표현식, 표현식 변환

거듭제곱 표현( 거듭제곱이 있는 표현)과 그 변형

이 기사에서는 거듭제곱을 사용하여 표현식을 변환하는 방법에 대해 설명합니다. 먼저 괄호를 열고 유사한 용어를 가져오는 등의 거듭제곱 표현을 포함하여 모든 종류의 표현으로 수행되는 변환에 중점을 둘 것입니다. 그런 다음 도수 표현에 내재된 변환(밑수와 지수 사용, 도 속성 사용 등)을 분석합니다.

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힘의 표현이란 무엇입니까?

"전력 표현"이라는 용어는 실제로 학교 수학 교과서에는 나타나지 않지만 문제 모음, 특히 통합 상태 시험 및 통합 상태 시험 준비를 위한 문제 모음에는 자주 나타납니다. 능력 표현을 사용하여 어떤 작업을 수행해야 하는 작업을 분석한 후에는 능력 표현이 해당 항목에 능력을 포함하는 표현으로 이해된다는 것이 분명해집니다. 따라서 다음 정의를 스스로 받아들일 수 있습니다.

정의.

거듭제곱 표현도를 포함하는 표현입니다.

주자 힘 표현의 예. 또한 자연 지수가 있는 정도에서 실수 지수가 있는 정도에 대한 견해의 발전이 어떻게 발생하는지에 따라 제시할 것입니다.

알려진 바와 같이, 먼저 자연 지수가 있는 숫자의 거듭제곱에 대해 알게 됩니다. 이 단계에서는 3 2, 7 5 +1, (2+1) 5, (−0.1) 유형의 첫 번째 간단한 거듭제곱 표현입니다. 4, 3 a 2 는 −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 등으로 나타납니다.

조금 후에 정수 지수를 갖는 숫자의 거듭제곱이 연구되어 다음과 같이 음의 정수 거듭제곱을 갖는 거듭제곱 표현이 나타납니다. 3 −2, , a −2 +2 b −3 +c 2 .

고등학교에서는 학위로 돌아갑니다. 해당 거듭제곱 표현의 출현을 수반하는 유리수 지수를 갖는 정도가 도입됩니다. , , 등등. 마지막으로, 무리수 지수가 있는 도와 이를 포함하는 표현식이 고려됩니다: , .

문제는 나열된 거듭제곱 표현식에만 국한되지 않습니다. 추가로 변수는 지수에 침투하며 예를 들어 다음 표현식이 발생합니다. 2 x 2 +1 또는 . 그리고 에 익숙해지면 x 2·lgx −5·x lgx와 같이 거듭제곱과 로그가 포함된 표현식이 나타나기 시작합니다.

그래서 우리는 권력 표현이 무엇을 나타내는지에 대한 질문을 다루었습니다. 다음으로 우리는 그것들을 변환하는 방법을 배울 것입니다.

거듭제곱 표현의 주요 변환 유형

거듭제곱 표현을 사용하면 표현의 기본적인 항등 변환을 수행할 수 있습니다. 예를 들어 괄호를 열고, 숫자 표현식을 해당 값으로 바꾸고, 유사한 용어를 추가하는 등의 작업을 할 수 있습니다. 당연히 이 경우 조치를 수행하기 위해 허용되는 절차를 따라야 합니다. 예를 들어 보겠습니다.

예.

거듭제곱 표현식 2 3 ·(4 2 −12) 의 값을 계산합니다.

해결책.

액션 실행 순서에 따라 먼저 괄호 안의 액션을 수행합니다. 먼저 4 2의 거듭제곱을 값 16으로 바꾸고(필요한 경우 참조) 두 번째로 차이 16−12=4를 계산합니다. 우리는 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4.

결과 표현식에서 2 3 거듭제곱을 값 8로 대체한 후 곱 8·4=32를 계산합니다. 이것이 원하는 값입니다.

그래서, 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4=8·4=32.

답변:

2 3 ·(4 2 −12)=32.

예.

거듭제곱으로 표현 단순화 3a 4b −7 −1+2a 4b −7.

해결책.

분명히 이 표현에는 유사한 용어 3·a 4 ·b −7 및 2·a 4 ·b −7 이 포함되어 있으며 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

답변:

3a 4b −7 −1+2a 4b −7 =5a 4b −7 −1.

예.

힘이 있는 표현을 제품으로 표현해보세요.

해결책.

숫자 9를 3 2의 거듭제곱으로 표현한 다음 약식 곱셈 공식(제곱의 차이)을 사용하여 작업에 대처할 수 있습니다.

답변:

거듭제곱 표현에는 특히 고유한 동일한 변환이 많이 있습니다. 우리는 그것들을 더 분석할 것입니다.

밑수와 지수로 작업하기

밑수 및/또는 지수가 단순한 숫자나 변수가 아닌 일부 표현식인 학위도 있습니다. 예를 들어, (2+0.3·7) 5−3.7 및 (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) 항목을 제공합니다.

이러한 표현식으로 작업할 때, 밑수 표현식과 지수 표현식을 모두 해당 변수의 ODZ에서 동일하게 동일한 표현식으로 바꿀 수 있습니다. 즉, 우리에게 알려진 규칙에 따라 차수의 밑과 지수를 별도로 변환할 수 있습니다. 이 변환의 결과로 원래 표현식과 동일하게 동일한 표현식이 얻어질 것이 분명합니다.

이러한 변환을 통해 우리는 거듭제곱으로 표현을 단순화하거나 필요한 다른 목표를 달성할 수 있습니다. 예를 들어 위에서 언급한 (2+0.3 7) 5−3.7의 거듭제곱 표현식에서 밑수와 지수의 숫자로 연산을 수행할 수 있으며, 이를 통해 4.1 1.3의 거듭제곱으로 이동할 수 있습니다. 그리고 괄호를 열고 유사한 항을 차수 (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1)의 밑으로 가져온 후, 우리는 더 간단한 형태의 a 2·(x+ 1) .

학위 속성 사용

힘으로 표현을 변형시키는 주요 도구 중 하나는 반영하는 평등입니다. 주요 내용을 기억해 보겠습니다. 임의의 양수 a와 b 및 임의의 실수 r과 s에 대해 다음과 같은 거듭제곱의 속성이 적용됩니다.

• a r ·a s =a r+s ;
• a r:a s =a r−s ;
• (a·b) r =a r·br ;
• (a:b) r =a r:br ;
• (ar) s =a r·s .

자연, 정수 및 양의 지수의 경우 숫자 a와 b에 대한 제한이 그다지 엄격하지 않을 수 있습니다. 예를 들어, 자연수 m과 n의 경우 a m ·an =a m+n의 동등성은 양수 a뿐만 아니라 음수 a 및 a=0에도 적용됩니다.

학교에서 능력 표현을 변환할 때 주요 초점은 적절한 속성을 선택하고 이를 올바르게 적용하는 능력입니다. 이 경우 학위의 기준은 일반적으로 양수이므로 학위의 속성을 제한 없이 사용할 수 있습니다. 거듭제곱의 기초에 변수를 포함하는 표현식의 변환에도 동일하게 적용됩니다. 변수의 허용 가능한 값 범위는 일반적으로 기초가 양수 값만 취하는 것과 같으므로 거듭제곱의 속성을 자유롭게 사용할 수 있습니다. . 일반적으로 이 경우 학위 속성을 사용할 수 있는지 끊임없이 자문해야 합니다. 속성을 부정확하게 사용하면 교육적 가치가 좁아지고 기타 문제가 발생할 수 있기 때문입니다. 이러한 점은 거듭제곱의 속성을 사용한 표현 변환 기사의 예와 함께 자세히 논의됩니다. 여기서는 몇 가지 간단한 예만 고려하도록 하겠습니다.

예.

a 2.5·(a 2) −3:a −5.5라는 표현을 밑이 a인 거듭제곱으로 표현하세요.

해결책.

먼저, 거듭제곱을 거듭제곱하는 속성을 사용하여 두 번째 요소(a 2) −3을 변환합니다. (a 2) −3 =a 2·(−3) =a −6. 원래 거듭제곱 표현은 a 2.5 ·a −6:a −5.5 형식을 취합니다. 분명히, 동일한 기반으로 곱셈과 거듭제곱의 속성을 사용하는 것이 남아 있습니다.
2.5 ·a −6:a −5.5 =
2.5−6:a −5.5 =a −3.5:a −5.5 =
a −3.5−(−5.5) =a 2 .

답변:

2.5 ·(a 2) −3:a −5.5 =a 2.

거듭제곱 표현을 변환할 때 거듭제곱의 속성은 왼쪽에서 오른쪽으로, 오른쪽에서 왼쪽으로 모두 사용됩니다.

예.

거듭제곱 표현의 값을 구합니다.

해결책.

오른쪽에서 왼쪽으로 적용되는 등식(a·b) r =a r·br r을 사용하면 원래 표현에서 형식의 곱으로 더 멀리 이동할 수 있습니다. 그리고 동일한 밑수로 거듭제곱을 곱하면 지수가 합산됩니다. .

원래 표현을 다른 방식으로 변형하는 것이 가능했습니다.

답변:

.

예.

거듭제곱 표현식 a 1.5 −a 0.5 −6이 주어지면 새 변수 t=a 0.5를 도입합니다.

해결책.

a 1.5 차수는 a 0.5 3 으로 표현할 수 있으며, 차수 (a r) s =a r s 에 대한 성질을 오른쪽에서 왼쪽으로 적용하여 (a 0.5) 3 형태로 변환할 수 있습니다. 따라서, 1.5 −a 0.5 −6=(a 0.5) 3 −a 0.5 −6. 이제 새로운 변수 t=a 0.5를 도입하는 것은 쉽습니다. t 3 −t−6을 얻습니다.

답변:

t 3 −t−6 .

거듭제곱이 포함된 분수 변환하기

거듭제곱 표현식은 거듭제곱이 있는 분수를 포함하거나 나타낼 수 있습니다. 모든 종류의 분수에 내재된 분수의 기본 변환은 그러한 분수에 완전히 적용 가능합니다. 즉, 거듭제곱을 포함하는 분수는 축소되거나, 새로운 분모로 축소되거나, 분자와 분모와 별도로 작업하는 등의 작업을 할 수 있습니다. 이러한 단어를 설명하기 위해 몇 가지 예에 대한 솔루션을 고려하십시오.

예.

거듭제곱 표현 단순화 .

해결책.

