시립교육예산기관 -

중등학교 51번

오렌부르크.

프로젝트 대상:

수학 선생님

Egorcheva Victoria Andreevna

2017

가설 : 그래프 이론이 실제에 더 가까워지면 가장 유익한 결과를 얻을 수 있습니다.

표적: 그래프의 개념을 익히고 다양한 문제 해결에 그래프를 적용하는 방법을 알아보세요.

작업:

1) 그래프 구성 방법에 대한 지식을 확장합니다.

2) 그래프 이론을 사용하여 해결해야 하는 문제 유형을 식별합니다.

3) 수학에서 그래프의 사용을 탐구합니다.

"오일러는 ​​사람이 어떻게 숨을 쉬는지, 독수리가 땅 위로 어떻게 솟아오르는지 눈에 보이는 노력 없이 계산했습니다."

도미닉 아라고.

나. 소개. 피.

II . 주요 부분.

1. 그래프의 개념. Königsberg 교량에 관한 문제. 피.

2. 그래프의 속성. 피.

3. 그래프 이론을 사용하는 데 문제가 있습니다. 피.

Sh. 결론.

그래프의 의미. 피.

IV. 서지. 피.

나 . 소개

그래프 이론은 비교적 젊은 과학입니다. "그래프(Graphs)"는 "나는 쓴다"라는 뜻의 그리스어 "grapho"의 어원을 가지고 있습니다. 같은 어근은 "그래프", "전기"라는 단어에 있습니다.

나는 작업을 통해 그래프 이론이 사람들의 삶의 다양한 영역에서 어떻게 활용되는지 살펴봅니다. 모든 수학 교사와 거의 모든 학생은 기하학적 문제와 대수학 단어 문제를 해결하는 것이 얼마나 어려운지 알고 있습니다. 학교 수학 과정에서 그래프 이론을 사용할 가능성을 탐구한 결과, 나는 이 이론이 문제 이해와 해결을 크게 단순화한다는 결론에 도달했습니다.

II . 주요 부분.

1. 그래프의 개념.

그래프 이론에 관한 첫 번째 연구는 Leonhard Euler의 것입니다. 그것은 1736년 상트페테르부르크 과학 아카데미의 간행물에 등장했으며 쾨니히스베르크 교량 문제를 고려하면서 시작되었습니다.

칼리닌그라드와 같은 도시가 있다는 것을 알고 계실 것입니다. 예전에는 Koenigsberg라고 불렸습니다. 프레골리아(Pregolya) 강이 도시를 관통하여 흐른다. 두 갈래로 갈라져 섬을 일주한다. 17세기에는 도시에 그림과 같이 배열된 7개의 다리가 있었습니다.

어느 날 한 도시 주민이 친구에게 다리를 모두 한 번만 건너고 산책이 시작된 곳으로 돌아갈 수 있는지 물었습니다. 많은 마을 사람들이 이 문제에 관심을 가지게 되었지만 누구도 해결책을 찾지 못했습니다. 이 문제는 많은 나라의 과학자들의 관심을 끌었습니다. 유명한 수학자 레온하르트 오일러(Leonhard Euler)가 문제를 해결했습니다. 바젤 출신인 레온하르트 오일러(Leonhard Euler)는 1707년 4월 15일에 태어났습니다. 오일러의 과학적 업적은 엄청납니다. 그는 기초 연구 분야와 응용 분야 모두에서 수학과 기계의 거의 모든 분야의 발전에 영향을 미쳤습니다. 레온하르트 오일러(Leonhard Euler)는 이 특정 문제를 해결했을 뿐만 아니라 이러한 문제를 해결하기 위한 일반적인 방법도 제시했습니다. 오일러는 다음과 같은 작업을 수행했습니다. 그는 땅을 점으로 "압축"하고 다리를 선으로 "늘렸습니다". 결과는 그림에 표시된 그림입니다.

점과 점을 연결하는 선으로 구성된 도형을 도형이라고 합니다.세다. A, B, C, D 지점 그래프의 꼭짓점이라고 하고, 꼭짓점을 연결하는 선을 그래프의 모서리라고 합니다. 꼭지점 그림에서비, 씨, 디 갈비뼈 3개가 나오고 위에서부터ㅏ - 갈비뼈 5개. 홀수 개의 모서리가 나타나는 정점을 호출합니다.이상한 정점, 그리고 짝수의 모서리가 나오는 정점은 다음과 같습니다.심지어.

2. 그래프의 속성.

Königsberg 교량에 관한 문제를 해결하는 동안 오일러는 특히 그래프의 속성을 확립했습니다.

1. 그래프의 모든 정점이 짝수이면 한 번의 획으로 그래프를 그릴 수 있습니다(즉, 종이에서 연필을 떼지 않고 같은 선을 따라 두 번 그리지 않고). 이 경우 이동은 모든 정점에서 시작하여 동일한 정점에서 끝날 수 있습니다.

2. 두 개의 홀수 꼭지점이 있는 그래프도 한 번의 스트로크로 그릴 수 있습니다. 움직임은 임의의 홀수 꼭지점에서 시작하여 다른 홀수 꼭지점에서 끝나야 합니다.

3. 홀수 꼭짓점이 2개 이상인 그래프는 한 획으로 그릴 수 없습니다.

4. 그래프에서 홀수 꼭지점의 개수는 항상 짝수입니다.

5. 그래프에 홀수 꼭지점이 있는 경우 그래프를 그리는 데 사용할 수 있는 최소 스트로크 수는 이 그래프의 홀수 꼭지점 수의 절반과 같습니다.

예를 들어, 그림에 홀수가 4개 있으면 최소한 두 개의 획으로 그릴 수 있습니다.

쾨니히스베르크의 7개 다리 문제에서 해당 그래프의 네 꼭지점은 모두 홀수입니다. 모든 다리를 한 번 건너고 여행이 시작된 곳에서 끝낼 수는 없습니다.

3. 그래프를 활용하여 문제를 해결합니다.

1. 한 획으로 그림을 그리는 작업.

한 번의 펜 스트로크로 다음의 각 모양을 그리려고 하면 결과가 달라집니다.

그림에 이상한 점이 없으면 어디에서 그리기 시작하든 상관없이 펜을 한 번만 누르면 그림을 그릴 수 있습니다. 그림 1과 5입니다.

그림에 홀수 점이 한 쌍만 있는 경우 이러한 그림은 홀수 점 중 하나에서 그리기 시작하여 한 번의 스트로크로 그릴 수 있습니다(어느 점인지는 중요하지 않음). 두 번째 홀수점에서 그림이 끝나야 한다는 것은 이해하기 쉽습니다. 이는 그림 2, 3, 6입니다. 예를 들어 그림 6에서는 A 지점이나 B 지점에서 그리기를 시작해야 합니다.

그림에 홀수점이 두 개 이상 있으면 한 번의 획으로 그림을 그릴 수 없습니다. 이것은 두 쌍의 홀수 점을 포함하는 그림 4와 7입니다. 지금까지 말한 내용은 한 획으로 어떤 그림을 그릴 수 없고 어떤 그림을 그릴 수 있는지, 그림을 어느 지점부터 시작해야 하는지를 정확하게 인식하는 데 충분합니다.

나는 다음과 같은 그림을 한 번에 그릴 것을 제안합니다.

2. 논리적 문제 해결.

작업 번호 1.

탁구 클래스 챔피언십에는 Andrey, Boris, Victor, Galina, Dmitry 및 Elena 등 6명의 참가자가 있습니다. 챔피언십은 라운드 로빈 시스템으로 진행됩니다. 각 참가자는 서로 한 번씩 플레이합니다. 현재까지 일부 게임은 이미 진행되었습니다. Andrey는 Boris, Galina, Elena와 함께 플레이했습니다. 보리스 - Andrey, Galina와 함께; 빅터 - Galina, Dmitry, Elena와 함께; Galina - Andrey, Victor 및 Boris와 함께. 지금까지 몇 게임을 플레이했고, 앞으로 몇 게임이 남았나요?

해결책:

그림과 같이 그래프를 만들어 보겠습니다.

7경기를 치렀다.

이 그림에서 그래프에는 8개의 모서리가 있으므로 플레이할 게임이 8개 남았습니다.

작업 #2

높은 울타리로 둘러싸인 안뜰에는 빨간색, 노란색, 파란색 세 채의 집이 있습니다. 울타리에는 빨간색, 노란색, 파란색의 세 개의 문이 있습니다. 빨간 집에서 빨간 문으로, 노란 집에서 노란 문으로, 파란 집에서 파란 집으로 가는 길을 교차하지 않도록 그려주세요.

해결책:

문제에 대한 해결책이 그림에 나와 있습니다.

3. 단어 문제 해결.

그래프 방법을 사용하여 문제를 해결하려면 다음 알고리즘을 알아야 합니다.

1.문제에서는 어떤 과정을 이야기하고 있나요?2. 이 과정의 특징은 무엇입니까?3.이 수량 사이의 관계는 무엇입니까?4.문제에는 몇 가지 프로세스가 설명되어 있나요?5. 요소들 사이에 연결이 있습니까?

이러한 질문에 답하면서 문제의 상태를 분석하고 이를 개략적으로 기록합니다.

예를 들어 . 버스는 45km/h의 속도로 2시간 동안, 60km/h의 속도로 3시간 동안 주행했습니다. 이 5시간 동안 버스는 얼마나 이동했습니까?

에스
1=90km V 1=45km/h t 1=2h

S=VT

S ²=180km V ²=60km/h t ²=3시간

에스 ¹ + 에스 ² = 90 + 180

해결책:

1)45× 2 = 90(km) - 버스는 2시간 만에 이동했습니다.

2)60× 3 = 180(km) - 버스는 3시간 만에 이동했습니다.

3)90 + 180 = 270(km) - 버스는 5시간 만에 이동했습니다.

답: 270km.

III . 결론.

프로젝트를 진행하면서 레온하르트 오일러(Leonhard Euler)가 그래프 이론의 창시자이며 그래프 이론을 이용하여 문제를 해결했다는 사실을 알게 되었습니다. 나는 그래프 이론이 현대 수학의 다양한 분야와 수많은 응용 분야에서 사용되고 있다는 결론을 내렸습니다. 학생들에게 그래프 이론의 기본 개념을 소개하는 것이 유용하다는 점에는 의심의 여지가 없습니다. 그래프를 사용할 수 있으면 많은 수학적 문제를 해결하는 것이 더 쉬워집니다. 데이터 프레젠테이션 V 그래프의 형태는 명확성을 제공합니다. 그래프를 사용하면 많은 증명도 단순화되고 설득력이 높아집니다. 이는 특히 수학적 논리 및 조합론과 같은 수학 분야에 적용됩니다.

따라서 이 주제에 대한 연구는 일반적인 교육적, 일반적인 문화 및 일반적인 수학적 중요성을 갖습니다. 일상 생활에서는 그래픽 일러스트레이션, 기하학적 표현 및 기타 시각적 기술과 방법이 점점 더 많이 사용되고 있습니다. 이를 위해 적어도 과외 활동에서 초등 및 중등 학교의 그래프 이론 요소에 대한 연구를 소개하는 것이 유용합니다. 이 주제는 수학 커리큘럼에 포함되어 있지 않기 때문입니다.

V . 서지:

2008년

검토.

"우리 주변의 그래프"라는 주제의 프로젝트는 Krasny Kut의 제3시 교육 기관에서 7학년 "A" 학생인 Nikita Zaytsev가 완료했습니다.

