Istituzione comunale di bilancio educativo -

Scuola secondaria n. 51

Orenburg.

Progetto su:

insegnante di matematica

Egorcheva Vittoria Andreevna

2017

Ipotesi : Se la teoria dei grafi viene avvicinata alla pratica, si possono ottenere i risultati più vantaggiosi.

Bersaglio: Acquisisci familiarità con il concetto di grafici e impara come applicarli nella risoluzione di vari problemi.

Compiti:

1) Ampliare la conoscenza sui metodi di costruzione dei grafici.

2) Individuare tipologie di problemi la cui soluzione richiede l'uso della teoria dei grafi.

3) Esplora l'uso dei grafici in matematica.

"Eulero calcolò, senza alcuno sforzo visibile, come una persona respira o come un'aquila si libra sopra la terra."

Domenico Arago.

IO. Introduzione. P.

II . Parte principale.

1. Il concetto di grafico. Problema sui ponti di Königsberg. P.

2. Proprietà dei grafici. P.

3. Problemi nell'uso della teoria dei grafi. P.

Conclusione.

Il significato dei grafici. P.

IV. Bibliografia. P.

IO . INTRODUZIONE

La teoria dei grafi è una scienza relativamente giovane. “Grafici” deriva dalla parola greca “grapho”, che significa “io scrivo”. La stessa radice è nelle parole “grafico”, “biografia”.

Nel mio lavoro, guardo come la teoria dei grafi viene utilizzata in vari ambiti della vita delle persone. Ogni insegnante di matematica e quasi ogni studente sa quanto sia difficile risolvere problemi geometrici, così come problemi di algebra. Dopo aver esplorato la possibilità di utilizzare la teoria dei grafi in un corso di matematica scolastica, sono giunto alla conclusione che questa teoria semplifica notevolmente la comprensione e la risoluzione dei problemi.

II . PARTE PRINCIPALE.

1. Il concetto di grafico.

Il primo lavoro sulla teoria dei grafi appartiene a Leonhard Euler. Apparve nel 1736 nelle pubblicazioni dell'Accademia delle scienze di San Pietroburgo e iniziò con una considerazione del problema dei ponti di Königsberg.

Probabilmente sai che esiste una città come Kaliningrad; una volta si chiamava Koenigsberg. Il fiume Pregolya scorre attraverso la città. Si divide in due rami e fa il giro dell'isola. Nel XVII secolo in città c'erano sette ponti, disposti come mostrato nella foto.

Si racconta che un giorno un abitante della città chiese ad un suo amico se poteva attraversare tutti i ponti in modo da visitarli una sola volta e tornare al luogo da cui aveva avuto inizio la passeggiata. Molti cittadini si interessarono a questo problema, ma nessuno riuscì a trovare una soluzione. Questo problema ha attirato l'attenzione di scienziati di molti paesi. Il famoso matematico Leonhard Euler riuscì a risolvere il problema. Leonhard Euler, originario di Basilea, nacque il 15 aprile 1707. I risultati scientifici di Eulero sono enormi. Ha influenzato lo sviluppo di quasi tutti i rami della matematica e della meccanica, sia nel campo della ricerca fondamentale che nelle loro applicazioni. Leonhard Euler non solo risolse questo problema specifico, ma elaborò anche un metodo generale per risolverli. Eulero fece quanto segue: “compresse” la terra in punti e “allungò” i ponti in linee. Il risultato è la figura mostrata in figura.

Viene chiamata una tale figura, composta da punti e linee che collegano questi punticontare. Punti A, B, C, D sono chiamati vertici del grafico e le linee che collegano i vertici sono chiamate bordi del grafico. Nel disegno dai vertici B, C, D Escono 3 costole, e dalla sommità UN - 5 costole. Si chiamano vertici dai quali emergono un numero dispari di spigolivertici dispari, e i vertici da cui emergono un numero pari di spigoli sonoAnche.

2. Proprietà del grafico.

Risolvendo il problema dei ponti di Königsberg, Eulero stabilì, in particolare, le proprietà del grafo:

1. Se tutti i vertici del grafico sono pari, puoi disegnare un grafico con un tratto (cioè senza sollevare la matita dal foglio e senza disegnare due volte lungo la stessa linea). In questo caso il movimento può iniziare da qualsiasi vertice e terminare allo stesso vertice.

2. Un grafico con due vertici dispari può anche essere disegnato con un tratto. Il movimento deve iniziare da qualsiasi vertice dispari e terminare in un altro vertice dispari.

3. Un grafico con più di due vertici dispari non può essere disegnato con un solo tratto.

4.Il numero di vertici dispari in un grafico è sempre pari.

5. Se un grafico ha vertici dispari, il numero minimo di tratti che possono essere utilizzati per disegnare il grafico sarà pari alla metà del numero di vertici dispari di questo grafico.

Ad esempio, se una figura ha quattro numeri dispari, può essere disegnata con almeno due tratti.

Nel problema dei sette ponti di Königsberg tutti e quattro i vertici del grafo corrispondente sono dispari, cioè Non puoi attraversare tutti i ponti una volta e terminare il viaggio da dove è iniziato.

3. Risoluzione di problemi utilizzando i grafici.

1. Compiti sul disegno di figure con un colpo.

Il tentativo di disegnare ciascuna delle seguenti forme con un tratto di penna produrrà risultati diversi.

Se nella figura non sono presenti punti dispari, è sempre possibile disegnarla con un tratto di penna, indipendentemente da dove si inizia a disegnare. Queste sono le figure 1 e 5.

Se una figura ha solo una coppia di punti dispari, allora tale figura può essere disegnata con un tratto, iniziando a disegnare da uno dei punti dispari (non importa quale). È facile capire che il disegno dovrebbe terminare al secondo punto dispari. Queste sono le figure 2, 3, 6. Nella figura 6, ad esempio, il disegno deve iniziare o dal punto A o dal punto B.

Se una figura ha più di una coppia di punti dispari, non può essere disegnata con un solo tratto. Queste sono le figure 4 e 7, contenenti due coppie di punti dispari. Quanto detto è sufficiente per riconoscere con precisione quali figure non possono essere disegnate in un colpo solo e quali invece si possono disegnare, nonché da quale punto deve iniziare il disegno.

Propongo di disegnare le seguenti figure in un colpo solo.

2. Risoluzione di problemi logici.

COMPITO N. 1.

Ci sono 6 partecipanti al campionato di classe di ping pong: Andrey, Boris, Victor, Galina, Dmitry ed Elena. Il campionato si svolge secondo il sistema round robin: ogni partecipante gioca contro gli altri una volta. Ad oggi alcune partite sono già state giocate: Andrey ha giocato con Boris, Galina, Elena; Boris - con Andrey, Galina; Victor - con Galina, Dmitry, Elena; Galina - con Andrey, Victor e Boris. Quante partite sono state giocate finora e quante ne restano?

SOLUZIONE:

Costruiamo un grafico come mostrato in figura.

7 partite giocate.

In questa figura, il grafico ha 8 spigoli, quindi ci sono 8 giochi rimasti da giocare.

COMPITO N.2

Nel cortile, circondato da un alto recinto, ci sono tre case: rossa, gialla e blu. La recinzione ha tre cancelli: rosso, giallo e blu. Dalla casa rossa traccia un percorso fino al cancello rosso, dalla casa gialla al cancello giallo, dalla casa blu a quella blu in modo che questi percorsi non si intersechino.

SOLUZIONE:

La soluzione al problema è mostrata in figura.

3. Risoluzione di problemi con le parole.

Per risolvere i problemi utilizzando il metodo del grafico, è necessario conoscere il seguente algoritmo:

1.Di quale processo stiamo parlando nel problema?2.Quali quantità caratterizzano questo processo?3.Qual è la relazione tra queste quantità?4.Quanti processi diversi sono descritti nel problema?5.Esiste una connessione tra gli elementi?

Rispondendo a queste domande, analizziamo la condizione del problema e lo scriviamo schematicamente.

Per esempio . L'autobus ha viaggiato per 2 ore ad una velocità di 45 km/h e per 3 ore ad una velocità di 60 km/h. Quanto ha percorso l'autobus in queste 5 ore?

S
¹=90 km V ¹=45 km/h t ¹=2h

S=VT

S²=180 km V²=60 km/h t²=3 h

S ¹ + S ² = 90 + 180

Soluzione:

1)45x 2 = 90 (km) - l'autobus ha viaggiato in 2 ore.

2)60x 3 = 180 (km) - l'autobus ha percorso in 3 ore.

3)90 + 180 = 270 (km) - l'autobus ha percorso in 5 ore.

Risposta: 270 km.

III . CONCLUSIONE.

Come risultato del lavoro sul progetto, ho appreso che Leonhard Euler è stato il fondatore della teoria dei grafi e ha risolto i problemi utilizzando la teoria dei grafi. Ho concluso da solo che la teoria dei grafi è utilizzata in varie aree della matematica moderna e nelle sue numerose applicazioni. Non c’è dubbio sull’utilità di introdurre noi studenti ai concetti base della teoria dei grafi. Risolvere molti problemi matematici diventa più semplice se puoi utilizzare i grafici. Presentazione dei dati V la forma di un grafico dà loro chiarezza. Molte dimostrazioni vengono inoltre semplificate e diventano più convincenti se si utilizzano i grafici. Ciò vale soprattutto per aree della matematica come la logica matematica e la combinatoria.

Pertanto, lo studio di questo argomento ha un grande significato educativo generale, culturale generale e matematico generale. Nella vita di tutti i giorni vengono sempre più utilizzate illustrazioni grafiche, rappresentazioni geometriche e altre tecniche e metodi visivi. A questo scopo è utile introdurre lo studio di elementi di teoria dei grafi nelle scuole primarie e secondarie, almeno nelle attività extrascolastiche, poiché questo argomento non è compreso nel curricolo di matematica.

V . BIBLIOGRAFIA:

2008

Revisione.

Il progetto sul tema "Grafici intorno a noi" è stato completato da Nikita Zaytsev, uno studente della classe 7 "A" presso l'istituto scolastico municipale n. 3, Krasny Kut.

Una caratteristica distintiva del lavoro di Nikita Zaitsev è la sua rilevanza, l’orientamento pratico, la profondità della trattazione dell’argomento e la possibilità di utilizzarlo in futuro.

Il lavoro è creativo, sotto forma di progetto informativo. Lo studente ha scelto questo argomento per mostrare il rapporto tra la teoria dei grafi e la pratica utilizzando l'esempio di un percorso di uno scuolabus, per mostrare che la teoria dei grafi è utilizzata in varie aree della matematica moderna e nelle sue numerose applicazioni, soprattutto in economia, logica matematica e combinatoria . Ha dimostrato che la risoluzione dei problemi è notevolmente semplificata se è possibile utilizzare i grafici, la presentazione dei dati sotto forma di grafico conferisce loro chiarezza e molte dimostrazioni risultano semplificate e diventano convincenti;

Il lavoro affronta temi quali:

1. Il concetto di grafico. Problema sui ponti di Königsberg.

2. Proprietà dei grafici.

3. Problemi nell'uso della teoria dei grafi.

4. Il significato dei grafici.

5. Opzione percorso scuolabus.

Durante l'esecuzione del suo lavoro, N. Zaitsev ha utilizzato:

1. Alkhova Z.N., Makeeva A.V. "Lavoro extracurriculare in matematica."

2. Rivista “La matematica a scuola”. Appendice “Primo settembre” n. 13

2008

3. Ya.I.Perelman "Compiti ed esperimenti divertenti" - Mosca: Istruzione, 2000.

Il lavoro è stato svolto con competenza, il materiale soddisfa i requisiti di questo argomento, i disegni corrispondenti sono allegati.

