გამონათქვამები, გამოხატვის გარდაქმნა

ძალაუფლების გამონათქვამები (გამოხატვები ძალებით) და მათი ტრანსფორმაცია

ამ სტატიაში ვისაუბრებთ გამონათქვამების ძალაუფლებით კონვერტაციაზე. პირველ რიგში, ჩვენ ყურადღებას გავამახვილებთ ტრანსფორმაციებზე, რომლებიც შესრულებულია ნებისმიერი სახის გამონათქვამებით, მათ შორის ძალის გამონათქვამებით, როგორიცაა ფრჩხილების გახსნა და მსგავსი ტერმინების მოტანა. შემდეგ ჩვენ გავაანალიზებთ გარდაქმნებს, რომლებიც თან ახლავს კონკრეტულად გამონათქვამებს გრადუსით: მუშაობა ფუძესთან და ექსპონენტთან, ხარისხების თვისებების გამოყენებით და ა.შ.

გვერდის ნავიგაცია.

რა არის ძალაუფლების გამონათქვამები?

ტერმინი „ძალაუფლების გამონათქვამები“ პრაქტიკულად არ გვხვდება სასკოლო მათემატიკის სახელმძღვანელოებში, მაგრამ საკმაოდ ხშირად გვხვდება ამოცანების კრებულებში, განსაკუთრებით ისეთ პრობლემებში, რომლებიც განკუთვნილია ერთიანი სახელმწიფო გამოცდისთვის და ერთიანი სახელმწიფო გამოცდისთვის, მაგალითად. ამოცანების გაანალიზების შემდეგ, რომლებშიც აუცილებელია რაიმე მოქმედების შესრულება ძალის გამონათქვამებით, ცხადი ხდება, რომ ძალაუფლების გამონათქვამები გაგებულია, როგორც გამონათქვამები, რომლებიც შეიცავს ძალაუფლებას მათ ჩანაწერებში. ამიტომ, თქვენ შეგიძლიათ მიიღოთ შემდეგი განმარტება თქვენთვის:

განმარტება.

ძალის გამონათქვამებიარის გამონათქვამები, რომლებიც შეიცავს ძალაუფლებას.

მივცეთ ძალაუფლების გამოხატვის მაგალითები. უფრო მეტიც, ჩვენ წარმოგიდგენთ მათ იმის მიხედვით, თუ როგორ ხდება შეხედულებების განვითარება ხარისხიდან ბუნებრივი მაჩვენებლით რეალურ მაჩვენებელთან.

როგორც ცნობილია, ჯერ ეცნობა რიცხვის სიმძლავრეს ბუნებრივი მაჩვენებლით; ამ ეტაპზე პირველი უმარტივესი სიმძლავრის გამონათქვამები ტიპის 3 2, 7 5 +1, (2+1) 5, (−0.1) 4, 3 a 2 გამოჩნდება −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 და ა.შ.

ცოტა მოგვიანებით, შესწავლილია რიცხვის სიმძლავრე მთელი რიცხვის მაჩვენებლით, რაც იწვევს უარყოფითი მთელი ძალებით გამოსახულებების გამოჩენას, როგორიცაა: 3 −2, , a −2 +2 b −3 +c 2 .

საშუალო სკოლაში ისინი უბრუნდებიან ხარისხს. იქ შემოღებულია ხარისხი რაციონალური მაჩვენებლით, რაც გულისხმობს შესაბამისი სიმძლავრის გამონათქვამების გამოჩენას: , , და ასე შემდეგ. და ბოლოს, განიხილება ირაციონალური მაჩვენებლებით და მათ შემცველი გამონათქვამები: , .

საკითხი არ შემოიფარგლება ჩამოთვლილი სიმძლავრის გამოსახულებებით: შემდგომში ცვლადი აღწევს მაჩვენებელში და, მაგალითად, წარმოიქმნება შემდეგი გამონათქვამები: 2 x 2 +1 ან . და გაცნობის შემდეგ იწყება გამონათქვამები ძალებითა და ლოგარითმებით, მაგალითად, x 2·lgx −5·x lgx.

ასე რომ, ჩვენ განვიხილეთ კითხვა, თუ რას წარმოადგენს ძალაუფლების გამონათქვამები. შემდეგ ჩვენ ვისწავლით მათ გარდაქმნას.

ძალაუფლების გამონათქვამების გარდაქმნების ძირითადი ტიპები

ძალაუფლების გამონათქვამებით შეგიძლიათ შეასრულოთ გამონათქვამების იდენტობის ნებისმიერი ძირითადი ტრანსფორმაცია. მაგალითად, შეგიძლიათ გახსნათ ფრჩხილები, შეცვალოთ რიცხვითი გამონათქვამები მათი მნიშვნელობებით, დაამატოთ მსგავსი ტერმინები და ა.შ. ბუნებრივია, ამ შემთხვევაში აუცილებელია მოქმედებების განხორციელებისთვის მიღებული პროცედურის დაცვა. მოვიყვანოთ მაგალითები.

მაგალითი.

გამოთვალეთ სიმძლავრის გამოხატვის მნიშვნელობა 2 3 ·(4 2 −12) .

გამოსავალი.

მოქმედებების შესრულების თანმიმდევრობის მიხედვით, ჯერ შეასრულეთ მოქმედებები ფრჩხილებში. იქ, პირველ რიგში, ვანაცვლებთ სიმძლავრეს 4 2 მისი მნიშვნელობით 16 (საჭიროების შემთხვევაში იხილეთ) და მეორეც, ვიანგარიშებთ სხვაობას 16−12=4. Ჩვენ გვაქვს 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4.

მიღებულ გამონათქვამში ვანაცვლებთ სიმძლავრეს 2 3 მისი მნიშვნელობით 8, რის შემდეგაც ვიანგარიშებთ ნამრავლს 8·4=32. ეს არის სასურველი მნიშვნელობა.

Ისე, 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4=8·4=32.

პასუხი:

2 3 ·(4 2 −12)=32.

მაგალითი.

გამოთქმების გამარტივება ძალებით 3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7.

გამოსავალი.

ცხადია, ეს გამოთქმა შეიცავს მსგავს ტერმინებს 3·a 4 ·b −7 და 2·a 4 ·b −7 , და შეგვიძლია წარმოვადგინოთ ისინი: .

პასუხი:

3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7 =5 a 4 b −7 −1.

მაგალითი.

გამოხატეთ გამოხატულება ძალებით, როგორც პროდუქტი.

გამოსავალი.

თქვენ შეგიძლიათ გაუმკლავდეთ დავალებას რიცხვი 9-ის 3 2-ის ხარისხად წარმოდგენით და შემდეგ შემოკლებული გამრავლების ფორმულის გამოყენებით - კვადრატების განსხვავება:

პასუხი:

ასევე არსებობს მთელი რიგი იდენტური გარდაქმნები, რომლებიც თან ახლავს კონკრეტულად ძალაუფლების გამონათქვამებს. ჩვენ მათ შემდგომ გავაანალიზებთ.

ბაზისთან და ექსპონენტთან მუშაობა

არის გრადუსები, რომელთა ფუძე და/ან მაჩვენებლები არ არის მხოლოდ რიცხვები ან ცვლადები, არამედ ზოგიერთი გამონათქვამი. მაგალითად, ვაძლევთ ჩანაწერებს (2+0.3·7) 5−3.7 და (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) .

ასეთ გამონათქვამებთან მუშაობისას შეგიძლიათ შეცვალოთ როგორც გამოხატულება ხარისხის საფუძველში, ასევე გამოხატულება ექსპონენტში იდენტური თანაბარი გამოსახულებით მისი ცვლადების ODZ-ში. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ჩვენთვის ცნობილი წესების მიხედვით, ჩვენ შეგვიძლია ცალ-ცალკე გარდაქმნათ ხარისხის ფუძე და ცალ-ცალკე მაჩვენებლის. ცხადია, რომ ამ ტრანსფორმაციის შედეგად მიიღება გამონათქვამი, რომელიც იდენტურად უტოლდება ორიგინალს.

ასეთი გარდაქმნები საშუალებას გვაძლევს გავამარტივოთ გამოთქმები ძალებით ან მივაღწიოთ სხვა მიზნებს, რაც გვჭირდება. მაგალითად, ზემოთ ნახსენები სიმძლავრის გამოხატულებაში (2+0.3 7) 5−3.7 შეგიძლიათ შეასრულოთ მოქმედებები ფუძეზე და მაჩვენებელში მოცემული რიცხვებით, რაც საშუალებას მოგცემთ გადახვიდეთ ხარისხზე 4.1 1.3. ფრჩხილების გახსნის და მსგავსი ტერმინების (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) ხარისხის საფუძველთან მიტანის შემდეგ მივიღებთ 2·(x+) უფრო მარტივი ფორმის სიმძლავრის გამოხატვას. 1) .

ხარისხის თვისებების გამოყენება

გამონათქვამების ძალებით გარდაქმნის ერთ-ერთი მთავარი ინსტრუმენტი არის თანასწორობა, რომელიც ასახავს . გავიხსენოთ ძირითადი. ნებისმიერი დადებითი რიცხვისთვის a და b და თვითნებური რეალური რიცხვებისთვის r და s, ხარისხების შემდეგი თვისებები მართალია:

• a r ·a s =a r+s ;
• a r:a s =a r−s ;
• (a·b) r =a r ·b r ;
• (a:b) r =a r:b r ;
• (a r) s =a r·s .

გაითვალისწინეთ, რომ ბუნებრივი, მთელი და დადებითი მაჩვენებლებისთვის, a და b რიცხვებზე შეზღუდვები შეიძლება არც ისე მკაცრი იყოს. მაგალითად, m და n ნატურალური რიცხვებისთვის ტოლობა a m ·a n =a m+n მართალია არა მხოლოდ დადებითი a, არამედ უარყოფითი a და a=0-სთვის.

სკოლაში ძალაუფლების გამონათქვამების გარდაქმნისას მთავარი აქცენტი კეთდება შესაბამისი თვისების არჩევისა და მისი სწორად გამოყენების უნარზე. ამ შემთხვევაში, ხარისხების საფუძვლები, როგორც წესი, დადებითია, რაც საშუალებას აძლევს გრადუსების თვისებების გამოყენებას შეზღუდვების გარეშე. იგივე ეხება ძალაუფლების საფუძვლებში ცვლადების შემცველი გამონათქვამების ტრანსფორმაციას - ცვლადების დასაშვები მნიშვნელობების დიაპაზონი ჩვეულებრივ ისეთია, რომ ფუძეები მასზე მხოლოდ დადებით მნიშვნელობებს იღებენ, რაც საშუალებას გაძლევთ თავისუფლად გამოიყენოთ ძალაუფლების თვისებები. . ზოგადად, თქვენ მუდმივად უნდა ჰკითხოთ საკუთარ თავს, შესაძლებელია თუ არა ამ შემთხვევაში ხარისხების რაიმე თვისების გამოყენება, რადგან თვისებების არაზუსტმა გამოყენებამ შეიძლება გამოიწვიოს საგანმანათლებლო ღირებულების შევიწროება და სხვა პრობლემები. ეს პუნქტები დეტალურად და მაგალითებით არის განხილული სტატიაში გამონათქვამების ტრანსფორმაცია გრადუსების თვისებების გამოყენებით. აქ ჩვენ შემოვიფარგლებით რამდენიმე მარტივი მაგალითის განხილვით.

მაგალითი.

გამოთქმა a 2.5 ·(a 2) −3:a −5.5 გამოთქმა ხარისხად a ფუძით.

გამოსავალი.

პირველი, ჩვენ გარდაქმნით მეორე ფაქტორს (a 2) −3 სიმძლავრის ხარისხზე აყვანის თვისების გამოყენებით: (a 2) −3 =a 2·(−3) =a −6. ორიგინალური სიმძლავრის გამოხატულება მიიღებს 2.5 ·a −6:a −5.5 ფორმას. ცხადია, რჩება ძალაუფლების გამრავლებისა და გაყოფის თვისებების გამოყენება იმავე ფუძით, გვაქვს
a 2,5 ·a −6:a −5,5 =
a 2,5−6:a −5,5 =a −3,5:a −5,5 =
a −3,5−(−5,5) =a 2 .

პასუხი:

a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 =a 2.

ძალების თვისებები ძალაუფლების გამონათქვამების გარდაქმნისას გამოიყენება როგორც მარცხნიდან მარჯვნივ, ასევე მარჯვნიდან მარცხნივ.

მაგალითი.

იპოვეთ ძალა გამოხატვის მნიშვნელობა.

გამოსავალი.

ტოლობა (a·b) r =a r ·b r, გამოყენებული მარჯვნიდან მარცხნივ, საშუალებას გვაძლევს გადავიდეთ ორიგინალური გამოსახულებიდან ფორმის ნამრავლზე და შემდგომში. და როდესაც ძალაუფლება ერთსა და იმავე ფუძეებთან მრავლდება, მაჩვენებლები იკრიბება: .

შესაძლებელი იყო ორიგინალური გამოხატვის სხვა გზით გარდაქმნა:

პასუხი:

.

მაგალითი.

1.5 −a 0.5 −6 სიმძლავრის გამოხატვის გათვალისწინებით, შემოიტანეთ ახალი ცვლადი t=a 0.5.

გამოსავალი.

a 1.5 ხარისხი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც 0.5 3 და შემდეგ, ხარისხის თვისებიდან გამომდინარე (a r) s =a r s ხარისხზე, გამოყენებული მარჯვნიდან მარცხნივ, გარდაქმნას იგი ფორმაში (a 0.5) 3. ამრიგად, a 1,5 −a 0,5 −6=(a 0,5) 3 −a 0,5 −6. ახლა ადვილია ახალი ცვლადის შემოღება t=a 0.5, მივიღებთ t 3 −t−6.

პასუხი:

t 3 −t−6 .

სიმძლავრის შემცველი წილადების გადაქცევა

სიმძლავრის გამონათქვამები შეიძლება შეიცავდეს ან წარმოადგენდეს წილადებს ხარისხებით. წილადების ნებისმიერი ძირითადი გარდაქმნა, რომელიც თანდაყოლილია ნებისმიერი სახის წილადებისთვის, სრულად გამოიყენება ასეთ წილადებზე. ანუ, წილადები, რომლებიც შეიცავს ხარისხებს, შეიძლება შემცირდეს, შემცირდეს ახალ მნიშვნელზე, ცალ-ცალკე დამუშავდეს მათი მრიცხველით და ცალკე მნიშვნელით და ა.შ. ამ სიტყვების საილუსტრაციოდ, განიხილეთ რამდენიმე მაგალითის გადაწყვეტა.

მაგალითი.