Nikita Zaitsev 작업의 특징은 관련성, 실용적인 방향, 주제에 대한 적용 범위 및 향후 사용 가능성입니다.

이 작업은 정보 프로젝트의 형태로 창의적입니다. 학생은 스쿨 버스 노선의 예를 사용하여 그래프 이론과 실습의 관계를 보여주고, 그래프 이론이 현대 수학의 다양한 영역과 그 수많은 응용 분야, 특히 경제학, 수학적 논리 및 조합론에서 사용된다는 것을 보여주기 위해 이 주제를 선택했습니다. . 그는 그래프를 사용할 수 있으면 문제 해결이 크게 단순화되고, 데이터를 그래프 형식으로 표시하면 명확해지며, 많은 증명도 단순화되고 설득력이 있다는 것을 보여주었습니다.

이 작업은 다음과 같은 문제를 다룹니다.

1. 그래프의 개념. Königsberg 교량에 관한 문제.

2. 그래프의 속성.

3. 그래프 이론을 사용하는 데 문제가 있습니다.

4. 그래프의 의미.

5. 스쿨버스 노선 옵션.

N. Zaitsev는 작업을 수행할 때 다음을 사용했습니다.

1. Alkhova Z.N., Makeeva A.V. "수학 과외 활동."

2. 잡지 "학교에서의 수학". 부록 “9월 1일” 13호

2008년

3. Ya.I.Perelman “재미있는 작업과 실험.” - 모스크바: 교육, 2000.

작업은 적절하게 수행되었으며 재료는 이 주제의 요구 사항을 충족하며 해당 도면이 첨부되었습니다.

시 예산 교육 기관

도샤틴스카야 중등학교

니즈니 노브고로드 지역 Vyksa의 도시 지구

논리적 문제 해결.

물리학 및 수학과

수학 섹션

나는 작업을 완료했습니다:

5학년 학생

파포티나 엘레나 세르게예브나

과학 고문:

MBOU Doschatinskaya 중등 학교 교사

Roshchina Lyudmila Valerievna

니즈니노브고로드 지역

r/p 도샤토에

2016년

주석

이 작품의 목적논리적 문제를 해결할 때 추론하고 올바른 결론을 도출하는 능력을 식별합니다.이것들문제는 재미있고 수학적인 지식이 많이 필요하지 않기 때문에 수학을 별로 좋아하지 않는 학생들도 관심을 갖게 됩니다.작업에는 다음과 같은 작업이 있습니다.

1) "논리"와 "수학적 논리"의 개념에 대한 숙지;

2) 논리적 문제를 해결하기 위한 기본 방법을 연구합니다.

3) 5~7학년 학생들의 논리적 문제 해결 능력을 연구합니다.

본 연구의 연구 방법은 다음과 같습니다.

정보 수집 및 연구.

실험적, 이론적 자료의 일반화.

가설 : 우리 학교 학생들은 논리적 문제를 해결할 수 있습니다.

작품을 집필하면서 논리적인 문제를 해결하는 유형과 방법을 조사하였다. 중학생들과 함께 논리적 문제를 어떻게 해결할 수 있는지에 대한 실습을 진행했습니다. 작업 결과에 따르면 모든 학생이 논리적 작업에 대처할 수 있는 것은 아닙니다.대부분의 경우 학생들의 능력은 스스로 발견되지 않은 채 남아 있으며 자신의 능력에 자신감이 없으며 수학에 무관심합니다.그런 학생들에게는 논리적 작업을 사용할 것을 제안합니다. 이러한 과제는 클럽 및 선택 수업에서 고려될 수 있습니다.

2.3 오일러 원법

이 방법논리적 문제를 해결하는 또 다른 시각적이고 매우 흥미로운 방법입니다. 이 방법은 유명한 오일러-벤 원의 구성을 기반으로 합니다.문제의 조건을 관찰하면서 집합의 교집합이나 합집합을 찾아야 하는 문제. 이 방법을 사용하는 예를 살펴보겠습니다.

문제 6을 해결해 보겠습니다.

52명의 학생 중 23명은 배지를 수집하고, 35명은 우표를 수집하며, 16명은 배지와 우표를 모두 수집합니다. 나머지는 수집에 관심이 없습니다. 수집에 관심이 없는 학생은 몇 명입니까?

해결책. 이 문제의 조건은 이해하기 쉽지 않습니다. 23과 35를 더하면 52가 넘습니다. 이는 여기서 일부 학생, 즉 배지와 우표를 모두 수집하는 학생을 두 번 계산했기 때문에 설명됩니다.논의를 더 쉽게 하기 위해 오일러 원을 이용해보자

사진에 큰 원이 있는데문제의 학생 52명을 나타냅니다. 원 3은 배지를 수집하는 학생들을 묘사하고 원 M은 우표를 수집하는 학생들을 묘사합니다.

큰 원은 원 3과 M으로 여러 영역으로 나뉩니다. 원 3과 M의 교차점은 배지와 스탬프를 모두 수집하는 학생들에 해당합니다(그림). 원 M에 속하지 않는 원 3의 부분은 뱃지만 수집하는 학생에 해당하고, 원 3에 속하지 않는 원 M의 부분은 우표만 수집하는 학생에 해당합니다. 큰 원의 빈 부분은 수집에 관심이 없는 학생을 나타냅니다.

각 영역에 해당 번호를 입력하여 다이어그램을 순차적으로 작성하겠습니다. 조건에 따라 배지와 스탬프를 모두 16명이 수집하므로 원 3과 M의 교차점에 숫자 16을 씁니다(그림).

23명의 학생이 배지를 수집하고 16명의 학생이 배지와 스탬프를 모두 수집하므로 23-16=7명이 혼자서 배지를 수집합니다. 마찬가지로 35~16=19명이 우표만 모은다. 다이어그램의 해당 영역에 숫자 7과 19를 쓰겠습니다.

사진을 보면 얼마나 많은 사람들이 수집에 참여하고 있는지 분명합니다. 이것을 알아내려면숫자 7, 9, 16을 더해야 합니다. 42명이 나옵니다. 이는 52 - 42 = 10명의 학생이 여전히 수집에 관심이 없다는 것을 의미합니다. 이것이 문제의 답인데, 큰 원의 자유장에 들어갈 수 있다.

오일러의 방법은 일부 문제를 해결하는 데 필수적이며 추론을 크게 단순화합니다.

2.4 블록다이어그램 방법

일 7. 학교 매점에서는 첫 번째 코스로 보르시, 솔얀카, 버섯 수프를 주문할 수 있고, 두 번째 코스로 고기와 파스타, 생선, 감자, 닭고기와 쌀, 세 번째 코스로 차와 설탕에 절인 과일을 주문할 수 있습니다. 이 요리로 얼마나 다양한 점심을 만들 수 있나요?

해결책. 블록 다이어그램 형식으로 솔루션을 공식화해 보겠습니다.

답변: 18가지 옵션이 있습니다.

2.5 진실 문제

우리는 진술의 진실 또는 허위를 확립하는 데 필요한 문제를 진실 문제라고 부를 것입니다.

문제 7 . 세 친구 Kolya, Oleg, Petya가 마당에서 놀고 있었는데 그중 한 명이 실수로 공으로 유리창을 깨뜨렸습니다. 콜야는 “유리잔을 깨뜨린 건 내가 아니다”라고 말했다. Oleg는 "Petya가 유리를 깨뜨 렸습니다. "라고 말했습니다. 나중에 이 진술 중 하나는 사실이고 다른 하나는 거짓이라는 것이 밝혀졌습니다. 어느 소년이 유리잔을 깨뜨렸나요?

해결책. Oleg가 진실을 말했다고 가정하고 Kolya도 진실을 말했으며 이는 문제의 조건과 모순됩니다. 결과적으로 Oleg는 거짓말을했고 Kolya는 진실을 말했습니다. 그들의 진술에 따르면 Oleg가 유리를 깨뜨린 것입니다.

작업 8. Vitya, Petya, Yura 및 Sergei 등 4명의 학생이 수학 올림피아드에서 4개의 1위를 차지했습니다. 어떤 장소를 갔는지 물었을 때 다음과 같은 대답이 주어졌습니다.

a) Petya - 두 번째, Vitya - 세 번째;

b) Sergey - 두 번째, Petya - 첫 번째;

c) Yura - 두 번째, Vitya - 네 번째.

각 답의 한 부분만 맞다면 누가 어떤 자리를 차지했는지 표시하십시오.

해결책. "Peter - II"라는 진술이 사실이고 두 번째 사람의 진술이 모두 올바르지 않으며 이는 문제의 조건과 모순됩니다. "Sergey - II"라는 진술이 사실이라고 가정하면 첫 번째 사람의 두 진술이 모두 올바르지 않으며 이는 문제의 조건과 모순됩니다. "Jura - II"라는 진술이 참이라고 가정하면 첫 번째 사람의 첫 번째 진술은 거짓이고 두 번째 진술은 참입니다. 그리고 두 번째 사람의 첫 번째 진술은 틀렸지만 두 번째 진술은 맞습니다.

답변 : 1 위 - Petya, 2 위 - Yura, 3 위 - Vitya, 4 위 Sergey.

2.6 문제는 결국 해결되었습니다.

마지막부터 해결되는 일종의 논리적 문제가 있습니다. 이러한 문제를 해결하는 예를 살펴보겠습니다.

작업 9. Vasya는 숫자를 생각하고 5를 더한 다음 그 합을 3으로 나누고, 4를 곱하고, 6을 빼고, 7로 나누어 숫자 2를 얻었습니다. Vasya는 어떤 숫자를 생각했습니까?

해결책: 2·7=14

14+6=20

20˸4=5

5·3=15

15-5=10

답변: Vasya는 숫자 10을 생각했습니다.

제 3 장. 논리적 문제 해결 능력을 연구합니다.

연구 작업의 실제 부분에서는 다음과 같은 유형의 논리적 문제를 선택했습니다. 누가 누구입니까?; 단어 문제.

과제는 각각 5학년, 6학년, 7학년의 지식 수준에 해당합니다. 학생들은 이러한 문제를 해결하였고, 나는 그 결과를 분석하였다(그림 1). 얻은 결과를 더 자세히 고려해 보겠습니다.

*5학년에게는 다음 과제가 제안되었습니다:

작업 번호 1. 문제는 끝까지 해결되었습니다.

숫자가 생각나서 2를 곱하고 3을 더해서 17이 됐어요. 내가 생각한 숫자는 무엇인가요?

작업 번호 2. "누가 누구인가?"와 같은 문제

Katya, Sonya 및 Lisa의 성은 Vasnetsova, Ermolaeva 및 Kuznetsova입니다. Sonya, Liza 및 Ermolaeva가 수학 동아리의 회원이고 Liza와 Kuznetsova가 음악을 공부하는 경우 각 소녀의 성은 무엇입니까?

작업 번호 3. 텍스트 작업.

학교 스포츠 올림피아드에는 124명이 참가했는데, 이는 남학생이 여학생보다 32명 더 많았습니다. 올림피아드에는 몇 명의 소년 소녀가 참가했습니까?

5학년 학생들의 대다수는 '끝부터 풀 수 있는' 유형의 문제에 대처했다. 이런 문제는 5~6학년 교과서에도 나온다.텍스트 작업 유형의 경우이 작업은 더 복잡하므로 생각해야했으며 5 명만이 이에 대처했습니다.(그림 2)

*6학년에게는 다음 과제가 제안되었습니다:

작업 번호 1. 문제는 끝까지 해결되었습니다.