Istituzione educativa di bilancio comunale

Scuola media Doschatinskaja

distretto urbano di Vyksa, regione di Nizhny Novgorod

Risoluzione di problemi logici.

Dipartimento di Fisica e Matematica

Sezione matematica

Ho fatto il lavoro:

Studente di quinta elementare

Papotina Elena Sergeevna

consulente scientifico:

insegnante MBOU Doschatinskaya Scuola Secondaria

Roshchina Lyudmila Valerievna

Regione di Nižnij Novgorod

r/p Doschatoe

2016

annotazione

Lo scopo di questo lavoroidentificare la capacità di ragionare e trarre conclusioni corrette quando si risolvono problemi logici.QuestiI problemi sono divertenti e non richiedono molte conoscenze matematiche, quindi attirano anche quegli studenti a cui non piace molto la matematica.L'opera ha i seguenti compiti:

1) familiarità con i concetti di “logica” e “logica matematica”;

2) studio dei metodi di base per la risoluzione di problemi logici;

3) studiare la capacità di risolvere problemi logici da parte degli studenti delle classi 5-7.

I metodi di ricerca di questo lavoro sono:

Raccolta e studio delle informazioni.

Generalizzazione del materiale sperimentale e teorico.

Ipotesi : Gli studenti della nostra scuola sono in grado di risolvere problemi logici.

Durante la stesura dell'opera sono stati studiati tipi e metodi per risolvere problemi logici. È stato svolto un lavoro pratico con gli studenti delle scuole medie su come risolvere problemi logici. I risultati del lavoro hanno mostrato che non tutti gli studenti possono far fronte a compiti logici.Molto spesso, le capacità degli scolari rimangono nascoste, non hanno fiducia nelle proprie capacità e sono indifferenti alla matematica.Per tali studenti, propongo l'utilizzo di compiti logici. Questi compiti possono essere presi in considerazione nelle classi di club e opzionali.

2.3 Metodo del cerchio di Eulero

Questo metodoè un altro modo visivo e piuttosto interessante per risolvere problemi logici. Questo metodo si basa sulla costruzione dei famosi cerchi di Eulero-Venn,problemi in cui è necessario trovare qualche intersezione di insiemi o la loro unione, osservando le condizioni del problema. Diamo un'occhiata a un esempio di utilizzo di questo metodo.

Risolviamo il problema 6:

Dei 52 scolari, 23 collezionano badge, 35 raccolgono francobolli e 16 raccolgono sia badge che francobolli. Il resto non è interessato al collezionismo. Quanti scolari non sono interessati al collezionismo?

Soluzione. Le condizioni di questo problema non sono così facili da comprendere. Se si sommano 23 e 35 si ottiene più di 52. Ciò si spiega con il fatto che qui abbiamo contato due volte alcuni scolari, cioè quelli che collezionano sia distintivi che francobolli.Per facilitare la discussione utilizziamo i cerchi di Eulero

C'è un grande cerchio nella fotodenota i 52 studenti in questione; il cerchio 3 raffigura gli scolari che raccolgono distintivi, mentre il cerchio M raffigura gli scolari che raccolgono francobolli.

Il cerchio grande è diviso dai cerchi 3 e M in diverse aree. L'intersezione dei cerchi 3 e M corrisponde agli scolari che raccolgono sia badge che francobolli (Fig.). La parte del cerchio 3 che non appartiene al cerchio M corrisponde agli scolari che collezionano solo badge, e la parte del cerchio M che non appartiene al cerchio 3 corrisponde agli scolari che collezionano solo francobolli. La parte libera del cerchio grande rappresenta gli scolari che non sono interessati al collezionismo.

Compileremo in sequenza il nostro diagramma, inserendo in ogni area il numero corrispondente. Secondo la condizione, sia i badge che i francobolli vengono raccolti da 16 persone, quindi all'intersezione dei cerchi 3 e M scriveremo il numero 16 (Fig.).

Poiché 23 scolari raccolgono badge e 16 scolari raccolgono sia badge che francobolli, allora 23 - 16 = 7 persone raccolgono solo badge. Allo stesso modo solo i francobolli vengono collezionati da 35 - 16 = 19 persone. Scriviamo i numeri 7 e 19 nelle aree corrispondenti del diagramma.

Dalla foto è chiaro quante persone sono coinvolte nel collezionismo. Per scoprirlodevi aggiungere i numeri 7, 9 e 16. Otteniamo 42 persone. Ciò significa che 52 - 42 = 10 scolari continuano a non essere interessati al collezionismo. Questa è la risposta al problema; può essere inserita nel campo libero del grande cerchio.

Il metodo di Eulero è indispensabile per risolvere alcuni problemi e inoltre semplifica notevolmente il ragionamento.

2.4 Metodo dello schema a blocchi

Compito 7. Nella mensa scolastica potete ordinare come primo piatto borsch, solyanka e zuppa di funghi, come secondo piatto carne con pasta, pesce e patate, come secondo piatto pollo con riso e come terzo piatto tè e composta. Quanti pranzi diversi si possono preparare con questi piatti?

Soluzione. Formalizziamo la soluzione sotto forma di diagramma a blocchi:

Risposta: 18 opzioni.

2.5 Problemi di verità

Chiameremo problemi di verità i problemi in cui è necessario stabilire la verità o la falsità delle affermazioni.

Problema 7 . Tre amici Kolya, Oleg e Petya stavano giocando nel cortile e uno di loro ha rotto accidentalmente il vetro della finestra con una palla. Kolya ha detto: "Non sono stato io a rompere il vetro". Oleg ha detto: "Petya ha rotto il vetro". Successivamente si scoprì che una di queste affermazioni era vera e l'altra falsa. Quale ragazzo ha rotto il vetro?

Soluzione. Supponiamo che Oleg abbia detto la verità, quindi anche Kolya abbia detto la verità, e questo contraddice le condizioni del problema. Di conseguenza, Oleg ha detto una bugia e Kolya ha detto la verità. Dalle loro dichiarazioni risulta che Oleg ha rotto il vetro.

Compito 8. Quattro studenti - Vitya, Petya, Yura e Sergei - hanno conquistato quattro primi posti alle Olimpiadi della matematica. Alla domanda su quali posti avessero preso, sono state date le seguenti risposte:

a) Petya - secondo, Vitya - terzo;

b) Sergey - secondo, Petya - primo;

c) Yura - secondo, Vitya - quarto.

Indica chi ha occupato quale posto se solo una parte di ciascuna risposta è corretta.

Soluzione. Supponiamo che l'affermazione "Pietro - II" sia vera, quindi entrambe le affermazioni della seconda persona sono errate e ciò contraddice le condizioni del problema. Supponiamo che l'affermazione "Sergey - II" sia vera, quindi entrambe le affermazioni della prima persona sono errate e ciò contraddice le condizioni del problema. Supponiamo che l'affermazione "Jura - II" sia vera, la prima affermazione della prima persona è falsa e la seconda è vera. E la prima affermazione della seconda persona è errata, ma la seconda è corretta.

Risposta: primo posto - Petya, secondo posto - Yura, terzo posto - Vitya, quarto posto Sergey.

2.6 Problemi risolti dalla fine.

C'è un tipo di problemi logici che vengono risolti dalla fine. Diamo un'occhiata a un esempio di risoluzione di tali problemi.

Compito 9. Vasya pensò a un numero, vi aggiunse 5, poi divise la somma per 3, moltiplicò per 4, sottrasse 6, divise per 7 e ottenne il numero 2. A quale numero pensò Vasya?

Soluzione: 2·7=14

14+6=20

20˸4=5

5·3=15

15-5=10

Risposta: Vasya ha pensato al numero 10.

Capitolo 3. Studiare la capacità di risolvere problemi logici.

Nella parte pratica del lavoro di ricerca ho selezionato problemi logici del tipo: problemi risolti dalla fine; chi è chi?; problemi di parole.

I compiti corrispondevano rispettivamente al livello di conoscenza del 5°, 6° e 7° anno. Gli studenti hanno risolto questi problemi e io ho analizzato i risultati (Fig. 1). Consideriamo più nel dettaglio i risultati ottenuti.

*Per la quinta elementare sono stati proposti i seguenti compiti:

Compito n. 1. Un problema risolto alla fine.

Ho pensato a un numero, l'ho moltiplicato per due, ho aggiunto tre e ho ottenuto 17. A quale numero ho pensato?

Compito n. 2. Problemi come "Chi è chi?"

Katya, Sonya e Lisa hanno il cognome Vasnetsova, Ermolaeva e Kuznetsova. Quale cognome ha ogni ragazza se Sonya, Liza ed Ermolaeva sono membri di un circolo matematico e Liza e Kuznetsova studiano musica?

Compito n.3. Compito di testo.

Alle Olimpiadi sportive scolastiche hanno preso parte 124 persone, 32 più ragazzi che ragazze. Quanti ragazzi e ragazze hanno preso parte alle Olimpiadi?

La maggior parte degli studenti di quinta elementare ha affrontato un problema del tipo: “risolvibile dalla fine”. Tali problemi si trovano nei libri di testo per le classi 5-6.Con il tipo di attività di testo, questo compito è più complesso, era necessario pensarci, solo 5 persone l'hanno affrontato.(Fig.2)

*Per la 6a elementare sono stati proposti i seguenti compiti:

Compito n. 1. Un problema risolto alla fine.

Ho pensato a un numero, ho sottratto 57, diviso per 2 e ho ottenuto 27. A quale numero ho pensato?

Compito n. 2. Problemi come "Chi è chi?"

Athos, Porthos, Aramis e D'Artagnan sono quattro giovani moschettieri di talento. Uno di loro combatte meglio con le spade, l'altro non ha eguali nel combattimento corpo a corpo, il terzo balla meglio ai balli, il quarto spara con le pistole senza perdere un colpo. Di loro si sa quanto segue:

Athos e Aramis osservarono il ballo del loro amico, un eccellente ballerino.

Porthos e il miglior tiratore ieri hanno assistito con ammirazione al combattimento corpo a corpo.

L'assassino vuole invitare Athos a fargli visita.

Porthos era molto grosso, quindi ballare non era il suo elemento.

Chi fa cosa?

Compito n.3. Compito di testo. Su uno scaffale ci sono 5 volte più libri che sul secondo. Dopo che 12 libri furono spostati dal primo al secondo scaffale, sugli scaffali rimase un numero uguale di libri. Quanti libri c'erano originariamente su ogni scaffale?

