Қалалық білім беру бюджеттік мекемесі -

No51 орта мектеп

Орынбор.

Жоба бойынша:

математика мұғалімі

Егорчева Виктория Андреевна

2017

Гипотеза : График теориясын тәжірибеге жақындататын болса, онда ең тиімді нәтижелерге қол жеткізуге болады.

Мақсат: Графиктер ұғымымен танысып, оларды әртүрлі есептерді шығаруда қолдануды үйреніңіз.

Тапсырмалар:

1) Графиктерді тұрғызу әдістері туралы білімдерін кеңейту.

2) Шешімі графиктер теориясын қолдануды қажет ететін есептердің түрлерін анықтау.

3) Математикада графиктерді қолдануды зерттеңіз.

«Эйлер адамның қалай тыныс алатынын немесе қыранның жер үстінде қалай қалықтағанын көзге көрінбейтін күш-жігерсіз есептеді».

Доминик Араго.

I. Кіріспе. б.

II . Негізгі бөлім.

1. График туралы түсінік. Кенигсберг көпірлері туралы мәселе. б.

2. Графиктердің қасиеттері. б.

3. Графтар теориясын қолданатын есептер. б.

Қорытынды Ш.

Графиктердің мағынасы. б.

IV. Библиография. б.

I . КІРІСПЕ.

График теориясы салыстырмалы түрде жас ғылым. «Графиктер» гректің «grapho» сөзінен шыққан, ол «мен жазамын» дегенді білдіреді. Бір түбір «график», «өмірбаян» сөздерінде.

Мен өз жұмысымда графиктер теориясының адамдар өмірінің әртүрлі салаларында қалай қолданылатынын қарастырамын. Әрбір математика мұғалімі және әрбір дерлік оқушы геометриялық есептерді, сондай-ақ алгебра сөз есептерін шығарудың қаншалықты қиын екенін біледі. Мектептегі математика курсында графикалық теорияны қолдану мүмкіндігін зерттей келе, мен бұл теория есептерді түсіну мен шешуді айтарлықтай жеңілдетеді деген қорытындыға келдім.

II . НЕГІЗГІ БӨЛІМ.

1. График туралы түсінік.

Графтар теориясы бойынша бірінші жұмыс Леонхард Эйлерге тиесілі. Ол 1736 жылы Петербург Ғылым академиясының басылымдарында пайда болды және Кенигсберг көпірлері мәселесін қарастырудан басталды.

Бұрын Кенигсберг деп аталатын Калининград сияқты қала бар екенін білетін шығарсыз. Қала арқылы Преголья өзені ағып өтеді. Ол екі тармаққа бөлініп, аралды айналып өтеді. 17 ғасырда қалада суретте көрсетілгендей реттелген жеті көпір болған.

Айтуларынша, бір күні қала тұрғыны досынан көпірлердің әрқайсысына бір-ақ рет барып, серуен басталған жерге оралу үшін барлық көпірлерден өтуге болатынын сұраған. Көптеген қала тұрғындары бұл мәселеге қызығушылық танытты, бірақ шешімін ешкім таба алмады. Бұл мәселе көптеген елдердің ғалымдарының назарын аударды. Атақты математик Леонхард Эйлер мәселені шеше алды. Базельдің тумасы Леонхард Эйлер 1707 жылы 15 сәуірде дүниеге келген. Эйлердің ғылыми жетістіктері орасан зор. Ол іргелі зерттеулер саласында да, оларды қолдануда да математика мен механиканың барлық дерлік салаларының дамуына әсер етті. Леонхард Эйлер осы нақты мәселені шешіп қана қоймай, сонымен бірге осы есептерді шешудің жалпы әдісін ойлап тапты. Эйлер мынаны жасады: ол жерді нүктелерге «сығымдады», ал көпірлерді сызықтарға «созды». Нәтиже - суретте көрсетілген фигура.

Осы нүктелерді қосатын нүктелер мен түзулерден тұратын мұндай фигура деп аталадысанау. A, B, C, D нүктелері графтың төбелері, ал төбелерді қосатын сызықтар графтың шеттері деп аталады. Сызбада шыңдарданВ, С, Д 3 қабырға шығады, ал жоғарыданА - 5 қабырға. Шеттерінің тақ саны шығатын шыңдар деп аталадытақ шыңдар, және шеттерінің жұп саны шығатын шыңдары болып табыладытіпті.

2. Графиктің қасиеттері.

Кенигсберг көпірлері туралы мәселені шешу барысында Эйлер, атап айтқанда, графиктің қасиеттерін анықтады:

1. Егер графтың барлық төбелері жұп болса, онда бір штрихпен (яғни қарындашты қағаздан көтермей және бір түзудің бойымен екі рет сызбай) графикті салуға болады. Бұл жағдайда қозғалыс кез келген шыңнан басталып, бір шыңда аяқталуы мүмкін.

2. Екі тақ төбесі бар графикті бір штрихпен де салуға болады. Қозғалыс кез келген тақ шыңнан басталып, басқа тақ шыңда аяқталуы керек.

3. Екіден көп тақ төбелері бар графикті бір штрихпен салуға болмайды.

4. Графиктегі тақ төбелердің саны әрқашан жұп.

5. Егер графтың тақ төбелері болса, онда графикті салу үшін қолдануға болатын штрихтардың ең аз саны осы графиктің тақ төбелері санының жартысына тең болады.

Мысалы, фигурада төрт тақ сан болса, оны кем дегенде екі штрихпен салуға болады.

Кенигсбергтің жеті көпірі мәселесінде сәйкес графтың барлық төрт төбесі тақ, яғни. Сіз барлық көпірлерден бір рет өтіп, саяхатты басталған жерде аяқтай алмайсыз.

3. Графиктерді пайдаланып есептер шығару.

1. Бір штрихпен фигураларды салу бойынша тапсырмалар.

Келесі фигуралардың әрқайсысын қаламның бір қимылымен салу әрекеті әртүрлі нәтижелерге әкеледі.

Егер суретте тақ нүктелер болмаса, оны қай жерден сызуды бастасаңыз да, оны әрқашан қаламның бір соққысымен салуға болады. Бұл 1 және 5-суреттер.

Егер фигурада тек бір жұп тақ нүкте болса, онда мұндай фигураны тақ нүктелердің бірінен (қайсысы маңызды емес) сызудан бастап бір штрихпен салуға болады. Сызба екінші тақ нүктеде аяқталуы керек екенін түсіну оңай. Бұл 2, 3, 6-суреттер. Мысалы, 6-суретте сызу А нүктесінен немесе В нүктесінен басталуы керек.

Егер фигураның бірнеше жұп тақ нүктелері болса, оны бір штрихпен мүлде салуға болмайды. Бұл екі жұп тақ нүктеден тұратын 4 және 7 сандары. Айтылғандар қандай фигураларды бір штрихпен салуға болмайтынын және қайсысын салуға болатынын, сондай-ақ сызбаны қай нүктеден бастау керектігін дәл анықтау үшін жеткілікті.

Мен келесі фигураларды бір штрихпен салуды ұсынамын.

2. Логикалық есептерді шешу.

№1 Тапсырма.

Үстел теннисі бойынша біріншілікте 6 қатысушы бар: Андрей, Борис, Виктор, Галина, Дмитрий және Елена. Чемпионат айналмалы жүйе бойынша өтеді – әрбір қатысушы бір-бірін ойнайды. Бүгінге дейін кейбір ойындар ойналды: Андрей Бориспен, Галинамен, Еленамен ойнады; Борис - Андреймен, Галинамен; Виктор - Галина, Дмитрий, Еленамен; Галина - Андреймен, Виктормен және Бориспен. Осы уақытқа дейін қанша ойын ойналды және қаншасы қалды?

ШЕШІМ:

Суретте көрсетілгендей график тұрғызайық.

7 ойын ойналды.

Бұл суретте графиктің 8 қыры бар, сондықтан ойнауға 8 ойын қалды.

№2 Тапсырма

Биік дуалмен қоршалған аулада қызыл, сары, көк үш үй бар. Шарбақтың үш қақпасы бар: қызыл, сары және көк. Қызыл үйден қызыл қақпаға, сары үйден сары қақпаға, көк үйден көкке дейін осы жолдар қиылыспауы үшін жол сызыңыз.

ШЕШІМ:

Есептің шешімі суретте көрсетілген.

3. Сөзге есептер шығару.

График әдісімен есептерді шешу үшін келесі алгоритмді білу қажет:

1.Есепте біз қандай процесс туралы айтып отырмыз?2.Бұл процесті қандай шамалар сипаттайды?3.Бұл шамалардың арасында қандай байланыс бар?4.Есепте неше түрлі процесс сипатталған?5.Элементтер арасында байланыс бар ма?

Бұл сұрақтарға жауап бере отырып, біз есептің жағдайын талдап, оны схемалық түрде жазамыз.

Мысалы . Автобус 45 км/сағ жылдамдықпен 2 сағат, 60 км/сағ жылдамдықпен 3 сағат жүрді. Осы 5 сағатта автобус қанша жол жүрді?

С
¹=90 км V ¹=45 км/сағ t ¹=2сағ

S=VT

S ²=180 км V ²=60 км/сағ t ²=3 сағ

С ¹ + С ² = 90 + 180

Шешімі:

1)45x 2 = 90 (км) – автобус 2 сағатта жүрді.

2)60 x 3 = 180 (км) – автобус 3 сағатта жүрді.

3)90 + 180 = 270 (км) - автобус 5 сағатта жүрді.

Жауабы: 270 км.

III . ҚОРЫТЫНДЫ.

Жобамен жұмыс істеу нәтижесінде мен Леонхард Эйлердің графтар теориясының негізін салушы екенін және графтар теориясының көмегімен есептерді шығарғанын білдім. Мен өзім үшін граф теориясы қазіргі математиканың әртүрлі салаларында және оның көптеген қосымшаларында қолданылады деген қорытындыға келдім. Біз студенттерді графтар теориясының негізгі ұғымдарымен таныстырудың пайдалылығына күмән жоқ. Егер сіз графиктерді пайдалана алсаңыз, көптеген математикалық есептерді шешу оңайырақ болады. Мәліметтерді ұсынуВ графиктің пішіні оларға айқындық береді. Көптеген дәлелдер де жеңілдетілген және графиктерді пайдалансаңыз, сенімдірек болады. Бұл әсіресе математиканың математикалық логика және комбинаторика сияқты салаларына қатысты.

Сонымен, бұл тақырыпты зерттеудің жалпы тәрбиелік, жалпы мәдени және жалпы математикалық маңызы зор. Күнделікті өмірде графикалық иллюстрациялар, геометриялық бейнелер және басқа да көрнекі әдістер мен әдістер жиі қолданылады. Осы мақсатта граф теориясының элементтерін зерттеуді бастауыш және орта мектептерде, ең болмағанда, сыныптан тыс жұмыстарда енгізу тиімді, өйткені бұл тақырып математика пәнінің бағдарламасына кірмейді.

В . ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ:

2008

Қарау.

«Біздің айналамыздағы графиктер» тақырыбындағы жобаны «Красный Кут» №3 қалалық білім беру мекемесінің 7 «А» сынып оқушысы Никита Зайцев аяқтады.

Никита Зайцев жұмысының айрықша ерекшелігі - оның өзектілігі, практикалық бағыты, тақырыпты ашудың тереңдігі және оны болашақта пайдалану мүмкіндігі.

Жұмыс шығармашылық, ақпараттық жоба түрінде. Студент бұл тақырыпты мектеп автобусының маршруты мысалында графика теориясының практикамен байланысын көрсету, графика теориясының қазіргі математиканың әртүрлі салаларында және оның көптеген қолданбалы салаларында, әсіресе экономикада, математикалық логикада және комбинаторикада қолданылатынын көрсету үшін таңдады. . Ол сызбаларды қолдану мүмкін болса, есептерді шешу айтарлықтай жеңілдетілгенін көрсетті.

Жұмыс келесідей мәселелерді шешеді:

1. График туралы түсінік. Кенигсберг көпірлері туралы мәселе.

2. Графиктердің қасиеттері.

3. Графтар теориясын қолданатын есептер.

4. Графиктердің мағынасы.

5. Мектеп автобусының маршрут нұсқасы.

Өз жұмысын орындау кезінде Н.Зайцев:

1. Алхова З.Н., Макеева А.В. «Математикадан сыныптан тыс жұмыс».

2. «Мектептегі математика» журналы. No 13 «Бірінші қыркүйек» қосымшасы

2008

3. Я.И.Перельман «Көңілді тапсырмалар мен эксперименттер.» - Мәскеу: Білім, 2000 ж.

Жұмыс сауатты орындалды, материал осы тақырыптың талаптарына сәйкес келеді, сәйкес сызбалар қоса берілген.

Қалалық бюджеттік білім беру мекемесі

Досчатин орта мектебі

Нижний Новгород облысы, Выкса қалалық ауданы

Логикалық есептерді шешу.