이 거듭제곱 표현은 분수입니다. 분자와 분모를 가지고 작업해 봅시다. 분자에서 괄호를 열고 거듭제곱의 속성을 사용하여 결과 표현식을 단순화하고 분모에 유사한 용어를 표시합니다.

그리고 분수 앞에 빼기를 넣어 분모의 부호를 변경해 보겠습니다. .

답변:

.

거듭제곱을 포함하는 분수를 새 분모로 줄이는 것은 유리 분수를 새 분모로 줄이는 것과 유사하게 수행됩니다. 이 경우 추가 요소도 발견되고 분수의 분자와 분모에 이를 곱합니다. 이 작업을 수행할 때 새로운 분모로 축소하면 VA가 좁아질 수 있다는 점을 기억하는 것이 좋습니다. 이러한 일이 발생하지 않도록 하려면 원래 표현식에 대한 ODZ 변수의 변수 값에 대해 추가 요소가 0이 되지 않아야 합니다.

예.

분수를 새로운 분모로 줄입니다: a) 분모 a, b) 분모에.

해결책.

a) 이 경우 원하는 결과를 얻는 데 어떤 추가 승수가 도움이 되는지 파악하는 것은 매우 쉽습니다. a 0.7 ·a 0.3 =a 0.7+0.3 =a이므로 이는 a 0.3의 승수입니다. 변수 a의 허용 가능한 값 범위(이것은 모든 양의 실수 집합)에서 0.3의 거듭제곱은 사라지지 않으므로 주어진 분자와 분모를 곱할 권리가 있습니다. 이 추가 요소로 분수:

b) 분모를 자세히 살펴보면 다음과 같은 사실을 알 수 있습니다.

이 표현식을 곱하면 세제곱의 합이 제공됩니다. 즉, . 그리고 이것이 원래 분수를 줄여야 하는 새로운 분모입니다.

이것이 우리가 추가 요소를 찾은 방법입니다. 변수 x와 y의 허용 값 범위에서 표현식은 사라지지 않으므로 분수의 분자와 분모에 곱할 수 있습니다.

답변:

ㅏ) , 비) .

또한 거듭제곱을 포함하는 분수를 줄이는 데에는 새로운 것이 없습니다. 분자와 분모는 여러 인수로 표시되고 분자와 분모의 동일한 인수는 감소됩니다.

예.

분수를 줄이세요: a) , 비) .

해결책.

a) 첫째, 분자와 분모는 30과 45로 줄어들 수 있으며 이는 15와 같습니다. x 0.5 +1만큼 감소를 수행하는 것도 분명히 가능합니다. . 우리가 가지고 있는 것은 다음과 같습니다:

b) 이 경우 분자와 분모의 동일한 요소가 즉시 표시되지 않습니다. 이를 얻으려면 예비 변환을 수행해야 합니다. 이 경우 제곱의 차이 공식을 사용하여 분모를 인수분해하는 것으로 구성됩니다.

답변:

ㅏ)

비) .

분수를 새로운 분모로 변환하고 분수를 줄이는 것은 주로 분수를 다루는 데 사용됩니다. 작업은 알려진 규칙에 따라 수행됩니다. 분수를 더하기(빼기)할 때 분수는 공통 분모로 줄어들고 그 후에 분자는 더하기(빼기)되지만 분모는 동일하게 유지됩니다. 결과는 분자가 분자의 곱이고 분모가 분모의 곱인 분수입니다. 분수로 나누는 것은 분수의 역수로 곱하는 것입니다.

예.

다음 단계를 따르세요. .

해결책.

먼저 괄호 안의 분수를 뺍니다. 이를 위해 우리는 그것들을 공통 분모로 가져옵니다. , 그 후에 분자를 뺍니다.

이제 분수를 곱합니다.

분명히 x 1/2의 거듭제곱으로 줄이는 것이 가능하며, 그 후에는 다음과 같습니다. .

제곱의 차이 공식을 사용하여 분모의 거듭제곱 표현을 단순화할 수도 있습니다. .

답변:

예.

거듭제곱 표현 단순화 .

해결책.

분명히, 이 분수는 (x 2.7 +1) 2로 줄어들 수 있습니다. 이것은 분수를 제공합니다 . X의 힘으로 뭔가 다른 일을 해야 한다는 것은 분명합니다. 이를 위해 결과 분수를 제품으로 변환합니다. 이는 동일한 기반으로 권력을 분할하는 속성을 활용할 수 있는 기회를 제공합니다. . 그리고 프로세스가 끝나면 마지막 제품에서 분수로 이동합니다.

답변:

.

또한 음의 지수가 있는 인수를 분자에서 분모로 또는 분모에서 분자로 이동하여 지수의 부호를 변경하는 것이 가능하고 많은 경우 바람직하다고 덧붙여 보겠습니다. 이러한 변환은 종종 추가 작업을 단순화합니다. 예를 들어 거듭제곱 표현식은 로 대체될 수 있습니다.

근과 거듭제곱을 사용하여 표현식 변환하기

종종 일부 변환이 필요한 표현식에서는 분수 지수가 있는 근도 거듭제곱과 함께 표시됩니다. 이러한 표현을 원하는 형식으로 변환하려면 대부분의 경우 뿌리 또는 거듭제곱에만 적용하면 충분합니다. 그러나 권력을 가지고 작업하는 것이 더 편리하기 때문에 일반적으로 뿌리에서 권력으로 이동합니다. 그러나 원래 표현식에 대한 변수의 ODZ를 사용하면 모듈을 참조하거나 ODZ를 여러 간격으로 분할할 필요 없이 근을 거듭제곱으로 대체할 수 있는 경우 이러한 전환을 수행하는 것이 좋습니다(이에 대해서는 다음에서 자세히 논의했습니다). 근에서 거듭제곱으로의 기사 전환 유리 지수가 있는 학위에 대해 알게 된 후 무리 지수가 있는 학위가 소개되어 임의의 실수 지수가 있는 학위에 대해 이야기할 수 있습니다. 공부하다 지수 함수, 이는 분석적으로 거듭제곱으로 주어지며, 그 밑은 숫자이고 지수는 변수입니다. 따라서 우리는 거듭제곱의 밑수와 지수에 숫자가 포함된 거듭제곱 표현식(변수가 있는 표현식)에 직면하게 되며 자연스럽게 그러한 표현식을 변환해야 할 필요성이 발생합니다.

일반적으로 표시된 유형의 표현식 변환은 문제를 해결할 때 수행되어야 한다고 말해야 합니다. 지수 방정식그리고 지수 부등식, 이러한 변환은 매우 간단합니다. 압도적인 다수의 경우, 이는 학위의 속성을 기반으로 하며 대부분 미래에 새로운 변수를 도입하는 것을 목표로 합니다. 방정식을 통해 우리는 이를 증명할 수 있습니다. 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

첫째, 지수가 특정 변수(또는 변수가 있는 표현식)와 숫자의 합인 거듭제곱은 곱으로 대체됩니다. 이는 왼쪽 표현식의 첫 번째 항과 마지막 항에 적용됩니다.
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

다음으로, 평등의 양쪽은 원래 방정식에 대한 변수 x의 ODZ에서 양수 값만 취하는 표현식 7 2 x로 나뉩니다. (이것은 이 유형의 방정식을 풀기 위한 표준 기술입니다. 지금 그것에 대해 이야기하고 있으므로 거듭제곱을 사용한 표현의 후속 변환에 집중하세요. ):

이제 거듭제곱을 사용하여 분수를 취소할 수 있습니다. .

마지막으로, 동일한 지수를 갖는 거듭제곱의 비율은 관계의 거듭제곱으로 대체되어 다음 방정식이 됩니다. , 이는 동일합니다. . 변환을 통해 원래 지수 방정식의 해를 이차 방정식의 해로 줄이는 새로운 변수를 도입할 수 있습니다.

I. V. 보이코프, L. D. 로마노바통합 상태 시험 준비를 위한 작업 모음입니다. 1부. 펜자 2003.

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첫 번째 레벨

지수화는 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈과 같은 수학적 연산입니다.

이제 나는 아주 간단한 예를 사용하여 인간 언어로 된 모든 것을 설명하겠습니다. 조심하세요. 예제는 초보적이지만 중요한 사항을 설명합니다.

추가부터 시작하겠습니다.

여기서는 설명할 것이 없습니다. 당신은 이미 모든 것을 알고 있습니다. 우리는 8명입니다. 다들 콜라 두병씩 가지고 계시네요. 콜라가 얼마나 있어요? 맞습니다 - 16 병.

이제 곱셈.

콜라에 대한 동일한 예를 다르게 작성할 수 있습니다. 수학자들은 교활하고 게으른 사람들이다. 그들은 먼저 몇 가지 패턴을 알아차린 다음 이를 더 빨리 "계산"하는 방법을 찾아냅니다. 우리의 경우, 그들은 8명 모두가 같은 수의 콜라병을 가지고 있다는 것을 알아차리고 곱셈이라는 기술을 생각해 냈습니다. 동의하십시오. 더 쉽고 빠른 것으로 간주됩니다.

따라서 더 빠르고 쉽게 오류 없이 계산하려면 다음 사항만 기억하면 됩니다. 곱셈 구구표. 물론, 모든 일을 더 느리고, 더 어렵고, 실수할 수도 있습니다! 하지만…

여기 곱셈표가 있습니다. 반복하다.

그리고 또 다른, 더 아름다운 것:

게으른 수학자들이 생각해낸 또 어떤 영리한 계산 요령이 있을까요? 오른쪽 - 숫자를 거듭제곱하기.

숫자를 거듭제곱하기

숫자 자체를 5번 곱해야 한다면 수학자들은 그 숫자를 5제곱으로 올려야 한다고 말합니다. 예를 들어, . 수학자들은 2의 5승이 다음과 같다는 것을 기억합니다. 그리고 그들은 그러한 문제를 머리 속에서 더 빠르고 쉽게 실수 없이 해결합니다.

당신이해야 할 일은 숫자의 거듭제곱 표에서 색상으로 강조 표시된 내용을 기억하세요.. 저를 믿으십시오. 이것이 당신의 삶을 훨씬 더 쉽게 만들어 줄 것입니다.

그런데 왜 2급이라고 부르나요? 정사각형숫자, 그리고 세 번째 - 입방체? 무슨 뜻이에요? 아주 좋은 질문입니다. 이제 정사각형과 큐브가 모두 생깁니다.

