અભિવ્યક્તિ, અભિવ્યક્તિ રૂપાંતર

શક્તિ અભિવ્યક્તિઓ (શક્તિઓ સાથે અભિવ્યક્તિઓ) અને તેમનું પરિવર્તન

આ લેખમાં આપણે અભિવ્યક્તિઓને શક્તિઓ સાથે કન્વર્ટ કરવા વિશે વાત કરીશું. પ્રથમ, અમે એવા પરિવર્તનો પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરીશું જે કોઈપણ પ્રકારના અભિવ્યક્તિઓ સાથે કરવામાં આવે છે, જેમાં પાવર એક્સપ્રેશન્સનો સમાવેશ થાય છે, જેમ કે કૌંસ ખોલવા અને સમાન શરતો લાવવા. અને પછી અમે ખાસ કરીને ડિગ્રી સાથેના અભિવ્યક્તિઓમાં અંતર્ગત રૂપાંતરણોનું વિશ્લેષણ કરીશું: આધાર અને ઘાતાંક સાથે કામ કરવું, ડિગ્રીના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને, વગેરે.

પૃષ્ઠ નેવિગેશન.

શક્તિ અભિવ્યક્તિઓ શું છે?

શબ્દ "શક્તિ અભિવ્યક્તિ" વ્યવહારીક રીતે શાળાના ગણિતના પાઠ્યપુસ્તકોમાં દેખાતો નથી, પરંતુ તે ઘણી વાર સમસ્યાઓના સંગ્રહમાં દેખાય છે, ખાસ કરીને તે યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા અને યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષાની તૈયારી માટે બનાવાયેલ છે, ઉદાહરણ તરીકે. જે કાર્યોમાં પાવર એક્સપ્રેશન્સ સાથે કોઈપણ ક્રિયાઓ કરવી જરૂરી છે તેનું પૃથ્થકરણ કર્યા પછી, તે સ્પષ્ટ થાય છે કે પાવર એક્સપ્રેશન્સ તેમની એન્ટ્રીઓમાં પાવર્સ ધરાવતી એક્સપ્રેશન તરીકે સમજવામાં આવે છે. તેથી, તમે તમારા માટે નીચેની વ્યાખ્યા સ્વીકારી શકો છો:

વ્યાખ્યા.

શક્તિ અભિવ્યક્તિઓશક્તિઓ ધરાવતી અભિવ્યક્તિઓ છે.

ચાલો આપીએ શક્તિ અભિવ્યક્તિઓનાં ઉદાહરણો. તદુપરાંત, અમે તેમને કુદરતી ઘાતાંક સાથેની ડિગ્રીથી વાસ્તવિક ઘાતાંક સાથે ડિગ્રી સુધીના દૃષ્ટિકોણનો વિકાસ કેવી રીતે થાય છે તે મુજબ રજૂ કરીશું.

જેમ જાણીતું છે, પ્રથમ વ્યક્તિ કુદરતી ઘાતાંક સાથે સંખ્યાની શક્તિથી પરિચિત થાય છે; આ તબક્કે, પ્રકાર 3 2, 7 5 +1, (2+1) 5, (−0.1) ની પ્રથમ સરળ શક્તિ અભિવ્યક્તિઓ 4, 3 a 2 દેખાય છે −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 વગેરે.

થોડી વાર પછી, પૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથે સંખ્યાની શક્તિનો અભ્યાસ કરવામાં આવે છે, જે નીચેની જેમ નકારાત્મક પૂર્ણાંક શક્તિઓ સાથે શક્તિ અભિવ્યક્તિના દેખાવ તરફ દોરી જાય છે: 3 −2, , a −2 +2 b −3 +c 2 .

ઉચ્ચ શાળામાં તેઓ ડિગ્રી પર પાછા ફરે છે. ત્યાં તર્કસંગત ઘાતાંક સાથેની ડિગ્રી રજૂ કરવામાં આવી છે, જે અનુરૂપ શક્તિ અભિવ્યક્તિઓના દેખાવને સમાવે છે: , , અને તેથી વધુ. છેલ્લે, અતાર્કિક ઘાતાંક અને તેમાં સમાવિષ્ટ અભિવ્યક્તિઓ સાથેની ડિગ્રી ગણવામાં આવે છે: , .

આ બાબત સૂચિબદ્ધ શક્તિ અભિવ્યક્તિઓ સુધી મર્યાદિત નથી: આગળ ચલ ઘાતાંકમાં પ્રવેશ કરે છે, અને, ઉદાહરણ તરીકે, નીચેના અભિવ્યક્તિઓ ઉદ્ભવે છે: 2 x 2 +1 અથવા . અને સાથે પરિચિત થયા પછી, શક્તિઓ અને લઘુગણક સાથેના અભિવ્યક્તિઓ દેખાવાનું શરૂ થાય છે, ઉદાહરણ તરીકે, x 2·lgx −5·x lgx.

તેથી, અમે પાવર અભિવ્યક્તિઓ શું રજૂ કરે છે તે પ્રશ્ન સાથે વ્યવહાર કર્યો છે. આગળ આપણે તેમને કન્વર્ટ કરવાનું શીખીશું.

પાવર એક્સપ્રેશનના રૂપાંતરણના મુખ્ય પ્રકાર

શક્તિ અભિવ્યક્તિઓ સાથે, તમે અભિવ્યક્તિઓનું કોઈપણ મૂળભૂત ઓળખ પરિવર્તન કરી શકો છો. ઉદાહરણ તરીકે, તમે કૌંસ ખોલી શકો છો, સંખ્યાત્મક સમીકરણોને તેમના મૂલ્યો સાથે બદલી શકો છો, સમાન શબ્દો ઉમેરી શકો છો, વગેરે. સ્વાભાવિક રીતે, આ કિસ્સામાં, ક્રિયાઓ કરવા માટે સ્વીકૃત પ્રક્રિયાને અનુસરવી જરૂરી છે. ચાલો ઉદાહરણો આપીએ.

ઉદાહરણ.

શક્તિ અભિવ્યક્તિ 2 3 ·(4 2 −12) ની કિંમતની ગણતરી કરો.

ઉકેલ.

ક્રિયાઓના અમલના ક્રમ અનુસાર, પ્રથમ કૌંસમાં ક્રિયાઓ કરો. ત્યાં, સૌપ્રથમ, આપણે પાવર 4 2 ને તેની કિંમત 16 સાથે બદલીએ છીએ (જો જરૂરી હોય તો, જુઓ), અને બીજું, આપણે તફાવત 16−12=4 ની ગણતરી કરીએ છીએ. અમારી પાસે 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4.

પરિણામી અભિવ્યક્તિમાં, આપણે પાવર 2 3 ને તેના મૂલ્ય 8 સાથે બદલીએ છીએ, જે પછી આપણે ઉત્પાદન 8·4=32 ની ગણતરી કરીએ છીએ. આ ઇચ્છિત મૂલ્ય છે.

તેથી, 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4=8·4=32.

જવાબ:

2 3 · (4 2 −12)=32.

ઉદાહરણ.

શક્તિઓ સાથે અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવો 3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7.

ઉકેલ.

દેખીતી રીતે, આ અભિવ્યક્તિમાં સમાન શબ્દો 3·a 4 ·b −7 અને 2·a 4 ·b −7 છે, અને અમે તેમને પ્રસ્તુત કરી શકીએ છીએ: .

જવાબ:

3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7 =5 a 4 b −7 −1.

ઉદાહરણ.

ઉત્પાદન તરીકે શક્તિઓ સાથે અભિવ્યક્તિ વ્યક્ત કરો.

ઉકેલ.

તમે નંબર 9 ને 3 2 ની શક્તિ તરીકે રજૂ કરીને અને પછી સંક્ષિપ્ત ગુણાકાર માટે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કાર્યનો સામનો કરી શકો છો - વર્ગોનો તફાવત:

જવાબ:

ખાસ કરીને પાવર એક્સપ્રેશનમાં અંતર્ગત સંખ્યાબંધ સમાન પરિવર્તનો પણ છે. અમે તેમનું વધુ વિશ્લેષણ કરીશું.

આધાર અને ઘાતાંક સાથે કામ કરવું

એવી ડિગ્રીઓ છે જેનો આધાર અને/અથવા ઘાતાંક માત્ર સંખ્યાઓ અથવા ચલ નથી, પરંતુ કેટલાક સમીકરણો છે. ઉદાહરણ તરીકે, અમે એન્ટ્રીઓ આપીએ છીએ (2+0.3·7) 5−3.7 અને (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) .

આવા સમીકરણો સાથે કામ કરતી વખતે, તમે ડિગ્રીના પાયામાંની અભિવ્યક્તિ અને ઘાતાંકમાંના અભિવ્યક્તિને તેના ચલોના ODZ માં સમાન સમાન અભિવ્યક્તિ સાથે બદલી શકો છો. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, અમને જાણીતા નિયમો અનુસાર, અમે ડિગ્રીના આધારને અને ઘાતાંકને અલગથી રૂપાંતરિત કરી શકીએ છીએ. તે સ્પષ્ટ છે કે આ પરિવર્તનના પરિણામે, એક અભિવ્યક્તિ પ્રાપ્ત થશે જે મૂળ સમાન સમાન છે.

આવા પરિવર્તનો આપણને શક્તિઓ સાથે અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવવા અથવા આપણને જોઈતા અન્ય ધ્યેયો પ્રાપ્ત કરવા દે છે. ઉદાહરણ તરીકે, ઉપર દર્શાવેલ પાવર એક્સપ્રેશનમાં (2+0.3 7) 5−3.7, તમે આધાર અને ઘાતાંકની સંખ્યાઓ સાથે કામગીરી કરી શકો છો, જે તમને પાવર 4.1 1.3 પર જવા દેશે. અને કૌંસ ખોલ્યા પછી અને સમાન શબ્દોને ડિગ્રી (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) ના પાયા પર લાવ્યા પછી, આપણે 2·(x+)ના સરળ સ્વરૂપની શક્તિ અભિવ્યક્તિ મેળવીએ છીએ. 1).

ડિગ્રી પ્રોપર્ટીઝનો ઉપયોગ કરવો

અભિવ્યક્તિને શક્તિઓ સાથે રૂપાંતરિત કરવા માટેનું એક મુખ્ય સાધન સમાનતા છે જે પ્રતિબિંબિત કરે છે. ચાલો મુખ્યને યાદ કરીએ. કોઈપણ સકારાત્મક સંખ્યાઓ a અને b અને મનસ્વી વાસ્તવિક સંખ્યાઓ r અને s માટે, શક્તિઓના નીચેના ગુણધર્મો સાચા છે:

• a r ·a s =a r+s ;
• a r:a s =a r−s ;
• (a·b) r =a r ·b r ;
• (a:b) r =a r:b r ;
• (a r) s =a rs·s .

નોંધ કરો કે કુદરતી, પૂર્ણાંક અને ધન ઘાતાંક માટે, સંખ્યાઓ a અને b પરના નિયંત્રણો એટલા કડક ન હોઈ શકે. ઉદાહરણ તરીકે, કુદરતી સંખ્યાઓ m અને n સમાનતા માટે a m ·a n =a m+n માત્ર ધન a માટે જ નહીં, પણ ઋણ a અને a=0 માટે પણ સાચું છે.

શાળામાં, શક્તિના અભિવ્યક્તિઓનું પરિવર્તન કરતી વખતે મુખ્ય ધ્યાન યોગ્ય ગુણધર્મ પસંદ કરવાની અને તેને યોગ્ય રીતે લાગુ કરવાની ક્ષમતા પર હોય છે. આ કિસ્સામાં, ડિગ્રીના પાયા સામાન્ય રીતે હકારાત્મક હોય છે, જે ડિગ્રીના ગુણધર્મોને પ્રતિબંધો વિના ઉપયોગમાં લેવાની મંજૂરી આપે છે. આ જ શક્તિઓના પાયામાં ચલો ધરાવતા અભિવ્યક્તિઓના પરિવર્તનને લાગુ પડે છે - ચલોના અનુમતિપાત્ર મૂલ્યોની શ્રેણી સામાન્ય રીતે એવી હોય છે કે પાયા તેના પર ફક્ત હકારાત્મક મૂલ્યો લે છે, જે તમને શક્તિના ગુણધર્મોનો મુક્તપણે ઉપયોગ કરવાની મંજૂરી આપે છે. . સામાન્ય રીતે, તમારે તમારી જાતને સતત પૂછવાની જરૂર છે કે શું આ કિસ્સામાં ડિગ્રીની કોઈપણ મિલકતનો ઉપયોગ કરવો શક્ય છે, કારણ કે ગુણધર્મોનો અચોક્કસ ઉપયોગ શૈક્ષણિક મૂલ્ય અને અન્ય મુશ્કેલીઓમાં ઘટાડો તરફ દોરી શકે છે. ડિગ્રીના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને અભિવ્યક્તિઓના રૂપાંતરણ લેખમાં આ મુદ્દાઓની વિગતવાર અને ઉદાહરણો સાથે ચર્ચા કરવામાં આવી છે. અહીં આપણે થોડા સરળ ઉદાહરણોને ધ્યાનમાં લેવા માટે પોતાને મર્યાદિત કરીશું.

ઉદાહરણ.

અભિવ્યક્તિ a 2.5 ·(a 2) −3:a −5.5 ને આધાર a સાથે ઘાત તરીકે વ્યક્ત કરો.

ઉકેલ.

પ્રથમ, આપણે બીજા અવયવ (a 2) −3 ને પાવરમાં વધારવાની ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને રૂપાંતરિત કરીએ છીએ: (a 2) −3 =a 2·(−3) =a −6. મૂળ શક્તિ અભિવ્યક્તિ 2.5 ·a −6:a −5.5 સ્વરૂપ લેશે. દેખીતી રીતે, તે સમાન આધાર સાથે શક્તિઓના ગુણાકાર અને વિભાજનના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરવાનું બાકી છે, અમારી પાસે
a 2.5 ·a −6:a −5.5 =
a 2.5−6:a −5.5 =a −3.5:a −5.5 =
a −3.5−(−5.5) =a 2 .

જવાબ:

a 2.5 ·(a 2) −3:a −5.5 =a 2.

પાવર એક્સપ્રેશનને રૂપાંતરિત કરતી વખતે પાવરના ગુણધર્મો ડાબેથી જમણે અને જમણેથી ડાબે બંનેનો ઉપયોગ થાય છે.

ઉદાહરણ.

શક્તિ અભિવ્યક્તિનું મૂલ્ય શોધો.

ઉકેલ.

સમાનતા (a·b) r =a r·b r, જે જમણેથી ડાબે લાગુ પડે છે, તે આપણને મૂળ અભિવ્યક્તિમાંથી ફોર્મના ઉત્પાદનમાં અને આગળ જવા દે છે. અને જ્યારે સમાન આધારો સાથે શક્તિઓનો ગુણાકાર કરવામાં આવે છે, ત્યારે ઘાતાંકનો ઉમેરો થાય છે: .

મૂળ અભિવ્યક્તિને બીજી રીતે રૂપાંતરિત કરવું શક્ય હતું:

જવાબ:

.

ઉદાહરણ.

પાવર એક્સપ્રેશનને 1.5 −a 0.5 −6 જોતાં, એક નવું ચલ t=a 0.5 રજૂ કરો.

ઉકેલ.

ડિગ્રી a 1.5 ને 0.5 3 તરીકે રજૂ કરી શકાય છે અને પછી, ડિગ્રી (a r) s =a r s સુધીની ડિગ્રીની મિલકતના આધારે, જમણેથી ડાબે લાગુ કરીને, તેને ફોર્મ (a 0.5) 3 માં પરિવર્તિત કરો. આમ, a 1.5 −a 0.5 −6=(a 0.5) 3 −a 0.5 −6. હવે નવું ચલ t=a 0.5 રજૂ કરવું સરળ છે, આપણને t 3 −t−6 મળે છે.

જવાબ:

t 3 −t−6 .

શક્તિઓ ધરાવતા અપૂર્ણાંકનું રૂપાંતર

પાવર અભિવ્યક્તિઓ શક્તિઓ સાથે અપૂર્ણાંકને સમાવી શકે છે અથવા તેનું પ્રતિનિધિત્વ કરી શકે છે. અપૂર્ણાંકના કોઈપણ મૂળભૂત પરિવર્તનો જે કોઈપણ પ્રકારના અપૂર્ણાંકમાં સહજ હોય ​​છે તે આવા અપૂર્ણાંકોને સંપૂર્ણપણે લાગુ પડે છે. એટલે કે, અપૂર્ણાંક કે જેમાં શક્તિઓ હોય છે તે ઘટાડી શકાય છે, નવા છેદમાં ઘટાડી શકાય છે, તેમના અંશ સાથે અલગથી અને છેદ સાથે અલગથી કામ કરી શકાય છે, વગેરે. આ શબ્દોને સમજાવવા માટે, કેટલાક ઉદાહરણોના ઉકેલોનો વિચાર કરો.