Физика-математика кафедрасы

Математика бөлімі

Мен жұмысты орындадым:

5-сынып оқушысы

Папотина Елена Сергеевна

ғылыми жетекші:

мұғалімі MBOU Досчатин орта мектебі

Рощина Людмила Валерьевна

Нижегород облысы

r/p Досчатое

2016

аннотация

Бұл жұмыстың мақсатылогикалық есептерді шешу кезінде ой қорыту және дұрыс қорытынды жасау қабілетін анықтау.МыналарЕсептер қызықты және көп математикалық білімді қажет етпейді, сондықтан олар тіпті математиканы ұнатпайтын студенттерді де тартады.Жұмыста келесі міндеттер бар:

1) «логика» және «математикалық логика» ұғымдарымен таныстыру;

2) логикалық есептерді шешудің негізгі әдістерін зерттеу;

3) 5-7 сынып оқушыларының логикалық есептерді шығару қабілетін зерттеу.

Бұл жұмыстың зерттеу әдістері:

Ақпаратты жинау және зерттеу.

Эксперименттік және теориялық материалды жалпылау.

Гипотеза : Біздің мектептің оқушылары логикалық есептерді шығара алады.

Жұмысты жазу барысында логикалық есептерді шығарудың түрлері мен әдістері зерттелді. Орта сынып оқушыларымен логикалық есептерді шығару жолдары бойынша практикалық жұмыс жүргізілді. Жұмыстың нәтижесі барлық оқушылардың логикалық тапсырмаларды орындай алмайтынын көрсетті.Көбінесе мектеп оқушыларының қабілеттері өздері үшін ашылмаған күйде қалады, олар өз қабілеттеріне сенбейді, математикаға немқұрайлы қарайды.Мұндай оқушыларға логикалық тапсырмаларды қолдануды ұсынамын. Бұл тапсырмаларды үйірме және факультатив сабақтарында қарастыруға болады.

2.3 Эйлер шеңбері әдісі

Бұл әдіслогикалық есептерді шешудің тағы бір көрнекі және өте қызықты тәсілі болып табылады. Бұл әдіс әйгілі Эйлер-Венн шеңберлерінің құрылысына негізделген,Есептің шарттарын сақтай отырып, жиындардың кейбір қиылысуын немесе олардың бірігуін табу қажет болатын есептер. Бұл әдісті қолданудың мысалын қарастырайық.

6 есепті шешейік:

52 оқушының 23-і төсбелгі жинаса, 35-і марка жинаса, 16-сы төсбелгі мен мөртаңбаны да жинайды. Қалғандары жинауға қызықпайды. Жинауға қызықпайтын мектеп оқушылары қаншама?

Шешім. Бұл мәселенің шарттарын түсіну оңай емес. 23 пен 35-ті қоссаңыз, 52-ден көп шығады. Бұл жерде кейбір мектеп оқушыларын екі рет санағанымызбен түсіндіріледі, атап айтқанда төсбелгі мен мөрді бірдей жинайтындар.Талқылауды жеңілдету үшін Эйлер шеңберлерін қолданайық

Суретте үлкен шеңбер барқарастырылып отырған 52 оқушыны білдіреді; 3-шеңберде төсбелгі жинап жатқан мектеп оқушылары, ал М шеңберде марка жинап жатқан мектеп оқушылары бейнеленген.

Үлкен шеңбер 3 және М шеңберлері арқылы бірнеше аймаққа бөлінген. 3 және М шеңберлерінің қиылысы мектеп оқушыларының төсбелгілерді де, мөрлерді де жинайтынына сәйкес келеді (сурет). 3-шеңбердің М шеңберіне жатпайтын бөлігі тек белгі жинайтын мектеп оқушыларына, ал М шеңберінің 3-ші шеңберге жатпайтын бөлігі тек марка жинайтын мектеп оқушыларына сәйкес келеді. Үлкен шеңбердің бос бөлігі жинауға қызығушылық танытпайтын мектеп оқушыларын бейнелейді.

Әр аймаққа сәйкес нөмірді енгізе отырып, диаграммамызды дәйекті түрде толтырамыз. Шарт бойынша төсбелгілерді де, мөрлерді де 16 адам жинайды, сондықтан 3 және М шеңберлерінің қиылысында 16 санын жазамыз (сурет).

23 мектеп оқушысы төсбелгіні, ал 16 оқушы төсбелгіні де, мөртаңбаны да жинайтындықтан, 23 - 16 = 7 адам төсбелгіні жалғыз жинайды. Сол сияқты тек маркаларды 35 - 16 = 19 адам жинайды. Диаграмманың сәйкес аймақтарына 7 және 19 сандарын жазайық.

Жинауға қанша адам қатысқаны суреттен көрініп тұр. Мұны білу үшін7, 9 және 16 сандарын қосу керек. Біз 42 адам аламыз. Бұл 52 - 42 = 10 мектеп оқушысы жинауға қызығушылық танытпайды деген сөз. Бұл мәселенің жауабы, оны үлкен шеңбердің бос өрісіне енгізуге болады.

Эйлер әдісі кейбір есептерді шешу үшін таптырмас, сонымен қатар пайымдауды айтарлықтай жеңілдетеді.

2.4 Блок-схема әдісі

Тапсырма 7. Мектеп асханасында бірінші тағамға борщ, солянка, саңырауқұлақ сорпасына, макарон қосылған ет, балық пен картопқа, екінші тағамға күріш қосылған тауық етіне, үшінші тағамға шай мен компотқа тапсырыс беруге болады. Осы тағамдардан қанша түрлі түскі ас жасауға болады?

Шешім. Шешімді блок-схема түрінде ресімдейік:

Жауабы: 18 нұсқа.

2.5 Ақиқат мәселелері

Сөздердің ақиқаттығын немесе жалғандығын анықтау қажет есептерді ақиқат мәселелері деп атаймыз.

Мәселе 7 . Үш дос Коля, Олег және Петя аулада ойнап жүрген, олардың бірі абайсызда доппен терезе әйнегін сындырып алған. Коля: «Әйнекті мен сындырған жоқпын», - деді. Олег: «Әйнекті сындырған Петя болды», - деді. Бұл сөздердің бірі рас, екіншісі жалған екені кейін белгілі болды. Қай бала әйнекті сындырды?

Шешім. Олег шындықты айтты делік, Коля да шындықты айтты және бұл мәселенің шарттарына қайшы келеді. Демек, Олег өтірік айтты, ал Коля шындықты айтты. Олардың мәлімдемелерінен Олегтің әйнекті сындырғаны белгілі болды.

8-тапсырма. Төрт оқушы – Витя, Петя, Юра және Сергей математикалық олимпиадада төрт бірінші орынды иеленді. Қандай орындарға барды деген сұраққа мынадай жауаптар берілді.

а) Петя – екінші, Витя – үшінші;

ә) Сергей – екінші, Петя – бірінші;

в) Юра – екінші, Витя – төртінші.

Әр жауаптың бір бөлігі ғана дұрыс болса, кім қай орынды алғанын көрсетіңіз.

Шешім. «Петр - II» тұжырымы дұрыс делік, екінші тұлғаның екі мәлімдемесі де дұрыс емес және бұл мәселенің шарттарына қайшы келеді. «Сергей - II» тұжырымы дұрыс делік, бірінші тұлғаның екі мәлімдемесі де дұрыс емес және бұл мәселенің шарттарына қайшы келеді. «Юра – II» тұжырымы ақиқат делік, онда бірінші тұлғаның бірінші пікірі жалған, ал екіншісі ақиқат. Ал екінші адамның бірінші сөзі дұрыс емес, екіншісі дұрыс.

Жауап: бірінші орын – Петя, екінші орын – Юра, үшінші орын – Витя, төртінші орын Сергей.

2.6 Соңынан бастап шешілген мәселелер.

Логикалық есептердің аяғынан бастап шешілетін түрі бар. Осындай есептерді шешудің мысалын қарастырайық.

9-тапсырма. Вася сан ойлап тапты, оған 5-ті қосты, сосын қосындыны 3-ке бөлді, 4-ке көбейтті, 6-ны азайтты, 7-ге бөлді және 2 санын алды. Вася қандай санды ойлады?

Шешуі: 2·7=14

14+6=20

20˸4=5

5·3=15

15-5=10

Жауап: Вася 10 санын ойлады.

Тарау 3. Логикалық есептерді шығару қабілетін зерттеу.

Зерттеу жұмысының практикалық бөлімінде мынадай типтегі логикалық есептерді таңдадым: соңынан шешілген есептер; кімнің кім екені?; сөз мәселелері.

Тапсырмалар сәйкесінше 5, 6 және 7 сыныптардың білім деңгейіне сәйкес келді. Оқушылар бұл есептерді шығарды, мен нәтижелерді талдадым (1-сурет). Алынған нәтижелерді толығырақ қарастырайық.

*5-сыныпқа келесі тапсырмалар ұсынылды:

№1 тапсырма. Ақыры шешілген мәселе.

Мен бір сан ойлап, екіге көбейтіп, үш қосып, 17 шықты. Маған қандай сан келді?

№2 тапсырма. «Кім кім?» сияқты мәселелер.

Катя, Соня және Лизаның фамилиясы Васнецова, Ермолаева және Кузнецова. Соня, Лиза және Ермолаева математикалық үйірменің мүшелері болса, ал Лиза мен Кузнецова музыкамен айналысса, әрбір қыздың фамилиясы қандай?

№3 тапсырма. Мәтіндік тапсырма.

Мектепішілік спартакиадаға 124 адам қатысты, ер балалар қыздарға қарағанда 32 адамға көп. Олимпиадаға қанша ұл мен қыз қатысты?

Бесінші сынып оқушыларының көпшілігі «соңынан шешілетін» типті мәселемен күресті. Мұндай есептер 5-6 сынып оқулықтарында кездеседі.Сөз есептерінің түрімен бұл тапсырма күрделірек, бұл туралы ойлану керек болды, оны тек 5 адам жеңді.(Cурет 2)

*6-сыныпқа келесі тапсырмалар ұсынылды:

№1 тапсырма. Ақыры шешілген мәселе.

Мен бір сан ойладым, 57-ні азайттым, 2-ге бөлдім және 27-ге жеттім. Мен қандай санды ойладым?

№2 тапсырма. «Кім кім?» сияқты мәселелер.

Атос, Портос, Арамис және д'Артаньян төрт талантты жас мушкетер. Біреуі қылышпен жақсы күреседі, екіншісі қоян-қолтық ұрыста тең келер ешкім жоқ, үшіншісі допты жақсы билейді, төртіншісі тапаншадан мүлт кетпей атады. Олар туралы мыналар белгілі:

Атос пен Арамис өздерінің досы, тамаша биші балға қарап тұрды.

Портос пен ең үздік атқыш кеше қоян-қолтық ұрысты тамашалады.

Атқыш Атосты қонаққа шақырғысы келеді.

Портос өте үлкен болды, сондықтан би оның элементі емес еді.

Кім не істейді?

№3 тапсырма. Мәтіндік тапсырма. Бір сөреде екінші сөреге қарағанда 5 есе көп кітап бар. Бірінші сөреден екінші сөреге 12 кітап көшкеннен кейін сөрелерде кітап саны бірдей болды. Бастапқыда әр сөреде қанша кітап болды?

6-сыныптың 18 оқушысынан 1 адам барлық тапсырманы орындады. Барлық 6-сынып оқушылары «соңынан шешілетін» типті проблеманы жеңді. «Кім кім?» сияқты №2 тапсырмамен. 4 адам жасады. Тек бір адам мәтіндік тапсырманы орындады(Cурет 3).

*7-сыныпқа келесі тапсырмалар ұсынылды:

№1 тапсырма. Ақыры шешілген мәселе.

Мен бір сан ойладым, оған 5-ті қостым, сосын қосындыны 3-ке бөлдім, 4-ке көбейтті, 6-ны азайттым, 7-ге бөлдім және 2 санын алдым.Қандай сан ойладым?

№2 тапсырма. «Кім кім?» сияқты мәселелер.

Ваня, Петя, Саша және Коляның фамилиялары V, P, S, K әріптерінен басталатын. 1) Ваня мен С. оқу үздігі екені белгілі; 2) Петя мен В. С сынып оқушылары; 3) П.-дан жоғары; 4) Коля П.-дан қысқа; 5) Саша мен Петяның бойы бірдей. Әр адамның тегі қандай әріптен басталады?

№3 тапсырма. Қорытындылау әдісі.

Ағаш шеберлерінен 2,5 есе көп бояушы бар мектепті жөндеуге бригада келді. Көп ұзамай бригадир бригадаға тағы 4 сырлаушыны қосып, екі ұстаны басқа учаскеге ауыстырды. Соның нәтижесінде бригадада ағаш ұсталарынан 4 есе көп сырлаушы болды. Бастапқыда бригадада қанша сырлаушы, қанша ағаш шебері болды?

7-сыныптың 20 оқушысынан 1 адам барлық тапсырманы орындады.Он үш оқушы «соңынан шешілді» типті есепті орындады. МЕНБір оқушы мәтіндік тапсырманы орындады (4-сурет).

