится ниже.
Пожалуйста подождите сек...

Если вы заметили ошибку в решении , то об этом вы можете написать в Форме обратной связи .
Не забудте указать какую задачу вы решаете и что вводите в поля .

Наши игры, головоломки, эмуляторы:

Немного теории.

Обыкновенные дроби. Деление с остатком

Если нам нужно разделить 497 на 4, то при делении мы увидим, что 497 не делится на 4 нацело, т.е. остаётся остаток от деления. В таких случаях говорят, что выполнено деление с остатком , и решение записывают в таком виде:
497: 4 = 124 (1 остаток).

Компоненты деления в левой части равенства называют так же, как при делении без остатка: 497 - делимое , 4 - делитель . Результат деления при делении с остатком называют неполным частным . В нашем случае это число 124. И, наконец, последний компонент, которого нет в обычном делении, - остаток . В тех случаях, когда остатка нет, говорят, что одно число разделилось на другое без остатка, или нацело . Считают, что при таком делении остаток равен нулю. В нашем случае остаток равен 1.

Остаток всегда меньше делителя.

Проверку при делении можно сделать умножением. Если, например, имеется равенство 64: 32 = 2, то проверку можно сделать так: 64 = 32 * 2.

Часто в случаях, когда выполняется деление с остатком, удобно использовать равенство
а = b * n + r ,
где а - делимое, b - делитель, n - неполное частное, r - остаток.

Частное от деления натуральных чисел можно записать в виде дроби.

Числитель дроби - это делимое, а знаменатель - делитель.

Поскольку числитель дроби - это делимое, а знаменатель - делитель, считают, что черта дроби означает действие деление . Иногда бывает удобно записывать деление в виде дроби, не используя знак «:».

Частное от деления натуральных чисел m и n можно записать в виде дроби \(\frac{m}{n} \), где числитель m - делимое, а знаменатель п - делитель:
\(m:n = \frac{m}{n} \)

Верны следующие правила:

Чтобы получить дробь \(\frac{m}{n} \), надо единицу разделить на n равных частей (долей) и взять m таких частей.

Чтобы получить дробь \(\frac{m}{n} \), надо число m разделить на число n.

Чтобы найти часть от целого, надо число, соответствующее целому, разделить на знаменатель и результат умножить на числитель дроби, которая выражает эту часть.

Чтобы найти целое по его части, надо число, соответствующее этой части, разделить на числитель и результат умножить на знаменатель дроби, которая выражает эту часть.

Если и числитель, и знаменатель дроби умножить на одно и то же число (кроме нуля), величина дроби не изменится:
\(\large \frac{a}{b} = \frac{a \cdot n}{b \cdot n} \)

Если и числитель, и знаменатель дроби разделить на одно и то же число (кроме нуля), величина дроби не изменится:
\(\large \frac{a}{b} = \frac{a: m}{b: m} \)
Это свойство называют основным свойством дроби .

Два последних преобразования называют сокращением дроби .

Если дроби нужно представить в виде дробей с одним и тем же знаменателем, то такое действие называют приведением дробей к общему знаменателю .

Правильные и неправильные дроби. Смешанные числа

Вы уже знаете, что дробь можно получить, если разделить целое на равные части и взять несколько таких частей. Например, дробь \(\frac{3}{4} \) означает три четвёртых доли единицы. Во многих задачах предыдущего параграфа обыкновенные дроби использовались для обозначения части целого. Здравый смысл подсказывает, что часть всегда должна быть меньше целого, но как тогда быть с такими дробями, как, например, \(\frac{5}{5} \) или \(\frac{8}{5} \)? Ясно, что это уже не часть единицы. Наверное, поэтому такие дроби, у которых числитель больше знаменателя или равен ему, называют неправильными дробями . Остальные дроби, т. е. дроби, у которых числитель меньше знаменателя, называют правильными дробями .

Как вы знаете, любую обыкновенную дробь, и правильную, и неправильную, можно рассматривать как результат деления числителя на знаменатель. Поэтому в математике, в отличие от обычного языка, термин «неправильная дробь» означает не то, что мы что-то сделали неправильно, а только то, что у этой дроби числитель больше знаменателя или равен ему.

Если число состоит из целой части и дроби, то такие дроби называются смешанными .

Например:
\(5:3 = 1\frac{2}{3} \) : 1 - целая часть, а \(\frac{2}{3} \) - дробная часть.

