Izrazi, pretvorba izraza

Izrazi potencija (izrazi s potencijama) i njihova transformacija

U ovom ćemo članku govoriti o pretvaranju izraza s potencijama. Prvo ćemo se usredotočiti na transformacije koje se izvode s izrazima bilo koje vrste, uključujući izraze snage, kao što je otvaranje zagrada i donošenje sličnih izraza. Zatim ćemo analizirati transformacije svojstvene posebno izrazima sa stupnjevima: rad s bazom i eksponentom, korištenje svojstava stupnjeva itd.

Navigacija po stranici.

Što su izrazi moći?

Pojam "izrazi snage" praktički se ne pojavljuje u školskim udžbenicima matematike, ali se često pojavljuje u zbirkama zadataka, posebno onih namijenjenih pripremi za Jedinstveni državni ispit i Jedinstveni državni ispit, na primjer. Nakon analize zadataka u kojima je potrebno izvršiti bilo kakve radnje s izrazima za potencije, postaje jasno da se izrazi za potencije podrazumijevaju kao izrazi koji u svojim natuknicama sadrže potencije. Stoga za sebe možete prihvatiti sljedeću definiciju:

Definicija.

Izrazi moći su izrazi koji sadrže stupnjeve.

Dajmo primjeri izraza snage. Štoviše, prikazat ćemo ih prema tome kako se odvija razvoj pogleda na stupanj s prirodnim eksponentom prema stupnju s pravim eksponentom.

Kao što je poznato, prvo se upoznaje s potencijom broja s prirodnim eksponentom, au ovoj fazi prvi najjednostavniji potencijski izrazi tipa 3 2, 7 5 +1, (2+1) 5, (−0,1) 4, 3 a 2 pojavljuju se −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 itd.

Nešto kasnije proučava se potencija broja s cijelim eksponentom, što dovodi do pojave potencijskih izraza s negativnim cijelim potencijama, poput sljedećih: 3 −2, , a −2 +2 b −3 +c 2 .

U srednjoj školi vraćaju se na diplome. Tu se uvodi stupanj s racionalnim eksponentom, što za sobom povlači pojavu odgovarajućih izraza za potenciju: , , i tako dalje. Konačno, razmatraju se stupnjevi s iracionalnim eksponentima i izrazi koji ih sadrže: , .

Stvar nije ograničena na navedene izraze potencije: dalje varijabla prodire u eksponent, pa nastaju npr. sljedeći izrazi: 2 x 2 +1 ili . A nakon upoznavanja s , počinju se pojavljivati ​​izrazi s potencijama i logaritmima, npr. x 2·lgx −5·x lgx.

Dakle, bavili smo se pitanjem što izrazi moći predstavljaju. Zatim ćemo ih naučiti transformirati.

Glavne vrste transformacija potencijskih izraza

S izrazima snage možete izvesti bilo koju od osnovnih transformacija identiteta izraza. Na primjer, možete otvoriti zagrade, zamijeniti numeričke izraze njihovim vrijednostima, dodati slične pojmove itd. Naravno, u ovom slučaju potrebno je slijediti prihvaćeni postupak za izvođenje radnji. Navedimo primjere.

Primjer.

Izračunajte vrijednost izraza za potenciju 2 3 ·(4 2 −12) .

Riješenje.

Prema redoslijedu izvođenja radnji prvo izvršite radnje u zagradi. Tu, prvo, zamjenjujemo potenciju 4 2 njegovom vrijednošću 16 (ako je potrebno, vidi), i drugo, izračunavamo razliku 16−12=4. Imamo 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4.

U dobivenom izrazu potenciju 2 3 zamijenimo njegovom vrijednošću 8, nakon čega izračunamo umnožak 8·4=32. Ovo je željena vrijednost.

Tako, 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4=8·4=32.

Odgovor:

2 3 ·(4 2 −12)=32.

Primjer.

Pojednostavite izraze s potencijama 3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7.

Riješenje.

Očito, ovaj izraz sadrži slične članove 3·a 4 ·b −7 i 2·a 4 ·b −7 , a možemo ih prikazati: .

Odgovor:

3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7 =5 a 4 b −7 −1.

Primjer.

Izrazite izraz s moćima kao proizvod.

Riješenje.

Zadatak možete riješiti tako da broj 9 predstavite kao potenciju broja 3 2, a zatim upotrijebite formulu za skraćeno množenje - razlika kvadrata:

Odgovor:

Također postoji niz identičnih transformacija svojstvenih posebno izrazima moći. Analizirat ćemo ih dalje.

Rad s bazom i eksponentom

Postoje stupnjevi čija baza i/ili eksponent nisu samo brojevi ili varijable, već neki izrazi. Kao primjer dajemo unose (2+0,3·7) 5−3,7 i (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) .

Kada radite s takvim izrazima, možete zamijeniti i izraz u bazi stupnja i izraz u eksponentu s identično jednakim izrazom u ODZ njegovih varijabli. Drugim riječima, prema nama poznatim pravilima, možemo zasebno transformirati bazu stupnja, a posebno eksponent. Jasno je da će se kao rezultat ove transformacije dobiti izraz koji je identično jednak izvornom.

Takve nam transformacije omogućuju pojednostavljenje izraza s moćima ili postizanje drugih ciljeva koji su nam potrebni. Na primjer, u gore spomenutom izrazu za potenciju (2+0,3 7) 5−3,7, možete izvoditi operacije s brojevima u bazi i eksponentu, što će vam omogućiti prijelaz na potenciju 4,1 1,3. I nakon otvaranja zagrada i dovođenja sličnih članova na bazu stupnja (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1), dobivamo izraz snage jednostavnijeg oblika a 2·(x+ 1) .

Korištenje svojstava stupnja

Jedan od glavnih alata za transformaciju izraza s potencijama su jednakosti koje odražavaju . Prisjetimo se glavnih. Za bilo koje pozitivne brojeve a i b i proizvoljne realne brojeve r i s vrijede sljedeća svojstva potencija:

• a r ·a s =a r+s ;
• a r:a s =a r−s ;
• (a·b) r =a r ·b r ;
• (a:b) r =a r:b r ;
• (a r) s =a r·s .

Imajte na umu da za prirodne, cijele i pozitivne eksponente ograničenja za brojeve a i b možda neće biti tako stroga. Na primjer, za prirodne brojeve m i n jednakost a m ·a n =a m+n vrijedi ne samo za pozitivno a, već i za negativno a, te za a=0.

U školi je glavni fokus pri transformaciji izraza moći na sposobnosti odabira odgovarajućeg svojstva i njegove pravilne primjene. U tom su slučaju baze stupnjeva obično pozitivne, što omogućuje korištenje svojstava stupnjeva bez ograničenja. Isto vrijedi i za transformaciju izraza koji sadrže varijable u bazama ovlasti - raspon dopuštenih vrijednosti varijabli obično je takav da baze na njemu uzimaju samo pozitivne vrijednosti, što vam omogućuje slobodno korištenje svojstava ovlasti. . Općenito, trebate se stalno pitati je li moguće koristiti bilo koje svojstvo stupnjeva u ovom slučaju, jer netočna uporaba svojstava može dovesti do sužavanja obrazovne vrijednosti i drugih nevolja. O tim točkama raspravlja se detaljno i s primjerima u članku transformacija izraza pomoću svojstava potencija. Ovdje ćemo se ograničiti na razmatranje nekoliko jednostavnih primjera.

Primjer.

Izrazi a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 kao potenciju s bazom a.

Riješenje.

Prvo transformiramo drugi faktor (a 2) −3 koristeći svojstvo podizanja potencije na potenciju: (a 2) −3 =a 2·(−3) =a −6. Izvorni izraz snage će imati oblik a 2,5 ·a −6:a −5,5. Očito, preostaje koristiti svojstva množenja i dijeljenja potencija s istom bazom, koju imamo
a 2,5 ·a −6:a −5,5 =
a 2,5−6:a −5,5 =a −3,5:a −5,5 =
a −3,5−(−5,5) =a 2 .

Odgovor:

a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 =a 2.

Svojstva potencija pri transformaciji izraza potencija koriste se i slijeva na desno i s desna na lijevo.

Primjer.

Pronađite vrijednost izraza za potenciju.

Riješenje.

Jednakost (a·b) r =a r ·b r, primijenjena s desna na lijevo, omogućuje nam prijelaz s izvornog izraza na proizvod oblika i dalje. A kada se potencije množe s istim bazama, eksponenti se zbrajaju: .

Bilo je moguće transformirati izvorni izraz na drugi način:

Odgovor:

.

Primjer.

Zadan je izraz snage a 1,5 −a 0,5 −6, uvedite novu varijablu t=a 0,5.

Riješenje.

Stupanj a 1,5 može se predstaviti kao 0,5 3 i zatim, na temelju svojstva stupnja na stupanj (a r) s =a r s, primijenjeno s desna na lijevo, transformirati ga u oblik (a 0,5) 3. Tako, a 1,5 −a 0,5 −6=(a 0,5) 3 −a 0,5 −6. Sada je lako uvesti novu varijablu t=a 0,5, dobivamo t 3 −t−6.

Odgovor:

t 3 −t−6 .

Pretvaranje razlomaka koji sadrže potencije

Izrazi potencije mogu sadržavati ili predstavljati razlomke s potencijama. Sve osnovne transformacije razlomaka koje su svojstvene razlomcima bilo koje vrste u potpunosti su primjenjive na takve razlomke. To jest, razlomci koji sadrže potencije mogu se reducirati, svesti na novi nazivnik, raditi odvojeno s njihovim brojnikom i zasebno s nazivnikom, itd. Kako bismo ilustrirali ove riječi, razmotrite rješenja nekoliko primjera.