Tra i 18 studenti del sesto anno, 1 persona ha completato tutti i compiti. Tutti gli studenti della sesta elementare hanno affrontato un problema del tipo: "risolvibile dalla fine". Con il compito n. 2, come "Chi è chi?" Lo hanno fatto 4 persone. Solo una persona ha completato l'attività di testo(Fig. 3).

*Per la 7a elementare sono stati proposti i seguenti compiti:

Compito n. 1. Un problema risolto alla fine.

Ho pensato a un numero, ci ho aggiunto 5, poi ho diviso la somma per 3, moltiplicato per 4, sottratto 6, diviso per 7 e ho ottenuto il numero 2. A quale numero ho pensato?

Compito n. 2. Problemi come "Chi è chi?"

Vanya, Petya, Sasha e Kolya hanno cognomi che iniziano con le lettere V, P, S e K. È noto che 1) Vanya e S. sono studenti eccellenti; 2) Petya e V. sono studenti C; 3) Più alto di P.; 4) Kolya è più basso di P.; 5) Sasha e Petya hanno la stessa altezza. Con quale lettera inizia il cognome di tutti?

Compito n.3. Metodo di ragionamento.

Una squadra è arrivata per riparare la scuola, che comprendeva 2,5 volte più pittori che falegnami. Ben presto il caposquadra incluse altri 4 pittori nella squadra e trasferì due falegnami in un altro cantiere. Di conseguenza, nella squadra c'erano 4 volte più pittori che falegnami. Quanti pittori e quanti falegnami c'erano inizialmente nella squadra?

Tra 20 studenti del 7° anno, 1 persona ha completato tutti i compiti.Tredici studenti hanno completato il problema del tipo: “risolto dalla fine”. CONUno studente ha completato l'attività testuale (Fig. 4).

Conclusione

Durante il lavoro di ricerca sullo studio dei metodi per risolvere problemi logici. Considero raggiunti gli scopi e gli obiettivi che mi sono prefissato. Nel primo capitolo ho conosciuto il concetto di logica come scienza, le fasi principali del suo sviluppo e gli scienziati che ne sono i fondatori. Nel secondo capitolo ho studiato vari metodi per risolvere problemi logici e li ho analizzati utilizzando esempi specifici. Ho considerato i seguenti metodi: mmetodo di ragionamento, metodo delle tabelle, metodo del grafico, metodo del diagramma a blocchi, metodo del cerchio di Eulero, problemi di verità, metodo per risolvere un problema dalla fine.Nel terzo capitolo, ho condotto uno studio pratico tra gli studenti delle classi 5-7, testando la loro capacità di risolvere problemi logici. La mia ricerca ha dimostrato quanto segue. I problemi completati dalla maggior parte degli studenti erano problemi risolti dalla fine. Con il compito "Chi è chi?" (metodo tabellare) metà degli studenti lo hanno fatto. Solo un numero esiguo di persone ha risolto il problema delle parole (metodo del ragionamento). Credo che la mia ipotesi sia stata parzialmente confermata, poiché la metà degli studenti ha avuto difficoltà a risolvere problemi logici.

I compiti logici aiutano a sviluppare il pensiero logico e fantasioso.Ogni bambino normale ha un desiderio di conoscenza, un desiderio di mettersi alla prova. Molto spesso, le capacità degli scolari rimangono nascoste, non hanno fiducia nelle proprie capacità e sono indifferenti alla matematica.Per tali studenti, propongo l'uso di compiti logici. Questi compiti possono essere presi in considerazione nelle classi di club e nelle classi elettive. Devono essere accessibili, risvegliare l'intelligenza, catturare la loro attenzione, sorprendere, risvegliare l'immaginazione attiva e le decisioni indipendenti. Credo anche che la logica ci aiuti a far fronte a qualsiasi difficoltà della nostra vita e che tutto ciò che facciamo dovrebbe essere compreso e strutturato logicamente. Incontriamo logica e problemi logici non solo a scuola nelle lezioni di matematica, ma anche in altre materie.

Letteratura

Vilenkin N.Ya. Matematica 5a elementare.-Mnemosyne, M: 2015. 45 pagg.

Vilenkin N.Ya. Matematica quinta elementare.-Mnemosyne, M: 2015. 211 pagg.

Orlova E. Metodi risolutivi problemi logici e problemi numerici //

Matematica. -1999. N. 26. - pp. 27-29.

Tarski A. Introduzione alla logica e alla metodologia delle scienze deduttive - Mosca: 1948.

Risorse Internet:

http://wiki. Insegno.

Riso. 3 Analisi del lavoro di 6a elementare.

Riso. 4 Analisi del lavoro di 7a elementare

Attenzione studenti! I corsi vengono completati in modo indipendente in stretta conformità con l'argomento scelto. Non sono ammessi argomenti duplicati! Si prega di comunicare al docente l'argomento prescelto in qualsiasi modo sia conveniente, individualmente o in un elenco indicando il nome completo, il numero del gruppo e il titolo del lavoro del corso.

Argomenti di esempio per i corsi della disciplina
"Logica matematica"

1. Il metodo risolutivo e sue applicazioni in algebra proposizionale e algebra dei predicati.

2. Sistemi assiomatici.

3. CNF e DNF minimi e più brevi.

4. Applicazione dei metodi della logica matematica alla teoria dei linguaggi formali.

5. Grammatiche formali come calcoli logici.

6. Metodi per risolvere problemi di logica testuale.

7. Sistemi di programmazione logica.

8. Gioco di logica.

9. Indecidibilità della logica del primo ordine.

10. Modelli aritmetici non standard.

11. Metodo della diagonalizzazione in logica matematica.

12. Macchine di Turing e tesi di Church.

13. Calcolabilità sull'abaco e funzioni ricorsive.

14. Rappresentabilità di funzioni ricorsive e risultati negativi della logica matematica.

15. Risolvibilità dell'aritmetica delle addizioni.

16. Logica del secondo ordine e definibilità in aritmetica.

17. Il metodo degli ultraprodotti nella teoria dei modelli.

18. Teorema di Gödel sull'incompletezza dell'aritmetica formale.

19. Teorie assiomatiche risolvibili e indecidibili.

20. Lemma di interpolazione di Craig e sue applicazioni.

21. I più semplici convertitori di informazioni.

22. Circuiti di commutazione.

24. Strutture di contatto.

25. Applicazione di funzioni booleane ai circuiti di contatti di relè.

26. Applicazione delle funzioni booleane nella teoria del riconoscimento di pattern.

27. Logica matematica e sistemi di intelligenza artificiale.

Il lavoro del corso deve consistere di 2 parti: il contenuto teorico dell'argomento e una serie di problemi sull'argomento (almeno 10) con soluzioni. È inoltre consentito scrivere una tesina di tipo ricerca, sostituendo la seconda parte (risolvere problemi) con uno sviluppo indipendente (ad esempio un algoritmo funzionante, un programma, un campione, ecc.) creato sulla base del materiale teorico discusso nella prima parte del lavoro.

1) Barwise J. (a cura di) Libro di consultazione sulla logica matematica. - M.: Nauka, 1982.

2) Fratelli dei linguaggi di programmazione. - M.: Nauka, 1975.

3) Boulos J., computabilità e logica. - M.: Mir, 1994.

4) Logica Hindikin nei problemi. - M., 1972.

5), Logica della Palyutina. - M.: Nauka, 1979.

6) Risolvibilità di Ershov e modelli costruttivi. - M.: Nauka, 1980.

7), Teoria di Taitslin // Uspekhi Mat, 1965, 20, n. 4, p. 37-108.

8) Igoshin - seminario sulla logica matematica. - M.: Educazione, 1986.

9) Logica di Igoshin e teoria degli algoritmi. - Saratov: casa editrice Sarat. Università, 1991.

10) In Ts., utilizzando Turbo Prolog. - M.: Mir, 1993.

11) introduzione alla metamatematica. - M., 1957.

12) logica atematica. - M.: Mir, 1973.

13) logica nella risoluzione dei problemi. - M.: Nauka, 1990.

14) Logica di Kolmogorov: un libro di testo per la matematica universitaria. specialità /, - M.: Casa editrice URSS, 2004. - 238 p.

15) storia con nodi / Trad. dall'inglese - M., 1973.

16) Gioco di logica / Trans. dall'inglese - M., 1991.

17), Maksimov sulla teoria degli insiemi, logica matematica e teoria degli algoritmi. - 4a ed. - M., 2001.

18), Logica di Sukacheva. Corso di lezioni. Libro di problemi pratici e soluzioni: libro di testo. 3a ed., rev. - San Pietroburgo.

19) Casa editrice “Lan”, 2008. - 288 p.

20) Lyskova in informatica / , . - M.: Laboratorio delle conoscenze di base, 2001. - 160 p.

21) Logica matematica / Sotto la direzione generale e altri - Minsk: Scuola superiore, 1991.

22) introduzione alla logica matematica. - M.: Nauka, 1984.

23) Moshchensky sulla logica matematica. -Minsk, 1973.

24) Nikolskaya con logica matematica. - M .: Istituto psicologico e sociale di Mosca: Flint, 1998. - 128 p.

25) Logica di Nikolskaya. - M., 1981.

26) Logica matematica di Novikov. - M.: Nauka, 1973.

27) Teoria di Rabin. Nel libro: Libro di consultazione sulla logica matematica, parte 3. Teoria della ricorsione. - M.: Nauka, 1982. - p. 77-111.

28) Tey A., Gribomon P. et al. Approccio logico all'intelligenza artificiale. T. 1. - M.: Mir, 1990.

29) Tey A., Gribomon P. et al. Approccio logico all'intelligenza artificiale. T. 2. - M.: Mir, 1998.

30) Chen Ch., Li R. Logica matematica e dimostrazione automatica di teoremi. - M.: Nauka, 1983.

31) introduzione alla logica matematica. - M.: Mir, 1960.

32) Logica di Shabunin. Logica proposizionale e logica dei predicati: libro di testo /, rep. ed. ; Stato ciuvascia Università intitolata a . - Cheboksary: ​​casa editrice ciuvascia. Università, 2003. - 56 p.

Questa sezione del nostro sito presenta argomenti del documento di ricerca sulla logica sotto forma di problemi logici, sofismi e paradossi in matematica, giochi interessanti sulla logica e sul pensiero logico. Il supervisore del lavoro dovrebbe guidare e assistere direttamente lo studente nella sua ricerca.

Gli argomenti presentati di seguito per il lavoro di ricerca e progettazione sulla logica sono adatti a bambini che amano pensare in modo logico, risolvere problemi ed esempi non standard, esplorare paradossi e problemi matematici e giocare a giochi di logica non standard.

Nell'elenco seguente puoi selezionare un argomento del progetto di logica per qualsiasi anno della scuola secondaria, dalle elementari alle superiori. Per aiutarti a progettare correttamente un progetto di matematica sulla logica e sul pensiero logico, puoi utilizzare i requisiti sviluppati per la progettazione del lavoro.

I seguenti argomenti per i progetti di ricerca logica non sono definitivi e possono essere modificati a causa dei requisiti stabiliti prima del progetto.