ძალაუფლების გამოხატვის გამარტივება .

გამოსავალი.

ეს სიმძლავრის გამოხატულება არის წილადი. ვიმუშაოთ მის მრიცხველთან და მნიშვნელთან. მრიცხველში ვხსნით ფრჩხილებს და ვამარტივებთ მიღებულ გამონათქვამს ძალაუფლების თვისებების გამოყენებით, ხოლო მნიშვნელში წარმოგიდგენთ მსგავს ტერმინებს:

და ასევე შევცვალოთ მნიშვნელის ნიშანი წილადის წინ მინუსის დაყენებით: .

პასუხი:

.

ძალაუფლების შემცველი წილადების ახალ მნიშვნელამდე შემცირება ხდება ისევე, როგორც რაციონალური წილადების ახალ მნიშვნელამდე შემცირება. ამ შემთხვევაში ასევე მოიძებნება დამატებითი კოეფიციენტი და მასზე მრავლდება წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი. ამ მოქმედების შესრულებისას უნდა გვახსოვდეს, რომ ახალ მნიშვნელზე შემცირებამ შეიძლება გამოიწვიოს VA-ს შევიწროება. ამის თავიდან ასაცილებლად, აუცილებელია, რომ დამატებითი ფაქტორი ნულამდე არ წავიდეს ცვლადის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის ODZ ცვლადებიდან ორიგინალური გამოხატვისთვის.

მაგალითი.

წილადების აყვანა ახალ მნიშვნელზე: ა) მნიშვნელზე a, ბ) მნიშვნელისკენ.

გამოსავალი.

ა) ამ შემთხვევაში საკმაოდ მარტივია იმის გარკვევა, თუ რომელი დამატებითი მულტიპლიკატორი ეხმარება სასურველი შედეგის მიღწევაში. ეს არის 0.3-ის გამრავლება, ვინაიდან 0.7 ·a 0.3 =a 0.7+0.3 =a. გაითვალისწინეთ, რომ a ცვლადის დასაშვები მნიშვნელობების დიაპაზონში (ეს არის ყველა დადებითი რეალური რიცხვის ნაკრები), 0.3-ის სიძლიერე არ ქრება, შესაბამისად, ჩვენ გვაქვს უფლება გავამრავლოთ მოცემულის მრიცხველი და მნიშვნელი. წილადი ამ დამატებითი ფაქტორით:

ბ) მნიშვნელს უფრო კარგად რომ დააკვირდებით, ნახავთ ამას

და ამ გამონათქვამის გამრავლება მივიღებთ კუბების ჯამს და, ანუ . და ეს არის ახალი მნიშვნელი, რომელსაც ჩვენ უნდა შევამციროთ საწყისი წილადი.

ასე აღმოვაჩინეთ დამატებითი ფაქტორი. x და y ცვლადების დასაშვები მნიშვნელობების დიაპაზონში გამონათქვამი არ ქრება, შესაბამისად, ჩვენ შეგვიძლია გავამრავლოთ წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი მასზე:

პასუხი:

ა) , ბ) .

ასევე არაფერია ახალი ძალაუფლების შემცველი წილადების შემცირებაში: მრიცხველი და მნიშვნელი წარმოდგენილია რიგ ფაქტორებად, ხოლო მრიცხველისა და მნიშვნელის იგივე ფაქტორები მცირდება.

მაგალითი.

შეამცირე წილადი: ა) , ბ).

გამოსავალი.

ა) ჯერ მრიცხველი და მნიშვნელი შეიძლება შემცირდეს 30 და 45 რიცხვებით, რაც უდრის 15-ს. ასევე აშკარად შესაძლებელია შემცირების შესრულება x 0.5 +1-ით და . აი რა გვაქვს:

ბ) ამ შემთხვევაში მრიცხველსა და მნიშვნელში იდენტური ფაქტორები მაშინვე არ ჩანს. მათი მისაღებად, თქვენ მოგიწევთ წინასწარი გარდაქმნების განხორციელება. ამ შემთხვევაში, ისინი მოიცავს მნიშვნელის ფაქტორინგს კვადრატების სხვაობის ფორმულის გამოყენებით:

პასუხი:

ა)

ბ) .

წილადების ახალ მნიშვნელად გადაქცევა და წილადების შემცირება ძირითადად გამოიყენება წილადებთან საქმეების გასაკეთებლად. მოქმედებები შესრულებულია ცნობილი წესების მიხედვით. წილადების შეკრებისას (გამოკლებისას) ისინი მცირდება საერთო მნიშვნელამდე, რის შემდეგაც მრიცხველები ემატება (აკლდება), მაგრამ მნიშვნელი იგივე რჩება. შედეგი არის წილადი, რომლის მრიცხველი არის მრიცხველების ნამრავლი, ხოლო მნიშვნელი არის მნიშვნელების ნამრავლი. წილადზე გაყოფა არის მის შებრუნებულზე გამრავლება.

მაგალითი.

მიჰყევით ნაბიჯებს .

გამოსავალი.

პირველ რიგში, ჩვენ გამოვაკლებთ წილადებს ფრჩხილებში. ამისათვის ჩვენ მათ საერთო მნიშვნელამდე მივყავართ, რაც არის , რის შემდეგაც გამოვაკლებთ მრიცხველებს:

ახლა ვამრავლებთ წილადებს:

ცხადია, შესაძლებელია x 1/2 სიმძლავრის შემცირება, რის შემდეგაც გვაქვს .

თქვენ ასევე შეგიძლიათ გაამარტივოთ სიმძლავრის გამოხატულება მნიშვნელში კვადრატების განსხვავების ფორმულის გამოყენებით: .

პასუხი:

მაგალითი.

ძალაუფლების გამოხატვის გამარტივება .

გამოსავალი.

ცხადია, ეს წილადი შეიძლება შემცირდეს (x 2.7 +1) 2-ით, ეს იძლევა წილადს . გასაგებია, რომ X-ის უფლებამოსილებით სხვა რამის გაკეთებაა საჭირო. ამისთვის მიღებული ფრაქციის პროდუქტად გარდაქმნას. ეს გვაძლევს შესაძლებლობას ვისარგებლოთ ძალაუფლების გამყოფი თვისებით იმავე საფუძვლებით: . და პროცესის ბოლოს ჩვენ გადავდივართ ბოლო პროდუქტიდან წილადზე.

პასუხი:

.

და დავამატოთ ისიც, რომ შესაძლებელია და ხშირ შემთხვევაში სასურველია უარყოფითი მაჩვენებლების მქონე ფაქტორების გადატანა მრიცხველიდან მნიშვნელზე ან მნიშვნელიდან მრიცხველზე, მაჩვენებლის ნიშნის შეცვლით. ასეთი გარდაქმნები ხშირად ამარტივებს შემდგომ მოქმედებებს. მაგალითად, დენის გამოხატულება შეიძლება შეიცვალოს .

გამონათქვამების კონვერტაცია ფესვებითა და ძალებით

ხშირად, გამონათქვამებში, რომლებშიც საჭიროა გარკვეული გარდაქმნები, წილადის მაჩვენებლებით ფესვები ასევე გვხვდება ხარისხებთან ერთად. ასეთი გამოთქმის სასურველ ფორმაში გადასაყვანად, უმეტეს შემთხვევაში საკმარისია მხოლოდ ფესვებისკენ ან მხოლოდ ძალებისკენ წასვლა. მაგრამ ვინაიდან ძალებთან მუშაობა უფრო მოსახერხებელია, ისინი ჩვეულებრივ ფესვებიდან ძალებზე გადადიან. ამასთან, მიზანშეწონილია განახორციელოთ ასეთი გადასვლა, როდესაც ცვლადების ODZ ორიგინალური გამოხატვისთვის საშუალებას გაძლევთ შეცვალოთ ფესვები ძალაუფლებით მოდულის მითითების ან ODZ-ის რამდენიმე ინტერვალად გაყოფის საჭიროების გარეშე (ეს დეტალურად განვიხილეთ სტატია ფესვებიდან ძლიერებამდე და უკან გადასვლის შემდეგ რაციონალური მაჩვენებლის ხარისხის გაცნობის შემდეგ შემოდის ხარისხი ირაციონალური მაჩვენებლით, რაც საშუალებას გვაძლევს ვისაუბროთ ხარისხზე თვითნებური რეალური მაჩვენებლით.ამ ეტაპზე სკოლა იწყებს სწავლა ექსპონენციალური ფუნქცია, რომელიც ანალიტიკურად მოცემულია ხარისხში, რომლის ფუძეა რიცხვი, ხოლო მაჩვენებელი არის ცვლადი. ასე რომ, ჩვენ ვხვდებით სიმძლავრის გამონათქვამებს, რომლებიც შეიცავს რიცხვებს სიმძლავრის ფუძეში, ხოლო ექსპონენტში - გამოსახულებებს ცვლადებით და ბუნებრივია ჩნდება ასეთი გამონათქვამების გარდაქმნების საჭიროება.

უნდა ითქვას, რომ მითითებული ტიპის გამონათქვამების ტრანსფორმაცია ჩვეულებრივ უნდა განხორციელდეს ამოხსნისას ექსპონენციალური განტოლებებიდა ექსპონენციური უტოლობებიდა ეს კონვერტაციები საკმაოდ მარტივია. უმეტეს შემთხვევაში, ისინი ეფუძნება ხარისხის თვისებებს და მიზნად ისახავს, ​​უმეტესწილად, მომავალში ახალი ცვლადის შემოღებას. განტოლება საშუალებას მოგვცემს ვაჩვენოთ ისინი 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

უპირველეს ყოვლისა, სიმძლავრეები, რომელთა ექსპონენტებში არის გარკვეული ცვლადის ჯამი (ან ცვლადებით გამოხატულება) და რიცხვი, იცვლება პროდუქტებით. ეს ეხება მარცხენა მხარეს გამოთქმის პირველ და ბოლო ტერმინებს:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

შემდეგი, თანასწორობის ორივე მხარე იყოფა გამოსახულებით 7 2 x, რომელიც ცვლადის x ODZ-ზე ორიგინალური განტოლებისთვის იღებს მხოლოდ დადებით მნიშვნელობებს (ეს არის სტანდარტული ტექნიკა ამ ტიპის განტოლებების გადასაჭრელად, ჩვენ არ ვართ ახლა ამაზე ვსაუბრობთ, ამიტომ ფოკუსირება მოახდინეთ გამონათქვამების შემდგომ ტრანსფორმაციებზე ძალებით):

ახლა ჩვენ შეგვიძლია გავაუქმოთ წილადები ძალაუფლებით, რაც იძლევა .

და ბოლოს, ძალაუფლების თანაფარდობა ერთიდაიგივე მაჩვენებლებით ჩანაცვლებულია ურთიერთობების ძალებით, რის შედეგადაც მიიღება განტოლება , რომელიც ექვივალენტურია . განხორციელებული გარდაქმნები საშუალებას გვაძლევს შემოვიტანოთ ახალი ცვლადი, რომელიც ამცირებს საწყისი ექსპონენციალური განტოლების ამონახს კვადრატულ განტოლებამდე

ი.ვ.ბოიკოვი, ლ.დ.რომანოვაერთიანი სახელმწიფო გამოცდისთვის მომზადების დავალებების კრებული. ნაწილი 1. პენზა 2003 წ.

რატომ არის საჭირო ხარისხები?

სად დაგჭირდებათ ისინი?

რატომ უნდა დაუთმოთ დრო მათ შესწავლას?

იმისათვის, რომ გაიგოთ ყველაფერი ხარისხების შესახებ, წაიკითხეთ ეს სტატია.

და, რა თქმა უნდა, ხარისხების ცოდნა მოგაახლოებთ ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის წარმატებით ჩაბარებას.

და ჩააბარეთ თქვენი ოცნების უნივერსიტეტში!

მოდი წავიდეთ... (წავიდეთ!)

პირველი დონე

ექსპონენტაცია არის მათემატიკური ოპერაცია, ისევე როგორც შეკრება, გამოკლება, გამრავლება ან გაყოფა.

ახლა ყველაფერს ადამიანურ ენაზე ავხსნი ძალიან მარტივი მაგალითებით. Ფრთხილად იყავი. მაგალითები ელემენტარულია, მაგრამ ხსნის მნიშვნელოვან საკითხებს.

დავიწყოთ დამატებით.

აქ ასახსნელი არაფერია. თქვენ უკვე ყველაფერი იცით: ჩვენ რვა ვართ. ყველას აქვს ორი ბოთლი კოლა. რამდენი კოლაა? მართალია - 16 ბოთლი.

ახლა გამრავლება.

იგივე მაგალითი კოლასთან შეიძლება სხვანაირად დაიწეროს: . მათემატიკოსები ცბიერი და ზარმაცი ხალხია. ისინი ჯერ ამჩნევენ ზოგიერთ შაბლონს და შემდეგ ადგენენ მათ უფრო სწრაფად „დათვლას“. ჩვენს შემთხვევაში, მათ შენიშნეს, რომ რვა ადამიანიდან თითოეულს ერთნაირი რაოდენობის კოლას ბოთლი ჰქონდა და გამოიგონეს ტექნიკა, რომელსაც გამრავლება ჰქვია. ვეთანხმები, ითვლება უფრო ადვილი და სწრაფი ვიდრე.

ასე რომ, უფრო სწრაფად, მარტივად და შეცდომების გარეშე დათვლა, უბრალოდ უნდა გახსოვდეთ გამრავლების ცხრილი. რა თქმა უნდა, თქვენ შეგიძლიათ გააკეთოთ ყველაფერი ნელა, უფრო რთული და შეცდომებით! მაგრამ…

აქ არის გამრავლების ცხრილი. გაიმეორეთ.

და კიდევ ერთი, უფრო ლამაზი:

ზარმაცი მათემატიკოსების დათვლის კიდევ რა ჭკვიანური ხრიკები მოიგონეს? მარჯვენა - რიცხვის ძალამდე აყვანა.

რიცხვის ძლიერებამდე აწევა

თუ თქვენ გჭირდებათ რიცხვის ხუთჯერ გამრავლება, მაშინ მათემატიკოსები ამბობენ, რომ თქვენ უნდა აიყვანოთ ეს რიცხვი მეხუთე ხარისხამდე. Მაგალითად, . მათემატიკოსებს ახსოვს, რომ ორი მეხუთე ხარისხამდე არის... და ისინი თავის თავში წყვეტენ ასეთ პრობლემებს - უფრო სწრაფად, მარტივად და უშეცდომოდ.

ყველაფერი რაც თქვენ უნდა გააკეთოთ არის დაიმახსოვრე რა არის ხაზგასმული ფერით რიცხვების ხარისხების ცხრილში. დამიჯერე, ეს ბევრად გაგიადვილებს ცხოვრებას.