Қорытынды

Логикалық есептерді шешу әдістерін зерттеу бойынша ғылыми-зерттеу жұмыстары кезінде. Алға қойған мақсаттар мен міндеттер орындалды деп есептеймін. Бірінші тарауда логиканың ғылым ретіндегі түсінігімен, оның дамуының негізгі кезеңдерімен және негізін салушы ғалымдармен таныстым. Екінші тарауда логикалық есептерді шешудің әртүрлі әдістерін зерттеп, нақты мысалдар арқылы талдадым. Мен келесі әдістерді қарастырдым: мпайымдау әдісі, кесте әдісі, график әдісі, блок-схема әдісі, Эйлер шеңбері әдісі, ақиқат есептері, есепті соңынан шешу әдісі.Үшінші тарауда 5-7 сынып оқушылары арасында логикалық есептерді шығару қабілеттерін тексере отырып, практикалық жұмыс жүргіздім. Менің зерттеулерім мынаны көрсетті. Оқушылардың көпшілігі орындаған есептер соңында шешілген есептер болды. «Кім кім?» тапсырмасымен. (кесте әдісі) оқушылардың жартысы орындады. Сөз мәселесін ең аз адамдар ғана шешті (ойлау әдісі). Менің болжамым ішінара расталды деп есептеймін, өйткені оқушылардың жартысы логикалық есептерді шығаруда қиналған.

Логикалық тапсырмалар логикалық және қиялды ойлауды дамытуға көмектеседі.Кез келген қалыпты балада білімге құштарлық, өзін сынауға құштарлық болады. Көбінесе мектеп оқушыларының қабілеттері өздері үшін ашылмаған күйде қалады, олар өз қабілеттеріне сенбейді, математикаға немқұрайлы қарайды.Мұндай оқушыларға логикалық тапсырмаларды қолдануды ұсынамын. Бұл тапсырмаларды үйірме және факультатив сабақтарында қарастыруға болады. Олар қол жетімді болуы керек, интеллект оятуы, олардың назарын аудару, таң қалдыру, белсенді қиялға және тәуелсіз шешімдер қабылдауға ояту керек. Мен сондай-ақ логика өміріміздегі кез келген қиындықтарды жеңуге көмектеседі деп есептеймін және біз жасайтын барлық нәрсе логикалық түрде түсініліп, құрылымдалған болуы керек. Логика мен логикалық есептерді тек мектепте математика сабағында ғана емес, басқа пәндерде де кездестіреміз.

Әдебиет

Виленкин Н.Я. Математика 5 сынып.-Мнемосине, М: 2015. 45 бет.

Виленкин Н.Я. Математика 5 сынып.-Мнемосине, М: 2015. 211 б.

Орлова Е. Шешу әдістері логикалық есептер мен сандық есептер //

Математика. -1999. No 26. - 27-29 б.

Тарски А.Дедуктивтік ғылымдардың логикасы мен әдістемесіне кіріспе – Мәскеу,: 1948 ж.

Интернет ресурстары:

http://вики. үйрету.

Күріш. 3 6-сынып жұмысын талдау.

Күріш. 4 7-сынып жұмысын талдау

Оқушылардың назарына! Курстық жұмыс таңдалған тақырыпқа қатаң сәйкестікте өз бетінше орындалады. Қайталанатын тақырыптарға жол берілмейді! Таңдалған тақырып туралы оқытушыға кез келген ыңғайлы тәсілмен жеке немесе толық аты-жөніңізді, топ нөмірін және курстық жұмыстың тақырыбын көрсете отырып, тізімде хабарлауыңызды сұраймыз.

Пән бойынша курстық жұмыстың үлгі тақырыптары
«Математикалық логика»

1. Резолюция әдісі және оның ұсыныс алгебрасында және предикат алгебрасында қолданылуы.

2. Аксиоматикалық жүйелер.

3. Ең аз және ең қысқа CNF және DNF.

4. Формальді тілдер теориясында математикалық логика әдістерін қолдану.

5. Формальді грамматикалар логикалық есептер ретінде.

6. Мәтіндік логикалық есептерді шешу әдістері.

7. Логикалық бағдарламалау жүйелері.

8. Логикалық ойын.

9. Бірінші ретті логиканың шешілмеуі.

10. Арифметиканың стандартты емес үлгілері.

11. Математикалық логикадағы диагонализация әдісі.

12. Тьюринг машиналары және Черч тезисі.

13. Абакус және рекурсивті функциялар бойынша есептеу мүмкіндігі.

14. Рекурсивті функциялардың репрезентативтілігі және математикалық логиканың теріс нәтижелері.

15. Қосу арифметикасының шешілетіндігі.

16. Арифметикадағы екінші ретті логика және анықтау.

17. Модельдер теориясындағы ультраөнім әдісі.

18. Формальды арифметиканың толық еместігі туралы Годель теоремасы.

19. Шешілетін және шешілмейтін аксиоматикалық теориялар.

20. Крейгтің интерполяциялық леммасы және оның қолданылуы.

21. Ең қарапайым ақпаратты түрлендіргіштер.

22. Коммутациялық тізбектер.

24. Байланыс құрылымдары.

25. Логикалық функцияларды релелік контактілі тізбектерге қолдану.

26. Логикалық тану теориясында логикалық функцияларды қолдану.

27. Математикалық логика және жасанды интеллект жүйелері.

Курстық жұмыс 2 бөлімнен тұруы керек: тақырыптың теориялық мазмұны және шешу жолдары көрсетілген тақырып бойынша есептер жинағы (кемінде 10). Сондай-ақ, екінші бөлімді (есептерді шешу) талқыланған теориялық материал негізінде құрылған дербес әзірлемемен (мысалы, жұмыс алгоритмі, бағдарлама, үлгі және т.б.) алмастыра отырып, зерттеу түріндегі курстық жұмысты жазуға рұқсат етіледі. жұмыстың бірінші бөлімінде.

1) Барвис Дж. (ред.) Математикалық логика бойынша анықтамалық. - М.: Наука, 1982 ж.

2) Бағдарламалау тілдерінің бауырлары. - М.: Наука, 1975 ж.

3) Булос Дж., есептеу және логика. - М.: Мир, 1994 ж.

4) Есептердегі хиндикиндік логика. - М., 1972 ж.

5), Палютин логикасы. - М.: Наука, 1979 ж.

6) Ершовтың шешушілігі және конструктивті модельдері. - М.: Наука, 1980 ж.

7), Тайцлин теориясы // Успеки Мат, 1965, 20, No 4, б. 37-108.

8) Игошин – математикалық логика бойынша практикум. - М.: Білім, 1986 ж.

9) Игошин логикасы және алгоритмдер теориясы. - Саратов: Сарат баспасы. Университет, 1991 ж.

10) Ts., Turbo Prolog көмегімен. - М.: Мир, 1993 ж.

11) метаматематикаға кіріспе. - М., 1957 ж.

12) атематикалық логика. - М.: Мир, 1973 ж.

13) есептерді шешудегі огика. - М.: Наука, 1990 ж.

14) Колмогоров логикасы: университеттерге арналған математика оқулығы. мамандықтары /, - М.: УРСС баспасы, 2004. - 238 б.

15) түйінді әңгіме / Аудар. ағылшын тілінен - М., 1973 ж.

16) огикалық ойын / Транс. ағылшын тілінен - М., 1991 ж.

17), Максимов жиындар теориясы, математикалық логика және алгоритмдер теориясы бойынша. - 4-ші басылым. - М., 2001 ж.

18), Сукачева логикасы. Дәріс курсы. Практикалық есептер жинағы және шешу жолдары: Оқулық. 3-ші басылым, рев. - Санкт Петербург.

19) «Лан» баспасы, 2008. – 288 б.

20) Лыскова информатикада / , . – М.: Негізгі білім зертханасы, 2001. – 160 б.

21) Математикалық логика / Бас редакцияда және т.б. – Минск: Жоғары мектеп, 1991 ж.

22) математикалық логикаға кіріспе. - М.: Наука, 1984 ж.

23) Мощенский математикалық логика бойынша. - Минск, 1973 ж.

24) Никольская математикалық логикамен. - М.: Мәскеу психологиялық-әлеуметтік институты: Флинт, 1998. - 128 б.

25) Никольская логикасы. - М., 1981 ж.

26) Новиков математикалық логикасы. - М.: Наука, 1973 ж.

27) Рабин теориясы. Кітапта: Математикалық логика бойынша анықтамалық, 3-бөлім. Рекурсия теориясы. – М.: Наука, 1982. – б. 77-111.

28) Тей А., Грибомон П. және т.б. Жасанды интеллектке логикалық көзқарас. Т. 1. - М.: Мир, 1990 ж.

29) Тей А., Грибомон П. және т.б. Жасанды интеллектке логикалық көзқарас. Т. 2. - М.: Мир, 1998 ж.

30) Чен Ч., Ли Р. Математикалық логика және теоремаларды автоматты түрде дәлелдеу. - М.: Наука, 1983 ж.

31) математикалық логикаға кіріспе. - М.: Мир, 1960 ж.

32) Шабунин логикасы. Пропозициялық логика және предикат логикасы: оқу құралы /, реп. ред. ; Чуваш мемлекеті атындағы университет . - Чебоксары: Чуваш баспасы. Университет, 2003. – 56 б.

Біздің веб-сайттың бұл бөлімі ұсынылады логика бойынша зерттеу жұмыстарының тақырыптарылогикалық есептер, математикадағы софизмдер мен парадокстар, логика мен логикалық ойлау бойынша қызықты ойындар түрінде. Жұмыс жетекшісі студентке оның зерттеуіне тікелей басшылық жасап, көмектесуі керек.

Төменде логика бойынша ғылыми-зерттеу және жобалау жұмыстары үшін ұсынылған тақырыптар логикалық ойлауды, стандартты емес есептер мен мысалдарды шешуді, парадокстарды және математикалық есептерді зерттеуді және стандартты емес логикалық ойындарды ойнауды ұнататын балаларға қолайлы.

Төмендегі тізімде сіз бастауыш мектептен орта мектепке дейін орта мектептің кез келген сыныбы үшін логикалық жоба тақырыбын таңдай аласыз. Логика және логикалық ойлау бойынша математикалық жобаны дұрыс құрастыруға көмектесу үшін жұмысты жобалауға әзірленген талаптарды пайдалануға болады.

Логикалық зерттеу жобаларының келесі тақырыптары түпкілікті емес және жоба алдында қойылған талаптарға байланысты өзгертілуі мүмкін.

Логика бойынша ғылыми жұмыстардың тақырыптары:

Логика бойынша студенттерге арналған ғылыми жұмыстардың үлгі тақырыптары:

Математикадағы қызықты логика.
Алгебра логикасы
Логика және біз
Логика. Логика заңдары
Логикалық қорап. Көңілді логикалық есептер жинағы.
Сандармен логикалық тапсырмалар.
Логикалық есептер
Логикалық есептер «Көңілді арифметика»
Математикадан логикалық есептер.
Геометриялық фигуралар санын анықтауға арналған логикалық есептер.
Ойлауды дамытуға арналған логикалық тапсырмалар
Математика сабағында логикалық есептер.
Логикалық ойындар
Логикалық парадокстар
Математикалық логика.
Логикалық есептерді шешу әдістері және оларды құрастыру әдістері.
Логикалық есептерді модельдеу
«Логика негіздері» оқу презентациясы.
Логикалық есептердің негізгі түрлері және оларды шешу әдістері.
Шерлок Холмстың ізімен немесе логикалық есептерді шешу әдістері.
Графтар теориясын логикалық есептерді шешуде қолдану.
Төрт түстің есептері.
Логикалық есептерді шешу
График әдісі арқылы логикалық есептерді шығару.
Логикалық есептерді әртүрлі тәсілдермен шешу.
Графиктер арқылы логикалық есептерді шешу
Логикалық есептерді диаграммалар мен кестелер арқылы шешу.
Логикалық есептерді шешу.
Силлогизмдер. Логикалық парадокстар.

Логикалық жоба тақырыптары

Оқушыларға арналған логикалық жобалардың үлгі тақырыптары:
Софистика
Айналамыздағы софизм
Софизмдер мен парадокстар
Логикалық есептерді құрастыру әдістері және шешу әдістері.
Логикалық есептерді шығаруға үйрету
Логика алгебрасы және компьютердің логикалық негіздері.
Логикалық ойлауға арналған тапсырмалардың түрлері.
Логикалық есептерді шешудің екі жолы.
Логика және математика.
Логика ғылым ретінде
Логикалық жұмбақтар.

Жақсы жұмысыңызды білім қорына жіберу оңай. Төмендегі пішінді пайдаланыңыз

Білім қорын оқу мен жұмыста пайдаланатын студенттер, аспиранттар, жас ғалымдар сізге шексіз алғысын білдіреді.