ઉદાહરણ.

શક્તિ અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવો .

ઉકેલ.

આ શક્તિ અભિવ્યક્તિ એક અપૂર્ણાંક છે. ચાલો તેના અંશ અને છેદ સાથે કામ કરીએ. અંશમાં આપણે કૌંસ ખોલીએ છીએ અને સત્તાના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને પરિણામી અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવીએ છીએ, અને છેદમાં આપણે સમાન શબ્દો રજૂ કરીએ છીએ:

અને ચાલો અપૂર્ણાંકની સામે માઈનસ મૂકીને છેદનું ચિહ્ન પણ બદલીએ: .

જવાબ:

.

નવા છેદમાં શક્તિઓ ધરાવતા અપૂર્ણાંકને ઘટાડવું એ જ રીતે નવા છેદમાં તર્કસંગત અપૂર્ણાંકને ઘટાડવાની જેમ જ હાથ ધરવામાં આવે છે. આ કિસ્સામાં, એક વધારાનું પરિબળ પણ જોવા મળે છે અને અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદને તેના દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે છે. આ ક્રિયા કરતી વખતે, તે યાદ રાખવું યોગ્ય છે કે નવા છેદમાં ઘટાડો VA ના સંકુચિતતા તરફ દોરી શકે છે. આવું ન થાય તે માટે, તે જરૂરી છે કે મૂળ અભિવ્યક્તિ માટે ODZ ચલોમાંથી ચલોના કોઈપણ મૂલ્યો માટે વધારાનું પરિબળ શૂન્યમાં ન જાય.

ઉદાહરણ.

અપૂર્ણાંકને નવા છેદમાં ઘટાડો: a) છેદ a, b) છેદ માટે.

ઉકેલ.

a) આ કિસ્સામાં, ઇચ્છિત પરિણામ હાંસલ કરવામાં કયો વધારાનો ગુણક મદદ કરે છે તે શોધવાનું એકદમ સરળ છે. આ 0.3 નો ગુણક છે, કારણ કે 0.7 ·a 0.3 =a 0.7+0.3 =a. નોંધ કરો કે ચલ a (આ તમામ હકારાત્મક વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો સમૂહ છે) ના અનુમતિપાત્ર મૂલ્યોની શ્રેણીમાં, 0.3 ની શક્તિ અદૃશ્ય થતી નથી, તેથી, અમને આપેલના અંશ અને છેદનો ગુણાકાર કરવાનો અધિકાર છે. આ વધારાના પરિબળ દ્વારા અપૂર્ણાંક:

b) છેદને નજીકથી જોતાં, તમને તે મળશે

અને આ અભિવ્યક્તિને વડે ગુણાકાર કરવાથી સમઘનનો સરવાળો મળશે અને , એટલે કે . અને આ નવો છેદ છે જેમાં આપણે મૂળ અપૂર્ણાંકને ઘટાડવાની જરૂર છે.

આ રીતે અમને એક વધારાનું પરિબળ મળ્યું. x અને y ચલોના અનુમતિપાત્ર મૂલ્યોની શ્રેણીમાં, અભિવ્યક્તિ અદૃશ્ય થતી નથી, તેથી, આપણે તેના દ્વારા અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદનો ગુણાકાર કરી શકીએ છીએ:

જવાબ:

અ) , b) .

શક્તિઓ ધરાવતા અપૂર્ણાંકને ઘટાડવામાં પણ કંઈ નવું નથી: અંશ અને છેદને સંખ્યાબંધ પરિબળો તરીકે રજૂ કરવામાં આવે છે, અને અંશ અને છેદના સમાન પરિબળોને ઘટાડવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ.

અપૂર્ણાંક ઘટાડો: a) , b).

ઉકેલ.

a) પ્રથમ, અંશ અને છેદને 30 અને 45 નંબરોથી ઘટાડી શકાય છે, જે 15 ની બરાબર છે. x 0.5 +1 અને દ્વારા ઘટાડો કરવાનું પણ દેખીતી રીતે શક્ય છે . અમારી પાસે જે છે તે અહીં છે:

b) આ કિસ્સામાં, અંશ અને છેદમાં સમાન પરિબળો તરત જ દેખાતા નથી. તેમને મેળવવા માટે, તમારે પ્રારંભિક પરિવર્તનો કરવા પડશે. આ કિસ્સામાં, તેઓ સ્ક્વેર ફોર્મ્યુલાના તફાવતનો ઉપયોગ કરીને છેદને ફેક્ટરિંગમાં સમાવે છે:

જવાબ:

અ)

b) .

અપૂર્ણાંકને નવા છેદમાં રૂપાંતરિત કરવા અને અપૂર્ણાંકને ઘટાડવાનો ઉપયોગ મુખ્યત્વે અપૂર્ણાંક સાથે વસ્તુઓ કરવા માટે થાય છે. ક્રિયાઓ જાણીતા નિયમો અનુસાર કરવામાં આવે છે. અપૂર્ણાંકો ઉમેરતી વખતે (બાદબાકી) તેઓ સામાન્ય છેદમાં ઘટાડવામાં આવે છે, જે પછી અંશ ઉમેરવામાં આવે છે (બાદબાકી), પરંતુ છેદ સમાન રહે છે. પરિણામ એ એક અપૂર્ણાંક છે જેનો અંશ એ અંશનો ગુણાંક છે, અને છેદ એ છેદનું ઉત્પાદન છે. અપૂર્ણાંક દ્વારા ભાગાકાર તેના વ્યસ્ત વડે ગુણાકાર છે.

ઉદાહરણ.

પગલાંઓ અનુસરો .

ઉકેલ.

પ્રથમ, આપણે કૌંસમાંના અપૂર્ણાંકોને બાદ કરીએ. આ કરવા માટે, અમે તેમને એક સામાન્ય છેદ પર લાવીએ છીએ, જે છે , જે પછી આપણે અંશ બાદ કરીએ છીએ:

હવે આપણે અપૂર્ણાંકોનો ગુણાકાર કરીએ છીએ:

દેખીતી રીતે, x 1/2 ની શક્તિ દ્વારા ઘટાડવાનું શક્ય છે, જે પછી આપણી પાસે છે .

તમે ચોરસ સૂત્રના તફાવતનો ઉપયોગ કરીને છેદમાં શક્તિ અભિવ્યક્તિને પણ સરળ બનાવી શકો છો: .

જવાબ:

ઉદાહરણ.

પાવર એક્સપ્રેશનને સરળ બનાવો .

ઉકેલ.

દેખીતી રીતે, આ અપૂર્ણાંક (x 2.7 +1) 2 દ્વારા ઘટાડી શકાય છે, આ અપૂર્ણાંક આપે છે . તે સ્પષ્ટ છે કે X ની શક્તિઓ સાથે કંઈક બીજું કરવાની જરૂર છે. આ કરવા માટે, અમે પરિણામી અપૂર્ણાંકને ઉત્પાદનમાં રૂપાંતરિત કરીએ છીએ. આ અમને સમાન પાયા સાથે વિભાજન શક્તિઓની મિલકતનો લાભ લેવાની તક આપે છે: . અને પ્રક્રિયાના અંતે આપણે છેલ્લા ઉત્પાદનમાંથી અપૂર્ણાંક તરફ જઈએ છીએ.

જવાબ:

.

અને ચાલો એ પણ ઉમેરીએ કે ઘાતાંકની નિશાની બદલીને, અંશમાંથી છેદમાં અથવા છેદમાંથી અંશમાં નકારાત્મક ઘાતાંકવાળા પરિબળોને સ્થાનાંતરિત કરવું શક્ય છે, અને ઘણા કિસ્સાઓમાં ઇચ્છનીય છે. આવા પરિવર્તનો ઘણીવાર આગળની ક્રિયાઓને સરળ બનાવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, પાવર અભિવ્યક્તિ દ્વારા બદલી શકાય છે.

મૂળ અને શક્તિઓ સાથે અભિવ્યક્તિઓનું રૂપાંતર

ઘણીવાર, અભિવ્યક્તિમાં જેમાં કેટલાક રૂપાંતર જરૂરી હોય છે, અપૂર્ણાંક ઘાતાંકવાળા મૂળ પણ શક્તિઓ સાથે હાજર હોય છે. આવા અભિવ્યક્તિને ઇચ્છિત સ્વરૂપમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે, મોટા ભાગના કિસ્સાઓમાં તે ફક્ત મૂળ અથવા ફક્ત શક્તિઓ પર જવાનું પૂરતું છે. પરંતુ સત્તાઓ સાથે કામ કરવું વધુ અનુકૂળ હોવાથી, તેઓ સામાન્ય રીતે મૂળથી સત્તા તરફ જાય છે. જો કે, જ્યારે મૂળ અભિવ્યક્તિ માટેના ચલોના ODZ તમને મોડ્યુલનો સંદર્ભ લીધા વિના અથવા ODZ ને કેટલાક અંતરાલોમાં વિભાજિત કર્યા વિના મૂળને સત્તા સાથે બદલવાની મંજૂરી આપે છે ત્યારે આવા સંક્રમણને હાથ ધરવા સલાહ આપવામાં આવે છે (અમે આમાં વિગતવાર ચર્ચા કરી છે. લેખ મૂળમાંથી સત્તામાં અને પાછા સંક્રમણ અભ્યાસ ઘાતાંકીય કાર્ય, જે વિશ્લેષણાત્મક રીતે પાવર દ્વારા આપવામાં આવે છે, જેનો આધાર સંખ્યા છે અને ઘાતાંક ચલ છે. તેથી આપણે પાવરના પાયામાં સંખ્યાઓ ધરાવતા પાવર અભિવ્યક્તિઓનો સામનો કરીએ છીએ, અને ઘાતાંકમાં - ચલો સાથેના અભિવ્યક્તિઓ, અને સ્વાભાવિક રીતે આવા અભિવ્યક્તિઓનું રૂપાંતર કરવાની જરૂરિયાત ઊભી થાય છે.

એવું કહેવું જોઈએ કે સૂચવેલ પ્રકારનાં અભિવ્યક્તિઓનું રૂપાંતર સામાન્ય રીતે ઉકેલતી વખતે કરવામાં આવે છે ઘાતાંકીય સમીકરણોઅને ઘાતાંકીય અસમાનતાઓ, અને આ રૂપાંતરણો એકદમ સરળ છે. મોટા ભાગના કિસ્સાઓમાં, તેઓ ડિગ્રીના ગુણધર્મો પર આધારિત હોય છે અને મોટાભાગે ભવિષ્યમાં એક નવું ચલ રજૂ કરવાનું લક્ષ્ય રાખે છે. સમીકરણ અમને તેમને દર્શાવવા માટે પરવાનગી આપશે 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

સૌપ્રથમ, સત્તાઓ, જેના ઘાતાંકમાં ચોક્કસ ચલ (અથવા ચલ સાથેની અભિવ્યક્તિ) અને સંખ્યાનો સરવાળો હોય છે, તેને ઉત્પાદનો દ્વારા બદલવામાં આવે છે. આ ડાબી બાજુના અભિવ્યક્તિના પ્રથમ અને છેલ્લા શબ્દોને લાગુ પડે છે:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

આગળ, સમાનતાની બંને બાજુઓને અભિવ્યક્તિ 7 2 x દ્વારા વિભાજિત કરવામાં આવે છે, જે મૂળ સમીકરણ માટે x ચલના ODZ પર માત્ર હકારાત્મક મૂલ્યો લે છે (આ પ્રકારના સમીકરણોને ઉકેલવા માટેની આ એક પ્રમાણભૂત તકનીક છે, અમે નથી હવે તેના વિશે વાત કરી રહ્યા છીએ, તેથી શક્તિઓ સાથે અભિવ્યક્તિઓના અનુગામી પરિવર્તન પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરો ):

હવે આપણે શક્તિઓ સાથે અપૂર્ણાંકને રદ કરી શકીએ છીએ, જે આપે છે .

અંતે, સમાન ઘાતાંક સાથેની શક્તિઓનો ગુણોત્તર સંબંધોની શક્તિઓ દ્વારા બદલવામાં આવે છે, પરિણામે સમીકરણ , જે સમકક્ષ છે . કરેલા પરિવર્તનો આપણને એક નવું ચલ રજૂ કરવાની મંજૂરી આપે છે, જે મૂળ ઘાતાંકીય સમીકરણના ઉકેલને ચતુર્ભુજ સમીકરણના ઉકેલમાં ઘટાડે છે.

આઇ.વી. બોયકોવ, એલ.ડી. રોમાનોવાયુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષાની તૈયારી માટે કાર્યોનો સંગ્રહ. ભાગ 1. પેન્ઝા 2003.

શા માટે ડિગ્રીની જરૂર છે?

તમને તેમની ક્યાં જરૂર પડશે?

તમારે તેમનો અભ્યાસ કરવા શા માટે સમય કાઢવો જોઈએ?

ડીગ્રીઓ વિશે બધું જાણવા માટે, આ લેખ વાંચો.

અને, અલબત્ત, ડિગ્રીઓનું જ્ઞાન તમને યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા સફળતાપૂર્વક પાસ કરવાની નજીક લાવશે.

અને તમારા સપનાની યુનિવર્સિટીમાં પ્રવેશ માટે!

ચાલો જઈએ... (ચાલો જઈએ!)

પ્રથમ સ્તર

ઘાત એ સરવાળો, બાદબાકી, ગુણાકાર અથવા ભાગાકારની જેમ જ ગાણિતિક ક્રિયા છે.

હવે હું ખૂબ જ સરળ ઉદાહરણોનો ઉપયોગ કરીને માનવ ભાષામાં બધું સમજાવીશ. સાવચેત રહો. ઉદાહરણો પ્રાથમિક છે, પરંતુ મહત્વની બાબતો સમજાવો.

ચાલો ઉમેરા સાથે પ્રારંભ કરીએ.

અહીં સમજાવવા માટે કંઈ નથી. તમે પહેલાથી જ બધું જાણો છો: અમારામાંથી આઠ છે. દરેક પાસે કોલાની બે બોટલ છે. ત્યાં કેટલા કોલા છે? તે સાચું છે - 16 બોટલ.

હવે ગુણાકાર.

કોલા સાથેનું સમાન ઉદાહરણ અલગ રીતે લખી શકાય છે: . ગણિતશાસ્ત્રીઓ ઘડાયેલું અને આળસુ લોકો છે. તેઓ પ્રથમ કેટલીક પેટર્નની નોંધ લે છે અને પછી તેમને ઝડપથી "ગણતરી" કરવાની રીત શોધે છે. અમારા કિસ્સામાં, તેઓએ નોંધ્યું કે આઠ લોકોમાંથી દરેક પાસે સમાન સંખ્યામાં કોલા બોટલો હતી અને તેઓ ગુણાકાર નામની તકનીક સાથે આવ્યા હતા. સંમત થાઓ, તે કરતાં વધુ સરળ અને ઝડપી ગણવામાં આવે છે.

તેથી, ઝડપી, સરળ અને ભૂલો વિના ગણતરી કરવા માટે, તમારે ફક્ત યાદ રાખવાની જરૂર છે ગુણાકાર કોષ્ટક. અલબત્ત, તમે બધું ધીમી, વધુ મુશ્કેલ અને ભૂલો સાથે કરી શકો છો! પણ…

અહીં ગુણાકાર કોષ્ટક છે. પુનરાવર્તન કરો.

અને બીજું, વધુ સુંદર:

આળસુ ગણિતશાસ્ત્રીઓ પાસે ગણતરીની બીજી કઈ ચતુર યુક્તિઓ છે? જમણે - સંખ્યાને શક્તિમાં વધારવી.

સંખ્યાને ઘાતમાં વધારવી

જો તમારે કોઈ સંખ્યાને પોતાના દ્વારા પાંચ વખત ગુણાકાર કરવાની જરૂર હોય, તો ગણિતશાસ્ત્રીઓ કહે છે કે તમારે તે સંખ્યાને પાંચમી ઘાત સુધી વધારવાની જરૂર છે. દાખ્લા તરીકે, . ગણિતશાસ્ત્રીઓ યાદ રાખે છે કે બેથી પાંચમી શક્તિ... અને તેઓ આવી સમસ્યાઓ તેમના માથામાં હલ કરે છે - ઝડપી, સરળ અને ભૂલો વિના.

તમારે ફક્ત એટલું જ કરવાની જરૂર છે સંખ્યાઓની શક્તિઓના કોષ્ટકમાં રંગમાં શું પ્રકાશિત થયેલ છે તે યાદ રાખો. મારો વિશ્વાસ કરો, આ તમારા જીવનને ઘણું સરળ બનાવશે.