실제 사례 #1

숫자의 제곱 또는 2승부터 시작하겠습니다.

1미터 x 1미터 크기의 정사각형 수영장을 상상해 보세요. 수영장은 당신의 dacha에 있습니다. 날씨도 더워서 수영하고 싶어요. 하지만... 수영장에는 바닥이 없습니다! 수영장 바닥을 타일로 덮어야 합니다. 얼마나 많은 타일이 필요합니까? 이를 확인하려면 수영장 바닥 면적을 알아야 합니다.

수영장 바닥이 미터 단위 큐브로 구성되어 있음을 손가락으로 가리키면 간단히 계산할 수 있습니다. 1m x 1m 타일이 있으면 조각이 필요합니다. 쉽죠... 그런데 이런 타일은 어디서 보셨나요? 타일은 아마도 cm x cm일 것이고, 그러면 당신은 "손가락으로 세는 것"으로 고문을 당할 것입니다. 그런 다음 곱해야합니다. 따라서 수영장 바닥 한쪽에는 타일(조각)을 맞추고 다른 쪽에도 타일을 놓을 것입니다. 를 곱하면 타일()이 됩니다.

수영장 바닥의 면적을 결정하기 위해 같은 숫자에 그 자체를 곱했다는 것을 알고 계셨습니까? 무슨 뜻이에요? 동일한 숫자를 곱하므로 "지수화" 기술을 사용할 수 있습니다. (물론 두 개의 숫자만 있는 경우 곱하거나 거듭제곱해야 합니다. 하지만 숫자가 많으면 거듭제곱하는 것이 훨씬 쉽고 계산 오류도 적습니다. . 통합 상태 시험의 경우 이는 매우 중요합니다.)
따라서 30의 2제곱은 ()가 됩니다. 아니면 30의 제곱이 될 것이라고 말할 수도 있습니다. 즉, 숫자의 2승은 항상 정사각형으로 표시될 수 있습니다. 그리고 그 반대의 경우도 마찬가지입니다. 정사각형이 보이면 이는 항상 어떤 숫자의 두 번째 거듭제곱입니다. 정사각형은 숫자의 두 번째 거듭제곱을 나타내는 이미지입니다.

실제 사례 #2

여기에 당신을 위한 작업이 있습니다: 숫자의 제곱을 사용하여 체스판에 몇 개의 사각형이 있는지 세어보세요... 셀의 한쪽과 다른 쪽에도 있습니다. 숫자를 계산하려면 8을 8로 곱해야 합니다. 또는... 체스판이 한 변이 있는 정사각형이라는 것을 알게 되면 8을 제곱할 수 있습니다. 당신은 세포를 얻을 것이다. () 그래서?

실제 사례 #3

이제 큐브 또는 숫자의 세 번째 거듭제곱입니다. 같은 수영장. 하지만 이제 이 웅덩이에 얼마나 많은 물을 부어야 하는지 알아내야 합니다. 부피를 계산해야 합니다. (그런데 부피와 액체는 입방미터 단위로 측정됩니다. 예상치 못한 일이죠?) 수영장을 그립니다. 바닥의 크기는 1미터이고 깊이는 1미터입니다. 당신의 수영장에 적합합니다.

손가락으로 가리키고 숫자를 세기만 하면 됩니다! 하나, 둘, 셋, 넷...스물둘, 스물셋...얼마나 얻었나요? 길을 잃지 않았나요? 손가락으로 세기가 어렵나요? 하도록 하다! 수학자들의 예를 들어보세요. 그들은 게으르기 때문에 수영장의 부피를 계산하려면 수영장의 길이, 너비, 높이를 서로 곱해야 한다는 것을 알아냈습니다. 우리의 경우 풀의 부피는 큐브와 같습니다... 더 쉽겠죠?

이제 수학자들이 이것을 단순화한다면 얼마나 게으르고 교활한지 상상해 보십시오. 우리는 모든 것을 하나의 행동으로 줄였습니다. 그들은 길이, 너비, 높이가 같고 같은 숫자가 그 자체로 곱해진다는 것을 알아냈습니다... 이것은 무엇을 의미합니까? 이는 학위를 활용할 수 있음을 의미합니다. 따라서 한 번 손가락으로 세었던 것은 한 번의 동작으로 수행됩니다. 3의 세제곱은 같습니다. 다음과 같이 작성됩니다: .

남은 건 학위표를 기억하세요. 물론 당신이 수학자만큼 게으르고 교활하지 않다면 말이죠. 열심히 일하고 싶고 실수를 하고 싶다면 계속해서 손가락으로 숫자를 셀 수 있습니다.

글쎄, 마침내 학위는 포기하고 교활한 사람들이 자신의 삶의 문제를 해결하고 문제를 일으키기 위해 발명되지 않았다는 것을 확신시키기 위해 여기에 삶의 몇 가지 예가 더 있습니다.

실제 사례 #4

당신은 백만 루블을 가지고 있습니다. 매년 초에는 백만 달러를 벌 때마다 또 다른 백만 달러를 벌게 됩니다. 즉, 매년 초에 백만 달러당 두 배의 돈을 갖게 됩니다. 몇 년 안에 돈이 얼마나 될까요? 지금 앉아서 "손가락으로 세고" 있다면, 당신은 매우 열심히 일하는 사람이고... 바보입니다. 하지만 당신은 똑똑하기 때문에 몇 초 안에 답을 줄 것입니다! 그래서, 첫 번째 해에 - 2에 2를 곱한 것... 두 번째 해에 - 세 번째 해에 두 개가 더 늘어난 것은... 그만! 숫자가 그 자체로 곱해진다는 것을 알았습니다. 따라서 2의 5제곱은 백만입니다! 이제 경쟁이 있고 가장 빨리 계산할 수 있는 사람이 수백만 달러를 얻을 것이라고 상상해 보십시오... 숫자의 힘을 기억할 가치가 있다고 생각하지 않습니까?

실제 사례 #5

당신은 백만 달러를 가지고 있습니다. 매년 초에 백만 달러를 벌 때마다 두 배를 더 벌게 됩니다. 대단하지 않나요? 백만 달러마다 세 배가됩니다. 1년에 얼마나 많은 돈을 벌 수 있나요? 세어 보자. 첫 번째 해 - 곱한 다음 결과를 다른 해에 곱합니다... 이미 모든 것을 이해했기 때문에 지루합니다. 3은 그 자체로 곱해집니다. 따라서 4제곱은 100만과 같습니다. 3의 4승은 or라는 것을 기억하면 됩니다.

이제 당신은 숫자를 거듭제곱함으로써 인생을 훨씬 더 쉽게 만들 수 있다는 것을 알고 있습니다. 학위로 무엇을 할 수 있는지, 그리고 학위에 대해 알아야 할 사항에 대해 자세히 살펴보겠습니다.

용어와 개념... 혼동하지 않도록

그럼 먼저 개념을 정의해 보겠습니다. 어떻게 생각하나요, 지수는 무엇입니까? 그것은 매우 간단합니다 - 숫자의 거듭제곱의 "상위"에 있는 숫자입니다. 과학적이지는 않지만 명확하고 기억하기 쉽습니다.

뭐, 동시에 그런 정도의 기준? 더 간단합니다. 이것은 아래 베이스에 있는 숫자입니다.

여기에 좋은 측정을 위한 그림이 있습니다.

글쎄, 일반적으로 일반화하고 더 잘 기억하기 위해... 밑이 " "이고 지수가 " "인 학위는 "정도"로 읽혀지며 다음과 같이 작성됩니다.

자연지수를 갖는 숫자의 거듭제곱

아마도 이미 추측하셨을 것입니다. 지수는 자연수이기 때문입니다. 응, 그런데 그게 뭐야? 자연수? 초등! 자연수는 물체를 나열할 때 계산에 사용되는 숫자입니다. 하나, 둘, 셋... 물체를 셀 때 "마이너스 5", "마이너스 6", "마이너스 7"이라고 말하지 않습니다. 또한 "1/3" 또는 "0점 5"라고 말하지 않습니다. 이것은 자연수가 아닙니다. 이것이 어떤 숫자라고 생각하시나요?

"마이너스 5", "마이너스 6", "마이너스 7"과 같은 숫자는 다음을 의미합니다. 정수.일반적으로 정수에는 모든 자연수, 자연수와 반대되는 숫자(즉, 빼기 기호를 사용하여 취함), 숫자가 포함됩니다. 0은 이해하기 쉽습니다. 아무것도 없는 경우입니다. 음수("마이너스") 숫자는 무엇을 의미하나요? 그러나 그들은 주로 부채를 표시하기 위해 발명되었습니다. 휴대 전화에 루블 잔액이 있으면 이는 운영자에게 루블을 빚지고 있음을 의미합니다.

모든 분수는 유리수입니다. 어떻게 생겼습니까? 매우 간단합니다. 수천년 전에 우리 조상들은 길이, 무게, 면적 등을 측정할 수 있는 자연수가 부족하다는 것을 발견했습니다. 그리고 그들은 생각해 냈습니다. 유리수... 흥미롭지 않나요?

불합리한 숫자도 있습니다. 이 숫자는 무엇입니까? 한마디로 무한소수입니다. 예를 들어 원의 둘레를 지름으로 나누면 무리수가 나옵니다.

요약:

지수가 자연수(즉, 정수와 양수)인 정도의 개념을 정의해 보겠습니다.

1. 첫 번째 거듭제곱의 숫자는 그 자체와 같습니다.
2. 숫자를 제곱한다는 것은 숫자 자체를 곱한다는 의미입니다.
3. 숫자를 세제곱한다는 것은 숫자 자체를 세 번 곱하는 것을 의미합니다.

정의.숫자를 자연제곱으로 올리는 것은 숫자에 다음을 곱하는 것을 의미합니다.
.

도의 속성

이러한 속성은 어디에서 왔습니까? 지금 보여 드리겠습니다.

보자 : 그게 뭐야? 그리고 ?

우선순위:

승수는 총 몇 개인가요?

매우 간단합니다. 요인에 승수를 추가하면 결과가 승수입니다.

그러나 정의에 따르면 이것은 지수가 있는 숫자의 거듭제곱, 즉 , 증명이 필요한 것입니다.

예: 표현을 단순화합니다.

해결책:

예:표현을 단순화하세요.