57을 빼고 2로 나누면 27이 되는 숫자가 떠올랐습니다. 내가 생각한 숫자는 무엇인가요?

작업 번호 2. "누가 누구인가?"와 같은 문제

아토스, 포르토스, 아라미스, 달타냥은 재능 있는 젊은 총사 4명입니다. 그들 중 하나는 칼로 가장 잘 싸우고, 다른 하나는 백병전에서 동등하지 않으며, 세 번째는 공에서 가장 잘 춤을 추고, 네 번째는 비트를 놓치지 않고 권총을 쏜다. 그들에 대해 다음이 알려져 있습니다.

아토스와 아라미스는 무도회에서 뛰어난 댄서인 친구를 지켜보았습니다.

어제 포르토스와 최고의 슈터는 육탄전을 감탄하며 지켜봤다.

범인은 Athos를 방문하도록 초대하고 싶어합니다.

포르토스는 몸집이 매우 컸기 때문에 춤은 그의 요소가 아니었습니다.

누가 무엇을 하나요?

작업 번호 3. 텍스트 작업. 한 선반에는 두 번째 선반보다 책이 5배 더 많습니다. 12권의 책을 첫 번째 선반에서 두 번째 선반으로 옮긴 후에는 같은 수의 책이 선반에 있게 되었습니다. 각 선반에는 원래 몇 권의 책이 있었나요?

6학년 학생 18명 중 1명이 모든 과제를 완수했습니다. 6학년 학생들은 모두 '끝부터 풀 수 있다'는 유형의 문제에 대처했다. 2번 과제로 "누가 누구야?" 4명이 했어요. 한 사람만 텍스트 작업을 완료했습니다.(그림 3).

*7학년에게는 다음 과제가 제안되었습니다:

작업 번호 1. 문제는 끝까지 해결되었습니다.

숫자가 생각나서 5를 더하고 그 합을 3으로 나누고 4를 곱하고 6을 빼고 7로 나누어서 2가 나왔습니다. 제가 생각한 숫자는 무엇인가요?

작업 번호 2. "누가 누구인가?"와 같은 문제

Vanya, Petya, Sasha 및 Kolya는 V, P, S 및 K로 시작하는 성을 가지고 있습니다. 1) Vanya와 S.는 우수한 학생입니다. 2) Petya와 V.는 C 학생입니다. 3) P.보다 키가 크다. 4) Kolya는 P.보다 짧습니다. 5) Sasha와 Petya는 키가 같습니다. 모든 사람의 성은 어떤 글자로 시작하나요?

작업 번호 3. 추론 방법.

학교를 수리하기 위해 팀이 도착했는데, 여기에는 목수보다 화가가 2.5배 더 많았습니다. 곧 감독은 팀에 4명의 화가를 더 포함시켰고 2명의 목수를 다른 현장으로 옮겼습니다. 그 결과 팀에는 목수보다 화가가 4배나 더 많았습니다. 처음에 팀에 화가와 목수는 몇 명이나 있었나요?

7학년 학생 20명 중 1명이 모든 과제를 완수했습니다.13명의 학생이 '끝부터 풀기' 유형의 문제를 완성했습니다. 와 함께한 학생이 텍스트 작업을 완료했습니다(그림 4).

결론

논리적 문제를 해결하는 방법을 연구하는 연구 작업 중. 나는 내가 설정한 목표와 목적이 달성되었다고 생각한다. 첫 번째 장에서 나는 과학으로서의 논리학의 개념, 논리학의 주요 발전 단계, 그리고 논리학의 창시자인 과학자들에 대해 알게 되었습니다. 2장에서는 논리적 문제를 해결하기 위한 다양한 방법을 연구하고 구체적인 예를 들어 분석했다. 나는 다음과 같은 방법을 고려했습니다.추론법, 표법, 그래프법, 블록다이어그램법, 오일러원법, 진리문제, 문제를 끝까지 푸는 방법.세 번째 장에서는 5~7학년 학생들을 대상으로 실용적인 연구를 진행하여 논리적 문제 해결 능력을 테스트했습니다. 내 연구 결과는 다음과 같습니다. 대부분의 학생들이 풀었던 문제는 끝까지 풀었던 문제였습니다. "누가 누구인가?"라는 과제로 (테이블 방식) 학생 중 절반이 해냈습니다. 가장 적은 수의 사람들만이 단어 문제를 풀었습니다(추론 방법). 학생 중 절반이 논리적 문제를 해결하는 데 어려움을 겪었기 때문에 내 가설이 부분적으로 확인되었다고 생각합니다.

논리적 작업은 논리적이고 상상력이 풍부한 사고를 발달시키는 데 도움이 됩니다.정상적인 어린이라면 누구나 지식에 대한 욕구, 자신을 시험하려는 욕구가 있습니다. 대부분의 경우 학생들의 능력은 스스로 발견되지 않은 채 남아 있으며 자신의 능력에 자신감이 없으며 수학에 무관심합니다.그런 학생들에게는 논리적 작업을 사용할 것을 제안합니다. 이러한 과제는 클럽 및 선택 수업에서 고려될 수 있습니다. 접근 가능해야 하고, 지능을 깨우고, 관심을 끌고, 놀라움을 주고, 적극적인 상상력과 독립적인 결정을 내릴 수 있도록 깨워야 합니다. 또한 나는 논리가 우리 삶의 어떤 어려움에도 대처하는 데 도움이 된다고 믿으며, 우리가 하는 모든 일은 논리적으로 이해되고 구조화되어야 한다고 믿습니다. 우리는 학교 수학 수업뿐만 아니라 다른 과목에서도 논리와 논리적 문제에 직면합니다.

문학

Vilenkin N.Ya. 수학 5학년.-Mnemosyne, M: 2015. 45쪽

Vilenkin N.Ya. 수학 5학년.-Mnemosyne, M: 2015. 211쪽

Orlova E. 솔루션 방법 논리 문제와 숫자 문제 //

수학. -1999. 26. - 27-29 페이지.

Tarski A. 연역 과학의 논리 및 방법론 소개 - 모스크바,: 1948.

인터넷 리소스:

http://위키. 내가 가르쳐.

쌀. 3 6학년 과제 분석.

쌀. 4 7학년 과제 분석

학생들 주목! 교과 과정은 선택한 주제에 따라 독립적으로 완료됩니다. 중복된 주제는 허용되지 않습니다! 선택한 주제에 대해 개별적으로 또는 이름, 그룹 번호 및 과목 제목이 표시된 목록을 통해 편리한 방법으로 교사에게 알리시기 바랍니다.

해당 분야의 교과 과정을 위한 샘플 주제
"수학적 논리"

1. 명제대수와 술어대수의 해결방법과 그 적용.

2. 공리 시스템.

3. 최소 및 최단 CNF 및 DNF.

4. 형식 언어 이론에 수학적 논리 방법을 적용합니다.

5. 논리적 계산으로서의 형식적 문법.

6. 텍스트 논리 문제를 해결하는 방법.

7. 논리 프로그래밍 시스템.

8. 논리 게임.

9. 1차 논리의 결정 불가능성.

10. 비표준 산술 모델.

11. 수학적 논리에서의 대각선화 방법.

12. 튜링 기계와 처치의 논문.

13. 주판 및 재귀 함수에 대한 계산 가능성.

14. 재귀 함수의 표현성과 수학적 논리의 부정적인 결과.

15. 덧셈 연산의 해결 가능성.

16. 산술의 2차 논리와 정의 가능성.

17. 모델 이론에서 초곱의 방법.

18. 형식 산술의 불완전성에 관한 괴델의 정리.

19. 해결 가능하고 결정 불가능한 공리 이론.

20. Craig의 보간 보조 정리와 그 응용.

21. 가장 간단한 정보 변환기.

22. 스위칭 회로.

24. 접촉 구조.

25. 릴레이 접점 회로에 부울 함수 적용.

26. 패턴 인식 이론에서 부울 함수의 적용.

27. 수학적 논리 및 인공지능 시스템.

과정 작업은 주제의 이론적 내용과 해당 주제에 대한 일련의 문제(최소 10개)와 솔루션이라는 두 부분으로 구성되어야 합니다. 또한 두 번째 부분(문제 해결)을 논의된 이론적 자료를 기반으로 작성된 독립적인 개발(예: 작업 알고리즘, 프로그램, 샘플 등)로 대체하여 연구 유형의 기말 논문을 작성할 수도 있습니다. 작업의 첫 번째 부분에서.

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당사 웹사이트의 이 섹션에서는 논리에 관한 연구 논문 주제논리적 문제, 수학의 궤변과 역설, 논리와 논리적 사고에 관한 흥미로운 게임의 형태로 제공됩니다. 작업 감독자는 학생의 연구를 직접 지도하고 지원해야 합니다.

논리에 대한 연구 및 설계 작업을 위해 아래에 제시된 주제는 논리적으로 생각하고, 비표준 문제와 예를 해결하고, 역설과 수학적 문제를 탐구하고, 비표준 논리 게임을 즐기는 어린이에게 적합합니다.

아래 목록에서 초등학교부터 고등학교까지 중등학교의 모든 학년에 대한 논리 프로젝트 주제를 선택할 수 있습니다. 논리 및 논리적 사고에 대한 수학 프로젝트를 올바르게 설계하는 데 도움이 되도록 개발된 작업 설계 요구 사항을 사용할 수 있습니다.

논리 연구 프로젝트에 대한 다음 주제는 최종적이지 않으며 프로젝트 이전에 설정된 요구 사항으로 인해 수정될 수 있습니다.

논리에 관한 연구 논문의 주제:

학생들을 위한 논리 연구 논문의 샘플 주제:

수학의 흥미로운 논리.
대수학 논리
논리와 우리
논리. 논리의 법칙
논리 상자. 재미있는 논리 문제 모음입니다.
숫자를 사용한 논리적 작업.
논리 문제
논리 문제 "재미있는 산술"
수학의 논리적 문제.
기하학적 모양의 수를 결정하는 논리적 문제.
사고 발달을 위한 논리적 과제
수학 수업의 논리적 문제.
논리 게임
논리적 역설
수학적 논리.
논리적 문제를 해결하는 방법과 이를 구성하는 방법.
논리 문제 시뮬레이션
교육 프리젠테이션 "논리의 기초".
논리적 문제의 기본 유형과 해결 방법.
셜록 홈즈의 발자취를 따라, 또는 논리적 문제를 해결하는 방법.
논리적 문제 해결에 그래프 이론을 적용합니다.
네 가지 색상의 문제.
논리적 문제 해결
그래프 방법을 사용하여 논리적 문제를 해결합니다.
다양한 방법으로 논리적 문제를 해결합니다.
그래프를 사용하여 논리 문제 해결
다이어그램과 표를 사용하여 논리적 문제를 해결합니다.
논리적 문제 해결.
삼단논법. 논리적 역설.