Если числитель дроби \(\frac{a}{b} \) делится на натуральное число n, то, чтобы разделить эту дробь на n, надо её числитель разделить на это число:
\(\large \frac{a}{b} : n = \frac{a:n}{b} \)

Если числитель дроби \(\frac{a}{b} \) не делится на натуральное число n, то, чтобы разделить эту дробь на n, надо её знаменатель умножить на это число:
\(\large \frac{a}{b} : n = \frac{a}{bn} \)

Заметим, что второе правило справедливо и в том случае, когда числитель делится на n. Поэтому мы можем его применять тогда, когда трудно с первого взгляда определить, делится числитель дроби на n или нет.

Действия с дробями. Сложение дробей.

С дробными числами, как и с натуральными числами, можно выполнять арифметические действия. Рассмотрим сначала сложение дробей. Легко сложить дроби с одинаковыми знаменателями. Найдем, например, сумму \(\frac{2}{7} \) и \(\frac{3}{7} \). Легко понять, что \(\frac{2}{7} + \frac{2}{7} = \frac{5}{7} \)

Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить прежним.

Используя буквы, правило сложения дробей с одинаковыми знаменателями можно записать так:
\(\large \frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a+b}{c} \)

Если требуется сложить дроби с разными знаменателями, то их предварительно следует привести к общему знаменателю. Например:
\(\large \frac{2}{3}+\frac{4}{5} = \frac{2\cdot 5}{3\cdot 5}+\frac{4\cdot 3}{5\cdot 3} = \frac{10}{15}+\frac{12}{15} = \frac{10+12}{15} = \frac{22}{15} \)

Для дробей, как и для натуральных чисел, справедливы переместительное и сочетательное свойства сложения.

Сложение смешанных дробей

Такие записи, как \(2\frac{2}{3} \), называют смешанными дробями . При этом число 2 называют целой частью смешанной дроби, а число \(\frac{2}{3} \) - ее дробной частью . Запись \(2\frac{2}{3} \) читают так: «две и две трети».

При делении числа 8 на число 3 можно получить два ответа: \(\frac{8}{3} \) и \(2\frac{2}{3} \). Они выражают одно и то же дробное число, т.е \(\frac{8}{3} = 2 \frac{2}{3} \)

Таким образом, неправильная дробь \(\frac{8}{3} \) представлена в виде смешанной дроби \(2\frac{2}{3} \). В таких случаях говорят, что из неправильной дроби выделили целую часть .

Вычитание дробей (дробных чисел)

Вычитание дробных чисел, как и натуральных, определяется на основе действия сложения: вычесть из одного числа другое - это значит найти такое число, которое при сложении со вторым дает первое. Например:
\(\frac{8}{9}-\frac{1}{9} = \frac{7}{9} \) так как \(\frac{7}{9}+\frac{1}{9} = \frac{8}{9} \)

Правило вычитания дробей с одинаковыми знаменателями похоже на правило сложения таких дробей:
чтобы найти разность дробей с одинаковыми знаменателями, надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй, а знаменатель оставить прежним.

С помощью букв это правило записывается так:
\(\large \frac{a}{c}-\frac{b}{c} = \frac{a-b}{c} \)

Умножение дробей

Чтобы умножить дробь на дробь, нужно перемножить их числители и знаменатели и первое произведение записать числителем, а второе - знаменателем.

С помощью букв правило умножения дробей можно записать так:
\(\large \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d} \)

Пользуясь сформулированным правилом, молено умножать дробь на натуральное число, на смешанную дробь, а также перемножать смешанные дроби. Для этого нужно натуральное число записать в виде дроби со знаменателем 1, смешанную дробь - в виде неправильной дроби.

Результат умножения надо упрощать (если это возможно), сокращая дробь и выделяя целую часть неправильной дроби.

Для дробей, как и для натуральных чисел, справедливы переместительное и сочетательное свойства умножения, а также распределительное свойство умножения относительно сложения.

Деление дробей

Возьмем дробь \(\frac{2}{3} \) и «перевернем» ее, поменяв местами числитель и знаменатель. Получим дробь \(\frac{3}{2} \). Эту дробь называют обратной дроби \(\frac{2}{3} \).

Если мы теперь «перевернем» дробь \(\frac{3}{2} \), то получим исходную дробь \(\frac{2}{3} \). Поэтому такие дроби, как \(\frac{2}{3} \) и \(\frac{3}{2} \) называют взаимно обратными .

Взаимно обратными являются, например, дроби \(\frac{6}{5} \) и \(\frac{5}{6} \), \(\frac{7}{18} \) и \(\frac{18}{7} \).

С помощью букв взаимно обратные дроби можно записать так: \(\frac{a}{b} \) и \(\frac{b}{a} \)

Понятно, что произведение взаимно обратных дробей равно 1 . Например: \(\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} =1 \)

Используя взаимно обратные дроби, можно деление дробей свести к умножению.

Правило деления дроби на дробь:
чтобы разделить одну дробь на другую, нужно делимое умножить на дробь, обратную делителю.