Жарияланды http://www.allbest.ru/

ДИПЛОМДЫҚ ЖҰМЫС

Диплом жұмысының тақырыбы

«Бастауыш мектептегі математика сабағында математикалық логика элементтерін пайдалану»

бастауыш математикалық логика

Кіріспе

Бастауыш мектепте математикалық логика элементтерін оқытудың теориялық негіздері тарау 1

1.1 Математикалық ұғымдар мен сөйлемдердің логикалық құрылымын түсіну

1.2 Логиканы математиканың бір саласы ретінде зерттеу

1.3 Логикалық пайымдау

1-тарау бойынша қорытынды

Бастауыш мектептегі математика сабағында математикалық логика элементтерін қолдану 2-тарау

2.1 Бастапқы математика курсында логика элементтерін қолдану

2.2 «Болашақ бастауыш мектеп» оқу кешеніне сәйкес математикалық логика элементтерін қолданудың психологиялық-педагогикалық негіздері.

2.3 Бастауыш мектепті бітіргеннен кейін оқушылар арасында «математикалық логика элементтері» ұғымын дамытуға бағытталған тапсырмалар жүйесі

2-тарау бойынша қорытындылар

Қорытынды

Әдебиеттер тізімі

Қолданбалар

Кіріспе

Қазіргі уақытта елімізде математикалық білім беруді жетілдіру жолдарын белсенді түрде іздестіруде. Жаңа жалпы білім берудің Федералдық мемлекеттік білім беру стандартына сүйене отырып, бастауыш сынып оқушылары математика пәні бойынша бастауыш жалпы білім берудің негізгі білім беру бағдарламасын меңгеру нәтижелеріне қойылатын талаптарды сақтауы керек:

1) қоршаған объектілерді, процестерді, құбылыстарды сипаттау және түсіндіру, сондай-ақ олардың сандық және кеңістіктік байланыстарын бағалау үшін негізгі математикалық білімдерді пайдалану;

2) логикалық және алгоритмдік ойлаудың, кеңістіктік қиялдың және математикалық сөйлеудің, өлшеудің, қайта есептеудің, бағалаудың және бағалаудың, мәліметтер мен процестерді көрнекі түрде көрсетудің, алгоритмдерді жазу мен орындаудың негіздерін меңгеру;

3) сандармен және сандық өрнектермен ауызша және жазбаша арифметикалық амалдарды орындау, сөздік есептерді шығару, алгоритмге сәйкес әрекет ету және қарапайым алгоритмдер құру, геометриялық фигураларды зерттеу, тану және бейнелеу, кестелермен, диаграммалармен, графиктермен жұмыс істей білу; және диаграммалар, тізбектер, агрегаттар, деректерді ұсыну, талдау және түсіндіру.

Бүгінгі таңда математикалық білім беру орта білім беру жүйесінің бір бөлігі және сонымен бірге білім берудің өзіндік дербес кезеңі болып табылады. Математикалық білім берудің жаңа мазмұны негізінен кіші мектеп оқушыларының мәдениеті мен ойлау дербестігін, математика құралдары мен әдістері арқылы оқу іс-әрекетінің элементтерін қалыптастыруға бағытталған. Оқыту барысында балалар өз іс-әрекеттерінің жоспарланған жоспарға сәйкестігін орнату үшін іс-әрекеттің жалпы әдістерін, сатылы бақылауды және орындалған іс-әрекеттерді өзін-өзі бағалауды меңгеруі керек.

Сондықтан да математикалық бағдарламаларда бағдарламаның арифметикалық, алгебралық және геометриялық бөлімдерін оқу барысында жасалатын алгоритмдік, логикалық және комбинаторлық сызықтарды құруға ерекше көңіл бөлінуі кездейсоқ емес.

Математиктердің еңбектерінде А.Н. Колмогоров, А.И. Маркушевич А.С. Столяра, А.М. Пышкало, П.М. Эрдниева және басқалар мектептегі математикалық білім беруді жетілдірудің іргелі мәселелерін, атап айтқанда мектеп курсының логикалық негізін, оның ішінде ондағы математикалық логика элементтерін нығайтуға қатысты мәселелерді атап көрсетеді.

Соңғы онжылдықта мектеп жаңару үрдісіне еніп, жаңа стандарттар, технологиялар, әдістер, түрлі оқу құралдары тәжірибеге енгізіліп жатқан кезде бастауыш пен негізгі деңгей арасындағы білім берудегі сабақтастық мәселесі өзекті болып отыр. Оқулықтар жиынтығының болуы осы деңгейлер арасындағы сабақтастықтың маңызды құрамдас бөлігі болып табылады. А.А. Столяр «Мектептің бастауыш және орта сыныптарында жүзеге асырылуы тиіс ақыл-ой, логикалық бағдарлама қажет».

Психологтар мен педагогтардың зерттеулері В.В. Выготский, Л.В.Занков, В.В. Давыдова, Н.М.Скаткина және т.б. белгілі бір жағдайларда білімнің, іскерліктің және дағдының жоғары деңгейіне ғана емес, жалпы дамуға да қол жеткізуге болатынын көрсетеді. Дәстүрлі оқытуда даму қалаулы, бірақ оқудың болжамды өнімі ретінде көрінеді.

Біздің ойымызша, психологиялық-әдістемелік әдебиеттерде оқушыларда математикалық логика элементтерін қалыптастыру мәселесі орта мектепте математиканы оқытуға қатысты ішінара қарастырылады.

Осылайша, сандық жиынтық жалпы білім беретін мектептің бірінші сыныптарынан бастап, белгілі бір көзқарастың ақиқаттығын немесе жалғандығын анықтауға негіз болатын оқушылардың ойлау дағдыларын анағұрлым айқын дамытуға болатын зертхананы білдіреді. мәселені арнайы тұжырымдау. «Мектепте математиканы оқыту процесінің негізгі мақсаты осындай міндет пе және бұл мәселенің қай үлесі бастауыш мектепте кездеседі?» деген сұрақ туындайды. Бұл сұрақтың жауабын I-IV сыныптарға арналған математика пәнінен бағдарлама мен оқулықтарды жан-жақты талдағаннан кейін ғана алуға болады.

Кіші мектеп оқушыларының бойында математикалық логика элементтерін қалыптастыру үшін бастауыш сыныптарда математиканы оқытудың мазмұнын жетілдіру мәселесінің өзектілігі болып табылады.

Зерттеудің мақсаты 1-4 сыныптарда математиканы оқыту кезінде математика курсы аясында математикалық логика элементтерін зерттеуді қарастыру және оны жүзеге асырудың оқу-әдістемелік құралдарын әзірлеу.

Зерттеу объектісі- бастауыш мектепте математика сабағын оқытуда математикалық логика элементтерін оқып-үйрену процесі.

Элемент- 1-4 сынып оқушылары арасында математикалық логика элементтерін қалыптастыру әдістері мен құралдары.

Зерттеу гипотезасыматематикалық білім мен дағдыны дайындаумен қатар логикалық дағдыларды саналы және жүйелі түрде дамытатын математиканы оқыту процесін ұйымдастыруға болады.

Мақсатқа жету және гипотезаны жүзеге асыру үшін мыналар анықталды: зерттеу мақсаттары:

1. Математикалық ұғымдар мен сөйлемдердің логикалық құрылымы туралы түсінік беру;

2. Логиканы ғылым және математиканың бір саласы ретінде зерттеу;

3. Логикалық пайымдау дегеніміз не екенін тауып, оның анықтамаларын беріңіз;

4. Математикадан білім беру стандарттарын, оқу бағдарламаларын және қазіргі мектеп оқулықтарын оқушылардың логикалық дамуы тұрғысынан талдау;

5. Бастауыш мектепте математиканы оқыту процесінде балаларда математикалық логика элементтерін қалыптастырудың психологиялық-педагогикалық және әдістемелік негіздерін анықтау;

6. Бастауыш мектеп жағдайында жасалған әдістердің тиімділігін тексеру үшін эксперименталды зерттеу жүргізу.

Зерттеудің теориялық және әдіснамалық негізі мыналардан тұрды: диалектикалық-материалистік философияның негізгі қағидалары және олардың негізінде жасалған оқытудың тұлғалық-белсенді көзқарасы туралы ілім (А.С.Выготский, А.Н.Леонтьев, С.Л.Рубинштейн, т.б.); дамыта оқыту теориясының бастапқы нүктелері (В.В.Давыдов, Л.В.Занков, Н.А.Менчинская, Д.Б.Эльконин, Н.В.Якиманская, т.б.); әдіскер математиктердің іргелі идеялары (А.М. Пышкало, П.М. Эрдниев).

Бастауыш мектепте математикалық логика элементтерін зерттеудің теориялық негіздері 1-тарау

1.1 Математикалық ұғымдар мен сөйлемдердің логикалық құрылымын түсіну

Мектепте математиканы оқығанда белгілі бір ұғымдар, тұжырымдар мен дәлелдеу жүйесін меңгеру қажет, бірақ бұл жүйені меңгеру және одан кейін алған білімдері мен дағдыларын ойдағыдай қолдану, кіші мектеп оқушыларын оқыту және математиканы пайдалана отырып, оларды дамыту мәселесін шешу үшін. , математикалық ұғымдардың қандай ерекшеліктері бар, олардың құрылымдық анықтамалары, ұғымдардың қасиеттерін білдіретін сөйлемдер және дәлелдеулері қалай екенін түсіну керек.

Бастауыш сынып мұғаліміне мұндай білім қажет, өйткені ол балаларды математикалық білім әлемімен бірінші болып таныстырады, ал баланың болашақта математиканы оқуға деген көзқарасы оның мұны қаншалықты сауатты және сәтті орындауына байланысты.

Бұл материалды оқып-үйрену жиынтық-теориялық тілді меңгерумен байланысты, ол тек математикалық ұғымдардың, ұсыныстардың және дәлелдемелердің логикалық құрылымын қарастырғанда ғана емес, сонымен қатар бүкіл курсты құрастыруда қолданылатын болады.

Математиканың кіріспе курсында оқытылатын ұғымдар әдетте төрт топқа бөлінеді. Біріншісіне сандарға қатысты ұғымдар және оларға амалдар жатады: сан, қосу, мүше, үлкен т.б. Бұған алгебралық ұғымдар жатады: өрнек, теңдік, теңдеу, т.б. Үшінші топ геометриялық ұғымдардан тұрады: түзу, кесінді, үшбұрыш т.б. Төртінші топқа шамалар мен оларды өлшеуге қатысты ұғымдар кіреді.

Әртүрлі ұғымдардың мұндай көптігін зерттеу үшін логикалық категория ретінде ұғымды және математикалық ұғымдардың ерекшеліктерін білу қажет.

Логикада ұғымдар объектілерді (заттарды немесе құбылыстарды) маңызды және жалпы қасиеттерінде көрсететін ойлау формасы ретінде қарастырылады. Ұғымның тілдік формасы – сөз немесе сөз табы.

Зат туралы ой қозғау оны басқа ұқсас заттардан ажырата білуді білдіреді. Математикалық ұғымдардың бірқатар ерекшеліктері бар. Ең бастысы, ұғымдар қалыптасатын математикалық объектілер іс жүзінде жоқ. Барлық математикалық объектілерді адам санасы жасайды. Нақты объектілерді немесе құбылыстарды көрсететін нысандар үшін өте қолайлы.

Мысалы, геометрияда олар заттардың пішіні мен өлшемін басқа қасиеттерді есепке алмай-ақ зерттейді: түсі, массасы, қаттылығы және т.б. Олар осының бәрінен ауытқып, абстракцияланады. Сондықтан геометрияда «зат» сөзінің орнына «геометриялық фигура» дейді.

Абстракцияның нәтижесі – «сан» және «магнитуда» сияқты математикалық ұғымдар.

Жалпы алғанда, математикалық объектілер адамның ойлауында және математикалық тілді құрайтын белгілер мен белгілерде ғана бар.

Материалдық дүниенің кеңістіктік формалары мен сандық қатынастарын зерттей отырып, математика әртүрлі абстракциялау әдістерін қолданып қана қоймайды, абстракцияның өзі көп сатылы процесс ретінде әрекет етеді.

Математикада жаңа ұғымдардың, демек, осы ұғымдарды білдіретін жаңа терминдердің пайда болуы олардың анықтамасын болжайды.

Анықтама әдетте жаңа терминнің (немесе белгілеудің) мәнін түсіндіретін сөйлем болып табылады. Әдетте, бұл бұрын енгізілген тұжырымдамалар негізінде жасалады.