해결책:우리의 규칙에서는 다음과 같은 점에 유의하는 것이 중요합니다. 반드시같은 이유가 있을 거에요!
따라서 우리는 권한을 기본과 결합하지만 이는 별도의 요소로 남아 있습니다.

오직 권력의 산물만을 위해서!

어떤 경우에도 그런 글을 쓸 수는 없습니다.

2. 그게 다야 숫자의 거듭제곱

이전 속성과 마찬가지로 정도의 정의를 살펴보겠습니다.

표현식에 그 자체를 곱한 것으로 나타났습니다. 즉, 정의에 따르면 이것이 숫자의 제곱입니다.

본질적으로 이는 "괄호에서 지표를 꺼내는 것"이라고 할 수 있습니다. 하지만 이 작업을 전체적으로 수행할 수는 없습니다.

축약된 곱셈 공식을 기억해 봅시다. 우리는 몇 번이나 쓰고 싶었습니까?

그러나 이는 결국 사실이 아닙니다.

마이너스 베이스의 전력

지금까지 우리는 지수가 무엇인지에 대해서만 논의했습니다.

그런데 그 기초가 무엇이어야 합니까?

의 힘으로 자연 지표기초는 아마도 임의의 숫자. 실제로 우리는 양수, 음수, 짝수 등 어떤 숫자든 서로 곱할 수 있습니다.

어떤 기호("" 또는 "")가 양수와 음수의 거듭제곱을 가질지 생각해 봅시다.

예를 들어, 숫자는 양수인가요, 음수인가요? ㅏ? ? 첫 번째를 사용하면 모든 것이 명확합니다. 서로 곱한 양수에 관계없이 결과는 양수입니다.

그러나 부정적인 것들은 좀 더 흥미 롭습니다. 우리는 6학년 때 배운 "마이너스에 마이너스가 플러스를 준다"라는 간단한 규칙을 기억합니다. 즉, 또는. 하지만 곱하면 작동합니다.

다음 표현의 부호가 무엇인지 스스로 결정하십시오.

1)	2)	3)
4)	5)	6)

당신은 관리 했습니까?

답변은 다음과 같습니다. 처음 네 가지 예에서 모든 것이 명확해지기를 바랍니다. 밑수와 지수를 보고 적절한 규칙을 적용하면 됩니다.

예 5) 모든 것이 보이는 것만큼 무섭지 않습니다. 결국 밑이 무엇인지는 중요하지 않습니다. 정도가 짝수이므로 결과는 항상 긍정적일 것입니다.

음, 밑이 0인 경우를 제외하고 말이죠. 기본이 같지 않습니까? 분명히 그렇지 않습니다. 왜냐하면 (때문에).

예 6) 더 이상 간단하지 않습니다!

연습할 수 있는 6가지 예

솔루션 분석 6가지 예시

전체우리는 자연수, 그 반대(즉, " " 기호로 표시) 및 숫자를 부릅니다.

양의 정수, 자연과 다르지 않으면 모든 것이 이전 섹션과 똑같아 보입니다.

이제 새로운 사례를 살펴보겠습니다. 다음과 같은 표시부터 시작하겠습니다.

0의 거듭제곱에 대한 모든 숫자는 1과 같습니다.:

언제나 그랬듯 스스로에게 물어봅시다. 왜 그럴까요?

베이스로 어느 정도 생각해 봅시다. 예를 들어 다음을 곱해 보세요.

그래서 우리는 숫자를 곱했고, 와 같은 결과를 얻었습니다. 아무 것도 변하지 않으려면 어떤 숫자를 곱해야 합니까? 맞아요. 수단.

임의의 숫자로 동일한 작업을 수행할 수 있습니다.

규칙을 반복해 보겠습니다.

0의 거듭제곱에 대한 모든 숫자는 1과 같습니다.

그러나 많은 규칙에는 예외가 있습니다. 그리고 여기에도 있습니다. 이것은 (기본으로) 숫자입니다.

한편으로는 어느 정도나 동일해야 합니다. 0을 아무리 곱해도 여전히 0을 얻게 됩니다. 이는 분명합니다. 그러나 다른 한편으로는 0의 거듭제곱이 되는 숫자와 마찬가지로 이 값도 같아야 합니다. 그럼 이 중 얼마나 사실인가요? 수학자들은 개입하지 않기로 결정하고 0을 0의 거듭제곱으로 올리는 것을 거부했습니다. 즉, 이제 우리는 0으로 나눌 수 있을 뿐만 아니라 0의 거듭제곱까지 올릴 수도 없습니다.

계속 진행합시다. 정수에는 자연수와 숫자 외에도 음수도 포함됩니다. 음의 거듭제곱이 무엇인지 이해하기 위해 지난번처럼 일반 숫자에 같은 숫자를 곱하여 음의 거듭제곱을 만들어 보겠습니다.

여기에서 원하는 것을 쉽게 표현할 수 있습니다.

이제 결과 규칙을 임의의 정도로 확장해 보겠습니다.

이제 규칙을 공식화해 보겠습니다.

음의 거듭제곱을 갖는 숫자는 양의 거듭제곱을 갖는 동일한 숫자의 역수입니다. 하지만 동시에 기본은 null일 수 없습니다.(분할할 수 없기 때문입니다.)

요약해보자:

독립적인 솔루션을 위한 작업:

평소와 같이 독립적인 솔루션의 예는 다음과 같습니다.

독립적인 솔루션을 위한 문제 분석:

나도 알아요, 숫자가 무섭다는 걸 알아요. 하지만 통합 주 시험에서는 무엇이든 준비해야 합니다! 이 예제를 풀거나 풀 수 없는 경우 솔루션을 분석하면 시험에서 쉽게 대처하는 방법을 배울 수 있습니다!

지수로서 "적합한" 숫자의 범위를 계속해서 확장해 보겠습니다.

이제 고려해 봅시다 합리적인 숫자.유리수라고 불리는 숫자는 무엇입니까?

답변: 분수로 표현될 수 있는 모든 것, 여기서 및 는 정수입니다.

그것이 무엇인지 이해하려면 "분수 정도", 분수를 고려하십시오.

방정식의 양쪽을 거듭제곱해 보겠습니다.

이제 규칙을 기억해 봅시다. "도 대 학위":

얻으려면 어떤 숫자를 거듭제곱해야 합니까?

이 공식은 일차근의 정의입니다.

상기시켜 드리겠습니다. 숫자의 제곱근()은 1제곱하면 다음과 같은 숫자입니다.

즉, 3승의 근본은 1승의 역연산이다.

그것은 밝혀졌습니다. 분명히 이 특별한 경우는 다음과 같이 확장될 수 있습니다.

이제 분자를 추가합니다. 그것은 무엇입니까? 답은 전력 대 전력 규칙을 사용하여 쉽게 얻을 수 있습니다.

하지만 밑은 임의의 숫자가 될 수 있나요? 결국 모든 숫자에서 근을 추출할 수는 없습니다.

없음!

규칙을 기억합시다. 짝수로 거듭제곱된 숫자는 모두 양수입니다. 즉, 음수에서 짝수 근을 추출하는 것은 불가능합니다!

이는 그러한 숫자를 분모가 짝수인 분수 거듭제곱으로 올릴 수 없다는 것을 의미합니다. 즉, 표현이 의미가 없습니다.

표현은 어떻습니까?

그런데 여기서 문제가 발생합니다.

숫자는 예를 들어 또는 등의 다른 약분 분수의 형태로 표시될 수 있습니다.

그리고 그것이 존재하지만 존재하지 않는다는 것이 밝혀졌지만 이것은 같은 숫자의 두 개의 서로 다른 기록일뿐입니다.

또는 또 다른 예: 한 번만 적어두면 됩니다. 그러나 지표를 다르게 기록하면 다시 문제가 발생합니다. 즉, 완전히 다른 결과를 얻습니다!

그러한 역설을 피하기 위해 우리는 다음을 고려합니다. 분수 지수가 있는 양의 기본 지수만.

그래서 만약:

• - 자연수;
• - 정수;

예:

유리수 지수는 근이 있는 표현식을 변환하는 데 매우 유용합니다. 예를 들면 다음과 같습니다.

연습해야 할 5가지 예

훈련을 위한 5가지 사례 분석

이제 가장 어려운 부분이 다가옵니다. 이제 우리는 그것을 알아낼 것입니다 무리수 지수가 있는 학위.

여기서 학위의 모든 규칙과 속성은 예외를 제외하면 유리수 지수가 있는 학위와 정확히 동일합니다.

결국, 정의에 따르면 무리수는 분수로 표현될 수 없는 숫자입니다. 여기서 및 는 정수입니다(즉, 무리수는 유리수를 제외한 모든 실수입니다).

자연 지수, 정수 지수, 유리 지수로 학위를 연구할 때마다 우리는 특정 "이미지", "유추" 또는 더 친숙한 용어로 설명을 만들었습니다.

예를 들어, 자연지수를 갖는 차수는 그 자체를 여러 번 곱한 숫자입니다.

...0의 거듭제곱- 이것은 그 자체로 한 번 곱해진 숫자입니다. 즉, 아직 곱하기 시작하지 않았습니다. 즉, 숫자 자체가 아직 나타나지 않았음을 의미합니다. 따라서 결과는 특정 "빈 숫자"일 뿐입니다. , 즉 숫자;

...음의 정수 정도- 마치 "역 과정"이 발생한 것과 같습니다. 즉, 숫자 자체가 곱해지지 않고 나누어졌습니다.

그건 그렇고, 과학에서는 복잡한 지수를 가진 학위가 자주 사용됩니다. 즉 지수는 실수조차 아닙니다.

하지만 학교에서는 그런 어려움에 대해 생각하지 않으며, 학원에서 이러한 새로운 개념을 이해할 기회를 갖게 될 것입니다.

당신이 갈 것이라고 확신하는 곳! (이러한 예제를 해결하는 방법을 배우면 :))

예를 들어:

스스로 결정하십시오:

솔루션 분석:

1. 권력을 권력으로 높이는 일반적인 규칙부터 시작해 보겠습니다.

고급 레벨

학위결정

학위는 다음 형식의 표현입니다.

• — 학위 기반;
• - 지수.

자연 지표가 있는 정도(n = 1, 2, 3,...)

숫자를 자연 거듭제곱 n으로 올리는 것은 숫자 자체에 다음을 곱하는 것을 의미합니다.

정수 지수를 포함한 정도(0, ±1, ±2,...)

