Ovaj je problem varijacija klasičnog Microsoftovog pitanja na intervjuu gdje se kandidatima postavljalo pitanje koliko puta dnevno kazaljke sata i minute susreću jedna drugu. Budući da je ovo pitanje sada postalo široko poznato, anketari su počeli koristiti njegovu varijaciju.

Razmotrimo najprije varijantu najočekivanijeg rješenja, onu matematičku. Prvo, zamislite situaciju u kojoj se kazaljke sata i minute preklapaju. Svi znaju da se to događa u ponoć, zatim oko 1:05, 2:10, 3:15, i tako dalje. Drugim riječima, preklapaju se svakih sat vremena, osim između 11:00 i 12:00 sati. U 11:00, brža kazaljka za minute je na 12, a sporija kazaljka na satu je na 11:00. Neće se susresti do 12 sati, pa stoga neće biti preklapanja među njima oko 11 sati.

Stoga se u svakom razdoblju od 12 sati događa 11 preklapanja. One su ravnomjerno raspoređene u vremenu jer se obje ruke kreću konstantnom brzinom. To znači da su razmaci između slojeva 12/11 sati. To je ekvivalentno 1 satu 5 minuta 27 i 3/11 sekundi. Stoga se za svaki 12-satni ciklus preklapanja pojavljuju tijekom razdoblja navedenih na slici.

Vratimo se drugoj ruci. Njegovo preklapanje s minutom moguće je kada se broj minuta poklapa s brojem sekundi. Točno preklapanje događa se u 00:00:00. Općenito, kazaljka za minute i sekunde preklapaju se samo djelić sekunde. Na primjer, u 12:37:37 kazaljka za sekunde pokazat će 37, zaostajući za kazaljkom za minute, koja će u ovom trenutku biti između 37 i 38 i zaostat će za kazaljkom za sat. U trenutku će se poklopiti minuta i sekunda, ali sat im neće biti blizu. Oni. Sve tri strelice se neće preklapati.

Kazaljka za sekunde se neće preklapati ni u jednoj od opcija na slici, osim ponoći i podneva. To znači da je konačni odgovor na pitanje: dva puta dnevno.

I evo odgovora koji je pozdravio Google. Kazaljka za sekunde dizajnirana je za prikazivanje kratkih vremenskih intervala, a ne za priopćavanje vremena do najbliže sekunde. Ako nije sinkroniziran s druge dvije ruke, to je sasvim normalno. Pod "sinkronizacijom" ovdje mislimo na to da u ponoć i podne sve tri kazaljke pokazuju točno na 12. Većina analognih satova svih vrsta ne dopušta precizno podešavanje sekundne kazaljke. Trebalo bi izvaditi bateriju ili, u slučaju mehaničkog sata, pričekati da se opruga završi s navijanjem, a zatim, kada se sekundna kazaljka zaustavi, međusobno sinkronizirati minute i sate, zatim pričekati da se pokaže vrijeme na satu je stigao da vrati bateriju ili navije sat.

Za sve ovo morate biti manijak ili obožavatelj točnosti. No, ako sve to ne učinite, sekundarna kazaljka neće pokazivati ​​"pravo" vrijeme. Razlikovat će se od točnih sekundi za određeni iznos u nasumičnim intervalima do 60 sekundi. S obzirom na slučajna odstupanja, nema šanse da se sve tri strijele ikada sretnu. Ovo se nikada ne događa.

Vrijeme se ne može vidjeti niti osjetiti. Ali ako znate neke trikove i praktične tehnike, lako možete naučiti svoje dijete da razumije vrijeme i određuje ga prema satu. Teorija i praktični zadaci, igre i vježbe za početak - pročitajte i isprobajte.

Događa se da već u pristojnoj dobi ljudi priznaju da koriste samo elektroničke satove. I svi imaju isti razlog - ili im roditelji u djetinjstvu nisu objasnili kako se koristi sat sa kazaljkama, ili su im to pogrešno objasnili. Da se to ne dogodi, važno je ne ostaviti problem bez pažnje. Gdje početi učiti dijete da razumije vrijeme po satu?

Što dijete treba znati da bi odredilo vrijeme pomoću sata?

Prije nego počnete učiti, provjerite da vaše dijete razumije osnove. Zna li brojati? Je li orijentiran na ključne pojmove vezane uz vrijeme? Često se roditelji susreću s poteškoćama u učenju i tvrdoglavo ne uočavaju korijen problema (dijete brka “lijevo” i “desno”, ne broji dovoljno dobro itd.) Stoga će biti korisno proći kroz osnovne vještine i pobrinite se da nema praznina koje bi mogle spriječiti dijete da krene naprijed, ne.