Тұжырымдаманы тектік және ерекше айырмашылық арқылы анықтау мәні бойынша жаңа термин енгізу немесе белгілі терминдердің кез келген жиынтығын ауыстыру туралы шартты келісім болғандықтан, оның дұрыс немесе бұрыс екенін анықтау туралы айтуға болмайды; ол дәлелденген де, жоққа да шығарылмаған. Бірақ анықтамаларды құрастырған кезде олар бірқатар ережелерді ұстанады:

· Анықтау пропорционалды болуы керек. Бұл анықталған және анықтаушы ұғымдардың көлемдері сәйкес келуі керек дегенді білдіреді. Бұл ереже анықталған және анықтауыш ұғымдардың бір-бірін алмастыратындығынан шығады;

· Анықтамада (немесе олардың жүйесінде) тұйық шеңбер болмауы керек. Бұл дегеніміз, сіз ұғымды өзі арқылы анықтай алмайсыз (анықтаушы терминде анықталатын термин болмауы керек) немесе оны басқа арқылы анықтай алмайсыз, ол өз кезегінде ол арқылы анықтайды. Өйткені олар математикада жеке ұғымдарды ғана қарастырмайды. Ал олардың жүйесі, онда бұл ереже анықтамалар жүйесіндегі тұйық шеңберге тыйым салады;

· Анықтама анық болуы керек. Бұл бір қарағанда айқын ереже емес, бірақ көп нәрсені білдіреді. Ең алдымен, анықтауыш ұғымға кіретін терминдердің мағынасы жаңа ұғымның анықтамасы енгізілген кезде белгілі болуы талап етіледі. Анықтаманың анықтығы үшін шарттар, сондай-ақ нақты айырмашылыққа анықталған объектілерді жалпы ұғымның ауқымынан оқшаулау үшін қажетті және жеткілікті сипаттардың санын ғана қосу туралы ұсынысты қамтиды.

Бастауыш мектепте математиканы оқығанда тектік және түрлік айырмашылықтар арқылы анықтамалар сирек қолданылады. Бастапқы математика курсында көптеген ұғымдар бар.

Бастауыш мектепте математиканы оқығанда көбінесе жасырын анықтамалар деп аталады. Олардың құрылымында анықталған мен анықтаушыны ажырату мүмкін емес. Олардың ішінде контекстік және экстенсивті болып бөлінеді.

Контекстік анықтамаларда жаңа ұғымның мазмұны мәтін үзіндісі, контекст арқылы, нақты жағдайды талдау арқылы ашылады. Енгізілген ұғымның мағынасын сипаттау. Контекст арқылы анықталған ұғым мен басқа белгілі ұғымдар арасында байланыс орнатылып, сол арқылы оның мазмұны жанама түрде ашылады. Мәтінмәндік анықтаманың мысалы ретінде теңдеудің анықтамасы және оның шешімі болады.

Остенсивті анықтамалар – көрсету арқылы берілген анықтамалар. Олар терминдер сілтеме жасайтын объектілерді көрсету арқылы терминдерді енгізу үшін қолданылады. Мысалы, осылайша бастауыш мектепте теңдік пен теңсіздік ұғымдарына анықтама беруге болады.

Нақты процестерді зерттеу, математикалық сипаттау, табиғи сөздік тіл және символдық мағына ретінде қолданылады. Сипаттама сөйлемдер арқылы құрастырылады. Бірақ математикалық білім бізді қоршап тұрған шындықтың дәл, адекватты көрінісі болуы үшін бұл ұсыныстар шындыққа сай болуы керек. Әрбір математикалық тезис мазмұны мен логикалық формасымен (құрылымымен) сипатталады, ал мазмұны формамен ажырамас байланыста болады, ал екіншісін түсінбей біріншісін түсіну мүмкін емес.

1) 12 саны жұп;

Математикада қолданылатын сөйлемдерді табиғи (орыс) тілінде де, математикалық тілде де символдар арқылы жазуға болатынын көреміз. 1,4,5 және 6 сөйлемдер туралы ақиқат, ал 2 сөйлем туралы жалған деп айтуға болады. x +5 = 8 сөйлеміне келетін болсақ, оның шын немесе жалған екенін айту мүмкін емес. Сөйлемге оның ақиқат па, өтірік пе деген позициядан қарау сөйлем ұғымына әкелді.

1.2 Логиканы математиканың бір саласы ретінде оқу

Логика – ең көне ғылымдардың бірі. Қазіргі уақытта логика пәнін құрайтын ойлау аспектілеріне кім, қашан және қай жерде алғаш рет жүгінгенін нақты анықтау мүмкін емес. Айвин А.А. , логикалық оқытудың кейбір бастауларын Үндістаннан табуға болады, б.з.б. 2 мыңжылдықтың аяғында. дегенмен логиканың ғылым ретінде пайда болуы, яғни азды-көпті жүйеленген білімдер жиынтығы туралы айтатын болсақ, онда логиканың туған жері ретінде Ежелгі Грецияның ұлы өркениетін қарастыру әділетті болар еді. Бұл жерде біздің дәуірімізге дейінгі 5-4 ғасырларда болған. Демократияның қарқынды дамуы және соған байланысты қоғамдық-саяси өмірдің бұрын-соңды болмаған қайта жандануы кезеңінде бұл ғылымның негізі Демокрит, Платон және Сократтың еңбектерімен қаланды. Логиканың «әкесі» ата-баба ежелгі дәуірдің ең ұлы ойшылы болып саналады. Платонның шәкірті Аристотель (б.з.д. 384-322 ж.). Ол өз еңбектерінде «Органон» (таным құралы) деген жалпы атаумен бірігіп, алғаш рет пайымдаудың негізгі логикалық формалары мен ережелерін, атап айтқанда: тұжырымдардың формаларын жан-жақты талдап, сипаттады. категориялық пайымдаулар деп аталады – категориялық силлогизм («Бірінші аналитика»), ғылыми дәлелдемелердің негізгі қағидаларын тұжырымдады («Екінші аналитика»), мәлімдемелердің жекелеген түрлерінің мағынасына талдау жасады («Түсіндіру туралы») және негізгі концепциялар доктринасын әзірлеу тәсілдері («Категориялар»). Аристотель даулардағы әртүрлі логикалық қателер мен күрделі әдістерді әшкерелеуге де көп көңіл бөлді («Софистік теріске шығарулар туралы»).

Логиканың жалпы қоғамның даму тарихымен тығыз байланысты ұзақ және бай тарихы бар.

Логиканың теория ретінде пайда болуының алдында мыңдаған жылдар бұрынғы ойлау тәжірибесі болды. Адамдардың еңбек, материалдық және өндірістік әрекеттерінің дамуымен олардың ойлау қабілеттерінің, әсіресе абстракциялау, қорытынды жасау қабілетінің бірте-бірте жетілдіріліп, дамуы байқалды. Ал бұл ерте ме, кеш пе, бірақ сөзсіз зерттеу объектісі өзінің формалары мен заңдылықтарымен ойлаудың өзіне айналуына әкелуі керек еді.

Айвин А.А. , тарих жеке логикалық мәселелер адамның психикалық көзқарасының алдында 2,5 мың жыл бұрын пайда болғанын көрсетеді - алдымен Ежелгі Үндістан мен Ежелгі Қытайда. Содан кейін олар Ежелгі Греция мен Римде толық дамуды алады. Тек бірте-бірте логикалық білімнің азды-көпті үйлесімді жүйесі қалыптасады және дербес ғылым қалыптасады.

Логиканың пайда болу себептері қандай? Айвин А.А. екі негізгі бар деп есептейді. Соның бірі – ғылымдардың, әсіресе математиканың пайда болуы мен алғашқы дамуы. Бұл процесс 6 ғасырдан басталады. BC. және оның толық дамуын Ежелгі Грецияда алады. Мифология мен дінге қарсы күресте дүниеге келген ғылым теориялық ойлауға негізделіп, қорытындылар мен дәлелдемелерді қамтыды. Осыдан ойлаудың өзін таным құралы ретіндегі табиғатын зерттеу қажеттілігі туындайды.

Курбатовтың айтуы бойынша В.И. , логика, ең алдымен, оның нәтижелері шындыққа сәйкес болуы үшін ғылыми ойлау қанағаттандыруға тиіс талаптарды анықтау және негіздеу әрекеті ретінде пайда болды.

Тағы бір, бәлкім, одан да маңызды себеп – шешендік өнердің, оның ішінде ежелгі грек демократиясы жағдайында өркендеген сот өнерінің дамуы. Ұлы римдік шешен және ғалым Цицерон (б.з.д. 106-43 ж.ж.) шешендік сөздің «құдай сыйының» иесі, шешеннің құдіреті туралы айта келіп: «Ол тіпті қарулы жаулардың арасында да аман-есен қала алады. оның штаты, баяндамашы атағы бойынша қанша; ол өз сөзімен жерлестерінің ашу-ызасын тудырып, қылмыс пен алдау үшін кінәлілерге жазаны жеңілдете алады, өз талантының күшімен жазықсыздарды сот пен жазадан құтқара алады; қорқақ, қайсар адамдарды ерлікке итермелей алады, оларды адасушылықтан шығара алады, оларды арамзаларға қарсы қыздырып, лайықты ерлерге наразылықты басады; ол, сайып келгенде, істің мән-жайы талап еткенде, бір сөзбен адамның кез келген құмарлығын қалай қоздыра алатынын және тыныштандыратынын біледі».

Логиканың негізін қалаушы немесе олар кейде «логиканың атасы» деп атаған Ивин А.А.-ның айтуынша, ежелгі грек философы және энциклопедисті Аристотель (б.з.д. 384-322 ж.) болып саналады. Дегенмен, логикалық есептердің бірінші жеткілікті егжей-тегжейлі және жүйелі түрде ұсынылуын шын мәнінде бұрынғы ежелгі грек философы және натуралисті Демокрит (460 - шамамен б.з.б. 370 ж.) бергенін есте ұстаған жөн. Оның көптеген еңбектерінің ішінде үш кітаптан тұратын «Логика туралы немесе канондар туралы» деген көлемді трактаты болды. Мұнда білімнің мәні, оның негізгі формалары мен ақиқат өлшемдері ашылып қана қоймай, логикалық пайымдаудың танымдағы орасан зор рөлі көрсетіліп, пайымдаулар классификациясы берілді. Қорытынды білімнің кейбір түрлері қатты сынға алынып, индуктивті логиканы – эксперименттік білім логикасын дамытуға әрекет жасалды. Өкінішке орай, Демокриттің бұл трактаты, басқалары сияқты, бізге жеткен жоқ.

Логика дамуының жаңа, жоғары сатысы 17 ғасырда басталады. Бұл кезең оның шеңберінде дедуктивті логикамен бірге индуктивті логиканы құрумен органикалық түрде байланысты. Ол барған сайын жинақталған эмпирикалық материал негізінде жалпы білім алудың алуан түрлі процестерін көрсетеді. Мұндай білімді алу қажеттілігін көрнекті ағылшын философы және жаратылыстанушы ғалымы Ф.Бэкон (1561-1626) өз еңбектерінде барынша толық түсінді және білдірді. Ол индуктивті логиканың негізін салушы болды. «...қазір бар логика білімнің ашылуына пайдасыз», - деп өзінің қатаң үкімін айтты. Сондықтан, Аристотельдің ескі «Органонына» қарама-қайшы болғандай, Бэкон «Жаңа органон...» деп жазды, онда ол индуктивті логиканы сипаттады. Ол негізгі назарын құбылыстардың себептік тәуелділігін анықтаудың индуктивті әдістерін жасауға аударды. Бұл Бэконның үлкен еңбегі. Алайда, ол жасаған индукция ілімі, ирониялық тұрғыдан, бұрынғы логиканы жоққа шығару емес болып шықты. Және оны одан әрі байыту және дамыту. Ол қорытындылаудың жалпыланған теориясын жасауға ықпал етті. Және бұл табиғи нәрсе, өйткені төменде көрсетілгендей индукция мен дедукция жоққа шығармайды, бірақ бірін-бірі болжайды және органикалық бірлікте болады.

Дәстүрлі формальды логиканың дамуына орыс ғалымдары белгілі үлес қосты. Осылайша, логика туралы алғашқы трактаттар шамамен 10 ғасырдан бастап. Аристотельдің және басқа да ғалымдардың еңбектеріне өз бетінше түсініктеме беруге талпыныстар жасалды. Ресейдегі түпнұсқа логикалық тұжырымдамалар 18 ғасырда жасалды. және ең алдымен М.Ломоносов (1711-1765) және А.Радищев (1749-1802) есімдерімен байланысты. Біздің елімізде логикалық зерттеулердің гүлденген кезеңі 19 ғасырдың аяғына жатады.

Жаңа, диалектикалық логиканың біртұтас жүйесін әзірлеудің орасан зор әрекетін неміс философы Г.Гегель (1770-1831) жасады. Ол өзінің «Логика ғылымы» атты іргелі еңбегінде, ең алдымен, бұрыннан бар логикалық теориялар мен сол кезде айтарлықтай биіктерге жеткен ойлаудың нақты тәжірибесі арасындағы түбегейлі қайшылықты ашты.

Курбатов В.И атап көрсеткендей, Гегель ойлаудың табиғатын, оның заңдылықтарын және формаларын қайта қарастырды. Осыған байланысты ол «диалектика ойлаудың табиғатын құрайды, себебі ол өзін-өзі теріске шығаруға, қайшылыққа түсуі керек» деген қорытындыға келді. Ойшыл өз міндетін осы қайшылықтарды шешудің жолын табудан көрді. Гегель ескі, кәдімгі логиканы танымның метафизикалық әдісімен байланысы үшін қатты сынға алды. Бірақ бұл сында ол соншалықты, оның сәйкестік заңы мен қайшылық заңына негізделген принциптерін жоққа шығарды.