Primjer.

Pojednostavite izraz snage .

Riješenje.

Ovaj izraz snage je razlomak. Radimo s njegovim brojnikom i nazivnikom. U brojniku otvaramo zagrade i pojednostavljujemo dobiveni izraz pomoću svojstava potencije, a u nazivniku prikazujemo slične pojmove:

I također promijenimo predznak nazivnika stavljanjem minusa ispred razlomka: .

Odgovor:

.

Svođenje razlomaka koji sadrže potencije na novi nazivnik provodi se slično svođenju racionalnih razlomaka na novi nazivnik. U ovom slučaju se također nalazi dodatni faktor i njime se množe brojnik i nazivnik razlomka. Prilikom izvođenja ove radnje, vrijedi zapamtiti da smanjenje na novi nazivnik može dovesti do sužavanja VA. Da se to ne dogodi, potrebno je da dodatni faktor ne ide na nulu ni za jednu vrijednost varijabli iz ODZ varijabli za izvorni izraz.

Primjer.

Svedi razlomke na novi nazivnik: a) na nazivnik a, b) na nazivnik.

Riješenje.

a) U ovom slučaju vrlo je lako otkriti koji dodatni množitelj pomaže u postizanju željenog rezultata. Ovo je množitelj od 0,3, budući da je 0,7 ·a 0,3 =a 0,7+0,3 =a. Imajte na umu da u rasponu dopuštenih vrijednosti varijable a (ovo je skup svih pozitivnih realnih brojeva), snaga a 0,3 ne nestaje, stoga imamo pravo pomnožiti brojnik i nazivnik zadanog razlomak ovim dodatnim faktorom:

b) Ako bolje pogledate nazivnik, ustanovit ćete da

i množenjem ovog izraza s dat će se zbroj kubova i , odnosno . A ovo je novi nazivnik na koji trebamo svesti izvorni razlomak.

Tako smo pronašli dodatni faktor. U rasponu dopuštenih vrijednosti varijabli x i y, izraz ne nestaje, stoga možemo pomnožiti brojnik i nazivnik razlomka s njim:

Odgovor:

A) , b) .

Također nema ništa novo u smanjivanju razlomaka s potencijama: brojnik i nazivnik predstavljeni su kao brojni faktori, a isti faktori brojnika i nazivnika su reducirani.

Primjer.

Smanjite razlomak: a) , b) .

Riješenje.

a) Prvo, brojnik i nazivnik mogu se smanjiti brojevima 30 i 45, što je jednako 15. Također je očito moguće izvesti smanjenje za x 0,5 +1 i za . Evo što imamo:

b) U ovom slučaju identični faktori u brojniku i nazivniku nisu odmah vidljivi. Da biste ih dobili, morat ćete izvršiti preliminarne transformacije. U ovom slučaju, oni se sastoje u rastavljanju nazivnika pomoću formule razlike kvadrata:

Odgovor:

A)

b) .

Pretvaranje razlomaka u novi nazivnik i smanjivanje razlomaka uglavnom se koriste za rad s razlomcima. Radnje se izvode prema poznatim pravilima. Pri zbrajanju (oduzimanju) razlomci se svode na zajednički nazivnik, nakon čega se brojnici zbrajaju (oduzimaju), ali nazivnik ostaje isti. Rezultat je razlomak čiji je brojnik umnožak brojnika, a nazivnik umnožak nazivnika. Dijeljenje razlomkom je množenje njegovim inverzom.

Primjer.

Prati korake .

Riješenje.

Prvo oduzimamo razlomke u zagradama. Da bismo to učinili, dovodimo ih pod zajednički nazivnik, a to je , nakon čega oduzimamo brojnike:

Sada množimo razlomke:

Očito je moguće smanjiti za potenciju x 1/2, nakon čega imamo .

Također možete pojednostaviti izraz snage u nazivniku pomoću formule razlike kvadrata: .

Odgovor:

Primjer.

Pojednostavite Power Expression .

Riješenje.

Očito, ovaj razlomak se može smanjiti za (x 2,7 +1) 2, što daje razlomak . Jasno je da s ovlastima X-a treba učiniti još nešto. Da bismo to učinili, transformiramo dobiveni razlomak u proizvod. To nam daje mogućnost da iskoristimo svojstvo dijeljenja potencija s istim bazama: . I na kraju procesa prelazimo sa zadnjeg proizvoda na razlomak.

Odgovor:

.

Dodajmo i to da je moguće, au mnogim slučajevima i poželjno, faktore s negativnim eksponentima prenijeti iz brojnika u nazivnik ili iz nazivnika u brojnik, mijenjajući predznak eksponenta. Takve transformacije često pojednostavljuju daljnje radnje. Na primjer, izraz snage može se zamijeniti s .

Pretvaranje izraza s korijenima i potencijama

Često, u izrazima u kojima su potrebne neke transformacije, uz potencije su prisutni i korijeni s razlomačkim eksponentima. Da bi se takav izraz transformirao u željeni oblik, u većini slučajeva dovoljno je ići samo na korijene ili samo na potencije. Ali budući da je prikladnije raditi s moćima, obično se kreću od korijena do moći. Međutim, preporučljivo je provesti takav prijelaz kada vam ODZ varijabli za izvorni izraz omogućuje zamjenu korijena s ovlastima bez potrebe za pozivanjem na modul ili dijeljenjem ODZ-a u nekoliko intervala (o tome smo detaljno raspravljali u članak prijelaz s korijena na potencije i natrag Nakon upoznavanja sa stupnjem s racionalnim eksponentom uvodi se stupanj s iracionalnim eksponentom, što nam omogućuje da govorimo o stupnju s proizvoljnim realnim eksponentom.U ovoj fazi škola počinje studija eksponencijalna funkcija, koji je analitički dan potencijom čija je baza broj, a eksponent varijabla. Dakle, suočeni smo s izrazima potencije koji u bazi potencije sadrže brojeve, au eksponentu - izraze s varijablama, te se prirodno javlja potreba za izvođenjem transformacija takvih izraza.

Treba reći da se transformacija izraza navedenog tipa obično mora izvršiti prilikom rješavanja eksponencijalne jednadžbe I eksponencijalne nejednakosti, a te su pretvorbe vrlo jednostavne. U velikoj većini slučajeva oni se temelje na svojstvima stupnja i uglavnom su usmjereni na uvođenje nove varijable u budućnosti. Jednadžba će nam omogućiti da ih demonstriramo 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

Najprije se potencije u čijim eksponentima nalazi zbroj određene varijable (ili izraza s varijablama) i broja zamjenjuju umnošcima. Ovo se odnosi na prvi i zadnji član izraza na lijevoj strani:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

Zatim se obje strane jednakosti dijele s izrazom 7 2 x, koji na ODZ varijable x za izvornu jednadžbu uzima samo pozitivne vrijednosti (ovo je standardna tehnika za rješavanje jednadžbi ovog tipa, nismo sada govorimo o tome, stoga se usredotočite na naknadne transformacije izraza s ovlastima ):

Sada možemo poništiti razlomke s potencijama, što daje .

Konačno, omjer potencija s istim eksponentima zamijenjen je potencijama odnosa, što rezultira jednadžbom , što je ekvivalentno . Provedene transformacije omogućuju nam uvođenje nove varijable, koja rješenje izvorne eksponencijalne jednadžbe svodi na rješenje kvadratne jednadžbe

I. V. Bojkov, L. D. Romanova Zbirka zadataka za pripremu za Jedinstveni državni ispit. Dio 1. Penza 2003.

Zašto su potrebne diplome?

Gdje će vam trebati?

Zašto biste trebali odvojiti vrijeme da ih proučite?

Kako biste saznali SVE O DIPLOMAMA, pročitajte ovaj članak.

I, naravno, poznavanje diploma približit će vas uspješnom polaganju jedinstvenog državnog ispita.

I do upisa na sveučilište iz snova!

Idemo... (Idemo!)

PRVI RAZINA

Potenciranje je matematička operacija kao i zbrajanje, oduzimanje, množenje ili dijeljenje.

Sada ću sve objasniti ljudskim jezikom koristeći vrlo jednostavne primjere. Budi oprezan. Primjeri su elementarni, ali objašnjavaju važne stvari.

Počnimo s dodavanjem.

Nema se tu što objašnjavati. Sve već znate: nas je osam. Svatko ima dvije boce kole. Koliko cole ima? Tako je - 16 boca.

Sada množenje.

Isti primjer s colom može se napisati i drugačije: . Matematičari su lukavi i lijeni ljudi. Prvo uočavaju neke obrasce, a onda smišljaju način da ih brže "prebroje". U našem slučaju, primijetili su da svaki od osam ljudi ima isti broj boca kole i smislili su tehniku ​​koja se zove množenje. Slažem se, smatra se lakšim i bržim od.

Dakle, da biste brojali brže, lakše i bez grešaka, samo trebate zapamtiti tablica množenja. Naravno, sve možete sporije, teže i s greškama! Ali…

Evo tablice množenja. Ponoviti.

I još jedna, ljepša:

Koje su još pametne trikove s računanjem smislili lijeni matematičari? desno - dizanje broja na potenciju.

Dizanje broja na potenciju

Ako trebate pomnožiti broj sam sa sobom pet puta, onda matematičari kažu da taj broj trebate podići na petu potenciju. Na primjer, . Matematičari se sjećaju da je dva na petu potenciju... I takve probleme rješavaju u svojim glavama – brže, lakše i bez greške.