Broji do 60

Najmanje. Ili još bolje do 100. Vježbe brojanja jačamo vježbama:

• - imenujemo duple brojeve koje vidimo (to mogu biti cjenici u trgovini, kućni brojevi itd.);
• - trenirati brojanje unatrag (od 100 do 1);
• - naučiti imenovati "susjede" okruglih brojeva (50 je susjed 49 i 51, 90 je susjed 89 i 91 itd.).

Brojite s brojevima koji su višekratnici broja 5

Sigurno ste svom djetetu već objasnili da takvi brojevi uvijek završavaju s 5 ili 0. Preostaje samo naučiti ih nabrajati i koristiti bez oklijevanja.

• - brojimo brojeve koji su višekratnici broja 5, u izravnom i obrnutom redoslijedu;
• - simuliramo zadatke u kojima treba brojati do pet (Vlad je odlučio raditi sklekove pet puta svaki dan. Koliko će puta raditi sklekove u tjednu, dva tjedna, mjesecu? Kako će se ove brojke promijeniti ako od drugi mjesec Vlad ne radi 5, nego 10 sklekova dnevno?)

Isprobajte online tečajeve na LogicLikeu

• Završite prva 3 poglavlja tečaja i ostvarite pristup različitim kategorijama. Obavezno riješite “Pametno brojanje” i “Logički problemi”.
• Isprobajte zadatke različitih razina težine: "Početnik", "Iskusan", "Stručnjak".

Razlikujte "lijevo" i "desno"

Općenito za učenje i kako ne bi došlo do brkanja pojmova "u smjeru kazaljke na satu" i "u suprotnom smjeru".

Imati opće razumijevanje vremena

Objašnjavamo djetetu pojmove "jučer", "danas", "sutra"; "prošlost sadašnjost budućnost"; “jutro”, “dan”, “večer”, “noć”, “dan”. Često sama djeca povezuju vrijeme s određenim događajem: “ujutro sam radio vježbe”, “za ručak sam jeo juhu”, “prije spavanja sam oprao zube” itd. Stoga je najbolje da roditelj prilikom objašnjavanja navedenih pojmova uz njih veže određene događaje.

Pažljivo ispravite dijete ako negdje pogriješi. Važno je da ne razvije krivo shvaćanje vremena.

Jeste li uspješno završili pripremnu fazu? Sada možemo naučiti dijete da razumije vrijeme pomoću sata sa strelicama.

Učimo dijete da razumije vrijeme pomoću sata sa strelicama

Oh, ti odrasli! I zašto vam dopuštaju samo 15-20 minuta gledanja crtića? Djeci je vrijeme neshvatljiva brojka. Da biste shvatili odakle dolazi, trebat će vam sat sa kazaljkama. Ako kod kuće nema takvih stvari, nego samo elektroničkih, djetetu će biti potpuno teško shvatiti koliko je sati. Stoga je prvi korak roditelja nabavka zidnog ili posebnog dječjeg sata na kojem će brojevi i strelice biti jasno vidljivi.

Upoznavanje djeteta sa strukturom sata

Prvo, objasnite svom djetetu pojmove "brojčanik", "dan", "sati", "minute", "sekunde"; “točno jedan sat”, “pola sata”, “četvrt sata”, recite nam o satu, minuti, sekundnim kazaljkama. Imajte na umu da sve strelice imaju različite duljine. Neka dijete promatra koja je od strelica najbrža, a koja praktički stoji. I koliko vremena treba svakom da završi cijeli krug?

Svakako povežite sve osnovne pojmove u jedan logički lanac: dan ima 24 sata, 1 sat je 60 minuta, a 1 minuta je 60 sekundi. Nemojte zanemariti pojmove "u smjeru kazaljke na satu" i "u suprotnom smjeru". Neka vaše dijete shvati da vrijeme uvijek teče naprijed.

Učimo dijete da istovremeno "čita" kazaljke za sat i minut

Prije svega, naučite svoje dijete brojati minute u intervalima djeljivim s 5. Minute nisu označene na običnom satu, pa ovu vještinu treba vježbati. Možete smisliti legendu da svaki broj na brojčaniku ima svoju "sjenu". 1 je 5 minuta, 2 je 10 minuta, 3 je 15 minuta itd. "Sjena" se može vidjeti samo kada kazaljka za minute pokazuje broj. Kada vaše dijete bude lako snalazilo petominutne intervale, recite mu o manjim intervalima.