სხვათა შორის, რატომ ჰქვია მეორე ხარისხს? კვადრატინომრები და მესამე - კუბი? Რას ნიშნავს? ძალიან კარგი კითხვა. ახლა თქვენ გექნებათ როგორც კვადრატები, ასევე კუბურები.

რეალური ცხოვრების მაგალითი #1

დავიწყოთ კვადრატით ან რიცხვის მეორე ხარისხებით.

წარმოიდგინეთ კვადრატული აუზი, რომლის ზომებია ერთი მეტრი ერთი მეტრით. აუზი თქვენს აგარაკზეა. ცხელა და ძალიან მინდა ბანაობა. მაგრამ... აუზს ფსკერი არ აქვს! აუზის ფსკერი უნდა დაფაროთ ფილებით. რამდენი ფილა გჭირდებათ? ამის დასადგენად, თქვენ უნდა იცოდეთ აუზის ქვედა ფართობი.

თქვენ შეგიძლიათ უბრალოდ გამოთვალოთ თითით, რომ აუზის ძირი შედგება მეტრი-მეტრიანი კუბებისგან. თუ თქვენ გაქვთ ფილები ერთი მეტრით ერთ მეტრზე, დაგჭირდებათ ცალი. ადვილია... მაგრამ სად გინახავთ ასეთი ფილები? კრამიტი დიდი ალბათობით იქნება სმ-სმ-ზე და მერე გაწამებენ „თითით დათვლა“. მაშინ უნდა გაამრავლო. ასე რომ, აუზის ფსკერის ერთ მხარეს მოვათავსებთ ფილებს (ნაჭრებს), ხოლო მეორეზე ასევე ფილებს. გაამრავლეთ და მიიღებთ ფილებს ().

შენიშნეთ, რომ აუზის ფსკერის ფართობის დასადგენად ჩვენ გავამრავლეთ იგივე რიცხვი თავისთავად? Რას ნიშნავს? ვინაიდან ჩვენ ვამრავლებთ ერთსა და იმავე რიცხვს, შეგვიძლია გამოვიყენოთ „გამდიდრების“ ტექნიკა. (რა თქმა უნდა, როდესაც თქვენ გაქვთ მხოლოდ ორი რიცხვი, თქვენ მაინც გჭირდებათ მათი გამრავლება ან ხარისხზე აწევა. მაგრამ თუ ბევრი გაქვთ, მაშინ მათი ხარისხზე აყვანა ბევრად უფრო ადვილია და ასევე ნაკლებია შეცდომები გამოთვლებში. ერთიანი სახელმწიფო გამოცდისთვის ეს ძალიან მნიშვნელოვანია).
ასე რომ, ოცდაათი მეორე ხარისხამდე იქნება (). ან შეგვიძლია ვთქვათ, რომ ოცდაათი კვადრატი იქნება. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, რიცხვის მეორე ხარისხი ყოველთვის შეიძლება იყოს კვადრატის სახით. და პირიქით, თუ კვადრატს ხედავთ, ის ყოველთვის არის რომელიმე რიცხვის მეორე ხარისხში. კვადრატი არის რიცხვის მეორე ხარისხის გამოსახულება.

რეალური ცხოვრების მაგალითი #2

აქ არის თქვენთვის ამოცანა: დათვალეთ რამდენი კვადრატია ჭადრაკის დაფაზე რიცხვის კვადრატის გამოყენებით... უჯრედების ერთ მხარეს და მეორე მხარესაც. მათი რიცხვის გამოსათვლელად რვა უნდა გაამრავლოთ რვაზე ან... თუ შეამჩნევთ, რომ ჭადრაკის დაფა არის კვადრატი გვერდით, მაშინ შეგიძლიათ რვა კვადრატში. თქვენ მიიღებთ უჯრედებს. () Ისე?

რეალური ცხოვრების მაგალითი #3

ახლა კუბი ან რიცხვის მესამე ხარისხი. იგივე აუზი. მაგრამ ახლა თქვენ უნდა გაარკვიოთ რამდენი წყალი უნდა ჩაასხათ ამ აუზში. თქვენ უნდა გამოთვალოთ მოცულობა. (მოცულობები და სითხეები, სხვათა შორის, იზომება კუბ. მოერგოს თქვენს აუზს.

უბრალოდ აჩვენე თითი და დაითვალე! ერთი, ორი, სამი, ოთხი... ოცდაორი, ოცდასამი... რამდენი მიიღეთ? არ დაიკარგა? რთულია თითით დათვლა? Ამიტომ! აიღეთ მაგალითი მათემატიკოსებისგან. ისინი ზარმაცები არიან, ამიტომ შენიშნეს, რომ აუზის მოცულობის გამოსათვლელად საჭიროა მისი სიგრძე, სიგანე და სიმაღლე ერთმანეთზე გაამრავლოთ. ჩვენს შემთხვევაში აუზის მოცულობა კუბების ტოლი იქნება... უფრო ადვილია, არა?

ახლა წარმოიდგინეთ, რა ზარმაცი და ეშმაკნი არიან მათემატიკოსები, თუ ამასაც გაამარტივებენ. ჩვენ ყველაფერი ერთ მოქმედებამდე დავყვანეთ. შენიშნეს, რომ სიგრძე, სიგანე და სიმაღლე ტოლია და ერთი და იგივე რიცხვი თავისთავად მრავლდება... რას ნიშნავს ეს? ეს ნიშნავს, რომ თქვენ შეგიძლიათ ისარგებლოთ ხარისხით. ასე რომ, რაც ერთხელ დაითვალეთ თითით, ისინი აკეთებენ ერთ მოქმედებას: სამი კუბი ტოლია. ასე წერია: .

რჩება მხოლოდ დაიმახსოვრე გრადუსების ცხრილი. თუ, რა თქმა უნდა, მათემატიკოსებივით ზარმაცი და მზაკვარი არ ხართ. თუ მოგწონთ შრომა და შეცდომების დაშვება, შეგიძლიათ განაგრძოთ თითით დათვლა.

ისე, რომ საბოლოოდ დაგარწმუნოთ, რომ ხარისხები გამოგონებულებმა და ცბიერმა ადამიანებმა თავიანთი ცხოვრებისეული პრობლემების გადასაჭრელად და არა პრობლემების მოსაგვარებლად გამოიგონეს, აქ არის კიდევ რამდენიმე მაგალითი ცხოვრებიდან.

რეალური ცხოვრების მაგალითი #4

თქვენ გაქვთ მილიონი რუბლი. ყოველი წლის დასაწყისში, თქვენ მიერ გამომუშავებულ ყოველ მილიონზე, თქვენ გამოიმუშავებთ კიდევ მილიონს. ანუ ყოველი მილიონი გაორმაგდება ყოველი წლის დასაწყისში. რამდენი ფული გექნებათ წლების განმავლობაში? თუ ახლა ზიხარ და „თითით ითვლი“, მაშინ ძალიან შრომისმოყვარე და... სულელი ხარ. მაგრამ დიდი ალბათობით რამდენიმე წამში გაგცემთ პასუხს, რადგან ჭკვიანი ხართ! ასე რომ, პირველ წელს - ორი გამრავლებული ორზე... მეორე წელს - რა მოხდა, კიდევ ორზე, მესამე წელს... გაჩერდით! თქვენ შენიშნეთ, რომ რიცხვი თავისთავად მრავლდება ჯერ. ასე რომ, ორი მეხუთე ხარისხამდე არის მილიონი! ახლა წარმოიდგინეთ, რომ თქვენ გაქვთ კონკურსი და ის, ვინც ყველაზე სწრაფად დათვლას შეძლებს, მიიღებს ამ მილიონებს... ღირს რიცხვების ძალების გახსენება, არ ფიქრობთ?

რეალური ცხოვრების მაგალითი #5

მილიონი გაქვს. ყოველი წლის დასაწყისში, თქვენ მიერ გამომუშავებულ ყოველ მილიონზე, თქვენ მიიღებთ დამატებით ორს. შესანიშნავია არა? ყოველი მილიონი გასამმაგდება. რამდენი ფული გექნებათ წელიწადში? დავთვალოთ. პირველი წელი - გაამრავლე, მერე შედეგი მეორეზე... ეს უკვე მოსაწყენია, რადგან ყველაფერი უკვე გაიგე: სამი თავისთავად მრავლდება ჯერ. ასე რომ, მეოთხე ხარისხს ის უდრის მილიონს. თქვენ უბრალოდ უნდა გახსოვდეთ, რომ სამიდან მეოთხე ძალა არის ან.

ახლა თქვენ იცით, რომ რიცხვის ძლიერებამდე აყვანით თქვენს ცხოვრებას ბევრად გაადვილებთ. მოდით, უფრო დეტალურად განვიხილოთ, თუ რა შეგიძლიათ გააკეთოთ ხარისხებით და რა უნდა იცოდეთ მათ შესახებ.

ტერმინები და ცნებები... რომ არ აგვერიოს

ასე რომ, პირველ რიგში, მოდით განვსაზღვროთ ცნებები. Რას ფიქრობ, რა არის მაჩვენებელი? ეს ძალიან მარტივია - ეს არის რიცხვი, რომელიც არის რიცხვის სიმძლავრის "ზევით". არა მეცნიერული, მაგრამ გასაგები და ადვილად დასამახსოვრებელი...

აბა, ამავდროულად, რა ასეთი ხარისხის საფუძველი? კიდევ უფრო მარტივი - ეს ის რიცხვია, რომელიც მდებარეობს ქვემოთ, ბაზაზე.

აქ არის ნახატი კარგი საზომისთვის.

ისე, ზოგადად, იმისათვის, რომ განვაზოგადოთ და უკეთ დავიმახსოვროთ... გრადუსი ფუძით „ ” და „ ” მაჩვენებლით იკითხება როგორც „ხარისხამდე“ და იწერება შემდეგნაირად:

რიცხვის სიმძლავრე ბუნებრივი მაჩვენებლით

თქვენ ალბათ უკვე მიხვდით: რადგან მაჩვენებელი ნატურალური რიცხვია. კი მაგრამ რა არის ბუნებრივი რიცხვი? ელემენტარული! ნატურალური რიცხვები არის ის რიცხვები, რომლებიც გამოიყენება დათვლაში ობიექტების ჩამოთვლისას: ერთი, ორი, სამი... ობიექტებს რომ ვითვლით, არ ვამბობთ: „მინუს ხუთი“, „მინუს ექვსი“, „მინუს შვიდი“. ჩვენ ასევე არ ვამბობთ: "ერთი მესამედი", ან "ნულოვანი წერტილი ხუთი". ეს არ არის ბუნებრივი რიცხვები. როგორ ფიქრობთ, რა რიცხვებია ეს?

რიცხვები, როგორიცაა "მინუს ხუთი", "მინუს ექვსი", "მინუს შვიდი" ეხება მთელი რიცხვები.ზოგადად, მთელი რიცხვები მოიცავს ყველა ნატურალურ რიცხვს, ნატურალური რიცხვების საპირისპირო რიცხვებს (ანუ აღებული მინუს ნიშნით) და რიცხვს. ნული ადვილი გასაგებია - ეს არის მაშინ, როცა არაფერია. რას ნიშნავს უარყოფითი ("მინუს") რიცხვები? მაგრამ ისინი გამოიგონეს, პირველ რიგში, ვალების აღსანიშნავად: თუ თქვენს ტელეფონზე გაქვთ ბალანსი რუბლებში, ეს ნიშნავს, რომ ოპერატორის რუბლები გაქვთ.

ყველა წილადი რაციონალური რიცხვია. როგორ გაჩნდა ისინი, როგორ ფიქრობთ? Ძალიან მარტივი. რამდენიმე ათასი წლის წინ ჩვენმა წინაპრებმა აღმოაჩინეს, რომ მათ არ ჰქონდათ ბუნებრივი რიცხვები სიგრძის, წონის, ფართობის გასაზომად და ა.შ. და გამოვიდნენ რაციონალური რიცხვი... საინტერესოა, არა?

ასევე არის ირაციონალური რიცხვები. რა არის ეს რიცხვები? მოკლედ, ეს არის უსასრულო ათობითი წილადი. მაგალითად, თუ წრის გარშემოწერილობას გაყოფთ მის დიამეტრზე, მიიღებთ ირაციონალურ რიცხვს.

Შემაჯამებელი:

მოდით განვსაზღვროთ ხარისხის ცნება, რომლის მაჩვენებელია ნატურალური რიცხვი (ე.ი. მთელი და დადებითი).

1. ნებისმიერი რიცხვი პირველ ხარისხში უდრის თავის თავს:
2. რიცხვის კვადრატში გაყვანა ნიშნავს მის თავისთავად გამრავლებას:
3. რიცხვის კუბირება ნიშნავს თავის თავზე სამჯერ გამრავლებას:

განმარტება.რიცხვის ბუნებრივ ხარისხზე აყვანა ნიშნავს რიცხვის თავისთავად გამრავლებას:
.

ხარისხების თვისებები

საიდან გაჩნდა ეს თვისებები? ახლავე გაჩვენებ.

ვნახოთ: რა არის ეს და ?

ა-პრიორიტეტი:

რამდენი მულტიპლიკატორია სულ?

ეს ძალიან მარტივია: ჩვენ დავამატეთ მამრავლები ფაქტორებს და შედეგი არის მულტიპლიკატორები.

მაგრამ განსაზღვრებით, ეს არის რიცხვის სიძლიერე მაჩვენებლით, ანუ: , რაც დასამტკიცებელია.

მაგალითი: გამოთქმის გამარტივება.

გამოსავალი:

მაგალითი:გამოხატვის გამარტივება.

გამოსავალი:მნიშვნელოვანია აღინიშნოს, რომ ჩვენს წესში აუცილებლადიგივე მიზეზები უნდა იყოს!
ამიტომ, ჩვენ ვაკავშირებთ ძალაუფლებას ბაზასთან, მაგრამ ეს რჩება ცალკე ფაქტორად:

მხოლოდ ძალაუფლების პროდუქტისთვის!

არავითარ შემთხვევაში არ შეგიძლია ამის დაწერა.

2. ესე იგი რიცხვის ე ძალა

ისევე, როგორც წინა საკუთრებაში, მოდით მივმართოთ ხარისხის განმარტებას:

გამოდის, რომ გამონათქვამი თავისთავად მრავლდება ჯერ, ანუ, განმარტების მიხედვით, ეს არის რიცხვის მე-თე ხარისხი:

არსებითად, ამას შეიძლება ეწოდოს "ინდიკატორის ფრჩხილებიდან ამოღება". მაგრამ ამას ვერასოდეს გააკეთებ მთლიანობაში:

გავიხსენოთ შემოკლებული გამრავლების ფორმულები: რამდენჯერ გვინდოდა დაწერა?