માર્ગ દ્વારા, તેને બીજી ડિગ્રી કેમ કહેવામાં આવે છે? ચોરસસંખ્યાઓ, અને ત્રીજું - સમઘન? તેનો અર્થ શું છે? ખૂબ જ સારો પ્રશ્ન. હવે તમારી પાસે ચોરસ અને સમઘન બંને હશે.

વાસ્તવિક જીવન ઉદાહરણ #1

ચાલો ચોરસ અથવા સંખ્યાની બીજી ઘાતથી શરૂઆત કરીએ.

એક મીટર બાય એક મીટરના ચોરસ પૂલની કલ્પના કરો. પૂલ તમારા dacha પર છે. તે ગરમ છે અને હું ખરેખર તરવા માંગુ છું. પણ... પૂલનું કોઈ તળિયું નથી! તમારે પૂલના તળિયે ટાઇલ્સ સાથે આવરી લેવાની જરૂર છે. તમને કેટલી ટાઇલ્સની જરૂર છે? આને નિર્ધારિત કરવા માટે, તમારે પૂલના નીચેના વિસ્તારને જાણવાની જરૂર છે.

તમે તમારી આંગળી દર્શાવીને ગણતરી કરી શકો છો કે પૂલના તળિયે મીટર બાય મીટર ક્યુબ્સનો સમાવેશ થાય છે. જો તમારી પાસે એક મીટર બાય એક મીટરની ટાઇલ્સ હોય, તો તમારે ટુકડાઓની જરૂર પડશે. તે સરળ છે... પણ તમે આવી ટાઇલ્સ ક્યાં જોઈ છે? ટાઇલ મોટે ભાગે સેમી બાય સેમી હશે. અને પછી તમને "તમારી આંગળીથી ગણીને" ત્રાસ આપવામાં આવશે. પછી તમારે ગુણાકાર કરવો પડશે. તેથી, પૂલના તળિયે એક બાજુ અમે ટાઇલ્સ (ટુકડાઓ) અને બીજી બાજુ, પણ, ટાઇલ્સ ફિટ કરીશું. દ્વારા ગુણાકાર કરો અને તમને ટાઇલ્સ () મળે છે.

શું તમે નોંધ્યું છે કે પૂલના તળિયેનો વિસ્તાર નક્કી કરવા માટે આપણે સમાન સંખ્યાને જાતે જ ગુણાકાર કર્યો છે? તેનો અર્થ શું છે? આપણે એક જ સંખ્યાનો ગુણાકાર કરતા હોવાથી, આપણે "ઘાત" તકનીકનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ. (અલબત્ત, જ્યારે તમારી પાસે માત્ર બે સંખ્યાઓ હોય, તો પણ તમારે તેમને ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે અથવા તેમને ઘાત સુધી વધારવાની જરૂર છે. પરંતુ જો તમારી પાસે સંખ્યાબંધ સંખ્યાઓ હોય, તો પછી તેમને ઘાતમાં વધારો કરવો વધુ સરળ છે અને ગણતરીમાં પણ ઓછી ભૂલો છે. યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા માટે, આ ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે).
તેથી, ત્રીસથી બીજી ઘાત () હશે. અથવા આપણે કહી શકીએ કે ત્રીસ ચોરસ હશે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, સંખ્યાની બીજી શક્તિ હંમેશા વર્ગ તરીકે રજૂ કરી શકાય છે. અને તેનાથી વિપરિત, જો તમે ચોરસ જુઓ છો, તો તે હંમેશા અમુક સંખ્યાની બીજી શક્તિ છે. ચોરસ એ સંખ્યાની બીજી શક્તિની છબી છે.

વાસ્તવિક જીવન ઉદાહરણ #2

અહીં તમારા માટે એક કાર્ય છે: સંખ્યાના વર્ગનો ઉપયોગ કરીને ચેસબોર્ડ પર કેટલા ચોરસ છે તેની ગણતરી કરો... કોષોની એક બાજુ અને બીજી બાજુ પણ. તેમની સંખ્યાની ગણતરી કરવા માટે, તમારે આઠને આઠ વડે ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે અથવા... જો તમે જોયું કે ચેસબોર્ડ એ બાજુ સાથેનો ચોરસ છે, તો તમે આઠનો વર્ગ કરી શકો છો. તમને કોષો મળશે. () તો?

વાસ્તવિક જીવન ઉદાહરણ #3

હવે ઘન અથવા સંખ્યાની ત્રીજી ઘાત. એ જ પૂલ. પરંતુ હવે તમારે એ શોધવાની જરૂર છે કે આ પૂલમાં કેટલું પાણી રેડવું પડશે. તમારે વોલ્યુમની ગણતરી કરવાની જરૂર છે. (વોલ્યુમ્સ અને પ્રવાહી, માર્ગ દ્વારા, ક્યુબિક મીટરમાં માપવામાં આવે છે. અણધારી, બરાબર?) એક પૂલ દોરો: તળિયે કદમાં એક મીટર અને એક મીટર ઊંડો છે, અને ગણતરી કરવાનો પ્રયાસ કરો કે એક મીટર દ્વારા મીટરને માપવાથી કેટલા ક્યુબ્સ થશે. તમારા પૂલમાં ફિટ થાઓ.

ફક્ત તમારી આંગળી ચીંધો અને ગણતરી કરો! એક, બે, ત્રણ, ચાર... બાવીસ, ત્રેવીસ... તમને કેટલા મળ્યા? હારી નથી? શું તમારી આંગળીથી ગણતરી કરવી મુશ્કેલ છે? તેથી તે! ગણિતશાસ્ત્રીઓ પાસેથી એક ઉદાહરણ લો. તેઓ આળસુ છે, તેથી તેઓએ જોયું કે પૂલના જથ્થાની ગણતરી કરવા માટે, તમારે તેની લંબાઈ, પહોળાઈ અને ઊંચાઈને એકબીજાથી ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે. અમારા કિસ્સામાં, પૂલનું પ્રમાણ ક્યુબ્સ જેટલું હશે... સરળ, બરાબર ને?

હવે કલ્પના કરો કે જો તેઓ આને પણ સરળ બનાવે તો કેટલા આળસુ અને ઘડાયેલું ગણિતશાસ્ત્રીઓ હશે. અમે બધું એક ક્રિયામાં ઘટાડી દીધું. તેઓએ નોંધ્યું કે લંબાઈ, પહોળાઈ અને ઊંચાઈ સમાન છે અને તે જ સંખ્યાને પોતાના દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે છે... આનો અર્થ શું છે? આનો અર્થ એ કે તમે ડિગ્રીનો લાભ લઈ શકો છો. તેથી, તમે એકવાર તમારી આંગળીથી જે ગણ્યું છે, તે એક ક્રિયામાં કરે છે: ત્રણ ઘન સમાન છે. તે આ રીતે લખાયેલ છે: .

જે બાકી છે તે છે ડિગ્રીનું ટેબલ યાદ રાખો. જ્યાં સુધી, અલબત્ત, તમે ગણિતશાસ્ત્રીઓ જેટલા આળસુ અને ઘડાયેલું નથી. જો તમને સખત મહેનત કરવી અને ભૂલો કરવી ગમે છે, તો તમે તમારી આંગળીએ ગણતરી કરવાનું ચાલુ રાખી શકો છો.

ઠીક છે, આખરે તમને ખાતરી આપવા માટે કે ડિગ્રીની શોધ છોડી દેનારા અને ચાલાક લોકો દ્વારા તેમના જીવનની સમસ્યાઓ હલ કરવા માટે કરવામાં આવી હતી, અને તમારા માટે સમસ્યાઓ ઊભી કરવા માટે નહીં, અહીં જીવનમાંથી કેટલાક વધુ ઉદાહરણો છે.

વાસ્તવિક જીવન ઉદાહરણ #4

તમારી પાસે એક મિલિયન રુબેલ્સ છે. દરેક વર્ષની શરૂઆતમાં, તમે બનાવેલા દરેક મિલિયન માટે, તમે બીજા મિલિયન કરો છો. એટલે કે, દર મિલિયન તમારી પાસે દર વર્ષની શરૂઆતમાં ડબલ્સ છે. વર્ષોમાં તમારી પાસે કેટલા પૈસા હશે? જો તમે અત્યારે બેઠા છો અને "આંગળીથી ગણી રહ્યા છો," તો તમે ખૂબ જ મહેનતુ વ્યક્તિ છો અને... મૂર્ખ છો. પરંતુ મોટે ભાગે તમે થોડી સેકંડમાં જવાબ આપશો, કારણ કે તમે સ્માર્ટ છો! તો, પહેલા વર્ષમાં - બેને બે વડે ગુણાકાર... બીજા વર્ષે - શું થયું, વધુ બે વડે, ત્રીજા વર્ષે... રોકો! તમે નોંધ્યું છે કે સંખ્યા પોતે જ વખતથી ગુણાકાર થાય છે. તો બેથી પાંચમી ઘાત એટલે લાખો! હવે કલ્પના કરો કે તમારી પાસે સ્પર્ધા છે અને જે સૌથી ઝડપી ગણી શકે છે તેને આ લાખો મળશે... સંખ્યાઓની શક્તિઓ યાદ રાખવા યોગ્ય છે, તમને નથી લાગતું?

વાસ્તવિક જીવન ઉદાહરણ #5

તમારી પાસે એક મિલિયન છે. દર વર્ષની શરૂઆતમાં, તમે કમાતા દરેક મિલિયન માટે, તમે વધુ બે કમાઓ છો. મહાન તે નથી? દરેક મિલિયન ત્રણ ગણો છે. એક વર્ષમાં તમારી પાસે કેટલા પૈસા હશે? ચાલો ગણતરી કરીએ. પ્રથમ વર્ષ - દ્વારા ગુણાકાર કરો, પછી બીજા દ્વારા પરિણામ... તે પહેલેથી જ કંટાળાજનક છે, કારણ કે તમે પહેલાથી જ બધું સમજી ગયા છો: ત્રણનો ગુણાકાર પોતે જ વખત થાય છે. તો ચોથી ઘાત માટે તે એક મિલિયન બરાબર છે. તમારે ફક્ત યાદ રાખવું પડશે કે ત્રણથી ચોથી શક્તિ છે અથવા.

હવે તમે જાણો છો કે સંખ્યાને શક્તિમાં વધારીને તમે તમારું જીવન ઘણું સરળ બનાવશો. ચાલો તમે ડિગ્રીઓ સાથે શું કરી શકો અને તેના વિશે તમારે શું જાણવાની જરૂર છે તેના પર વધુ એક નજર કરીએ.

શરતો અને ખ્યાલો... જેથી મૂંઝવણમાં ન આવે

તેથી, પ્રથમ, ચાલો ખ્યાલોને વ્યાખ્યાયિત કરીએ. તમે શુ વિચારો છો, તમને શુ લાગે છે, ઘાતાંક શું છે? તે ખૂબ જ સરળ છે - તે સંખ્યા છે જે સંખ્યાની શક્તિની "ટોચ પર" છે. વૈજ્ઞાનિક નથી, પરંતુ સ્પષ્ટ અને યાદ રાખવામાં સરળ...

સારું, તે જ સમયે, શું આવી ડિગ્રીના આધારે? તેનાથી પણ સરળ - આ તે નંબર છે જે નીચે, આધાર પર સ્થિત છે.

સારા માપ માટે અહીં એક ચિત્ર છે.

સારું, સામાન્ય શબ્દોમાં, સામાન્યીકરણ અને વધુ સારી રીતે યાદ રાખવા માટે... આધાર “” અને ઘાતાંક “” સાથેની ડિગ્રીને “ટુ ડિગ્રી” તરીકે વાંચવામાં આવે છે અને નીચે પ્રમાણે લખવામાં આવે છે:

કુદરતી ઘાત સાથે સંખ્યાની શક્તિ

તમે કદાચ પહેલેથી જ અનુમાન લગાવ્યું હશે: કારણ કે ઘાતાંક એ કુદરતી સંખ્યા છે. હા, પણ તે શું છે કુદરતી સંખ્યા? પ્રાથમિક! કુદરતી સંખ્યાઓ તે સંખ્યાઓ છે જેનો ઉપયોગ વસ્તુઓની યાદી કરતી વખતે ગણતરીમાં થાય છે: એક, બે, ત્રણ... જ્યારે આપણે વસ્તુઓની ગણતરી કરીએ છીએ, ત્યારે આપણે એમ નથી કહેતા: “માઈનસ પાંચ,” “માઈનસ સિક્સ,” “માઈનસ સાત.” અમે એમ પણ નથી કહેતા: "એક તૃતીયાંશ", અથવા "શૂન્ય બિંદુ પાંચ". આ કુદરતી સંખ્યાઓ નથી. તમને લાગે છે કે આ કયા નંબરો છે?

“માઈનસ ફાઈવ”, “માઈનસ સિક્સ”, “માઈનસ સાત” જેવી સંખ્યાઓનો ઉલ્લેખ થાય છે સંપૂર્ણ સંખ્યાઓ.સામાન્ય રીતે, પૂર્ણાંકોમાં તમામ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ, પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓની વિરુદ્ધ સંખ્યાઓ (એટલે ​​કે, ઓછા ચિહ્ન સાથે લેવામાં આવે છે) અને સંખ્યાનો સમાવેશ થાય છે. શૂન્ય સમજવું સરળ છે - જ્યારે કંઈ ન હોય ત્યારે તે થાય છે. નકારાત્મક ("માઈનસ") સંખ્યાઓનો અર્થ શું થાય છે? પરંતુ તેમની શોધ મુખ્યત્વે દેવા સૂચવવા માટે કરવામાં આવી હતી: જો તમારી પાસે તમારા ફોન પર રુબેલ્સમાં સંતુલન છે, તો આનો અર્થ એ છે કે તમે ઓપરેટર રુબેલ્સના ઋણી છો.

બધા અપૂર્ણાંક પરિમેય સંખ્યાઓ છે. તેઓ કેવી રીતે ઉભા થયા, શું તમને લાગે છે? ખૂબ જ સરળ. કેટલાંક હજાર વર્ષ પહેલાં, આપણા પૂર્વજોએ શોધી કાઢ્યું હતું કે તેમની પાસે લંબાઈ, વજન, ક્ષેત્રફળ વગેરે માપવા માટે કુદરતી સંખ્યાઓ નથી. અને તેઓ સાથે આવ્યા તર્કસંગત સંખ્યાઓ... રસપ્રદ, તે નથી?

અતાર્કિક સંખ્યાઓ પણ છે. આ નંબરો શું છે? ટૂંકમાં, તે અનંત દશાંશ અપૂર્ણાંક છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો તમે વર્તુળના પરિઘને તેના વ્યાસથી વિભાજીત કરો છો, તો તમને અતાર્કિક સંખ્યા મળશે.

સારાંશ:

ચાલો ડિગ્રીની વિભાવનાને વ્યાખ્યાયિત કરીએ કે જેના ઘાતાંક કુદરતી સંખ્યા છે (એટલે ​​​​કે, પૂર્ણાંક અને ધન).

1. પ્રથમ ઘાતની કોઈપણ સંખ્યા તેના પોતાના સમાન છે:
2. સંખ્યાનો વર્ગ કરવાનો અર્થ થાય છે કે તેને જાતે જ ગુણાકાર કરવો:
3. સંખ્યાને ક્યુબ કરવાનો અર્થ થાય છે કે તેને ત્રણ વખત જાતે ગુણાકાર કરવો:

વ્યાખ્યા.સંખ્યાને પ્રાકૃતિક શક્તિમાં વધારવી એટલે સંખ્યાને પોતાની મેળે ગુણાકાર કરવો:
.

ડિગ્રીના ગુણધર્મો

આ મિલકતો ક્યાંથી આવી? હું તમને હવે બતાવીશ.

ચાલો જોઈએ: તે શું છે અને ?

એ-પ્રાયોરી:

કુલ કેટલા ગુણક છે?

તે ખૂબ જ સરળ છે: અમે પરિબળોમાં ગુણક ઉમેર્યા છે, અને પરિણામ મલ્ટીપ્લાયર્સ છે.

પરંતુ વ્યાખ્યા દ્વારા, આ ઘાતાંક સાથેની સંખ્યાની શક્તિ છે, એટલે કે: , જે સાબિત કરવાની જરૂર છે.

ઉદાહરણ: અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવો.

ઉકેલ:

ઉદાહરણ:અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવો.

ઉકેલ:આપણા નિયમમાં એ નોંધવું જરૂરી છે જરૂરીએ જ કારણો હોવા જોઈએ!
તેથી, અમે શક્તિઓને આધાર સાથે જોડીએ છીએ, પરંતુ તે એક અલગ પરિબળ રહે છે:

માત્ર શક્તિઓના ઉત્પાદન માટે!

કોઈ પણ સંજોગોમાં તમે તે લખી શકતા નથી.

