Općinska obrazovna proračunska ustanova -

Srednja škola br.51

Orenburg.

Projekt na:

profesorica matematike

Egorcheva Victoria Andreevna

2017

Hipoteza : Ako se teorija grafova približi praksi, tada se mogu dobiti najkorisniji rezultati.

Cilj: Upoznati pojam grafova i naučiti ih primijeniti u rješavanju različitih problema.

Zadaci:

1) Proširiti znanje o metodama konstruiranja grafova.

2) Identificirati vrste problema čije rješavanje zahtijeva korištenje teorije grafova.

3) Istražite korištenje grafova u matematici.

“Euler je bez ikakvog vidljivog napora izračunao kako čovjek diše ili kako orao lebdi iznad zemlje.”

Dominik Arago.

ja Uvod. str.

II . Glavni dio.

1. Pojam grafa. Problem oko Königsberških mostova. str.

2. Svojstva grafova. str.

3. Problemi u korištenju teorije grafova. str.

Sh. Zaključak.

Značenje grafova. str.

IV. Bibliografija. str.

ja . UVOD

Teorija grafova je relativno mlada znanost. Riječ "grafovi" ima korijen grčke riječi "grapho", što znači "pišem". Isti je korijen u riječima "graf", "biografija".

U svom radu promatram kako se teorija grafova koristi u raznim područjima ljudskih života. Svaki profesor matematike i gotovo svaki učenik zna koliko je teško rješavati geometrijske zadatke, kao i tekstualne zadatke iz algebre. Nakon što sam istražio mogućnost korištenja teorije grafova u školskom kolegiju matematike, došao sam do zaključka da ova teorija uvelike pojednostavljuje razumijevanje i rješavanje problema.

II . GLAVNI DIO.

1. Pojam grafa.

Prvi rad o teoriji grafova pripada Leonhardu Euleru. Pojavio se 1736. u publikacijama Peterburške akademije znanosti i započeo je razmatranjem problema Königsberških mostova.

Vjerojatno znate da postoji takav grad kao što je Kaliningrad; nekada se zvao Koenigsberg. Kroz grad teče rijeka Pregolya. Dijeli se na dva kraka i obilazi otok. U 17. stoljeću u gradu je bilo sedam mostova, raspoređenih kao što je prikazano na slici.

Kažu da je jednog dana jedan stanovnik grada pitao svog prijatelja može li prošetati sve mostove kako bi svaki od njih posjetio samo jednom i vratio se na mjesto gdje je šetnja počela. Mnogi su se građani zainteresirali za ovaj problem, ali nitko nije mogao pronaći rješenje. Ovo pitanje je privuklo pozornost znanstvenika iz mnogih zemalja. Poznati matematičar Leonhard Euler uspio je riješiti problem. Leonhard Euler, rodom iz Basela, rođen je 15. travnja 1707. godine. Eulerova su znanstvena postignuća ogromna. Utjecao je na razvoj gotovo svih grana matematike i mehanike, kako u području fundamentalnih istraživanja tako iu njihovoj primjeni. Leonhard Euler ne samo da je riješio ovaj specifični problem, već je također došao do opće metode za rješavanje tih problema. Euler je učinio sljedeće: zemlju je "sabio" u točke, a mostove "razvukao" u linije. Rezultat je lik prikazan na slici.

Takva figura, koja se sastoji od točaka i linija koje povezuju te točke, zove seračunati. Točke A, B, C, D nazivaju se vrhovi grafa, a pravci koji spajaju vrhove nazivaju se bridovi grafa. U crtežu vrhova B, C, D izlaze 3 rebra, a s vrha A - 5 rebara. Vrhovi iz kojih izlazi neparan broj bridova nazivaju seneparni vrhovi, a vrhovi iz kojih izlazi paran broj bridova sučak.

2. Svojstva grafa.

Rješavajući problem Königsberških mostova, Euler je posebno utvrdio svojstva grafa:

1. Ako su svi vrhovi grafa parni, tada možete nacrtati graf jednim potezom (to jest, bez podizanja olovke s papira i bez dva puta crtanja duž iste linije). U tom slučaju kretanje može započeti iz bilo kojeg vrha i završiti na istom vrhu.

2. Graf s dva neparna vrha također se može nacrtati jednim potezom. Kretanje mora započeti s bilo kojeg neparnog vrha i završiti na drugom neparnom vrhu.

3. Graf s više od dva neparna vrha ne može se nacrtati jednim potezom.

4. Broj neparnih vrhova u grafu je uvijek paran.

5. Ako graf ima neparne vrhove, tada će najmanji broj poteza koji se mogu koristiti za crtanje grafa biti jednak polovici broja neparnih vrhova ovog grafa.

Na primjer, ako lik ima četiri neparna broja, tada se može nacrtati s najmanje dva poteza.

U problemu sedam mostova Königsberga, sva četiri vrha odgovarajućeg grafa su neparna, tj. Ne možete jednom prijeći sve mostove i završiti putovanje gdje je počelo.

3. Rješavanje zadataka pomoću grafikona.

1. Zadaci crtanja likova jednim potezom.

Pokušaj crtanja svakog od sljedećih oblika jednim potezom olovke rezultirat će različitim rezultatima.

Ako na slici nema neparnih točaka, ona se uvijek može nacrtati jednim potezom olovke, bez obzira gdje počnete crtati. Ovo su slike 1 i 5.

Ako figura ima samo jedan par neparnih točaka, tada se takva figura može nacrtati jednim potezom, počevši crtanje od jedne od neparnih točaka (nije važno koja). Lako je razumjeti da bi crtež trebao završiti na drugoj neparnoj točki. To su slike 2, 3, 6. Na slici 6, na primjer, crtanje mora početi ili od točke A ili od točke B.

Ako lik ima više od jednog para neparnih točaka, tada se uopće ne može nacrtati jednim potezom. To su slike 4 i 7 koje sadrže dva para neparnih točaka. Rečeno je dovoljno da se točno prepozna koji se likovi ne mogu nacrtati jednim potezom, a koji se mogu nacrtati, kao i od koje točke treba početi crtanje.

Predlažem da sljedeće figure nacrtate jednim potezom.

2. Rješavanje logičkih problema.

ZADATAK br.1.

Na prvenstvu razreda u stolnom tenisu sudjeluje 6 sudionika: Andrej, Boris, Viktor, Galina, Dmitrij i Elena. Prvenstvo se održava po kružnom sistemu - svaki sudionik igra sa svakim po jednom. Do danas su neke igre već odigrane: Andrey je igrao s Borisom, Galinom, Elenom; Boris - s Andreyem, Galinom; Victor - s Galinom, Dmitrijem, Elenom; Galina - s Andrejem, Viktorom i Borisom. Koliko je utakmica do sada odigrano i koliko ih je ostalo?

RIJEŠENJE:

Izgradimo graf kao što je prikazano na slici.

7 odigranih utakmica.