მაგრამ ეს არ არის სიმართლე, ბოლოს და ბოლოს.

სიმძლავრე უარყოფითი ბაზით

ამ მომენტამდე ჩვენ მხოლოდ განვიხილეთ, თუ რა უნდა იყოს მაჩვენებელი.

მაგრამ რა უნდა იყოს საფუძველი?

უფლებამოსილებაში ბუნებრივი მაჩვენებელისაფუძველი შეიძლება იყოს ნებისმიერი ნომერი. მართლაც, ჩვენ შეგვიძლია გავამრავლოთ ნებისმიერი რიცხვი ერთმანეთზე, იქნება ეს დადებითი, უარყოფითი ან ლუწი.

მოდით დავფიქრდეთ, რომელ ნიშანს ("" ან "") ექნება დადებითი და უარყოფითი რიცხვების ხარისხი?

მაგალითად, რიცხვი დადებითია თუ უარყოფითი? ა? ? პირველთან ერთად ყველაფერი ნათელია: რამდენი დადებითი რიცხვიც არ უნდა გავამრავლოთ ერთმანეთზე, შედეგი დადებითი იქნება.

მაგრამ უარყოფითი მხარეები ცოტა უფრო საინტერესოა. ჩვენ გვახსოვს მარტივი წესი მე-6 კლასიდან: „მინუს მინუსს აძლევს პლუსს“. ანუ, ან. მაგრამ თუ გავამრავლებთ, ის მუშაობს.

თავად განსაზღვრეთ რა ნიშანი ექნება შემდეგ გამონათქვამებს:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

მოახერხე?

აი პასუხები: პირველ ოთხ მაგალითში იმედი მაქვს ყველაფერი ნათელია? ჩვენ უბრალოდ ვუყურებთ ფუძეს და მაჩვენებელს და ვიყენებთ შესაბამის წესს.

მაგალითში 5) ყველაფერი ასევე არ არის ისეთი საშინელი, როგორც ჩანს: ბოლოს და ბოლოს, არ აქვს მნიშვნელობა რის ტოლია საფუძველი - ხარისხი თანაბარია, რაც ნიშნავს, რომ შედეგი ყოველთვის დადებითი იქნება.

კარგად, გარდა იმ შემთხვევისა, როდესაც ბაზა ნულის ტოლია. ბაზა არ არის თანაბარი, არა? ცხადია, არა, რადგან (იმიტომ).

მაგალითი 6) აღარ არის ასე მარტივი!

სავარჯიშო 6 მაგალითი

ამოხსნის ანალიზი 6 მაგალითი

მთელიჩვენ ვუწოდებთ ნატურალურ რიცხვებს, მათ საპირისპიროებს (ანუ აღებულს "" ნიშნით) და რიცხვს.

დადებითი მთელი რიცხვიდა ეს არაფრით განსხვავდება ბუნებრივისგან, მაშინ ყველაფერი ზუსტად ისე გამოიყურება, როგორც წინა განყოფილებაში.

ახლა მოდით შევხედოთ ახალ შემთხვევებს. დავიწყოთ ტოლი ინდიკატორით.

ნებისმიერი რიცხვი ნულოვანი სიმძლავრის ტოლია ერთის:

როგორც ყოველთვის, მოდით ვკითხოთ საკუთარ თავს: რატომ არის ასე?

განვიხილოთ გარკვეული ხარისხი ფუძით. აიღეთ, მაგალითად, და გაამრავლეთ:

ასე რომ, ჩვენ გავამრავლეთ რიცხვი და მივიღეთ იგივე რაც იყო - . რომელ რიცხვზე უნდა გაამრავლო, რომ არაფერი შეიცვალოს? მართალია, ჩართულია. ნიშნავს.

იგივე შეგვიძლია გავაკეთოთ თვითნებური რიცხვით:

გავიმეოროთ წესი:

ნებისმიერი რიცხვი ნულოვანი სიმძლავრის ტოლია ერთის.

მაგრამ არსებობს გამონაკლისები მრავალი წესისგან. და აქ არის ისიც - ეს არის რიცხვი (როგორც საფუძველი).

ერთის მხრივ, ის უნდა იყოს ნებისმიერი ხარისხის ტოლი - რაც არ უნდა გაამრავლო ნული თავის თავზე, მაინც მიიღებ ნულს, ეს გასაგებია. მაგრამ მეორეს მხრივ, როგორც ნებისმიერი რიცხვი ნულოვანი სიმძლავრისკენ, ის უნდა იყოს ტოლი. მაშ, რამდენად მართალია ეს? მათემატიკოსებმა გადაწყვიტეს არ ჩაერთონ და უარი განაცხადეს ნულის ნულოვან ხარისხზე აყვანაზე. ანუ, ახლა ჩვენ არ შეგვიძლია არა მარტო გავყოთ ნულზე, არამედ ავიყვანოთ იგი ნულოვან ხარისხზე.

მოდით გადავიდეთ. ნატურალური რიცხვებისა და რიცხვების გარდა, მთელი რიცხვები ასევე შეიცავს უარყოფით რიცხვებს. იმის გასაგებად, თუ რა არის უარყოფითი ძალა, მოვიქცეთ როგორც ბოლო დროს: გავამრავლოთ ზოგიერთი ნორმალური რიცხვი იმავე რიცხვზე უარყოფით ხარისხზე:

აქედან ადვილია გამოხატო ის, რასაც ეძებ:

ახლა მოდით გავაფართოვოთ მიღებული წესი თვითნებურ ხარისხზე:

მაშ ასე, ჩამოვაყალიბოთ წესი:

უარყოფითი სიმძლავრის მქონე რიცხვი არის იგივე რიცხვის საპასუხო დადებითი სიმძლავრით. Მაგრამ ამავდროულად ბაზა არ შეიძლება იყოს ნულოვანი:(იმიტომ, რომ თქვენ არ შეგიძლიათ გაყოფა).

მოდით შევაჯამოთ:

ამოცანები დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის:

ისე, როგორც ყოველთვის, დამოუკიდებელი გადაწყვეტილებების მაგალითები:

პრობლემების ანალიზი დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის:

ვიცი, ვიცი, ციფრები საშინელია, მაგრამ ერთიან სახელმწიფო გამოცდაზე ყველაფრისთვის მზად უნდა იყო! ამოხსენით ეს მაგალითები ან გააანალიზეთ მათი გადაწყვეტილებები, თუ ვერ გადაჭრით და გამოცდაზე ადვილად ისწავლით მათთან გამკლავებას!

მოდით გავაგრძელოთ მაჩვენებლის სახით „შესაფერისი“ რიცხვების დიაპაზონის გაფართოება.

ახლა განვიხილოთ რაციონალური რიცხვი.რომელ რიცხვებს ეწოდება რაციონალური?

პასუხი: ყველაფერი, რაც შეიძლება წილადის სახით იყოს წარმოდგენილი, სადაც და არის მთელი რიცხვები და.

რომ გავიგოთ რა არის "ფრაქციული ხარისხი"განიხილეთ წილადი:

მოდით ავიყვანოთ განტოლების ორივე მხარე ხარისხზე:

ახლა გავიხსენოთ წესი "ხარისხიდან ხარისხამდე":

რა რიცხვი უნდა გაიზარდოს სიმძლავრის მისაღებად?

ეს ფორმულირება არის მე-2 ხარისხის ფესვის განმარტება.

შეგახსენებთ: რიცხვის მე-ა ხარისხის ფესვი () არის რიცხვი, რომელიც ხარისხზე ასვლისას ტოლია.

ანუ, th ძალაუფლების ფესვი არის ძალამდე აწევის შებრუნებული ოპერაცია: .

თურმე. ცხადია, ეს განსაკუთრებული შემთხვევა შეიძლება გაფართოვდეს: .

ახლა ვამატებთ მრიცხველს: რა არის ეს? პასუხის მიღება მარტივია ძალაუფლების ძალაზე წესის გამოყენებით:

მაგრამ შეიძლება ფუძე იყოს ნებისმიერი რიცხვი? ყოველივე ამის შემდეგ, ფესვის ამოღება შეუძლებელია ყველა რიცხვიდან.

არცერთი!

გავიხსენოთ წესი: ლუწი ხარისხზე აყვანილი ნებისმიერი რიცხვი დადებითი რიცხვია. ანუ უარყოფითი რიცხვებიდან ლუწი ფესვების ამოღება შეუძლებელია!

ეს ნიშნავს, რომ ასეთი რიცხვები არ შეიძლება გაიზარდოს წილადის ხარისხამდე ლუწი მნიშვნელით, ანუ გამოხატვას აზრი არ აქვს.

რაც შეეხება გამოხატვას?

მაგრამ აქ ჩნდება პრობლემა.

რიცხვი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს სხვა, შესამცირებელი წილადების სახით, მაგალითად, ან.

და აღმოჩნდება, რომ ის არსებობს, მაგრამ არ არსებობს, მაგრამ ეს მხოლოდ ორი განსხვავებული ჩანაწერია ერთი და იგივე ნომრის.

ან კიდევ ერთი მაგალითი: ერთხელ, მაშინ შეგიძლია ჩაწერო. მაგრამ თუ ინდიკატორს სხვანაირად ჩავწერთ, ისევ უბედურებაში ჩავვარდებით: (ანუ სულ სხვა შედეგი მივიღეთ!).

ასეთი პარადოქსების თავიდან ასაცილებლად, ჩვენ განვიხილავთ მხოლოდ დადებითი ფუძის მაჩვენებლით წილადის მაჩვენებლით.

ასე რომ, თუ:

• - ნატურალური რიცხვი;
• - მთელი რიცხვი;

მაგალითები:

რაციონალური ექსპონენტები ძალიან სასარგებლოა ფესვებით გამონათქვამების გარდაქმნისთვის, მაგალითად:

5 მაგალითი პრაქტიკისთვის

ტრენინგისთვის 5 მაგალითის ანალიზი

კარგი, ახლა მოდის ყველაზე რთული ნაწილი. ახლა ჩვენ გავარკვევთ ხარისხი ირაციონალური მაჩვენებლით.

გრადუსების ყველა წესი და თვისება აქ ზუსტად იგივეა, რაც რაციონალური მაჩვენებლის მქონე ხარისხში, გამონაკლისის გარდა

ყოველივე ამის შემდეგ, განმარტებით, ირაციონალური რიცხვები არის რიცხვები, რომლებიც არ შეიძლება წარმოდგენილი იყოს წილადად, სადაც და არის მთელი რიცხვები (ანუ, ირაციონალური რიცხვები ყველა რეალური რიცხვია, გარდა რაციონალური რიცხვებისა).

ხარისხების შესწავლისას ბუნებრივი, მთელი და რაციონალური მაჩვენებლებით, ყოველ ჯერზე ვქმნიდით გარკვეულ „სურათს“, „ანალოგიას“ ან აღწერას უფრო ნაცნობი ტერმინებით.

მაგალითად, ხარისხი ბუნებრივი მაჩვენებლით არის თავისთავად რამდენჯერმე გამრავლებული რიცხვი;

...რიცხვი ნულოვანი ხარისხით- ეს არის, თითქოს, თავისთავად ერთხელ გამრავლებული რიცხვი, ანუ მათ ჯერ არ დაუწყიათ მისი გამრავლება, რაც იმას ნიშნავს, რომ თავად რიცხვი ჯერ არც კი გამოჩენილა - ამიტომ შედეგი არის მხოლოდ გარკვეული "ცარიელი რიცხვი". , კერძოდ რიცხვი;

...უარყოფითი მთელი ხარისხი- თითქოს რაღაც „საპირისპირო პროცესი“ მოხდა, ანუ რიცხვი თავისთავად კი არ გამრავლდა, არამედ გაიყო.

სხვათა შორის, მეცნიერებაში ხშირად გამოიყენება კომპლექსური მაჩვენებლის მქონე ხარისხი, ანუ მაჩვენებელი რეალური რიცხვიც კი არ არის.

მაგრამ სკოლაში ჩვენ არ ვფიქრობთ ასეთ სირთულეებზე, თქვენ გექნებათ შესაძლებლობა გაიაზროთ ეს ახალი ცნებები ინსტიტუტში.

სადაც ჩვენ დარწმუნებული ვართ, რომ წახვალ! (თუ ისწავლი ასეთი მაგალითების ამოხსნას :))

Მაგალითად:

თავად გადაწყვიტე:

გადაწყვეტილებების ანალიზი:

1. დავიწყოთ ძალაუფლების ძალაუფლებაზე აყვანის ჩვეულებრივი წესით:

გაფართოებული დონე

ხარისხის განსაზღვრა

ხარისხი არის ფორმის გამოხატულება: , სადაც:

• — ხარისხის ბაზა;
• - ექსპონენტი.

ხარისხი ბუნებრივი მაჩვენებლით (n = 1, 2, 3,...)

რიცხვის აწევა ბუნებრივ ხარისხამდე n ნიშნავს რიცხვის თავისთავად გამრავლებას:

ხარისხი მთელი რიცხვის მაჩვენებლით (0, ±1, ±2,...)

თუ მაჩვენებელი არის დადებითი მთელი რიცხვინომერი:

მშენებლობა ნულოვანი ხარისხით:

გამოთქმა განუსაზღვრელია, რადგან, ერთის მხრივ, ნებისმიერი ხარისხით არის ეს, ხოლო მეორე მხრივ, ნებისმიერი რიცხვი მე-ს ხარისხამდე არის ეს.

თუ მაჩვენებელი არის უარყოფითი მთელი რიცხვინომერი:

(იმიტომ, რომ თქვენ არ შეგიძლიათ გაყოფა).

კიდევ ერთხელ ნულების შესახებ: გამოთქმა არ არის განსაზღვრული საქმეში. თუ, მაშინ.

მაგალითები:

ძალა რაციონალური მაჩვენებლით

• - ნატურალური რიცხვი;
• - მთელი რიცხვი;

მაგალითები:

ხარისხების თვისებები

პრობლემების გადაჭრის გასაადვილებლად, შევეცადოთ გავიგოთ: საიდან გაჩნდა ეს თვისებები? მოდით დავამტკიცოთ ისინი.

ვნახოთ: რა არის და?

ა-პრიორიტეტი:

ამრიგად, ამ გამონათქვამის მარჯვენა მხარეს ვიღებთ შემდეგ პროდუქტს:

მაგრამ განსაზღვრებით, ეს არის რიცხვის ხარისხობრივი მაჩვენებელი, ანუ:

ქ.ე.დ.