2. બસ સંખ્યાની મી શક્તિ

અગાઉની મિલકતની જેમ, ચાલો ડિગ્રીની વ્યાખ્યા તરફ વળીએ:

તે તારણ આપે છે કે અભિવ્યક્તિ પોતે જ વખતથી ગુણાકાર થાય છે, એટલે કે, વ્યાખ્યા અનુસાર, આ સંખ્યાની મી શક્તિ છે:

સારમાં, આને "સૂચકને કૌંસમાંથી બહાર કાઢવું" કહી શકાય. પરંતુ તમે આ ક્યારેય કરી શકતા નથી:

ચાલો સંક્ષિપ્ત ગુણાકારના સૂત્રો યાદ રાખીએ: આપણે કેટલી વાર લખવા માગીએ છીએ?

પરંતુ આ સાચું નથી, છેવટે.

નકારાત્મક આધાર સાથે શક્તિ

આ બિંદુ સુધી, અમે માત્ર ચર્ચા કરી છે કે ઘાતાંક શું હોવું જોઈએ.

પરંતુ આધાર શું હોવો જોઈએ?

ની સત્તાઓમાં કુદરતી સૂચકઆધાર હોઈ શકે છે કોઈપણ સંખ્યા. ખરેખર, આપણે કોઈપણ સંખ્યાને એકબીજા વડે ગુણાકાર કરી શકીએ છીએ, પછી ભલે તે સકારાત્મક હોય, નકારાત્મક હોય અથવા તો હોય.

ચાલો વિચાર કરીએ કે કયા ચિહ્નો ("" અથવા "") પાસે હકારાત્મક અને નકારાત્મક સંખ્યાઓની ડિગ્રી હશે?

ઉદાહરણ તરીકે, સંખ્યા હકારાત્મક કે નકારાત્મક છે? એ? ? પ્રથમ સાથે, બધું સ્પષ્ટ છે: ભલે આપણે એકબીજા દ્વારા કેટલી હકારાત્મક સંખ્યાઓનો ગુણાકાર કરીએ, પરિણામ હકારાત્મક હશે.

પરંતુ નકારાત્મક થોડી વધુ રસપ્રદ છે. અમને 6ઠ્ઠા ધોરણનો સરળ નિયમ યાદ છે: "માઈનસ માટે માઈનસ વત્તા આપે છે." એટલે કે, અથવા. પરંતુ જો આપણે ગુણાકાર કરીએ, તો તે કાર્ય કરે છે.

નીચેના અભિવ્યક્તિઓમાં શું ચિહ્ન હશે તે તમારા માટે નક્કી કરો:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

શું તમે મેનેજ કર્યું?

અહીં જવાબો છે: પ્રથમ ચાર ઉદાહરણોમાં, હું આશા રાખું છું કે બધું સ્પષ્ટ છે? અમે ફક્ત આધાર અને ઘાતાંકને જોઈએ છીએ અને યોગ્ય નિયમ લાગુ કરીએ છીએ.

ઉદાહરણ તરીકે 5) બધું લાગે છે તેટલું ડરામણી પણ નથી: છેવટે, આધાર શું સમાન છે તેનાથી કોઈ ફરક પડતો નથી - ડિગ્રી સમાન છે, જેનો અર્થ છે કે પરિણામ હંમેશા હકારાત્મક રહેશે.

ઠીક છે, સિવાય કે જ્યારે આધાર શૂન્ય હોય. આધાર સમાન નથી, તે છે? દેખીતી રીતે નહીં, ત્યારથી (કારણ કે).

ઉદાહરણ 6) હવે એટલું સરળ નથી!

પ્રેક્ટિસ કરવા માટે 6 ઉદાહરણો

ઉકેલનું વિશ્લેષણ 6 ઉદાહરણો

સમગ્રઆપણે પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ કહીએ છીએ, તેમના વિરોધી (એટલે ​​​​કે, " " ચિહ્ન સાથે લેવામાં આવે છે) અને સંખ્યા.

હકારાત્મક પૂર્ણાંક, અને તે કુદરતીથી અલગ નથી, પછી બધું બરાબર પાછલા વિભાગની જેમ દેખાય છે.

હવે નવા કેસો જોઈએ. ચાલો સમાન સૂચક સાથે પ્રારંભ કરીએ.

શૂન્ય ઘાતની કોઈપણ સંખ્યા એક સમાન છે:

હંમેશની જેમ, ચાલો આપણે આપણી જાતને પૂછીએ: આવું કેમ છે?

ચાલો આધાર સાથે અમુક ડિગ્રી ધ્યાનમાં લઈએ. ઉદાહરણ તરીકે લો, અને વડે ગુણાકાર કરો:

તેથી, અમે સંખ્યાનો ગુણાકાર કર્યો, અને અમને તે જ વસ્તુ મળી - . તમારે કઈ સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરવો જોઈએ જેથી કંઈપણ બદલાય નહીં? તે સાચું છે, ચાલુ. અર્થ.

આપણે મનસ્વી નંબર સાથે તે જ કરી શકીએ છીએ:

ચાલો નિયમનું પુનરાવર્તન કરીએ:

શૂન્ય ઘાતની કોઈપણ સંખ્યા એક સમાન છે.

પરંતુ ઘણા નિયમોમાં અપવાદો છે. અને અહીં તે પણ છે - આ એક સંખ્યા છે (આધાર તરીકે).

એક તરફ, તે કોઈપણ ડિગ્રીની સમાન હોવી જોઈએ - ભલે તમે શૂન્યનો કેટલો પણ ગુણાકાર કરો, તમે હજી પણ શૂન્ય મેળવશો, આ સ્પષ્ટ છે. પરંતુ બીજી બાજુ, શૂન્ય શક્તિની કોઈપણ સંખ્યાની જેમ, તે સમાન હોવી જોઈએ. તો આમાં કેટલું સાચું છે? ગણિતશાસ્ત્રીઓએ સામેલ ન થવાનું નક્કી કર્યું અને શૂન્યથી શૂન્ય શક્તિ વધારવાનો ઇનકાર કર્યો. એટલે કે, હવે આપણે માત્ર શૂન્ય વડે ભાગી શકતા નથી, પણ તેને વધારીને શૂન્ય શક્તિ સુધી પણ લઈ શકતા નથી.

ચલો આગળ વધીએ. કુદરતી સંખ્યાઓ અને સંખ્યાઓ ઉપરાંત, પૂર્ણાંકોમાં નકારાત્મક સંખ્યાઓનો પણ સમાવેશ થાય છે. નકારાત્મક શક્તિ શું છે તે સમજવા માટે, ચાલો છેલ્લી વખત કરીએ: કેટલીક સામાન્ય સંખ્યાને સમાન સંખ્યા દ્વારા નકારાત્મક શક્તિમાં ગુણાકાર કરીએ:

અહીંથી તમે જે શોધી રહ્યાં છો તે વ્યક્ત કરવાનું સરળ છે:

હવે ચાલો પરિણામી નિયમને મનસ્વી ડિગ્રી સુધી વિસ્તારીએ:

તેથી, ચાલો એક નિયમ બનાવીએ:

નકારાત્મક શક્તિવાળી સંખ્યા એ સકારાત્મક શક્તિ સાથે સમાન સંખ્યાની પરસ્પર છે. પરંતુ તે જ સમયે આધાર શૂન્ય હોઈ શકતો નથી:(કારણ કે તમે વિભાજન કરી શકતા નથી).

ચાલો સારાંશ આપીએ:

સ્વતંત્ર ઉકેલ માટેના કાર્યો:

ઠીક છે, હંમેશની જેમ, સ્વતંત્ર ઉકેલો માટે ઉદાહરણો:

સ્વતંત્ર ઉકેલ માટે સમસ્યાઓનું વિશ્લેષણ:

હું જાણું છું, મને ખબર છે, સંખ્યાઓ ડરામણી છે, પરંતુ યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા પર તમારે કંઈપણ માટે તૈયાર રહેવું પડશે! આ ઉદાહરણો ઉકેલો અથવા તેમના ઉકેલોનું વિશ્લેષણ કરો જો તમે તેમને ઉકેલી શકતા નથી અને તમે પરીક્ષામાં સરળતાથી તેનો સામનો કરવાનું શીખી શકશો!

ચાલો ઘાતાંક તરીકે “યોગ્ય” સંખ્યાઓની શ્રેણીને વિસ્તૃત કરવાનું ચાલુ રાખીએ.

હવે વિચાર કરીએ તર્કસંગત સંખ્યાઓ.કઈ સંખ્યાઓને તર્કસંગત કહેવામાં આવે છે?

જવાબ: દરેક વસ્તુ જે અપૂર્ણાંક તરીકે રજૂ કરી શકાય છે, જ્યાં અને પૂર્ણાંકો છે, અને.

તે શું છે તે સમજવા માટે "અપૂર્ણાંક ડિગ્રી", અપૂર્ણાંકને ધ્યાનમાં લો:

ચાલો સમીકરણની બંને બાજુઓને ઘાતમાં વધારીએ:

હવે ચાલો નિયમ વિશે યાદ કરીએ "ડિગ્રી થી ડિગ્રી":

પાવર મેળવવા માટે કઈ સંખ્યા વધારવાની જરૂર છે?

આ ફોર્મ્યુલેશન એ મી ડિગ્રીના મૂળની વ્યાખ્યા છે.

ચાલો હું તમને યાદ અપાવી દઉં: સંખ્યા () ની મી ઘાતનું મૂળ એ એક સંખ્યા છે જે, જ્યારે ઘાત સુધી વધારવામાં આવે છે, તે બરાબર છે.

એટલે કે, મી પાવરનું મૂળ એ પાવર વધારવાની વ્યસ્ત ક્રિયા છે: .

તે તારણ આપે છે કે. દેખીતી રીતે, આ વિશિષ્ટ કેસને વિસ્તૃત કરી શકાય છે: .

હવે આપણે અંશ ઉમેરીએ છીએ: તે શું છે? પાવર-ટુ-પાવર નિયમનો ઉપયોગ કરીને જવાબ મેળવવા માટે સરળ છે:

પરંતુ આધાર કોઈપણ સંખ્યા હોઈ શકે છે? છેવટે, બધી સંખ્યાઓમાંથી રુટ કાઢી શકાતો નથી.

કોઈ નહીં!

ચાલો નિયમ યાદ રાખીએ: કોઈ પણ સંખ્યાને સમ ઘાતમાં વધારીને ધન સંખ્યા છે. એટલે કે, નકારાત્મક સંખ્યાઓમાંથી પણ મૂળ કાઢવાનું અશક્ય છે!

આનો અર્થ એ છે કે આવી સંખ્યાઓને સમ છેદ સાથે અપૂર્ણાંક શક્તિ સુધી વધારી શકાતી નથી, એટલે કે, અભિવ્યક્તિનો કોઈ અર્થ નથી.

અભિવ્યક્તિ વિશે શું?

પરંતુ અહીં એક સમસ્યા ઊભી થાય છે.

સંખ્યાને અન્ય, ઘટાડી શકાય તેવા અપૂર્ણાંકના સ્વરૂપમાં રજૂ કરી શકાય છે, ઉદાહરણ તરીકે, અથવા.

અને તે તારણ આપે છે કે તે અસ્તિત્વમાં છે, પરંતુ અસ્તિત્વમાં નથી, પરંતુ આ એક જ સંખ્યાના માત્ર બે અલગ અલગ રેકોર્ડ છે.

અથવા બીજું ઉદાહરણ: એકવાર, પછી તમે તેને લખી શકો છો. પરંતુ જો આપણે સૂચકને અલગ રીતે લખીશું, તો આપણે ફરીથી મુશ્કેલીમાં આવીશું: (એટલે ​​​​કે, અમને સંપૂર્ણપણે અલગ પરિણામ મળ્યું!).

આવા વિરોધાભાસને ટાળવા માટે, અમે ધ્યાનમાં લઈએ છીએ અપૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથે માત્ર હકારાત્મક આધાર ઘાતાંક.

તેથી જો:

• - કુદરતી સંખ્યા;
• - પૂર્ણાંક;

ઉદાહરણો:

તર્કસંગત ઘાતાંક મૂળ સાથે અભિવ્યક્તિને રૂપાંતરિત કરવા માટે ખૂબ જ ઉપયોગી છે, ઉદાહરણ તરીકે:

પ્રેક્ટિસ કરવા માટે 5 ઉદાહરણો

તાલીમ માટે 5 ઉદાહરણોનું વિશ્લેષણ

સારું, હવે સૌથી મુશ્કેલ ભાગ આવે છે. હવે અમે તેને આકૃતિ કરીશું અતાર્કિક ઘાતાંક સાથે ડિગ્રી.

અહીં ડિગ્રીના તમામ નિયમો અને ગુણધર્મો અપવાદ સિવાય, તર્કસંગત ઘાતાંકવાળી ડિગ્રી માટે બરાબર સમાન છે.

છેવટે, વ્યાખ્યા દ્વારા, અતાર્કિક સંખ્યાઓ એવી સંખ્યાઓ છે જે અપૂર્ણાંક તરીકે રજૂ કરી શકાતી નથી, જ્યાં અને પૂર્ણાંકો છે (એટલે ​​​​કે, અતાર્કિક સંખ્યાઓ તર્કસંગત સંખ્યાઓ સિવાયની બધી વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે).

પ્રાકૃતિક, પૂર્ણાંક અને તર્કસંગત ઘાતાંક સાથે ડિગ્રીનો અભ્યાસ કરતી વખતે, દરેક વખતે અમે ચોક્કસ “ઇમેજ”, “સામાન્યતા” અથવા વધુ પરિચિત શબ્દોમાં વર્ણન બનાવીએ છીએ.

ઉદાહરણ તરીકે, પ્રાકૃતિક ઘાતાંક સાથેની ડિગ્રી એ સંખ્યા છે જે પોતાના દ્વારા ઘણી વખત ગુણાકાર કરવામાં આવે છે;

...શૂન્ય શક્તિની સંખ્યા- આ, જેમ કે, એક નંબર છે જે એક વાર પોતાના દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવ્યો છે, એટલે કે, તેઓએ હજી સુધી તેનો ગુણાકાર કરવાનું શરૂ કર્યું નથી, જેનો અર્થ છે કે સંખ્યા પોતે પણ હજી સુધી દેખાઈ નથી - તેથી પરિણામ ફક્ત ચોક્કસ "ખાલી સંખ્યા" છે , એટલે કે સંખ્યા;

...નકારાત્મક પૂર્ણાંક ડિગ્રી- એવું લાગે છે કે કેટલીક "વિપરીત પ્રક્રિયા" આવી છે, એટલે કે, સંખ્યા પોતે ગુણાકાર કરવામાં આવી ન હતી, પરંતુ વિભાજિત થઈ હતી.

માર્ગ દ્વારા, વિજ્ઞાનમાં જટિલ ઘાતાંક સાથેની ડિગ્રીનો વારંવાર ઉપયોગ થાય છે, એટલે કે, ઘાતાંક વાસ્તવિક સંખ્યા પણ નથી.

પરંતુ શાળામાં અમે આવી મુશ્કેલીઓ વિશે વિચારતા નથી; તમને સંસ્થામાં આ નવા ખ્યાલોને સમજવાની તક મળશે.

જ્યાં અમને ખાતરી છે કે તમે જશો! (જો તમે આવા ઉદાહરણો ઉકેલતા શીખો તો :))

દાખ્લા તરીકે:

તમારા માટે નક્કી કરો:

ઉકેલોનું વિશ્લેષણ:

1. ચાલો પાવરને પાવર વધારવા માટેના સામાન્ય નિયમથી શરૂઆત કરીએ:

ઉચ્ચ સ્તર

ડિગ્રીનું નિર્ધારણ

ડિગ્રી એ ફોર્મની અભિવ્યક્તિ છે: , જ્યાં:

• — ડિગ્રી આધાર;
• - ઘાતાંક.

કુદરતી સૂચક સાથે ડિગ્રી (n = 1, 2, 3,...)

સંખ્યાને પ્રાકૃતિક શક્તિ n સુધી વધારવાનો અર્થ એ છે કે સંખ્યાને પોતાના દ્વારા ગુણાકાર કરવો:

પૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથે ડિગ્રી (0, ±1, ±2,...)

જો ઘાત છે હકારાત્મક પૂર્ણાંકસંખ્યા:

બાંધકામ શૂન્ય ડિગ્રી સુધી:

અભિવ્યક્તિ અનિશ્ચિત છે, કારણ કે, એક તરફ, કોઈપણ ડિગ્રી આ છે, અને બીજી બાજુ, મી ડિગ્રી સુધીની કોઈપણ સંખ્યા આ છે.

જો ઘાત છે નકારાત્મક પૂર્ણાંકસંખ્યા:

(કારણ કે તમે વિભાજન કરી શકતા નથી).