지수가 양의 정수숫자:

건설 0도까지:

그 표현은 불명확합니다. 왜냐하면 한편으로는 어느 정도의 숫자가 이것이고 다른 한편으로는 어느 정도의 숫자도 이것이기 때문입니다.

지수가 음의 정수숫자:

(분할할 수 없기 때문입니다.)

다시 한 번 0에 대해 설명합니다. 해당 경우에는 표현식이 정의되지 않습니다. 그렇다면.

예:

유리수 지수를 사용한 거듭제곱

• - 자연수;
• - 정수;

예:

도의 속성

문제를 더 쉽게 해결하기 위해 다음을 이해해 봅시다. 이러한 속성은 어디에서 왔습니까? 그것을 증명해 봅시다.

보자 : 그리고 무엇입니까?

우선순위:

따라서 이 표현식의 오른쪽에는 다음과 같은 결과가 나타납니다.

그러나 정의에 따르면 이는 지수가 있는 숫자의 거듭제곱입니다. 즉:

Q.E.D.

예 : 표현을 단순화합니다.

해결책 : .

예 : 표현을 단순화합니다.

해결책 : 우리의 규칙에서 다음 사항에 유의하는 것이 중요합니다. 반드시같은 이유가 있을 겁니다. 따라서 우리는 권한을 기본과 결합하지만 이는 별도의 요소로 남아 있습니다.

또 다른 중요한 참고 사항: 이 규칙 - 오직 권력의 산물에 대해서만!

어떤 경우에도 그런 글을 쓸 수는 없습니다.

이전 속성과 마찬가지로 정도의 정의를 살펴보겠습니다.

이 작업을 다음과 같이 재편성해 보겠습니다.

표현식에 그 자체를 곱한 것으로 나타났습니다. 즉, 정의에 따르면 이것이 숫자의 제곱입니다.

본질적으로 이는 "괄호에서 지표를 꺼내는 것"이라고 할 수 있습니다. 하지만 이 작업을 완전히 수행할 수는 없습니다. !

축약된 곱셈 공식을 기억해 봅시다. 우리는 몇 번이나 쓰고 싶었습니까? 그러나 이는 결국 사실이 아닙니다.

부정적인 기초를 가진 힘.

지금까지 우리는 그것이 어떠해야 하는지에 대해서만 논의했습니다. 색인도. 그런데 그 기초가 무엇이어야 합니까? 의 힘으로 자연스러운 지시자 기초는 아마도 임의의 숫자 .

실제로 우리는 양수, 음수, 짝수 등 어떤 숫자든 서로 곱할 수 있습니다. 어떤 기호("" 또는 "")가 양수와 음수의 거듭제곱을 가질지 생각해 봅시다.

예를 들어, 숫자는 양수인가요, 음수인가요? ㅏ? ?

첫 번째를 사용하면 모든 것이 명확합니다. 서로 곱한 양수에 관계없이 결과는 양수입니다.

그러나 부정적인 것들은 좀 더 흥미 롭습니다. 우리는 6학년 때 배운 "마이너스에 마이너스가 플러스를 준다"라는 간단한 규칙을 기억합니다. 즉, 또는. 하지만 ()를 곱하면 - 가 됩니다.

그리고 무한히 계속됩니다. 이후의 곱셈마다 부호가 변경됩니다. 다음과 같은 간단한 규칙을 공식화할 수 있습니다.

1. 심지어학위, - 숫자 긍정적인.
2. 다음으로 올림된 음수 이상한학위, - 숫자 부정적인.
3. 어떤 각도에서든 양수는 양수입니다.
4. 0의 거듭제곱은 0과 같습니다.

다음 표현의 부호가 무엇인지 스스로 결정하십시오.

1.	2.	3.
4.	5.	6.

당신은 관리 했습니까? 답변은 다음과 같습니다.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

처음 네 가지 예에서는 모든 것이 명확해지기를 바랍니다. 밑수와 지수를 보고 적절한 규칙을 적용하면 됩니다.

예 5) 모든 것이 보이는 것만큼 무섭지 않습니다. 결국 밑이 무엇인지는 중요하지 않습니다. 정도가 짝수이므로 결과는 항상 긍정적일 것입니다. 음, 밑이 0인 경우를 제외하고 말이죠. 기본이 같지 않습니까? 분명히 그렇지 않습니다. 왜냐하면 (때문에).

예 6)은 더 이상 그렇게 간단하지 않습니다. 여기서 어느 것이 더 적은지 알아내야 합니다: 또는? 이를 기억하면 밑이 0보다 작다는 것이 분명해집니다. 즉, 규칙 2를 적용합니다. 결과는 음수입니다.

그리고 다시 우리는 정도의 정의를 사용합니다:

모든 것이 평소와 같습니다. 학위의 정의를 기록하고 서로 나누고 쌍으로 나누어 다음을 얻습니다.

마지막 규칙을 살펴보기 전에 몇 가지 예를 해결해 보겠습니다.

표현식을 계산합니다.

솔루션 :

예제로 돌아가 보겠습니다.

그리고 다시 공식은 다음과 같습니다.

이제 마지막 규칙은 다음과 같습니다.

어떻게 증명할 것인가? 물론 평소와 같이 학위 개념을 확장하고 단순화해 보겠습니다.

자, 이제 괄호를 열어 보겠습니다. 총 몇 개의 글자가 있나요? 승수로 곱하기 - 이것이 당신에게 무엇을 생각나게 합니까? 이는 작업의 정의에 지나지 않습니다. 곱셈: 거기에는 승수만 있었습니다. 즉, 이는 정의에 따라 지수가 있는 숫자의 거듭제곱입니다.

예:

무리수 지수가 있는 정도

평균 수준에 대한 학위 정보 외에도 무리수 지수로 학위를 분석합니다. 여기서 도의 모든 규칙과 속성은 예외를 제외하고 유리수 지수가 있는 도와 정확히 동일합니다. 결국 정의에 따라 무리수는 분수로 표시할 수 없는 숫자입니다. 여기서 및 는 정수입니다(즉, , 무리수는 유리수를 제외한 모든 실수입니다.

자연 지수, 정수 지수, 유리 지수로 학위를 연구할 때마다 우리는 특정 "이미지", "유추" 또는 더 친숙한 용어로 설명을 만들었습니다. 예를 들어, 자연지수를 갖는 차수는 그 자체를 여러 번 곱한 숫자입니다. 0의 거듭제곱에 대한 숫자는 그 자체로 한 번 곱해진 숫자입니다. 즉, 아직 곱하기 시작하지 않았습니다. 이는 숫자 자체가 아직 나타나지 않았음을 의미합니다. 따라서 결과는 특정 "빈 숫자", 즉 숫자; 정수 음수 지수를 갖는 정도 - 마치 "역 과정"이 발생한 것과 같습니다. 즉, 숫자에 자체적으로 곱한 것이 아니라 나누어진 것입니다.

4차원 공간을 상상하기 어려운 것처럼 무리수 지수가 있는 차수를 상상하는 것은 극히 어렵습니다. 오히려 수학자들이 정도의 개념을 숫자의 전체 공간으로 확장하기 위해 만든 순전히 수학적 대상입니다.

그건 그렇고, 과학에서는 복잡한 지수를 가진 학위가 자주 사용됩니다. 즉 지수는 실수조차 아닙니다. 하지만 학교에서는 그런 어려움에 대해 생각하지 않으며, 학원에서 이러한 새로운 개념을 이해할 기회를 갖게 될 것입니다.

그러면 무리수 지수를 보면 어떻게 해야 할까요? 없애기 위해 최선을 다하고 있습니다! :)

예를 들어:

스스로 결정하십시오:

1)

2)

3)

답변:

섹션 요약 및 기본 공식

도형식의 표현식을 호출합니다: , 여기서:

정수 지수를 포함한 정도

지수가 자연수(즉, 정수 및 양수)인 정도.

유리수 지수를 사용한 거듭제곱

학위, 지수는 음수와 분수입니다.

무리수 지수가 있는 정도

지수가 무한한 소수 또는 근인 정도.

도의 속성

학위의 특징.

• 다음으로 올림된 음수 심지어학위, - 숫자 긍정적인.
• 다음으로 올림된 음수 이상한학위, - 숫자 부정적인.
• 어떤 각도에서든 양수는 양수입니다.
• 0은 모든 힘과 같습니다.
• 0의 거듭제곱에 대한 모든 숫자는 동일합니다.

이제 당신은 말씀을 갖게 되었습니다...

기사가 마음에 드시나요? 마음에 드셨는지 안 드셨는지 댓글로 적어주세요.

학위 속성을 사용한 경험에 대해 알려주십시오.

아마도 질문이 있을 것입니다. 아니면 제안.

댓글에 적어주세요.

그리고 시험에 행운을 빕니다!

자, 주제는 끝났습니다. 이 글을 읽고 있다면 당신이 매우 멋지다는 뜻입니다.

왜냐하면 오직 5%의 사람들만이 스스로 무언가를 마스터할 수 있기 때문입니다. 그리고 끝까지 읽으시면 당신은 이 5% 안에 속합니다!

이제 가장 중요한 것입니다.

당신은 이 주제에 대한 이론을 이해했습니다. 그리고 반복합니다. 이건... 정말 최고예요! 당신은 이미 대다수의 동료들보다 더 뛰어납니다.

문제는 이것만으로는 충분하지 않을 수 있다는 것입니다.

무엇을 위해?

통합 주 시험에 성공적으로 합격하고, 예산에 맞춰 대학에 입학하고, 가장 중요한 것은 평생 동안입니다.

아무것도 설득하지 않고 딱 하나만 말씀드리겠습니다...

좋은 교육을 받은 사람은 그렇지 않은 사람보다 훨씬 더 많은 돈을 번다. 이것은 통계입니다.

그러나 이것이 중요한 것은 아닙니다.

가장 중요한 것은 그들이 더 행복하다는 것입니다 (그런 연구가 있습니다). 아마도 그들 앞에 더 많은 기회가 열리고 삶이 더 밝아지기 때문일까요? 모른다...

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이번 자료에서는 숫자의 거듭제곱이 무엇인지 살펴보겠습니다. 기본 정의 외에도 자연, 정수, 유리수 및 무리수 지수를 사용하여 거듭제곱이 무엇인지 공식화합니다. 언제나 그렇듯이 모든 개념은 예제 문제를 통해 설명됩니다.