მაგალითი : გამოთქმის გამარტივება.

გამოსავალი : .

მაგალითი : გამოთქმის გამარტივება.

გამოსავალი : მნიშვნელოვანია აღინიშნოს, რომ ჩვენს წესში აუცილებლადიგივე მიზეზები უნდა იყოს. ამიტომ, ჩვენ ვაკავშირებთ ძალაუფლებას ბაზასთან, მაგრამ ეს რჩება ცალკე ფაქტორად:

კიდევ ერთი მნიშვნელოვანი შენიშვნა: ეს წესი - მხოლოდ ძალაუფლების პროდუქტისთვის!

არავითარ შემთხვევაში არ შეგიძლია ამის დაწერა.

ისევე, როგორც წინა საკუთრებაში, მოდით მივმართოთ ხარისხის განმარტებას:

მოდით გადავაჯგუფოთ ეს ნამუშევარი შემდეგნაირად:

გამოდის, რომ გამონათქვამი თავისთავად მრავლდება ჯერ, ანუ, განმარტების მიხედვით, ეს არის რიცხვის მე-თე ხარისხი:

არსებითად, ამას შეიძლება ეწოდოს "ინდიკატორის ფრჩხილებიდან ამოღება". მაგრამ ამას ვერასოდეს გააკეთებ მთლიანობაში: !

გავიხსენოთ შემოკლებული გამრავლების ფორმულები: რამდენჯერ გვინდოდა დაწერა? მაგრამ ეს არ არის სიმართლე, ბოლოს და ბოლოს.

სიმძლავრე უარყოფითი ბაზით.

ამ მომენტამდე ჩვენ მხოლოდ განვიხილეთ, როგორი უნდა იყოს ინდექსიგრადუსი. მაგრამ რა უნდა იყოს საფუძველი? უფლებამოსილებაში ბუნებრივი მაჩვენებელი საფუძველი შეიძლება იყოს ნებისმიერი ნომერი .

მართლაც, ჩვენ შეგვიძლია გავამრავლოთ ნებისმიერი რიცხვი ერთმანეთზე, იქნება ეს დადებითი, უარყოფითი ან ლუწი. მოდით დავფიქრდეთ, რომელ ნიშანს ("" ან "") ექნება დადებითი და უარყოფითი რიცხვების ხარისხი?

მაგალითად, რიცხვი დადებითია თუ უარყოფითი? ა? ?

პირველთან ერთად ყველაფერი ნათელია: რამდენი დადებითი რიცხვიც არ უნდა გავამრავლოთ ერთმანეთზე, შედეგი დადებითი იქნება.

მაგრამ უარყოფითი მხარეები ცოტა უფრო საინტერესოა. ჩვენ გვახსოვს მარტივი წესი მე-6 კლასიდან: „მინუს მინუსს აძლევს პლუსს“. ანუ, ან. მაგრამ თუ გავამრავლებთ (), მივიღებთ - .

და ასე უსასრულოდ: ყოველი მომდევნო გამრავლებით ნიშანი შეიცვლება. შემდეგი მარტივი წესები შეიძლება ჩამოყალიბდეს:

1. თუნდაცხარისხი, - რიცხვი დადებითი.
2. უარყოფითი რიცხვი გაიზარდა უცნაურიხარისხი, - რიცხვი უარყოფითი.
3. დადებითი რიცხვი ნებისმიერი ხარისხით არის დადებითი რიცხვი.
4. ნებისმიერი სიმძლავრის ნული ნულის ტოლია.

თავად განსაზღვრეთ რა ნიშანი ექნება შემდეგ გამონათქვამებს:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

მოახერხე? აქ არის პასუხები:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

პირველ ოთხ მაგალითში, იმედი მაქვს, ყველაფერი ნათელია? ჩვენ უბრალოდ ვუყურებთ ფუძეს და მაჩვენებელს და ვიყენებთ შესაბამის წესს.

მაგალითში 5) ყველაფერი ასევე არ არის ისეთი საშინელი, როგორც ჩანს: ბოლოს და ბოლოს, არ აქვს მნიშვნელობა რის ტოლია საფუძველი - ხარისხი თანაბარია, რაც ნიშნავს, რომ შედეგი ყოველთვის დადებითი იქნება. კარგად, გარდა იმ შემთხვევისა, როდესაც ბაზა ნულის ტოლია. ბაზა არ არის თანაბარი, არა? ცხადია, არა, რადგან (იმიტომ).

მაგალითი 6) აღარ არის ასე მარტივი. აქ თქვენ უნდა გაარკვიოთ რომელია ნაკლები: ან? თუ ამას გავიხსენებთ, ირკვევა, რომ ეს ნიშნავს, რომ ბაზა ნულზე ნაკლებია. ანუ ვიყენებთ მე-2 წესს: შედეგი უარყოფითი იქნება.

და კვლავ ვიყენებთ ხარისხის განმარტებას:

ყველაფერი ჩვეულებრივად არის - ჩვენ ვწერთ ხარისხების განმარტებას და ვყოფთ მათ ერთმანეთზე, ვყოფთ წყვილებად და ვიღებთ:

სანამ ბოლო წესს გადავხედავთ, გადავწყვიტოთ რამდენიმე მაგალითი.

გამოთვალეთ გამონათქვამები:

გადაწყვეტილებები :

დავუბრუნდეთ მაგალითს:

და ისევ ფორმულა:

ახლა ბოლო წესი:

როგორ დავამტკიცოთ? რა თქმა უნდა, როგორც ყოველთვის: მოდით გავაფართოვოთ ხარისხის კონცეფცია და გავამარტივოთ იგი:

აბა, ახლა გავხსნათ ფრჩხილები. რამდენი ასოა სულ? ჯერ გამრავლებით - რას მოგაგონებთ ეს? ეს სხვა არაფერია, თუ არა ოპერაციის განმარტება გამრავლება: იქ მხოლოდ მამრავლები იყო. ანუ, ეს, განსაზღვრებით, არის რიცხვის ძალა მაჩვენებლით:

მაგალითი:

ხარისხი ირაციონალური მაჩვენებლით

საშუალო დონის ხარისხების შესახებ ინფორმაციის გარდა, ჩვენ გავაანალიზებთ ხარისხს ირაციონალური მაჩვენებლით. გრადუსების ყველა წესი და თვისება აქ ზუსტად იგივეა, რაც რაციონალური მაჩვენებლის მქონე ხარისხში, გამონაკლისი - ბოლოს და ბოლოს, განსაზღვრებით, ირაციონალური რიცხვები არის რიცხვები, რომლებიც არ შეიძლება წარმოდგენილი იყოს წილადად, სადაც და არის მთელი რიცხვები (ანუ ირაციონალური რიცხვები ყველა რეალური რიცხვია რაციონალური რიცხვების გარდა).

ხარისხების შესწავლისას ბუნებრივი, მთელი და რაციონალური მაჩვენებლებით, ყოველ ჯერზე ვქმნიდით გარკვეულ „სურათს“, „ანალოგიას“ ან აღწერას უფრო ნაცნობი ტერმინებით. მაგალითად, ხარისხი ბუნებრივი მაჩვენებლით არის თავისთავად რამდენჯერმე გამრავლებული რიცხვი; რიცხვი ნულოვან ხარისხში არის, როგორც ეს იყო, ერთჯერადად გამრავლებული რიცხვი, ანუ მათ ჯერ არ დაუწყიათ მისი გამრავლება, რაც ნიშნავს, რომ თავად რიცხვი ჯერ არც კი გამოჩენილა - ამიტომ შედეგი მხოლოდ გარკვეულია. „ცარიელი ნომერი“, კერძოდ რიცხვი; ხარისხი მთელი რიცხვის უარყოფითი მაჩვენებლით - თითქოს მოხდა რაღაც "საპირისპირო პროცესი", ანუ რიცხვი თავისთავად არ მრავლდებოდა, არამედ იყოფა.

უკიდურესად რთულია ხარისხის წარმოდგენა ირაციონალური მაჩვენებლით (ისევე, როგორც რთულია 4 განზომილებიანი სივრცის წარმოდგენა). ეს უფრო წმინდა მათემატიკური ობიექტია, რომელიც მათემატიკოსებმა შექმნეს, რათა გაავრცელონ ხარისხის კონცეფცია რიცხვების მთელ სივრცეში.

სხვათა შორის, მეცნიერებაში ხშირად გამოიყენება კომპლექსური მაჩვენებლის მქონე ხარისხი, ანუ მაჩვენებელი რეალური რიცხვიც კი არ არის. მაგრამ სკოლაში ჩვენ არ ვფიქრობთ ასეთ სირთულეებზე, თქვენ გექნებათ შესაძლებლობა გაიაზროთ ეს ახალი ცნებები ინსტიტუტში.

რა ვქნათ, თუ ირაციონალურ მაჩვენებელს დავინახავთ? ჩვენ ყველანაირად ვცდილობთ თავი დავაღწიოთ! :)

Მაგალითად:

თავად გადაწყვიტე:

1)

2)

3)

პასუხები:

განყოფილების შეჯამება და ძირითადი ფორმულები

ხარისხიეწოდება ფორმის გამოხატულება: , სადაც:

ხარისხი მთელი რიცხვის მაჩვენებლით

ხარისხი, რომლის მაჩვენებელია ნატურალური რიცხვი (ე.ი. მთელი და დადებითი).

ძალა რაციონალური მაჩვენებლით

ხარისხი, რომლის მაჩვენებელია უარყოფითი და წილადი რიცხვები.

ხარისხი ირაციონალური მაჩვენებლით

ხარისხი, რომლის მაჩვენებელია უსასრულო ათობითი წილადი ან ფესვი.

ხარისხების თვისებები

ხარისხების მახასიათებლები.

• უარყოფითი რიცხვი გაიზარდა თუნდაცხარისხი, - რიცხვი დადებითი.
• უარყოფითი რიცხვი გაიზარდა უცნაურიხარისხი, - რიცხვი უარყოფითი.
• დადებითი რიცხვი ნებისმიერი ხარისხით არის დადებითი რიცხვი.
• ნული უდრის ნებისმიერ ძალას.
• ნებისმიერი რიცხვი ნულოვანი სიმძლავრის ტოლია.

ახლა შენ გაქვს სიტყვა...

როგორ მოგწონთ სტატია? დაწერეთ ქვემოთ კომენტარებში, მოგეწონათ თუ არა.

გვითხარით თქვენი გამოცდილების შესახებ ხარისხის თვისებების გამოყენებით.

ალბათ თქვენ გაქვთ შეკითხვები. ან წინადადებები.

დაწერეთ კომენტარებში.

და წარმატებებს გისურვებთ გამოცდებზე!

ისე, თემა დამთავრდა. თუ ამ სტრიქონებს კითხულობ, ეს ნიშნავს, რომ ძალიან მაგარი ხარ.

იმიტომ რომ ადამიანების მხოლოდ 5%-ს შეუძლია რაღაცის დაუფლება დამოუკიდებლად. და თუ ბოლომდე წაიკითხავთ, მაშინ ამ 5%-ში ხართ!

ახლა ყველაზე მთავარი.

თქვენ გაიგეთ თეორია ამ თემაზე. და ვიმეორებ, ეს... ეს უბრალოდ სუპერა! თქვენ უკვე უკეთესი ხართ, ვიდრე თქვენი თანატოლების უმრავლესობა.

პრობლემა ის არის, რომ ეს შეიძლება არ იყოს საკმარისი...

Რისთვის?

ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის წარმატებით ჩაბარებისთვის, კოლეჯში ბიუჯეტით ჩასვლისთვის და რაც მთავარია, უვადოდ.

არაფერში არ დაგარწმუნებთ, მხოლოდ ერთს გეტყვით...

ადამიანები, რომლებმაც მიიღეს კარგი განათლება, ბევრად მეტს გამოიმუშავებენ, ვიდრე მათ, ვინც არ მიუღია. ეს არის სტატისტიკა.

მაგრამ ეს არ არის მთავარი.

მთავარი ის არის, რომ ისინი უფრო ბედნიერები არიან (არის ასეთი კვლევები). იქნებ იმიტომ, რომ კიდევ ბევრი შესაძლებლობა იხსნება მათ წინაშე და ცხოვრება უფრო ნათელი ხდება? არ ვიცი...

მაგრამ შენ თვითონ იფიქრე...

რა არის საჭირო იმისთვის, რომ ერთიან სახელმწიფო გამოცდაზე სხვებზე უკეთესი იყო და საბოლოოდ... ბედნიერი?

მოიპოვეთ თქვენი ხელი ამ თემაზე არსებული პრობლემების გადაჭრით.

გამოცდის დროს თეორიას არ მოგთხოვენ.

დაგჭირდებათ პრობლემების გადაჭრა დროის წინააღმდეგ.

და თუ არ მოაგვარეთ ისინი (ბევრი!), აუცილებლად დაუშვებთ სადღაც სულელურ შეცდომას ან უბრალოდ დრო არ გექნებათ.

ეს ისეა, როგორც სპორტში - აუცილებლად უნდა გაიმეორო, რომ აუცილებლად გაიმარჯვო.

იპოვე კოლექცია სადაც გინდა, აუცილებლად გადაწყვეტილებებით, დეტალური ანალიზითდა გადაწყვიტე, გადაწყვიტე, გადაწყვიტე!

თქვენ შეგიძლიათ გამოიყენოთ ჩვენი ამოცანები (სურვილისამებრ) და ჩვენ, რა თქმა უნდა, გირჩევთ მათ.

იმისათვის, რომ უკეთ გამოიყენოთ ჩვენი ამოცანები, თქვენ უნდა დაეხმაროთ YouClever სახელმძღვანელოს სიცოცხლის გახანგრძლივებას, რომელსაც ამჟამად კითხულობთ.

Როგორ? არსებობს ორი ვარიანტი:

1. განბლოკეთ ყველა ფარული დავალება ამ სტატიაში -
2. განბლოკეთ წვდომა ყველა ფარულ ამოცანაზე სახელმძღვანელოს 99-ვე სტატიაში - შეიძინეთ სახელმძღვანელო - 899 რუბლი

დიახ, ჩვენ გვაქვს 99 ასეთი სტატია ჩვენს სახელმძღვანელოში და წვდომა ყველა ამოცანაზე და მათში ყველა ფარულ ტექსტზე შეიძლება დაუყოვნებლივ გაიხსნას.

ყველა ფარულ ამოცანაზე წვდომა უზრუნველყოფილია საიტის მთელი ცხოვრების განმავლობაში.

Საბოლოოდ...

თუ არ მოგწონთ ჩვენი ამოცანები, იპოვეთ სხვები. უბრალოდ არ გაჩერდე თეორიაზე.