શૂન્ય વિશે ફરી એકવાર: અભિવ્યક્તિ કિસ્સામાં વ્યાખ્યાયિત નથી. તો પછી.

ઉદાહરણો:

તર્કસંગત ઘાતાંક સાથેની શક્તિ

• - કુદરતી સંખ્યા;
• - પૂર્ણાંક;

ઉદાહરણો:

ડિગ્રીના ગુણધર્મો

સમસ્યાઓ હલ કરવાનું સરળ બનાવવા માટે, ચાલો સમજવાનો પ્રયાસ કરીએ: આ ગુણધર્મો ક્યાંથી આવી? ચાલો તેમને સાબિત કરીએ.

ચાલો જોઈએ: શું છે અને?

એ-પ્રાયોરી:

તેથી, આ અભિવ્યક્તિની જમણી બાજુએ આપણને નીચેનું ઉત્પાદન મળે છે:

પરંતુ વ્યાખ્યા દ્વારા તે ઘાતાંક સાથે સંખ્યાની શક્તિ છે, એટલે કે:

Q.E.D.

ઉદાહરણ : અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવો.

ઉકેલ : .

ઉદાહરણ : અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવો.

ઉકેલ : આપણા નિયમમાં એ નોંધવું જરૂરી છે જરૂરીત્યાં સમાન કારણો હોવા જોઈએ. તેથી, અમે શક્તિઓને આધાર સાથે જોડીએ છીએ, પરંતુ તે એક અલગ પરિબળ રહે છે:

બીજી મહત્વપૂર્ણ નોંધ: આ નિયમ - માત્ર શક્તિના ઉત્પાદન માટે!

કોઈ પણ સંજોગોમાં તમે તે લખી શકતા નથી.

અગાઉની મિલકતની જેમ, ચાલો ડિગ્રીની વ્યાખ્યા તરફ વળીએ:

ચાલો આ કાર્યને આ રીતે ફરીથી ગોઠવીએ:

તે તારણ આપે છે કે અભિવ્યક્તિ પોતે જ વખતથી ગુણાકાર થાય છે, એટલે કે, વ્યાખ્યા અનુસાર, આ સંખ્યાની મી શક્તિ છે:

સારમાં, આને "સૂચકને કૌંસમાંથી બહાર કાઢવું" કહી શકાય. પરંતુ તમે આ ક્યારેય કરી શકતા નથી: !

ચાલો સંક્ષિપ્ત ગુણાકારના સૂત્રો યાદ રાખીએ: આપણે કેટલી વાર લખવા માગીએ છીએ? પરંતુ છેવટે, આ સાચું નથી.

નકારાત્મક આધાર સાથે પાવર.

આ બિંદુ સુધી આપણે ફક્ત તે કેવું હોવું જોઈએ તેની ચર્ચા કરી છે અનુક્રમણિકાડિગ્રી પરંતુ આધાર શું હોવો જોઈએ? ની સત્તાઓમાં કુદરતી સૂચક આધાર હોઈ શકે છે કોઈપણ સંખ્યા .

ખરેખર, આપણે કોઈપણ સંખ્યાને એકબીજા વડે ગુણાકાર કરી શકીએ છીએ, પછી ભલે તે સકારાત્મક હોય, નકારાત્મક હોય અથવા તો હોય. ચાલો વિચાર કરીએ કે કયા ચિહ્નો ("" અથવા "") પાસે હકારાત્મક અને નકારાત્મક સંખ્યાઓની ડિગ્રી હશે?

ઉદાહરણ તરીકે, સંખ્યા હકારાત્મક કે નકારાત્મક છે? એ? ?

પ્રથમ સાથે, બધું સ્પષ્ટ છે: ભલે આપણે એકબીજા દ્વારા કેટલી હકારાત્મક સંખ્યાઓનો ગુણાકાર કરીએ, પરિણામ હકારાત્મક હશે.

પરંતુ નકારાત્મક થોડી વધુ રસપ્રદ છે. અમને 6ઠ્ઠા ધોરણનો સરળ નિયમ યાદ છે: "માઈનસ માટે માઈનસ વત્તા આપે છે." એટલે કે, અથવા. પરંતુ જો આપણે () દ્વારા ગુણાકાર કરીએ, તો આપણને - મળે છે.

અને તેથી જાહેરાત અનંત: દરેક અનુગામી ગુણાકાર સાથે ચિહ્ન બદલાશે. નીચેના સરળ નિયમો ઘડી શકાય છે:

1. સમડિગ્રી, - નંબર હકારાત્મક.
2. ઋણ સંખ્યા સુધી વધારી એકીડિગ્રી, - નંબર નકારાત્મક.
3. કોઈપણ ડિગ્રી માટે ધન સંખ્યા એ ધન સંખ્યા છે.
4. કોઈપણ શક્તિ માટે શૂન્ય શૂન્ય બરાબર છે.

નીચેના અભિવ્યક્તિઓમાં શું ચિહ્ન હશે તે તમારા માટે નક્કી કરો:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

શું તમે મેનેજ કર્યું? અહીં જવાબો છે:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

પ્રથમ ચાર ઉદાહરણોમાં, હું આશા રાખું છું કે બધું સ્પષ્ટ છે? અમે ફક્ત આધાર અને ઘાતાંકને જોઈએ છીએ અને યોગ્ય નિયમ લાગુ કરીએ છીએ.

ઉદાહરણ તરીકે 5) બધું લાગે છે તેટલું ડરામણી પણ નથી: છેવટે, આધાર શું સમાન છે તેનાથી કોઈ ફરક પડતો નથી - ડિગ્રી સમાન છે, જેનો અર્થ છે કે પરિણામ હંમેશા હકારાત્મક રહેશે. ઠીક છે, સિવાય કે જ્યારે આધાર શૂન્ય હોય. આધાર સમાન નથી, તે છે? દેખીતી રીતે નહીં, ત્યારથી (કારણ કે).

ઉદાહરણ 6) હવે એટલું સરળ નથી. અહીં તમારે શોધવાની જરૂર છે કે જે ઓછું છે: અથવા? જો આપણે તે યાદ રાખીએ, તો તે સ્પષ્ટ થાય છે કે, જેનો અર્થ છે કે આધાર શૂન્ય કરતા ઓછો છે. એટલે કે, અમે નિયમ 2 લાગુ કરીએ છીએ: પરિણામ નકારાત્મક હશે.

અને ફરીથી આપણે ડિગ્રીની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:

બધું હંમેશની જેમ છે - અમે ડિગ્રીની વ્યાખ્યા લખીએ છીએ અને તેમને એકબીજા દ્વારા વિભાજીત કરીએ છીએ, તેમને જોડીમાં વિભાજીત કરીએ છીએ અને મેળવીએ છીએ:

છેલ્લા નિયમને જોઈએ તે પહેલાં, ચાલો થોડા ઉદાહરણો ઉકેલીએ.

અભિવ્યક્તિઓની ગણતરી કરો:

ઉકેલો :

ચાલો ઉદાહરણ પર પાછા જઈએ:

અને ફરીથી સૂત્ર:

તો હવે છેલ્લો નિયમ:

અમે તેને કેવી રીતે સાબિત કરીશું? અલબત્ત, હંમેશની જેમ: ચાલો ડિગ્રીના ખ્યાલને વિસ્તૃત કરીએ અને તેને સરળ બનાવીએ:

સારું, હવે ચાલો કૌંસ ખોલીએ. કુલ કેટલા અક્ષરો છે? ગુણક દ્વારા વખત - આ તમને શું યાદ અપાવે છે? આ ઓપરેશનની વ્યાખ્યા કરતાં વધુ કંઈ નથી ગુણાકાર: ત્યાં માત્ર ગુણક હતા. એટલે કે, આ, વ્યાખ્યા દ્વારા, ઘાતાંક સાથેની સંખ્યાની શક્તિ છે:

ઉદાહરણ:

અતાર્કિક ઘાતાંક સાથે ડિગ્રી

સરેરાશ સ્તર માટે ડિગ્રી વિશેની માહિતી ઉપરાંત, અમે અતાર્કિક ઘાતાંક સાથે ડિગ્રીનું વિશ્લેષણ કરીશું. ડિગ્રીના બધા નિયમો અને ગુણધર્મો અહીં અપવાદ સિવાય, તર્કસંગત ઘાતાંક સાથેની ડિગ્રી માટે બરાબર સમાન છે - છેવટે, વ્યાખ્યા દ્વારા, અતાર્કિક સંખ્યાઓ એવી સંખ્યાઓ છે જે અપૂર્ણાંક તરીકે રજૂ કરી શકાતી નથી, જ્યાં અને પૂર્ણાંકો છે (એટલે ​​​​કે , અતાર્કિક સંખ્યાઓ પરિમાણીય સંખ્યાઓ સિવાયની બધી વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે).

પ્રાકૃતિક, પૂર્ણાંક અને તર્કસંગત ઘાતાંક સાથે ડિગ્રીનો અભ્યાસ કરતી વખતે, દરેક વખતે અમે ચોક્કસ “ઇમેજ”, “સામાન્યતા” અથવા વધુ પરિચિત શબ્દોમાં વર્ણન બનાવીએ છીએ. ઉદાહરણ તરીકે, પ્રાકૃતિક ઘાતાંક સાથેની ડિગ્રી એ સંખ્યા છે જે પોતાના દ્વારા ઘણી વખત ગુણાકાર કરવામાં આવે છે; શૂન્ય શક્તિની સંખ્યા એ છે, જેમ કે તે હતી, એક સંખ્યા પોતે એક વાર ગુણાકાર કરે છે, એટલે કે, તેઓએ હજી સુધી તેનો ગુણાકાર કરવાનું શરૂ કર્યું નથી, જેનો અર્થ એ છે કે સંખ્યા પોતે પણ હજી દેખાઈ નથી - તેથી પરિણામ ફક્ત ચોક્કસ છે "ખાલી સંખ્યા", એટલે કે સંખ્યા; પૂર્ણાંક નકારાત્મક ઘાતાંક સાથેની ડિગ્રી - એવું લાગે છે કે કેટલીક "વિપરીત પ્રક્રિયા" આવી છે, એટલે કે, સંખ્યા પોતે ગુણાકાર કરવામાં આવી ન હતી, પરંતુ વિભાજિત થઈ હતી.

અતાર્કિક ઘાતાંક સાથે ડિગ્રીની કલ્પના કરવી અત્યંત મુશ્કેલ છે (જેમ કે 4-પરિમાણીય જગ્યાની કલ્પના કરવી મુશ્કેલ છે). તે એકદમ ગાણિતિક પદાર્થ છે જે ગણિતશાસ્ત્રીઓએ ડિગ્રીના ખ્યાલને સંખ્યાઓની સમગ્ર જગ્યા સુધી વિસ્તારવા માટે બનાવ્યો છે.

માર્ગ દ્વારા, વિજ્ઞાનમાં જટિલ ઘાતાંક સાથેની ડિગ્રીનો વારંવાર ઉપયોગ થાય છે, એટલે કે, ઘાતાંક વાસ્તવિક સંખ્યા પણ નથી. પરંતુ શાળામાં અમે આવી મુશ્કેલીઓ વિશે વિચારતા નથી; તમને સંસ્થામાં આ નવા ખ્યાલોને સમજવાની તક મળશે.

તો જો આપણે અતાર્કિક ઘાતાંક જોઈએ તો શું કરવું? અમે તેનાથી છુટકારો મેળવવા માટે અમારા શ્રેષ્ઠ પ્રયાસો કરી રહ્યા છીએ! :)

દાખ્લા તરીકે:

તમારા માટે નક્કી કરો:

1)

2)

3)

જવાબો:

વિભાગ અને મૂળભૂત સૂત્રોનો સારાંશ

ડીગ્રીફોર્મની અભિવ્યક્તિ કહેવાય છે: , જ્યાં:

પૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથે ડિગ્રી

એક ડિગ્રી કે જેના ઘાતાંક કુદરતી સંખ્યા છે (એટલે ​​​​કે, પૂર્ણાંક અને ધન).

તર્કસંગત ઘાતાંક સાથેની શક્તિ

ડિગ્રી, જેનો ઘાતાંક ઋણ અને અપૂર્ણાંક સંખ્યાઓ છે.

અતાર્કિક ઘાતાંક સાથે ડિગ્રી

એક ડિગ્રી જેનો ઘાતાંક અનંત દશાંશ અપૂર્ણાંક અથવા મૂળ છે.

ડિગ્રીના ગુણધર્મો

ડિગ્રીની વિશેષતાઓ.

• ઋણ સંખ્યા સુધી વધારી સમડિગ્રી, - નંબર હકારાત્મક.
• ઋણ સંખ્યા સુધી વધારી એકીડિગ્રી, - નંબર નકારાત્મક.
• કોઈપણ ડિગ્રી માટે ધન સંખ્યા એ ધન સંખ્યા છે.
• શૂન્ય એ કોઈપણ શક્તિ સમાન છે.
• શૂન્ય ઘાતની કોઈપણ સંખ્યા સમાન છે.

હવે તમારી પાસે શબ્દ છે...

તમને લેખ કેવો લાગ્યો? નીચે કોમેન્ટમાં લખો કે તમને તે ગમ્યું કે નહીં.

ડિગ્રી પ્રોપર્ટીઝનો ઉપયોગ કરીને તમારા અનુભવ વિશે અમને કહો.

કદાચ તમારી પાસે પ્રશ્નો છે. અથવા સૂચનો.

ટિપ્પણીઓમાં લખો.

અને તમારી પરીક્ષા માટે સારા નસીબ!

બસ, વિષય પૂરો થયો. જો તમે આ પંક્તિઓ વાંચી રહ્યા છો, તો તેનો અર્થ એ છે કે તમે ખૂબ જ શાનદાર છો.

કારણ કે માત્ર 5% લોકો જ પોતાના પર કંઈક માસ્ટર કરવામાં સક્ષમ છે. અને જો તમે અંત સુધી વાંચો છો, તો તમે આ 5% માં છો!

હવે સૌથી મહત્વની વાત.

તમે આ વિષય પરનો સિદ્ધાંત સમજી ગયા છો. અને, હું પુનરાવર્તન કરું છું, આ... આ માત્ર સુપર છે! તમે તમારા મોટા ભાગના સાથીદારો કરતા પહેલાથી જ સારા છો.

સમસ્યા એ છે કે આ પૂરતું નથી...

શેના માટે?

યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા સફળતાપૂર્વક પાસ કરવા માટે, બજેટમાં કૉલેજમાં દાખલ થવા માટે અને સૌથી મહત્ત્વપૂર્ણ રીતે, જીવન માટે.

હું તમને કંઈપણ સમજાવીશ નહીં, હું ફક્ત એક વાત કહીશ ...

જે લોકોએ સારું શિક્ષણ મેળવ્યું છે તેઓ જેઓ નથી મેળવ્યા તેના કરતાં ઘણું વધારે કમાય છે. આ આંકડા છે.

પરંતુ આ મુખ્ય વસ્તુ નથી.

મુખ્ય વસ્તુ એ છે કે તેઓ વધુ ખુશ છે (ત્યાં આવા અભ્યાસો છે). કદાચ એટલા માટે કે તેમની સામે ઘણી વધુ તકો ખુલે છે અને જીવન તેજસ્વી બને છે? ખબર નથી...

પણ તમારા માટે વિચારો ...

યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષામાં અન્ય કરતા વધુ સારા બનવાની ખાતરી કરવા અને આખરે... ખુશ રહેવા માટે શું જરૂરી છે?

આ વિષય પર સમસ્યાઓ હલ કરીને તમારો હાથ મેળવો.

પરીક્ષા દરમિયાન તમને થિયરી માટે પૂછવામાં આવશે નહીં.

તમને જરૂર પડશે સમય સામે સમસ્યાઓ ઉકેલો.

અને, જો તમે તેમને ઉકેલ્યા નથી (ઘણું!), તો તમે ચોક્કસપણે ક્યાંક મૂર્ખ ભૂલ કરશો અથવા તમારી પાસે સમય નહીં હોય.

તે રમતગમતની જેમ છે - ખાતરી માટે જીતવા માટે તમારે તેને ઘણી વખત પુનરાવર્તન કરવાની જરૂર છે.

તમે ઇચ્છો ત્યાં સંગ્રહ શોધો, આવશ્યકપણે ઉકેલો, વિગતવાર વિશ્લેષણ સાથેઅને નક્કી કરો, નક્કી કરો, નક્કી કરો!

તમે અમારા કાર્યોનો ઉપયોગ કરી શકો છો (વૈકલ્પિક) અને અમે, અલબત્ત, તેમની ભલામણ કરીએ છીએ.

અમારા કાર્યોને વધુ સારી રીતે ઉપયોગમાં લેવા માટે, તમે હાલમાં વાંચી રહ્યાં છો તે YouClever પાઠ્યપુસ્તકના જીવનને લંબાવવામાં મદદ કરવાની જરૂર છે.