논리 프로젝트 주제

학생들을 위한 논리 프로젝트의 샘플 주제:
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우리 주변의 궤변
궤변과 역설
논리적 문제를 구성하는 방법과 해결 방법.
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컴퓨터의 논리 및 논리적 기초에 대한 대수학입니다.
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대학원 과정

논문주제

“초등학교 수학 수업에서 수학적 논리 요소의 사용”

수학 논리 초등

소개

1장. 초등학교에서 수학적 논리의 요소를 연구하기 위한 이론적 기초

1.1 수학적 개념과 문장의 논리적 구조를 이해한다

1.2 수학의 한 분야인 논리학 연구

1.3 논리적 추론

1장에 대한 결론

2 장. 초등학교 수학 수업에서 수학적 논리 요소 사용

2.1 초기 수학 과정에서 논리 요소 사용

2.2 교육 단지 "Prospective Primary School"에 따른 수학적 논리 요소를 사용하는 심리적, 교육적 기초

2.3 초등학교 졸업 후 학생들 사이에서 "수학적 논리 요소" 개념 개발을 목표로 하는 과제 시스템

2장 결론

결론

서지

응용

소개

현재 우리나라는 수학 교육을 개선할 수 있는 방법을 적극적으로 모색하고 있습니다. 새로운 일반 교육의 연방 주 교육 표준에 따라 초등학생은 수학 과목에서 초등 일반 교육의 기본 교육 프로그램을 습득한 결과에 대한 요구 사항을 준수해야 합니다.

1) 기본 수학적 지식을 사용하여 주변 물체, 프로세스, 현상을 설명하고 양적 및 공간적 관계를 평가합니다.

2) 논리적 및 알고리즘적 사고, 공간적 상상력 및 수학적 언어, 측정, 재계산, 추정 및 평가, 데이터 및 프로세스의 시각적 표현, 알고리즘 기록 및 실행의 기초를 습득합니다.

3) 숫자와 수치 표현을 사용하여 구두 및 서면 산술 연산을 수행하고, 단어 문제를 해결하고, 알고리즘에 따라 작동하고 간단한 알고리즘을 구축하는 능력, 기하학적 모양을 탐색, 인식 및 묘사하고, 표, 다이어그램, 그래프로 작업할 수 있습니다. 데이터를 다이어그램, 체인, 집계, 제시, 분석 및 해석합니다.

오늘날 수학 교육은 중등 교육 시스템의 일부인 동시에 일종의 독립적인 교육 단계입니다. 수학 교육의 새로운 콘텐츠는 주로 어린 학생들의 문화 형성과 사고의 독립성, 수학 수단과 방법을 통한 교육 활동 요소에 중점을 두고 있습니다. 훈련 중에 어린이는 자신의 행동이 의도한 계획에 부합하는지 확인하기 위해 일반적인 행동 방법, 완료된 활동에 대한 단계별 제어 및 자체 평가를 수행해야 합니다.

그렇기 때문에 수학 프로그램에서 프로그램의 산술, 대수 및 기하학 부분을 연구하는 과정에서 개발되는 알고리즘, 논리 및 조합 선의 형성에 특별한 주의를 기울이는 것은 우연이 아닙니다.

수학자 A.N. 콜모고로프, A.I. Markushevich A.S. 스톨리아라, A.M. 피시칼로, P.M. Erdnieva 등은 학교 수학 교육 개선의 근본적인 문제, 특히 수학적 논리 요소를 포함하여 학교 과정의 논리적 기반 강화와 관련된 문제를 강조합니다.

지난 10년 동안 학교가 현대화 과정에 들어서면서 새로운 표준, 기술, 방법 및 다양한 교수 도구가 실제로 도입되면서 초등 수준과 기초 수준 간의 교육 연속성 문제가 가장 중요해졌습니다. 교과서 세트의 존재는 이러한 수준 간의 연속성을 유지하는 중요한 구성 요소입니다. A.A. Stolyar는 "학교의 초등 및 중등 학년에서 실행되어야 하는 정신적이고 논리적인 프로그램이 필요합니다."

심리학자와 교사의 연구 V.V. 비고츠키, L.V.잔코프, V.V. Davydova, N.M. Skatkina 및 기타 사람들은 특정 조건에서 높은 수준의 지식, 기술 및 능력뿐만 아니라 일반적인 개발도 달성할 수 있음을 보여줍니다. 전통적인 교육에서 발달은 바람직한 것으로 보이지만 예측 가능한 학습의 산물과는 거리가 멀습니다.

우리 의견으로는 심리학 및 방법론 문헌에서 학생들의 수학적 논리 요소를 형성하는 문제는 고등학교에서 수학을 가르치는 것과 관련하여 부분적으로 고려됩니다.

따라서 일반 교육 학교의 1학년부터 시작하는 숫자 세트는 학생들의 추론 기술을 보다 명확하게 개발할 수 있는 실험실을 나타내며, 이는 특정 접근 방식의 진실 또는 거짓을 결정하는 기초가 됩니다. 문제의 특정 공식화. "이런 과제가 학교에서 수학을 가르치는 과정의 주요 목표이며, 이 문제의 어느 부분이 초등학교에서 발생합니까?"라는 질문이 생깁니다. 이 질문에 대한 답은 I-IV학년 수학 프로그램과 교과서를 철저히 분석한 후에만 얻을 수 있습니다.

문제의 시급성은 어린 학생들에게 수학적 논리 요소를 형성하기 위해 초등학교 수학 교육 내용을 개선하는 것입니다.

연구의 목적 1-4학년에 수학을 가르칠 때 수학 과정의 틀 내에서 수학적 논리 요소에 대한 연구를 고려하고 그 구현을 위한 교육 및 방법론적 도구를 개발합니다.

연구대상- 초등학교에서 수학 수업을 가르칠 때 수학적 논리의 요소를 공부하는 과정.

안건- 1~4학년 학생들의 수학적 논리 요소를 형성하는 방법 및 수단.

연구 가설수학을 가르치는 과정을 정리할 수 있다는 것인데, 이는 수학적 지식과 기술의 준비와 함께 의식적이고 체계적으로 논리적 기술을 개발할 것입니다.

목표를 달성하고 가설을 구현하기 위해 다음이 확인되었습니다. 연구 목표:

1. 수학적 개념과 문장의 논리적 구조에 대한 개념을 제시합니다.

2. 과학이자 수학의 한 분야로서 논리학을 공부합니다.

3. 논리적 추론이 무엇인지 알아보고 그에 대한 정의를 제시하세요.

4. 학생들의 논리적 발달의 관점에서 수학 교육 표준, 커리큘럼 및 현재 학교 교과서를 분석합니다.

5. 초등학교에서 수학을 가르치는 과정에서 어린이의 수학적 논리 요소 형성을 위한 심리적, 교육학적, 방법론적 기초를 확인합니다.

6. 초등학교 환경에서 개발된 방법의 효과를 테스트하기 위해 실험적 연구를 수행합니다.

이 연구의 이론적, 방법론적 기초는 변증법적 유물론 철학의 기본 원칙과 그에 기초하여 개발된 학습에 대한 개인 적극적 접근 방식의 교리(A.S. Vygotsky, A.N. Leontiev, S.L. Rubinstein 등)로 구성됩니다. 발달 학습 이론의 출발점 (V.V. Davydov, L.V. Zankov, N.A. Menchinskaya, D.B. Elkonin, N.V. Yakimanskaya 등) 방법론 수학자(A.M. Pyshkalo, P.M. Erdniev)의 기본 아이디어.

1장. 초등학교에서 수학적 논리의 요소를 연구하기 위한 이론적 기초

1.1 수학적 개념과 문장의 논리적 구조를 이해한다

학교에서 수학을 공부할 때 특정 개념, 명제 및 증명 시스템을 숙지해야 하지만, 이 시스템을 숙지하고 습득한 지식과 기술을 성공적으로 적용하고 어린 학생들을 가르치며 수학을 사용하여 발달 문제를 해결하려면 , 수학적 개념의 특징이 무엇인지, 어떻게 구조화된 정의인지, 개념의 속성을 표현하는 문장, 증거 등을 이해해야 합니다.

초등학교 교사는 아이들에게 수학 지식의 세계를 가장 먼저 소개하는 사람이기 때문에 그러한 지식이 필요하며, 앞으로 수학 공부에 대한 아이의 태도는 그가 이를 얼마나 유능하고 성공적으로 수행하는지에 달려 있습니다.

이 자료를 공부하는 것은 집합론 언어를 익히는 것과 관련이 있으며, 이는 수학적 개념, 명제 및 증명의 논리적 구조를 고려할 때뿐만 아니라 전체 과정을 구성하는 데에도 사용됩니다.

수학 입문 과정에서 가르치는 개념은 일반적으로 네 그룹으로 나누어집니다. 첫 번째에는 숫자, 추가, 용어, 더 큰 등 숫자 및 연산과 관련된 개념이 포함됩니다. 여기에는 표현, 평등, 방정식 등 대수 개념이 포함됩니다. 세 번째 그룹은 직선, 선분, 삼각형 등의 기하학적 개념으로 구성됩니다. 네 번째 그룹은 수량 및 측정과 관련된 개념으로 구성됩니다.

매우 다양한 개념을 연구하려면 개념을 논리적 범주로 생각하고 수학적 개념의 특징을 갖는 것이 필요합니다.

논리학에서 개념은 대상(대상 또는 현상)의 본질적이고 일반적인 속성을 반영하는 사고의 한 형태로 간주됩니다. 개념의 언어적 형태는 단어 또는 단어의 그룹입니다.

어떤 대상에 대해 생각한다는 것은 그것을 다른 유사한 대상과 구별할 수 있다는 것을 의미합니다. 수학적 개념에는 여러 가지 특징이 있습니다. 가장 중요한 것은 개념이 형성되는 것과 관련된 수학적 대상이 실제로 존재하지 않는다는 것입니다. 모든 수학적 대상은 인간의 마음에 의해 만들어집니다. 실제 물체나 현상을 반영하는 물체에 이상적입니다.

예를 들어 기하학에서는 색상, 질량, 경도 등 다른 속성을 고려하지 않고 물체의 모양과 크기를 연구합니다. 그들은 이 모든 것에서 주의가 산만해지고 추상화됩니다. 따라서 기하학에서는 "물체"라는 단어 대신 "기하학적 도형"이라고 말합니다.

추상화의 결과는 "수" 및 "크기"와 같은 수학적 개념입니다.

일반적으로 수학적 대상은 인간의 사고와 수학적 언어를 형성하는 기호 및 기호에만 존재합니다.

수학은 물질 세계의 공간적 형태와 양적 관계를 연구함으로써 다양한 추상화 기법을 사용할 뿐만 아니라 추상화 자체가 다단계 과정으로 작용합니다.

수학에서 새로운 개념의 출현, 따라서 이러한 개념을 나타내는 새로운 용어는 그 정의를 전제로 합니다.

정의는 일반적으로 새로운 용어(또는 명칭)의 본질을 설명하는 문장입니다. 일반적으로 이는 이전에 소개된 개념을 기반으로 수행됩니다.

속과 종의 차이를 통한 개념의 정의는 본질적으로 새로운 용어를 도입하거나 알려진 용어 집합을 대체하는 조건부 동의이기 때문에 정의에 대해 그것이 올바른지 틀리는지 말할 수 없습니다. 그것은 입증되지도 반증되지도 않습니다. 그러나 정의를 공식화할 때 다음과 같은 여러 규칙을 준수합니다.

· 결정은 비례적이어야 합니다. 이는 정의된 개념과 정의하는 개념의 양이 일치해야 함을 의미합니다. 이 규칙은 정의된 개념과 정의하는 개념이 상호 교환 가능하다는 사실에서 따릅니다.