Sve što trebate učiniti je zapamtite što je označeno bojom u tablici potencija brojeva. Vjerujte mi, ovo će vam uvelike olakšati život.

Usput, zašto se zove drugi stupanj? kvadrat brojevi, a treći - kocka? Što to znači? Vrlo dobro pitanje. Sada ćete imati i kvadrate i kocke.

Primjer iz stvarnog života #1

Počnimo s kvadratom ili drugom potencijom broja.

Zamislite kvadratni bazen dimenzija metar sa metar. Bazen je u vašoj kući. Vruće je i stvarno želim plivati. Ali... bazen nema dno! Dno bazena morate obložiti pločicama. Koliko pločica trebate? Da biste to utvrdili, morate znati površinu dna bazena.

Možete jednostavno izračunati upiranjem prsta da se dno bazena sastoji od kocki metar po metar. Ako imate pločice veličine metar sa metar, trebat će vam komadi. Lako je... Ali gdje ste vidjeli takve pločice? Pločica će najvjerojatnije biti cm po cm. A onda ćete biti mučeni "brojenjem prstom". Zatim morate množiti. Dakle, na jednu stranu dna bazena postavit ćemo pločice (komade), a na drugu također pločice. Pomnožite s i dobit ćete pločice ().

Jeste li primijetili da smo za određivanje površine dna bazena pomnožili isti broj sa samim sobom? Što to znači? Budući da množimo isti broj, možemo koristiti tehniku ​​"potencijaliranja". (Naravno, kada imate samo dva broja, još uvijek ih trebate pomnožiti ili dignuti na potenciju. Ali ako ih imate puno, onda je dizanje na potenciju puno lakše, a također ima i manje grešaka u izračunima Za Jedinstveni državni ispit ovo je vrlo važno).
Dakle, trideset na drugu potenciju bit će (). Ili možemo reći da će trideset na kvadrat biti. Drugim riječima, druga potencija broja uvijek se može prikazati kao kvadrat. I obrnuto, ako vidite kvadrat, to je UVIJEK druga potencija nekog broja. Kvadrat je slika druge potencije broja.

Primjer iz stvarnog života #2

Evo zadatka za vas: izbrojte koliko ima polja na šahovskoj ploči pomoću kvadrata broja... S jedne i s druge strane ćelija. Da biste izračunali njihov broj, trebate pomnožiti osam s osam ili... ako primijetite da je šahovnica kvadrat sa stranicom, onda možete kvadratirati osam. Dobit ćete ćelije. () Pa?

Primjer iz stvarnog života #3

Sada kocka ili treća potencija broja. Isti bazen. Ali sada morate saznati koliko će se vode morati uliti u ovaj bazen. Morate izračunati volumen. (Usput, volumeni i tekućine mjere se u kubičnim metrima. Neočekivano, zar ne?) Nacrtajte bazen: dno je veličine metar i duboko metar i pokušajte izbrojati koliko će kockica dimenzija metar sa metar stane u vaš bazen.

Samo uperi prst i broji! Jedan, dva, tri, četiri...dvadeset i dva, dvadeset i tri...Koliko si ih dobio? Niste izgubljeni? Je li teško brojati prstom? Tako da! Uzmite primjer od matematičara. Oni su lijeni pa su primijetili da za izračunavanje volumena bazena treba pomnožiti njegovu dužinu, širinu i visinu jedno s drugim. U našem slučaju, volumen bazena će biti jednak kockama... Lakše, zar ne?

Sada zamislite koliko su matematičari lijeni i lukavi ako su i ovo pojednostavili. Sve smo sveli na jednu akciju. Uočili su da su dužina, širina i visina jednake i da se isti broj množi sam sa sobom... Što to znači? To znači da možete iskoristiti diplomu. Dakle, ono što ste jednom prstom izbrojali, oni učine jednom radnjom: tri kubna je jednako. Napisano je ovako: .

Sve što ostaje je zapamtite tablicu stupnjeva. Osim, naravno, ako niste lijeni i lukavi poput matematičara. Ako volite naporno raditi i griješiti, možete nastaviti brojati prstom.

Pa da vas konačno uvjerimo da su diplome izmislili odustatelji i lukavci da rješavaju svoje životne probleme, a ne da vam stvaraju probleme, evo još par primjera iz života.

Primjer iz stvarnog života #4

Imate milijun rubalja. Na početku svake godine, za svaki milijun koji zaradite, zaradite još jedan milijun. Odnosno, svaki milijun koji imate udvostručuje se na početku svake godine. Koliko ćete novca imati za godine? Ako sada sjedite i "brojite prstom", onda ste vrlo vrijedna osoba i... glupa. Ali najvjerojatnije ćete dati odgovor za nekoliko sekundi, jer ste pametni! Dakle, prve godine - dva pomnoženo s dva... druge godine - što se dogodilo, još dvije, treće godine... Stop! Primijetili ste da se broj množi sam sa sobom puta. Dakle, dva na petu potenciju je milijun! Sada zamislite da imate natjecanje i da će onaj tko najbrže broji dobiti te milijune... Vrijedno je prisjetiti se moći brojeva, zar ne?

Primjer iz stvarnog života #5

Imaš milijun. Na početku svake godine, za svaki milijun koji zaradite, zaradite još dva. Sjajno zar ne? Svaki milijun se utrostručuje. Koliko ćete novca imati za godinu dana? Ajmo računati. Prva godina - pomnoži s, pa rezultat s još jednom... To je već dosadno, jer si već sve shvatio: tri se množi sa sobom puta. Dakle, na četvrtu potenciju to je jednako milijunu. Samo morate zapamtiti da je tri na četvrtu potenciju ili.

Sada znate da ćete dizanjem broja na potenciju znatno olakšati svoj život. Pogledajmo dalje što možete učiniti s diplomama i što trebate znati o njima.

Termini i pojmovi.. da ne bude zabune

Dakle, prvo definirajmo pojmove. Što misliš, što je eksponent? Vrlo je jednostavno - to je broj koji je "na vrhu" potencije broja. Nije znanstveno, ali jasno i lako za pamćenje...

Pa, u isto vrijeme, što takvu diplomsku osnovu? Još jednostavnije - ovo je broj koji se nalazi ispod, u podnožju.

Evo crteža za dobru mjeru.

Pa, općenito, radi generaliziranja i boljeg pamćenja... Stupanj s osnovom “ ” i eksponentom “ ” čita se kao “na stupanj” i piše se na sljedeći način:

Potencija broja s prirodnim eksponentom

Vjerojatno ste već pogodili: jer je eksponent prirodan broj. Da, ali što je prirodni broj? Osnovno! Prirodni brojevi su oni brojevi koji se koriste pri brojanju pri nabrajanju predmeta: jedan, dva, tri... Kada brojimo predmete, ne kažemo: “minus pet”, “minus šest”, “minus sedam”. Također ne kažemo: “jedna trećina”, ili “nula zarez pet”. Ovo nisu prirodni brojevi. Što mislite koji su ovo brojevi?

Brojevi poput "minus pet", "minus šest", "minus sedam" odnose se na cijeli brojevi. Općenito, cijeli brojevi uključuju sve prirodne brojeve, brojeve suprotne prirodnim brojevima (tj. uzete s predznakom minus) i brojeve. Nulu je lako razumjeti - to je kada nema ničega. Što znače negativni ("minus") brojevi? Ali oni su izmišljeni prvenstveno kako bi ukazali na dugove: ako imate stanje na svom telefonu u rubljama, to znači da operateru dugujete rublje.

Svi razlomci su racionalni brojevi. Kako su nastali, što mislite? Jako jednostavno. Prije nekoliko tisuća godina naši su preci otkrili da im nedostaju prirodni brojevi za mjerenje duljine, težine, površine itd. I smislili su racionalni brojevi... Zanimljivo, zar ne?

Postoje i iracionalni brojevi. Koje su ovo brojke? Ukratko, to je beskonačni decimalni razlomak. Na primjer, ako opseg kruga podijelite s njegovim promjerom, dobit ćete iracionalan broj.

Sažetak:

Definirajmo koncept stupnja čiji je eksponent prirodan broj (tj. cijeli i pozitivan).

1. Bilo koji broj na prvu potenciju jednak je sebi:
2. Kvadrirati broj znači pomnožiti ga samim sobom:
3. Kubirati broj znači pomnožiti ga samim sobom tri puta:

Definicija. Podizanje broja na prirodni potenciju znači množenje broja samim sobom puta:
.

Svojstva stupnjeva

Odakle ta svojstva? Sad ću ti pokazati.

Da vidimo: što je I ?

A-prior:

Koliko je ukupno množitelja?

Vrlo je jednostavno: faktorima smo dodali množitelje, a rezultat su množitelji.

Ali po definiciji, ovo je potencija broja s eksponentom, to jest: , što je i trebalo dokazati.

Primjer: Pojednostavite izraz.

Riješenje:

Primjer: Pojednostavite izraz.

Riješenje: Važno je napomenuti da u našem pravilu Obavezno moraju postojati isti razlozi!
Stoga kombiniramo moći s bazom, ali ona ostaje zaseban faktor:

samo za proizvod snaga!

Ni pod kojim uvjetima to ne možete napisati.

2. to je to potenciju broja

Baš kao i kod prethodnog svojstva, okrenimo se definiciji stupnja:

Ispada da je izraz pomnožen sam sa sobom puta, odnosno, prema definiciji, ovo je ti stepen broja:

U biti, to se može nazvati "izbacivanje indikatora iz zagrada". Ali ovo nikada ne možete učiniti u potpunosti:

Prisjetimo se skraćenih formula množenja: koliko smo puta htjeli napisati?