"გაგება" და "მე შემიძლია გადაჭრა" სრულიად განსხვავებული უნარებია. ორივე გჭირდება.

იპოვნეთ პრობლემები და მოაგვარეთ ისინი!

ამ მასალაში განვიხილავთ რა არის რიცხვის ძალა. ძირითადი განმარტებების გარდა, ჩვენ ჩამოვაყალიბებთ რა არის ბუნებრივი, მთელი, რაციონალური და ირაციონალური მაჩვენებლების მქონე ძალები. როგორც ყოველთვის, ყველა კონცეფცია იქნება ილუსტრირებული სამაგალითო პრობლემებით.

Yandex.RTB R-A-339285-1

პირველი, მოდით ჩამოვაყალიბოთ ხარისხის ძირითადი განმარტება ბუნებრივი მაჩვენებლით. ამისათვის ჩვენ უნდა გვახსოვდეს გამრავლების ძირითადი წესები. წინასწარ განვმარტოთ, რომ ამ დროისთვის საფუძვლად ავიღებთ ნამდვილ რიცხვს (აღინიშნება ასო a), ხოლო ნატურალურ რიცხვს ინდიკატორად (აღნიშნავენ n ასოთი).

განმარტება 1

a რიცხვის სიმძლავრე n ბუნებრივი მაჩვენებლით არის n-ე რაოდენობის ფაქტორების ნამრავლი, რომელთაგან თითოეული უდრის a რიცხვს. ხარისხი იწერება ასე: a nდა ფორმულის სახით მისი შემადგენლობა შეიძლება წარმოდგენილი იყოს შემდეგნაირად:

მაგალითად, თუ მაჩვენებელი არის 1 და ფუძე არის a, მაშინ a-ს პირველი ხარისხად იწერება როგორც a 1. იმის გათვალისწინებით, რომ a არის ფაქტორის მნიშვნელობა და 1 არის ფაქტორების რაოდენობა, შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ a 1 = a.

ზოგადად, შეგვიძლია ვთქვათ, რომ ხარისხი არის მოსახერხებელი ფორმა დიდი რაოდენობის თანაბარი ფაქტორების დასაწერად. ასე რომ, ფორმის ჩანაწერი 8 8 8 8შეიძლება შემცირდეს 8 4 . ანალოგიურად, პროდუქტი გვეხმარება თავიდან ავიცილოთ ტერმინების დიდი რაოდენობა (8 + 8 + 8 + 8 = 8 · 4); ჩვენ უკვე განვიხილეთ ეს ნატურალური რიცხვების გამრავლების სტატიაში.

როგორ სწორად წავიკითხოთ ხარისხის ჩანაწერი? საყოველთაოდ მიღებული ვარიანტია „a n-ის ხარისხამდე“. ან შეგიძლიათ თქვათ "ა-ის n-ე ძალა" ან "ანთ ძალა". თუ, ვთქვათ, მაგალითში შეგვხვდა ჩანაწერი 8 12 , შეგვიძლია წავიკითხოთ "8 მე-12 ხარისხამდე", "8 ხარისხში 12" ან "მე-12 ხარისხში 8".

რიცხვების მეორე და მესამე ხარისხებს აქვთ საკუთარი სახელები: კვადრატი და კუბი. თუ ჩვენ ვხედავთ მეორე ხარისხს, მაგალითად, რიცხვს 7 (7 2), მაშინ შეგვიძლია ვთქვათ „7 კვადრატი“ ან „7 რიცხვის კვადრატი“. ანალოგიურად, მესამე ხარისხი იკითხება ასე: 5 3 - ეს არის "5 ნომრის კუბი" ან "5 კუბური". თუმცა, თქვენ ასევე შეგიძლიათ გამოიყენოთ სტანდარტული ფორმულირება „მეორე/მესამე ძალამდე“, ეს არ იქნება შეცდომა.

მაგალითი 1

მოდით შევხედოთ ხარისხის მაგალითს ბუნებრივი მაჩვენებლით: for 5 7 ხუთი იქნება საფუძველი, ხოლო შვიდი იქნება მაჩვენებელი.

ფუძე არ უნდა იყოს მთელი რიცხვი: ხარისხისთვის (4 , 32) 9 ფუძე იქნება წილადი 4, 32, ხოლო მაჩვენებელი იქნება ცხრა. ყურადღება მიაქციეთ ფრჩხილებს: ეს აღნიშვნა შესრულებულია ყველა ძალაზე, რომლის ფუძეები განსხვავდება ნატურალური რიცხვებისგან.

მაგალითად: 1 2 3, (- 3) 12, - 2 3 5 2, 2, 4 35 5, 7 3.

რისთვის არის ფრჩხილები? ისინი ხელს უწყობენ შეცდომების თავიდან აცილებას გამოთვლებში. ვთქვათ, გვაქვს ორი ჩანაწერი: (− 2) 3 და − 2 3 . მათგან პირველი ნიშნავს უარყოფით რიცხვს მინუს ორი, ამაღლებულ ხარისხზე, რომლის ბუნებრივი მაჩვენებლით არის სამი; მეორე არის რიცხვი, რომელიც შეესაბამება ხარისხის საპირისპირო მნიშვნელობას 2 3 .

ზოგჯერ წიგნებში შეგიძლიათ იპოვოთ რიცხვის ძალის ოდნავ განსხვავებული მართლწერა - ა^ნ(სადაც a არის საფუძველი და n არის მაჩვენებელი). ანუ 4^9 იგივეა რაც 4 9 . თუ n მრავალნიშნა რიცხვია, ის მოთავსებულია ფრჩხილებში. მაგალითად, 15 ^ (21) , (− 3 , 1) ^ (156) . მაგრამ ჩვენ გამოვიყენებთ აღნიშვნას a nროგორც უფრო გავრცელებული.

ადვილი მისახვედრია, თუ როგორ გამოვთვალოთ მაჩვენებლის მნიშვნელობა ბუნებრივი მაჩვენებლით მისი განმარტებიდან: თქვენ უბრალოდ უნდა გაამრავლოთ მე-n რიცხვი ჯერ. ამის შესახებ უფრო მეტი დავწერეთ სხვა სტატიაში.

ხარისხის ცნება არის სხვა მათემატიკური კონცეფციის - რიცხვის ფესვის ინვერსია. თუ ვიცით სიმძლავრის და მაჩვენებლის მნიშვნელობა, შეგვიძლია გამოვთვალოთ მისი ფუძე. ხარისხს აქვს გარკვეული სპეციფიკური თვისებები, რომლებიც გამოსადეგია პრობლემების გადასაჭრელად, რომლებიც განვიხილეთ ცალკე მასალაში.

ექსპონენტები შეიძლება შეიცავდეს არა მხოლოდ ნატურალურ რიცხვებს, არამედ ზოგადად ნებისმიერ მთელ რიცხვს, მათ შორის უარყოფით და ნულებს, რადგან ისინი ასევე მიეკუთვნებიან მთელი რიცხვების სიმრავლეს.

განმარტება 2

რიცხვის სიმძლავრე დადებითი მთელი რიცხვის მაჩვენებლით შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ფორმულის სახით: .

ამ შემთხვევაში n არის ნებისმიერი დადებითი მთელი რიცხვი.

მოდით გავიგოთ ნულოვანი ხარისხის ცნება. ამისათვის ჩვენ ვიყენებთ მიდგომას, რომელიც ითვალისწინებს თანაბარი ფუძის მქონე სიმძლავრეების კოეფიციენტის თვისებას. იგი ჩამოყალიბებულია ასე:

განმარტება 3

Თანასწორობა a m: a n = a m − nჭეშმარიტი იქნება შემდეგ პირობებში: m და n არის ნატურალური რიცხვები, m< n , a ≠ 0 .

ბოლო პირობა მნიშვნელოვანია, რადგან ის თავს არიდებს ნულზე გაყოფას. თუ m და n-ის მნიშვნელობები ტოლია, მაშინ მივიღებთ შემდეგ შედეგს: a n: a n = a n − n = a 0

მაგრამ ამავე დროს a n: a n = 1 არის თანაბარი რიცხვების კოეფიციენტი a nდა ა. გამოდის, რომ ნებისმიერი არანულოვანი რიცხვის ნულოვანი სიმძლავრე ერთის ტოლია.

თუმცა, ასეთი მტკიცებულება არ ვრცელდება ნულზე ნულოვანი სიმძლავრის მიმართ. ამისათვის ჩვენ გვჭირდება ძალაუფლების კიდევ ერთი თვისება - თანაბარი საფუძვლების მქონე ძალაუფლების პროდუქტების თვისება. ეს ასე გამოიყურება: a m · a n = a m + n .

თუ n უდრის 0-ს, მაშინ a m · a 0 = a m(ეს თანასწორობა ამასაც გვიმტკიცებს a 0 = 1). მაგრამ თუ და ასევე ნულის ტოლია, ჩვენი თანასწორობა იღებს ფორმას 0 მ · 0 0 = 0 მ, ეს მართალი იქნება n-ის ნებისმიერ ბუნებრივ მნიშვნელობებზე და არ აქვს მნიშვნელობა ზუსტად რის ტოლია ხარისხის მნიშვნელობა 0 0 , ანუ ის შეიძლება იყოს ნებისმიერი რიცხვის ტოლი და ეს არ იმოქმედებს ტოლობის სიზუსტეზე. ამიტომ, ფორმის აღნიშვნა 0 0 არ აქვს თავისი განსაკუთრებული მნიშვნელობა და ჩვენ არ მივაწერთ მას.

თუ სასურველია, ამის შემოწმება ადვილია a 0 = 1ემთხვევა ხარისხის თვისებას (a m) n = a m nიმ პირობით, რომ ხარისხის საფუძველი არ არის ნული. ამრიგად, ნებისმიერი არანულოვანი რიცხვის სიმძლავრე ნულის მაჩვენებლით არის ერთი.

მაგალითი 2

მოდით შევხედოთ მაგალითს კონკრეტული რიცხვებით: ასე რომ, 5 0 - ერთეული, (33 , 3) 0 = 1 , - 4 5 9 0 = 1 და მნიშვნელობა 0 0 განუსაზღვრელი.

ნულოვანი ხარისხის შემდეგ, ჩვენ უბრალოდ უნდა გავარკვიოთ, რა არის უარყოფითი ხარისხი. ამისათვის ჩვენ გვჭირდება თანაბარი საფუძვლების მქონე სიმძლავრის ნამრავლის იგივე თვისება, რომელიც უკვე გამოვიყენეთ: a m · a n = a m + n.

შემოვიღოთ პირობა: m = − n, მაშინ a არ უნდა იყოს ნულის ტოლი. Აქედან გამომდინარეობს, რომ a − n · a n = a − n + n = a 0 = 1. გამოდის, რომ ნ და a−nჩვენ გვაქვს ორმხრივი ნომრები.

შედეგად, a უარყოფით მთელ ხარისხამდე სხვა არაფერია, თუ არა წილადი 1 a n.

ეს ფორმულირება ადასტურებს, რომ მთელი რიცხვის უარყოფითი მაჩვენებლის მქონე ხარისხზე მოქმედებს ყველა იგივე თვისება, რაც აქვს ბუნებრივ მაჩვენებელს (იმ პირობით, რომ ფუძე არ არის ნულის ტოლი).

მაგალითი 3

სიმძლავრე a უარყოფითი მთელი რიცხვის მაჩვენებლით n შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც წილადი 1 a n. ამრიგად, a - n = 1 a n ექვემდებარება a ≠ 0და n არის ნებისმიერი ნატურალური რიცხვი.

მოდით ილუსტრაციულად განვმარტოთ ჩვენი იდეა კონკრეტული მაგალითებით:

მაგალითი 4

3 - 2 = 1 3 2 , (- 4 . 2) - 5 = 1 (- 4 . 2) 5 , 11 37 - 1 = 1 11 37 1

აბზაცის ბოლო ნაწილში ჩვენ შევეცდებით გამოვსახოთ ყველაფერი, რაც ნათლად ითქვა ერთი ფორმულით:

განმარტება 4

რიცხვის სიმძლავრე z ბუნებრივი მაჩვენებლით არის: a z = a z, e l და z - დადებითი მთელი რიცხვი 1, z = 0 და a ≠ 0, (z = 0 და a = 0-სთვის შედეგი არის 0 0, 0 0 გამოხატვის მნიშვნელობები არ არის განსაზღვრული) 1 a z, თუ და z არის უარყოფითი მთელი რიცხვი და a ≠ 0 (თუ z არის უარყოფითი მთელი რიცხვი და a = 0 მიიღებთ 0 z, egoz მნიშვნელობა განუსაზღვრელია)

რა არის ძალაუფლება რაციონალური მაჩვენებლით?

ჩვენ განვიხილეთ შემთხვევები, როდესაც მაჩვენებელი შეიცავს მთელ რიცხვს. თუმცა, თქვენ შეგიძლიათ რიცხვის ხარისხზე აყვანა მაშინაც კი, როდესაც მისი მაჩვენებელი შეიცავს წილად რიცხვს. ამას ჰქვია ძალა რაციონალური მაჩვენებლით. ამ განყოფილებაში ჩვენ დავამტკიცებთ, რომ მას აქვს იგივე თვისებები, რაც სხვა ძალებს.

რა არის რაციონალური რიცხვები? მათი სიმრავლე მოიცავს როგორც მთლიან, ასევე წილად რიცხვებს, ხოლო წილადი რიცხვები შეიძლება იყოს წარმოდგენილი როგორც ჩვეულებრივი წილადები (როგორც დადებითი, ასევე უარყოფითი). ჩამოვაყალიბოთ a რიცხვის სიმძლავრის განმარტება წილადის მაჩვენებლით m/n, სადაც n არის ნატურალური რიცხვი და m არის მთელი რიცხვი.

გვაქვს გარკვეული ხარისხი a m n წილადის მაჩვენებლით. იმისთვის, რომ საკუთრების ძალაუფლების ძალა შენარჩუნდეს, ტოლობა a m n n = a m n · n = a m უნდა იყოს ჭეშმარიტი.

n-ე ფესვის განმარტების გათვალისწინებით და რომ m n n = a m, შეგვიძლია მივიღოთ პირობა a m n = a m n, თუ m n აზრი აქვს m, n და a მოცემულ მნიშვნელობებს.

მთელი რიცხვის მაჩვენებლის მქონე ხარისხის ზემოაღნიშნული თვისებები ჭეშმარიტი იქნება a m n = a m n პირობით.