Айвин А.А. диалектикалық логика мәселелері, оның формальды логикамен байланысы неміс философтары мен ғалымдары К.Маркс) 1818-1883) және Ф.Энгельстің (1820-1895) еңбектерінде одан әрі нақтылану мен дамуды тапқанын айтады. Философия, жаратылыстану және қоғамдық ғылымдар жинақтаған ең бай интеллектуалдық материалды пайдалана отырып, олар К.Маркстің «Капитал», «АнтиДюринг», «Табиғат диалектикасы» сияқты еңбектерінде бейнеленген сапалы жаңа, диалектикалық-материалистік жүйені жасады. ” Ф.Энгельс. Осы жалпы философиялық ұстанымдардан Маркс пен Энгельс ерекше «ойлау және оның заңдары туралы ілімді» - логика мен диалектиканы бағалады. Олар формальды логиканың маңыздылығын жоққа шығармады, оны «нонсенс» деп санамады, бірақ оның тарихи сипатына баса назар аударды. Сонымен, Энгельс әр дәуірдің теориялық ойлауы әр уақытта әр түрлі формада және сонымен бірге мүлдем басқа мазмұнда болатын тарихи өнім екенін атап көрсетті. «Демек, ойлау туралы ғылым, кез келген ғылым сияқты, тарихи ғылым, адам ойлауының тарихи дамуы туралы ғылым».

Соңғы онжылдықтарда біздің елімізде диалектикалық логиканы жүйелі түрде көрсетуге көптеген жемісті әрекеттер жасалды. Даму екі негізгі бағытта жүріп жатыр. Бұл бір жағынан адам ойлауындағы дамушы шындықтың бейнелену заңдылықтарын, оның объективті қарама-қайшылықтарын ашу болса, екінші жағынан ойлаудың өзінің, өзіндік диалектикасының даму заңдылықтарын ашу.

Ғылыми-техникалық революция жағдайында ғылымдар білімнің жаңа, тереңірек деңгейлеріне көшкен кезде және диалектикалық ойлаудың рөлі артқан кезде диалектикалық логикаға қажеттілік барған сайын күшейе түседі. Ол одан әрі дамуы үшін жаңа ынталандырулар алады.

Логикалық зерттеулердегі нағыз төңкеріс 19 ғасырдың екінші жартысындағы математикалық логиканың жасалуынан туындады, ол символдық деп те аталды және логиканың дамуындағы жаңа, заманауи кезеңді белгіледі.

Бұл логиканың бастауларын Аристотельде, сондай-ақ оның ізбасарлары стоиктерде предикат логикасы мен модальды тұжырымдар теориясының элементтері түрінде, сондай-ақ пропозициялық логика түрінде байқауға болады. Дегенмен, оның проблемаларының жүйелі түрде дамуы әлдеқайда кейінірек басталады.

Ивин А.А. атап өткендей, математиканың дамуындағы жетістіктер мен математикалық әдістердің басқа ғылымдарға енуі 17 ғасырдың екінші жартысында екі іргелі мәселені шұғыл түрде көтерді. Бір жағынан, бұл математиканың теориялық негіздерін дамыту үшін логиканы пайдалану, ал екінші жағынан, логиканың өзін ғылым ретінде математикаландыру. Туған мәселелерді шешудегі ең терең және жемісті әрекетті немістің ұлы философы және математигі Г.Лейбниц (1646-1416) жасады. Сөйтіп, ол мәні бойынша математикалық логиканың негізін салушы болды. Лейбниц ғалымдардың эмпирикалық зерттеулермен емес, қолдарына қарындаш алып есептеумен айналысатын кезді армандады. Ол осы мақсат үшін кез келген эмпирикалық ғылымды рационализациялауға болатын әмбебап символдық тілді ойлап табуға ұмтылды. Жаңа білім, оның ойынша, логикалық есептеудің – есептеудің нәтижесі болады.

В.И.Курбатовтың айтуынша, Лейбниц идеялары 18 ғасырда және 19 ғасырдың бірінші жартысында біршама дамыды. Алайда символдық логиканың қуатты дамуы үшін ең қолайлы жағдайлар 19 ғасырдың екінші жартысында ғана пайда болды. Осы уақытқа дейін ғылымдарды математикаландыру ерекше маңызды прогреске қол жеткізді және математиканың өзінде оны негіздеудің жаңа іргелі мәселелері пайда болды. Ағылшын ғалымы, математигі және логикасы Теміржолшы. Буль (1815-1864) өз еңбектерінде бірінші кезекте логикаға математиканы қолданды. Ол қорытындылар теориясына математикалық талдау жасап, логикалық есептеулерді («Буль алгебра») жасады. Неміс логикасы және математигі Г.Фреге (1848-1925) математиканы зерттеуде логиканы қолданды. Кеңейтілген предикаттық есептеулер арқылы ол арифметиканың формальды жүйесін құрады.

Осылайша логикалық зерттеулердің дамуының жаңа, заманауи кезеңі ашылды. Бәлкім, бұл кезеңнің ең маңызды ерекшеленетін белгісі дәстүрлі логикалық есептерді шешудің жаңа әдістерін жасау және қолдану болып табылады. Бұл жасанды, формальданған деп аталатын тілдің дамуы және қолданылуы - таңбалар тілі, т.б. алфавиттік және басқа белгілер (осылайша қазіргі логиканың ең көп таралған атауы – «символдық»).

Айвин А.А. , логикалық есептеудің екі түрі бар: болжамдық есептеу және предикаттық есептеу. Біріншісінде пайымдаулардың ішкі, концептуалды құрылымынан абстракциялауға жол берілсе, екіншісінде бұл құрылым ескеріліп, сәйкесінше символдық тіл жаңа белгілермен байып, толықтырылады.

Логикадағы символдық тілдердің маңыздылығын асыра бағалау қиын. Г.Фреге оны телескоп пен микроскоптың мағынасымен салыстырды. Ал неміс философы Г.Клаус (1912-1974) формальданған тіл жасаудың логикалық қорытынды жасау технологиясы үшін өндіріс саласында қол еңбегінен машиналық еңбекке көшу қандай мәнге ие болса, дәл сондай мәнге ие деп есептеді. Дәстүрлі формальды логика негізінде пайда болған символдық логика, бір жағынан, логикалық заңдар мен формалар туралы, әсіресе, қорытынды теориясындағы бұрынғы идеяларды нақтылайды, тереңдетеді және жалпылайды, ал екінші жағынан, логикалық мәселелерді барған сайын кеңейтіп, байытады. . Қазіргі логика – күрделі және жоғары дамыған білім жүйесі. Ол практиканың қажеттіліктерін көбірек білдіретін және сайып келгенде, қоршаған әлемнің күрделілігінің әртүрлілігін, осы әлемнің өзі туралы ойлаудың бірлігі мен әртүрлілігін көрсететін жеке, салыстырмалы түрде тәуелсіз «логика» көптеген бағыттарды қамтиды.

Символдық логика басқа ғылымдарда - тек математикада ғана емес, сонымен қатар физикада, биологияда, кибернетикада, экономикада және лингвистикада көбірек қолданылады. Ол білімнің жаңа салаларының (математика) пайда болуына әкеледі. Логиканың өндіріс саласындағы рөлі ерекше әсерлі және айқын. Ойлау процесін автоматтандыру мүмкіндігін аша отырып, кейбір ойлау функцияларын техникалық құрылғыларға беруге мүмкіндік береді. Оның нәтижелері барған сайын техникада: релелік контактілі схемаларды құруда, компьютерлерде, ақпараттық логикалық жүйелерде және т.б. Ғалымдардың бірінің бейнелі сөзімен айтқанда, қазіргі заманғы логика дәл ойдың «құралы» ғана емес, сонымен қатар дәл құралдың, электронды автоматтың «ойы» болып табылады. Қазіргі логиканың жетістіктері құқықтық салада да қолданылады. Сонымен, сот сараптамасында зерттеудің әртүрлі кезеңдерінде жиналған ақпаратты логикалық және математикалық өңдеу жүзеге асырылады.

Ғылыми-техникалық прогрестің өсіп келе жатқан қажеттіліктері қазіргі логиканың одан әрі қарқынды дамуын анықтайды.

Орыс ғалымдары символдық логика жүйелерінің дамуына маңызды үлес қосты деп айту керек. Олардың ішінде П.Порецкий (1846-1907) ерекше көзге түседі. Ол Ресейде бірінші болып математикалық логика бойынша лекциялар оқи бастады. Математикалық логика бүгінде дамып келеді.

В.И.Курбатовтың пікірінше, математикалық логиканы зерттеу ақыл-ойды реттейді. М.В.Ломоносовтың математика туралы айтқан атақты сөзін еске түсіре отырып, математикалық логика кез келген математикалық ғылымға қарағанда «ақыл-ойды ретке келтіреді» деп айта аламыз.

Кез келген алгебраның тілі осы тілдің алфавиті деп аталатын белгілер жиынтығынан тұрады.

Алфавит белгілері табиғи тілдің әліпбиінің белгілеріне ұқсастығы бойынша әріптер деп аталады.

Сандық алгебра тілінің алфавитінде қандай әріптер болуы керек деген сұрақ туындайды.

Ең алдымен, бізде жиынның элементтерін белгілейтін әріптер болуы керек - алгебраның тасымалдаушысы, бұл жағдайда сандарды белгілеу үшін және осы жиынның элементтері үшін айнымалылар болуы керек.

Сандарды белгілеу үшін ондық санау жүйесін пайдалана отырып, біз сандық алгебраның алфавитіне сандар деп аталатын он әріпті енгізуіміз керек: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, олардың көмегімен белгілі бір ережелерге, кез келген сандардың атауларына.

Сандық айнымалылар ретінде (N, N0, Z, Q немесе R жиындарының кез келген сандары үшін айнымалылар) латын әліпбиінің a, b, c, x, y, z әріптері немесе индексі бар осы әріптердің бірі пайдаланылады. мысал X1, X2, Xn.

Кейде латын әліпбиінің әріптері сандық тұрақтылар ретінде, яғни сандар атауы ретінде де қолданылады (біз белгілі бір сан туралы айтатын болсақ, бірақ қандай нақты сан маңызды емес). Бұл жағдайда латын әліпбиінің a, b, c бастапқы әріптері әдетте тұрақтылар ретінде, ал соңғы x, y, z әріптері айнымалылар ретінде пайдаланылады.

Бізге операцияларды көрсету үшін де әріптер қажет. Қосу және көбейту үшін сәйкесінше белгілі + және * белгілері (әріптері) қолданылады.

Сонымен қатар алгебра тілінде тыныс белгілерінің рөлін жақшалар (сол және оң жақ) атқарады.

Сонымен, кез келген сандық алгебраны сипаттайтын тілдің алфавитінде әріптердің төрт класынан тұратын жиынтық болуы керек: I - сандардың атаулары құрастырылатын сандар; II – латын әліпбиінің әріптері – сандық айнымалылар немесе тұрақтылар; III – операциялардың белгілері; IV -- жақша.

Алу (--) және бөлу (:) белгілерін сәйкес амалдардың анықтамалары арқылы енгізуге болады.

Біртіндеп сандық алгебраның әліпбиі басқа «әріптермен» толықтырылады, атап айтқанда, екілік қатынастардың «тең», «кем», «үлкен» белгілері енгізіледі.

Аталған белгілердің барлығы математикалық заңдылықтарды, ережелерді, дәлелдемелерді нақты, қысқа және бір мағыналы түсінікті тұжырымдау қажеттілігіне байланысты пайда болған жасанды тіл – математикалық тілдің әліпбиіне енгізілген.

Тарихқа көз жүгіртсек, математиканың символикасы ғасырлар бойы көптеген көрнекті ғалымдардың қатысуымен жасалған. Сонымен белгісіз шамаларды әріптермен белгілеуді Диофант (3 ғ.), ал латын алфавитінің бас әріптерін алгебрада кеңінен қолдану Виетадан (16 ғ.) басталды деген пікір бар. бұл алфавиттің кіші әріптерін Р.Декарт (XVII ғ.) белгілеу үшін енгізген. теңдік белгісі (=) алғаш рет ағылшын ғалымы Р.Рекордтың (XVI ғ.) еңбектерінде пайда болды, бірақ ол тек XVIII ғасырда ғана кеңінен қолданыла бастады. Теңсіздік белгілері (< , >) 17 ғасырдың басында пайда болды, оларды ағылшын математигі Гарио енгізді. «=», «>», « белгілері болса да<» появились не так давно, сами понятия равенства и неравенства возникли в глубокой древности .

Математикадағы мәлімдеме - бұл сұрақтың мағынасы бар сөйлем: бұл шындық немесе жалған.

Олардың арасындағы ұғымдар мен қатынастарға қатысты әртүрлі пайымдаулар жасауға болады. Үкімдердің тілдік формасы – хабарлы сөйлемдер. Мысалы. Негізгі математика курсында сіз келесі сөйлемдерді таба аласыз:

1) 12 саны жұп;

4) 15 санында бір он және 5 бірлік бар;

5) Өнім факторларды қайта реттеуден өзгермейді;

6) Кейбір сандар 3-ке бөлінеді.