· 정의(또는 그 체계)에 악순환이 있어서는 안 된다. 이는 개념 자체를 통해 개념을 정의하거나(정의 용어는 정의 중인 용어를 포함해서는 안 됨) 다른 개념을 통해 정의하고 이를 통해 정의할 수 없음을 의미합니다. 왜냐하면 수학에서는 개별 개념만 고려하는 것이 아니기 때문입니다. 그리고 그들의 시스템, 이 규칙은 정의 시스템의 악순환을 금지합니다.

· 정의가 명확해야 합니다. 이는 언뜻 보기에 명확한 규칙은 아니지만 많은 의미를 갖습니다. 우선, 새로운 개념의 정의가 도입될 때 정의 개념에 포함된 용어의 의미가 알려져 있을 필요가 있다. 정의의 명확성을 위한 조건에는 일반 개념의 범위에서 정의된 개체를 분리하는 데 필요하고 충분한 속성만 구체적인 차이점에 포함하라는 권장 사항도 포함됩니다.

초등학교에서 수학을 공부할 때 속과 종의 구별을 통한 정의는 거의 사용되지 않습니다. 초기 수학 과정에는 많은 개념이 있습니다.

초등학교에서 수학을 공부할 때 소위 암묵적 정의가 가장 많이 사용됩니다. 그들의 구조에서는 결정된 것과 결정하는 것을 구별하는 것이 불가능합니다. 그 중에는 문맥상과 표면상이 구별됩니다.

맥락적 정의에서 새로운 개념의 내용은 텍스트의 통과, 맥락, 특정 상황의 분석을 통해 드러납니다. 도입된 개념의 의미를 설명합니다. 맥락을 통해 정의된 개념과 알려진 다른 개념 사이의 연결이 확립되고, 이를 통해 그 내용이 간접적으로 드러납니다. 상황에 따른 정의의 예로는 방정식과 그 해의 정의가 있습니다.

표면적 정의는 시연에 의한 정의입니다. 용어가 참조하는 개체를 보여줌으로써 용어를 소개하는 데 사용됩니다. 예를 들어, 초등학교에서는 평등과 불평등의 개념을 이런 식으로 정의할 수 있습니다.

실제 과정에 대한 연구, 수학적 설명은 자연스러운 언어와 상징적 의미로 사용됩니다. 설명은 문장을 사용하여 구성됩니다. 그러나 수학적 지식이 우리를 둘러싼 현실을 정확하고 적절하게 반영하려면 이러한 제안이 사실이어야 합니다. 각 수학적 논문은 내용과 논리적 형식(구조)이 특징이며 내용은 형식과 불가분의 관계로 연결되어 있으며 두 번째를 이해하지 않고는 첫 번째를 이해할 수 없습니다.

1) 숫자 12는 짝수입니다.

수학에서 사용되는 문장은 기호를 사용하여 자연어(러시아어)와 수학적 언어로 모두 작성할 수 있음을 알 수 있습니다. 문장 1,4,5, 6에 대해서는 실제 정보를 전달하고 문장 2에 대해서는 거짓 정보를 전달한다고 말할 수 있습니다. x +5 = 8이라는 문장에 대해서는 일반적으로 그것이 참인지 거짓인지 말하기가 불가능합니다. 문장을 참과 거짓의 관점에서 바라보면 진술이라는 개념이 탄생했습니다.

1.2 수학의 한 분야로 논리학을 공부하다

논리는 가장 오래된 과학 중 하나입니다. 논리의 주제를 구성하는 사고의 측면을 누가, 언제, 어디서 처음으로 처음으로 설정했는지는 현재로서는 불가능합니다. Ivin A.A.가 지적했듯이. , 논리적 교육의 기원 중 일부는 기원전 2천년 말 인도에서 찾을 수 있습니다. 그러나 과학으로서의 논리의 출현, 즉 다소 체계화된 지식 체계에 대해 이야기한다면 고대 그리스의 위대한 문명을 논리의 발상지로 간주하는 것이 공정할 것입니다. 이곳은 기원전 5~4세기에 있었습니다. 민주주의의 급속한 발전과 그에 따른 사회 정치적 삶의 전례 없는 부흥 기간 동안, 이 과학의 기초는 데모크리토스, 플라톤 및 소크라테스의 작품에 의해 마련되었습니다. 논리의 "아버지"인 조상은 고대의 가장 위대한 사상가로 간주됩니다. 플라톤의 제자는 아리스토텔레스(BC 384-322)입니다. 그의 작품에서 "Organon"(인지 도구)이라는 일반 제목으로 통합되어 처음으로 기본 논리적 형식과 추론 규칙, 즉 결론의 형식을 철저하게 분석하고 설명한 사람이 바로 그 사람이었습니다. 범주적 판단이라고 함 - 범주형 삼단논법(“제1 분석”), 과학적 증거의 기본 원칙을 공식화(“제2 분석”)하고, 특정 유형의 진술의 의미를 분석하고(“해석에 대하여”) 주요 내용을 설명했습니다. 개념 교리 ( "범주") 개발에 대한 접근 방식. 아리스토텔레스는 또한 분쟁에서 다양한 종류의 논리적 오류와 궤변적인 기술을 폭로하는 데 심각한 관심을 기울였습니다("On Sophistic Refutations").

논리는 사회 전체의 발전 역사와 불가분의 관계가 있는 길고 풍부한 역사를 가지고 있습니다.

이론으로서의 논리의 출현은 수천 년 전으로 거슬러 올라가는 사고의 실천보다 먼저 이루어졌습니다. 인간의 노동, 물질, 생산 활동이 발전함에 따라 인간의 사고 능력, 특히 추상화 및 추론 능력이 점차 향상되고 발전했습니다. 그리고 이것은 조만간, 그러나 필연적으로 연구의 대상이 그 형태와 법칙에 따라 스스로 생각하게 된다는 사실로 이어져야 했습니다.

Ivin A.A.가 지적했듯이. , 역사는 개인의 논리적 문제가 25,000년 전, 고대 인도와 고대 중국에서 처음으로 인간의 마음 앞에 나타났음을 보여줍니다. 그런 다음 고대 그리스와 로마에서 더욱 완전한 발전을 이루었습니다. 점차적으로 논리적 지식의 일관성 있는 체계가 형성되고 독립적인 과학이 형성됩니다.

논리의 출현 이유는 무엇입니까? 아이빈 A.A. 두 가지 주요한 것이 있다고 믿습니다. 그 중 하나는 과학, 특히 수학의 기원과 초기 발전입니다. 이 과정은 6세기로 거슬러 올라간다. 기원전. 고대 그리스에서 가장 완벽한 발전을 이루었습니다. 신화와 종교에 맞서 투쟁하면서 탄생한 과학은 추론과 증거를 포함하는 이론적 사고를 기반으로 했습니다. 그러므로 인지의 수단으로서 사고 자체의 본질을 연구할 필요가 있습니다.

Kurbatov V.I. , 논리는 무엇보다도 결과가 현실과 일치하기 위해 과학적 사고가 충족해야 하는 요구 사항을 식별하고 정당화하려는 시도로 나타났습니다.

아마도 훨씬 더 중요한 또 다른 이유는 고대 그리스 민주주의 환경에서 번성했던 사법 예술을 포함한 웅변술의 발전 때문일 것입니다. 로마의 가장 위대한 연설가이자 과학자인 키케로(기원전 106-43년)는 웅변의 "신성한 선물"의 소유자인 연설가의 힘에 대해 다음과 같이 강조했습니다. 그의 직원, 그의 연사 직함은 얼마입니까? 그는 자신의 말로 동료 시민들의 분노를 불러일으킬 수 있고, 범죄와 사기를 저지른 사람에 대한 형벌을 내릴 수 있으며, 자신의 재능의 힘으로 무고한 사람들을 재판과 형벌에서 구할 수 있습니다. 그는 소심하고 우유부단한 사람들을 영웅주의로 이끌 수 있고, 그들을 오류에서 이끌어 낼 수 있으며, 악당들에 대해 그들을 선동하고 합당한 사람들에 대한 불평을 진정시킬 수 있습니다. 그는 상황에 따라 필요한 경우 어떻게 한 마디 말로 인간의 열정을 자극하고 진정시킬 수 있는지 알고 있습니다.”

Ivin A.A.에 따르면 논리학의 창시자(때때로 "논리학의 아버지"라고도 함)는 고대 그리스의 가장 위대한 철학자이자 백과사전학자인 아리스토텔레스(기원전 384-322년)로 간주됩니다. 그러나 논리적 문제에 대한 최초의 매우 상세하고 체계적인 제시는 실제로 초기 고대 그리스 철학자이자 박물학자인 데모크리토스(기원전 460년 - 약 370년)에 의해 제시되었다는 점을 명심해야 합니다. 그의 수많은 작품 중에는 "논리학 또는 정경에 대하여"라는 세 권의 책으로 구성된 광범위한 논문이 있습니다. 여기에서는 지식의 본질, 진리의 주요 형태 및 기준이 드러났을뿐만 아니라 지식에서 논리적 추론의 큰 역할이 보여지고 판단의 분류가 제공되었습니다. 일부 유형의 추론적 지식은 강하게 비판을 받았으며 귀납적 논리, 즉 실험적 지식의 논리를 개발하려는 시도가 이루어졌습니다. 불행하게도 다른 모든 논문과 마찬가지로 데모크리토스의 이 논문은 우리에게 도달하지 못했습니다.

논리 발전의 새롭고 더 높은 단계는 17세기에 시작됩니다. 이 단계는 연역 논리, 귀납 논리와 함께 프레임워크 내에서 생성과 유기적으로 연결됩니다. 점점 축적되는 경험적 자료를 바탕으로 일반 지식을 획득하는 다양한 과정을 반영합니다. 그러한 지식을 얻을 필요성은 뛰어난 영국 철학자이자 자연과학자 F. Bacon(1561-1626)의 작품에서 가장 완벽하게 실현되고 표현되었습니다. 그는 귀납논리학의 창시자가 되었다. “...현재 존재하는 논리는 지식 발견에 쓸모가 없다”고 그는 가혹한 판결을 내렸다. 그러므로 베이컨은 마치 아리스토텔레스의 오래된 “오르가논”과 대조되는 것처럼 “새로운 오르가논...”을 썼는데, 여기서 그는 귀납적 논리의 개요를 설명했습니다. 그는 현상의 인과관계를 결정하기 위한 귀납적 방법의 개발에 주된 관심을 기울였습니다. 이것이 베이컨의 큰 장점이다. 그러나 그가 창안한 귀납론은 아이러니하게도 기존 논리를 부정하는 것이 아닌 것으로 드러났다. 그리고 더욱 풍부해지고 발전합니다. 이는 일반화된 추론 이론을 만드는 데 기여했습니다. 그리고 이는 아래에서 살펴보겠지만 귀납과 연역은 배제하는 것이 아니라 서로를 전제하고 유기적인 통일체를 이루고 있기 때문에 자연스러운 일이다.

러시아 과학자들은 전통적인 형식 논리의 발전에 잘 알려진 기여를 했습니다. 따라서 이미 10세기경부터 시작된 논리학에 관한 최초의 논문에 나와 있습니다. 아리스토텔레스와 다른 과학자들의 연구에 대해 독립적으로 논평하려는 시도가 있었습니다. 러시아의 독창적인 논리 개념은 18세기에 개발되었습니다. 주로 M. Lomonosov(1711-1765) 및 A. Radishchev(1749-1802)의 이름과 관련이 있습니다. 우리나라 논리연구의 전성기는 19세기 말로 거슬러 올라간다.