Ali to ipak nije istina.

Snaga s negativnom bazom

Do ove točke samo smo raspravljali o tome što bi eksponent trebao biti.

Ali što bi trebala biti osnova?

U ovlastima prirodni pokazatelj osnova može biti bilo koji broj. Doista, možemo pomnožiti bilo koje brojeve jedan s drugim, bili oni pozitivni, negativni ili parni.

Razmislimo koji će znakovi ("" ili "") imati moći pozitivnih i negativnih brojeva?

Na primjer, je li broj pozitivan ili negativan? A? ? S prvim je sve jasno: koliko god pozitivnih brojeva pomnožili jedan s drugim, rezultat će biti pozitivan.

Ali one negativne su malo zanimljivije. Sjećamo se jednostavnog pravila iz 6. razreda: “minus za minus daje plus.” Odnosno, ili. Ali ako pomnožimo s, funkcionira.

Sami odredite koji će predznak imati sljedeći izrazi:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Jeste li uspjeli?

Evo odgovora: U prva četiri primjera, nadam se, sve je jasno? Jednostavno pogledamo bazu i eksponent i primijenimo odgovarajuće pravilo.

U primjeru 5) sve također nije tako strašno kao što se čini: na kraju krajeva, nije važno čemu je baza jednaka - stupanj je jednak, što znači da će rezultat uvijek biti pozitivan.

Pa, osim kada je baza nula. Baza nije jednaka, zar ne? Očito ne, jer (jer).

Primjer 6) više nije tako jednostavan!

6 primjera za vježbanje

Analiza rješenja 6 primjera

Cijeli prirodne brojeve, njihove suprotnosti (odnosno uzete sa znakom) nazivamo i brojem.

pozitivan cijeli broj, i ne razlikuje se od prirodnog, tada sve izgleda točno kao u prethodnom odjeljku.

Sada pogledajmo nove slučajeve. Počnimo s pokazateljem jednakim.

Svaki broj na nultu potenciju jednak je jedan:

Kao i uvijek, zapitajmo se: zašto je to tako?

Razmotrimo neki stupanj s bazom. Uzmite, na primjer, i pomnožite sa:

Dakle, pomnožili smo broj s, i dobili smo isto što je i bilo - . S kojim brojem treba pomnožiti da se ništa ne promijeni? Tako je, na. Sredstva.

Isto možemo učiniti s proizvoljnim brojem:

Ponovimo pravilo:

Svaki broj na nultu potenciju jednak je jedan.

Ali postoje iznimke od mnogih pravila. I ovdje je također tu - ovo je broj (kao baza).

S jedne strane, mora biti jednak bilo kojem stupnju - koliko god nulu množio sam sa sobom, svejedno ćeš dobiti nulu, to je jasno. Ali s druge strane, kao i svaki broj na nultu potenciju, mora biti jednak. Dakle, koliko je od ovoga istina? Matematičari su se odlučili ne miješati i odbili su podići nulu na nultu potenciju. Odnosno, sada ne možemo ne samo podijeliti s nulom, već ga i podići na nultu potenciju.

Idemo dalje. Osim prirodnih brojeva i brojeva, cijeli brojevi uključuju i negativne brojeve. Da bismo razumjeli što je negativna potencija, učinimo kao prošli put: pomnožimo neki normalan broj s istim brojem na negativnu potenciju:

Odavde je lako izraziti ono što tražite:

Proširimo sada dobiveno pravilo na proizvoljan stupanj:

Dakle, formulirajmo pravilo:

Broj s negativnom potencijom recipročna je vrijednost istog broja s pozitivnom potencijom. Ali u isto vrijeme Baza ne može biti nula:(jer ne možete dijeliti po).

Ukratko:

Zadaci za samostalno rješavanje:

Pa, kao i obično, primjeri za neovisna rješenja:

Analiza problema za samostalno rješavanje:

Znam, znam, brojke su zastrašujuće, ali na Jedinstvenom državnom ispitu morate biti spremni na sve! Riješite ove primjere ili analizirajte njihova rješenja ako ih niste mogli riješiti i naučit ćete se lako nositi s njima na ispitu!

Nastavimo širiti raspon brojeva "prikladnih" kao eksponent.

Sada razmotrimo racionalni brojevi. Koji se brojevi nazivaju racionalnim?

Odgovor: sve što se može predstaviti kao razlomak, gdje su i cijeli brojevi, i.

Da shvatim što je to "frakcijski stupanj", razmotrite razlomak:

Podignimo obje strane jednadžbe na potenciju:

Prisjetimo se sada pravila o "stupanj u stupanj":

Koji se broj mora podići na potenciju da bi se dobio?

Ova formulacija je definicija korijena th stupnja.

Dopustite da vas podsjetim: korijen th potencije broja () je broj koji je, kada se podigne na potenciju, jednak.

To jest, korijen th potencije je inverzna operacija dizanja na potenciju: .

Ispostavilo se da. Očito se ovaj poseban slučaj može proširiti: .

Sada dodajemo brojnik: što je to? Odgovor je lako dobiti pomoću pravila snage na snagu:

Ali može li baza biti bilo koji broj? Uostalom, ne može se izvući korijen iz svih brojeva.

nijedan!

Sjetimo se pravila: svaki broj podignut na parnu potenciju je pozitivan broj. Odnosno, nemoguće je izvući parne korijene iz negativnih brojeva!

To znači da se takvi brojevi ne mogu podići na razlomak s parnim nazivnikom, odnosno izraz nema smisla.

Što je s izrazom?

Ali tu nastaje problem.

Broj se može prikazati u obliku drugih, reducibilnih razlomaka, na primjer, ili.

I ispada da postoji, ali ne postoji, ali to su samo dva različita zapisa istog broja.

Ili drugi primjer: jednom, onda to možete zapisati. Ali ako indikator zapišemo drugačije, opet ćemo upasti u nevolju: (to jest, dobili smo potpuno drugačiji rezultat!).

Da bismo izbjegli takve paradokse, smatramo samo pozitivni osnovni eksponent s razlomačkim eksponentom.

Pa ako:

• - prirodni broj;
• - cijeli broj;

Primjeri:

Racionalni eksponenti su vrlo korisni za transformaciju izraza s korijenima, na primjer:

5 primjera za vježbanje

Analiza 5 primjera za obuku

E, sad dolazi najteži dio. Sada ćemo to shvatiti stupanj s iracionalnim eksponentom.

Sva pravila i svojstva stupnjeva ovdje su potpuno ista kao i za stupanj s racionalnim eksponentom, s izuzetkom

Uostalom, po definiciji, iracionalni brojevi su brojevi koji se ne mogu prikazati kao razlomak, gdje su i cijeli brojevi (to jest, iracionalni brojevi su svi realni brojevi osim racionalnih).

Proučavajući stupnjeve s prirodnim, cjelobrojnim i racionalnim eksponentima, svaki put smo stvorili određenu "sliku", "analogiju" ili opis u poznatijim terminima.

Na primjer, stupanj s prirodnim eksponentom je broj pomnožen sam sa sobom nekoliko puta;

...broj na nultu potenciju- ovo je, takoreći, broj pomnožen sam sa sobom jednom, odnosno još ga nisu počeli množiti, što znači da se sam broj još nije ni pojavio - stoga je rezultat samo određeni "prazni broj" , odnosno broj;

...negativan cijeli broj stupanj- kao da se dogodio neki "obrnuti proces", odnosno broj nije pomnožen sam sa sobom, već podijeljen.

Inače, u znanosti se često koristi stupanj sa složenim eksponentom, odnosno eksponent čak nije ni realan broj.

Ali u školi ne razmišljamo o takvim poteškoćama; imat ćete priliku shvatiti ove nove koncepte na institutu.

GDJE SMO SIGURNI DA ĆETE OTIĆI! (ako naučiš rješavati takve primjere :))

Na primjer:

Odlučite sami:

Analiza rješenja:

1. Počnimo s uobičajenim pravilom za dizanje potencije na potenciju:

NAPREDNA RAZINA

Određivanje stupnja

Diploma je izraz u obliku: , gdje je:

• — baza stupnja;
• - eksponent.

Stupanj s prirodnim pokazateljem (n = 1, 2, 3,...)

Dizanje broja na prirodnu potenciju n znači množenje broja samim sobom puta:

Stupanj s cjelobrojnim eksponentom (0, ±1, ±2,...)

Ako je eksponent pozitivan cijeli broj broj:

Izgradnja na nulti stupanj:

Izraz je neodređen, jer je, s jedne strane, na bilo koji stupanj ovo, a s druge strane, bilo koji broj na ti stupanj je ovo.

Ako je eksponent negativan cijeli broj broj:

(jer ne možete dijeliti po).

Još jednom o nulama: izraz nije definiran u slučaju. Ako tada.

Primjeri:

Potencija s racionalnim eksponentom

• - prirodni broj;
• - cijeli broj;

Primjeri:

Svojstva stupnjeva

Da bismo lakše riješili probleme, pokušajmo razumjeti: odakle dolaze ta svojstva? Dokažimo im.

Pogledajmo: što je i?

A-prior:

Dakle, na desnoj strani ovog izraza dobivamo sljedeći proizvod:

Ali po definiciji to je potencija broja s eksponentom, to jest:

Q.E.D.

Primjer : Pojednostavite izraz.

Riješenje : .

Primjer : Pojednostavite izraz.

Riješenje : Važno je napomenuti da u našem pravilu Obavezno moraju postojati isti razlozi. Stoga kombiniramo moći s bazom, ali ona ostaje zaseban faktor:

Još jedna važna napomena: ovo pravilo - samo za produkt potencija!