Argomenti di articoli di ricerca sulla logica:

Argomenti di esempio per articoli di ricerca sulla logica per gli studenti:

Logica interessante in matematica.
Logica dell'algebra
La logica e noi
Logiche. Leggi della logica
Scatola logica. Una raccolta di divertenti problemi di logica.
Compiti logici con i numeri.
Problemi di logica
Problemi di logica "Aritmetica divertente"
Problemi logici in matematica.
Problemi logici per determinare il numero di forme geometriche.
Compiti logici per lo sviluppo del pensiero
Problemi di logica nelle lezioni di matematica.
Giochi di logica
Paradossi logici
Logica matematica.
Metodi per risolvere problemi logici e metodi per comporli.
Simulazione di problemi logici
Presentazione didattica "Fondamenti di logica".
Tipi di base di problemi logici e metodi per risolverli.
Sulle orme di Sherlock Holmes, ovvero Metodi per risolvere problemi logici.
Applicazione della teoria dei grafi alla risoluzione di problemi logici.
Problemi di quattro colori.
Risoluzione di problemi logici
Risoluzione di problemi logici utilizzando il metodo dei grafici.
Risolvere problemi logici in diversi modi.
Risolvere problemi di logica utilizzando i grafici
Risolvere problemi logici utilizzando diagrammi e tabelle.
Risoluzione di problemi logici.
Sillogismi. Paradossi logici.

Argomenti del progetto logico

Argomenti di esempio per progetti di logica per gli studenti:
Sofismi
Sofismi intorno a noi
Sofismi e paradossi
Metodi per comporre e metodi per risolvere problemi logici.
Imparare a risolvere problemi logici
Algebra della logica e fondamenti logici di un computer.
Tipi di compiti per il pensiero logico.
Due modi per risolvere problemi logici.
Logica e matematica.
La logica come scienza
Enigmi logici.

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LAVORO DI LAUREA

Argomento della tesi

“Utilizzo di elementi di logica matematica nelle lezioni di matematica della scuola primaria”

logica matematica elementare

introduzione

Capitolo 1. Fondamenti teorici per lo studio degli elementi di logica matematica nella scuola primaria

1.1 Comprendere la struttura logica di concetti e frasi matematiche

1.2 Studio della logica come branca della matematica

1.3 Ragionamento logico

Conclusioni per il capitolo 1

Capitolo 2. Utilizzo di elementi di logica matematica nelle lezioni di matematica della scuola primaria

2.1 Utilizzare elementi di logica in un corso iniziale di matematica

2.2 Fondamenti psicologici e pedagogici dell'utilizzo di elementi di logica matematica secondo il complesso educativo “Prospettiva Scuola Primaria”

2.3 Un sistema di compiti volto a sviluppare il concetto di “elementi di logica matematica” tra gli studenti al termine della scuola primaria

Conclusioni sul capitolo 2

Conclusione

Bibliografia

Applicazioni

introduzione

Attualmente, il paese è attivamente alla ricerca di modi per migliorare l’insegnamento della matematica. Sulla base dello standard educativo statale federale della nuova istruzione generale, gli studenti della scuola primaria devono rispettare i requisiti per i risultati della padronanza del programma educativo di base dell'istruzione generale primaria in materia di matematica:

1) utilizzare le conoscenze matematiche di base per descrivere e spiegare oggetti, processi, fenomeni circostanti, nonché valutare le loro relazioni quantitative e spaziali;

2) padroneggiare le basi del pensiero logico e algoritmico, immaginazione spaziale e discorso matematico, misurazione, ricalcolo, stima e valutazione, rappresentazione visiva di dati e processi, registrazione ed esecuzione di algoritmi;

3) essere in grado di eseguire operazioni aritmetiche orali e scritte con numeri ed espressioni numeriche, risolvere problemi di parole, capacità di agire secondo un algoritmo e costruire semplici algoritmi, esplorare, riconoscere e rappresentare forme geometriche, lavorare con tabelle, diagrammi, grafici e diagrammi, catene, aggregati, presentano, analizzano e interpretano i dati.

Oggi l'insegnamento della matematica fa parte del sistema di istruzione secondaria e allo stesso tempo è una sorta di ciclo di istruzione indipendente. Il nuovo contenuto dell'educazione matematica si concentra principalmente sulla formazione della cultura e dell'indipendenza di pensiero degli scolari più giovani, sugli elementi dell'attività educativa con i mezzi e i metodi della matematica. Durante la formazione, i bambini devono apprendere metodi generali di azione, effettuando un controllo passo passo e un'autovalutazione delle attività completate al fine di stabilire la conformità delle loro azioni con il piano previsto.

Ecco perché non è un caso che nei programmi di matematica particolare attenzione sia rivolta alla formazione di linee algoritmiche, logiche e combinatorie, che si sviluppano nel processo di studio delle sezioni aritmetiche, algebriche e geometriche del programma.

Nelle opere dei matematici A.N. Kolmogorov, A.I. Markushevich A.S. Stolyara, A.M. Pyshkalo, P.M. Erdnieva e altri evidenziano le questioni fondamentali relative al miglioramento dell'insegnamento della matematica a scuola, in particolare le questioni relative al rafforzamento delle basi logiche del corso scolastico, compresi elementi di logica matematica al suo interno.

Nell'ultimo decennio, quando la scuola è entrata nel processo di modernizzazione, nuovi standard, tecnologie, metodi e vari sussidi didattici sono stati introdotti nella pratica, la questione della continuità nell'istruzione tra il livello primario e quello di base diventa della massima importanza. La presenza di un insieme di libri di testo è una componente importante di continuità tra questi livelli. Secondo A.A. Stolyar “è necessario un programma mentale e logico, che dovrebbe essere implementato nelle classi primarie e secondarie della scuola”.

Ricerca di psicologi e insegnanti V.V. Vygotskij, L.V. Zankov, V.V. Davydova, N.M. Skatkina e altri dimostrano che in determinate condizioni è possibile raggiungere non solo un elevato livello di conoscenze, abilità e capacità, ma anche uno sviluppo generale. Nell’insegnamento tradizionale, lo sviluppo appare come un prodotto dell’apprendimento desiderabile, ma tutt’altro che prevedibile.

A nostro avviso, nella letteratura psicologica e metodologica il problema della formazione di elementi di logica matematica negli studenti è parzialmente considerato in relazione all'insegnamento della matematica nelle scuole superiori.

L’insieme numerico, quindi, a partire dalle primissime classi di una scuola di istruzione generale, rappresenta il laboratorio in cui è possibile sviluppare più chiaramente negli studenti le capacità di ragionamento, che sono la base per determinare la verità o la falsità di un particolare approccio, una particolare formulazione di un problema. La domanda sorge spontanea: "Tale compito è l'obiettivo principale del processo di insegnamento della matematica a scuola e quale parte di questo problema si verifica nella scuola primaria?" La risposta a questa domanda può essere ottenuta solo dopo un'analisi approfondita del programma e dei libri di testo di matematica per le classi I-IV.

L'urgenza del problema è migliorare il contenuto dell'insegnamento della matematica nelle classi primarie al fine di formare elementi di logica matematica negli scolari più piccoli.

Lo scopo dello studio considerare lo studio di elementi di logica matematica nell'ambito di un corso di matematica quando si insegna matematica nelle classi 1-4 e sviluppare strumenti educativi e metodologici per la sua attuazione.

Oggetto di studio- il processo di studio degli elementi di logica matematica nell'insegnamento delle lezioni di matematica nella scuola primaria.

Articolo- metodi e mezzi per formare elementi di logica matematica tra gli studenti delle classi 1-4.

Ipotesi di ricercaè che è possibile organizzare il processo di insegnamento della matematica che, insieme alla preparazione di conoscenze e abilità matematiche, svilupperemo consapevolmente e sistematicamente abilità logiche.

Per raggiungere l’obiettivo e concretizzare l’ipotesi sono stati individuati: gli obiettivi della ricerca:

1. Fornire il concetto della struttura logica di concetti e frasi matematiche;

2. Studiare la logica come scienza e branca della matematica;

3. Scopri cos'è il ragionamento logico e fornisci le sue definizioni;

4. Analizzare gli standard educativi, i programmi di studio e gli attuali libri di testo scolastici di matematica dal punto di vista dello sviluppo logico degli studenti;

5. Individuare le basi psicologiche, pedagogiche e metodologiche per la formazione di elementi di logica matematica nei bambini nel processo di insegnamento della matematica nella scuola primaria;

6. Condurre uno studio sperimentale per testare l'efficacia dei metodi sviluppati in un contesto scolastico primario.

La base teorica e metodologica dello studio consisteva in: i principi di base della filosofia materialista dialettico e la dottrina dell'approccio personale-attivo all'apprendimento sviluppato sulla loro base (A.S. Vygotsky, A.N. Leontiev, S.L. Rubinstein, ecc.); i punti di partenza della teoria dell'apprendimento evolutivo (V.V. Davydov, L.V. Zankov, N.A. Menchinskaya, D.B. Elkonin, N.V. Yakimanskaya, ecc.); idee fondamentali dei matematici metodologici (A.M. Pyshkalo, P.M. Erdniev).

Capitolo 1. Fondamenti teorici per lo studio degli elementi di logica matematica nella scuola primaria

1.1 Comprendere la struttura logica di concetti e frasi matematiche

Quando si studia matematica a scuola, è necessario padroneggiare un certo sistema di concetti, proposte e dimostrazioni, ma per padroneggiare questo sistema e quindi applicare con successo le conoscenze e le abilità acquisite, insegnando agli scolari più giovani e risolvendo il problema del loro sviluppo usando la matematica , è necessario capire quali sono le caratteristiche dei concetti matematici, come sono strutturate le definizioni, le frasi che esprimono le proprietà dei concetti e le dimostrazioni.

Un insegnante di scuola elementare ha bisogno di tale conoscenza perché è il primo a introdurre i bambini nel mondo della conoscenza matematica, e l'atteggiamento del bambino verso lo studio della matematica in futuro dipende da quanto lo fa con competenza e con successo.

Lo studio di questo materiale è associato alla padronanza del linguaggio della teoria degli insiemi, che verrà utilizzato non solo quando si considera la struttura logica di concetti, proposizioni e dimostrazioni matematiche, ma anche nella costruzione dell'intero corso.

I concetti insegnati in un corso introduttivo di matematica sono solitamente presentati in quattro gruppi. Il primo comprende concetti relativi ai numeri e operazioni su di essi: numero, addizione, termine, maggiore, ecc. Ciò include concetti algebrici: espressione, uguaglianza, equazione, ecc. Il terzo gruppo è costituito da concetti geometrici: retta, segmento, triangolo, ecc. Il quarto gruppo è costituito da concetti relativi alle quantità e alla loro misurazione.

Per studiare una tale abbondanza di concetti molto diversi, è necessario avere un'idea del concetto come categoria logica e delle caratteristiche dei concetti matematici.