Yandex.RTB R-A-339285-1

먼저, 자연 지수를 사용하여 학위의 기본 정의를 공식화해 보겠습니다. 그러기 위해서는 곱셈의 기본 규칙을 기억해야 합니다. 지금은 실수(문자 a로 표시)를 밑수로, 자연수(문자 n으로 표시)를 사용한다는 점을 미리 명확히 하겠습니다.

정의 1

자연 지수 n을 갖는 숫자 a의 거듭제곱은 n번째 인수 수의 곱이며, 각 인수는 숫자 a와 같습니다. 학위는 다음과 같이 작성됩니다. 앤, 공식 형태로 그 구성은 다음과 같이 표현될 수 있습니다.

예를 들어, 지수가 1이고 밑이 a인 경우 a의 첫 번째 거듭제곱은 다음과 같이 작성됩니다. 1. a는 요인의 값이고 1은 요인의 개수라고 가정하면 다음과 같은 결론을 내릴 수 있습니다. 1 = 에.

일반적으로 학위는 많은 수의 등수를 작성하는 편리한 형태라고 말할 수 있습니다. 그래서, 형식의 기록 8 8 8 8로 단축될 수 있다 8 4 . 마찬가지로 이 제품은 많은 수의 용어(8 + 8 + 8 + 8 = 8 · 4)를 작성하지 않도록 도와줍니다. 우리는 자연수의 곱셈에 관한 기사에서 이미 이에 대해 논의했습니다.

학위 항목을 올바르게 읽는 방법은 무엇입니까? 일반적으로 허용되는 옵션은 "a의 n승"입니다. 또는 "a의 n제곱" 또는 "anth power"라고 말할 수도 있습니다. 예를 들어, 다음 항목을 만났다면 8 12 , "8의 12제곱", "8의 12제곱" 또는 "12의 8제곱"으로 읽을 수 있습니다.

숫자의 2승과 3승에는 정사각형과 정육면체라는 고유한 이름이 있습니다. 예를 들어 숫자 7(7 2)과 같은 두 번째 거듭제곱을 보면 "7의 제곱" 또는 "숫자 7의 제곱"이라고 말할 수 있습니다. 마찬가지로 3도는 다음과 같이 읽습니다. 5 3 - 이것은 "숫자 5의 큐브" 또는 "5의 큐브"입니다. 그러나 표준 공식을 "2/3승"으로 사용할 수도 있는데 이는 실수가 아닙니다.

실시예 1

자연 지수가 포함된 학위의 예를 살펴보겠습니다. 5 7 5가 기본이 되고 7이 지수가 됩니다.

밑은 정수일 필요는 없습니다. (4 , 32) 9 밑수는 분수 4, 32이고 지수는 9입니다. 괄호에 주의하세요. 이 표기법은 자연수와 다른 밑수를 갖는 모든 거듭제곱에 대해 만들어졌습니다.

예: 1 2 3, (- 3) 12, - 2 3 5 2, 2, 4 35 5, 7 3.

괄호는 무엇입니까? 계산 오류를 방지하는 데 도움이 됩니다. 두 개의 항목이 있다고 가정해 보겠습니다. (− 2) 3 그리고 − 2 3 . 첫 번째는 음수에서 2를 뺀 3의 자연 지수로 거듭제곱한 것을 의미합니다. 두 번째는 학위의 반대 값에 해당하는 숫자입니다. 2 3 .

때로는 책에서 숫자의 거듭제곱에 대해 약간 다른 철자를 찾을 수 있습니다. 에이^n(여기서 a는 밑수이고 n은 지수입니다). 즉, 4^9는 다음과 같습니다. 4 9 . n이 여러 자리 숫자인 경우 괄호 안에 표시됩니다. 예를 들어 15 ^ (21) , (− 3 , 1) ^ (156) 입니다. 하지만 우리는 표기법을 사용할 것입니다 앤더 일반적입니다.

정의에서 자연 지수를 사용하여 지수 값을 계산하는 방법을 추측하기 쉽습니다. n번째 곱하기만 하면 됩니다. 우리는 다른 기사에서 이에 대해 더 자세히 썼습니다.

정도의 개념은 또 다른 수학적 개념인 숫자의 근과 반대입니다. 거듭제곱과 지수의 값을 알면 그 밑수를 계산할 수 있습니다. 학위에는 문제 해결에 유용한 몇 가지 특정 속성이 있으며, 이에 대해서는 별도의 자료에서 논의했습니다.

지수에는 자연수뿐만 아니라 음수 1과 0을 포함한 일반적인 모든 정수 값도 포함될 수 있습니다. 왜냐하면 지수 집합에도 속하기 때문입니다.

정의 2

양의 정수 지수를 갖는 숫자의 거듭제곱은 공식으로 표현될 수 있습니다: .

이 경우 n은 양의 정수입니다.

0도의 개념을 이해해 봅시다. 이를 위해 우리는 동일한 밑수를 가진 거듭제곱의 몫 속성을 고려하는 접근 방식을 사용합니다. 이는 다음과 같이 공식화됩니다:

정의 3

평등 am: an = am − n다음 조건에서 참이 됩니다: m과 n은 자연수이고, m은< n , a ≠ 0 .

마지막 조건은 0으로 나누는 것을 방지하기 때문에 중요합니다. m과 n의 값이 같으면 다음과 같은 결과를 얻습니다. an: an = an − n = a 0

그러나 동시에 n: n = 1은 동일한 숫자의 몫입니다. 앤그리고 0이 아닌 숫자의 0승은 1과 같다는 것이 밝혀졌습니다.

그러나 그러한 증명은 0의 0승에는 적용되지 않습니다. 이를 위해서는 권력의 또 다른 속성, 즉 동일한 기반을 가진 권력의 산물의 속성이 필요합니다. 다음과 같습니다. am · ann = am + n .

n이 0이면, 오전 · 오전 0 = 오전(이 평등은 또한 우리에게 다음을 증명합니다. 0 = 1). 그러나 and 도 0이면 우리의 평등은 다음과 같은 형식을 취합니다. 0m · 0 0 = 0m, 이는 n의 모든 자연 값에 대해 참이 되며, 차수 값이 정확히 무엇인지는 중요하지 않습니다. 0 0 즉, 어떤 숫자와도 같을 수 있으며 이는 평등의 정확성에 영향을 미치지 않습니다. 따라서 다음 형식의 표기법은 0 0 그 자체로 특별한 의미가 없으므로 우리는 그것을 그것에 귀속시키지 않을 것입니다.

원한다면 쉽게 확인할 수 있습니다. 0 = 1학위 속성과 수렴 (am) n = a m n단, 학위의 밑은 0이 아닙니다. 따라서 지수가 0인 0이 아닌 숫자의 거듭제곱은 1입니다.

실시예 2

특정 숫자가 포함된 예를 살펴보겠습니다. 5 0 - 단위, (33 , 3) 0 = 1 , - 4 5 9 0 = 1 , 그리고 값 0 0 한정되지 않은.

0도 이후에는 음의 학위가 무엇인지 알아내면 됩니다. 이를 위해서는 위에서 이미 사용한 동일한 밑수를 가진 거듭제곱의 곱의 동일한 속성인 a m · an n = a m + n이 필요합니다.

조건을 소개하겠습니다: m = − n이면 a는 0이 되어서는 안 됩니다. 그것은 다음과 같습니다 a − n · an = a − n + n = a 0 = 1. n과 a−n우리는 상호 역수를 가지고 있습니다.

결과적으로, 음의 정수에 대한 a는 분수 1 a n에 지나지 않습니다.

이 공식은 정수 음수 지수가 있는 도의 경우 자연 지수가 있는 도와 동일한 속성이 모두 유효함을 확인합니다(밑이 0이 아닌 경우).

실시예 3

음의 정수 지수 n을 갖는 거듭제곱 a는 분수 1 a n 으로 표현될 수 있습니다. 따라서 a - n = 1 an n은 다음과 같습니다. a ≠ 0 n은 임의의 자연수이다.

구체적인 예를 들어 우리의 아이디어를 설명해 보겠습니다.

실시예 4

3 - 2 = 1 3 2 , (- 4 . 2) - 5 = 1 (- 4 . 2) 5 , 11 37 - 1 = 1 11 37 1

단락의 마지막 부분에서 우리는 명확하게 언급된 모든 내용을 하나의 공식으로 묘사하려고 노력할 것입니다.

정의 4

자연 지수 z를 갖는 숫자의 거듭제곱은 다음과 같습니다. a z = a z, e와 l 및 z - 양의 정수 1, z = 0 및 a ≠ 0, (z = 0 및 a = 0의 경우 결과는 0 0입니다. 표현식 0 0의 값은 정의되지 않습니다) 1 a z, if 및 z가 음의 정수이고 a ≠ 0 (z가 음의 정수이고 a = 0이면 0 z를 얻습니다. egoz 값은 미정입니다)

유리수 지수를 갖는 거듭제곱은 무엇입니까?

지수에 정수가 포함된 경우를 조사했습니다. 그러나 지수에 분수가 포함된 경우에도 숫자를 거듭제곱할 수 있습니다. 이것을 유리수 지수를 갖는 거듭제곱이라고 합니다. 이 섹션에서는 다른 힘과 동일한 속성을 가지고 있음을 증명할 것입니다.

유리수란 무엇입니까? 그 집합에는 정수와 분수가 모두 포함되며, 분수는 일반 분수(양수와 음수 모두)로 표시될 수 있습니다. 분수 지수 m / n을 사용하여 숫자 a의 거듭제곱의 정의를 공식화해 보겠습니다. 여기서 n은 자연수이고 m은 정수입니다.

우리는 분수 지수 a m n 으로 어느 정도의 차수를 가집니다. 거듭제곱 대 거듭제곱 속성이 유지되려면 a m n n = a m n · n = a m 등식이 참이어야 합니다.

n번째 근의 정의와 a m n n = a m이 주어지면 a m n이 주어진 m, n 및 a 값에 대해 의미가 있으면 조건 a m n = a m n을 받아들일 수 있습니다.

위의 정수 지수 속성은 a m n = a m n 조건에서 참이 됩니다.

우리 추론의 주요 결론은 다음과 같습니다. 분수 지수 m / n을 갖는 특정 숫자 a의 거듭제곱은 숫자 a의 m 거듭제곱의 n제곱근입니다. 주어진 m, n 및 a 값에 대해 a m n이라는 표현이 여전히 의미가 있다면 이는 사실입니다.