ჩვენი მსჯელობიდან მთავარი დასკვნა ასეთია: a გარკვეული რიცხვის სიმძლავრე წილადის მაჩვენებლით m/n არის რიცხვის n-ე ფესვი m ხარისხზე. ეს მართალია, თუ m, n და a მოცემული მნიშვნელობებისთვის, გამოხატულება a m n მნიშვნელოვანი რჩება.

1. შეგვიძლია შევზღუდოთ ხარისხის საფუძვლის მნიშვნელობა: ავიღოთ a, რომელიც m-ის დადებითი მნიშვნელობებისთვის იქნება 0-ზე მეტი ან ტოლი, ხოლო უარყოფითი მნიშვნელობებისთვის - მკაცრად ნაკლები (რადგან m ≤ 0-ისთვის ვიღებთ 0 მ, მაგრამ ასეთი ხარისხი არ არის განსაზღვრული). ამ შემთხვევაში, ხარისხის განმარტება წილადის მაჩვენებლით ასე გამოიყურება:

სიმძლავრე წილადის მაჩვენებლით m/n ზოგიერთი დადებითი რიცხვისთვის არის a-ის n-ე ფესვი, რომელიც გაიზარდა m ხარისხზე. ეს შეიძლება გამოიხატოს როგორც ფორმულა:

ნულოვანი ფუძის მქონე სიმძლავრისთვის, ეს დებულება ასევე შესაფერისია, მაგრამ მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მისი მაჩვენებელი დადებითი რიცხვია.

სიმძლავრე ფუძე ნულით და წილადი დადებითი მაჩვენებლით m/n შეიძლება გამოისახოს როგორც

0 m n = 0 m n = 0 იმ პირობით, რომ m არის დადებითი მთელი რიცხვი და n არის ნატურალური რიცხვი.

უარყოფითი თანაფარდობისთვის m n< 0 степень не определяется, т.е. такая запись смысла не имеет.

აღვნიშნოთ ერთი მომენტი. მას შემდეგ, რაც ჩვენ შემოვიღეთ პირობა, რომ a მეტია ან ტოლია ნულზე, ჩვენ გადავწყვიტეთ ზოგიერთი შემთხვევა.

გამოთქმა a m n ზოგჯერ მაინც აზრი აქვს a და ზოგიერთი m-ის ზოგიერთ უარყოფით მნიშვნელობას. ამრიგად, სწორი ჩანაწერებია (- 5) 2 3, (- 1, 2) 5 7, - 1 2 - 8 4, რომლებშიც ფუძე უარყოფითია.

2. მეორე მიდგომა არის ცალ-ცალკე განიხილოს ფესვი a m n ლუწი და კენტი მაჩვენებლებით. შემდეგ დაგვჭირდება კიდევ ერთი პირობის შემოღება: a ხარისხი, რომლის მაჩვენებელში არის შემცირებადი ჩვეულებრივი წილადი, ითვლება a ხარისხად, რომლის მაჩვენებელში არის შესაბამისი შეუქცევადი წილადი. მოგვიანებით განვმარტავთ, რატომ გვჭირდება ეს მდგომარეობა და რატომ არის ეს ასე მნიშვნელოვანი. ამრიგად, თუ გვაქვს a m · k n · k აღნიშვნა, მაშინ შეგვიძლია შევამციროთ ის m n-მდე და გავამარტივოთ გამოთვლები.

თუ n არის კენტი რიცხვი და m-ის მნიშვნელობა დადებითი და a არის ნებისმიერი არაუარყოფითი რიცხვი, მაშინ a m n აზრი აქვს. პირობა, რომ a იყოს არაუარყოფითი, აუცილებელია, რადგან ლუწი ხარისხის ფესვის ამოღება შეუძლებელია უარყოფითი რიცხვიდან. თუ m-ის მნიშვნელობა დადებითია, მაშინ a შეიძლება იყოს უარყოფითიც და ნულიც, რადგან კენტი ფესვის აღება შეიძლება ნებისმიერი რეალური რიცხვიდან.

მოდით გავაერთიანოთ ყველა ზემოთ ჩამოთვლილი განმარტება ერთ ჩანაწერში:

აქ m/n ნიშნავს შეუქცევად წილადს, m არის ნებისმიერი მთელი რიცხვი და n არის ნებისმიერი ბუნებრივი რიცხვი.

განმარტება 5

ნებისმიერი ჩვეულებრივი შემცირებადი წილადისთვის m · k n · k ხარისხი შეიძლება შეიცვალოს m n-ით.

რიცხვის a ძალა შეუქცევადი წილადი მაჩვენებლით m / n - შეიძლება გამოიხატოს m n-ით შემდეგ შემთხვევებში: - ნებისმიერი რეალური a, დადებითი მთელი რიცხვი m და კენტი ბუნებრივი მნიშვნელობები n. მაგალითი: 2 5 3 = 2 5 3, (- 5, 1) 2 7 = (- 5, 1) - 2 7, 0 5 19 = 0 5 19.

ნებისმიერი არანულოვანი რეალური a, m-ის უარყოფითი მთელი მნიშვნელობები და n-ის უცნაური მნიშვნელობები, მაგალითად, 2 - 5 3 = 2 - 5 3, (- 5, 1) - 2 7 = (- 5, 1) - 2 7

ნებისმიერი არაუარყოფითი a, დადებითი მთელი რიცხვისთვის m და ლუწი n, მაგალითად, 2 1 4 = 2 1 4, (5, 1) 3 2 = (5, 1) 3, 0 7 18 = 0 7 18.

ნებისმიერი დადებითი a, უარყოფითი მთელი რიცხვისთვის m და ლუწი n, მაგალითად, 2 - 1 4 = 2 - 1 4, (5, 1) - 3 2 = (5, 1) - 3, .

სხვა მნიშვნელობების შემთხვევაში, ხარისხი წილადის მაჩვენებლით არ არის განსაზღვრული. ასეთი ხარისხების მაგალითები: - 2 11 6, - 2 1 2 3 2, 0 - 2 5.

ახლა ავხსნათ ზემოთ განხილული პირობის მნიშვნელობა: რატომ შეცვალოთ წილადი შემცირებითი მაჩვენებლით წილადით შეუქცევადი მაჩვენებლით. ეს რომ არ გაგვეკეთებინა, გვექნებოდა შემდეგი სიტუაციები, ვთქვათ, 6/10 = 3/5. მაშინ ეს უნდა იყოს მართალი (- 1) 6 10 = - 1 3 5 , მაგრამ - 1 6 10 = (- 1) 6 10 = 1 10 = 1 10 10 = 1 და (- 1) 3 5 = (- 1 ) 3 5 = - 1 5 = - 1 5 5 = - 1 .

წილადის მაჩვენებლით ხარისხის განსაზღვრა, რომელიც ჩვენ პირველად წარმოვადგინეთ, პრაქტიკაში უფრო მოსახერხებელია, ვიდრე მეორე, ამიტომ ჩვენ გავაგრძელებთ მის გამოყენებას.

განმარტება 6

ამრიგად, დადებითი რიცხვის სიმძლავრე a წილადი მაჩვენებლით m/n განისაზღვრება როგორც 0 m n = 0 m n = 0. უარყოფითის შემთხვევაში ა a m n აღნიშვნას აზრი არ აქვს. ნულის სიმძლავრე დადებითი წილადის მაჩვენებლებისთვის მ/ნგანისაზღვრება როგორც 0 m n = 0 m n = 0, უარყოფითი წილადის მაჩვენებლებისთვის ჩვენ არ განვსაზღვრავთ ნულის ხარისხს.

დასკვნებში აღვნიშნავთ, რომ თქვენ შეგიძლიათ დაწეროთ ნებისმიერი წილადი მაჩვენებელი როგორც შერეული რიცხვი, ასევე ათობითი წილადი: 5 1, 7, 3 2 5 - 2 3 7.

გაანგარიშებისას სჯობს მაჩვენებლის შეცვლა ჩვეულებრივი წილადით და შემდეგ გამოვიყენოთ მაჩვენებლის განმარტება წილადის მაჩვენებლით. ზემოთ მოყვანილი მაგალითებისთვის ვიღებთ:

5 1 , 7 = 5 17 10 = 5 7 10 3 2 5 - 2 3 7 = 3 2 5 - 17 7 = 3 2 5 - 17 7

რა არის ძალაუფლება ირაციონალური და რეალური მაჩვენებლებით?

რა არის რეალური რიცხვები? მათი ნაკრები მოიცავს როგორც რაციონალურ, ასევე ირაციონალურ რიცხვებს. ამიტომ, იმისათვის, რომ გავიგოთ, რა არის ხარისხი რეალურ მაჩვენებელთან, ჩვენ უნდა განვსაზღვროთ გრადუსები რაციონალური და ირაციონალური მაჩვენებლებით. რაციონალური პირობა ზემოთ უკვე აღვნიშნეთ. მოდით, ეტაპობრივად გავუმკლავდეთ ირაციონალურ მაჩვენებლებს.

მაგალითი 5

დავუშვათ, რომ გვაქვს ირაციონალური რიცხვი a და მისი ათობითი მიახლოებების თანმიმდევრობა a 0 , a 1 , a 2 , . . . . მაგალითად, ავიღოთ მნიშვნელობა a = 1.67175331. . . , მაშინ

a 0 = 1, 6, a 1 = 1, 67, a 2 = 1, 671, . . . , a 0 = 1,67, a 1 = 1,6717, a 2 = 1,671753, . . .

ჩვენ შეგვიძლია მიახლოებათა მიმდევრობები დავაკავშიროთ a a 0, a a 1, a a 2, ხარისხების თანმიმდევრობას. . . . თუ გავიხსენებთ, რაც ადრე ვთქვით რიცხვების რაციონალურ ძალებამდე აყვანის შესახებ, მაშინ ჩვენ თვითონ შეგვიძლია გამოვთვალოთ ამ ძალების მნიშვნელობები.

ავიღოთ მაგალითად a = 3, შემდეგ a 0 = 3 1, 67, a 1 = 3 1, 6717, a 2 = 3 1, 671753, . . . და ა.შ.

ძალაუფლების თანმიმდევრობა შეიძლება შემცირდეს რიცხვამდე, რომელიც იქნება სიმძლავრის მნიშვნელობა a ფუძით და ირაციონალური მაჩვენებლით a. შედეგად: ხარისხი 3 1, 67175331 ფორმის ირაციონალური მაჩვენებლით. . შეიძლება შემცირდეს 6, 27 რიცხვამდე.

განმარტება 7

დადებითი რიცხვის სიძლიერე a ირაციონალური მაჩვენებლით იწერება a. მისი მნიშვნელობა არის a a 0, a a 1, a 2, მიმდევრობის ზღვარი. . . , სადაც 0 , a 1 , a 2 , . . . არის a ირაციონალური რიცხვის თანმიმდევრული ათობითი მიახლოებები. ნულოვანი ფუძის მქონე ხარისხი ასევე შეიძლება განისაზღვროს დადებითი ირაციონალური მაჩვენებლებისთვის, 0 a = 0 ასე რომ, 0 6 = 0, 0 21 3 3 = 0. მაგრამ ეს არ შეიძლება გაკეთდეს უარყოფითისთვის, რადგან, მაგალითად, მნიშვნელობა 0 - 5, 0 - 2 π არ არის განსაზღვრული. ნებისმიერ ირაციონალურ ძალამდე ამაღლებული ერთეული რჩება ერთეულად, მაგალითად, და 1 2, 1 5 2-ში და 1 - 5 იქნება 1-ის ტოლი.

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter

რიცხვის სიმძლავრის შესახებ საუბრის გაგრძელებით, ლოგიკურია იმის გარკვევა, თუ როგორ უნდა იპოვოთ სიმძლავრის მნიშვნელობა. ამ პროცესს ე.წ ექსპონენტაცია. ამ სტატიაში ჩვენ შევისწავლით თუ როგორ სრულდება გაძლიერება, ხოლო შევეხებით ყველა შესაძლო მაჩვენებელს - ბუნებრივ, მთელ რიცხვს, რაციონალურ და ირაციონალურ. და ტრადიციის თანახმად, ჩვენ დეტალურად განვიხილავთ გადაწყვეტილებებს სხვადასხვა ძალაუფლებაზე რიცხვების ამაღლების მაგალითებზე.

გვერდის ნავიგაცია.

რას ნიშნავს "ექსპონენტაცია"?

დავიწყოთ იმის ახსნით, რასაც ეძახიან ექსპონენტაციას. აქ არის შესაბამისი განმარტება.

განმარტება.

ექსპონენტაცია- ეს არის რიცხვის სიძლიერის მნიშვნელობის პოვნა.

ამრიგად, a რიცხვის სიმძლავრის მნიშვნელობის პოვნა r მაჩვენებლით და a რიცხვის გაზრდა r ხარისხამდე ერთი და იგივეა. მაგალითად, თუ დავალება არის „გამოთვალეთ სიმძლავრის მნიშვნელობა (0.5) 5“, მაშინ მისი ხელახალი ფორმულირება შეიძლება შემდეგნაირად: „აწიეთ რიცხვი 0.5 ხარისხად 5-მდე“.

ახლა თქვენ შეგიძლიათ პირდაპირ გადახვიდეთ წესებზე, რომლითაც ხორციელდება ექსპონენტაცია.

რიცხვის ბუნებრივ ხარისხზე აყვანა

პრაქტიკაში, საფუძველზე თანასწორობა ჩვეულებრივ გამოიყენება ფორმით. ანუ a რიცხვის წილადის ხარისხზე m/n-ზე აყვანისას ჯერ იღებენ a რიცხვის n-ე ფესვს, რის შემდეგაც მიღებული შედეგი ამაღლებულია მთელ რიცხვ ხარისხამდე m.

მოდით შევხედოთ გადაწყვეტილებებს წილადის ხარისხზე აწევის მაგალითებზე.

მაგალითი.

გამოთვალეთ ხარისხის მნიშვნელობა.

გამოსავალი.

ჩვენ ვაჩვენებთ ორ გამოსავალს.

პირველი გზა. წილადის მაჩვენებლით ხარისხის განსაზღვრებით. ჩვენ ვიანგარიშებთ გრადუსის მნიშვნელობას ფესვის ნიშნის ქვეშ და შემდეგ გამოვყოფთ კუბის ფესვს: .

მეორე გზა. წილადის მაჩვენებლის მქონე ხარისხის განსაზღვრებით და ფესვების თვისებებზე დაყრდნობით, ჭეშმარიტია შემდეგი ტოლობები: . ახლა ჩვენ ამოვიღებთ ფესვს და ბოლოს, ჩვენ ავზრდით მას მთელ რიცხვამდე .

ცხადია, წილადის სიმძლავრემდე აწევის მიღებული შედეგები ემთხვევა.