Ni pod kojim uvjetima to ne možete napisati.

Baš kao i kod prethodnog svojstva, okrenimo se definiciji stupnja:

Pregrupirajmo ovaj posao ovako:

Ispada da je izraz pomnožen sam sa sobom puta, odnosno, prema definiciji, ovo je ti stepen broja:

U biti, to se može nazvati "izbacivanje indikatora iz zagrada". Ali ovo nikada ne možete učiniti ukupno: !

Prisjetimo se skraćenih formula množenja: koliko smo puta htjeli napisati? Ali to ipak nije istina.

Snaga s negativnom bazom.

Do sada smo samo raspravljali o tome kakav bi trebao biti indeks stupnjeva. Ali što bi trebala biti osnova? U ovlastima prirodni indikator osnova može biti bilo koji broj .

Doista, možemo pomnožiti bilo koje brojeve jedan s drugim, bili oni pozitivni, negativni ili parni. Razmislimo koji će znakovi ("" ili "") imati moći pozitivnih i negativnih brojeva?

Na primjer, je li broj pozitivan ili negativan? A? ?

S prvim je sve jasno: koliko god pozitivnih brojeva pomnožili jedan s drugim, rezultat će biti pozitivan.

Ali one negativne su malo zanimljivije. Sjećamo se jednostavnog pravila iz 6. razreda: “minus za minus daje plus.” Odnosno, ili. Ali ako pomnožimo s (), dobit ćemo - .

I tako u nedogled: svakim sljedećim množenjem predznak će se mijenjati. Mogu se formulirati sljedeća jednostavna pravila:

1. čak stupanj, - broj pozitivan.
2. Negativan broj podignut na neparan stupanj, - broj negativan.
3. Pozitivan broj na bilo kojem stupnju je pozitivan broj.
4. Nula na bilo koju potenciju jednaka je nuli.

Sami odredite koji će predznak imati sljedeći izrazi:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Jeste li uspjeli? Evo odgovora:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

U prva četiri primjera, nadam se da je sve jasno? Jednostavno pogledamo bazu i eksponent i primijenimo odgovarajuće pravilo.

U primjeru 5) sve također nije tako strašno kao što se čini: na kraju krajeva, nije važno čemu je baza jednaka - stupanj je jednak, što znači da će rezultat uvijek biti pozitivan. Pa, osim kada je baza nula. Baza nije jednaka, zar ne? Očito ne, jer (jer).

Primjer 6) više nije tako jednostavan. Ovdje morate saznati što je manje: ili? Ako se toga sjetimo, postaje jasno da, što znači da je baza manja od nule. Odnosno, primjenjujemo pravilo 2: rezultat će biti negativan.

I opet koristimo definiciju stupnja:

Sve je kao i obično - zapišemo definiciju stupnjeva i podijelimo ih jedan s drugim, podijelimo ih u parove i dobijemo:

Prije nego pogledamo posljednje pravilo, riješimo nekoliko primjera.

Izračunajte izraze:

Rješenja :

Vratimo se na primjer:

I opet formula:

Sada zadnje pravilo:

Kako ćemo to dokazati? Naravno, kao i obično: proširimo koncept diplome i pojednostavnimo ga:

E, sad otvorimo zagrade. Koliko je ukupno slova? puta množiteljima - na što vas ovo podsjeća? Ovo nije ništa više od definicije operacije množenje: Tamo su bili samo množitelji. Odnosno, ovo je, po definiciji, potencija broja s eksponentom:

Primjer:

Stupanj s iracionalnim eksponentom

Uz informacije o stupnjevima za prosječnu razinu, analizirat ćemo stupanj s iracionalnim eksponentom. Sva pravila i svojstva stupnjeva ovdje su potpuno ista kao i za stupanj s racionalnim eksponentom, s izuzetkom - nakon svega, po definiciji, iracionalni brojevi su brojevi koji se ne mogu predstaviti kao razlomak, gdje su i cijeli brojevi (tj. iracionalni brojevi su svi realni brojevi osim racionalnih).

Proučavajući stupnjeve s prirodnim, cjelobrojnim i racionalnim eksponentima, svaki put smo stvorili određenu "sliku", "analogiju" ili opis u poznatijim terminima. Na primjer, stupanj s prirodnim eksponentom je broj pomnožen sam sa sobom nekoliko puta; broj na nultu potenciju je takoreći jedan broj pomnožen sam sa sobom, odnosno još ga nisu počeli množiti, što znači da se sam broj još nije ni pojavio - dakle rezultat je samo određeni „prazan broj“, odnosno broj; stupanj s cjelobrojnim negativnim eksponentom - kao da se dogodio neki "obrnuti proces", odnosno broj nije pomnožen sam sa sobom, već podijeljen.

Iznimno je teško zamisliti stupanj s iracionalnim eksponentom (kao što je teško zamisliti 4-dimenzionalni prostor). To je više čisto matematički objekt koji su matematičari stvorili da prošire koncept stupnja na cijeli prostor brojeva.

Inače, u znanosti se često koristi stupanj sa složenim eksponentom, odnosno eksponent čak nije ni realan broj. Ali u školi ne razmišljamo o takvim poteškoćama; imat ćete priliku shvatiti ove nove koncepte na institutu.

Dakle, što ćemo učiniti ako vidimo iracionalni eksponent? Dajemo sve od sebe da ga se riješimo! :)

Na primjer:

Odlučite sami:

1)

2)

3)

odgovori:

SAŽETAK ODSJEKA I OSNOVNE FORMULE

Stupanj zove se izraz oblika: , gdje je:

Stupanj s cjelobrojnim eksponentom

stupanj čiji je eksponent prirodni broj (tj. cijeli i pozitivan).

Potencija s racionalnim eksponentom

stupanj, čiji su eksponenti negativni i razlomački brojevi.

Stupanj s iracionalnim eksponentom

stupanj čiji je eksponent beskonačni decimalni razlomak ili korijen.

Svojstva stupnjeva

Značajke stupnjeva.

• Negativan broj podignut na čak stupanj, - broj pozitivan.
• Negativan broj podignut na neparan stupanj, - broj negativan.
• Pozitivan broj na bilo kojem stupnju je pozitivan broj.
• Nula je jednaka bilo kojoj potenciji.
• Svaki broj na nultu potenciju je jednak.

SADA IMATE RIJEČ...

Kako vam se sviđa članak? Napišite ispod u komentarima da li vam se svidjelo ili ne.

Recite nam nešto o svom iskustvu s korištenjem svojstava stupnja.

Možda imate pitanja. Ili prijedloge.

Pišite u komentarima.

I sretno na ispitima!

Pa tema je gotova. Ako čitate ove retke, znači da ste vrlo cool.

Jer samo 5% ljudi je u stanju svladati nešto samostalno. A ako pročitate do kraja, onda ste u ovih 5%!

Sada ono najvažnije.

Razumjeli ste teoriju o ovoj temi. I, ponavljam, ovo... ovo je jednostavno super! Već si bolji od velike većine svojih vršnjaka.

Problem je što to možda neće biti dovoljno...

Za što?

Za uspješno položen Jedinstveni državni ispit, za upis na proračun na fakultet i, ŠTO JE NAJVAŽNIJE, za život.

Neću te uvjeravati ni u što, samo ću jedno reći...

Ljudi koji su stekli dobro obrazovanje zarađuju puno više od onih koji ga nisu stekli. Ovo je statistika.

Ali to nije glavna stvar.

Glavno da su SRETNIJI (postoje takve studije). Možda zato što se pred njima otvara mnogo više prilika i život postaje svjetliji? ne znam...

Ali razmislite sami...

Što je potrebno da biste bili bolji od drugih na Jedinstvenom državnom ispitu i na kraju bili... sretniji?

USPORITE SE RJEŠAVANJEM ZADATAKA NA OVU TEMU.

Tijekom ispita nećete tražiti teoriju.

Trebat će vam rješavati probleme protiv vremena.

A, ako ih niste riješili (PUNO!), sigurno ćete negdje napraviti glupu pogrešku ili jednostavno nećete imati vremena.

To je kao u sportu - trebaš ponoviti mnogo puta da bi sigurno pobijedio.

Pronađite kolekciju gdje god želite, obavezno s rješenjima, detaljnom analizom i odluči, odluči, odluči!

Možete koristiti naše zadatke (neobavezno) i mi ih, naravno, preporučujemo.

Kako biste se bolje snašli u našim zadacima, morate pomoći produžiti vijek trajanja udžbenika YouClever koji upravo čitate.

Kako? Postoje dvije mogućnosti:

1. Otključajte sve skrivene zadatke u ovom članku -
2. Otključajte pristup svim skrivenim zadacima u svih 99 članaka udžbenika - Kupite udžbenik - 899 RUR

Da, imamo 99 takvih članaka u našem udžbeniku i odmah se otvara pristup svim zadacima i svim skrivenim tekstovima u njima.

Pristup svim skrivenim zadacima omogućen je CIJELI život stranice.

U zaključku...

Ako vam se ne sviđaju naši zadaci, pronađite druge. Samo nemojte stati na teoriji.

“Razumijem” i “Mogu riješiti” potpuno su različite vještine. Trebate oboje.

Pronađite probleme i riješite ih!

U ovom materijalu ćemo pogledati što je potencija broja. Uz osnovne definicije, formulirat ćemo što su potencije s prirodnim, cjelobrojnim, racionalnim i iracionalnim eksponentom. Kao i uvijek, svi koncepti bit će ilustrirani primjerima problema.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Prvo, formulirajmo osnovnu definiciju stupnja s prirodnim eksponentom. Da bismo to učinili, moramo zapamtiti osnovna pravila množenja. Unaprijed pojasnimo da ćemo za sada kao bazu uzeti realni broj (označen slovom a), a prirodni broj kao indikator (označen slovom n).