Satna kazaljka također ima dva značenja. U prvoj polovici dana vidimo brojeve kako se pojavljuju na brojčaniku, ali nakon obilnog popodnevnog snacka u 12:00 počinju se "debljati": 1 se pretvara u 12, 2 u 14 itd. Smiješna analogija pomoći će vašem djetetu da brže shvati značenje.

Sposobnost određivanja vremena pomoću sata s kazaljkama potrebno je pojačati konkretnim primjerima. Češće skrenite djetetovu pozornost na sat. Ispravite ga ako netočno kaže vrijeme.

Najbolji dar za dijete koje uči odrediti vrijeme po satu je ručni sat. S njima će postati spremniji odgovoriti na pitanje "Koliko je sati?" i svakako će vas pitati o tome kako bi provjerio sa svojim "šetačima".

U idealnom slučaju, dijete bi trebalo imati "nacrtni" sat koji može "iskorištavati" kako hoće: namjestiti vrijeme na njemu, dodati "sjene" svakom od brojeva, potpisati nazive kazaljki. Za trening možete koristiti stari neradni sat (zidni ili stolni). Morate ukloniti staklo u njima kako bi se kazaljke mogle okretati. Ako kod kuće niste pronašli ovakav, predlažemo da napravite svoj.

Izrada kućnih satova

Domaći sat pomoći će da vrijeme bude opipljivije. Ako imate potrebne materijale, njihova izrada neće trajati više od 15 minuta.

Kako sami napraviti sat

Osnova za brojčanik može biti jednokratna ploča ili krug od kartona. Crtamo krug na pola, pa opet na pola i nanosimo prve brojeve. Zatim svaku četvrtinu pažljivo podijelite na tri dijela i dodajte preostale brojeve. Brojčanik je spreman, što znači da je vrijeme za pričvršćivanje kazaljki. Izrežemo ih iz kartona različitih boja i pomoću gumba pričvrstimo na krug. Dobiveni model sata postavimo uz pravi sat.

Prilikom izrade vlastitog sata, bit će korisno proći kroz koncepte koje ste već naučili. Nacrtali smo krug na četiri dijela - sjetili smo se "četvrt sata", pričvrstili kazaljku na sat - sjetili smo se njegove funkcije itd.

Ručni satovi mogu izgledati neobično. Na primjer, ovako:

Igre i zadaci sa satom

Igre i zadaci pomoći će vam da ojačate svoju sposobnost određivanja vremena pomoću sata.

"Koliko je sati"

Pokažite svom djetetu kako se pomiču strelice. Promijenite njihov položaj i pozovite vrijeme. Zatim neka dijete napravi istu vježbu. Promijenite vrijeme u smjeru kazaljke na satu i suprotno od njega.

Zakomplicirajmo igru. Pokazujemo vrijeme na satu i povezujemo ga s događajima ("7:00 je", u ovo vrijeme se budimo", "18:00 je", u ovo vrijeme večeramo" itd.). Sada pozivamo dijete da se pretvara da živi cijeli dan.

“Crtanje pizze”

Dobra stvar kod ručnog brojčanika je to što na njemu možete napraviti vlastite bilješke. Zamolite svoje dijete da povuče crte od središta brojčanika do brojeva i osjenča svaki sektor drugom bojom. Dobit ćete “pitu u boji” ili “pizzu u boji” (tako ćete lakše razumjeti intervale od 5 minuta). Označite druge vrijednosti svakog od brojeva (2 - 10, 3 - 15) i minute (od 1 do 60).

"Dnevni režim"

Uzmite komad papira, zapišite dnevnu rutinu i zajedno s djetetom ilustrirajte je slikama sata koji pokazuje vremenski period (8:00 - vrijeme za školu, 15:00 - vrijeme za domaću zadaću itd.) .). Objesite ga iznad dječjeg kreveta ili radnog stola. Tako će dijete naučiti ne samo učiniti sve na vrijeme, već i navigirati u vremenu.

Obratite pozornost vašeg djeteta na to koliko vremena provodi na ovoj ili onoj radnji. Na taj način ga možete naučiti da bude točan od malih nogu.