Na ovoj slici graf ima 8 rubova, tako da je ostalo još 8 igara za odigrati.

ZADATAK #2

U dvorištu, koje je ograđeno visokom ogradom, nalaze se tri kuće: crvena, žuta i plava. Ograda ima troja vrata: crvena, žuta i plava. Od crvene kuće nacrtaj put do crvenih vrata, od žute kuće do žutih vrata, od plave kuće do plave tako da se te staze ne sijeku.

RIJEŠENJE:

Rješenje problema prikazano je na slici.

3. Rješavanje tekstualnih zadataka.

Za rješavanje problema metodom grafikona potrebno je poznavati sljedeći algoritam:

1.O kojem procesu govorimo u problemu?2.Koje veličine karakteriziraju ovaj proces?3.Kakav je odnos između ovih količina?4. Koliko je različitih procesa opisano u zadatku?5.Postoji li veza između elemenata?

Odgovarajući na ova pitanja analiziramo stanje problema i shematski ga zapisujemo.

Na primjer . Autobus se vozio 2 sata brzinom 45 km/h, a 3 sata brzinom 60 km/h. Koliki je put prešao autobus tijekom tih 5 sati?

S
¹=90 km V ¹=45 km/h t ¹=2h

S=VT

S²=180 km V²=60 km/h t²=3 h

S ¹ + S ² = 90 + 180

Riješenje:

1) 45 x 2 = 90 (km) - autobus je prešao za 2 sata.

2) 60x 3 = 180 (km) - autobus je prešao za 3 sata.

3)90 + 180 = 270 (km) - autobus je prešao za 5 sati.

Odgovor: 270 km.

III . ZAKLJUČAK.

Kao rezultat rada na projektu saznao sam da je Leonhard Euler utemeljitelj teorije grafova i da je probleme rješavao pomoću teorije grafova. Sama sam zaključila da se teorija grafova koristi u raznim područjima moderne matematike i njezinim brojnim primjenama. Nema sumnje u korisnost upoznavanja nas studenata s osnovnim pojmovima teorije grafova. Rješavanje mnogih matematičkih problema postaje lakše ako možete koristiti grafikone. Prezentacija podataka V oblik grafikona daje im jasnoću. Mnogi dokazi su također pojednostavljeni i postaju uvjerljiviji ako koristite grafikone. To se posebno odnosi na područja matematike kao što su matematička logika i kombinatorika.

Stoga proučavanje ove teme ima veliki općeobrazovni, općekulturni i općematematički značaj. U svakodnevnom životu sve se više koriste grafičke ilustracije, geometrijski prikazi i druge vizualne tehnike i metode. U tu svrhu korisno je uvesti izučavanje elemenata teorije grafova u osnovne i srednje škole, barem u izvannastavne aktivnosti, budući da ova tema nije obuhvaćena nastavnim planom i programom matematike.

V . BIBLIOGRAFIJA:

2008. godine

Pregled.

Projekt na temu "Grafikoni oko nas" dovršio je Nikita Zaytsev, učenik 7. "A" razreda Gradske obrazovne ustanove br. 3, Krasny Kut.

Posebnost rada Nikite Zaitseva je njegova relevantnost, praktična usmjerenost, dubina pokrivenosti teme i mogućnost korištenja u budućnosti.

Rad je kreativan, u obliku informativnog projekta. Student je odabrao ovu temu kako bi na primjeru rute školskog autobusa prikazao odnos teorije grafova i prakse, kako bi pokazao da se teorija grafova koristi u raznim područjima moderne matematike i njezinim brojnim primjenama, posebice u ekonomiji, matematičkoj logici i kombinatorici . Pokazao je da je rješavanje problema uvelike pojednostavljeno ako je moguće koristiti grafikone; prikaz podataka u obliku grafikona daje im jasnoću; mnogi dokazi su također pojednostavljeni i postaju uvjerljivi.

Rad se bavi pitanjima kao što su:

1. Pojam grafa. Problem oko Königsberških mostova.

2. Svojstva grafova.

3. Problemi u korištenju teorije grafova.

4. Značenje grafova.

5. Mogućnost rute školskog autobusa.

Prilikom izvođenja svog rada, N. Zaitsev je koristio:

1. Alkhova Z.N., Makeeva A.V. "Izvannastavni rad iz matematike."

2. Časopis “Matematika u školi”. Dodatak “Prvi rujan” br.13

2008. godine

3. Ya.I.Perelman “Zabavni zadaci i eksperimenti.” - Moskva: Obrazovanje, 2000.

Rad je obavljen kompetentno, materijal zadovoljava zahtjeve ove teme, priloženi su odgovarajući crteži.

Općinska proračunska obrazovna ustanova

Srednja škola Doschatinskaja

gradski okrug Vyksa, regija Nižnji Novgorod

Rješavanje logičkih problema.

Odjel za fiziku i matematiku

Matematička sekcija

Obavio sam posao:

Učenik 5. razreda

Papotina Elena Sergejevna

znanstveni savjetnik:

učitelj MBOU Doschatinskaja srednja škola

Roshchina Lyudmila Valerievna

Regija Nižnji Novgorod

r/p Doschatoe

2016

anotacija

Svrha ovog radaprepoznati sposobnost zaključivanja i pravilnog zaključivanja pri rješavanju logičkih problema.oveZadaci su zabavni i ne zahtijevaju puno matematičkog znanja pa privlače i one učenike koji baš i ne vole matematiku.Rad ima sljedeće zadatke:

1) upoznavanje s pojmovima "logika" i "matematička logika";

2) proučavanje osnovnih metoda rješavanja logičkih problema;

3) proučavanje sposobnosti rješavanja logičkih problema kod učenika 5.-7.

Metode istraživanja ovog rada su:

Prikupljanje i proučavanje informacija.

Generalizacija eksperimentalne i teorijske građe.

Hipoteza : Učenici naše škole znaju rješavati logičke probleme.

Tijekom pisanja rada istražene su vrste i metode rješavanja logičkih problema. Sa srednjoškolcima se provodio praktičan rad na rješavanju logičkih zadataka. Rezultati rada pokazali su da se svi učenici ne mogu nositi s logičkim zadacima.Najčešće, sposobnosti školaraca ostaju neotkrivene za sebe, nisu sigurni u svoje sposobnosti i ravnodušni su prema matematici.Za takve učenike predlažem korištenje logičkih zadataka. Ovi se zadaci mogu razmatrati u klupskoj i izbornoj nastavi.

2.3 Metoda Eulerove kružnice

Ova metodaje još jedan vizualni i vrlo zanimljiv način rješavanja logičkih problema. Ova se metoda temelji na konstrukciji poznatih Euler-Vennovih krugova,problemi u kojima se traži neko sjecište skupova ili njihova unija, poštujući uvjete problema. Pogledajmo primjer korištenja ove metode.

Riješimo problem 6:

Od 52 školarca, 23 skuplja bedževe, 35 markice, a 16 i bedževe i markice. Ostali nisu zainteresirani za kolekcionarstvo. Koliko školaraca nije zainteresirano za kolekcionarstvo?