1. 우리는 도수 밑의 값을 제한할 수 있습니다. m의 양수 값은 0보다 크거나 같으며 음수 값은 엄격히 더 작습니다(m ≤ 0이기 때문에). 우리는 얻는다 0m, 그러나 그러한 정도는 정의되지 않았습니다). 이 경우 분수 지수가 있는 학위의 정의는 다음과 같습니다.

어떤 양수 a에 대한 분수 지수 m/n의 거듭제곱은 a의 m 거듭제곱의 n제곱근입니다. 이는 다음 공식으로 표현될 수 있습니다.

밑이 0인 거듭제곱의 경우에도 이 조항이 적합하지만 지수가 양수인 경우에만 가능합니다.

밑이 0이고 분수 양의 지수 m/n을 갖는 거듭제곱은 다음과 같이 표현될 수 있습니다.

0 m n = 0 m n = 0 단, m은 양의 정수이고 n은 자연수입니다.

음의 비율 m n의 경우< 0 степень не определяется, т.е. такая запись смысла не имеет.

한 가지 점에 주목하자. a가 0보다 크거나 같은 조건을 도입했기 때문에 결국 일부 사례를 삭제하게 되었습니다.

a m n이라는 표현은 때때로 a와 일부 m의 일부 음수 값에 대해 여전히 의미가 있습니다. 따라서 올바른 항목은 (- 5) 2 3, (- 1, 2) 5 7, - 1 2 - 8 4이며 밑이 음수입니다.

2. 두 번째 접근법은 짝수 지수와 홀수 지수를 갖는 근 a m n을 별도로 고려하는 것입니다. 그런 다음 조건을 하나 더 도입해야 합니다. 기약 가능한 일반 분수가 있는 지수의 차수 a는 해당 기약 분수가 있는 지수의 차수 a로 간주됩니다. 나중에 우리는 왜 이 조건이 필요한지, 왜 그렇게 중요한지 설명할 것입니다. 따라서 a m · k n · k 표기법이 있으면 이를 a m n으로 줄여 계산을 단순화할 수 있습니다.

n이 홀수이고 m의 값이 양수이고 a가 음수가 아닌 숫자이면 a m n 이 의미가 있습니다. a가 음수가 아닌 조건이 필요한 이유는 음수에서 짝수 근을 추출할 수 없기 때문입니다. m의 값이 양수이면 a는 음수이면서 0일 수 있습니다. 왜냐하면 홀수근은 임의의 실수에서 가져올 수 있습니다.

위의 모든 정의를 하나의 항목으로 결합해 보겠습니다.

여기서 m/n은 기약분수, m은 정수, n은 자연수를 의미합니다.

정의 5

일반적인 약분수 m · k n · k의 경우 차수는 a m n 으로 대체될 수 있습니다.

환원 불가능한 분수 지수 m / n을 갖는 숫자 a의 거듭제곱은 다음과 같은 경우 m n으로 표현될 수 있습니다. - 실수 a의 경우 양의 정수 값 m과 홀수 자연 값 n. 예: 2 5 3 = 2 5 3, (- 5, 1) 2 7 = (- 5, 1) - 2 7, 0 5 19 = 0 5 19.

0이 아닌 실수 a에 대해 m의 음의 정수 값과 n의 홀수 값(예: 2 - 5 3 = 2 - 5 3, (- 5, 1) - 2 7 = (- 5, 1) - 2 7

음수가 아닌 a, 양의 정수 m 및 심지어 n의 경우, 예를 들어 2 1 4 = 2 1 4, (5, 1) 3 2 = (5, 1) 3, 0 7 18 = 0 7 18입니다.

양의 a, 음의 정수 m 및 심지어 n의 경우, 예를 들어 2 - 1 4 = 2 - 1 4, (5, 1) - 3 2 = (5, 1) - 3, .

다른 값의 경우 분수 지수를 사용한 정도는 결정되지 않습니다. 이러한 각도의 예: - 2 11 6, - 2 1 2 3 2, 0 - 2 5.

이제 위에서 논의한 조건의 중요성을 설명하겠습니다. 왜 환원 가능한 지수가 있는 분수를 기약 지수가 있는 분수로 대체해야 할까요? 이 작업을 수행하지 않았다면 다음과 같은 상황이 발생했을 것입니다. 예를 들어 6/10 = 3/5입니다. 그렇다면 이는 참이어야 합니다. (- 1) 6 10 = - 1 3 5 , 그러나 - 1 6 10 = (- 1) 6 10 = 1 10 = 1 10 10 = 1 및 (- 1) 3 5 = (- 1 ) 3 5 = - 1 5 = - 1 5 5 = - 1 .

먼저 제시한 분수지수를 사용한 학위의 정의는 두 번째 정의보다 실제로 사용하기 편리하므로 계속해서 사용하겠습니다.

정의 6

따라서 분수 지수 m/n을 갖는 양수 a의 거듭제곱은 0 m n = 0 m n = 0으로 정의됩니다. 부정적인 경우 ㅏ a m n 표기법은 의미가 없습니다. 양의 분수 지수에 대한 0의 거듭제곱 m/n는 0 m n = 0 m n = 0 으로 정의됩니다. 음의 분수 지수에 대해서는 0의 정도를 정의하지 않습니다.

결론적으로 분수 표시기는 대분수와 소수 분수(5 1, 7, 3 2 5 - 2 3 7)로 작성할 수 있습니다.

계산할 때 지수를 일반 분수로 바꾼 다음 지수의 정의를 분수 지수로 사용하는 것이 좋습니다. 위의 예에서 다음을 얻습니다.

5 1 , 7 = 5 17 10 = 5 7 10 3 2 5 - 2 3 7 = 3 2 5 - 17 7 = 3 2 5 - 17 7

무리수와 실수 지수를 갖는 거듭제곱은 무엇입니까?

실수란 무엇입니까? 그 집합에는 유리수와 무리수가 모두 포함됩니다. 그러므로 실수지수를 갖는 학위가 무엇인지 이해하기 위해서는 유리수 지수와 무리수 지수를 사용하여 학위를 정의해야 합니다. 우리는 이미 위에서 합리적인 것들을 언급했습니다. 불합리한 지표를 단계별로 다루겠습니다.

실시예 5

무리수 a 와 그 십진수 근사치 시퀀스 a 0 , a 1 , a 2 , 가 있다고 가정해 보겠습니다. . . . 예를 들어 a = 1.67175331 값을 가정해 보겠습니다. . . , 그 다음에

0 = 1, 6, 1 = 1, 67, 2 = 1, 671, . . . , a 0 = 1.67, a 1 = 1.6717, a 2 = 1.671753, . . .

근사 시퀀스를 a a 0 , a a 1 , a a 2 , 의 시퀀스와 연관시킬 수 있습니다. . . . 숫자를 합리적인 거듭제곱으로 올리는 것에 대해 앞서 말한 내용을 기억하면 이러한 거듭제곱의 값을 스스로 계산할 수 있습니다.

예를 들어보자 a = 3, a a 0 = 3 1, 67, a a 1 = 3 1, 6717, a a 2 = 3 1, 671753, . . . 등.

거듭제곱의 시퀀스는 숫자로 축소될 수 있으며, 이는 밑이 a이고 무리수 a가 있는 거듭제곱의 값이 됩니다. 결과적으로 3 1, 67175331 형식의 무리수 지수를 갖는 학위입니다. . 숫자 6, 27로 줄일 수 있습니다.

정의 7

무리수 a에 대한 양수 a의 거듭제곱은 a로 표기됩니다. 그 값은 시퀀스 a a 0 , a a 1 , a a 2 , 의 극한입니다. . . , 여기서 a 0 , a 1 , a 2 , . . . 는 무리수 a의 연속적인 소수 근사치입니다. 0 a = 0 따라서 0 6 = 0, 0 21 3 3 = 0인 양의 무리수 지수에 대해 밑이 0인 차수를 정의할 수도 있습니다. 그러나 예를 들어 0 - 5, 0 - 2 π 값이 정의되지 않았기 때문에 음수에는 이를 수행할 수 없습니다. 예를 들어, 비합리적인 거듭제곱으로 올려진 단위는 단위로 유지되며 1 2, 1 5 in 2 및 1 - 5는 1과 같습니다.

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숫자의 거듭제곱에 대한 대화를 계속하면서 거듭제곱의 값을 찾는 방법을 알아내는 것이 논리적입니다. 이 과정을 지수화. 이 기사에서는 지수 연산이 수행되는 방법을 연구하고 자연 지수, 정수 지수, 유리 지수, 무리 지수 등 가능한 모든 지수를 다룰 것입니다. 그리고 전통에 따라 숫자를 다양한 힘으로 높이는 예에 대한 자세한 솔루션을 고려할 것입니다.

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"지수화"는 무엇을 의미합니까?

지수라고 불리는 것이 무엇인지 설명하는 것부터 시작하겠습니다. 관련 정의는 다음과 같습니다.

정의.

지수화- 이것은 숫자의 거듭제곱의 가치를 찾는 것입니다.

따라서 지수 r을 사용하여 숫자 a의 거듭제곱 값을 찾는 것과 숫자 a를 r 거듭제곱하는 것은 동일한 것입니다. 예를 들어, 작업이 "(0.5) 5의 거듭제곱 값을 계산합니다"인 경우 "0.5의 5제곱을 숫자로 올리세요"와 같이 다시 공식화할 수 있습니다.

이제 지수화가 수행되는 규칙으로 직접 이동할 수 있습니다.

숫자를 자연제곱으로 올리기

실제로, 평등 기반 평등은 일반적으로 형식으로 적용됩니다. 즉, 숫자 a를 분수 m/n으로 올릴 때 먼저 숫자 a의 n제곱근을 취한 후 결과 결과를 정수 m으로 올립니다.

분수 거듭제곱의 예에 대한 해법을 살펴보겠습니다.

예.

학위의 가치를 계산합니다.

해결책.

우리는 두 가지 해결책을 보여줄 것입니다.

첫 번째 방법. 분수 지수를 사용하여 학위를 정의합니다. 루트 기호 아래의 각도 값을 계산한 다음 세제곱근을 추출합니다. .

두 번째 방법. 분수 지수를 사용하고 근의 속성을 기반으로 도를 정의하면 다음과 같은 등식이 성립됩니다. . 이제 루트를 추출해보겠습니다. , 마지막으로 정수 거듭제곱으로 올립니다. .