કેવી રીતે? ત્યાં બે વિકલ્પો છે:

1. આ લેખમાં છુપાયેલા તમામ કાર્યોને અનલૉક કરો -
2. પાઠ્યપુસ્તકના તમામ 99 લેખોમાં તમામ છુપાયેલા કાર્યોની ઍક્સેસને અનલૉક કરો - પાઠ્યપુસ્તક ખરીદો - 899 RUR

હા, અમારી પાઠ્યપુસ્તકમાં આવા 99 લેખો છે અને તમામ કાર્યોની ઍક્સેસ છે અને તેમાં છુપાયેલા તમામ પાઠો તરત જ ખોલી શકાય છે.

સાઇટના સમગ્ર જીવન માટે તમામ છુપાયેલા કાર્યોની ઍક્સેસ પ્રદાન કરવામાં આવે છે.

નિષ્કર્ષમાં...

જો તમને અમારા કાર્યો પસંદ નથી, તો અન્યને શોધો. ફક્ત સિદ્ધાંત પર અટકશો નહીં.

"સમજ્યું" અને "હું હલ કરી શકું છું" એ સંપૂર્ણપણે અલગ કુશળતા છે. તમારે બંનેની જરૂર છે.

સમસ્યાઓ શોધો અને તેમને હલ કરો!

આ સામગ્રીમાં આપણે જોઈશું કે સંખ્યાની શક્તિ શું છે. મૂળભૂત વ્યાખ્યાઓ ઉપરાંત, અમે કુદરતી, પૂર્ણાંક, તર્કસંગત અને અતાર્કિક ઘાતાંક સાથે કઈ શક્તિઓ છે તે ઘડીશું. હંમેશની જેમ, તમામ વિભાવનાઓ ઉદાહરણ સમસ્યાઓ સાથે સચિત્ર કરવામાં આવશે.

Yandex.RTB R-A-339285-1

પ્રથમ, ચાલો કુદરતી ઘાતાંક સાથે ડિગ્રીની મૂળભૂત વ્યાખ્યા ઘડીએ. આ કરવા માટે, આપણે ગુણાકારના મૂળભૂત નિયમો યાદ રાખવાની જરૂર છે. ચાલો આપણે અગાઉથી સ્પષ્ટ કરીએ કે હમણાં માટે આપણે એક વાસ્તવિક સંખ્યાને આધાર તરીકે લઈશું (અક્ષર દ્વારા સૂચિત), અને સૂચક તરીકે કુદરતી સંખ્યા (અક્ષર n દ્વારા સૂચિત).

વ્યાખ્યા 1

પ્રાકૃતિક ઘાતાંક n સાથેની સંખ્યા a ની શક્તિ એ પરિબળની nમી સંખ્યાનું ઉત્પાદન છે, જેમાંથી દરેક સંખ્યા a ની બરાબર છે. ડિગ્રી આ રીતે લખાયેલ છે: એક એન, અને સૂત્રના સ્વરૂપમાં તેની રચના નીચે પ્રમાણે રજૂ કરી શકાય છે:

ઉદાહરણ તરીકે, જો ઘાત 1 હોય અને આધાર a હોય, તો a ની પ્રથમ ઘાત આ રીતે લખવામાં આવે છે a 1. આપેલ છે કે a એ પરિબળનું મૂલ્ય છે અને 1 એ અવયવોની સંખ્યા છે, અમે નિષ્કર્ષ પર આવી શકીએ છીએ a 1 = a.

સામાન્ય રીતે, આપણે કહી શકીએ કે ડિગ્રી એ મોટી સંખ્યામાં સમાન પરિબળો લખવાનું અનુકૂળ સ્વરૂપ છે. તેથી, ફોર્મનો રેકોર્ડ 8 8 8 8સુધી ટૂંકાવી શકાય છે 8 4 . તે જ રીતે, ઉત્પાદન અમને મોટી સંખ્યામાં શબ્દો (8 + 8 + 8 + 8 = 8 · 4) લખવાનું ટાળવામાં મદદ કરે છે; પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના ગુણાકારને સમર્પિત લેખમાં આપણે આ વિશે પહેલેથી જ ચર્ચા કરી છે.

ડિગ્રી એન્ટ્રી કેવી રીતે યોગ્ય રીતે વાંચવી? સામાન્ય રીતે સ્વીકૃત વિકલ્પ "a to the power of n" છે. અથવા તમે "a ની nth શક્તિ" અથવા "anth power" કહી શકો છો. જો, કહો, ઉદાહરણમાં આપણે એન્ટ્રીનો સામનો કર્યો 8 12 , આપણે "8 થી 12મી ઘાત", "8 થી 12ની ઘાત" અથવા "8 ની 12મી ઘાત" વાંચી શકીએ છીએ.

સંખ્યાઓની બીજી અને ત્રીજી શક્તિઓનાં પોતાના સ્થાપિત નામો છે: ચોરસ અને ઘન. જો આપણે બીજી શક્તિ જોઈએ, ઉદાહરણ તરીકે, નંબર 7 (7 2), તો આપણે "7 વર્ગ" અથવા "નંબર 7 નો વર્ગ" કહી શકીએ. એ જ રીતે, ત્રીજી ડિગ્રી આ રીતે વાંચવામાં આવે છે: 5 3 - આ "નંબર 5 નો ક્યુબ" અથવા "5 ક્યુબ્ડ" છે. જો કે, તમે "બીજી/ત્રીજી શક્તિ માટે" માનક ફોર્મ્યુલેશનનો ઉપયોગ પણ કરી શકો છો; આ ભૂલ હશે નહીં.

ઉદાહરણ 1

ચાલો કુદરતી ઘાતાંક સાથે ડિગ્રીનું ઉદાહરણ જોઈએ: માટે 5 7 પાંચ આધાર હશે, અને સાત ઘાતાંક હશે.

આધાર પૂર્ણાંક હોવો જરૂરી નથી: ડિગ્રી માટે (4 , 32) 9 આધાર અપૂર્ણાંક 4, 32 હશે અને ઘાત નવ હશે. કૌંસ પર ધ્યાન આપો: આ સંકેત તમામ શક્તિઓ માટે બનાવવામાં આવ્યું છે જેમના પાયા કુદરતી સંખ્યાઓથી અલગ છે.

ઉદાહરણ તરીકે: 1 2 3, (- 3) 12, - 2 3 5 2, 2, 4 35 5, 7 3.

કૌંસ શેના માટે છે? તેઓ ગણતરીમાં ભૂલો ટાળવામાં મદદ કરે છે. ચાલો કહીએ કે અમારી પાસે બે એન્ટ્રી છે: (− 2) 3 અને − 2 3 . આમાંના પ્રથમનો અર્થ થાય છે નકારાત્મક સંખ્યા બાદબાકી બેની ઘાત ત્રણના કુદરતી ઘાતાંક સાથે; બીજી ડિગ્રીના વિપરીત મૂલ્યને અનુરૂપ સંખ્યા છે 2 3 .

કેટલીકવાર પુસ્તકોમાં તમે સંખ્યાની શક્તિની થોડી અલગ જોડણી શોધી શકો છો - a^n(જ્યાં a એ આધાર છે અને n એ ઘાતાંક છે). એટલે કે, 4^9 સમાન છે 4 9 . જો n બહુ-અંકની સંખ્યા છે, તો તે કૌંસમાં મૂકવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, 15 ^ (21) , (− 3 , 1) ^ (156) . પરંતુ અમે નોટેશનનો ઉપયોગ કરીશું એક એનવધુ સામાન્ય તરીકે.

કુદરતી ઘાતાંક સાથે તેની વ્યાખ્યામાંથી ઘાતાંકના મૂલ્યની ગણતરી કેવી રીતે કરવી તે અનુમાન લગાવવું સરળ છે: તમારે ફક્ત nમી સંખ્યાનો ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે. અમે બીજા લેખમાં આ વિશે વધુ લખ્યું.

ડિગ્રીનો ખ્યાલ એ અન્ય ગાણિતિક ખ્યાલનો વ્યસ્ત છે - સંખ્યાનું મૂળ. જો આપણે શક્તિ અને ઘાતાંકનું મૂલ્ય જાણીએ, તો આપણે તેના આધારની ગણતરી કરી શકીએ છીએ. ડિગ્રીમાં કેટલીક વિશિષ્ટ ગુણધર્મો છે જે સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે ઉપયોગી છે, જેની અમે એક અલગ સામગ્રીમાં ચર્ચા કરી છે.

ઘાતાંકમાં માત્ર કુદરતી સંખ્યાઓ જ નહીં, પરંતુ સામાન્ય રીતે કોઈપણ પૂર્ણાંક મૂલ્યો પણ શામેલ હોઈ શકે છે, જેમાં નકારાત્મક અને શૂન્યનો સમાવેશ થાય છે, કારણ કે તે પૂર્ણાંકોના સમૂહ સાથે પણ સંબંધિત છે.

વ્યાખ્યા 2

સકારાત્મક પૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથે સંખ્યાની શક્તિને સૂત્ર તરીકે રજૂ કરી શકાય છે: .

આ કિસ્સામાં, n એ કોઈપણ સકારાત્મક પૂર્ણાંક છે.

ચાલો શૂન્ય ડિગ્રીના ખ્યાલને સમજીએ. આ કરવા માટે, અમે એક અભિગમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ જે સમાન પાયા સાથેની સત્તાઓ માટે ગુણાંક ગુણધર્મને ધ્યાનમાં લે છે. તે આ રીતે ઘડવામાં આવે છે:

વ્યાખ્યા 3

સમાનતા a m: a n = a m − nનીચેની શરતો હેઠળ સાચું હશે: m અને n કુદરતી સંખ્યાઓ છે, m< n , a ≠ 0 .

છેલ્લી શરત મહત્વપૂર્ણ છે કારણ કે તે શૂન્ય વડે વિભાજન ટાળે છે. જો m અને n ની કિંમતો સમાન હોય, તો આપણને નીચેનું પરિણામ મળે છે: a n: a n = a n − n = a 0

પરંતુ તે જ સમયે a n: a n = 1 એ સમાન સંખ્યાઓનો ભાગ છે એક એનઅને એ. તે તારણ આપે છે કે કોઈપણ બિન-શૂન્ય સંખ્યાની શૂન્ય શક્તિ એક સમાન છે.

જો કે, આવી સાબિતી શૂન્યથી શૂન્ય શક્તિ પર લાગુ પડતી નથી. આ કરવા માટે, આપણને શક્તિઓની બીજી મિલકતની જરૂર છે - સમાન પાયા સાથે શક્તિઓના ઉત્પાદનોની મિલકત. તે આના જેવું દેખાય છે: a m · a n = a m + n .

જો n બરાબર 0 હોય, તો a m · a 0 = a m(આ સમાનતા એ પણ આપણને સાબિત કરે છે a 0 = 1). પરંતુ જો અને તે પણ શૂન્ય સમાન હોય, તો આપણી સમાનતા રૂપ ધારણ કરે છે 0 મી · 0 0 = 0 મી, તે n ના કોઈપણ કુદરતી મૂલ્ય માટે સાચું હશે, અને ડિગ્રીનું મૂલ્ય બરાબર શું છે તેનાથી કોઈ ફરક પડતો નથી 0 0 , એટલે કે, તે કોઈપણ સંખ્યાની સમાન હોઈ શકે છે, અને આ સમાનતાની ચોકસાઈને અસર કરશે નહીં. તેથી, ફોર્મનું સંકેત 0 0 તેનો પોતાનો વિશેષ અર્થ નથી, અને અમે તેને તેનું શ્રેય આપીશું નહીં.

જો ઇચ્છિત હોય, તો તે તપાસવું સરળ છે a 0 = 1ડિગ્રી પ્રોપર્ટી સાથે કન્વર્જ થાય છે (a m) n = a m nપૂરી પાડવામાં આવેલ છે કે ડિગ્રીનો આધાર શૂન્ય નથી. આમ, ઘાતાંક શૂન્ય સાથેની કોઈપણ બિન-શૂન્ય સંખ્યાની શક્તિ એક છે.

ઉદાહરણ 2

ચાલો ચોક્કસ સંખ્યાઓ સાથેનું ઉદાહરણ જોઈએ: તેથી, 5 0 - એકમ, (33 , 3) 0 = 1 , - 4 5 9 0 = 1 , અને મૂલ્ય 0 0 અવ્યાખ્યાયિત

શૂન્ય ડિગ્રી પછી, આપણે ફક્ત નકારાત્મક ડિગ્રી શું છે તે શોધવાનું છે. આ કરવા માટે, આપણને સમાન આધારો સાથેના શક્તિના ઉત્પાદનની સમાન ગુણધર્મની જરૂર છે જેનો આપણે ઉપર પહેલેથી ઉપયોગ કર્યો છે: a m · a n = a m + n.

ચાલો શરત રજૂ કરીએ: m = − n, પછી a શૂન્યની બરાબર ન હોવો જોઈએ. તે તેને અનુસરે છે a − n · a n = a − n + n = a 0 = 1. તે તારણ આપે છે કે એક n અને a−nઅમારી પાસે પરસ્પર પરસ્પર સંખ્યાઓ છે.

પરિણામે, a થી ઋણ પૂર્ણ શક્તિ એ અપૂર્ણાંક 1 a n કરતાં વધુ કંઈ નથી.

આ ફોર્મ્યુલેશન પુષ્ટિ કરે છે કે પૂર્ણાંક નકારાત્મક ઘાતાંક સાથેની ડિગ્રી માટે, કુદરતી ઘાતાંક સાથેની ડિગ્રી હોય તેવા તમામ સમાન ગુણધર્મો માન્ય છે (જો કે આધાર શૂન્યની બરાબર ન હોય).

ઉદાહરણ 3

ઘાત a ને ઋણ પૂર્ણાંક ઘાતાંક n સાથે અપૂર્ણાંક 1 a n તરીકે રજૂ કરી શકાય છે. આમ, a - n = 1 a n વિષય છે a ≠ 0અને n એ કોઈપણ કુદરતી સંખ્યા છે.

ચાલો ચોક્કસ ઉદાહરણો સાથે અમારા વિચારને સમજાવીએ:

ઉદાહરણ 4

3 - 2 = 1 3 2 , (- 4 . 2) - 5 = 1 (- 4 . 2) 5 , 11 37 - 1 = 1 11 37 1

ફકરાના છેલ્લા ભાગમાં, અમે એક સૂત્રમાં સ્પષ્ટ રીતે કહેવામાં આવેલી દરેક વસ્તુનું નિરૂપણ કરવાનો પ્રયાસ કરીશું:

વ્યાખ્યા 4

કુદરતી ઘાતાંક z સાથેની સંખ્યાની શક્તિ છે: a z = a z, e સાથે l અને z - ધન પૂર્ણાંક 1, z = 0 અને a ≠ 0, (z = 0 અને a = 0 માટે પરિણામ 0 0 છે, અભિવ્યક્તિ 0 0 ની કિંમતો વ્યાખ્યાયિત નથી) 1 a z, જો અને z એ ઋણ પૂર્ણાંક છે અને a ≠ 0 (જો z એ નકારાત્મક પૂર્ણાંક છે અને a = 0 છે તો તમને 0 z મળશે, અહંકારની કિંમત અનિશ્ચિત છે)

તર્કસંગત ઘાતાંક સાથેની શક્તિઓ શું છે?

જ્યારે ઘાતાંકમાં પૂર્ણાંક હોય ત્યારે અમે કેસોની તપાસ કરી. જો કે, જ્યારે તેના ઘાતાંકમાં અપૂર્ણાંક સંખ્યા હોય ત્યારે પણ તમે સંખ્યાને ઘાતમાં વધારી શકો છો. આને તર્કસંગત ઘાતાંક સાથેની શક્તિ કહેવામાં આવે છે. આ વિભાગમાં આપણે સાબિત કરીશું કે તેની પાસે અન્ય શક્તિઓની સમાન ગુણધર્મો છે.

તર્કસંગત સંખ્યાઓ શું છે? તેમના સમૂહમાં સંપૂર્ણ અને અપૂર્ણાંક બંને સંખ્યાઓનો સમાવેશ થાય છે, અને અપૂર્ણાંક સંખ્યાઓને સામાન્ય અપૂર્ણાંક (ધન અને નકારાત્મક બંને) તરીકે રજૂ કરી શકાય છે. ચાલો અપૂર્ણાંક ઘાતાંક m/n સાથે સંખ્યા a ની શક્તિની વ્યાખ્યા ઘડીએ, જ્યાં n એ કુદરતી સંખ્યા છે અને m એ પૂર્ણાંક છે.