Riješenje. Uvjete ovog problema nije tako lako razumjeti. Ako zbrojite 23 i 35, dobijete više od 52. To objašnjavamo činjenicom da smo neke školarce ovdje računali dvaput, i to one koji skupljaju i bedževe i markice.Radi lakše rasprave poslužimo se Eulerovim krugovima

Na slici je veliki krugoznačava 52 učenika u pitanju; krug 3 prikazuje školarce koji skupljaju bedževe, a krug M prikazuje školarce koji skupljaju markice.

Veliki krug podijeljen je krugovima 3 i M na nekoliko područja. Sjecište krugova 3 i M odgovara školarcima koji skupljaju bedževe i markice (slika). Dio kruga 3 koji ne pripada krugu M odgovara učenicima koji skupljaju samo bedževe, a dio kruga M koji ne pripada krugu 3 odgovara školarcima koji skupljaju samo markice. Slobodni dio velikog kruga predstavlja učenike koji nisu zainteresirani za kolekcionarstvo.

Redom ćemo ispuniti naš dijagram, unoseći odgovarajući broj u svako područje. Prema uvjetu, i bedževe i markice prikuplja 16 osoba, pa ćemo na sjecištu krugova 3 i M napisati broj 16 (sl.).

Kako bedževe skuplja 23 učenika, a bedževe i markice skuplja 16 školaraca, samo bedževe skuplja 23 - 16 = 7 ljudi. Na isti način samo markice skuplja 35 - 16 = 19 osoba. Upišimo brojeve 7 i 19 u odgovarajuća područja dijagrama.

Sa slike je vidljivo koliko je ljudi uključeno u sakupljanje. Da saznam ovopotrebno je zbrojiti brojeve 7, 9 i 16. Dobijemo 42 osobe. To znači da 52 - 42 = 10 školaraca ostaje nezainteresirano za sakupljanje. Ovo je odgovor na problem; može se unijeti u slobodno polje velikog kruga.

Eulerova metoda nezamjenjiva je za rješavanje nekih problema, a također uvelike pojednostavljuje zaključivanje.

2.4 Metoda blok dijagrama

Zadatak 7. U školskoj kantini za prvo jelo možete naručiti boršč, soljanku i juhu od gljiva, za drugo jelo meso s tjesteninom, ribom i krumpirom, za drugo jelo piletinu s rižom, a za treće jelo čaj i kompot. Koliko se različitih ručkova može napraviti od ovih jela?

Riješenje. Formalizirajmo rješenje u obliku blok dijagrama:

Odgovor: 18 opcija.

2.5 Problemi s istinom

Probleme u kojima je potrebno utvrditi istinitost ili lažnost tvrdnji nazivat ćemo problemima istine.

Problem 7 . Trojica prijatelja Kolja, Oleg i Petja igrali su se u dvorištu, a jedan od njih je slučajno loptom razbio prozorsko staklo. Kolja je rekao: "Nisam ja razbio staklo." Oleg je rekao: "Petya je razbio staklo." Kasnije je otkriveno da je jedna od tih izjava bila istinita, a druga lažna. Koji je dječak razbio staklo?

Riješenje. Pretpostavimo da je Oleg rekao istinu, onda je Kolja također rekao istinu, a to je u suprotnosti s uvjetima problema. Dakle, Oleg je rekao laž, a Kolja je rekao istinu. Iz njihovih izjava proizlazi da je Oleg razbio staklo.

Zadatak 8. Četiri učenika - Vitya, Petya, Yura i Sergei - zauzeli su četiri prva mjesta na matematičkoj olimpijadi. Na pitanje koja su mjesta zauzeli, odgovoreno je sljedeće:

a) Petya - drugi, Vitya - treći;

b) Sergey - drugi, Petya - prvi;

c) Yura - drugi, Vitya - četvrti.

Označite tko je zauzeo koje mjesto ako je samo jedan dio odgovora točan.

Riješenje. Pretpostavimo da je izjava "Petar - II" istinita, tada su obje izjave druge osobe netočne, a to je u suprotnosti s uvjetima problema. Pretpostavimo da je izjava "Sergey - II" istinita, tada su obje izjave prve osobe netočne, a to je u suprotnosti s uvjetima problema. Pretpostavimo da je iskaz "Jura - II" točan, tada je prvi iskaz prve osobe netočan, a drugi istinit. I prva izjava druge osobe je netočna, ali druga je točna.

Odgovor: prvo mjesto - Petya, drugo mjesto - Yura, treće mjesto - Vitya, četvrto mjesto Sergey.

2.6 Problemi riješeni od kraja.

Postoji vrsta logičkih problema koji se rješavaju od kraja. Pogledajmo primjer rješavanja takvih problema.

Zadatak 9. Vasja je smislio broj, dodao mu 5, zatim zbroj podijelio s 3, pomnožio s 4, oduzeo 6, podijelio sa 7 i dobio broj 2. Koji je broj Vasja smislio?

Rješenje: 2·7=14

14+6=20

20˸4=5

5·3=15

15-5=10

Odgovor: Vasja je pomislio na broj 10.

Poglavlje 3. Proučavanje sposobnosti rješavanja logičkih problema.

U praktičnom dijelu istraživačkog rada odabrala sam logičke zadatke tipa: zadaci riješeni od kraja; tko je tko?; problemi s riječima.

Zadaci su odgovarali razini znanja 5., 6. odnosno 7. razreda. Učenici su rješavali ove zadatke, a ja sam analizirala rezultate (slika 1). Razmotrimo detaljnije dobivene rezultate.

*Za 5. razred predloženi su sljedeći zadaci:

Zadatak br. 1. Problem riješen od kraja.

Sjetio sam se broja, pomnožio ga s dva, dodao tri i dobio 17. Koji sam broj smislio?

Zadatak br. 2. Problemi poput "Tko je tko?"

Katya, Sonya i Lisa imaju prezime Vasnetsova, Ermolaeva i Kuznetsova. Koje prezime ima svaka djevojka ako su Sonya, Liza i Ermolaeva članice matematičkog kružoka, a Liza i Kuznjecova studiraju glazbu?

Zadatak br. 3. Tekstualni zadatak.

Na školskoj sportskoj olimpijadi sudjelovalo je 124 učenika, 32 dječaka više nego djevojčica. Koliko je dječaka i djevojčica sudjelovalo na olimpijadi?

Većina učenika petog razreda nosila je zadatak tipa: “rješiv od kraja”. Takvi se problemi nalaze u udžbenicima za 5.-6.S obzirom na vrstu tekstualnih zadataka, ovaj zadatak je složeniji, o njemu je trebalo razmišljati, samo 5 ljudi se snašlo s njim.(Sl.2)

*Za 6. razred predloženi su sljedeći zadaci:

Zadatak br. 1. Problem riješen od kraja.