“Dvije opcije za određivanje vremena”

Recite svom djetetu da se vrijeme može nazivati ​​na različite načine (na primjer, 1 sat i 18 minuta je dva i osamnaest minuta, itd.). Drugu, složeniju opciju zapišite na papir i naznačite brojeve savjeta kako bi se dijete lakše snašlo (primjer: „pet minuta do osam“, brojevi savjeta su 9, 5, 5, 1) . Postupno uklonite upite.

"kocke"

Za igru ​​će vam trebati 4 kockice i naš kućni sat. Kocku bacamo u paru. Prvi par kocki će odrediti sate, drugi par - minute. Vrijeme koje je palo mora se namjestiti na satu igračke.

Na platformi LogicLike postoje i interaktivne igre sa satovima. Imamo više od 3500 uzbudljivih zadataka za djecu predškolske i osnovnoškolske dobi koji pomažu u razvoju logike, razmišljanja i pamćenja.

Upoznavanje djeteta s elektroničkim, sunčanim i pješčanim satom

Kada vaše dijete nauči odrediti vrijeme pomoću sata s kazaljkama, vrijeme je da ga upoznate s drugim satovima. Imate prostora za naprijed! Upoznavanje elektroničkih, sunčanih i pješčanih satova pomoći će vašem djetetu da produbi razumijevanje vremena. Štoviše, neće biti ništa manje zanimljivo baviti se njima.

Digitalni sat su konvencionalniji od sata s kazaljkama; ne mogu se koristiti za vizualno praćenje protoka vremena. Ali ako dijete razumije kako se broje sati i minute, onda ne bi trebalo biti problema. Nabavite elektronički sat i uputite dijete da i na njemu prati vrijeme. Isti TV program uvijek pokazuje vrijeme u elektroničkom formatu, pa prvo što možete učiniti je zapamtiti u koliko sati počinju crtići i dječji programi.

Sunčani sat Izgledaju više kao sat s kazaljkama, pa će ih biti lakše razumjeti. Ostaje samo pričekati sunčan dan, nacrtati krug u pijesku, staviti drveni štapić u sredinu, provjeriti vrijeme mehaničkim satom i završiti crtanje brojčanika. I možete fascinirano gledati kako sjena štapića postupno gmiže u smjeru kazaljke na satu.

Pješčani sat Također će biti najprikladnije usporediti sa strelicama. Mjere vrlo kratke vremenske periode. Pozovite svoje dijete da istovremeno gleda sekundnu kazaljku na mehaničkom satu i prolazak vremena u pješčanom satu. Usput, s njima je mnogo zabavnije obavljati zadatke neko vrijeme: pospremiti krevet, staviti sve igračke u kutiju itd., dok pijesak ne prestane padati.

Naučiti dijete da razumije vrijeme nije tako teško kao što se čini. Rješavanjem ovog problema u djetinjstvu pomoći ćete svom djetetu da postane točna osoba, kojoj osjećaj za vrijeme neće biti slaba točka.

U dobi od 5-7 godina većina djece ima vrhunac kognitivne aktivnosti. A ovo je umnogome najbolje vrijeme za zajednički razvoj na zanimljiv i raznovrstan način. Sve dok dijete nije uvučeno u školsku svakodnevicu.

U pomoć roditeljima - zabavni logički zadaci, vježbe za razvoj mišljenja, pažnje, pamćenja i govora.

Pokušajte odlučiti sami!
Ako nešto ne ide, ne očajavajte, odgovor i rješenje se nalaze u nastavku.

1. Koliko puta dnevno očitanja sata imaju svojstvo da zamjenom minutne i satne kazaljke dolazimo do smislenog očitanja sata?

2. Koliko puta na dan kazaljke sata i minute tvore pravi kut?

3. Koliko minuta kasnije će se (normalne) kazaljke sata ponovno preklapati nakon poravnanja?

4. Koliko je puta broj koji pokazuje koliko je puta brzina sekundne kazaljke veća od brzine kazaljke za minute, veći od broja koji pokazuje koliko je puta brzina kazaljke za minute veća od brzine kazaljke za sat?

5. Koliko će puta kazaljke na satu biti jedna na drugoj u 12 sati?

6. Neki su radovi započeti u petom satu, a završeni u osmom satu, a očitanja sata na početku i na kraju rada pretvaraju se jedno u drugo ako se kazaljka za sat i minut zamijeni. Odredite trajanje rada i pokažite da su strelice na početku i na kraju rada bile jednako otklonjene od okomitog smjera.