Nella logica, i concetti sono considerati come una forma di pensiero che riflette gli oggetti (oggetti o fenomeni) nelle loro proprietà essenziali e generali. La forma linguistica di un concetto è una parola o un gruppo di parole.

Fare un pensiero su un oggetto significa saperlo distinguere da altri oggetti simili. I concetti matematici hanno una serie di caratteristiche. La cosa principale è che gli oggetti matematici in relazione ai quali si formano i concetti non esistono realmente. Tutti gli oggetti matematici sono creati dalla mente umana. Ideale per oggetti che riflettono oggetti o fenomeni reali.

Ad esempio, in geometria si studia la forma e la dimensione degli oggetti senza tenere conto di altre proprietà: colore, massa, durezza, ecc. Sono distratti da tutto questo, astratti. Pertanto in geometria al posto della parola “oggetto” si dice “figura geometrica”.

Il risultato dell'astrazione sono concetti matematici come "numero" e "grandezza".

In generale, gli oggetti matematici esistono solo nel pensiero umano e in quei segni e simboli che formano il linguaggio matematico.

Studiando le forme spaziali e le relazioni quantitative del mondo materiale, la matematica non solo utilizza varie tecniche di astrazione, ma l'astrazione stessa agisce come un processo a più fasi.

La comparsa in matematica di nuovi concetti, e quindi di nuovi termini che li designano, presuppone la loro definizione.

Una definizione è solitamente una frase che spiega l'essenza di un nuovo termine (o designazione). Di norma, ciò viene fatto sulla base dei concetti precedentemente introdotti.

Poiché la definizione di un concetto attraverso genere e differenza specifica è essenzialmente un accordo condizionale per introdurre un nuovo termine o sostituire qualsiasi insieme di termini conosciuti, non si può dire della definizione se sia corretta o errata; non è né provato né smentito. Ma quando formulano le definizioni, aderiscono a una serie di regole:

· La determinazione deve essere proporzionata. Ciò significa che i volumi dei concetti definiti e definenti devono coincidere. Questa regola deriva dal fatto che i concetti definiti e definenti sono intercambiabili;

· Non dovrebbe esserci alcun circolo vizioso nella definizione (o nel loro sistema). Ciò significa che non è possibile definire un concetto attraverso se stesso (il termine definente non deve contenere il termine da definire) né definirlo attraverso un altro, che a sua volta lo definisce attraverso di esso. Perché in matematica non si considerano solo concetti individuali. E il loro sistema, quindi questa regola vieta il circolo vizioso nel sistema delle definizioni;

· La definizione deve essere chiara. Questa non è una regola ovvia a prima vista, ma significa molto. Innanzitutto è necessario che il significato dei termini compresi nel concetto definente sia noto al momento dell'introduzione della definizione del nuovo concetto. Le condizioni per la chiarezza della definizione includono anche la raccomandazione di includere nella differenza specifica solo tante proprietà necessarie e sufficienti per isolare gli oggetti definiti dall'ambito del concetto generico.

Quando si studia matematica nella scuola primaria, le definizioni attraverso la distinzione di genere e specie vengono utilizzate raramente. Ci sono molti concetti nel corso iniziale di matematica.

Quando si studia matematica alle scuole elementari, vengono spesso utilizzate le cosiddette definizioni implicite. Nella loro struttura è impossibile distinguere il determinato e il determinante. Tra questi si distinguono il contestuale e l'ostensivo.

Nelle definizioni contestuali, il contenuto di un nuovo concetto viene rivelato attraverso un passaggio di testo, attraverso il contesto, attraverso l'analisi di una situazione specifica. Descrivere il significato del concetto introdotto. Attraverso il contesto viene stabilita una connessione tra il concetto definito e altri concetti conosciuti, e quindi il suo contenuto viene indirettamente rivelato. Un esempio di definizione contestuale sarebbe la definizione di un'equazione e la sua soluzione.

Le definizioni ostensive sono definizioni per dimostrazione. Sono usati per introdurre termini dimostrando gli oggetti a cui i termini si riferiscono. In questo modo, ad esempio, nella scuola elementare si possono definire i concetti di uguaglianza e disuguaglianza.

Lo studio dei processi reali, le descrizioni matematiche, vengono utilizzati come linguaggio verbale naturale e significato simbolico. Le descrizioni sono costruite utilizzando frasi. Ma affinché la conoscenza matematica sia un riflesso accurato e adeguato della realtà che ci circonda, queste proposte devono essere vere. Ogni tesi matematica è caratterizzata da contenuto e forma logica (struttura), e il contenuto è indissolubilmente legato alla forma, ed è impossibile comprendere il primo senza comprendere la seconda.

1) Il numero 12 è pari;

Vediamo che le frasi usate in matematica possono essere scritte sia in linguaggio naturale (russo) che in linguaggio matematico, utilizzando simboli. Per quanto riguarda le frasi 1,4,5 e 6 possiamo dire che portano informazioni vere e per la frase 2 - false. Per quanto riguarda la frase x +5 = 8, in genere è impossibile dire se sia vera o falsa. Guardare una frase dal punto di vista del vero o del falso ha portato al concetto di affermazione.

1.2 Studiare la logica come branca della matematica

La logica è una delle scienze più antiche. Al momento non è possibile stabilire esattamente chi, quando e dove si è rivolto per primo a quegli aspetti del pensiero che costituiscono l'oggetto della logica. Come sottolinea Ivin A.A. , alcune delle origini dell'insegnamento logico si trovano in India, alla fine del II millennio a.C. tuttavia, se parliamo dell'emergere della logica come scienza, cioè di un corpo di conoscenza più o meno sistematizzato, allora sarebbe giusto considerare la grande civiltà dell'antica Grecia come il luogo di nascita della logica. Era qui nel V-IV secolo a.C. Durante il periodo di rapido sviluppo della democrazia e il relativo risveglio senza precedenti della vita socio-politica, le basi di questa scienza furono gettate dalle opere di Democrito, Platone e Socrate. L'antenato, il “padre” della logica, è giustamente considerato il più grande pensatore dell'antichità. Lo studente di Platone è Aristotele (384-322 aC). Fu lui che, nelle sue opere, riunite sotto il titolo generale “Organon” (strumento di cognizione), per la prima volta analizzò e descrisse a fondo le forme logiche di base e le regole del ragionamento, vale a dire: le forme delle conclusioni dal so- chiamati giudizi categorici - il sillogismo categorico ("Prima Analitica"), formulava i principi di base dell'evidenza scientifica ("Seconda Analitica"), forniva un'analisi del significato di alcuni tipi di affermazioni ("Sull'interpretazione") e delineava i principali approcci allo sviluppo della dottrina dei concetti (“Categorie”). Aristotele prestò anche molta attenzione all'esposizione di vari tipi di errori logici e tecniche sofistiche nelle controversie ("Sulle confutazioni sofistiche").

La logica ha una storia lunga e ricca, indissolubilmente legata alla storia dello sviluppo della società nel suo insieme.

L'emergere della logica come teoria è stata preceduta dalla pratica del pensiero che risale a migliaia di anni fa. Con lo sviluppo delle attività lavorative, materiali e produttive delle persone, si è verificato un graduale miglioramento e sviluppo delle loro capacità di pensiero, in particolare la capacità di astrazione e inferenza. E questo, prima o poi, ma inevitabilmente avrebbe dovuto portare al fatto che l'oggetto della ricerca diventava il pensiero stesso con le sue forme e leggi.

Come sottolinea Ivin A.A. , la storia mostra che i problemi logici individuali sono apparsi davanti alla mente umana più di 2,5 mila anni fa, prima nell'antica India e nell'antica Cina. Riceveranno poi uno sviluppo più completo nell'antica Grecia e a Roma. Solo gradualmente prende forma un sistema più o meno coerente di conoscenza logica e una scienza indipendente.

Quali sono le ragioni dell’emergere della logica? Ivin A.A. ritiene che ce ne siano due principali. Uno di questi è l'origine e lo sviluppo iniziale delle scienze, in particolare della matematica. Questo processo risale al VI secolo. AVANTI CRISTO. e riceve il suo sviluppo più completo nell'antica Grecia. Nata nella lotta contro la mitologia e la religione, la scienza si basava sul pensiero teorico, coinvolgendo inferenze e prove. Da qui la necessità di studiare la natura del pensiero stesso come mezzo di cognizione.

Secondo Kurbatov V.I. , la logica è nata, prima di tutto, come tentativo di identificare e giustificare quei requisiti che il pensiero scientifico deve soddisfare affinché i suoi risultati corrispondano alla realtà.

Un altro motivo, forse ancora più importante, è lo sviluppo dell'oratoria, compresa l'arte giudiziaria, che fiorì nelle condizioni dell'antica democrazia greca. Il più grande oratore e scienziato romano Cicerone (106-43 a.C.), parlando del potere dell'oratore, detentore del “dono divino” dell'eloquenza, sottolineava: “Può rimanere tranquillamente anche tra nemici armati, protetto non tanto da il suo staff, quanto dal suo titolo di oratore; può, con la sua parola, suscitare l'indignazione dei suoi concittadini e abbattere la punizione sui colpevoli di crimine e inganno, e salvare gli innocenti dal processo e dalla punizione con la forza del suo talento; è capace di motivare all'eroismo le persone timide e indecise, è capace di condurle fuori dall'errore, è capace di infiammarle contro i farabutti e di calmare i mormorii contro gli uomini degni; sa come, finalmente, con una parola può eccitare e calmare tutte le passioni umane quando le circostanze del caso lo richiedono.

Secondo Ivin A.A., il fondatore della logica - o, come a volte si dice, "il padre della logica" - è considerato il più grande filosofo ed enciclopedista greco antico Aristotele (384-322 a.C.). Va tuttavia tenuto presente che la prima presentazione abbastanza dettagliata e sistematica dei problemi logici fu in realtà data dal precedente filosofo e naturalista greco antico Democrito (460 - circa 370 a.C.). Tra le sue numerose opere c'era un ampio trattato in tre libri, "Sulla logica, o sui canoni". Qui non solo è stata rivelata l'essenza della conoscenza, le sue principali forme e criteri di verità, ma è stato mostrato anche l'enorme ruolo del ragionamento logico nella conoscenza e è stata data una classificazione dei giudizi. Alcuni tipi di conoscenza inferenziale furono fortemente criticati e si tentò di sviluppare la logica induttiva, la logica della conoscenza sperimentale. Purtroppo questo trattato di Democrito, come tutti gli altri, non è pervenuto a noi.