Definicija 1

Potencija broja a s prirodnim eksponentom n umnožak je n-tog broja faktora od kojih je svaki jednak broju a. Diploma se piše ovako: a n, au obliku formule njegov se sastav može prikazati na sljedeći način:

Na primjer, ako je eksponent 1, a baza a, tada se prva potencija a piše kao a 1. S obzirom da je a vrijednost faktora, a 1 broj faktora, možemo zaključiti da a 1 = a.

Općenito, možemo reći da je diploma prikladan oblik pisanja velikog broja jednakih faktora. Dakle, evidencija obrasca 8 8 8 8 može se skratiti na 8 4 . Na gotovo isti način, proizvod nam pomaže da izbjegnemo pisanje velikog broja pojmova (8 + 8 + 8 + 8 = 8 · 4); O tome smo već govorili u članku posvećenom množenju prirodnih brojeva.

Kako pravilno pročitati unos diplome? Općeprihvaćena opcija je "a na potenciju n". Ili možete reći "n-ta potencija a" ili "antova potencija". Ako smo recimo u primjeru naišli na unos 8 12 , možemo čitati "8 na 12. potenciju", "8 na 12. potenciju" ili "12. potenciju od 8".

Druga i treća potencija brojeva imaju svoja ustaljena imena: kvadrat i kocka. Ako vidimo drugu potenciju, na primjer, broj 7 (7 2), tada možemo reći "7 na kvadrat" ili "kvadrat broja 7". Slično, treći stupanj se čita ovako: 5 3 - ovo je "kocka broja 5" ili "5 kockica". No, možete koristiti i standardnu ​​formulaciju "na drugu/treću potenciju", to neće biti pogreška.

Primjer 1

Pogledajmo primjer stupnja s prirodnim eksponentom: for 5 7 pet će biti baza, a sedam će biti eksponent.

Baza ne mora biti cijeli broj: za stupanj (4 , 32) 9 baza će biti razlomak 4, 32, a eksponent će biti devet. Obratite pozornost na zagrade: ovaj zapis se koristi za sve potencije čije se baze razlikuju od prirodnih brojeva.

Na primjer: 1 2 3, (- 3) 12, - 2 3 5 2, 2, 4 35 5, 7 3.

Čemu služe zagrade? Oni pomažu u izbjegavanju pogrešaka u izračunima. Recimo da imamo dva unosa: (− 2) 3 I − 2 3 . Prvi od njih znači negativan broj minus dva podignut na potenciju s prirodnim eksponentom tri; drugi je broj koji odgovara suprotnoj vrijednosti stupnja 2 3 .

Ponekad u knjigama možete pronaći malo drugačiji način pisanja snage broja - a^n(gdje je a baza, a n eksponent). Odnosno, 4^9 je isto što i 4 9 . Ako je n višeznamenkasti broj, stavlja se u zagrade. Na primjer, 15 ^ (21) , (− 3 , 1) ^ (156) . Ali koristit ćemo notaciju a n kao češći.

Lako je pogoditi kako izračunati vrijednost eksponenta s prirodnim eksponentom iz njegove definicije: samo trebate pomnožiti n-ti broj puta. O tome smo više pisali u drugom članku.

Pojam stupnja obrnut je od drugog matematičkog pojma - korijena broja. Ako znamo vrijednost potencije i eksponenta, možemo izračunati njegovu bazu. Stupanj ima neka specifična svojstva koja su korisna za rješavanje problema, o čemu smo raspravljali u zasebnom materijalu.

Eksponenti mogu uključivati ​​ne samo prirodne brojeve, već i bilo koje cijele vrijednosti općenito, uključujući negativne i nule, jer oni također pripadaju skupu cijelih brojeva.

Definicija 2

Potencija broja s eksponentom pozitivnog cijelog broja može se prikazati formulom: .

U ovom slučaju, n je bilo koji pozitivni cijeli broj.

Razumimo koncept nultog stupnja. Da bismo to učinili, koristimo pristup koji uzima u obzir svojstvo kvocijenta za potencije s jednakim bazama. Formulirano je ovako:

Definicija 3

Jednakost a m: a n = a m − n bit će točna pod sljedećim uvjetima: m i n su prirodni brojevi, m< n , a ≠ 0 .

Zadnji uvjet je važan jer izbjegava dijeljenje s nulom. Ako su vrijednosti m i n jednake, tada dobivamo sljedeći rezultat: a n: a n = a n − n = a 0

Ali u isto vrijeme a n: a n = 1 je kvocijent jednakih brojeva a n i a. Ispada da je nulta potencija svakog broja koji nije nula jednaka jedinici.

Međutim, takav dokaz se ne odnosi na nulu na nultu potenciju. Da bismo to učinili, potrebno nam je još jedno svojstvo potencija - svojstvo produkata potencija s jednakim bazama. Ovako izgleda: a m · a n = a m + n .

Ako je n jednako 0, tada a m · a 0 = a m(ova jednakost nam također to dokazuje a 0 = 1). Ali ako je i također jednako nuli, naša jednakost poprima oblik 0 m · 0 0 = 0 m, To će biti točno za bilo koju prirodnu vrijednost n i nije važno kojoj je točno vrijednosti stupnja jednaka 0 0 , odnosno može biti jednak bilo kojem broju, a to neće utjecati na točnost jednakosti. Dakle, zapis oblika 0 0 nema svoje posebno značenje, te mu ga nećemo pripisivati.

Ako želite, to je lako provjeriti a 0 = 1 konvergira sa svojstvom stupnja (a m) n = a m n pod uvjetom da baza stupnja nije nula. Dakle, potencija bilo kojeg broja različitog od nule s eksponentom nula je jedan.

Primjer 2

Pogledajmo primjer s određenim brojevima: Dakle, 5 0 - jedinica, (33 , 3) 0 = 1 , - 4 5 9 0 = 1 , i vrijednost 0 0 nedefiniran.

Nakon nultog stupnja, samo moramo shvatiti što je negativni stupanj. Da bismo to učinili, potrebno nam je isto svojstvo umnoška potencija s jednakim bazama koje smo već upotrijebili gore: a m · a n = a m + n.

Uvedimo uvjet: m = − n, tada a ne bi trebao biti jednak nuli. Iz toga slijedi da a − n · a n = a − n + n = a 0 = 1. Ispada da je a n i a−n imamo međusobno recipročne brojeve.

Kao rezultat, a na negativnu cijelu potenciju nije ništa više od razlomka 1 a n.

Ova formulacija potvrđuje da za stupanj s cjelobrojnim negativnim eksponentom vrijede sva svojstva koja ima stupanj s prirodnim eksponentom (pod uvjetom da baza nije jednaka nuli).

Primjer 3

Potencija a s negativnim cijelim eksponentom n može se prikazati kao razlomak 1 a n . Dakle, a - n = 1 a n podliježe a ≠ 0 a n je bilo koji prirodni broj.

Ilustrirajmo našu ideju konkretnim primjerima:

Primjer 4

3 - 2 = 1 3 2 , (- 4 . 2) - 5 = 1 (- 4 . 2) 5 , 11 37 - 1 = 1 11 37 1

U zadnjem dijelu paragrafa pokušat ćemo jasno prikazati sve što je rečeno jednom formulom:

Definicija 4

Potencija broja s prirodnim eksponentom z je: a z = a z, e s l i z - cijelim brojem 1, z = 0 i a ≠ 0, (za z = 0 i a = 0 rezultat je 0 0, vrijednosti izraza 0 0 nisu definirane) 1 a z, ako je i z negativan cijeli broj i a ≠ 0 (ako je z negativan cijeli broj i a = 0 dobivate 0 z, egoz vrijednost nije određena)

Što su potencije s racionalnim eksponentom?

Ispitali smo slučajeve kada eksponent sadrži cijeli broj. Međutim, broj možete podići na potenciju čak i kada njegov eksponent sadrži razlomački broj. To se zove potencija s racionalnim eksponentom. U ovom odjeljku ćemo dokazati da ima ista svojstva kao i druge potencije.

Što su racionalni brojevi? Njihov skup uključuje i cijele i razlomljene brojeve, a razlomačke brojeve možemo prikazati kao obične razlomke (i pozitivne i negativne). Formulirajmo definiciju potencije broja a s frakcijskim eksponentom m / n, gdje je n prirodan broj, a m cijeli broj.

Imamo neki stupanj s razlomačkim eksponentom a m n . Da bi vrijedilo svojstvo snage za snagu, mora biti istinita jednakost a m n n = a m n · n = a m.

S obzirom na definiciju n-tog korijena i da je a m n n = a m, možemo prihvatiti uvjet a m n = a m n ako a m n ima smisla za dane vrijednosti m, n i a.

Gornja svojstva stupnja s cjelobrojnim eksponentom bit će točna pod uvjetom a m n = a m n .

Glavni zaključak iz našeg razmišljanja je sljedeći: potencija određenog broja a s razlomačkim eksponentom m / n je n-ti korijen broja a na potenciju m. To je točno ako, za date vrijednosti m, n i a, izraz a m n ostaje smislen.

1. Možemo ograničiti vrijednost baze stupnja: uzmimo a, koja će za pozitivne vrijednosti m biti veća ili jednaka 0, a za negativne vrijednosti - strogo manje (jer za m ≤ 0 dobivamo 0 m, ali takav stupanj nije definiran). U ovom slučaju, definicija stupnja s frakcijskim eksponentom izgledat će ovako:

Potencija s razlomačkim eksponentom m/n za neki pozitivan broj a je n-ti korijen od a podignut na potenciju m. To se može izraziti kao formula:

Za potenciju s nultom bazom ova je odredba također prikladna, ali samo ako je njen eksponent pozitivan broj.