7. Koliko puta dnevno kazaljka za minute prestigne kazaljku za sat? Što kažete na sekundu?

8. Sat je otkucao ponoć. Koliko će se puta i u kojim trenucima prije sljedeće ponoći poravnati kazaljke sata i minute?

9. Između kojih se brojeva nalazi sekundna kazaljka kada se poslijepodne kazaljka za sat prvi put poravna s kazaljkom za minute?

10. Zašto se kazaljke na satu pomiču s lijeva na desno (u smjeru kazaljke na satu), a ne obrnuto?

11. Na satu s tri kazaljke - satom, minutom i sekundom - na 12 sati poklapaju se sve tri kazaljke. Postoje li druga vremena kada se sve tri strelice poklapaju?

12. Problem predložen Lewis Carroll : Koji satovi točnije pokazuju vrijeme: oni koji kasne minutu dnevno ili oni koji uopće ne idu?

13. Za koliko se stupnjeva okrene kazaljka za minute u minuti? Satna kazaljka?

14. Odredite kut između satne i minutne kazaljke na satu koji pokazuje 1 sat i 10 minuta, pod uvjetom da se obje kazaljke kreću konstantnom brzinom.

15.

16. No vjerojatno ste primijetili da ovo nije jedini trenutak kada se kazaljke na satu susreću: one se sustižu nekoliko puta tijekom dana. Možete li navesti kada se to sve događa?

17. Kada će se održati sljedeći sastanak?

18. U 6 sati, naprotiv, obje su ruke usmjerene u suprotnim smjerovima. Ali događa li se to samo u 6 sati ili postoje i drugi trenuci kada su kazaljke ovako postavljene?

19. Pogledao sam na sat i primijetio da su obje kazaljke na istoj udaljenosti od broja 6, s obje njegove strane. Koje je ovo vrijeme bilo?

20. U koliko je sati kazaljka za minute ispred kazaljke na satu za točno onoliko koliko je kazaljka na satu ispred broja 12 na brojčaniku? Ili možda ima više takvih trenutaka dnevno ili niti jedan?

21. Koliki kut zaklapa kazaljka sata u 12:20 sati?

22. Odredite kut između satne i minutne kazaljke a) u 9 sati 15 minuta; b) u 14:12?

23. Kada je kut između satne i minutne kazaljke na satu veći od a) u 13:45 ili 22:15; b) u 13:43 ili 22:17; c) t minuta iza podneva ili t minuta prije ponoći?

24. Kazaljke na satu su se upravo poravnale. Nakon koliko minuta će "pogledati" u suprotnim smjerovima?

25. Kako možemo objasniti da je u radnom satu kazaljka za minute prešla 6 minuta u jednoj sekundi?

26. Preciznim kronometrom utvrđeno je da se satna i minutna kazaljka sata koji ide ravnomjerno (ali krivom brzinom!) poklapaju svakih 66 minuta. Koliko minuta na sat je ovaj sat brz ili spor?

27. U Italiji se proizvode satovi u kojima kazaljka sata napravi jedan okretaj dnevno, a kazaljka minuta - 24 okretaja, i, kao i obično, kazaljka minuta je duža od kazaljke sata (u običnom satu kazaljka sata napravi dva okretaja po danu, a kazaljka za minute - 24). Razmotrimo sve položaje dviju kazaljki i nulte podjele, koji se nalaze i na talijanskim satovima i na običnim satovima. Koliko je takvih odredbi? (Oznaka nula označava 24 sata u talijanskim satovima i 12 sati u običnim satovima).

28. Vasja je mjerio kutomjerom i zapisivao u bilježnicu kutove između satne i minutne kazaljke, prvo na 8:20, a zatim na 9:25. Nakon toga, Petja je uzeo svoj kutomjer. Pomozite Vasji pronaći kutove između strelica na 10:30 i 11:35.

29. Koliko se puta minutna i satna kazaljka na satu poklapaju od 12:00 do 23:59?

30. Podne je. Kada će se idući put kazaljka za sat i minut poklopiti?

31. Navedite barem jednu točku u vremenu osim 6:00 i 18:00 kada kazaljke sata i minute pravilnog sata pokazuju suprotne smjerove.

32. Kad je Petja počeo rješavati ovaj problem, primijetio je da kazaljke sata i minute na njegovom satu čine pravi kut. Dok ga je rješavao, kut je uvijek bio tup, a čim ga je Petya završio, kut je ponovno postao pravi. Koliko je dugo Petya rješavao ovaj problem?