독일 철학자 G. 헤겔(1770-1831)은 새로운 변증법적 논리의 통합 시스템을 개발하려는 거창한 시도를 했습니다. 그의 기본 저서 '논리학'에서 그는 우선 기존 논리 이론과 실제 사고 실천 사이의 근본적인 모순을 드러냈는데, 이는 당시 상당한 수준에 이르렀습니다.

Kurbatov V.I.가 지적했듯이 헤겔은 사고의 본질, 법칙 및 형식을 재검토했습니다. 이와 관련하여 그는 "변증법은 사유 자체의 본질을 구성하며 이성으로서 자기 부정과 모순에 빠지게 된다"는 결론에 도달했습니다. 사상가는 자신의 임무를 이러한 모순을 해결할 방법을 찾는 것으로 보았습니다. 헤겔은 낡고 평범한 논리가 형이상학적인 지식 방법과 연관되어 있다는 이유로 신랄하게 비판했습니다. 그러나 이 비판에서 그는 동일성의 법칙과 모순의 법칙에 기초한 그 원칙을 거부하기까지 했습니다.

아이빈 A.A. 변증법적 논리의 문제, 형식 논리와의 관계는 독일 철학자와 과학자 K. Marx(1818-1883) 및 F. Engels(1820-1895)의 작업에서 더욱 구체화되고 발전했다고 말합니다. 철학, 자연과학, 사회과학을 통해 축적된 가장 풍부한 지적 자료를 사용하여 그들은 K. Marx의 "Capital", "Anti-Dühring" 및 "Dialectics of Nature"와 같은 작품에서 구현된 질적 새로운 변증법적 유물론 시스템을 만들었습니다. " F. 엥겔스. 이러한 일반적인 철학적 입장에서 마르크스와 엥겔스는 논리와 변증법이라는 특별한 "사고와 그 법칙에 대한 교육"을 평가했습니다. 그들은 형식논리의 중요성을 부정하지 않았고, 형식논리를 '말도 안 되는' 것으로 간주하지 않았으며, 형식논리의 역사적 성격을 강조했습니다. 따라서 엥겔스는 각 시대의 이론적 사고는 시대에 따라 매우 다른 형태와 동시에 매우 다른 내용을 취하는 역사적 산물이라고 지적했습니다. "결과적으로 사고의 과학은 다른 과학과 마찬가지로 역사 과학, 인간 사고의 역사적 발전에 관한 과학입니다."

최근 수십년간 우리나라에서는 변증법적 논리를 체계적으로 제시하려는 많은 유익한 시도가 있어왔습니다. 개발은 크게 두 가지 방향으로 진행됩니다. 한편으로는 인간의 사고에서 현실 발전의 반영 패턴, 객관적인 모순이 공개되고, 다른 한편으로는 사고 자체의 발전 패턴, 자체 변증법이 공개됩니다.

과학기술 혁명의 조건에서 과학이 새롭고 더 깊은 지식 수준으로 이동하고 변증법적 사고의 역할이 커질 때 변증법적 논리의 필요성은 점점 더 강화됩니다. 추가 개발을 위해 새로운 인센티브를 받습니다.

논리학 연구의 진정한 혁명은 19세기 후반 수학적 논리학의 창조로 인해 일어났는데, 이는 상징이라고도 불리며 논리학 발전의 새로운 현대적 단계를 표시했습니다.

이 논리의 시작은 아리스토텔레스와 그의 추종자인 스토아학파에서 이미 명제 논리뿐만 아니라 술어 논리, 양상 추론 이론의 요소 형태로 추적될 수 있습니다. 그러나 문제의 체계적인 발전은 훨씬 나중으로 거슬러 올라갑니다.

Ivin A.A.가 지적했듯이 이미 17세기 후반에 수학 발전의 성공과 다른 과학에 대한 수학적 방법의 침투는 두 가지 근본적인 문제를 시급하게 제기했습니다. 한편으로는 수학의 이론적 기초를 개발하기 위해 논리를 사용하는 것이고, 다른 한편으로는 논리 자체를 과학으로 수학화하는 것입니다. 발생한 문제를 해결하려는 가장 심오하고 유익한 시도는 독일의 가장 위대한 철학자이자 수학자 G. 라이프니츠(1646-1416)에 의해 이루어졌습니다. 따라서 그는 본질적으로 수학적 논리학의 창시자가 되었습니다. 라이프니츠는 과학자들이 실증적 연구가 아닌 연필을 손에 들고 미적분학에 참여하는 시대를 꿈꿨습니다. 그는 이러한 목적을 위해 모든 경험 과학을 합리화할 수 있는 보편적인 상징 언어를 창안하려고 노력했습니다. 그의 의견으로는 새로운 지식은 논리적 계산, 즉 미적분의 결과가 될 것입니다.

V.I.Kurbatov에 따르면 라이프니츠의 사상은 18세기와 19세기 전반에 어느 정도 발전했습니다. 그러나 상징논리학의 강력한 발전을 위한 가장 유리한 조건은 19세기 후반에야 비로소 나타났다. 이때까지 과학의 수학화는 특히 중요한 진전을 이루었고 수학 자체에서 과학의 정당화에 대한 새로운 근본적인 문제가 발생했습니다. 영국의 과학자, 수학자, 논리학자 철도. Boole(1815-1864)은 주로 그의 작품에서 수학을 논리에 적용했습니다. 그는 추론 이론에 대한 수학적 분석을 제공하고 논리적 미적분학(“부울 대수”)을 개발했습니다. 독일의 논리학자이자 수학자 G. 프레게(1848-1925)는 수학 연구에 논리를 적용했습니다. 확장된 술어 계산을 통해 그는 공식화된 산술 시스템을 구축했습니다.

따라서 논리 연구 개발에 새롭고 현대적인 단계가 열렸습니다. 아마도 이 단계의 가장 중요한 특징은 전통적인 논리적 문제를 해결하기 위한 새로운 방법을 개발하고 사용하는 것입니다. 이것은 소위 형식화된 인공 언어, 즉 기호 언어의 개발 및 사용입니다. 알파벳 및 기타 기호(따라서 현대 논리의 가장 일반적인 이름 - "기호").

Ivin A.A.가 지적했듯이. , 논리 계산에는 명제 계산과 술어 계산의 두 가지 유형이 있습니다. 첫 번째에서는 판단의 내부 개념적 구조로부터의 추상화가 허용되고, 두 번째에서는 이 구조가 고려되므로 상징적 언어가 풍부해지고 새로운 기호로 보완됩니다.

논리에서 기호 언어의 중요성은 과대평가하기 어렵습니다. G. Frege는 그것을 망원경과 현미경의 의미와 비교했습니다. 그리고 독일 철학자 G. 클라우스(1912-1974)는 형식화된 언어의 창조가 생산 영역에서 육체 노동에서 기계 노동으로의 전환이 갖는 것과 동일한 논리적 추론 기술의 중요성을 갖는다고 믿었습니다. 전통적인 형식 논리, 상징 논리를 기반으로 등장한 상징 논리는 특히 추론 이론에서 논리 법칙 및 형식에 대한 이전 아이디어를 명확하고 심화하며 일반화하는 동시에 논리적 문제를 점점 더 확장하고 풍부하게 합니다. . 현대 논리학은 복잡하고 고도로 발달된 지식 시스템입니다. 여기에는 실천의 필요성을 점점 더 완벽하게 표현하고 궁극적으로 주변 세계의 복잡성의 다양성, 이 세계 자체에 대한 사고의 통일성과 다양성을 반영하는 다양한 방향, 개별적이고 상대적으로 독립적인 "논리"가 포함됩니다.

상징 논리는 수학뿐만 아니라 물리학, 생물학, 사이버네틱스, 경제학, 언어학 등 다른 과학에서도 점점 더 많이 사용되고 있습니다. 이는 새로운 지식 분야(수학)의 출현으로 이어집니다. 생산 영역에서 논리의 역할은 특히 인상적이고 명확합니다. 추론 과정을 자동화할 가능성을 열어 일부 사고 기능을 기술 장치로 이전하는 것이 가능해졌습니다. 그 결과는 릴레이 접점 회로, 컴퓨터, 정보 논리 시스템 등의 생성과 같은 기술 분야에서 점점 더 많이 사용되고 있습니다. 한 과학자의 비유적인 표현에 따르면, 현대 논리학은 정확한 사고의 “도구”일 뿐만 아니라 정밀한 도구인 전자 자동 장치의 “사고”이기도 합니다. 현대 논리학의 성과는 법적 영역에서도 활용됩니다. 따라서 법의학에서는 연구의 다양한 단계에서 수집된 정보의 논리적, 수학적 처리가 수행됩니다.

증가하는 과학 기술 진보의 필요성은 현대 논리학의 더욱 집중적인 발전을 결정합니다.

러시아 과학자들이 상징 논리 시스템 개발에 중요한 공헌을 했다는 사실은 여전히 ​​남아 있습니다. 그중에서도 특히 P. Poretsky(1846-1907)가 눈에 띕니다. 그는 러시아에서 처음으로 수학적 논리에 대한 강의를 시작했습니다. 수학적 논리는 오늘날에도 계속 발전하고 있습니다.

V.I.Kurbatov에 따르면 수학적 논리 연구는 마음을 훈련합니다. 수학에 대한 M.V. Lomonosov의 유명한 말을 기억하면서 우리는 다른 어떤 수학 과학보다 수학적 논리가 "마음을 정리한다"고 말할 수 있습니다.

모든 대수학의 언어는 이 언어의 알파벳이라고 불리는 일련의 기호로 구성됩니다.

자연어 알파벳 기호와 유사하게 알파벳 기호를 문자라고 합니다.

자연스럽게 질문이 생깁니다. 수치 대수학 언어의 알파벳에는 어떤 문자가 포함되어야 합니까?

우선, 분명히 우리는 집합의 요소를 나타내는 문자, 즉 대수학의 전달자(이 경우 숫자를 나타내는 문자)와 이 집합의 요소에 대한 변수가 있어야 합니다.

숫자를 지정하기 위해 십진수 체계를 사용하면 숫자 대수학의 알파벳에 숫자라고 불리는 10개의 문자(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)를 포함해야 합니다. 특정 규칙에 따라 모든 숫자의 이름.

숫자 변수(N, N0, Z, Q 또는 R 세트의 숫자에 대한 변수)로 라틴 알파벳 a, b, c, x, y, z 문자 또는 색인이 있는 문자 중 하나가 사용됩니다. 예를 들어 X1, X2, Xn입니다.

때로는 라틴 알파벳 문자가 숫자 상수, 즉 숫자 이름으로도 사용됩니다(특정 숫자에 대해 이야기할 때 어떤 특정 숫자는 중요하지 않습니다). 이 경우 일반적으로 라틴 알파벳의 첫 글자 a, b, c를 상수로 사용하고 마지막 글자 x, y, z를 변수로 사용합니다.

또한 작업을 나타내는 문자도 필요합니다. 덧셈과 곱셈에는 잘 알려진 기호(문자) +와 *가 각각 사용됩니다.

또한 대수학 언어에서 구두점의 역할은 괄호(왼쪽 및 오른쪽)로 수행됩니다.

따라서 수치 대수학을 설명하는 언어의 알파벳에는 네 가지 종류의 문자로 구성된 세트가 포함되어야 합니다. I - 숫자 이름이 구성되는 숫자; II - 라틴 알파벳 문자 - 숫자 변수 또는 상수 III - 작업 표시; IV - 괄호.