Potencija s bazom nula i razlomačkim pozitivnim eksponentom m/n može se izraziti kao

0 m n = 0 m n = 0 pod uvjetom da je m pozitivan cijeli broj, a n prirodan broj.

Za negativan omjer m n< 0 степень не определяется, т.е. такая запись смысла не имеет.

Zabilježimo jednu stvar. Budući da smo uveli uvjet da je a veće ili jednako nuli, na kraju smo odbacili neke slučajeve.

Izraz a m n ponekad ipak ima smisla za neke negativne vrijednosti a i neke m. Dakle, točni unosi su (- 5) 2 3, (- 1, 2) 5 7, - 1 2 - 8 4, u kojima je baza negativna.

2. Drugi pristup je odvojeno razmatranje korijena a m n s parnim i neparnim eksponentima. Tada ćemo trebati uvesti još jedan uvjet: stupanj a, u čijem je eksponentu svodivi obični razlomak, smatramo stupnjem a, u čijem se eksponentu nalazi odgovarajući nesvodivi razlomak. Kasnije ćemo objasniti zašto nam je ovo stanje potrebno i zašto je toliko važno. Dakle, ako imamo zapis a m · k n · k , tada ga možemo svesti na a m n i pojednostaviti izračune.

Ako je n neparan broj i vrijednost m je pozitivna, a a je bilo koji nenegativan broj, tada a m n ima smisla. Uvjet da a ne bude negativan je nužan jer se iz negativnog broja ne može izvući korijen parnog stupnja. Ako je vrijednost m pozitivna, tada a može biti i negativna i nula, jer Neparni korijen može se uzeti iz bilo kojeg realnog broja.

Kombinirajmo sve gornje definicije u jedan unos:

Ovdje m/n znači nesvodivi razlomak, m je bilo koji cijeli broj, a n je bilo koji prirodni broj.

Definicija 5

Za bilo koji obični reducibilni razlomak m · k n · k stupanj se može zamijeniti s a m n .

Potencija broja a s nesvodivim razlomačkim eksponentom m / n – može se izraziti kao a m n u sljedećim slučajevima: - za bilo koji realni a, pozitivne cijele vrijednosti m i neparne prirodne vrijednosti n. Primjer: 2 5 3 = 2 5 3, (- 5, 1) 2 7 = (- 5, 1) - 2 7, 0 5 19 = 0 5 19.

Za bilo koji realni a koji nije nula, negativne vrijednosti cijelog broja od m i neparne vrijednosti od n, na primjer, 2 - 5 3 = 2 - 5 3, (- 5, 1) - 2 7 = (- 5, 1) - 2 7

Za svaki nenegativan a, pozitivan cijeli broj m pa čak i n, na primjer, 2 1 4 = 2 1 4, (5, 1) 3 2 = (5, 1) 3, 0 7 18 = 0 7 18.

Za bilo koji pozitivan a, negativan cijeli broj m pa čak i n, na primjer, 2 - 1 4 = 2 - 1 4, (5, 1) - 3 2 = (5, 1) - 3, .

U slučaju drugih vrijednosti, stupanj s razlomačkim eksponentom se ne određuje. Primjeri takvih stupnjeva: - 2 11 6, - 2 1 2 3 2, 0 - 2 5.

Objasnimo sada važnost gore navedenog uvjeta: zašto zamijeniti razlomak s reducibilnim eksponentom razlomkom s nesmanjivim eksponentom. Da to nismo učinili, imali bismo sljedeće situacije, recimo, 6/10 = 3/5. Tada bi trebalo biti točno (- 1) 6 10 = - 1 3 5 , ali - 1 6 10 = (- 1) 6 10 = 1 10 = 1 10 10 = 1 i (- 1) 3 5 = (- 1 ) 3 5 = - 1 5 = - 1 5 5 = - 1 .

Definicija stupnja s frakcijskim eksponentom, koju smo prvo predstavili, praktičnija je za korištenje u praksi od druge, pa ćemo je nastaviti koristiti.

Definicija 6

Dakle, potencija pozitivnog broja a s razlomačkim eksponentom m/n definirana je kao 0 m n = 0 m n = 0. U slučaju negativnog a zapis a m n nema smisla. Potencija nule za pozitivne razlomačke eksponente m/n je definiran kao 0 m n = 0 m n = 0 , za negativne razlomačke eksponente ne definiramo stupanj nule.

U zaključku napominjemo da bilo koji frakcijski pokazatelj možete napisati i kao mješoviti broj i kao decimalni razlomak: 5 1, 7, 3 2 5 - 2 3 7.

Pri računanju je bolje eksponent zamijeniti običnim razlomkom, a zatim definiciju eksponenta koristiti frakcijskim eksponentom. Za gore navedene primjere dobivamo:

5 1 , 7 = 5 17 10 = 5 7 10 3 2 5 - 2 3 7 = 3 2 5 - 17 7 = 3 2 5 - 17 7

Što su potencije s iracionalnim i realnim eksponentom?

Što su realni brojevi? Njihov skup uključuje i racionalne i iracionalne brojeve. Stoga, da bismo razumjeli što je stupanj s realnim eksponentom, moramo definirati stupnjeve s racionalnim i iracionalnim eksponentom. Racionalne smo već spomenuli gore. Pozabavimo se iracionalnim pokazateljima korak po korak.

Primjer 5

Pretpostavimo da imamo iracionalan broj a i niz njegovih decimalnih aproksimacija a 0 , a 1 , a 2 , . . . . Na primjer, uzmimo vrijednost a = 1,67175331. . . , Zatim

a 0 = 1, 6, a 1 = 1, 67, a 2 = 1, 671, . . . , a 0 = 1,67, a 1 = 1,6717, a 2 = 1,671753, . . .

Nizove aproksimacija možemo povezati s nizom stupnjeva a a 0 , a a 1 , a a 2 , . . . . Ako se sjetimo što smo ranije rekli o podizanju brojeva na racionalne potencije, tada možemo sami izračunati vrijednosti tih potencija.

Uzmimo za primjer a = 3, tada je a a 0 = 3 1, 67, a a 1 = 3 1, 6717, a a 2 = 3 1, 671753, . . . itd.

Niz potencija može se svesti na broj koji će biti vrijednost potencije s bazom a i iracionalnim eksponentom a. Kao rezultat: stupanj s iracionalnim eksponentom oblika 3 1, 67175331. . može se svesti na broj 6, 27.

Definicija 7

Potencija pozitivnog broja a s iracionalnim eksponentom a piše se kao a . Njegova vrijednost je granica niza a a 0 , a a 1 , a a 2 , . . . , gdje je a 0 , a 1 , a 2 , . . . su uzastopne decimalne aproksimacije iracionalnog broja a. Stupanj s nultom bazom također se može definirati za pozitivne iracionalne eksponente, s 0 a = 0 Dakle, 0 6 = 0, 0 21 3 3 = 0. Ali to se ne može učiniti za negativne, jer, na primjer, vrijednost 0 - 5, 0 - 2 π nije definirana. Jedinica podignuta na bilo koju iracionalnu potenciju ostaje jedinica, na primjer, a 1 2, 1 5 u 2 i 1 - 5 bit će jednako 1.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Nastavljajući razgovor o snazi ​​broja, logično je shvatiti kako pronaći vrijednost snage. Ovaj proces se zove potenciranje. U ovom ćemo članku proučiti kako se izvodi potenciranje, dok ćemo se dotaknuti svih mogućih eksponenata - prirodnih, cjelobrojnih, racionalnih i iracionalnih. I prema tradiciji, detaljno ćemo razmotriti rješenja primjera podizanja brojeva na različite ovlasti.

Navigacija po stranici.

Što znači "potenciranje"?

Počnimo s objašnjenjem onoga što se naziva stepenovanje. Evo relevantne definicije.

Definicija.

Potenciranje- ovo je pronalaženje vrijednosti potencije broja.

Dakle, pronalaženje vrijednosti potencije broja a s eksponentom r i dizanje broja a na potenciju r ista je stvar. Na primjer, ako je zadatak "izračunaj vrijednost potencije (0,5) 5", tada se može preformulirati na sljedeći način: "Podignite broj 0,5 na potenciju 5."

Sada možete ići izravno na pravila prema kojima se izvodi potenciranje.

Dizanje broja na prirodni potenc

U praksi se jednakost temeljena na obično primjenjuje u obliku . Odnosno, kada se broj a diže na razlomačku potenciju m/n, prvo se uzima n-ti korijen broja a, nakon čega se dobiveni rezultat diže na cjelobrojnu potenciju m.

Pogledajmo rješenja primjera dizanja na razlomak.

Primjer.

Izračunajte vrijednost stupnja.

Riješenje.

Pokazat ćemo dva rješenja.

Prvi način. Po definiciji stupnja s razlomačkim eksponentom. Izračunavamo vrijednost stupnja ispod znaka korijena, a zatim izvlačimo kubni korijen: .

Drugi način. Po definiciji stupnja s razlomačkim eksponentom i na temelju svojstava korijena vrijede sljedeće jednakosti: . Sada vadimo korijen , konačno, dižemo ga na cjelobrojnu potenciju .

Očito se podudaraju dobiveni rezultati dizanja na razlomak.