33. Petja se probudio u osam sati ujutro i primijetio da kazaljka na satu njegove budilice prepolovljuje kut između kazaljke za minute i kazaljke na zvonu pokazujući na broj 8. Nakon koliko sati bi budilica trebala zazvoniti?

34. Kolja je otišao po gljive između osam i devet sati ujutro u trenutku kada su se kazaljke sata i minute na njegovom satu poravnale. Kući se vraćao između dva i tri sata poslijepodne, dok su mu kazaljke na satu bile usmjerene u suprotnim smjerovima. Koliko je Koljina šetnja trajala?

35. Učenik je započeo rješavati zadatak između 9 i 10 sati, a završio između 12 i 13 sati. Koliko mu je vremena trebalo da riješi zadatak ako su za to vrijeme kazaljke sata i minute na satu zamijenile mjesta?

36. Koliko puta tijekom dana kazaljke sata i minute pravilnog sata zaklapaju kut od 30 stupnjeva?

37. Pred vama je sat. Koliko ima položaja kazaljki na kojima se ne može odrediti vrijeme ako ne znate koja je kazaljka za sate, a koja za minute? (Vjeruje se da se položaj svake od strelica može točno odrediti, ali je nemoguće pratiti kako se strelice kreću.)

38. U svijetu Antipoda, kazaljka za minute na satu kreće se normalnom brzinom, ali u suprotnom smjeru. Koliko se puta dnevno kazaljke antipodnih satova a) poklapaju; b) suprotno?

39. Koliko se puta dnevno antipodni satovi ne mogu razlikovati od normalnih (ako ne znate koliko je sati doista)?

40. U podne je muha sjela na sekundnu kazaljku sata i odvezla se, pridržavajući se sljedećih pravila: ako prestigne neku kazaljku ili je neka kazaljka prestigne (osim sekundne kazaljke, sat ima kazaljke za sat i minut) , tada muha dopuže na ovu ruku. Koliko će muha prijeći krugova za jedan sat?

Uzorak vremena

Otkrijte obrazac promjene vremena na satu i odredite što sat na broju pet treba pokazivati.

OGE zadaci

Zadaci Jedinstvenog državnog ispita

1. Sat sa kazaljkama pokazuje 8 sati i 00 minuta. Za koliko minuta će se kazaljka za minute po četvrti put poravnati sa kazaljkom za sat?

Ovaj zadatak nije ništa teži od zadatka kretanja u krug. Naše kazaljke za sat i minut kreću se u krug. Kazaljka za minute prijeđe puni krug za jedan sat, odnosno 360°. Sredstva, brzina mu je 360° na sat. Kazaljka sata se pomiče za kut od 30° na sat (to je kut između dva susjedna broja na brojčaniku). Sredstva, brzina mu je 30° na sat.

U 8:00 ujutro razmak između kazaljki je 240°:

Neka se kazaljka za minute susretne sa kazaljkom za sat prvi put nakon t sati. Za to vrijeme će minutna kazaljka prijeći 360°t, a satna 30°t, a minutna kazaljka će prijeći 240° više od satne kazaljke. Dobivamo jednadžbu:

360°t-30°t=240°

t=240°/330°=8/11

Odnosno, nakon 8/11 sati kazaljke će se prvi put sresti.

Sada, prije sljedećeg sastanka, kazaljka za minute će prijeći 360° više od kazaljke za sat. Neka se ovo dogodi za x sati.

Dobivamo jednadžbu:

360°x-30°x=360°. Dakle, x=12/11. I tako još dva puta.

Dobijamo da će se kazaljka za minute poravnati sa kazaljkom za sat četvrti put u 8/11+12/11+12/11+12/11= 4 sata= 240 minuta.

Odgovor: 240 min.

2. Sat sa kazaljkama pokazuje 1 sat i 35 minuta. Za koliko minuta će se kazaljka za minute po deseti put poravnati sa kazaljkom za sat?

U ovom zadatku ćemo brzinu kretanja strelica izraziti u stupnjevima/minuti.

Brzina kazaljke za minute je 360˚/60=6˚ u minuti.

Brzina kazaljke na satu je 30˚/60=0,5˚ u minuti.