Математикада қолданылатын сөйлемдерді табиғи (орыс) тілінде де, математикалық тілде де символдар арқылы жазуға болатынын көреміз. 1,4,5 және 6 сөйлемдер туралы ақиқат, ал 2 сөйлем туралы жалған деп айтуға болады. x +5 = 8 сөйлеміне келетін болсақ, оның шын немесе жалған екенін айту мүмкін емес.

Егер А және В сөйлемдері берілсе, онда олардан «және», «немесе», «егер ... онда ...», «не ... немесе ...», «егер» жалғаулықтарының көмегімен жаңа сөйлемдер жасауға болады. және егер болса ғана, сондай-ақ бөлшек «жоқ» болса. Мысалы, А «Қазір күн ашық», ал В «Қазір жел соғып тұр» дегенді білдірсін. Сонда «А және В» сөзі: «Қазір күн ашық және желді» дегенді білдіреді, «Егер бұл А болмаса, онда В емес» деген сөйлем «Егер қазір күн ашық болмаса, онда жел жоқ» дегенді білдіреді.

Мұндай сөйлемдер құрама деп аталады, ал оларға кіретін А және В операторлары элементар сөйлемдер деп аталады. Екі құрама мәлімдеме А және В, егер олар екеуі де ақиқат болса, сонымен бірге оларға енгізілген элементар тұжырымдардың ақиқаттығына қатысты кез келген болжамдар бойынша жалған болса, эквивалентті деп аталады. Бұл жағдайда олар былай деп жазады: A=B.

Математиканың бірінші сабағынан бастап бастауыш сынып оқушылары мәлімдемелермен кездеседі, негізінен шындық. Олар мына тұжырымдармен танысады: 2 > 1, 1< 2, 3 > 2, 2 + 1 = 3, 3 - 1= 2.

Егер A қандай да бір мәлімдеме болса, онда оның жалған екенін дәлелдеу арқылы біз шақырылатын жаңа мәлімдеме аламыз мәлімдемені жоққа шығару A және B белгісімен белгіленеді.

Сонымен, егер мәлімдеме ақиқат болса, онда оны теріске шығару жалған болады және керісінше. Бұл тұжырымды кесте арқылы жазуға болады, онда «I» ақиқат мәлімдемені, «L» жалғанды ​​білдіреді. Бұл түрдегі кестелер ақиқат кестелері деп аталады (2-қосымша, 1-суретті қараңыз).

А және В екі элементар мәлімдеме болсын. Оларды «және» жалғауымен байланыстырсақ, біз жаңа сөйлемді аламыз жалғаулық деректер мәлімдемелер және А деп белгіленеді? B. А жазбасы? В: «А және В» деп оқиды.

Анықтама бойынша, екі мәлімдеменің бірігуі екі мәлімдеме де ақиқат болса ғана ақиқат болады. Егер олардың кем дегенде біреуі жалған болса, онда жалғау жалған болады (2-қосымша, 2-суретті қараңыз).

«7 - 4 = 3 және 4 - жұп сан» деген тұжырымды қарастырайық. Бұл екі тұжырымның бірігуі: «7 - 4 = 3» және «4 - жұп сан». Екі тұжырым да ақиқат болғандықтан, олардың жалғауы да ақиқат.

Егер А тіркесі болса? А және В операторларын ауыстырсақ, онда В түріндегі конъюнктура шығады? A. Ақиқат кестесінен A формулалары анық? B және B? Әртүрлі мағыналар үшін А және В тұжырымдары бір мезгілде ақиқат немесе бір уақытта жалған.

Демек, олар эквивалентті және кез келген A және B мәлімдемелері үшін бізде: A? B = B? А

Бұл белгі конъюнктураның ауыспалы қасиетін білдіреді, ол конъюнктура мүшелерін ауыстыруға мүмкіндік береді.

(A? B) үшін ақиқат кестелерін құрастыру керек пе? S және A? (B? C), біз A, B, C мәлімдемелерінің кез келген ақиқат мәндері үшін тұжырымдардың ақиқат мәндерін (A? B) аламыз? S және A? (B? C) сәйкес келеді.

Сонымен, (A? B) ? C = A? (В? С).

Бұл теңдік қосылыстың ассоциативті қасиетін білдіреді. Мұндай конъюнктура оған енгізілген барлық мәлімдемелер ақиқат болған жағдайда ғана дұрыс болады.

А және В екі элементар операторды «немесе» жалғауымен байланыстыру арқылы біз жаңа операторды аламыз дизъюнкция деректер мәлімдемелер . A және B мәлімдемелерінің дизъюнкциясы A?B арқылы белгіленеді және «А немесе В» деп оқылады. Дизъюнкция жалған болып табылады, егер ол құрылған екі мәлімдеме де жалған болса; барлық басқа жағдайларда дизъюнкция дұрыс. Дизъюнкцияның ақиқат кестесінің нысаны бар (2-қосымшаны, 3-суретті қараңыз).

Дизъюнкция үшін де, конъюнкция үшін де бірқатар эквиваленттіктерді көрсетуге болады. Кез келген A, B және C үшін бізде:

А? B = B? A (коммутативті дизъюнкция);

(Иә? В)? C = A? (B? C) (дизъюнкцияның ассоциативтілігі).

Дизъюнкцияның ассоциативті қасиеті жақшаларды алып тастауға және А? IN? (A? B) орнына C? МЕН.

Ақиқат кестелерін пайдалану оны анықтау оңай

(Иә? В)? C = (A? C) ? (B? C)

(Иә? В)? C = (A? C) ? (B?C)

Бірінші теңдік конъюнкцияның дизъюнкцияға қатысты үлестіруші заңын, ал екінші теңдік конъюнкцияға қатысты дизъюнкцияның үлестіргіш заңын өрнектейді.

Конъюнкция, дизъюнкция және терістеу амалдары ақиқат кестелері арқылы дұрыстығын анықтауға болатын келесі қатынастармен байланысты:

Бұл қатынастар де Морган формулалары деп аталады.

Екі элементардан «егер ... онда ...» сөздері арқылы жасалған құрама сөйлемді қарастырайық.

Мысалы, A: «Кеше жексенбі болды» және В: «Мен жұмыста болмадым» деген мәлімдемелер берілсін. Сонда «Егер кеше жексенбі болса, онда мен жұмыста болмадым» деген құрама мәлімдемеде «Егер А болса, онда В» формуласы бар.

«Егер А болса, В» мәлімдемесі аталады мәлімдемелердің салдары A, B және таңбалардың көмегімен былай жазылады: A => B. А => В импликациясына кіретін А мәлімдемесі импликацияның шарты, ал В операторы оның қорытындысы деп аталады.

Демек, «Егер А болса, онда В» импликациясының ақиқат кестесі келесідей болады (2-қосымша, 4-суретті қараңыз).

Екі A және B мәлімдемелерінен сіз келесідей оқылатын жаңа мәлімдеме жасай аласыз: «Және егер және тек В болса». Бұл мәлімдеме деп аталады эквивалентті мәлімдемелер A және B және белгілейді: A B. Егер A және B мәлімдемелерінің екеуі де ақиқат болса немесе A және B мәлімдемелерінің екеуі де жалған болса, A B мәлімдемесі ақиқат деп есептеледі. Басқа жағдайларда (яғни, егер бір мәлімдеме ақиқат болса, ал екіншісі жалған болса), баламалылық жалған болып саналады. Осылайша, А және В эквивалентінің ақиқат кестесінің нысаны бар (2-қосымшаны, 5-суретті қараңыз).

1.3 Логикалық пайымдау

Кез келген пайымдау белгілі бір ережелерге сәйкес бір-бірінен туындайтын тұжырымдар тізбегінен тұрады. Қорытындыны дәлелдеп, дұрыс негіздей білу кез келген мамандық иелеріне қажет. Адам сөйлей бастағаннан бастап пайымдауды үйренеді, бірақ ойлау логикасын мақсатты түрде оқыту мектептен басталады. Қазірдің өзінде математиканың бастапқы курсы оқушылардың салыстыру, объектілерді жіктеу, фактілерді талдау және қарапайым тұжырымдарды дәлелдеу дағдыларын дамытуды болжайды. Логикалық пайымдау тек математикалық есептерді шешу үшін ғана емес, сонымен қатар грамматикалық талдау, жаратылыстану тарихының принциптерін меңгеру және т.б. Сондықтан бастауыш сынып мұғалімі логиканы жақсы білуі керек, яғни. ойлаудың заңдылықтары мен формалары, пайымдаудың жалпы үлгілері туралы ғылыммен.

Үкімдер мен тұжырымдардың негізгі түрлері ежелгі грек философы Аристотель (б.з.д. 384-322) жасаған классикалық логикада қарастырылады.

Логикада пайымдау мыналарға бөлінеді:

1. дұрыс;

2. дұрыс емес.

Дұрыс пайымдау – логиканың барлық ережелері мен заңдары сақталатын пайымдау. Дұрыс емес пайымдау – логика ережелерін немесе заңдарын бұзу салдарынан логикалық қателер жіберілетін пайымдау.

Логикалық қателердің екі түрі бар:

1. паралогизмдер;

2. софизм.

Паралогизмдер – пайымдау процестерінде байқаусызда (надандықтан) жіберілетін логикалық қателер.

Софизмдер - бұл қарсыласты жаңылыстыру, жалған мәлімдемені негіздеу, қандай сандырақ және т.

Софизмдер ерте заманнан бері белгілі. Софистер мұндай ойларды өз тәжірибесінде кеңінен қолданды. Софистердің әртүрлі дауларда қолданған пайымдауларының көптеген мысалдары біздің заманымызға дейін «софизм» атауынан шыққан. Солардың кейбірін тізіп көрейік.

Ең әйгілі ежелгі софизм - «Мүйізді» деп аталатын пайымдау.

Жағдайды елестетіп көріңіз: бір адам басқа біреуді мүйізі бар екеніне сендіргісі келеді. Оған дәлел: «Жоғалтпағандарың бар. Сіз мүйіздеріңізді жоғалтпадыңыз. Демек, сізде мүйіз бар».

Бір қарағанда, бұл ой дұрыс сияқты. Бірақ онда логиканы түсінбейтін адам бірден таба алмайтын логикалық қате бар.

Тағы бір мысал келтірейік. Протагор (софистер мектебінің негізін салушы) Евлатлдың шәкірті болды. Мұғалім мен студент Еватл бірінші сотта жеңіске жеткеннен кейін ғана оқу ақысын төлейтін келісімге келді. Бірақ оқуын аяқтаған Эватл сотқа келуге асықпады. Мұғалімнің шыдамы таусылып, ол шәкіртін сотқа берді: «Қандай жағдай болса да, Эвтлюс маған ақша төлеуі керек», - деп ойлады Протагор. – Ол бұл сынақта не жеңеді, не жеңіледі. Егер ол жеңсе, келісім бойынша төлеңіз; ұтылып қалса, сот үкімі бойынша төлейді». «Ондай ештеңе жоқ», - деп қарсылық білдірді Эватл. – Расында, мен сотта не жеңемін, не жеңілемін.

Жеңіске жетсем, сот шешімі мені төлеуден босатады, бірақ ұтылып қалсам, келісіміміз бойынша төлемеймін*.

Бұл мысалда да логикалық қате бар. Нақты қайсысы - біз одан әрі анықтаймыз.

Логиканың негізгі міндеті – дұрыс пайымдауларды талдау. Логиктер мұндай пайымдаулардың заңдылықтарын анықтауға және зерттеуге, олардың әртүрлі түрлерін анықтауға және т.б. Логикадағы дұрыс емес пайымдаулар оларда жіберілген қателер тұрғысынан ғана талданады.

Айта кету керек, пайымдаудың дұрыстығы оның алғышарттары мен қорытындысының ақиқаттығын білдірмейді. Жалпы алғанда, логика пайымдаулардың алғышарттары мен қорытындыларының ақиқат немесе жалғандығын анықтаумен айналыспайды. Бірақ логикада мынадай ереже бар: егер қарастыру дұрыс құрастырылса (логиканың ережелері мен заңдарына сәйкес) және сонымен бірге ол шынайы алғышарттарға негізделсе, онда мұндай пайымдаудың қорытындысы әрқашанда сөзсіз ақиқат болады. Басқа жағдайларда қорытындының ақиқаттығына кепілдік берілмейді.

Сонымен, егер пайымдау дұрыс емес құрастырылса, онда оның алғышарттары ақиқат болғанымен, мұндай пайымдаудың қорытындысы бір жағдайда ақиқат, екіншісінде жалған болуы мүмкін.

Мысалы, бірдей дұрыс емес схема бойынша құрастырылған келесі екі ойды қарастырайық:

(1) Логика – ғылым.

Алхимия логика емес.

Алхимия ғылым емес.

(2) Логика – ғылым.

Заң логика емес.