Odgovor:

Imajte na umu da se razlomački eksponent može napisati kao decimalni razlomak ili mješoviti broj, u tim slučajevima treba ga zamijeniti odgovarajućim običnim razlomkom, a zatim podići na potenciju.

Primjer.

Izračunajte (44,89) 2.5.

Riješenje.

Napišimo eksponent u obliku običnog razlomka (ako je potrebno, pogledajte članak): . Sada izvodimo podizanje na razlomak:

Odgovor:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

Također treba reći da je podizanje brojeva na racionalne ovlasti prilično radno intenzivan proces (pogotovo kada brojnik i nazivnik frakcijskog eksponenta sadrže dovoljno velike brojeve), koji se obično provodi pomoću računalne tehnologije.

Da zaključimo ovu točku, zadržimo se na dizanju broja nula na razlomak. Razlomku nulte potencije oblika dali smo sljedeće značenje: kada imamo , a na nuli do m/n snaga nije definirana. Dakle, pozitivna snaga od nule do razlomka je nula, na primjer, . A nula u razlomačkoj negativnoj potenciji nema smisla, na primjer, izrazi 0 -4,3 nemaju smisla.

Uzdizanje na iracionalnu snagu

Ponekad je potrebno saznati vrijednost potencije broja s iracionalnim eksponentom. U ovom slučaju, za praktične svrhe obično je dovoljno dobiti vrijednost stupnja točnu na određeni predznak. Odmah napomenimo da se u praksi ova vrijednost izračunava pomoću elektroničkih računala, jer ručno podizanje na iracionalnu snagu zahtijeva veliki broj glomaznih izračuna. Ali ipak ćemo općenito opisati bit radnji.

Da bi se dobila približna vrijednost potencije broja a s iracionalnim eksponentom, uzima se neka decimalna aproksimacija eksponenta i izračunava vrijednost potencije. Ova vrijednost je približna vrijednost potencije broja a s iracionalnim eksponentom. Što je točnija decimalna aproksimacija broja uzeta na početku, točnija će se vrijednost stupnja dobiti na kraju.

Kao primjer, izračunajmo približnu vrijednost potencije 2 1,174367... . Uzmimo sljedeću decimalnu aproksimaciju iracionalnog eksponenta: . Sada dižemo 2 na racionalnu potenciju 1,17 (opisali smo bit ovog procesa u prethodnom odlomku), dobivamo 2 1,17 ≈2,250116. Tako, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . Ako, na primjer, uzmemo točniju decimalnu aproksimaciju iracionalnog eksponenta, tada ćemo dobiti točniju vrijednost izvornog eksponenta: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

Bibliografija.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Udžbenik matematike za 5. razred. obrazovne ustanove.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: udžbenik za 7. razred. obrazovne ustanove.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: udžbenik za 8. razred. obrazovne ustanove.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: udžbenik za 9. razred. obrazovne ustanove.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. i dr. Algebra i počeci analize: Udžbenik za 10. - 11. razrede općeobrazovnih ustanova.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (priručnik za polaznike tehničkih škola).

Potencija se koristi za pojednostavljenje operacije množenja broja samim sobom. Na primjer, umjesto pisanja, možete pisati 4 5 (\displaystyle 4^(5))(objašnjenje za ovaj prijelaz dano je u prvom odjeljku ovog članka). Stupnjevi olakšavaju pisanje dugih ili složenih izraza ili jednadžbi; potencije se također lako dodaju i oduzimaju, što rezultira pojednostavljenim izrazom ili jednadžbom (na primjer, 4 2 ∗ 4 3 = 4 5 (\displaystyle 4^(2)*4^(3)=4^(5))).

Bilješka: ako trebate riješiti eksponencijalnu jednadžbu (u takvoj jednadžbi nepoznanica je u eksponentu), pročitajte.

Koraci

Rješavanje jednostavnih zadataka sa stupnjevima

Pomnožite bazu eksponenta samu s brojem puta jednakim eksponentu. Ako trebate ručno riješiti problem potencije, prepišite potenciju kao operaciju množenja, gdje se baza potencije množi sama sa sobom. Na primjer, s obzirom na diplomu 3 4 (\displaystyle 3^(4)). U ovom slučaju, baza snage 3 mora se pomnožiti sama sa sobom 4 puta: 3 ∗ 3 ∗ 3 ∗ 3 (\displaystyle 3*3*3*3). Evo drugih primjera:

Prvo pomnožite prva dva broja. Na primjer, 4 5 (\displaystyle 4^(5)) = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4*4*4*4*4). Ne brinite - postupak izračuna nije tako kompliciran kao što se čini na prvi pogled. Prvo pomnožite prve dvije četvorke, a zatim ih zamijenite rezultatom. Kao ovo:

Pomnožite rezultat (16 u našem primjeru) sa sljedećim brojem. Svaki sljedeći rezultat proporcionalno će se povećavati. U našem primjeru pomnožite 16 s 4. Ovako:

Riješite sljedeće probleme. Provjerite svoj odgovor pomoću kalkulatora.

Na svom kalkulatoru potražite ključ s oznakom "exp" ili " x n (\displaystyle x^(n)) ", ili "^". Pomoću ove tipke broj ćete podići na potenciju. Gotovo je nemoguće ručno izračunati stupanj s velikim indikatorom (na primjer, stupanj 9 15 (\displaystyle 9^(15))), ali kalkulator se lako može nositi s ovim zadatkom. U sustavu Windows 7 standardni kalkulator može se prebaciti u inženjerski način rada; Da biste to učinili, kliknite "Prikaz" -> "Inženjering". Za prebacivanje u normalni način rada kliknite “View” -> “Normal”.

• Provjerite odgovor koji ste dobili putem tražilice (Google ili Yandex). Pomoću tipke "^" na tipkovnici računala unesite izraz u tražilicu, koja će odmah prikazati točan odgovor (i eventualno predložiti slične izraze za proučavanje).

Zbrajanje, oduzimanje, množenje potencija

1. Stupnjeve možete zbrajati i oduzimati samo ako imaju iste baze. Ako trebate zbrajati potencije s istim bazama i eksponentima, tada operaciju zbrajanja možete zamijeniti operacijom množenja. Na primjer, s obzirom na izraz 4 5 + 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)). Upamtite da stupanj 4 5 (\displaystyle 4^(5)) može se prikazati u obliku 1 ∗ 4 5 (\displaystyle 1*4^(5)); Tako, 4 5 + 4 5 = 1 ∗ 4 5 + 1 ∗ 4 5 = 2 ∗ 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)=1*4^(5)+1*4^(5) =2*4^(5))(gdje je 1 +1 =2). Odnosno, izbrojite broj sličnih stupnjeva, a zatim pomnožite taj stupanj i ovaj broj. U našem primjeru, podignite 4 na petu potenciju, a zatim pomnožite dobiveni rezultat s 2. Zapamtite da se operacija zbrajanja može zamijeniti operacijom množenja, na primjer, 3 + 3 = 2 ∗ 3 (\displaystyle 3+3=2*3). Evo drugih primjera:

   Pri množenju potencija s istom bazom njihovi se eksponenti zbrajaju (baza se ne mijenja). Na primjer, s obzirom na izraz x 2 ∗ x 5 (\displaystyle x^(2)*x^(5)). U ovom slučaju samo trebate dodati indikatore, ostavljajući bazu nepromijenjenom. Tako, x 2 ∗ x 5 = x 7 (\displaystyle x^(2)*x^(5)=x^(7)). Evo vizualnog objašnjenja ovog pravila:

   Kod dizanja potencije na potenciju eksponenti se množe. Na primjer, s obzirom na diplomu (x 2) 5 (\displaystyle (x^(2))^(5)). Budući da se eksponenti množe, dakle (x 2) 5 = x 2 ∗ 5 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2*5)=x^(10)). Poanta ovog pravila je da množite potencijama (x 2) (\displaystyle (x^(2))) na sebi pet puta. Kao ovo:

   Potenciju s negativnim eksponentom treba pretvoriti u razlomak (obrnuta potencija). Nema veze ako ne znate što je recipročna diploma. Ako ste dobili diplomu s negativnim eksponentom, npr. 3 − 2 (\displaystyle 3^(-2)), zapišite ovaj stupanj u nazivnik razlomka (stavite 1 u brojnik), a eksponent neka bude pozitivan. U našem primjeru: 1 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(3^(2)))). Evo drugih primjera:

   Pri dijeljenju stupnjeva s istom bazom oduzimaju se njihovi eksponenti (baza se ne mijenja). Operacija dijeljenja je suprotna operaciji množenja. Na primjer, s obzirom na izraz 4 4 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))). Eksponent u nazivniku oduzmite od eksponenta u brojniku (ne mijenjajte bazu). Tako, 4 4 4 2 = 4 4 − 2 = 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))=4^(4-2)=4^(2)) = 16 .

   Ispod su neki izrazi koji će vam pomoći da naučite rješavati probleme s eksponentima. Navedeni izrazi pokrivaju materijal prikazan u ovom odjeljku. Da biste vidjeli odgovor, jednostavno označite prazan prostor iza znaka jednakosti.

Rješavanje zadataka s razlomačkim eksponentima

Stupanj s razlomkom (npr. x 1 2 (\displaystyle x^(\frac (1)(2))) ) pretvara se u operaciju vađenja korijena. U našem primjeru: x 1 2 (\displaystyle x^(\frac (1)(2))) = x (\displaystyle (\sqrt (x))). Ovdje nije važno koji je broj u nazivniku eksponenta razlomka. Na primjer, x 1 4 (\displaystyle x^(\frac (1)(4)))- je četvrti korijen od “x”, tj x 4 (\displaystyle (\sqrt[(4)](x))) .