Sjetio sam se broja, oduzeo 57, podijelio s 2 i dobio 27. Koji sam broj smislio?

Zadatak br. 2. Problemi poput "Tko je tko?"

Athos, Porthos, Aramis i D'Artagnan četiri su talentirana mlada mušketira. Jedan se najbolje bori s mačevima, drugi nema premca u borbi prsa u prsa, treći najbolje pleše na balovima, četvrti puca iz pištolja bez promašaja. O njima se zna sljedeće:

Athos i Aramis promatrali su svoju prijateljicu, izvrsnu plesačicu, na balu.

Porthos i jučerašnji najbolji strijelac s divljenjem su pratili okršaj prsa u prsa.

Strijelac želi pozvati Athosa u posjet.

Porthos je bio vrlo velik, pa ples nije bio njegov element.

Tko radi što?

Zadatak br. 3. Tekstualni zadatak. Na jednoj polici ima 5 puta više knjiga nego na drugoj. Nakon što je 12 knjiga premješteno s prve police na drugu, na policama je ostao isti broj knjiga. Koliko je knjiga izvorno bilo na svakoj polici?

Od 18 učenika 6. razreda 1 je riješio sve zadatke. Svi učenici 6. razreda rješavali su problem tipa: “rješiv od kraja”. Uz zadatak br. 2, poput "Tko je tko?" 4 osobe su to učinile. Samo je jedna osoba riješila tekstualni zadatak(slika 3).

*Za 7. razred predloženi su sljedeći zadaci:

Zadatak br. 1. Problem riješen od kraja.

Zamislio sam broj, dodao mu 5, zatim zbroj podijelio s 3, pomnožio s 4, oduzeo 6, podijelio sa 7 i dobio broj 2. Kojeg sam broja smislio?

Zadatak br. 2. Problemi poput "Tko je tko?"

Vanya, Petya, Sasha i Kolya imaju prezimena koja počinju slovima V, P, S i K. Poznato je da su 1) Vanya i S. izvrsni učenici; 2) Petya i V. su C studenti; 3) Viši od P.; 4) Kolya je kraći od P.; 5) Sasha i Petya imaju istu visinu. Kojim slovom počinje svačije prezime?

Zadatak br. 3. Metoda zaključivanja.

Stigla je ekipa za popravak škole u kojoj je bilo 2,5 puta više molera nego stolara. Ubrzo je predradnik u tim uključio još 4 molera, a dva stolara prebacio na drugo mjesto. Kao rezultat toga, u timu je bilo 4 puta više slikara nego stolara. Koliko je u početku bilo slikara, a koliko stolara u timu?

Od 20 učenika 7. razreda 1 je riješio sve zadatke.Trinaest učenika rješavalo je zadatak tipa “riješeno od kraja”. SJedan je učenik riješio tekstualni zadatak (slika 4).

Zaključak

Tijekom istraživačkog rada na proučavanju metoda rješavanja logičkih problema. Smatram da su ciljevi i ciljevi koje sam postavio ispunjeni. U prvom poglavlju upoznao sam se s pojmom logike kao znanosti, glavnim fazama njezina razvoja i znanstvenicima koji su njezini utemeljitelji. U drugom poglavlju proučavao sam različite metode rješavanja logičkih problema i analizirao ih na konkretnim primjerima. Razmotrio sam sljedeće metode: mmetoda zaključivanja, metoda tablice, metoda grafikona, metoda blok dijagrama, metoda Eulerove kružnice, problemi istine, metoda rješavanja problema s kraja.U trećem poglavlju proveo sam praktičnu studiju među učenicima od 5. do 7. razreda, testirajući njihovu sposobnost rješavanja logičkih problema. Moje istraživanje je pokazalo sljedeće. Zadaci koje je većina učenika riješila bili su zadaci riješeni od kraja. Uz zadatak "Tko je tko?" (metoda tablice) polovica učenika je to učinila. Samo je najmanji broj ljudi riješio problem riječi (metoda zaključivanja). Vjerujem da je moja hipoteza djelomično potvrđena, jer je polovica učenika imala poteškoća u rješavanju logičkih zadataka.

Logički zadaci pomažu u razvoju logičnog i maštovitog mišljenja.Svako normalno dijete ima želju za znanjem, želju da se testira. Najčešće, sposobnosti školaraca ostaju neotkrivene za sebe, nisu sigurni u svoje sposobnosti i ravnodušni su prema matematici.Za takve učenike predlažem korištenje logičkih zadataka. Ovi se zadaci mogu razmatrati u klupskoj i izbornoj nastavi. Moraju biti pristupačne, probuditi inteligenciju, zaokupiti pažnju, iznenaditi, potaknuti na aktivnu maštu i samostalne odluke. Također vjerujem da nam logika pomaže da se nosimo sa svim poteškoćama u našem životu, i sve što radimo treba biti logično shvaćeno i strukturirano. S logikom i logičkim problemima susrećemo se ne samo u školi na nastavi matematike, već iu drugim predmetima.

Književnost

Vilenkin N.Ya. Matematika 5. razred.-Mnemosyne, M: 2015. 45 str.

Vilenkin N.Ya. Matematika 5. razred.-Mnemosyne, M: 2015. 211 str.

Orlova E. Metode rješenja logički problemi i problemi s brojevima //

Matematika. -1999. broj 26. - str. 27-29.

Tarski A. Uvod u logiku i metodologiju deduktivnih znanosti - Moskva,: 1948.

Internet resursi:

http://wiki. ja učim.

Riža. 3 Analiza rada 6. razreda.

Riža. 4 Analiza rada 7. razreda

Pozor studenti! Nastava se izvodi samostalno u strogom skladu s odabranom temom. Duplikati tema nisu dopušteni! Molimo Vas da o odabranoj temi obavijestite nastavnika na bilo koji prikladan način, pojedinačno ili popisom uz naznaku Vašeg punog imena, broja grupe i naslova kolegija.

Primjeri tema za kolegij u disciplini
"Matematička logika"

1. Metoda rezolucije i njezina primjena u iskaznoj algebri i predikatnoj algebri.

2. Aksiomatski sustavi.

3. Minimalne i najkraće CNF i DNF.

4. Primjena metoda matematičke logike u teoriji formalnih jezika.

5. Formalne gramatike kao logički računi.

6. Metode rješavanja tekstualnih logičkih problema.

7. Logički programski sustavi.

8. Logička igra.

9. Neodlučivost logike prvog reda.

10. Nestandardni modeli aritmetike.

11. Metoda dijagonalizacije u matematičkoj logici.

12. Turingovi strojevi i Churchova teza.

13. Izračunljivost na abakusu i rekurzivne funkcije.

14. Reprezentabilnost rekurzivnih funkcija i negativni rezultati matematičke logike.

15. Rješivost aritmetike zbrajanja.

16. Logika drugog reda i odredivost u aritmetici.

17. Metoda ultraproizvoda u teoriji modela.

18. Gödelov teorem o nepotpunosti formalne aritmetike.

19. Rješive i neodlučive aksiomatske teorije.

20. Craigova interpolacijska lema i njezine primjene.

21. Najjednostavniji pretvarači informacija.

22. Preklopni krugovi.

24. Kontaktne strukture.

25. Primjena Booleovih funkcija na kontaktne krugove releja.

26. Primjena Booleovih funkcija u teoriji prepoznavanja uzoraka.

27. Matematička logika i sustavi umjetne inteligencije.

Nastavni rad mora se sastojati od 2 dijela: teorijskog sadržaja teme i skupa zadataka na temu (najmanje 10) s rješenjima. Također je dopušteno pisati seminarski rad istraživačkog tipa, zamjenjujući drugi dio (rješavanje problema) neovisnim razvojem (na primjer, radni algoritam, program, uzorak itd.) stvoren na temelju teorijskog materijala koji se raspravlja. u prvom dijelu rada.