Una nuova fase più elevata nello sviluppo della logica inizia nel XVII secolo. Questa fase è organicamente connessa con la creazione nel suo quadro, insieme alla logica deduttiva, della logica induttiva. Riflette i diversi processi di acquisizione di conoscenza generale basati su materiale empirico sempre più accumulato. La necessità di ottenere tale conoscenza fu pienamente realizzata ed espressa nelle sue opere dall'eccezionale filosofo e scienziato naturale inglese F. Bacon (1561-1626). È diventato il fondatore della logica induttiva. "...la logica che esiste oggi è inutile per la scoperta della conoscenza", ha pronunciato il suo duro verdetto. Pertanto, quasi in contrapposizione al vecchio “Organon” di Aristotele, Bacon scrive “Il Nuovo Organon...”, dove delinea la logica induttiva. Ha prestato la sua attenzione principale allo sviluppo di metodi induttivi per determinare la dipendenza causale dei fenomeni. Questo è il grande merito di Bacon. Tuttavia, la dottrina dell'induzione da lui creata, ironicamente, si è rivelata non una negazione della logica precedente. E il suo ulteriore arricchimento e sviluppo. Ha contribuito alla creazione di una teoria generalizzata dell'inferenza. E questo è naturale, perché, come si mostrerà in seguito, induzione e deduzione non si escludono, ma si presuppongono a vicenda e sono in unità organica.

Gli scienziati russi hanno dato un noto contributo allo sviluppo della logica formale tradizionale. Così già nei primi trattati di logica, a partire dal X secolo circa. furono fatti tentativi per commentare in modo indipendente le opere di Aristotele e di altri scienziati. I concetti logici originali in Russia furono sviluppati nel XVIII secolo. e sono associati principalmente ai nomi di M. Lomonosov (1711-1765) e A. Radishchev (1749-1802). Il periodo di massimo splendore della ricerca logica nel nostro paese risale alla fine del XIX secolo.

Un grandioso tentativo di sviluppare un sistema integrale di nuova logica dialettica fu fatto dal filosofo tedesco G. Hegel (1770-1831). Nella sua opera fondamentale "La scienza della logica", ha, prima di tutto, rivelato la contraddizione fondamentale tra le teorie logiche esistenti e l'effettiva pratica del pensiero, che a quel tempo aveva raggiunto livelli significativi.

Come sottolinea Kurbatov V.I., Hegel ha riesaminato la natura del pensiero, le sue leggi e le sue forme. A questo proposito è giunto alla conclusione che «la dialettica costituisce la natura stessa del pensiero, che come ragione deve cadere nell’autonegazione, nella contraddizione». Il pensatore vedeva il suo compito nel trovare un modo per risolvere queste contraddizioni. Hegel criticò severamente la vecchia logica ordinaria per il suo legame con il metodo metafisico della conoscenza. Ma in questa critica è arrivato al punto di rifiutarne i principi basati sulla legge di identità e sulla legge di contraddizione.

Ivin A.A. dice che i problemi della logica dialettica, il suo rapporto con la logica formale trovarono ulteriore concretizzazione e sviluppo nelle opere dei filosofi e scienziati tedeschi K. Marx) 1818-1883) e F. Engels (1820-1895). Utilizzando il più ricco materiale intellettuale accumulato dalla filosofia, dalle scienze naturali e sociali, hanno creato un nuovo sistema qualitativo, materialista dialettico, che è stato incarnato in opere come "Il Capitale" di K. Marx, "Anti-Dühring" e "Dialettica della natura". ” di F. Engels. Da queste posizioni filosofiche generali, Marx ed Engels valutarono lo speciale "insegnamento del pensiero e le sue leggi": logica e dialettica. Non negavano l'importanza della logica formale, non la consideravano una “sciocchezza”, ma ne sottolineavano il carattere storico. Engels ha quindi osservato che il pensiero teorico di ogni epoca è un prodotto storico, che in tempi diversi assume forme molto diverse e allo stesso tempo contenuti molto diversi. “Di conseguenza, la scienza del pensiero, come ogni altra scienza, è una scienza storica, la scienza dello sviluppo storico del pensiero umano”.

Negli ultimi decenni nel nostro Paese sono stati fatti molti tentativi fruttuosi per presentare sistematicamente la logica dialettica. Gli sviluppi procedono in due direzioni principali. Da un lato, questa è la divulgazione dei modelli di riflessione dello sviluppo della realtà nel pensiero umano, le sue contraddizioni oggettive e, dall'altro, la divulgazione dei modelli di sviluppo del pensiero stesso, la sua stessa dialettica.

Nelle condizioni della rivoluzione scientifica e tecnologica, quando le scienze si muovono verso nuovi e più profondi livelli di conoscenza e quando aumenta il ruolo del pensiero dialettico, la necessità della logica dialettica è sempre più intensificata. Riceve nuovi incentivi per il suo ulteriore sviluppo.

Una vera rivoluzione nella ricerca logica fu causata dalla creazione della logica matematica nella seconda metà del XIX secolo, chiamata anche simbolica e segnò una fase nuova e moderna nello sviluppo della logica.

Gli inizi di questa logica possono essere rintracciati già in Aristotele, così come nei suoi seguaci, gli stoici, sotto forma di elementi di logica dei predicati e di teoria delle inferenze modali, nonché di logica proposizionale. Tuttavia, lo sviluppo sistematico dei suoi problemi risale a un periodo molto successivo.

Come sottolinea Ivin A.A., i crescenti successi nello sviluppo della matematica e nella penetrazione dei metodi matematici in altre scienze già nella seconda metà del XVII secolo sollevarono fortemente due problemi fondamentali. Da un lato, si tratta dell'uso della logica per sviluppare i fondamenti teorici della matematica e, dall'altro, della matematizzazione della logica stessa come scienza. Il tentativo più profondo e fruttuoso di risolvere i problemi sorti fu compiuto dal più grande filosofo e matematico tedesco G. Leibniz (1646-1416). Così divenne, in sostanza, il fondatore della logica matematica. Leibniz sognava un'epoca in cui gli scienziati non si sarebbero impegnati nella ricerca empirica, ma nel calcolo infinitesimale con la matita in mano. Cercò di inventare a questo scopo un linguaggio simbolico universale attraverso il quale ogni scienza empirica potesse essere razionalizzata. La nuova conoscenza, a suo avviso, sarà il risultato di un calcolo logico: calcolo.

Secondo V.I. Kurbatov, le idee di Leibniz ricevettero un certo sviluppo nel XVIII secolo e nella prima metà del XIX secolo. Tuttavia, le condizioni più favorevoli per il potente sviluppo della logica simbolica sorsero solo nella seconda metà del XIX secolo. A questo punto, la matematizzazione delle scienze aveva raggiunto progressi particolarmente significativi e nella matematica stessa sorsero nuovi problemi fondamentali relativi alla sua giustificazione. Scienziato, matematico e logico inglese Railway. Boole (1815-1864) applicò principalmente la matematica alla logica nelle sue opere. Ha fornito un'analisi matematica della teoria delle inferenze e ha sviluppato il calcolo logico ("algebra booleana"). Il logico e matematico tedesco G. Frege (1848-1925) applicò la logica allo studio della matematica. Attraverso il calcolo dei predicati esteso costruì un sistema aritmetico formalizzato.

Si aprì così una nuova, moderna fase nello sviluppo della ricerca logica. Forse la caratteristica distintiva più importante di questa fase è lo sviluppo e l'uso di nuovi metodi per risolvere i problemi logici tradizionali. Questo è lo sviluppo e l'uso di un linguaggio artificiale, cosiddetto formalizzato, un linguaggio di simboli, ad es. segni alfabetici e altri (da qui il nome più comune per la logica moderna - "simbolico").

Come sottolinea Ivin A.A. , esistono due tipi di calcolo logico: calcolo proposizionale e calcolo predicativo. Con il primo è consentita l'astrazione dalla struttura concettuale interna dei giudizi, con il secondo si tiene conto di questa struttura e, di conseguenza, il linguaggio simbolico viene arricchito e integrato con nuovi segni.

L'importanza dei linguaggi simbolici nella logica è difficile da sopravvalutare. G. Frege lo paragonò al significato di telescopio e microscopio. E il filosofo tedesco G. Klaus (1912-1974) credeva che la creazione di un linguaggio formalizzato avesse per la tecnologia dell'inferenza logica lo stesso significato che aveva il passaggio dal lavoro manuale al lavoro meccanico nella sfera della produzione. Emergendo sulla base della logica formale tradizionale, la logica simbolica, da un lato, chiarisce, approfondisce e generalizza le idee precedenti su leggi e forme logiche, soprattutto nella teoria dell'inferenza, e dall'altro espande e arricchisce sempre più i problemi logici . La logica moderna è un sistema di conoscenza complesso e altamente sviluppato. Comprende molte direzioni, "logiche" separate e relativamente indipendenti, che esprimono sempre più pienamente le esigenze della pratica e, in ultima analisi, riflettono la diversità della complessità del mondo circostante, l'unità e la diversità del pensiero su questo mondo stesso.

La logica simbolica è sempre più utilizzata in altre scienze, non solo in matematica, ma anche in fisica, biologia, cibernetica, economia e linguistica. Porta all'emergere di nuovi rami della conoscenza (matematica). Il ruolo della logica nella sfera della produzione è particolarmente impressionante e chiaro. Aprendo la possibilità di automatizzare il processo di ragionamento, rende possibile trasferire alcune funzioni del pensiero ai dispositivi tecnici. I suoi risultati sono sempre più utilizzati nella tecnologia: nella creazione di circuiti di contatti relè, computer, sistemi logici informativi, ecc. Secondo l'espressione figurata di uno scienziato, la logica moderna non è solo lo “strumento” del pensiero preciso, ma anche il “pensiero” di uno strumento preciso, un automa elettronico. Le conquiste della logica moderna vengono utilizzate anche nella sfera giuridica. Pertanto, nella scienza forense, nelle diverse fasi dello studio, viene effettuata l'elaborazione logica e matematica delle informazioni raccolte.

Le crescenti esigenze del progresso scientifico e tecnologico determinano l’ulteriore sviluppo intensivo della logica moderna.

Resta da dire che gli scienziati russi hanno dato un contributo importante allo sviluppo di sistemi di logica simbolica. Tra questi spicca soprattutto P. Poretsky (1846-1907). Fu il primo in Russia a dare lezioni di logica matematica. La logica matematica continua a svilupparsi oggi.

Secondo V.I. Kurbatov, lo studio della logica matematica disciplina la mente. Ricordando il famoso detto di M.V. Lomonosov sulla matematica, possiamo dire che la logica matematica, più di ogni altra scienza matematica, "mette in ordine la mente".

La lingua di qualsiasi algebra è costituita da un insieme di segni chiamati alfabeto di questa lingua.

I segni dell'alfabeto, per analogia con i segni dell'alfabeto del linguaggio naturale, si chiamano lettere.

Sorge spontanea la domanda: quali lettere dovrebbero essere contenute nell'alfabeto del linguaggio dell'algebra numerica?

Prima di tutto, ovviamente, dobbiamo avere lettere per denotare gli elementi di un insieme - il vettore dell'algebra, in questo caso per denotare numeri, e variabili per gli elementi di questo insieme.

Usando il sistema numerico decimale per designare i numeri, dobbiamo includere nell'alfabeto dell'algebra numerica dieci lettere chiamate numeri: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, con l'aiuto delle quali, secondo a determinate regole, i nomi di eventuali numeri.

Come variabili numeriche (variabili per numeri di uno qualsiasi degli insiemi N, N0, Z, Q o R) vengono utilizzate lettere dell'alfabeto latino a, b, c, x, y, z o una di queste lettere con un indice, per esempio X1, X2, Xn.