આપણી પાસે અપૂર્ણાંક ઘાતાંક a m n સાથે અમુક ડિગ્રી છે. પાવર ટુ પાવર પ્રોપર્ટીને પકડી રાખવા માટે, સમાનતા a m n n = a m n · n = a m સાચી હોવી જોઈએ.

nમા મૂળની વ્યાખ્યા અને એ m n n = a m જોતાં, જો m, n અને a ના આપેલ મૂલ્યો માટે m n અર્થપૂર્ણ હોય તો અમે a m n = a m n શરત સ્વીકારી શકીએ છીએ.

પૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથેની ડિગ્રીના ઉપરોક્ત ગુણધર્મો a m n = a m n શરત હેઠળ સાચા હશે.

અમારા તર્કમાંથી મુખ્ય નિષ્કર્ષ આ છે: અપૂર્ણાંક ઘાતાંક m/n સાથેની ચોક્કસ સંખ્યા a ની શક્તિ એ સંખ્યા a થી ઘાત m સુધીનું nમું મૂળ છે. આ સાચું છે જો, m, n અને a ના આપેલ મૂલ્યો માટે, a m n અભિવ્યક્તિ અર્થપૂર્ણ રહે છે.

1. આપણે ડિગ્રીના પાયાના મૂલ્યને મર્યાદિત કરી શકીએ છીએ: ચાલો એ લઈએ, જે m ના સકારાત્મક મૂલ્યો માટે 0 કરતા વધારે અથવા બરાબર હશે, અને નકારાત્મક મૂલ્યો માટે - સખત રીતે ઓછું (કારણ કે m ≤ 0 માટે અમે મેળવીએ છીએ 0 મી, પરંતુ આવી ડિગ્રી વ્યાખ્યાયિત નથી). આ કિસ્સામાં, અપૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથે ડિગ્રીની વ્યાખ્યા આના જેવી દેખાશે:

અમુક ધન સંખ્યા a માટે અપૂર્ણાંક ઘાતાંક m/n સાથેની ઘાત એ ઘાત m સુધી વધેલા નું nમું મૂળ છે. આ એક સૂત્ર તરીકે વ્યક્ત કરી શકાય છે:

શૂન્ય આધાર સાથેની શક્તિ માટે, આ જોગવાઈ પણ યોગ્ય છે, પરંતુ જો તેનો ઘાતાંક ધન સંખ્યા હોય તો જ.

આધાર શૂન્ય અને અપૂર્ણાંક હકારાત્મક ઘાતાંક m/n સાથેની ઘાતને આ રીતે વ્યક્ત કરી શકાય છે

0 m n = 0 m n = 0 પૂરી પાડવામાં આવેલ m એ ધન પૂર્ણાંક છે અને n એ કુદરતી સંખ્યા છે.

નકારાત્મક ગુણોત્તર માટે m n< 0 степень не определяется, т.е. такая запись смысла не имеет.

ચાલો એક મુદ્દો નોંધીએ. અમે એ શરત રજૂ કરી છે કે a એ શૂન્ય કરતા મોટો અથવા તેની બરાબર છે, અમે કેટલાક કેસોને છોડી દીધા છે.

a m n અભિવ્યક્તિ કેટલીકવાર a અને કેટલાક m ના કેટલાક નકારાત્મક મૂલ્યો માટે હજુ પણ અર્થપૂર્ણ બને છે. આમ, સાચી એન્ટ્રીઓ (- 5) 2 3, (- 1, 2) 5 7, - 1 2 - 8 4 છે, જેમાં આધાર નકારાત્મક છે.

2. બીજો અભિગમ એ છે કે સમાન અને વિષમ ઘાતાંક સાથે મૂળ a m n ને અલગથી ધ્યાનમાં લેવું. પછી આપણે વધુ એક શરત રજૂ કરવાની જરૂર પડશે: ડિગ્રી a, જેના ઘાતાંકમાં ઘટાડો કરી શકાય તેવા સામાન્ય અપૂર્ણાંક હોય છે, તે ડિગ્રી a તરીકે ગણવામાં આવે છે, જેના ઘાતાંકમાં અનુરૂપ અપૂર્ણ અપૂર્ણાંક હોય છે. પછીથી આપણે સમજાવીશું કે શા માટે આપણને આ સ્થિતિની જરૂર છે અને તે શા માટે એટલું મહત્વપૂર્ણ છે. આમ, જો આપણી પાસે નોટેશન a m · k n · k હોય, તો આપણે તેને m n સુધી ઘટાડી શકીએ છીએ અને ગણતરીઓને સરળ બનાવી શકીએ છીએ.

જો n એક વિષમ સંખ્યા છે અને m નું મૂલ્ય ધન છે અને a કોઈપણ બિન-ઋણાત્મક સંખ્યા છે, તો m n અર્થપૂર્ણ છે. બિન-નેગેટિવ હોવાની શરત જરૂરી છે કારણ કે ઋણ સંખ્યામાંથી સમ ડિગ્રીનું મૂળ કાઢી શકાતું નથી. જો m નું મૂલ્ય ધન છે, તો પછી a નકારાત્મક અને શૂન્ય બંને હોઈ શકે છે, કારણ કે વિષમ મૂળ કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યામાંથી લઈ શકાય છે.

ચાલો ઉપરની બધી વ્યાખ્યાઓને એક એન્ટ્રીમાં જોડીએ:

અહીં m/n એટલે અફર અપૂર્ણાંક, m એ કોઈપણ પૂર્ણાંક છે અને n એ કોઈપણ કુદરતી સંખ્યા છે.

વ્યાખ્યા 5

કોઈપણ સામાન્ય ઘટાડી શકાય તેવા અપૂર્ણાંક માટે m · k n · k ડિગ્રીને m n દ્વારા બદલી શકાય છે.

અફર અપૂર્ણાંક ઘાતાંક m / n સાથે સંખ્યા a ની શક્તિ નીચેના કિસ્સાઓમાં m n તરીકે વ્યક્ત કરી શકાય છે: - કોઈપણ વાસ્તવિક a માટે, હકારાત્મક પૂર્ણાંક મૂલ્યો m અને વિચિત્ર કુદરતી મૂલ્યો n. ઉદાહરણ: 2 5 3 = 2 5 3, (- 5, 1) 2 7 = (- 5, 1) - 2 7, 0 5 19 = 0 5 19.

કોઈપણ બિન-શૂન્ય વાસ્તવિક a માટે, m ના નકારાત્મક પૂર્ણાંક મૂલ્યો અને n ના વિષમ મૂલ્યો, ઉદાહરણ તરીકે, 2 - 5 3 = 2 - 5 3, (- 5, 1) - 2 7 = (- 5, 1) - 2 7

કોઈપણ બિન-ઋણાત્મક a માટે, હકારાત્મક પૂર્ણાંક m અને n પણ, ઉદાહરણ તરીકે, 2 1 4 = 2 1 4, (5, 1) 3 2 = (5, 1) 3, 0 7 18 = 0 7 18.

કોઈપણ ધન a માટે, ઋણ પૂર્ણાંક m અને n પણ, ઉદાહરણ તરીકે, 2 - 1 4 = 2 - 1 4, (5, 1) - 3 2 = (5, 1) - 3, .

અન્ય મૂલ્યોના કિસ્સામાં, અપૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથેની ડિગ્રી નક્કી કરવામાં આવતી નથી. આવી ડિગ્રીઓના ઉદાહરણો: - 2 11 6, - 2 1 2 3 2, 0 - 2 5.

હવે ચાલો ઉપર ચર્ચા કરેલ સ્થિતિનું મહત્વ સમજાવીએ: શા માટે અપૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથે અપૂર્ણાંક ઘાત સાથે અપૂર્ણાંકને બદલો. જો અમે આ ન કર્યું હોત, તો અમારી પાસે નીચેની પરિસ્થિતિઓ હોત, કહો, 6/10 = 3/5. પછી તે સાચું હોવું જોઈએ (- 1) 6 10 = - 1 3 5 , પરંતુ - 1 6 10 = (- 1) 6 10 = 1 10 = 1 10 10 = 1 , અને (- 1) 3 5 = (- 1 ) 3 5 = - 1 5 = - 1 5 5 = - 1 .

અપૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથેની ડિગ્રીની વ્યાખ્યા, જે અમે પ્રથમ રજૂ કરી છે, તે બીજા કરતાં વ્યવહારમાં ઉપયોગમાં લેવા માટે વધુ અનુકૂળ છે, તેથી અમે તેનો ઉપયોગ કરવાનું ચાલુ રાખીશું.

વ્યાખ્યા 6

આમ, અપૂર્ણાંક ઘાતાંક m/n સાથે ધન સંખ્યા a ની શક્તિ 0 m n = 0 m n = 0 તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે. નકારાત્મક કિસ્સામાં aનોટેશન a m n નો અર્થ નથી. ધન અપૂર્ણાંક ઘાતાંક માટે શૂન્યની શક્તિ m/n 0 m n = 0 m n = 0 તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે, નકારાત્મક અપૂર્ણાંક ઘાતાંક માટે આપણે શૂન્યની ડિગ્રી વ્યાખ્યાયિત કરતા નથી.

નિષ્કર્ષમાં, અમે નોંધીએ છીએ કે તમે કોઈપણ અપૂર્ણાંક સૂચકને મિશ્ર સંખ્યા અને દશાંશ અપૂર્ણાંક બંને તરીકે લખી શકો છો: 5 1, 7, 3 2 5 - 2 3 7.

ગણતરી કરતી વખતે, ઘાતાંકને સામાન્ય અપૂર્ણાંક સાથે બદલવું અને પછી અપૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથે ઘાતાંકની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરવો વધુ સારું છે. ઉપરોક્ત ઉદાહરણો માટે આપણે મેળવીએ છીએ:

5 1 , 7 = 5 17 10 = 5 7 10 3 2 5 - 2 3 7 = 3 2 5 - 17 7 = 3 2 5 - 17 7

અતાર્કિક અને વાસ્તવિક ઘાતાંક સાથેની શક્તિઓ શું છે?

વાસ્તવિક સંખ્યાઓ શું છે? તેમના સમૂહમાં તર્કસંગત અને અતાર્કિક બંને સંખ્યાઓ શામેલ છે. તેથી, વાસ્તવિક ઘાતાંક સાથેની ડિગ્રી શું છે તે સમજવા માટે, આપણે તર્કસંગત અને અતાર્કિક ઘાતાંક સાથે ડિગ્રીને વ્યાખ્યાયિત કરવાની જરૂર છે. અમે ઉપર તર્કસંગતનો ઉલ્લેખ કર્યો છે. ચાલો અતાર્કિક સૂચકાંકો સાથે તબક્કાવાર વ્યવહાર કરીએ.

ઉદાહરણ 5

ચાલો ધારીએ કે આપણી પાસે અતાર્કિક સંખ્યા a છે અને તેના દશાંશ અંદાજનો ક્રમ a 0 , a 1 , a 2 , . . . . ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો a = 1.67175331 મૂલ્ય લઈએ. . . , પછી

a 0 = 1, 6, a 1 = 1, 67, a 2 = 1, 671, . . . , a 0 = 1.67, a 1 = 1.6717, a 2 = 1.671753, . . .

અમે અનુક્રમણિકાના અનુક્રમોને ડિગ્રીના ક્રમ સાથે સાંકળી શકીએ છીએ a a 0 , a 1 , a 2 , . . . . જો આપણે તર્કસંગત શક્તિઓની સંખ્યા વધારવા વિશે અગાઉ જે કહ્યું તે યાદ રાખીએ, તો આપણે આ શક્તિઓના મૂલ્યોની જાતે ગણતરી કરી શકીએ છીએ.

ઉદાહરણ તરીકે લઈએ a = 3, પછી a a 0 = 3 1, 67, a a 1 = 3 1, 6717, a a 2 = 3 1, 671753, . . . વગેરે

શક્તિઓનો ક્રમ સંખ્યા સુધી ઘટાડી શકાય છે, જે આધાર a અને અતાર્કિક ઘાતાંક a સાથેની શક્તિનું મૂલ્ય હશે. પરિણામે: ફોર્મ 3 1, 67175331 ના અતાર્કિક ઘાતાંક સાથેની ડિગ્રી. . નંબર 6, 27 સુધી ઘટાડી શકાય છે.

વ્યાખ્યા 7

અતાર્કિક ઘાતાંક સાથેની ધન સંખ્યા a ની શક્તિ a તરીકે લખવામાં આવે છે. તેનું મૂલ્ય એ a 0 , a 1 , a 2 , ક્રમની મર્યાદા છે. . . , જ્યાં a 0 , a 1 , a 2 , . . . અતાર્કિક સંખ્યા a ના ક્રમિક દશાંશ અંદાજો છે. શૂન્ય આધાર સાથેની ડિગ્રીને હકારાત્મક અતાર્કિક ઘાતાંક માટે પણ વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે, જેમાં 0 a = 0 છે તેથી, 0 6 = 0, 0 21 3 3 = 0. પરંતુ આ નકારાત્મક માટે કરી શકાતું નથી, કારણ કે, ઉદાહરણ તરીકે, મૂલ્ય 0 - 5, 0 - 2 π વ્યાખ્યાયિત નથી. કોઈપણ અતાર્કિક શક્તિમાં વધારો કરેલ એકમ એકમ રહે છે, ઉદાહરણ તરીકે, અને 1 2, 1 5 માં 2 અને 1 - 5 બરાબર 1 હશે.

જો તમને ટેક્સ્ટમાં કોઈ ભૂલ દેખાય છે, તો કૃપા કરીને તેને હાઇલાઇટ કરો અને Ctrl+Enter દબાવો

સંખ્યાની શક્તિ વિશે વાતચીત ચાલુ રાખીને, શક્તિનું મૂલ્ય કેવી રીતે શોધવું તે શોધવાનું તાર્કિક છે. આ પ્રક્રિયા કહેવામાં આવે છે ઘાત. આ લેખમાં આપણે અભ્યાસ કરીશું કે ઘાતાંક કેવી રીતે કરવામાં આવે છે, જ્યારે આપણે તમામ સંભવિત ઘાતાંકને સ્પર્શ કરીશું - કુદરતી, પૂર્ણાંક, તર્કસંગત અને અતાર્કિક. અને પરંપરા અનુસાર, અમે વિવિધ શક્તિઓને સંખ્યા વધારવાના ઉદાહરણોના વિગતવાર ઉકેલો પર વિચાર કરીશું.

પૃષ્ઠ નેવિગેશન.

"ઘાત" નો અર્થ શું છે?

ચાલો ઘાતાંક શું કહેવાય છે તે સમજાવીને શરૂ કરીએ. અહીં સંબંધિત વ્યાખ્યા છે.

વ્યાખ્યા.

ઘાત- આ સંખ્યાની શક્તિનું મૂલ્ય શોધી રહ્યું છે.

આમ, ઘાત r સાથે સંખ્યા a ની ઘાતનું મૂલ્ય શોધવું અને સંખ્યા a ને ઘાત r સુધી વધારવી એ સમાન વસ્તુ છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો કાર્ય "પાવર (0.5) 5 ની કિંમતની ગણતરી કરો" છે, તો તેને નીચે પ્રમાણે સુધારી શકાય છે: "સંખ્યા 0.5 ને પાવર 5 પર વધારવો."

હવે તમે સીધા નિયમો પર જઈ શકો છો જેના દ્વારા ઘાત કરવામાં આવે છે.

સંખ્યાને કુદરતી શક્તિમાં વધારવી

વ્યવહારમાં, પર આધારિત સમાનતા સામાન્ય રીતે ફોર્મમાં લાગુ થાય છે. એટલે કે, જ્યારે સંખ્યા a ને અપૂર્ણાંક ઘાત m/n સુધી વધારતા હોય, ત્યારે પ્રથમ a સંખ્યાનો nમો મૂળ લેવામાં આવે છે, જે પછી પરિણામી પરિણામને પૂર્ણાંક ઘાત m સુધી વધારવામાં આવે છે.

ચાલો અપૂર્ણાંક શક્તિમાં વધારો કરવાના ઉદાહરણોના ઉકેલો જોઈએ.

ઉદાહરણ.

ડિગ્રીના મૂલ્યની ગણતરી કરો.

ઉકેલ.

અમે બે ઉકેલો બતાવીશું.

પ્રથમ માર્ગ. અપૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથે ડિગ્રીની વ્યાખ્યા દ્વારા. અમે રુટ ચિહ્ન હેઠળ ડિગ્રીના મૂલ્યની ગણતરી કરીએ છીએ, અને પછી ક્યુબ રુટને બહાર કાઢીએ છીએ: .

બીજી રીત. અપૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથેની ડિગ્રીની વ્યાખ્યા દ્વારા અને મૂળના ગુણધર્મોના આધારે, નીચેની સમાનતાઓ સાચી છે: . હવે આપણે રુટ કાઢીએ છીએ , અંતે, આપણે તેને પૂર્ણાંક ઘાતમાં વધારીએ છીએ .