1) Barwise J. (ur.) Reference book on mathematical logic. - M.: Nauka, 1982.

2) Braća programskih jezika. - M.: Nauka, 1975.

3) Boulos J., Izračunljivost i logika. - M.: Mir, 1994.

4) Hindikinova logika u problemima. - M., 1972.

5), Paljutinova logika. - M.: Nauka, 1979.

6) Ershovljeva rješivost i konstruktivni modeli. - M.: Nauka, 1980.

7), Taitslinova teorija // Uspehi mat. nauka, 1965, 20, br. 4, str. 37-108 (prikaz, ostalo).

8) Igoshin - radionica matematičke logike. - M.: Obrazovanje, 1986.

9) Igoshinova logika i teorija algoritama. - Saratov: Izdavačka kuća Sarat. Sveučilište, 1991.

10) U Ts., koristeći Turbo Prolog. - M.: Mir, 1993.

11) uvod u metamatematiku. - M., 1957.

12) atematska logika. - M.: Mir, 1973.

13) ogika u rješavanju problema. - M.: Nauka, 1990.

14) Kolmogorovljeva logika: udžbenik za sveučilišnu matematiku. specijalnosti /, - M.: Izdavačka kuća URSS, 2004. - 238 str.

15) priča s čvorovima / Prijevod s engleskog - M., 1973.

16) ogic game / Trans. s engleskog - M., 1991.

17), Maksimov o teoriji skupova, matematičkoj logici i teoriji algoritama. - 4. izd. - M., 2001.

18), Sukačeva logika. Tečaj predavanja. Praktični zadatak i rješenja: Vodič za učenje. 3. izdanje, rev. - St. Petersburg.

19) Izdavačka kuća "Lan", 2008. - 288 str.

20) Lyskova u informatici / , . - M.: Laboratorij temeljnog znanja, 2001. - 160 str.

21) Matematička logika / Pod općim uredništvom i drugima - Minsk: Viša škola, 1991.

22) uvod u matematičku logiku. - M.: Nauka, 1984.

23) Moshchensky o matematičkoj logici. - Minsk, 1973.

24) Nikolskaya s matematičkom logikom. - M.: Moskovski psihološki i socijalni institut: Flint, 1998. - 128 str.

25) Nikoljskaja logika. - M., 1981.

26) Novikovljeva matematička logika. - M.: Nauka, 1973.

27) Rabinova teorija. U knjizi: Priručnik iz matematičke logike, 3. dio. Teorija rekurzije. - M.: Nauka, 1982. - str. 77-111 (prikaz, ostalo).

28) Tey A., Gribomon P. et al. Logički pristup umjetnoj inteligenciji. T. 1. - M.: Mir, 1990.

29) Tey A., Gribomon P. et al. Logički pristup umjetnoj inteligenciji. T. 2. - M.: Mir, 1998.

30) Chen Ch., Li R. Matematička logika i automatski dokaz teorema. - M.: Nauka, 1983.

31) uvod u matematičku logiku. - M.: Mir, 1960.

32) Šabunjinova logika. Iskazna logika i predikatska logika: udžbenik /, rep. izd. ; Čuvaška država Sveučilište nazvano po . - Cheboksary: ​​Čuvaška izdavačka kuća. Sveučilište, 2003. - 56 str.

Ovaj odjeljak naše web stranice predstavlja teme istraživačkih radova o logici u obliku logičkih problema, sofizama i paradoksa u matematici, zanimljivih igara na temu logike i logičkog mišljenja. Mentor rada treba neposredno voditi i pomagati studentu u njegovom istraživanju.

Dolje predstavljene teme za istraživački i dizajnerski rad na logici prikladne su za djecu koja vole logično razmišljati, rješavati nestandardne probleme i primjere, istraživati ​​paradokse i matematičke probleme i igrati nestandardne logičke igre.

Na donjem popisu možete odabrati temu logičkog projekta za bilo koji razred srednje škole, od osnovne do srednje škole. Kako bismo vam pomogli da ispravno dizajnirate matematički projekt o logici i logičkom razmišljanju, možete koristiti razvijene zahtjeve za dizajn rada.

Sljedeće teme za projekte logičkog istraživanja nisu konačne i mogu se mijenjati zbog zahtjeva postavljenih prije projekta.

Teme znanstvenih radova iz logike:

Primjeri tema za istraživačke radove o logici za studente:

Zanimljiva logika u matematici.
Algebarska logika
Logika i mi
Logike. Zakoni logike
Logička kutija. Zbirka zabavnih logičkih problema.
Logički zadaci s brojevima.
Logički problemi
Logički problemi "Smiješna aritmetika"
Logički problemi u matematici.
Logički zadaci za određivanje broja geometrijskih oblika.
Logički zadaci za razvoj mišljenja
Logički zadaci u nastavi matematike.
Logičke igre
Logički paradoksi
Matematička logika.
Metode rješavanja logičkih problema i metode za njihovo sastavljanje.
Simulacija logičkih problema
Edukativna prezentacija "Osnove logike".
Osnovne vrste logičkih problema i metode za njihovo rješavanje.
Na tragu Sherlocka Holmesa ili Metode rješavanja logičkih problema.
Primjena teorije grafova u rješavanju logičkih problema.
Problemi četiri boje.
Rješavanje logičkih problema
Rješavanje logičkih zadataka graf metodom.
Rješavanje logičkih problema na različite načine.
Rješavanje logičkih problema pomoću grafikona
Rješavanje logičkih zadataka pomoću dijagrama i tablica.
Rješavanje logičkih problema.
Silogizmi. Logički paradoksi.

Teme logičkih projekata

Primjeri tema za logičke projekte za studente:
sofizam
Sofistika oko nas
Sofizmi i paradoksi
Metode sastavljanja i metode rješavanja logičkih problema.
Učenje rješavanja logičkih problema
Algebra logike i logičke osnove računala.
Vrste zadataka za logičko mišljenje.
Dva načina rješavanja logičkih problema.
Logika i matematika.
Logika kao znanost
Logičke zagonetke.