A volte le lettere dell'alfabeto latino vengono utilizzate anche come costanti numeriche, cioè come nomi di numeri (quando parliamo di un certo, ma non importa quale numero specifico). In questo caso, le lettere iniziali dell'alfabeto latino a, b, c vengono solitamente utilizzate come costanti e le ultime lettere x, y, z vengono utilizzate come variabili.

Abbiamo anche bisogno di lettere per rappresentare le operazioni. Per l'addizione e la moltiplicazione vengono utilizzati rispettivamente i noti segni (lettere) + e *.

Inoltre, il ruolo dei segni di punteggiatura nel linguaggio dell'algebra è svolto dalle parentesi (sinistra e destra).

Pertanto, l'alfabeto di una lingua in cui viene descritta qualsiasi algebra numerica deve includere un insieme composto da quattro classi di lettere: I - numeri da cui sono costruiti i nomi dei numeri; II - lettere dell'alfabeto latino - variabili o costanti numeriche; III - segnali di funzionamento; IV: parentesi.

I segni di sottrazione (--) e di divisione (:) possono essere introdotti mediante la definizione delle operazioni corrispondenti.

A poco a poco, l'alfabeto dell'algebra numerica viene integrato con altre "lettere", in particolare vengono introdotti segni di relazioni binarie "uguale", "minore", "maggiore".

Tutti i segni elencati sono inclusi nell'alfabeto del linguaggio matematico, un linguaggio artificiale nato in connessione con la necessità di formulazioni precise, concise e comprese in modo inequivocabile di leggi, regole e dimostrazioni matematiche.

Storicamente, il simbolismo della matematica è stato creato nel corso dei secoli con la partecipazione di molti scienziati eccezionali. Pertanto, si ritiene che la designazione di quantità sconosciute con lettere sia stata utilizzata da Diofanto (III secolo) e l'uso diffuso delle lettere maiuscole dell'alfabeto latino in algebra sia iniziato con Vieta (XVI secolo). le lettere minuscole di questo alfabeto furono introdotte per la designazione da R. Descartes (XVII secolo). il segno uguale (=) apparve per la prima volta nelle opere dello scienziato inglese R. Record (XVI secolo), ma divenne comunemente usato solo nel XVIII secolo. Segni di disuguaglianza (< , >) apparvero all'inizio del XVII secolo, furono introdotti dal matematico inglese Gariot. E sebbene i segni “="”, “>”, “<» появились не так давно, сами понятия равенства и неравенства возникли в глубокой древности .

Un'affermazione in matematica è una frase su cui la domanda ha senso: è vera o falsa.

Si possono dare vari giudizi riguardo ai concetti e alle relazioni tra loro. La forma linguistica dei giudizi è quella delle frasi narrative. Per esempio. In un corso di matematica di base puoi trovare le seguenti frasi:

1) Il numero 12 è pari;

4) Il numero 15 contiene una decina e 5 unità;

5) Il prodotto non cambia riorganizzando i fattori;

6) Alcuni numeri sono divisibili per 3.

Vediamo che le frasi usate in matematica possono essere scritte sia in linguaggio naturale (russo) che in linguaggio matematico, utilizzando simboli. Per quanto riguarda le frasi 1,4,5 e 6 possiamo dire che portano informazioni vere e per la frase 2 - false. Per quanto riguarda la frase x +5 = 8, in genere è impossibile dire se sia vera o falsa.

Se vengono date le affermazioni A e B, allora si possono fare nuove affermazioni da esse usando i connettivi “e”, “o”, “se ... allora ...”, “o ... o ...”, “se e solo se se”, così come la particella “non”. Ad esempio, lasciamo che A intenda l'affermazione "Adesso c'è il sole" e B intenda l'affermazione "Adesso c'è vento". Quindi l’affermazione “A e B” significa: “C’è il sole e vento adesso”, l’affermazione “Se non è A, allora non è B” significa “Se non c’è il sole adesso, allora non c’è vento”.

Tali enunciati sono detti composti, e gli enunciati A e B in essi contenuti sono detti enunciati elementari. Due enunciati composti A e B si dicono equivalenti se sono entrambi veri e allo stesso tempo falsi sotto qualsiasi assunzione circa la verità degli enunciati elementari in essi contenuti. In questo caso scrivono: A=B.

Già dalla prima lezione di matematica gli studenti delle scuole elementari incontrano affermazioni, per lo più vere. Acquisiscono familiarità con le seguenti affermazioni: 2 > 1, 1< 2, 3 > 2, 2 + 1 = 3, 3 - 1= 2.

Se A è un enunciato, allora, asserendo che è falso, otteniamo un nuovo enunciato, che si chiama smentita della dichiarazione A ed è indicato dal simbolo B.

Pertanto, se un’affermazione è vera, allora la sua negazione è falsa e viceversa. Questa conclusione può essere scritta utilizzando una tabella in cui "I" significa un'affermazione vera e "L" significa un'affermazione falsa. Tabelle di questo tipo sono chiamate tabelle di verità (vedi Appendice 2, Fig. 1).

Siano A e B due enunciati elementari. Collegandoli con la congiunzione “e”, otteniamo una nuova affermazione chiamata congiunzione dati dichiarazioni ed è designato A? B. Voce A? B leggi: “A e B”.

Per definizione, una congiunzione di due affermazioni è vera se e solo se entrambe le affermazioni sono vere. Se almeno uno di essi è falso, la congiunzione è falsa (vedi Appendice 2, Fig. 2).

Considera l'affermazione "7 - 4 = 3 e 4 è un numero pari". È la congiunzione di due affermazioni: “7 - 4 = 3” e “4 è un numero pari”. Poiché entrambe le affermazioni sono vere, allora la loro congiunzione è vera.

Se in congiunzione A? Se scambiamo le affermazioni A e B, otteniamo una congiunzione della forma B? A. Dalla tavola di verità è chiaro che le formule A? B e B? E poiché i diversi significati delle affermazioni A e B sono contemporaneamente vere o contemporaneamente false.

Di conseguenza sono equivalenti, e per ogni affermazione A e B abbiamo: A? B = B? UN

Questa notazione esprime la proprietà commutativa di una congiunzione, che consente di scambiare i membri della congiunzione.

Avendo compilato le tavole di verità per (A? B) ? S e A? (B? C), otteniamo che per qualsiasi valore di verità degli enunciati A, B, C, i valori di verità degli enunciati (A? B) ? S e A? (B? C) coincidono.

Quindi, (A? B) ? C=A? (AVANTI CRISTO).

Questa uguaglianza esprime la proprietà associativa di una congiunzione. Una tale congiunzione è vera se e solo se tutte le affermazioni in essa contenute sono vere.

Collegando due enunciati elementari A e B con la congiunzione “o”, otteniamo una nuova affermazione chiamata disgiunzione dati dichiarazioni . La disgiunzione delle affermazioni A e B è indicata con A?B e letta "A o B". Una disgiunzione è falsa solo se entrambe le affermazioni da cui è formata sono false; in tutti gli altri casi la disgiunzione è vera. La tavola di verità della disgiunzione ha la forma (vedi appendice 2, fig. 3).

Per la disgiunzione, così come per la congiunzione, si possono indicare numerose equivalenze. Per ogni A, B e C abbiamo:

UN? B = B? A (disgiunzione commutativa);

(Eh? B) ? C=A? (B? C) (associatività della disgiunzione).

La proprietà associativa della disgiunzione ci permette di omettere le parentesi e scrivere A? IN? C invece di (A? B) ? CON.

Usando le tabelle di verità è facile stabilirlo

(Eh? B) ? C = (A? C) ? (AVANTI CRISTO)

(Eh? B) ? C = (A? C) ? (AVANTI CRISTO)

La prima uguaglianza esprime la legge distributiva della congiunzione rispetto alla disgiunzione, e la seconda uguaglianza esprime la legge distributiva della disgiunzione rispetto alla congiunzione.

Le operazioni di congiunzione, disgiunzione e negazione sono legate dalle seguenti relazioni, la cui validità può essere stabilita mediante tavole di verità:

Queste relazioni sono chiamate formule di de Morgan.

Consideriamo un'affermazione composta, formata da due enunciati elementari utilizzando le parole “se... allora...”.

Consideriamo, ad esempio, le affermazioni A: “Ieri era domenica” e B: “Non ero al lavoro”. Quindi l’affermazione composta “Se ieri era domenica, allora non ero al lavoro” ha la formula “Se A, allora B”.

Viene chiamata l'affermazione "Se A allora B". implicazione delle affermazioni A, B e con l'aiuto dei simboli sono scritti in questo modo: A => B. L'affermazione A, inclusa nell'implicazione A => B, è chiamata la condizione dell'implicazione e l'affermazione B è la sua conclusione.

Pertanto, la tabella di verità dell'implicazione "Se A, allora B" appare (vedi Appendice 2, Fig. 4).

Da due affermazioni A e B si può fare una nuova affermazione, che recita così: “E se e solo se B”. Questa affermazione si chiama dichiarazioni equivalenti A e B e denotano: A B. L'affermazione A B è considerata vera se entrambe le affermazioni A e B sono vere o entrambe le affermazioni A e B sono false. In altri casi (cioè se un'affermazione è vera e l'altra è falsa), l'equivalenza è considerata falsa. Pertanto, la tavola di verità per l'equivalenza di A e B ha la forma (vedi Appendice 2, Fig. 5).

1.3 Ragionamento logico

Qualsiasi ragionamento consiste in una catena di affermazioni che si susseguono secondo determinate regole. La capacità di ragionare e motivare correttamente le proprie conclusioni è necessaria per le persone di qualsiasi professione. Una persona impara a ragionare dal momento in cui inizia a parlare, ma la formazione mirata sulla logica del ragionamento inizia a scuola. Già il corso iniziale di matematica presuppone lo sviluppo delle capacità degli studenti nel fare confronti, classificare oggetti, analizzare fatti e dimostrare le affermazioni più semplici. Il ragionamento logico è necessario non solo per risolvere problemi matematici, ma anche per l'analisi grammaticale, per padroneggiare i principi della storia naturale, ecc. Pertanto, un insegnante di scuola primaria deve avere familiarità con la logica, ad es. con la scienza delle leggi e delle forme di pensiero, dei modelli generali di ragionamento.

I principali tipi di giudizi e inferenze sono considerati nella logica classica, creata dall'antico filosofo greco Aristotele (384-322 a.C.).

Nella logica il ragionamento si divide in:

1. corretto;

2. errato.

Il ragionamento corretto è un ragionamento in cui vengono osservate tutte le regole e le leggi della logica. Il ragionamento errato è un ragionamento in cui vengono commessi errori logici dovuti alla violazione delle regole o delle leggi della logica.

Esistono due tipi di errori logici:

1. paralogismi;

2. sofismi.

I paralogismi sono errori logici commessi involontariamente (per ignoranza) nei processi di ragionamento.

I sofismi sono errori logici commessi intenzionalmente nei processi di ragionamento con l'obiettivo di fuorviare l'avversario, giustificare un'affermazione falsa, una sciocchezza, ecc.