분명히, 분수 거듭제곱으로 올린 결과는 일치합니다.

답변:

분수 지수는 소수 또는 대분수로 쓸 수 있습니다. 이 경우 해당 일반 분수로 대체한 다음 거듭제곱해야 합니다.

예.

(44.89)를 계산합니다. 2.5.

해결책.

일반 분수의 형태로 지수를 작성해 보겠습니다(필요한 경우 기사 참조). . 이제 분수 거듭제곱을 수행합니다.

답변:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

또한 숫자를 유리수로 올리는 것은 다소 노동 집약적인 과정이며(특히 분수 지수의 분자와 분모에 충분히 큰 숫자가 포함된 경우) 일반적으로 컴퓨터 기술을 사용하여 수행됩니다.

이 점을 마무리하기 위해 숫자 0을 분수 거듭제곱으로 올리는 것에 대해 생각해 보겠습니다. 우리는 형식의 0의 분수 거듭제곱에 다음과 같은 의미를 부여했습니다. , 0에서는 m/n 거듭제곱이 정의되지 않습니다. 따라서 0의 분수 양의 거듭제곱은 0입니다. 예를 들어, . 그리고 분수 음수 거듭제곱의 0은 의미가 없습니다. 예를 들어 0 -4.3이라는 표현은 의미가 없습니다.

불합리한 힘으로 키우기

때로는 무리수 지수를 사용하여 숫자의 거듭제곱 값을 알아내는 것이 필요합니다. 이 경우 실제적인 목적을 위해서는 일반적으로 특정 부호에 대한 정확한 정도의 값을 얻는 것으로 충분합니다. 실제로 이 값은 전자 컴퓨터를 사용하여 계산된다는 점을 즉시 알아두십시오. 이 값을 비합리적인 거듭제곱으로 높이려면 많은 수의 번거로운 계산이 필요하기 때문입니다. 그러나 우리는 행동의 본질을 일반적인 용어로 설명할 것입니다.

무리수 지수가 있는 숫자 a의 거듭제곱의 대략적인 값을 얻으려면 지수의 소수 근사치를 취하고 거듭제곱의 값을 계산합니다. 이 값은 무리수 지수를 갖는 숫자 a의 거듭제곱의 대략적인 값입니다. 처음에 숫자의 소수점 근사치를 더 정확하게 취할수록 결국에는 더 정확한 각도 값을 얻게 됩니다.

예를 들어, 2 1.174367... 의 거듭제곱의 대략적인 값을 계산해 보겠습니다. 무리수 지수에 대해 다음과 같은 소수 근사치를 취해 보겠습니다. 이제 2를 유리수 1.17로 올리면(이전 단락에서 이 과정의 본질을 설명했습니다) 2 1.17 ≒2.250116을 얻습니다. 따라서, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . 예를 들어, 무리 지수에 대해 더 정확한 십진 근사를 취하면 원래 지수의 더 정확한 값을 얻을 수 있습니다. 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

서지.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. 5학년 수학 교과서입니다. 교육 기관.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. 대수학: 7학년 교과서. 교육 기관.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. 대수학: 8학년 교과서. 교육 기관.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. 대수학: 9학년 교과서. 교육 기관.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. 및 기타 대수학 및 분석의 시작: 일반 교육 기관의 10~11학년을 위한 교과서.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. 수학(전문학교 입학을 위한 매뉴얼).

거듭제곱은 숫자 자체의 곱셈 연산을 단순화하는 데 사용됩니다. 예를 들어 글을 쓰는 대신 다음과 같이 쓸 수 있습니다. 4 5 (\displaystyle 4^(5))(이 전환에 대한 설명은 이 문서의 첫 번째 섹션에 나와 있습니다.) 학위를 사용하면 길거나 복잡한 표현식이나 방정식을 더 쉽게 작성할 수 있습니다. 또한 거듭제곱은 쉽게 더하고 빼기 때문에 표현식이나 방정식이 단순화됩니다(예: 4 2 * 4 3 = 4 5 (\표시스타일 4^(2)*4^(3)=4^(5))).

메모:지수 방정식을 풀어야 한다면(이러한 방정식에서 미지수는 지수에 있음) 읽어보세요.

단계

학위를 이용한 간단한 문제 해결

지수의 밑수 자체에 지수와 동일한 횟수를 곱합니다.거듭제곱 문제를 직접 해결해야 하는 경우 거듭제곱의 밑수가 자체적으로 곱해지는 곱셈 연산으로 거듭제곱을 다시 작성합니다. 예를 들어, 학위가 주어지면 3 4 (\displaystyle 3^(4)). 이 경우, 거듭제곱 3의 밑수는 4배로 곱해져야 합니다: 3 * 3 * 3 * 3 (\displaystyle 3*3*3*3). 다른 예는 다음과 같습니다.

먼저 처음 두 숫자를 곱합니다.예를 들어, 4 5 (\displaystyle 4^(5)) = 4 * 4 * 4 * 4 * 4 (\displaystyle 4*4*4*4*4). 걱정하지 마세요. 계산 과정은 언뜻 보이는 것만큼 복잡하지 않습니다. 먼저 처음 두 개의 4를 곱한 다음 결과로 바꿉니다. 이와 같이:

결과(이 예에서는 16)에 다음 숫자를 곱합니다.각 후속 결과는 비례적으로 증가합니다. 이 예에서는 16에 4를 곱합니다. 다음과 같습니다.

다음 문제를 해결하세요.계산기를 사용하여 답을 확인하세요.

계산기에서 'exp' 또는 ''라고 표시된 키를 찾으세요. xn (\디스플레이스타일 x^(n)) ", 또는 "^".이 키를 사용하면 숫자를 거듭제곱할 수 있습니다. 큰 지표로 학위를 수동으로 계산하는 것은 거의 불가능합니다(예: 학위 9 15 (\displaystyle 9^(15))), 그러나 계산기는 이 작업에 쉽게 대처할 수 있습니다. Windows 7에서는 표준 계산기를 엔지니어링 모드로 전환할 수 있습니다. 이렇게 하려면 “보기” -> “엔지니어링”을 클릭하세요. 일반 모드로 전환하려면 "보기" -> "일반"을 클릭하세요.

• 검색 엔진(Google 또는 Yandex)을 사용하여 받은 답변을 확인하세요.. 컴퓨터 키보드의 "^" 키를 사용하여 검색 엔진에 표현식을 입력하면 즉시 정답이 표시됩니다(그리고 학습할 수 있는 유사한 표현을 제안할 수도 있음).

거듭제곱의 덧셈, 뺄셈, 곱셈

1. 기본이 동일한 경우에만 각도를 더하거나 뺄 수 있습니다.동일한 밑수와 지수로 거듭제곱을 더해야 하는 경우 덧셈 연산을 곱셈 연산으로 대체할 수 있습니다. 예를 들어, 다음 표현식이 주어지면 4 5 + 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)). 학위라는 것을 기억하세요. 4 5 (\displaystyle 4^(5))형태로 표현될 수 있다 1 * 4 5 (\displaystyle 1*4^(5)); 따라서, 4 5 + 4 5 = 1 * 4 5 + 1 * 4 5 = 2 * 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)=1*4^(5)+1*4^(5) =2*4^(5))(여기서 1 +1 =2). 즉, 비슷한 정도의 수를 세어 그 정도와 이 숫자를 곱하는 것입니다. 이 예에서는 4를 5제곱한 다음 결과에 2를 곱합니다. 덧셈 연산은 곱셈 연산으로 대체될 수 있습니다. 예를 들어 다음과 같습니다. 3 + 3 = 2 * 3 (\displaystyle 3+3=2*3). 다른 예는 다음과 같습니다.

   동일한 밑수를 사용하여 거듭제곱을 곱하면 해당 지수가 추가됩니다(밑수는 변경되지 않음).예를 들어, 다음 표현식이 주어지면 x 2 * x 5 (\displaystyle x^(2)*x^(5)). 이 경우 기본은 변경하지 않고 표시기만 추가하면 됩니다. 따라서, x 2 * x 5 = x 7 (\displaystyle x^(2)*x^(5)=x^(7)). 다음은 이 규칙에 대한 시각적 설명입니다.

   거듭제곱을 거듭제곱하면 지수가 곱해집니다.예를 들어, 학위가 주어지면 (x 2) 5 (\표시스타일 (x^(2))^(5)). 지수는 곱해지기 때문에 (x 2) 5 = x 2 * 5 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2*5)=x^(10)). 이 규칙의 요점은 거듭제곱을 곱한다는 것입니다. (x 2) (\표시스타일 (x^(2)))그 자체로 다섯 번. 이와 같이:

   음의 지수를 갖는 거듭제곱은 분수로 변환되어야 합니다(역제곱).상호 학위가 무엇인지 모르더라도 상관 없습니다. 음의 지수로 학위를 받은 경우, 예를 들어 3 − 2 (\displaystyle 3^(-2)), 분수의 분모에 이 정도를 쓰고(분자에 1을 넣음) 지수를 양수로 만듭니다. 우리의 예에서는: 1 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(3^(2)))). 다른 예는 다음과 같습니다.

   동일한 밑수로 각도를 나누면 해당 지수가 뺍니다(밑수는 변경되지 않음).나누기 연산은 곱셈 연산의 반대입니다. 예를 들어, 다음 표현식이 주어지면 4 4 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))). 분자의 지수에서 분모의 지수를 뺍니다(기본은 변경하지 않음). 따라서, 4 4 4 2 = 4 4 − 2 = 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))=4^(4-2)=4^(2)) = 16 .

   다음은 지수 문제를 해결하는 방법을 배우는 데 도움이 되는 몇 가지 표현입니다.주어진 표현은 이 섹션에 제시된 자료를 포괄합니다. 답을 보려면 등호 뒤의 빈 공간을 강조 표시하면 됩니다.

분수 지수 문제 해결

분수 표시가 있는 학위(예: x 1 2 (\displaystyle x^(\frac (1)(2))) )은 루트 추출 작업으로 변환됩니다.우리의 예에서는: x 1 2 (\displaystyle x^(\frac (1)(2))) = x (\displaystyle (\sqrt (x))). 여기서 분수 지수의 분모에 어떤 숫자가 있는지는 중요하지 않습니다. 예를 들어, x 1 4 (\displaystyle x^(\frac (1)(4)))- "x"의 네 번째 루트, 즉 x 4 (\displaystyle (\sqrt[(4)](x))) .