દેખીતી રીતે, અપૂર્ણાંક શક્તિમાં વધારો કરવાના પ્રાપ્ત પરિણામો એકરૂપ છે.

જવાબ:

નોંધ કરો કે અપૂર્ણાંક ઘાતાંકને દશાંશ અપૂર્ણાંક અથવા મિશ્ર સંખ્યા તરીકે લખી શકાય છે, આ કિસ્સાઓમાં તેને અનુરૂપ સામાન્ય અપૂર્ણાંક સાથે બદલવું જોઈએ, અને પછી ઘાતમાં વધારો કરવો જોઈએ.

ઉદાહરણ.

ગણતરી કરો (44.89) 2.5.

ઉકેલ.

ચાલો ઘાતાંકને સામાન્ય અપૂર્ણાંકના રૂપમાં લખીએ (જો જરૂરી હોય તો, લેખ જુઓ): . હવે આપણે અપૂર્ણાંક શક્તિમાં વધારો કરીએ છીએ:

જવાબ:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

એવું પણ કહેવું જોઈએ કે તર્કસંગત શક્તિઓમાં સંખ્યાઓ વધારવી એ એક શ્રમ-સઘન પ્રક્રિયા છે (ખાસ કરીને જ્યારે અપૂર્ણાંક ઘાતાંકના અંશ અને છેદમાં પૂરતી મોટી સંખ્યા હોય છે), જે સામાન્ય રીતે કમ્પ્યુટર તકનીકનો ઉપયોગ કરીને હાથ ધરવામાં આવે છે.

આ બિંદુને સમાપ્ત કરવા માટે, ચાલો આપણે સંખ્યા શૂન્યને અપૂર્ણાંક શક્તિમાં વધારવા પર ધ્યાન આપીએ. અમે ફોર્મની શૂન્યની અપૂર્ણાંક શક્તિનો નીચેનો અર્થ આપ્યો: જ્યારે આપણી પાસે હોય , અને શૂન્ય થી m/n પાવર વ્યાખ્યાયિત નથી. તેથી, શૂન્યથી અપૂર્ણાંક હકારાત્મક શક્તિ શૂન્ય છે, ઉદાહરણ તરીકે, . અને અપૂર્ણાંક નકારાત્મક શક્તિમાં શૂન્યનો અર્થ નથી, ઉદાહરણ તરીકે, 0 -4.3 અભિવ્યક્તિઓનો અર્થ નથી.

અતાર્કિક શક્તિમાં વધારો

કેટલીકવાર અતાર્કિક ઘાતાંક સાથે સંખ્યાની શક્તિનું મૂલ્ય શોધવાનું જરૂરી બને છે. આ કિસ્સામાં, વ્યવહારુ હેતુઓ માટે તે સામાન્ય રીતે ચોક્કસ નિશાની માટે ચોક્કસ ડિગ્રીનું મૂલ્ય મેળવવા માટે પૂરતું છે. ચાલો આપણે તરત જ નોંધ લઈએ કે વ્યવહારમાં આ મૂલ્ય ઇલેક્ટ્રોનિક કમ્પ્યુટર્સનો ઉપયોગ કરીને ગણવામાં આવે છે, કારણ કે તેને અતાર્કિક શક્તિમાં મેન્યુઅલી વધારવા માટે મોટી સંખ્યામાં બોજારૂપ ગણતરીઓની જરૂર પડે છે. પરંતુ અમે હજી પણ સામાન્ય શબ્દોમાં ક્રિયાઓના સારનું વર્ણન કરીશું.

અતાર્કિક ઘાતાંક સાથે સંખ્યા a ની શક્તિનું અંદાજિત મૂલ્ય મેળવવા માટે, ઘાતાંકનો અમુક દશાંશ અંદાજ લેવામાં આવે છે અને ઘાતનું મૂલ્ય ગણવામાં આવે છે. આ મૂલ્ય એ અતાર્કિક ઘાતાંક સાથે સંખ્યા aની શક્તિનું અંદાજિત મૂલ્ય છે. શરૂઆતમાં સંખ્યાનું દશાંશ અંદાજ જેટલું વધુ સચોટ લેવામાં આવે છે, તેટલું જ વધુ ચોક્કસ ડિગ્રીનું મૂલ્ય અંતમાં પ્રાપ્ત થશે.

ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો 2 1.174367 ની શક્તિના અંદાજિત મૂલ્યની ગણતરી કરીએ... . ચાલો અતાર્કિક ઘાતાંકનો નીચેનો દશાંશ અંદાજ લઈએ: . હવે આપણે 2 ને બુદ્ધિગમ્ય શક્તિ 1.17 પર વધારીએ છીએ (અમે અગાઉના ફકરામાં આ પ્રક્રિયાના સારનું વર્ણન કર્યું છે), આપણને 2 1.17 ≈2.250116 મળે છે. આમ, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . જો આપણે અતાર્કિક ઘાતાંકનો વધુ સચોટ દશાંશ અંદાજ લઈએ, ઉદાહરણ તરીકે, તો આપણે મૂળ ઘાતાંકનું વધુ સચોટ મૂલ્ય મેળવીએ છીએ: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

ગ્રંથસૂચિ.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. 5મા ધોરણ માટે ગણિતનું પાઠ્યપુસ્તક. શૈક્ષણિક સંસ્થાઓ.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. બીજગણિત: 7મા ધોરણ માટે પાઠ્યપુસ્તક. શૈક્ષણિક સંસ્થાઓ.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. બીજગણિત: 8મા ધોરણ માટે પાઠ્યપુસ્તક. શૈક્ષણિક સંસ્થાઓ.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. બીજગણિત: 9મા ધોરણ માટે પાઠ્યપુસ્તક. શૈક્ષણિક સંસ્થાઓ.
• કોલ્મોગોરોવ એ.એન., અબ્રામોવ એ.એમ., ડુડનિટ્સિન યુ.પી. અને અન્ય. બીજગણિત અને વિશ્લેષણની શરૂઆત: સામાન્ય શિક્ષણ સંસ્થાઓના ધોરણ 10 - 11 માટે પાઠ્યપુસ્તક.
• ગુસેવ વી.એ., મોર્ડકોવિચ એ.જી. ગણિત (તકનીકી શાળાઓમાં પ્રવેશ કરનારાઓ માટે માર્ગદર્શિકા).

શક્તિનો ઉપયોગ સંખ્યાને પોતાના દ્વારા ગુણાકાર કરવાની ક્રિયાને સરળ બનાવવા માટે થાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, લખવાને બદલે, તમે લખી શકો છો 4 5 (\Displaystyle 4^(5))(આ સંક્રમણ માટેની સમજૂતી આ લેખના પ્રથમ વિભાગમાં આપવામાં આવી છે). ડિગ્રી લાંબા અથવા જટિલ અભિવ્યક્તિઓ અથવા સમીકરણો લખવાનું સરળ બનાવે છે; સત્તાઓ ઉમેરવા અને બાદબાકી કરવા માટે પણ સરળ છે, પરિણામે એક સરળ અભિવ્યક્તિ અથવા સમીકરણ (ઉદાહરણ તરીકે, 4 2 ∗ 4 3 = 4 5 (\displaystyle 4^(2)*4^(3)=4^(5))).

નૉૅધ:જો તમારે ઘાતાંકીય સમીકરણ ઉકેલવાની જરૂર હોય (આવા સમીકરણમાં અજ્ઞાત ઘાતાંકમાં હોય છે), તો વાંચો.

પગલાં

ડિગ્રી સાથે સરળ સમસ્યાઓનું નિરાકરણ

ઘાતાંકના પાયાને ઘાતાંકની સમાન સંખ્યાના પોતાના દ્વારા ગુણાકાર કરો.જો તમારે પાવર સમસ્યાને હાથથી ઉકેલવાની જરૂર હોય, તો પાવરને ગુણાકારની ક્રિયા તરીકે ફરીથી લખો, જ્યાં પાવરનો આધાર પોતે જ ગુણાકાર થાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, ડિગ્રી આપવામાં આવે છે 3 4 (\Displaystyle 3^(4)). આ કિસ્સામાં, પાવર 3 નો આધાર 4 વખત પોતાના દ્વારા ગુણાકાર કરવો આવશ્યક છે: 3 ∗ 3 ∗ 3 ∗ 3 (\Displaystyle 3*3*3*3). અહીં અન્ય ઉદાહરણો છે:

પ્રથમ, પ્રથમ બે સંખ્યાઓનો ગુણાકાર કરો.દાખ્લા તરીકે, 4 5 (\Displaystyle 4^(5)) = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\Displaystyle 4*4*4*4*4). ચિંતા કરશો નહીં - ગણતરી પ્રક્રિયા એટલી જટિલ નથી જેટલી તે પ્રથમ નજરમાં લાગે છે. પહેલા પ્રથમ બે ચોગ્ગાનો ગુણાકાર કરો અને પછી પરિણામ સાથે બદલો. આની જેમ:

પરિણામ (અમારા ઉદાહરણમાં 16) ને આગલી સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરો.દરેક અનુગામી પરિણામ પ્રમાણસર વધશે. અમારા ઉદાહરણમાં, 16 ને 4 વડે ગુણાકાર કરો. આની જેમ:

નીચેની સમસ્યાઓ હલ કરો.કેલ્ક્યુલેટરનો ઉપયોગ કરીને તમારો જવાબ તપાસો.

તમારા કેલ્ક્યુલેટર પર, "exp" અથવા "" લેબલવાળી કી શોધો x n (\Displaystyle x^(n)) ", અથવા "^".આ કીનો ઉપયોગ કરીને તમે સંખ્યાને પાવરમાં વધારશો. મેન્યુઅલી મોટા સૂચક સાથે ડિગ્રીની ગણતરી કરવી લગભગ અશક્ય છે (ઉદાહરણ તરીકે, ડિગ્રી 9 15 (\Displaystyle 9^(15))), પરંતુ કેલ્ક્યુલેટર સરળતાથી આ કાર્યનો સામનો કરી શકે છે. Windows 7 માં, પ્રમાણભૂત કેલ્ક્યુલેટરને એન્જિનિયરિંગ મોડ પર સ્વિચ કરી શકાય છે; આ કરવા માટે, "જુઓ" -> "એન્જિનિયરિંગ" પર ક્લિક કરો. સામાન્ય મોડ પર સ્વિચ કરવા માટે, "જુઓ" -> "સામાન્ય" પર ક્લિક કરો.

• સર્ચ એન્જિન (Google અથવા Yandex) નો ઉપયોગ કરીને તમને પ્રાપ્ત થયેલ જવાબ તપાસો.. તમારા કમ્પ્યુટર કીબોર્ડ પર "^" કીનો ઉપયોગ કરીને, સર્ચ એન્જિનમાં અભિવ્યક્તિ દાખલ કરો, જે તરત જ સાચો જવાબ પ્રદર્શિત કરશે (અને સંભવતઃ તમને અભ્યાસ કરવા માટે સમાન અભિવ્યક્તિઓ સૂચવશે).

સરવાળો, બાદબાકી, શક્તિઓનો ગુણાકાર

1. જો તેમની પાસે સમાન આધાર હોય તો જ તમે ડિગ્રી ઉમેરી અને બાદ કરી શકો છો.જો તમારે સમાન પાયા અને ઘાતાંક સાથે શક્તિઓ ઉમેરવાની જરૂર હોય, તો પછી તમે વધારાની ક્રિયાને ગુણાકારની ક્રિયા સાથે બદલી શકો છો. ઉદાહરણ તરીકે, અભિવ્યક્તિ આપવામાં આવે છે 4 5 + 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)). યાદ રાખો કે ડિગ્રી 4 5 (\Displaystyle 4^(5))ફોર્મમાં રજૂ કરી શકાય છે 1 ∗ 4 5 (\Displaystyle 1*4^(5)); આમ, 4 5 + 4 5 = 1 ∗ 4 5 + 1 ∗ 4 5 = 2 ∗ 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)=1*4^(5)+1*4^(5) =2*4^(5))(જ્યાં 1 +1 =2). એટલે કે, સમાન ડિગ્રીની સંખ્યા ગણો, અને પછી તે ડિગ્રી અને આ સંખ્યાને ગુણાકાર કરો. અમારા ઉદાહરણમાં, 4 ને પાંચમી ઘાતમાં વધારો, અને પછી પરિણામી પરિણામને 2 વડે ગુણાકાર કરો. યાદ રાખો કે વધારાની ક્રિયાને ગુણાકારની ક્રિયા દ્વારા બદલી શકાય છે, ઉદાહરણ તરીકે, 3 + 3 = 2 ∗ 3 (\displaystyle 3+3=2*3). અહીં અન્ય ઉદાહરણો છે:

   સમાન આધાર સાથે શક્તિઓનો ગુણાકાર કરતી વખતે, તેમના ઘાતાંક ઉમેરવામાં આવે છે (આધાર બદલાતો નથી).ઉદાહરણ તરીકે, અભિવ્યક્તિ આપવામાં આવે છે x 2 ∗ x 5 (\displaystyle x^(2)*x^(5)). આ કિસ્સામાં, તમારે ફક્ત સૂચકો ઉમેરવાની જરૂર છે, આધારને યથાવત છોડીને. આમ, x 2 ∗ x 5 = x 7 (\displaystyle x^(2)*x^(5)=x^(7)). અહીં આ નિયમનું દ્રશ્ય સમજૂતી છે:

   જ્યારે ઘાતને ઘાતમાં વધારતી વખતે, ઘાતાંકનો ગુણાકાર થાય છે.ઉદાહરણ તરીકે, ડિગ્રી આપવામાં આવે છે (x 2) 5 (\Displaystyle (x^(2))^(5)). ત્યારથી ઘાતનો ગુણાકાર થાય છે, તો પછી (x 2) 5 = x 2 ∗ 5 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2*5)=x^(10)). આ નિયમનો મુદ્દો એ છે કે તમે શક્તિઓ દ્વારા ગુણાકાર કરો છો (x 2) (\Displaystyle (x^(2)))પોતે પાંચ વખત. આની જેમ:

   નકારાત્મક ઘાતાંક સાથેની શક્તિને અપૂર્ણાંક (વિપરીત શક્તિ) માં રૂપાંતરિત કરવી જોઈએ.જો તમને પારસ્પરિક ડિગ્રી શું છે તે ખબર ન હોય તો કોઈ વાંધો નથી. જો તમને નકારાત્મક ઘાતાંક સાથે ડિગ્રી આપવામાં આવે, દા.ત. 3 − 2 (\Displaystyle 3^(-2)), આ ડિગ્રીને અપૂર્ણાંકના છેદમાં લખો (અંશમાં 1 મૂકો), અને ઘાતાંકને હકારાત્મક બનાવો. અમારા ઉદાહરણમાં: 1 3 2 (\Displaystyle (\frac (1)(3^(2)))). અહીં અન્ય ઉદાહરણો છે:

   સમાન આધાર સાથે ડિગ્રીને વિભાજીત કરતી વખતે, તેમના ઘાતાંક બાદ કરવામાં આવે છે (આધાર બદલાતો નથી).ભાગાકારની ક્રિયા એ ગુણાકારની ક્રિયાની વિરુદ્ધ છે. ઉદાહરણ તરીકે, અભિવ્યક્તિ આપવામાં આવે છે 4 4 4 2 (\Displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))). અંશમાં ઘાતાંકમાંથી છેદમાં ઘાતાંક બાદ કરો (આધાર બદલશો નહીં). આમ, 4 4 4 2 = 4 4 − 2 = 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))=4^(4-2)=4^(2)) = 16 .

   નીચે કેટલાક અભિવ્યક્તિઓ છે જે તમને ઘાતાંક સાથેની સમસ્યાઓ હલ કરવાનું શીખવામાં મદદ કરશે.આપેલ અભિવ્યક્તિઓ આ વિભાગમાં પ્રસ્તુત સામગ્રીને આવરી લે છે. જવાબ જોવા માટે, સમાન ચિહ્ન પછી ખાલી જગ્યા પસંદ કરો.

અપૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથે સમસ્યાઓનું નિરાકરણ

અપૂર્ણાંક સૂચક સાથે ડિગ્રી (ઉદાહરણ તરીકે, x 1 2 (\displaystyle x^(\frac (1)(2))) ) રૂટ નિષ્કર્ષણ કામગીરીમાં રૂપાંતરિત થાય છે.અમારા ઉદાહરણમાં: x 1 2 (\displaystyle x^(\frac (1)(2))) = x (\Displaystyle (\sqrt (x))). અહીં અપૂર્ણાંક ઘાતાંકના છેદમાં કઈ સંખ્યા છે તેનાથી કોઈ ફરક પડતો નથી. દાખ્લા તરીકે, x 1 4 (\displaystyle x^(\frac (1)(4)))- "x" નું ચોથું મૂળ છે, એટલે કે x 4 (\Displaystyle (\sqrt[(4)](x))) .