I sofismi sono conosciuti fin dall'antichità. I sofisti utilizzavano ampiamente tali considerazioni nella loro pratica. È da loro che deriva il nome "sofismo". Numerosi esempi di ragionamento utilizzati dai sofisti in varie controversie sono sopravvissuti fino ai nostri giorni. Elenchiamone alcuni.

Il sofisma antico più famoso è un ragionamento chiamato “Cornuto”.

Immagina una situazione: una persona vuole convincere un'altra di avere le corna. La giustificazione è data: “Ciò che non hai perso, lo hai. Non hai perso le corna. Quindi hai le corna."

A prima vista, questo pensiero sembra corretto. Ma contiene un errore logico che difficilmente una persona che non capisce la logica sarà in grado di trovare immediatamente.

Facciamo un altro esempio. Protagora (il fondatore della scuola dei sofisti) era uno studente di Euathlus. L'insegnante e lo studente hanno stipulato un accordo secondo il quale Evatl avrebbe pagato le tasse scolastiche solo dopo aver vinto la sua prima causa. Ma, dopo aver completato gli studi, Evatl non aveva fretta di comparire in tribunale. La pazienza dell'insegnante finì e fece causa al suo studente: "In ogni caso Euathlus dovrà pagarmi", pensò Protagora. - O vincerà il processo o lo perderà. Se vince, paga come concordato; se perde, pagherà secondo il verdetto del tribunale”. "Niente del genere", obiettò Evatl. - In effetti, o vincerò il processo o lo perderò.

Se vinco, la decisione del tribunale mi esenterà dal pagamento, ma se perdo non pagherò secondo il nostro accordo *.

C’è anche un errore logico in questo esempio. E quale esattamente - lo scopriremo ulteriormente.

Il compito principale della logica è l'analisi di considerazioni corrette. I logici si sforzano di identificare ed esplorare i modelli di tali considerazioni, definirne i diversi tipi, ecc. Il ragionamento errato in logica viene analizzato solo dal punto di vista degli errori commessi in essi.

Va notato che la correttezza di un ragionamento non significa la verità delle sue premesse e della conclusione. In generale, la logica non si occupa di determinare la verità o la falsità delle premesse e delle conclusioni delle considerazioni. Ma nella logica esiste una regola del genere: se la considerazione è costruita correttamente (secondo le regole e le leggi della logica) e allo stesso tempo si basa su premesse vere, la conclusione di tale ragionamento sarà sempre incondizionatamente vera. In altri casi, la verità della conclusione non può essere garantita.

Pertanto, se un ragionamento è costruito in modo errato, anche nonostante le sue premesse siano vere, la conclusione di tale ragionamento può essere vera in un caso e falsa nel secondo.

Consideriamo, ad esempio, le seguenti due considerazioni, costruite secondo lo stesso schema errato:

(1) La logica è una scienza.

L'alchimia non è logica.

L'alchimia non è una scienza.

(2) La logica è una scienza.

La legge non è logica.

Il diritto non è una scienza.

È ovvio che nel primo ragionamento la conclusione è vera, ma nel secondo è errata, sebbene le premesse in entrambi i casi siano affermazioni vere.

È anche impossibile garantire la verità della conclusione di un argomento quando almeno una delle sue premesse è errata, anche se questo ragionamento è corretto.

Il ragionamento corretto è un ragionamento in cui alcuni pensieri (conclusioni) derivano necessariamente da altre opinioni (premesse).

Un esempio di ragionamento corretto potrebbe essere la seguente conclusione: “Ogni cittadino ucraino deve riconoscere la sua Costituzione. Tutti i deputati popolari dell'Ucraina sono cittadini ucraini. Quindi, ciascuno di loro deve riconoscere la Costituzione del proprio Stato”, e un esempio di pensiero vero è la sentenza: “Ci sono cittadini ucraini che non riconoscono almeno alcuni articoli della Costituzione del proprio Stato”.

Il seguente ragionamento dovrebbe essere considerato errato: “Poiché la crisi economica in Ucraina si è manifestata chiaramente dopo la proclamazione della sua indipendenza, quest’ultima è la causa di questa crisi”. Questo tipo di errore logico si chiama "dopo questo - a causa di questo". Sta nel fatto che la sequenza temporale degli eventi in questi casi si identifica con la causalità. Un esempio di opinione falsa potrebbe essere qualsiasi posizione che non corrisponde alla realtà, ad esempio l'affermazione secondo cui la nazione ucraina non esiste affatto.

Lo scopo della conoscenza è ottenere la vera conoscenza. Per ottenere tale conoscenza attraverso il ragionamento, è necessario, in primo luogo, avere premesse vere e, in secondo luogo, combinarle correttamente, ragionare secondo le leggi della logica. Quando utilizzano false premesse, commettono errori fattuali e quando violano le leggi della logica, le regole per costruire considerazioni, commettono errori logici. Naturalmente bisogna evitare errori di fatto, cosa che non sempre è possibile. Per quanto riguarda la logica, una persona con un'elevata cultura intellettuale può evitare questi errori, poiché le leggi fondamentali del pensiero logicamente corretto, le regole per costruire il ragionamento e persino gli errori significativamente tipici nel ragionamento sono state formulate da tempo.

La logica ti insegna a ragionare correttamente, a evitare errori logici e a distinguere il ragionamento corretto da quello errato. Classifica le considerazioni corrette per comprenderle in modo sistematico. In questo contesto può sorgere una domanda: poiché ci sono molte considerazioni, è possibile, nelle parole di Kozma Prutkov, abbracciare l’illimitato? Sì, è possibile, poiché la logica insegna a ragionare, concentrandosi non sul contenuto specifico dei pensieri che fanno parte del ragionamento, ma sullo schema, sulla struttura del ragionamento, sulla forma di combinazione di questi pensieri. Diciamo una forma di ragionamento del tipo “Ogni x è y, e questa z è x; Di conseguenza, la r data è corretta e la conoscenza della sua correttezza include informazioni molto più ricche rispetto alla conoscenza della correttezza di un argomento significativo separato di una forma simile. E la forma di ragionamento secondo lo schema “Ogni x è y, e anche z è y; pertanto, z è x" si riferisce a quelli errati. Proprio come la grammatica studia le forme delle parole e le loro combinazioni in una frase, astraendo dal contenuto specifico delle espressioni linguistiche, così la logica studia le forme delle opinioni e le loro combinazioni, astraendo dal contenuto specifico di questi pensieri.

Per rivelare la forma di un pensiero o di una considerazione, è necessario formalizzarlo.

Conclusioni per il capitolo 1

Sulla base di quanto sopra si possono trarre le seguenti conclusioni:

1. La logica è nata come branca della conoscenza filosofica. Le ragioni principali della sua comparsa sono lo sviluppo delle scienze e dell'oratoria. Poiché la scienza si basa sul pensiero teorico, che implica la costruzione di conclusioni e prove, è necessario studiare il pensiero stesso come forma di cognizione.

2. Nella scienza moderna, l'importanza della logica simbolica è molto grande. Trova applicazione nella cibernetica, nella neurofisiologia e nella linguistica. La logica simbolica è una fase moderna nello sviluppo della logica formale. Studia i processi di ragionamento e di dimostrazione attraverso la sua rappresentazione in sistemi logici. Quindi nel suo oggetto questa scienza è la logica, e nel suo metodo è la matematica.

Dopo aver studiato i materiali, abbiamo chiarito le nostre idee sui concetti matematici:

Questi sono concetti di oggetti ideali;

Ogni concetto matematico ha un termine, una portata e un contenuto;

Ai concetti vengono date definizioni; possono essere espliciti o impliciti. Quelle implicite includono definizioni contestuali e ostensive;

L'apprendimento dei concetti avviene di classe in classe con un'esplorazione estesa dell'argomento.

Studiando il materiale, abbiamo conosciuto concetti con l'aiuto dei quali abbiamo chiarito il significato delle congiunzioni “e”, “o”, la particella “non”, le parole “ogni”, “esiste”, “quindi” e “equivalentemente” usato in matematica. Questi i concetti:

Dichiarazione;

Dichiarazioni elementari;

Connettivi logici;

Affermazioni composte;

Congiunzione di affermazioni;

Disgiunzione delle dichiarazioni;

Smentita delle dichiarazioni.

Rivisto le regole:

Determinare il valore di verità di un'affermazione composta;

Costruzioni di negazione di frasi di varie strutture.

Capitolo 2. Utilizzo di elementi di logica matematica nelle lezioni di matematica della scuola primaria

2.1 Utilizzoelementi di logica nel corso iniziale di matematica

La matematica fornisce prerequisiti reali per lo sviluppo del pensiero logico; il compito dell’insegnante è sfruttare al meglio queste opportunità quando insegna la matematica ai bambini. Tuttavia, non esiste un programma specifico per lo sviluppo delle tecniche di pensiero logico che dovrebbero essere formulate quando si studia questo argomento. Di conseguenza, il lavoro sullo sviluppo del pensiero logico procede senza la conoscenza del sistema delle tecniche necessarie, senza la conoscenza del loro contenuto e della sequenza di formazione.

Barakina V.T. evidenzia i seguenti requisiti per le conoscenze, le competenze e le abilità degli studenti quando studiano gli elementi di logica nella scuola elementare:

1. Elementi di teoria degli insiemi:

Conoscere insiemi di varia natura utilizzando esempi specifici e modi di scriverli (per enumerazione);

Imparare a identificare gli elementi di un insieme;

Conoscere i principali tipi di relazioni tra insiemi e il modo in cui sono rappresentati utilizzando i cerchi di Eulero-Venn;

Imparare ad eseguire alcune operazioni sugli insiemi (unione, intersezione).

2. Elementi di teoria proposizionale:

Conoscere l'affermazione a livello di idee;

Impara a distinguere le affermazioni dalle altre frasi;

Conoscere i principali tipi di dichiarazioni;

Impara a eseguire alcune operazioni sulle affermazioni (negazione, congiunzione, disgiunzione).

3. Elementi di combinatoria:

Familiarizzare con questo concetto a livello di idee;

Imparare a distinguere i problemi combinatori da altri tipi di problemi verbali trattati nelle lezioni di matematica;

Impara a risolvere problemi per determinare il numero di posizionamenti di n elementi per m elementi.

Elementi di logica nella scuola elementare sono trattati sia nelle lezioni di matematica che di informatica. Allo stesso tempo, il livello dei requisiti per le conoscenze, le competenze e le capacità degli studenti, nonché il contenuto della formazione in questa sezione, differiscono leggermente nei diversi programmi. Ciò è dovuto, innanzitutto, al fatto che attualmente lo standard educativo statale federale per l'istruzione generale primaria non richiede una considerazione obbligatoria di questo argomento nelle classi 1-4.

Attualmente, tutti i corsi di matematica sono mirati allo sviluppo degli studenti. Ad esempio, il corso di Istomina N.B. il suo obiettivo principale è lo sviluppo di metodi di attività mentale degli studenti, operazioni mentali: analisi, sintesi, confronto, classificazione, analogia, generalizzazione.

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