Pošaljite svoj dobar rad u bazu znanja jednostavno je. Koristite obrazac u nastavku

Studenti, diplomanti, mladi znanstvenici koji koriste bazu znanja u svom studiju i radu bit će vam vrlo zahvalni.

Objavljeno na http://www.allbest.ru/

DIPLOMSKI RAD

Tema diplomskog rada

“Primjena elemenata matematičke logike u nastavi matematike u osnovnoj školi”

matematička logika elementary

Uvod

Poglavlje 1. Teorijske osnove proučavanja elemenata matematičke logike u osnovnoj školi

1.1 Razumijevanje logičke strukture matematičkih pojmova i rečenica

1.2 Proučavanje logike kao grane matematike

1.3 Logičko razmišljanje

Zaključci o 1. poglavlju

Poglavlje 2. Korištenje elemenata matematičke logike u nastavi matematike u osnovnoj školi

2.1 Korištenje elemenata logike u početnom tečaju matematike

2.2 Psihološko-pedagoške osnove korištenja elemenata matematičke logike prema odgojno-obrazovnom kompleksu „Perspektivna osnovna škola“

2.3 Sustav zadataka usmjerenih na razvijanje pojma „elementi matematičke logike“ kod učenika nakon završetka osnovne škole

Zaključci o 2. poglavlju

Zaključak

Bibliografija

Prijave

Uvod

Trenutno, zemlja aktivno traži načine za poboljšanje matematičkog obrazovanja. Na temelju Saveznog državnog obrazovnog standarda novog općeg obrazovanja učenici osnovne škole moraju se pridržavati uvjeta za rezultate svladavanja osnovnog obrazovnog programa osnovnog općeg obrazovanja iz predmeta matematika:

1) temeljnim matematičkim znanjima opisivati ​​i objašnjavati okolne objekte, procese, pojave, te procjenjivati ​​njihove kvantitativne i prostorne odnose;

2) ovladati osnovama logičkog i algoritamskog mišljenja, prostorne imaginacije i matematičkog govora, mjerenja, preračunavanja, procjene i vrednovanja, vizualnog prikazivanja podataka i procesa, snimanja i izvršavanja algoritama;

3) znati izvoditi usmene i pismene aritmetičke operacije s brojevima i brojčanim izrazima, rješavati tekstualne zadatke, sposobnost postupanja po algoritmu i sastavljanja jednostavnih algoritama, istraživati, prepoznavati i prikazivati ​​geometrijske oblike, raditi s tablicama, dijagramima, grafikonima i dijagrame, lance, agregate, prezentirati, analizirati i interpretirati podatke.

Danas je matematičko obrazovanje dio srednjoškolskog obrazovnog sustava i ujedno svojevrsna samostalna faza obrazovanja. Novi sadržaj matematičkog obrazovanja usmjeren je uglavnom na formiranje kulture i samostalnosti mišljenja mlađih školaraca, elemente obrazovne djelatnosti sredstvima i metodama matematike. Tijekom obuke djeca moraju naučiti opće metode djelovanja, provodeći postupnu kontrolu i samoevaluaciju izvršenih aktivnosti kako bi utvrdili usklađenost svojih postupaka s predviđenim planom.

Zato nije slučajno da se u matematičkim programima posebna pozornost posvećuje formiranju algoritamskih, logičkih i kombinatornih linija, koje se razvijaju u procesu proučavanja aritmetičkih, algebarskih i geometrijskih dijelova programa.

U djelima matematičara A.N. Kolmogorov, A.I. Markushevich A.S. Stolyara, A.M. Pyshkalo, P.M. Erdnieva i drugi ističu temeljna pitanja poboljšanja školskog matematičkog obrazovanja, posebno pitanja koja se odnose na jačanje logičke osnove školskog tečaja, uključujući elemente matematičke logike u njemu.

U posljednjem desetljeću, kada je škola ušla u proces modernizacije, u praksu se uvode novi standardi, tehnologije, metode i razna nastavna sredstva, pitanje kontinuiteta obrazovanja između primarne i osnovne razine postaje najvažnije. Prisutnost kompleta udžbenika važna je komponenta kontinuiteta između ovih razina. Prema A.A. Stolyar “potreban je mentalni, logički program, koji bi se trebao provoditi u osnovnim i srednjim razredima škole.”

Istraživanja psihologa i učitelja V.V. Vygotsky, L.V. Zankov, V.V. Davydova, N. M. Skatkina i drugi pokazuju da je pod određenim uvjetima moguće postići ne samo visoku razinu znanja, vještina i sposobnosti, već i opći razvoj. U tradicionalnoj nastavi razvoj se pojavljuje kao poželjan, ali daleko od predvidljivog proizvoda učenja.

Smatramo da se u psihološkoj i metodičkoj literaturi problem formiranja elemenata matematičke logike kod učenika djelomično razmatra u odnosu na nastavu matematike u srednjoj školi.

Dakle, brojčani skup, počevši od prvih razreda općeobrazovne škole, predstavlja laboratorij u kojem se kod učenika jasnije razvijaju sposobnosti zaključivanja, koje su temelj za utvrđivanje istinitosti ili neistinitosti pojedinog pristupa, posebna formulacija problema. Postavlja se pitanje: Je li takav zadatak glavni cilj procesa nastave matematike u školi i koliki se udio tog problema javlja u osnovnoj školi? Odgovor na ovo pitanje može se dobiti tek nakon temeljite analize programa i udžbenika matematike za I.-IV.

Hitnost problema je unaprjeđenje sadržaja nastave matematike u osnovnim razredima u cilju formiranja elemenata matematičke logike kod mlađih školaraca.

Svrha studije razmotriti proučavanje elemenata matematičke logike u okviru kolegija matematike u nastavi matematike od 1. do 4. razreda te razviti obrazovne i metodičke alate za njegovu provedbu.

Predmet proučavanja- proces proučavanja elemenata matematičke logike u nastavi matematike u osnovnoj školi.

Artikal- metode i sredstva oblikovanja elemenata matematičke logike kod učenika 1.-4.

Hipoteza istraživanja je da je moguće organizirati proces nastave matematike kojim ćemo, uz pripremu matematičkih znanja i vještina, svjesno i sustavno razvijati logičke vještine.

Za postizanje cilja i provedbu hipoteze identificirano je sljedeće: ciljevi istraživanja:

1. Dati pojam logičke strukture matematičkih pojmova i rečenica;

2. Proučavati logiku kao znanost i granu matematike;

3. Utvrditi što je logičko zaključivanje i dati njegove definicije;

4. Analizirati obrazovne standarde, nastavne planove i programe i važeće školske udžbenike iz matematike sa stajališta logičkog razvoja učenika;

5. Identificirati psihološke, pedagoške i metodičke osnove za formiranje elemenata matematičke logike kod djece u procesu poučavanja matematike u osnovnoj školi;

6. Provesti eksperimentalnu studiju za testiranje učinkovitosti razvijenih metoda u osnovnoškolskom okruženju.

Teorijsku i metodološku osnovu studija činili su: osnovni principi dijalektičko-materijalističke filozofije i na njima razvijena doktrina osobno-djelatnog pristupa učenju (A.S. Vigotski, A.N. Leontjev, S.L. Rubinstein i dr.); polazišta teorije razvojnog učenja (V.V. Davydov, L.V. Zankov, N.A. Menchinskaya, D.B. Elkonin, N.V. Yakimanskaya i dr.); temeljne ideje metodoloških matematičara (A.M. Pyshkalo, P.M. Erdniev).