빼기(--) 및 나누기(:) 기호는 해당 연산의 정의에 따라 도입될 수 있습니다.

점차적으로 수치 대수의 알파벳은 다른 "문자"로 보완됩니다. 특히 이진 관계 "같음", "보다 작음", "큼"의 기호가 도입됩니다.

나열된 모든 기호는 수학 법칙, 규칙 및 증명의 정확하고 간결하며 명확하게 이해되는 공식화의 필요성과 관련하여 발생한 인공 언어인 수학 언어의 알파벳에 포함됩니다.

역사적으로 수학의 상징은 수세기에 걸쳐 많은 뛰어난 과학자들의 참여로 만들어졌습니다. 따라서 문자로 미지의 수량을 지정하는 것은 Diophantus(3세기)에 의해 사용되었으며, 대수학에서 라틴 알파벳 대문자의 광범위한 사용은 Vieta(16세기)에서 시작되었다고 믿어집니다. 이 알파벳의 소문자는 R. Descartes(XVII 세기)의 지정을 위해 도입되었습니다. 등호(=)는 영국 과학자 R. Record(XVI 세기)의 작품에 처음 등장했지만 일반적으로 XVIII 세기에만 사용되었습니다. 불평등 기호(< , >)는 17세기 초 영국의 수학자 Gariot에 의해 소개되었습니다. 그리고 "=", ">", " 기호가 있지만<» появились не так давно, сами понятия равенства и неравенства возникли в глубокой древности .

수학에서 진술은 질문이 의미 있는 문장입니다. 즉, 참 또는 거짓입니다.

이들 사이의 개념과 관계에 대해 다양한 판단이 내려질 수 있다. 판단의 언어적 형태는 서술형 문장이다. 예를 들어. 기본 수학 과정에서는 다음 문장을 찾을 수 있습니다.

1) 숫자 12는 짝수입니다.

4) 숫자 15에는 10과 5가 포함되어 있습니다.

5) 요인을 재배열해도 제품은 변하지 않습니다.

6) 일부 숫자는 3으로 나누어집니다.

수학에서 사용되는 문장은 기호를 사용하여 자연어(러시아어)와 수학적 언어로 모두 작성할 수 있음을 알 수 있습니다. 문장 1,4,5, 6에 대해서는 실제 정보를 전달하고 문장 2에 대해서는 거짓 정보를 전달한다고 말할 수 있습니다. x +5 = 8이라는 문장에 대해서는 일반적으로 그것이 참인지 거짓인지 말하기가 불가능합니다.

진술 A와 B가 주어지면 접속사 "and", "or", "if ... then ...", "either ... or ...", "if"를 사용하여 새로운 진술을 만들 수 있습니다. 만약 그렇다면”, 입자 “아님”도 마찬가지입니다. 예를 들어 A는 "지금은 맑습니다"라는 진술을 의미하고 B는 "지금 바람이 불고 있습니다"라는 진술을 의미한다고 가정합니다. 그러면 "A와 B"라는 진술은 "지금은 맑고 바람이 불고 있습니다"를 의미하고, "A가 아니면 B가 아닙니다"라는 진술은 "지금 맑지 않으면 바람이 불지 않습니다"를 의미합니다.

이러한 진술을 복합명령이라 하고, 그 안에 포함된 진술 A와 B를 기본명령이라 한다. 두 복합 명제 A와 B는 그 안에 포함된 기본 명제의 참에 대한 어떤 가정 하에서 둘 다 참이면서 동시에 거짓인 경우 동등하다고 말합니다. 이 경우에는 A=B라고 씁니다.

이미 수학의 첫 수업부터 초등학생들은 대부분 사실인 진술을 접하게 됩니다. 그들은 다음 진술에 익숙해집니다: 2 > 1, 1< 2, 3 > 2, 2 + 1 = 3, 3 - 1= 2.

A가 어떤 명제라면, 그것이 거짓이라고 주장함으로써 우리는 새로운 명제를 얻습니다. 발언 거부 A는 기호 B로 표시됩니다.

따라서 명제가 참이면 그 부정은 거짓이고 그 반대도 마찬가지입니다. 이 결론은 "I"가 참 진술을 의미하고 "L"이 거짓 진술을 의미하는 표를 사용하여 작성할 수 있습니다. 이러한 유형의 표를 진리표라고 합니다(부록 2, 그림 1 참조).

A와 B를 두 개의 기본 진술로 둡니다. 이들을 접속사 “and”와 연결하면 다음과 같은 새로운 진술이 생성됩니다. 접속사 데이터 진술 A로 지정되어 있나요? B. 항목 A? B는 "A와 B"라고 읽었습니다.

정의에 따르면, 두 명제의 결합은 두 명제가 모두 참인 경우에만 참입니다. 그 중 적어도 하나가 거짓이면 접속사는 거짓입니다 (부록 2, 그림 2 참조).

"7 - 4 = 3이고 4는 짝수입니다."라는 진술을 생각해 보세요. 이는 "7 - 4 = 3"과 "4는 짝수입니다"라는 두 진술의 결합입니다. 두 진술이 모두 참이므로, 그들의 결합은 참입니다.

A와 결합한다면? 진술 A와 B를 바꾸면 B 형식의 결합을 얻습니까? A. 진리표에서 공식 A는 무엇입니까? B와 B? 그리고 진술 A와 B의 서로 다른 의미에 대해 동시에 참이거나 동시에 거짓입니다.

결과적으로 그들은 동등하며 진술 A와 B에 대해 다음과 같은 결과를 얻습니다. A? 비 = 비? ㅏ

이 표기법은 접속사의 교환 속성을 표현하며, 이는 접속사의 구성원을 교환할 수 있도록 합니다.

(A? B)에 대한 진리표를 편집했습니까? S와 A? (B? C), 진술 A, B, C의 모든 진리값에 대해 진술 (A? B)의 진리값을 얻습니다. S와 A? (B? C) 일치합니다.

따라서 (A?B)? ㄷ=A? (B? C).

이 동등성은 접속사의 결합 속성을 표현합니다. 그러한 접속사는 그 안에 포함된 모든 진술이 참인 경우에만 참입니다.

두 개의 기본 진술 A와 B를 접속사 "또는"으로 연결함으로써 우리는 다음과 같은 새로운 진술을 얻습니다. 분리 데이터 진술 . 진술 A와 B의 분리는 A?B로 표시되며 "A 또는 B"로 읽습니다. 분리는 그것이 형성된 두 진술이 모두 거짓인 경우에만 거짓입니다. 다른 모든 경우에는 분리가 참입니다. 분리의 진리표는 다음과 같은 형식을 갖습니다(부록 2, 그림 3 참조).

결합뿐 아니라 분리의 경우에도 여러 가지 동등성이 표시될 수 있습니다. A, B, C에 대해 다음이 있습니다.

ㅏ? 비 = 비? A(교환적 분리);

(응? ㄴ) ? ㄷ=A? (B? C) (분리의 연관성).

분리의 결합 속성을 사용하면 괄호를 생략하고 A?를 쓸 수 있습니다. 안에? (A? B) 대신 C ? 와 함께.

진리표를 사용하면 다음을 쉽게 알 수 있습니다.

(응? ㄴ) ? C = (A? C) ? (B?C)

(응? ㄴ) ? C = (A? C) ? (기원전)

첫 번째 등식은 분리에 대한 결합의 분배 법칙을 표현하고, 두 번째 등식은 결합에 대한 분리의 분배 법칙을 표현합니다.

결합, 분리 및 부정의 연산은 다음 관계로 연결되며, 그 타당성은 진리표를 사용하여 설정할 수 있습니다.

이러한 관계를 드 모르간(de Morgan)의 공식이라고 합니다.

"if ... then ..."이라는 단어를 사용하여 두 개의 기본 명령문으로 구성된 복합 명령문을 고려해 보겠습니다.

예를 들어 진술 A: "어제는 일요일이었습니다."와 진술 B: "나는 직장에 없었습니다."가 주어졌다고 가정해 보겠습니다. 그런 다음 "어제가 일요일이었다면 나는 직장에 없었습니다."라는 복합 진술에는 "A라면 B입니다."라는 공식이 있습니다.

"A이면 B이다"라는 명제는 다음과 같다. 진술의 의미 A, B 및 기호를 사용하여 다음과 같이 작성됩니다. A => B. 함축 A => B에 포함된 진술 A를 함축의 조건이라고 하며 진술 B는 결론입니다.

따라서 "A이면 B"라는 의미의 진리표는 다음과 같습니다 (부록 2, 그림 4 참조).

두 진술 A와 B에서 다음과 같은 새로운 진술을 만들 수 있습니다. "And if and only if B." 이 진술은 동등한 진술 A와 B는 다음을 나타냅니다. A B. 진술 A와 B가 모두 참이거나 진술 A와 B가 모두 거짓인 경우 진술 A B는 참으로 간주됩니다. 다른 경우(즉, 한 명제는 참이고 다른 명제는 거짓인 경우) 동등성은 거짓으로 간주됩니다. 따라서 A와 B의 동등성에 대한 진리표는 다음과 같은 형식을 갖습니다 (부록 2, 그림 5 참조).

1.3 논리적 추론

모든 추론은 특정 규칙에 따라 서로 이어지는 일련의 진술로 구성됩니다. 자신의 결론을 추론하고 정확하게 입증하는 능력은 모든 직업의 사람들에게 필요합니다. 사람은 말하기 시작하는 순간부터 추론하는 법을 배우지만 추론 논리에 대한 목표 교육은 학교에서 시작됩니다. 이미 수학의 초기 과정은 비교, 대상 분류, 사실 분석 및 가장 간단한 진술 증명에 대한 학생들의 기술 개발을 전제로 합니다. 수학적 문제를 해결하는 것뿐만 아니라 문법적 분석, 박물학의 원리를 익히는 것 등에도 논리적 추론이 필요합니다. 따라서 초등학교 교사는 논리에 익숙해야 합니다. 법칙과 사고 형태, 추론의 일반적인 패턴에 대한 과학.

판단과 추론의 주요 유형은 고대 그리스 철학자 아리스토텔레스(BC 384-322)가 창안한 고전 논리학에서 고려됩니다.

논리에서 추론은 다음과 같이 나뉩니다.

1. 정확하다;

2. 틀렸습니다.

올바른 추론은 논리의 모든 규칙과 법칙을 준수하는 추론입니다. 잘못된 추론은 논리의 규칙이나 법칙을 위반하여 논리적 오류가 발생하는 추론입니다.

논리적 오류에는 두 가지 유형이 있습니다.

1. 마비증;

2. 궤변.

평행론은 추론 과정에서 의도치 않게(무지에서) 발생하는 논리적 오류입니다.

궤변은 상대방을 오도하고, 거짓 진술을 정당화하고, 말도 안되는 일 등을 정당화하기 위해 의도적으로 추론 과정에서 발생하는 논리적 오류입니다.

궤변은 고대부터 알려져 왔습니다. 소피스트들은 그러한 고려 사항을 실무에서 널리 사용했습니다. "궤변"이라는 이름이 유래 된 것은 바로 그들에게서 왔으며, 다양한 분쟁에 사용 된 궤변가들이 우리 시대까지 살아남은 추론의 수많은 예가 있습니다. 그 중 일부를 나열해 보겠습니다.

가장 유명한 고대 궤변은 "Horned"라는 추론입니다.