U 0 sati položaj kazaljke sata i minute se poklopio. 1 sat i 35 minuta je 95 minuta. Za to vrijeme kazaljka za minute pomaknula se 95x6=570˚=360˚+210˚, a kazaljka za sate 95x0,5˚=47,5˚. I imamo ovu sliku:

Kazaljke će se susresti prvi put nakon vremena kada se satna kazaljka okrene za , a minuta za 150˚+47,5˚ više. Dobivamo jednadžbu za:

Sljedeći put se kazaljke sretnu kada kazaljka za minute prijeđe jedan krug duži od kazaljke za sat:

I tako 9 puta.

Kazaljka za minute poravnat će se sa kazaljkom za sat po deseti put u minutama

1. u 12 sati 132, u 24 sata 264 trenutka plus 22 preklapanja, ukupno 286

2. Kazaljka za sat napravi 2 okretaja dnevno, a kazaljka za minute napravi 24 okretaja. Odavde, kazaljka za minute pretječe kazaljku za sat 22 puta i svaki put se sa kazaljkom za sat formiraju dva prava kuta, tj. odgovoriti - 44 .

3. Nije teško dokučiti da će se to dogoditi nakon 1 sat 5 5/11 minuta, odnosno u 2 sata 10 10/11 minuta. Sljedeći je nakon još 1 sat 5 5/11 minuta, odnosno u 3 sata 16 4/11 minuta itd. Svih sastanaka, kao što lako možete vidjeti, bit će 11; 11. će se dogoditi 1. 1. -12 sati nakon prvog, to jest u 12 sati; drugim riječima, poklapa se s prvim sastankom, a daljnji sastanci će se ponavljati u istim trenucima.

Evo svih trenutaka sa susreta:

1. susret - u 1 sat 5 5/11 minuta

2. " - "2 sata 10 10/11 "

3. " - "3 sata 16. 4/11 "

4. " - "4 sata 21. 9. 11. "

5. " - "5 sati 27 3/11 "

6. " - "6 sati 32. 8/11 "

2 sata 46, 153 min.

7. Kazaljka za sat napravi 2 okretaja dnevno, a kazaljka za minute napravi 24 okretaja. Odavde kazaljka za minute preuzima kazaljku za satove 22 puta.

9 . 4 i 5

10. Upravo tako se već u prvim satima kreće sjena – sunce. A onda su mehanički satovi kopirali smjer kretanja kazaljki. Usput, na južnoj hemisferi je suprotno - sjena na sunčanom satu kreće se suprotno od kazaljke na satu. Za sat vremena kazaljka za minute napravi puni krug. To znači da se u minuti okrene za 1/60 kuta od 360°, odnosno 6°. Kazaljka za sat prijeđe 1/12 kruga u jednom satu, odnosno kreće se 12 puta sporije od kazaljke za minute. U minuti se okrene za 0,5°.

14 . U 1:00 kazaljka za minute bila je 30° iza kazaljke za sat. U 10 minuta koliko je prošlo od tog trenutka, satna kazaljka će “preći” 5°, a minutna kazaljka će “preći” 60°, pa je kut između njih 60° – 30° – 5° = 25°.

15 . Neka je x vremenski period u minutama koji mora proći prije nego što se strelice postave na istu ravnu liniju i usmjere u različitim smjerovima. Tijekom tog vremena, kazaljka za minute imat će vremena prijeći x minutnih podjeljaka brojčanika, a satna kazaljka će imati vremena prijeći x/12 minutnih podjeljaka. Kada su kazaljke postavljene na istoj ravnoj liniji i usmjerene u različitim smjerovima, bit će odvojene 30-minutnim podjelama brojčanika. To znači da je u ovom trenutku x – x/12 = 30, dakle x = 32 (8/11). Nakon 32 (8/11) minute strelice će "gledati" u suprotnim smjerovima.

16 . Počnimo promatrati kretanje kazaljki na 12 sati. U ovom trenutku obje strijele pokrivaju jedna drugu. Budući da se satna kazaljka pomiče 12 puta sporije od minute (opisuje puni krug na 12 sati, a minutna na 1 sat), onda se, naravno, kazaljke ne mogu susresti tijekom sljedećeg sata. Ali prošao je jedan sat; satna kazaljka je na broju 1, napravivši 1/12 punog okretaja; Minutni sat napravio je puni krug i ponovno stoji na 12 - 1/12 kruga iza satnog sata. Sada su uvjeti natjecanja drugačiji nego prije: kazaljka za sate se pomiče sporije od kazaljke za minute, ali je ispred, a kazaljka za minute mora je sustići. Ako bi natjecanje trajalo cijeli sat, tada bi za to vrijeme minutna kazaljka napravila cijeli krug, a satna 1/12 kruga, odnosno minutna 11/12 kruga više. Ali da bi sustigla kazaljku na satu, kazaljka za minute treba prijeći više od kazaljke za sat, samo za onu 1/12 kruga koja ih dijeli. Za to će trebati vremena ne cijeli sat, nego manje za istu količinu vremena kao što je 1/12 manje od 11/12, to jest, 11 puta. To znači da će se kazaljke sastati za 1/11 sata, odnosno za 60/11 = 5 5/11 minuta. Dakle, kazaljke će se sastati 5 5/11 minuta nakon što je prošao 1 sat, odnosno u 5 5/11 minuta i dva.