Poglavlje 1. Teorijske osnove proučavanja elemenata matematičke logike u osnovnoj školi

1.1 Razumijevanje logičke strukture matematičkih pojmova i rečenica

Prilikom izučavanja matematike u školi potrebno je ovladati određenim sustavom pojmova, tvrdnji i dokaza, ali da bi se tim sustavom ovladalo, a zatim uspješno primijenilo stečeno znanje i vještine, poučavajući mlađe školarce i rješavajući probleme njihova razvoja pomoću matematike , trebate razumjeti koje su značajke matematičkih pojmova, kako su strukturirane definicije, rečenice koje izražavaju svojstva pojmova i dokazi.

Takva su znanja potrebna učitelju osnovne škole jer on prvi uvodi djecu u svijet matematičkog znanja, a o tome koliko kompetentno i uspješno to radi ovisi njegov stav prema matematičkom procesu u budućnosti.

Proučavanje ovog gradiva povezano je s ovladavanjem teoretskim jezikom skupova, koji će se koristiti ne samo pri razmatranju logičke strukture matematičkih pojmova, tvrdnji i dokaza, već i pri konstruiranju cijelog kolegija.

Koncepti koji se poučavaju u uvodnom tečaju matematike obično se prezentiraju u četiri skupine. Prvi uključuje pojmove vezane uz brojeve i operacije s njima: broj, zbrajanje, član, veći itd. To uključuje algebarske koncepte: izraz, jednakost, jednadžba itd. Treću skupinu čine geometrijski pojmovi: pravac, isječak, trokut itd. Četvrtu skupinu čine pojmovi koji se odnose na veličine i njihovo mjerenje.

Za proučavanje takvog obilja vrlo različitih pojmova potrebno je imati predodžbu o pojmu kao logičkoj kategoriji i obilježjima matematičkih pojmova.

U logici se pojmovi smatraju oblikom mišljenja koji odražava predmete (predmete ili pojave) u njihovim bitnim i općim svojstvima. Jezični oblik pojma je riječ ili skupina riječi.

Razmišljati o nekom predmetu znači biti u stanju razlikovati ga od drugih sličnih predmeta. Matematički pojmovi imaju niz značajki. Glavno je da matematički objekti u odnosu na koje se formiraju pojmovi zapravo ne postoje. Sve matematičke objekte stvorio je ljudski um. Idealno za objekte koji odražavaju stvarne objekte ili pojave.

Na primjer, u geometriji proučavaju oblik i veličinu predmeta ne uzimajući u obzir druga svojstva: boju, masu, tvrdoću itd. Oni su od svega toga odvučeni, apstrahirani. Stoga se u geometriji umjesto riječi “objekt” kaže “geometrijski lik”.

Rezultat apstrakcije su matematički pojmovi kao što su "broj" i "veličina".

Općenito, matematički objekti postoje samo u ljudskom mišljenju iu onim znakovima i simbolima koji tvore matematički jezik.

Proučavajući prostorne oblike i kvantitativne odnose materijalnog svijeta, matematika se ne služi samo različitim tehnikama apstrakcije, već sama apstrakcija djeluje kao višefazni proces.

Pojava u matematici novih pojmova, a time i novih pojmova koji te pojmove označavaju, pretpostavlja njihovu definiciju.

Definicija je obično rečenica koja objašnjava bit novog pojma (ili oznake). U pravilu se to radi na temelju prethodno uvedenih pojmova.

Budući da je definicija pojma kroz rod i specifičnu razliku u biti uvjetni dogovor da se uvede novi termin ili zamijeni bilo koji skup poznatih pojmova, ne može se reći o definiciji je li točna ili netočna; nije ni dokazano ni opovrgnuto. Ali kada formuliraju definicije, pridržavaju se niza pravila:

· Određivanje mora biti razmjerno. To znači da se obujam definiranog i definirajućeg pojma mora poklapati. Ovo pravilo proizlazi iz činjenice da su definirani i definirajući pojmovi međusobno zamjenjivi;

· Ne smije postojati začarani krug u definiciji (ili njihovom sustavu). To znači da ne možete definirati pojam kroz njega samog (definirajući pojam ne bi trebao sadržavati pojam koji se definira) ili ga definirati kroz neki drugi, koji se pak definira kroz njega. Jer u matematici ne razmatraju samo pojedinačne pojmove. A njihov sustav, onda ovo pravilo zabranjuje začarani krug u sustavu definicija;

· Definicija mora biti jasna. Ovo pravilo nije očito na prvi pogled, ali puno znači. Prije svega, potrebno je da značenje pojmova uključenih u definirajući pojam bude poznato do trenutka uvođenja definicije novog pojma. Uvjeti za jasnoću definicije također uključuju preporuku da se u specifičnu razliku uključi samo onoliko svojstava koliko je potrebno i dostatno da se definirani objekti izdvoje iz opsega generičkog pojma.

U učenju matematike u osnovnoj školi rijetko se koriste definicije kroz razlikovanje rodova i vrsta. U početnom tečaju matematike postoji mnogo pojmova.

Pri učenju matematike u osnovnoj školi najčešće se koriste tzv. implicitne definicije. U njihovoj strukturi nemoguće je razlikovati determinirano i determinirajuće. Među njima se razlikuju kontekstualni i ostenzivni.

U kontekstualnim definicijama sadržaj novog pojma otkriva se kroz odlomak teksta, kroz kontekst, kroz analizu konkretne situacije. Opisivanje značenja uvedenog pojma. Kroz kontekst se uspostavlja veza između definiranog pojma i drugih poznatih pojmova, a time se neizravno otkriva njegov sadržaj. Primjer kontekstualne definicije bila bi definicija jednadžbe i njezina rješenja.

Ostenzivne definicije su definicije demonstracijom. Koriste se za uvođenje pojmova demonstrirajući objekte na koje se pojmovi odnose. Tako se, primjerice, u osnovnoj školi mogu definirati pojmovi jednakosti i nejednakosti.

Proučavanje stvarnih procesa, matematički opisi, koriste se kao prirodni verbalni jezik i simboličko značenje. Opisi su konstruirani pomoću rečenica. No, da bi matematičko znanje bilo točan, adekvatan odraz stvarnosti koja nas okružuje, ti prijedlozi moraju biti istiniti. Svaku matematičku tezu karakterizira sadržaj i logički oblik (struktura), a sadržaj je neraskidivo povezan s formom, te je nemoguće razumjeti prvu bez razumijevanja druge.