상황을 상상해 보십시오. 한 사람이 다른 사람에게 자신에게 뿔이 있다는 것을 확신시키고 싶어합니다. 이에 대한 정당성은 다음과 같습니다. “당신이 잃지 않은 것은 당신이 가지고 있는 것입니다. 당신은 뿔을 잃지 않았습니다. 그러니까 뿔이 있잖아."

언뜻 보면 이 생각이 맞는 것 같다. 하지만 논리를 모르는 사람이 바로 알아차리기 힘든 논리적 오류를 담고 있다.

또 다른 예를 들어 보겠습니다. 프로타고라스(소피스트 학교의 창시자)는 유아틀루스의 학생이었습니다. 교사와 학생은 Evatl이 첫 번째 소송에서 승리한 후에만 수업료를 지불하기로 합의했습니다. 그러나 학업을 마친 Evatl은 서두르지 않고 법정에 출두했습니다. 선생님의 인내심이 바닥나자 그는 학생을 상대로 소송을 제기했습니다. "어쨌든 유아틀루스는 나에게 돈을 지불해야 할 것입니다."라고 프로타고라스는 생각했습니다. - 그는 이 재판에서 이기거나 질 것입니다. 그가 이기면 합의한 대로 지불합니다. 패소하면 법원 판결에 따라 대가를 치르게 될 것입니다.” Evatl은 "그런 건 전혀 없습니다"라고 반대했습니다. -사실 나는 재판에서 이기거나 질 것입니다.

제가 이기면 법원 결정에 따라 지불이 면제되지만, 패할 경우 합의에 따라 지불하지 않을 것입니다 *.

이 예에는 논리적 오류도 있습니다. 그리고 정확히 어느 것입니까? 우리는 더 자세히 알아볼 것입니다.

논리의 주요 임무는 올바른 고려 사항을 분석하는 것입니다. 논리학자는 그러한 고려사항의 패턴을 식별 및 탐색하고 다양한 유형을 정의하는 등의 노력을 합니다. 논리의 잘못된 추론은 그 안에 발생한 오류의 관점에서만 분석됩니다.

추론의 정확성이 전제와 결론의 진실을 의미하는 것은 아니라는 점에 유의해야 합니다. 일반적으로 논리는 고려사항의 전제와 결론의 참 또는 거짓을 결정하는 데 관심이 없습니다. 그러나 논리에는 다음과 같은 규칙이 있습니다. 고려 사항이 (논리의 규칙 및 법칙에 따라) 올바르게 구성되고 동시에 실제 전제를 기반으로 하는 경우 그러한 추론의 결론은 항상 무조건 참입니다. 다른 경우에는 결론의 진실성을 보장할 수 없습니다.

따라서 추론이 잘못 구성되면 전제가 참이라는 사실에도 불구하고 그러한 추론의 결론이 한 경우에는 참이고 두 번째 경우에는 거짓일 수 있습니다.

예를 들어, 동일한 잘못된 체계에 따라 구성된 다음 두 가지 고려 사항을 고려해 보겠습니다.

(1) 논리는 과학이다.

연금술은 논리가 아닙니다.

연금술은 과학이 아닙니다.

(2) 논리는 과학이다.

법은 논리가 아니다.

법은 과학이 아닙니다.

첫 번째 추론에서는 결론이 참임이 분명하지만 두 번째 추론에서는 두 경우 모두 전제가 참인 진술임에도 불구하고 부정확합니다.

또한, 추론이 옳다 하더라도 전제 중 적어도 하나가 부정확할 경우 논증 결론의 진실성을 보장하는 것도 불가능합니다.

올바른 추론은 어떤 생각(결론)이 반드시 다른 의견(전제)을 따르는 추론입니다.

올바른 추론의 예는 다음과 같은 결론일 수 있습니다. “우크라이나의 모든 시민은 헌법을 인정해야 합니다. 우크라이나의 모든 국민 대표는 우크라이나 시민입니다. 따라서 그들 각자는 자신이 속한 국가의 헌법을 인정해야 합니다.” 그리고 진정한 생각의 예는 다음과 같은 판단입니다. “자신이 속한 국가의 헌법 중 적어도 일부 조항을 인정하지 않는 우크라이나 시민이 있습니다.”

다음 추론은 잘못된 것으로 간주되어야 합니다. "우크라이나의 경제 위기는 독립 선언 이후 분명히 느껴지기 때문에 후자가 이번 위기의 원인입니다." 이러한 유형의 논리적 오류를 "이후 - 이 때문에"라고 합니다. 그러한 경우 사건의 시간적 순서가 인과관계로 식별된다는 사실에 있습니다. 사실이 아닌 의견의 예로는 우크라이나 국가가 전혀 존재하지 않는다는 진술과 같이 현실과 일치하지 않는 모든 입장이 있을 수 있습니다.

지식의 목적은 참된 지식을 얻는 것이다. 추론을 통해 이러한 지식을 얻으려면 먼저 참된 전제를 가져야 하며, 두 번째로 이를 올바르게 결합하여 논리 법칙에 따라 추론해야 합니다. 잘못된 전제를 사용하면 사실적 오류를 범하고, 논리 법칙, 고려 사항 구성 규칙을 위반하면 논리적 오류를 범합니다. 물론 사실적 오류는 피해야 하지만 항상 가능한 것은 아닙니다. 논리적인 경우에는 지적 문화가 높은 사람은 논리적으로 올바른 사고의 기본 법칙, 추론 구성 규칙, 추론의 의미 있고 전형적인 오류까지 오랫동안 공식화되어 왔기 때문에 이러한 실수를 피할 수 있습니다.

논리는 올바르게 추론하고, 논리적 오류를 피하고, 올바른 추론과 잘못된 추론을 구별하는 방법을 가르쳐줍니다. 올바른 고려사항을 체계적으로 이해하기 위해 분류합니다. 이러한 맥락에서 다음과 같은 질문이 생길 수 있습니다. 고려 사항이 많기 때문에 Kozma Prutkov의 말처럼 무한한 것을 포용하는 것이 가능합니까? 예, 논리는 추론의 일부인 생각의 특정 내용이 아니라 계획, 추론의 구조, 이러한 생각을 결합하는 형식에 초점을 맞춰 추론을 가르치기 때문에 가능합니다. “모든 x는 y이고, 이 z는 x이다; 결과적으로 주어진 r은 정확하며 그 정확성에 대한 지식은 유사한 형식의 별도의 의미 있는 논증의 정확성에 대한 지식보다 훨씬 더 풍부한 정보를 포함합니다. 그리고 “모든 x는 y이고 z도 y입니다.”라는 계획에 따른 추론의 형태입니다. 따라서 z는 x입니다."는 잘못된 것을 나타냅니다. 문법이 언어 표현의 특정 내용을 추상화하여 문장에서 단어의 형태와 단어 조합을 연구하는 것처럼 논리는 이러한 생각의 특정 내용을 추상화하여 의견의 형태와 그 조합을 연구합니다.

생각이나 고찰의 형태를 드러내려면 형식화해야 합니다.

1장에 대한 결론

위의 내용을 바탕으로 다음과 같은 결론을 내릴 수 있습니다.

1. 논리는 철학적 지식의 한 분야로 나타났습니다. 발생의 주된 이유는 과학과 웅변의 발전입니다. 과학은 결론과 증거의 구성을 포함하는 이론적 사고를 기반으로 하기 때문에 사고 자체를 인지의 한 형태로 연구할 필요가 있습니다.

2. 현대과학에서 기호논리학의 중요성은 매우 크다. 그것은 사이버네틱스, 신경생리학, 언어학에 적용됩니다. 상징논리학은 형식논리학 발전의 현대적 단계이다. 논리 시스템에서의 표현을 통해 추론 및 증명 과정을 연구합니다. 따라서 이 과학은 그 주제에 있어서 논리이고, 그 방법에 있어서는 수학이다.

자료를 연구한 후 우리는 수학적 개념에 대한 아이디어를 명확히 했습니다.

이것은 이상적인 객체의 개념입니다.

각 수학적 개념에는 용어, 범위 및 내용이 있습니다.

개념에는 정의가 제공됩니다. 명시적이거나 암시적일 수 있습니다. 암시적 정의에는 문맥상 정의와 표면적 정의가 포함됩니다.

개념 학습은 주제에 대한 확장된 탐구를 통해 수업마다 진행됩니다.

자료를 공부할 때 우리는 접속사 "and", "or", 입자 "not", "every", "exists", "그러므로"라는 단어의 의미를 명확히 한 개념에 익숙해졌습니다. 수학에서는 "동등하게" 사용됩니다. 개념은 다음과 같습니다.

성명;

초등 진술;

논리적 연결;

복합 진술;

진술의 결합;

진술의 분리;

진술 거부.

규칙을 검토했습니다.

복합 진술의 진리값을 결정합니다.

다양한 구조의 문장 부정 구성.

2 장. 초등학교 수학 수업에서 수학적 논리 요소 사용

2.1 사용수학 초기 과정의 논리 요소

수학은 논리적 사고의 발달을 위한 실제 전제 조건을 제공하며, 교사의 임무는 어린이에게 수학을 가르칠 때 이러한 기회를 최대한 활용하는 것입니다. 그러나 이 주제를 공부할 때 공식화되어야 하는 논리적 사고 기술 개발을 위한 구체적인 프로그램은 없습니다. 결과적으로 논리적 사고 개발에 대한 작업은 필요한 기술 시스템에 대한 지식, 내용 및 형성 순서에 대한 지식 없이 진행됩니다.

바라키나 V.T. 초등학교에서 논리 요소를 공부할 때 학생들의 지식, 기술 및 능력에 대한 다음 요구 사항을 강조합니다.

1. 집합론의 요소:

구체적인 예와 작성 방법(열거를 통해)을 사용하여 다양한 성격의 집합에 대해 알아보세요.

세트의 요소를 식별하는 방법을 배우십시오.

집합 간 관계의 주요 유형과 집합이 오일러-벤 원을 사용하여 표현되는 방식에 대해 알아보세요.

집합(합집합, 교차점)에 대한 일부 작업을 수행하는 방법을 알아보세요.

2. 명제 이론의 요소:

아이디어 수준에서 진술에 대해 알아보세요.

진술을 다른 문장과 구별하는 법을 배우십시오.

주요 유형의 진술에 대해 알아보십시오.

명령문(부정, 접속, 분리)에 대해 몇 가지 작업을 수행하는 방법을 알아보세요.

3. 조합론의 요소:

아이디어 수준에서 이 개념에 대해 알아보세요.

수학 수업에서 다루는 다른 유형의 단어 문제와 조합 문제를 구별하는 방법을 배웁니다.

n개의 요소를 m개의 요소로 배치하는 수를 결정하는 문제를 해결하는 방법을 배웁니다.

초등학교의 논리 요소는 수학과 컴퓨터 과학 수업에서 모두 다룹니다. 동시에, 이 섹션의 교육 내용뿐만 아니라 학생들의 지식, 기술 및 능력에 대한 요구 사항 수준은 프로그램마다 다소 다릅니다. 이는 우선 현재 초등 일반 교육에 대한 연방 주 교육 표준이 1~4학년에서 이 주제를 의무적으로 고려할 것을 요구하지 않기 때문입니다.

현재 모든 수학 강좌는 학생의 발전을 목표로 하고 있습니다. 예를 들어 Istomina N.B. 주요 목표는 분석, 합성, 비교, 분류, 유추, 일반화와 같은 학생의 정신 활동, 정신 작업 방법 개발입니다.

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