Заң ғылым емес.

Бірінші пайымдауда қорытынды дұрыс, ал екіншісінде дұрыс емес, екі жағдайда да алғышарттар ақиқат тұжырымдар екені анық.

Сондай-ақ, егер бұл пайымдау дұрыс болса да, оның ең болмағанда бір алғышарттары дұрыс болмаған кезде, дәлелдің қорытындысының ақиқатына кепілдік беру мүмкін емес.

Дұрыс пайымдау – кейбір ойлар (тұжырымдар) міндетті түрде басқа пікірлерден (үй-жайлардан) туындайтын пайымдау.

Дұрыс пайымдаудың мысалы ретінде келесі қорытындыны келтіруге болады: «Украинаның әрбір азаматы өз Конституциясын тануы керек. Украинаның барлық халық депутаттары Украина азаматтары. Ендеше, олардың әрқайсысы өз мемлекетінің Конституциясын тануы керек», – деген пікірі шынайы ойдың мысалы болып табылады: «Украина азаматтары бар, олар өз мемлекетінің Конституциясының кейбір баптарын мойындамайды».

Келесі дәлелді дұрыс емес деп санау керек: «Украинадағы экономикалық дағдарыс өзінің тәуелсіздігін жариялағаннан кейін анық сезілетіндіктен, соңғысы бұл дағдарыстың себебі болып табылады». Логикалық қатенің бұл түрі «осыдан кейін - осыған байланысты» деп аталады. Ол мұндай жағдайларда оқиғалардың уақытша тізбегі себептілікпен сәйкестендірілетіндігінде жатыр. Жалған пікірдің мысалы ретінде шындыққа сәйкес келмейтін кез келген ұстаным болуы мүмкін, мысалы, украин ұлты мүлдем жоқ деген мәлімдеме.

Білімнің мақсаты – шынайы білім алу. Мұндай білімді пайымдау арқылы алу үшін, біріншіден, шынайы алғышарттар болуы керек, екіншіден, оларды дұрыс біріктіру, логика заңдары бойынша пайымдау керек. Жалған алғышарттарды пайдаланған кезде олар фактілік қателер жібереді, ал логика заңдарын, пайымдауларды құру ережелерін бұзған кезде логикалық қателер жібереді. Әрине, фактілік қателерден аулақ болу керек, бұл әрқашан мүмкін емес. Логикалықтарға келетін болсақ, интеллектуалдық мәдениеті жоғары адам бұл қателерден аулақ бола алады, өйткені логикалық дұрыс ойлаудың негізгі заңдары, пайымдауды құру ережелері, тіпті ойлаудағы мағыналы типтік қателер бұрыннан тұжырымдалған.

Логика дұрыс пайымдауға, логикалық қателерден аулақ болуға және дұрыс пайымдауды бұрыс пікірден ажыратуға үйретеді. Ол дұрыс ойларды жүйелі түрде түсіну үшін жіктейді. Осы тұрғыда сұрақ туындауы мүмкін: көптеген ойлар болғандықтан, Козьма Прутковтың сөзімен айтқанда, шексізді қабылдау мүмкін бе? Иә, мүмкін, өйткені логика пайымдаудың құрамдас бөлігі болып табылатын ойлардың нақты мазмұнына емес, осы ойларды біріктіру схемасына, құрылымына, формасына назар аудара отырып, пайымдауға үйретеді. «Әрбір х – у, ал бұл z – х; Демек, берілген r дұрыс және оның дұрыстығы туралы білім ұқсас формадағы жеке мағыналы аргументтің дұрыстығын білуге ​​қарағанда әлдеқайда бай ақпаратты қамтиды. Ал сызба бойынша пайымдау формасы «Әрбір х – у, ал z – у; сондықтан z – x» қателерді білдіреді. Грамматика сөздің сөйлемдегі формаларын және олардың тіркестерін тілдік сөз тіркестерінің белгілі бір мазмұнынан абстракциялай отырып зерттейтіні сияқты, логика да осы ойлардың нақты мазмұнынан абстракциялай отырып, пікір формалары мен олардың тіркестерін зерттейді.

Ойдың немесе пайымдаудың формасын ашу үшін оны формализациялау керек.

1-тарау бойынша қорытынды

Жоғарыда айтылғандарға сүйене отырып, келесі қорытындыларды жасауға болады:

1. Логика философиялық білімнің бір саласы ретінде пайда болды. Оның пайда болуының негізгі себептері – ғылым мен шешендік өнердің дамуы. Ғылым теориялық ойлауға негізделетіндіктен, ол тұжырымдар мен дәлелдемелерді құруды көздейтіндіктен, ойлаудың өзін таным түрі ретінде зерттеу қажеттілігі туындайды.

2. Қазіргі ғылымда символдық логиканың маңызы өте зор. Ол кибернетикада, нейрофизиологияда және лингвистикада қолданылады. Символдық логика – формальды логика дамуының қазіргі кезеңі. Ол логикалық жүйелерде көрсету арқылы пайымдау және дәлелдеу процестерін зерттейді. Сонымен, өз пәнінде бұл ғылым логика, ал әдісінде ол математика.

Материалдарды зерделегеннен кейін біз математикалық ұғымдар туралы өз ойымызды нақтыладық:

Бұл идеалды объектілер туралы түсініктер;

Әрбір математикалық ұғымның термині, көлемі және мазмұны болады;

Ұғымдарға анықтамалар беріледі; олар айқын немесе жасырын болуы мүмкін. Имплициттілерге контекстік және экстенсивті анықтамалар жатады;

Ұғымды оқыту тақырыпты кеңейту арқылы сыныптан сыныпқа өтеді.

Материалды оқу барысында біз ұғымдармен таныстық, олардың көмегімен «және», «немесе» жалғаулықтарының, «жоқ» бөлшектің, «әрбір», «бар», «сондықтан» сөздерінің мағынасын аштық. математикада қолданылатын «тең». Бұл ұғымдар:

Мәлімдеме;

Элементарлы мәлімдемелер;

Логикалық жалғаулар;

Құрама мәлімдемелер;

Мәлімдемелердің жалғауы;

Мәлімдемелерді ажырату;

Мәлімдемелерді жоққа шығару.

Ережелерді қарады:

Құрама сөйлемнің ақиқат мәнін анықтау;

Әр түрлі құрылымды сөйлемдердің терістеу конструкциялары.

Бастауыш мектептегі математика сабағында математикалық логика элементтерін қолдану 2-тарау

2.1 Қолдануматематиканың бастапқы курсындағы логика элементтері

Математика логикалық ойлауды дамытудың нақты алғышарттарын қамтамасыз етеді, мұғалімнің міндеті - балаларды математиканы оқытуда осы мүмкіндіктерді толық пайдалану; Бірақ бұл пәнді оқу кезінде тұжырымдалатын логикалық ойлау әдістерін дамытудың нақты бағдарламасы жоқ. Нәтижесінде логикалық ойлауды дамыту жұмысы қажетті әдіс-тәсілдер жүйесін білмей, олардың мазмұны мен қалыптасу ретін білмей-ақ жүреді.

Баракина В.Т. бастауыш мектепте логика элементтерін оқыту кезінде оқушылардың білім, білік, дағдыларына қойылатын келесі талаптарды анықтайды:

1. Жиын теориясының элементтері:

Нақты мысалдар мен оларды жазу тәсілдерін қолдана отырып, әртүрлі сипаттағы жиынтықтармен танысу (санау арқылы);

Жиын элементтерін анықтауға үйрету;

Жиындар арасындағы байланыстың негізгі түрлерімен және Эйлер-Венн шеңберлерінің көмегімен бейнеленуімен танысу;

Жиындарға (біріктіру, қиылысу) кейбір амалдарды орындауды үйрету.

2. Ұсыныс теориясының элементтері:

Идея деңгейіндегі мәлімдемемен танысу;

Берілген сөйлемдерді басқа сөйлемдерден ажырата білуге ​​үйрету;

Өтініштердің негізгі түрлерімен танысу;

Мәлімдемелерге кейбір амалдарды орындауға үйрету (терістеу, конъюнкция, дизъюнкция).

3. Комбинаторика элементтері:

Бұл ұғыммен идеялар деңгейінде танысу;

Комбинаторлық есептерді математика сабағында қарастырылатын сөздік есептердің басқа түрлерінен ажырата білуге ​​үйрету;

m элемент бойынша n элементтің орналасу санын анықтауға есептер шығаруды үйрету.

Бастауыш мектептегі логика элементтері математика және информатика сабақтарында да қарастырылады. Сонымен қатар, студенттердің біліміне, іскерліктеріне және дағдыларына қойылатын талаптардың деңгейі, сондай-ақ осы бөлімдегі оқыту мазмұны әртүрлі бағдарламаларда біршама ерекшеленеді. Бұл, ең алдымен, қазіргі уақытта бастауыш жалпы білім берудің Федералдық мемлекеттік білім беру стандарты 1-4 сыныптарда осы тақырыпты міндетті түрде қарастыруды талап етпейтіндігіне байланысты.

Қазіргі уақытта математика курсының барлығы оқушыны дамытуға бағытталған. Мысалы, курсты Истомина Н.Б. оның негізгі мақсаты – оқушылардың ақыл-ой әрекетінің әдістерін, ақыл-ой операцияларын дамыту: талдау, синтез, салыстыру, жіктеу, ұқсастық, жалпылау.

...

Ұқсас құжаттар

Математикалық логика курсын оқу. Логиканың негізі – математика ғылымының құрылымын және оның іргелі ұғымдарын білу. Тарихи эскиз. Сөйлемдердің теңдігі. Мәлімдемелерді жоққа шығару. Логикалық бақылау.

диссертация, 08.08.2007 қосылған


Сыныптан тыс жұмыстар жұмыс түрлерінің бірі ретінде. Жалпы білім беретін мектепте математикалық логиканы сыныптан тыс жұмыстардың бір бөлігі ретінде оқытудың педагогикалық негіздері. Мектеп оқушыларының жалпы логикалық және логикалық дағдыларын дамытудың қолданыстағы әдістерін талдау.

курстық жұмыс, 19.11.2012 қосылған


Математикалық ұғымдарды зерттеу әдістерінің негіздері. Математикалық ұғымдар, олардың мазмұны мен көлемі, ұғымдардың жіктелуі. 5-6 сыныптарда математиканы оқытудың психологиялық-педагогикалық ерекшеліктері. Ұғымды қалыптастырудың психологиялық аспектілері.

диссертация, 08.08.2007 қосылған


Бастауыш мектепте сын есімдерді оқытудың тілдік негіздері. Бастауыш мектепте сын есімдерді оқытудың психологиялық-педагогикалық негіздері. Дамыта оқыту жүйесі бойынша сын есіммен жұмыс істеу әдістемесі Л.В. Занкова.

Диссертация, 04.03.2007 қосылған


Балаларды мектепте математиканы оқуға дайындаудың теориялық негіздері. Психологиялық-педагогикалық және әдістемелік әдебиеттерде балаларды мектепке дайындау мәселелері. Мектепте оқуға математикалық дайындық түсінігі, мәні, мәні. Зерттеу бағдарламасы.

курстық жұмыс, 23.10.2008 қосылған


Бастауыш жалпы білім берудің Федералдық мемлекеттік білім беру стандарты бойынша бастауыш мектепте математиканы оқытудың ерекшеліктері. Курс мазмұны. Негізгі математикалық ұғымдарды талдау. Дидактикадағы жеке көзқарастың мәні.

курстық жұмыс, 29.09.2016 қосылды


Бастауыш мектеп оқушыларының логикалық ойлауын дамытудың психологиялық-педагогикалық негіздері. Бастауыш мектептегі математика сабағында оқушылардың логикалық сауаттылығын дамыту мәселесін шешу әдістемесін, стандартты емес арифметикалық есептерді шығару мысалдарын әзірлеу.

диссертация, 31.03.2012 қосылған


Тест тапсырмаларының теориялық және әдістемелік негіздері және оның түрлері. Психологиялық-педагогикалық негіздері. Математика сабақтарындағы бақылау жұмыстары. Мұғалімдердің тест тапсырмаларын қолдану тәжірибесін талдау. Бақылаудың тест формасын қолданудың артықшылықтарының қысқаша сипаттамасы.

курстық жұмыс, 17.04.2017 қосылған


Кіші мектеп оқушысының психологиялық ерекшеліктері. Бастауыш сынып сабақтарында этимологиялық талдау элементтерін қолданудың техникасы мен әдістері. Кіші мектеп оқушыларын сауатты жазуға үйретудің ерекшеліктері. Бастауыш сыныптардағы «Орыс тілі» оқу кешенін талдау.

диссертация, 24.03.2015 қосылған


Математика сабағында оқушылардың сөйлеуін дамыту. Математикалық сөйлеуді дамыту әдістемесі. Сөйлеу, ойлау және тіл арасындағы байланыстар. Математикалық сөйлеудің логикасын, мәнерлілігін, дәлелділігін және дәлдігін дамыту. Оқушылардың сөйлеу мәдениетінің деңгейін арттыру.