21. Odgovor: Nije teško zaključiti da će se to dogoditi nakon 1 sata 5 5/11 minuta, odnosno u 2 sata 10 10/11 minuta. Sljedeći je nakon još 1 sat 5 5/11 minuta, odnosno u 3 sata 16 4/11 minuta itd. Svih sastanaka, kao što lako možete vidjeti, bit će 11; 11. će se dogoditi 1. 1. -12 sati nakon prvog, to jest u 12 sati; drugim riječima, poklapa se s prvim susretom, a daljnji susreti će se ponavljati u istim trenucima. Evo svih trenutaka susreta:

24. Neka obje kazaljke stoje na 12, a zatim se kazaljka na satu odmakne od 12 za određeni dio punog okretaja, što ćemo označiti slovom x. Za isto vrijeme kazaljka za minute uspjela se okrenuti 12x. Ako nije prošlo više od jednog sata, tada je za zadovoljenje zahtjeva našeg zadatka potrebno da kazaljka za minute bude udaljena od kraja cijelog kruga za onoliko koliko satna kazaljka ima vremena odmaknuti se od početak; drugim riječima: 1 - 12 x = x Dakle, 1 = 13 x. Prema tome, x = 1/13 cijelog kruga. Satna kazaljka završi ovaj djelić okretaja u 12/13 sati, odnosno pokazuje 55 5/13 minuta iza ponoći. Minutna kazaljka je u isto vrijeme prešla 12 puta više, odnosno 12/13 punog okretaja; obje strelice, kao što možete vidjeti, jednako su razmaknute od 12, i stoga jednako razmaknute od 6 na suprotnim stranama. Pronašli smo jedan položaj strelica - točno onaj koji se javlja tijekom prvog sata. Tijekom drugog sata ponovit će se slična situacija; naći ćemo ga, razmišljajući prema prethodnom, iz jednakosti 1 - (12x - 1) = x, ili 2 - 12x = x, odakle je 2 = 13x, pa je, prema tome, x = 2/13 punog okretaja . U ovom položaju kazaljke će biti na 1 11/13 sati, odnosno na 50 10/13 minuta. Treći put će kazaljke zauzeti traženi položaj, kada se satna kazaljka odmakne od 12 do 3/13 punog kruga, odnosno 2 10/13 sati itd. Ima 11 položaja, a nakon 6 sati. kazaljke mijenjaju mjesta: kazaljka za sat zauzima ona mjesta gdje je prethodno bila kazaljka za minute, a kazaljka za minute zauzima mjesto kazaljke za sat. Ako pažljivo promatrate sat, možda ste vidjeli potpuno suprotan raspored kazaljki kao opisano sada: satna kazaljka je ispred minute za isti iznos, za koliko se minuta pomaknula naprijed od broja 12. Kada se to događa? Odgovor: Prvi put će u tom trenutku biti traženi raspored kazaljki koji je određen jednakošću: 12x - 1 = x/2, odakle je 1 = 11 ½ x, odnosno x = 2/23 cjeline. revolucije, odnosno 1 1/23 sata nakon 12. To znači da će u 1 sat 21 4/23 minute kazaljke biti postavljene prema potrebi. Doista, kazaljka za minute trebala bi biti u sredini između 12 i 1 1/23 sata, odnosno na 12/23 sata, što je točno 1/23 punog okretaja (kazaljka za sate će putovati 2/ 23 cijele revolucije). Drugi put će strelice biti postavljene na traženi način u trenutku, koji se određuje iz jednakosti: 12x - 2 = x/2, odakle je 2 = 11 1/2 x i x = 4/23; traženi trenutak je 2 sata 5 5/23 minute Treći željeni trenutak je 3 sata 7 19/23 minute itd.