პასუხი:

გაითვალისწინეთ, რომ წილადის მაჩვენებელი შეიძლება დაიწეროს როგორც ათობითი წილადი ან შერეული რიცხვი, ამ შემთხვევებში ის უნდა შეიცვალოს შესაბამისი ჩვეულებრივი წილადით და შემდეგ გაიზარდოს ხარისხზე.

მაგალითი.

გამოთვალეთ (44,89) 2,5.

გამოსავალი.

მოდით დავწეროთ მაჩვენებელი ჩვეულებრივი წილადის სახით (საჭიროების შემთხვევაში იხილეთ სტატია): . ახლა ჩვენ ვასრულებთ ამაღლებას წილადის ხარისხზე:

პასუხი:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

ასევე უნდა ითქვას, რომ რიცხვების რაციონალურ ძალებამდე აყვანა საკმაოდ შრომატევადი პროცესია (განსაკუთრებით მაშინ, როდესაც წილადის მაჩვენებლის მრიცხველი და მნიშვნელი შეიცავს საკმარისად დიდ რიცხვებს), რომელიც ჩვეულებრივ ხორციელდება კომპიუტერული ტექნოლოგიის გამოყენებით.

ამ პუნქტის დასასრულებლად, მოდით ვისაუბროთ ნულის რიცხვის წილადის ხარისხზე აყვანაზე. ფორმის ნულის წილადის ხარისხს შემდეგი მნიშვნელობა მივეცით: როცა გვაქვს , და ნულზე m/n სიმძლავრე არ არის განსაზღვრული. ასე რომ, ნული წილადის დადებით ხარისხამდე არის ნული, მაგალითად, . ხოლო ნულს წილადის უარყოფით ხარისხში აზრი არ აქვს, მაგალითად, გამოთქმებს 0 -4.3 აზრი არ აქვს.

ირაციონალურ ძალამდე ამაღლება

ზოგჯერ საჭირო ხდება ირაციონალური მაჩვენებლის მქონე რიცხვის სიძლიერის მნიშვნელობის გარკვევა. ამ შემთხვევაში, პრაქტიკული მიზნებისთვის, როგორც წესი, საკმარისია ხარისხის მნიშვნელობის მიღება გარკვეულ ნიშანზე ზუსტი. დაუყოვნებლივ აღვნიშნოთ, რომ პრაქტიკაში ეს მნიშვნელობა გამოითვლება ელექტრონული კომპიუტერების გამოყენებით, რადგან მისი ხელით ირაციონალურ სიმძლავრემდე აყვანა მოითხოვს უამრავ უხერხულ გამოთვლებს. მაგრამ ჩვენ მაინც აღვწერთ ზოგადად მოქმედებების არსს.

ირაციონალური მაჩვენებლის მქონე a რიცხვის სიმძლავრის მიახლოებითი მნიშვნელობის მისაღებად, აღებულია მაჩვენებლის გარკვეული ათობითი მიახლოება და გამოითვლება სიმძლავრის მნიშვნელობა. ეს მნიშვნელობა არის ირაციონალური მაჩვენებლით a რიცხვის სიმძლავრის მიახლოებითი მნიშვნელობა. რაც უფრო ზუსტი იქნება რიცხვის ათწილადი მიახლოება თავდაპირველად, მით უფრო ზუსტი იქნება ხარისხის მნიშვნელობა საბოლოოდ.

მაგალითად, გამოვთვალოთ 2 1.174367 სიმძლავრის მიახლოებითი მნიშვნელობა... . ავიღოთ ირაციონალური მაჩვენებლის შემდეგი ათობითი მიახლოება: . ახლა ჩვენ ვზრდით 2-ს რაციონალურ სიმძლავრემდე 1.17 (ჩვენ აღვწერეთ ამ პროცესის არსი წინა აბზაცში), ვიღებთ 2 1.17 ≈2.250116. ამრიგად, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . თუ ავიღოთ, მაგალითად, ირაციონალური მაჩვენებლის უფრო ზუსტი ათობითი მიახლოება, მაშინ მივიღებთ თავდაპირველი მაჩვენებლის უფრო ზუსტ მნიშვნელობას: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

ბიბლიოგრაფია.

• ვილენკინი ნ.ია., ჟოხოვი ვ.ი., ჩესნოკოვი ა.ს., შვარცბურდი ს.ი. მათემატიკის სახელმძღვანელო მე-5 კლასისთვის. საგანმანათლებო ინსტიტუტები.
• მაკარიჩევი იუ.ნ., მინდიუკ ნ.გ., ნეშკოვი კ.ი., სუვოროვა ს.ბ. ალგებრა: სახელმძღვანელო მე-7 კლასისთვის. საგანმანათლებო ინსტიტუტები.
• მაკარიჩევი იუ.ნ., მინდიუკ ნ.გ., ნეშკოვი კ.ი., სუვოროვა ს.ბ. ალგებრა: სახელმძღვანელო მე-8 კლასისთვის. საგანმანათლებო ინსტიტუტები.
• მაკარიჩევი იუ.ნ., მინდიუკ ნ.გ., ნეშკოვი კ.ი., სუვოროვა ს.ბ. ალგებრა: სახელმძღვანელო მე-9 კლასისთვის. საგანმანათლებო ინსტიტუტები.
• კოლმოგოროვი A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. და სხვა ალგებრა და ანალიზის საწყისები: სახელმძღვანელო ზოგადსაგანმანათლებლო დაწესებულებების 10-11 კლასებისთვის.
• გუსევი V.A., Mordkovich A.G. მათემატიკა (სახელმძღვანელო ტექნიკურ სასწავლებლებში შესვლისთვის).

სიმძლავრე გამოიყენება რიცხვის თავისთავად გამრავლების ოპერაციის გასამარტივებლად. მაგალითად, წერის ნაცვლად შეგიძლიათ დაწეროთ 4 5 (\displaystyle 4^(5))(ამ გადასვლის ახსნა მოცემულია ამ სტატიის პირველ ნაწილში). ხარისხები აადვილებს გრძელი ან რთული გამონათქვამების ან განტოლებების წერას; ასევე, ძალების დამატება და გამოკლება მარტივია, რის შედეგადაც მიიღება გამარტივებული გამოხატულება ან განტოლება (მაგალითად, 4 2 ∗ 4 3 = 4 5 (\displaystyle 4^(2)*4^(3)=4^(5))).

Შენიშვნა:თუ თქვენ გჭირდებათ ექსპონენციალური განტოლების ამოხსნა (ასეთ განტოლებაში უცნობია მაჩვენებელში), წაიკითხეთ.

ნაბიჯები

მარტივი ამოცანების გადაჭრა გრადუსით

გაამრავლეთ მაჩვენებლის ფუძე თავის თავზე რამდენჯერმე ტოლი მაჩვენებლისა.თუ თქვენ გჭირდებათ დენის პრობლემის ხელით გადაჭრა, გადაწერეთ სიმძლავრე გამრავლების ოპერაციის სახით, სადაც სიმძლავრის საფუძველი თავისთავად მრავლდება. მაგალითად, მიენიჭა ხარისხი 3 4 (\displaystyle 3^(4)). ამ შემთხვევაში, სიმძლავრის 3 საფუძველი თავისთავად უნდა გამრავლდეს 4-ჯერ: 3 ∗ 3 ∗ 3 ∗ 3 (\displaystyle 3*3*3*3). აქ არის სხვა მაგალითები:

პირველი, გაამრავლეთ პირველი ორი რიცხვი.Მაგალითად, 4 5 (\displaystyle 4^(5)) = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4*4*4*4*4). არ ინერვიულოთ - გაანგარიშების პროცესი არც ისე რთულია, როგორც ერთი შეხედვით ჩანს. ჯერ გაამრავლეთ პირველი ორი ოთხეული და შემდეგ შეცვალეთ ისინი შედეგით. Ამგვარად:

გაამრავლეთ შედეგი (ჩვენს მაგალითში 16) მომდევნო რიცხვზე.ყოველი მომდევნო შედეგი პროპორციულად გაიზრდება. ჩვენს მაგალითში გავამრავლოთ 16 4-ზე. ასე:

მოაგვარეთ შემდეგი პრობლემები.შეამოწმეთ თქვენი პასუხი კალკულატორის გამოყენებით.

თქვენს კალკულატორზე მოძებნეთ გასაღები წარწერით "exp" ან " x n (\displaystyle x^(n)) ", ან "^".ამ კლავიშის გამოყენებით თქვენ ასწევთ რიცხვს ძალამდე. თითქმის შეუძლებელია ხელით გამოთვალოთ ხარისხი დიდი მაჩვენებლით (მაგალითად, ხარისხი 9 15 (\displaystyle 9^(15))), მაგრამ კალკულატორი ადვილად უმკლავდება ამ ამოცანას. Windows 7-ში სტანდარტული კალკულატორი შეიძლება გადავიდეს საინჟინრო რეჟიმში; ამისათვის დააჭირეთ ღილაკს "ნახვა" -> "ინჟინერია". ნორმალურ რეჟიმში გადასასვლელად დააჭირეთ ღილაკს "ნახვა" -> "ნორმალური".

• შეამოწმეთ პასუხი, რომელიც მიიღეთ საძიებო სისტემის გამოყენებით (Google ან Yandex). თქვენი კომპიუტერის კლავიატურაზე „^“ ღილაკის გამოყენებით შეიყვანეთ გამონათქვამი საძიებო სისტემაში, რომელიც მყისიერად აჩვენებს სწორ პასუხს (და შესაძლოა შემოგთავაზოთ მსგავსი გამონათქვამები შესასწავლად).

ძალაუფლების შეკრება, გამოკლება, გამრავლება

1. თქვენ შეგიძლიათ დაამატოთ და გამოკლოთ გრადუსი მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მათ აქვთ იგივე საფუძვლები.თუ თქვენ გჭირდებათ სიმძლავრეების დამატება იმავე ფუძეებით და მაჩვენებლებით, მაშინ შეგიძლიათ შეცვალოთ შეკრების ოპერაცია გამრავლების ოპერაციით. მაგალითად, მოცემული გამოხატულება 4 5 + 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)). გახსოვდეთ, რომ ხარისხი 4 5 (\displaystyle 4^(5))შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ფორმით 1 ∗ 4 5 (\displaystyle 1*4^(5)); ამრიგად, 4 5 + 4 5 = 1 ∗ 4 5 + 1 ∗ 4 5 = 2 ∗ 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)=1*4^(5)+1*4^(5) =2*4^(5))(სადაც 1 +1 =2). ანუ დათვალეთ მსგავსი გრადუსების რაოდენობა და შემდეგ გაამრავლეთ ეს ხარისხი და ეს რიცხვი. ჩვენს მაგალითში აწიეთ 4 მეხუთე ხარისხზე და შემდეგ მიღებული შედეგი გაამრავლეთ 2-ზე. გახსოვდეთ, რომ შეკრების ოპერაცია შეიძლება შეიცვალოს გამრავლების ოპერაციით, მაგალითად, 3 + 3 = 2 ∗ 3 (\displaystyle 3+3=2*3). აქ არის სხვა მაგალითები:

   ერთსა და იმავე ფუძეზე ძალების გამრავლებისას ემატება მათი მაჩვენებლები (ფუძე არ იცვლება).მაგალითად, მოცემული გამოხატულება x 2 ∗ x 5 (\displaystyle x^(2)*x^(5)). ამ შემთხვევაში, თქვენ უბრალოდ უნდა დაამატოთ ინდიკატორები, დატოვოთ ბაზა უცვლელი. ამრიგად, x 2 ∗ x 5 = x 7 (\displaystyle x^(2)*x^(5)=x^(7)). აქ მოცემულია ამ წესის ვიზუალური ახსნა:

   სიმძლავრის ხარისხზე აყვანისას, მაჩვენებლები მრავლდება.მაგალითად, მიენიჭა ხარისხი (x 2) 5 (\displaystyle (x^(2))^(5)). ვინაიდან ექსპონენტები მრავლდება, მაშინ (x 2) 5 = x 2 ∗ 5 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2*5)=x^(10)). ამ წესის აზრი იმაში მდგომარეობს, რომ თქვენ ამრავლებთ ძალებზე (x 2) (\displaystyle (x^(2)))თავის თავზე ხუთჯერ. Ამგვარად:

   უარყოფითი მაჩვენებლის მქონე სიმძლავრე უნდა გარდაიქმნას წილადად (უკუ სიმძლავრე).არ აქვს მნიშვნელობა, თუ არ იცი რა არის საპასუხო ხარისხი. თუ თქვენ გეძლევათ ხარისხი უარყოფითი მაჩვენებლით, ე.ი. 3 − 2 (\displaystyle 3^(-2)), ჩაწერეთ ეს ხარისხი წილადის მნიშვნელში (ჩადეთ 1 მრიცხველში) და გააკეთეთ მაჩვენებლის დადებითი. ჩვენს მაგალითში: 1 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(3^(2)))). აქ არის სხვა მაგალითები:

   ერთსა და იმავე ფუძესთან გრადუსების გაყოფისას კლებულობენ მათ მაჩვენებლებს (ფუძე არ იცვლება).გაყოფის ოპერაცია გამრავლების ოპერაციის საპირისპიროა. მაგალითად, მოცემული გამოხატულება 4 4 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))). გამოვაკლოთ მნიშვნელის მაჩვენებელს მრიცხველის მაჩვენებელს (ძირს ნუ შეცვლით). ამრიგად, 4 4 4 2 = 4 4 − 2 = 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))=4^(4-2)=4^(2)) = 16 .

   ქვემოთ მოცემულია რამდენიმე გამოთქმა, რომელიც დაგეხმარებათ ისწავლოთ პრობლემების გადაჭრა ექსპონენტებთან.მოცემული გამონათქვამები მოიცავს ამ ნაწილში წარმოდგენილ მასალას. პასუხის სანახავად უბრალოდ აირჩიეთ ცარიელი ადგილი ტოლობის ნიშნის შემდეგ.

ამოცანების ამოხსნა წილადის მაჩვენებლებით

ხარისხი წილადი ინდიკატორით (მაგალითად, x 1 2 (\displaystyle x^(\frac (1)(2))) ) გარდაიქმნება ფესვის ამოღების ოპერაციად.ჩვენს მაგალითში: x 1 2 (\displaystyle x^(\frac (1)(2))) = x (\displaystyle (\sqrt (x))). აქ არ აქვს მნიშვნელობა რა რიცხვია წილადის მაჩვენებლის მნიშვნელში. Მაგალითად, x 1 4 (\displaystyle x^(\frac (1)(4)))- ეს არის "x"-ის მეოთხე ფესვი, ანუ x 4 (\displaystyle (\sqrt[(4)](x))) .