1) Broj 12 je paran;

Vidimo da se rečenice koje se koriste u matematici mogu pisati i na prirodnom (ruskom) jeziku i na matematičkom jeziku, koristeći simbole. Za rečenice 1,4,5 i 6 možemo reći da nose istinitu informaciju, a za rečenicu 2 - lažnu. Što se tiče rečenice x +5 = 8, općenito je nemoguće reći je li istinita ili lažna. Gledanje na rečenicu sa stajališta istinitosti ili laži dovelo je do koncepta izjave.

1.2 Proučavanje logike kao grane matematike

Logika je jedna od najstarijih znanosti. Trenutno nije moguće točno utvrditi tko se, kada i gdje prvi obratio onim aspektima mišljenja koji čine predmet logike. Kako ističe Ivin A.A. , neki od ishodišta logičkog učenja mogu se pronaći u Indiji, krajem 2. tisućljeća pr. međutim, ako govorimo o nastanku logike kao znanosti, odnosno o više ili manje sistematiziranom korpusu znanja, tada bi bilo pošteno smatrati veliku civilizaciju antičke Grčke rodnim mjestom logike. Ovdje je u 5. - 4. stoljeću prije Krista. U razdoblju naglog razvoja demokracije i s tim povezanim neviđenim preporodom društveno-političkog života, temelje ove znanosti postavila su djela Demokrita, Platona i Sokrata. Predak, “otac” logike, s pravom se smatra najvećim misliocem antike. Platonov učenik je Aristotel (384-322 pr. Kr.). Upravo je on u svojim djelima, objedinjenim pod općim naslovom “Organon” (oruđe spoznaje), prvi put temeljito analizirao i opisao osnovne logičke oblike i pravila zaključivanja, i to: oblike zaključivanja iz tzv. nazvali kategorički sudovi - kategorički silogizam ("Prva analitika"), formulirao temeljna načela znanstvenih dokaza ("Druga analitika"), dao analizu značenja određenih vrsta iskaza ("O tumačenju") i ocrtao glavne pristupi razvoju doktrine pojmova (“Kategorije”). Aristotel je također posvetio ozbiljnu pozornost razotkrivanju raznih vrsta logičkih pogrešaka i sofističkih tehnika u sporovima ("O sofističkim opovrgavanjima").

Logika ima dugu i bogatu povijest, neraskidivo povezanu s poviješću razvoja društva u cjelini.

Pojavi logike kao teorije prethodila je praksa mišljenja tisućama godina unatrag. Razvojem radne, materijalne i proizvodne djelatnosti ljudi dolazilo je do postupnog usavršavanja i razvoja njihovih misaonih sposobnosti, posebice sposobnosti apstrakcije i zaključivanja. A to je, prije ili kasnije, ali neizbježno, trebalo dovesti do toga da predmetom istraživanja postane samo mišljenje sa svojim oblicima i zakonitostima.

Kako ističe Ivin A.A. , povijest pokazuje da su se pojedinačni logički problemi pojavili pred ljudskim umom prije više od 2,5 tisuće godina - prvo u drevnoj Indiji i drevnoj Kini. Zatim dobivaju potpuniji razvoj u staroj Grčkoj i Rimu. Tek se postupno oblikuje manje-više koherentan sustav logičkog znanja i oblikuje samostalna znanost.

Koji su razlozi za nastanak logike? Ivin A.A. smatra da postoje dva glavna. Jedan od njih je nastanak i početni razvoj znanosti, posebice matematike. Taj proces seže u 6. stoljeće. PRIJE KRISTA. a najpotpuniji razvoj dobiva u staroj Grčkoj. Rođena u borbi protiv mitologije i religije, znanost se temeljila na teoretskom razmišljanju, uključujući zaključke i dokaze. Otuda potreba proučavanja prirode samog mišljenja kao sredstva spoznaje.

Prema Kurbatovu V.I. , logika je nastala, prije svega, kao pokušaj da se identificiraju i opravdaju oni zahtjevi koje znanstveno mišljenje mora zadovoljiti da bi njegovi rezultati odgovarali stvarnosti.

Drugi, možda još važniji razlog je razvoj govorništva, pa tako i sudske umjetnosti, koje je cvjetalo u uvjetima starogrčke demokracije. Najveći rimski govornik i znanstvenik Ciceron (106.-43. pr. Kr.), govoreći o moći govornika, vlasnika “božanskog dara” rječitosti, istaknuo je: “On može sigurno ostati čak i među naoružanim neprijateljima, zaštićen ne toliko njegovo osoblje, koliko njegovim naslovom govornika; može svojom riječju izazvati ogorčenje svojih sugrađana i oboriti kaznu na krivce za zločin i prijevaru, a nevine spasiti od suđenja i kazne snagom svog talenta; on je u stanju potaknuti plašljive i neodlučne ljude na junaštvo, umije ih izvesti iz zablude, umije ih raspaliti protiv nitkova i smiriti gunđanje protiv dostojnih ljudi; on zna kako, konačno, jednom riječju može i uzbuditi i smiriti sve ljudske strasti kad okolnosti slučaja to zahtijevaju.”

Prema Ivinu A.A., utemeljiteljem logike - ili, kako se ponekad kaže, "ocem logike" - smatra se najveći starogrčki filozof i enciklopedist Aristotel (384.-322. pr. Kr.). Treba, međutim, imati na umu da je prvi prilično detaljan i sustavan prikaz logičkih problema zapravo dao raniji starogrčki filozof i prirodoslovac Demokrit (460. - otprilike 370. pr. Kr.). Među njegovim brojnim djelima bila je opsežna rasprava u tri knjige, “O logici ili o kanonima”. Ovdje je otkrivena ne samo suština znanja, njegovi glavni oblici i kriteriji istine, već je također prikazana golema uloga logičkog zaključivanja u znanju, a dana je i klasifikacija prosudbi. Neki tipovi inferencijalnog znanja bili su oštro kritizirani te se pokušalo razviti induktivnu logiku - logiku eksperimentalnog znanja. Nažalost, ova Demokritova rasprava, kao i sve ostale, nije stigla do nas.

U 17. stoljeću počinje novi, viši stupanj u razvoju logike. Ova je faza organski povezana sa stvaranjem u svom okviru, uz deduktivnu logiku, i induktivne logike. Ona odražava različite procese stjecanja općeg znanja na temelju sve više akumuliranog empirijskog materijala. Potrebu za stjecanjem takvog znanja najpotpunije je spoznao i izrazio u svojim djelima istaknuti engleski filozof i prirodoslovac F. Bacon (1561.-1626.). Postao je utemeljitelj induktivne logike. “...logika koja sada postoji beskorisna je za otkrivanje znanja”, izrekao je svoju oštru presudu. Stoga, kao suprotnost starom Aristotelovu “Organonu”, Bacon je napisao “Novi Organon...”, gdje je ocrtao induktivnu logiku. Glavnu pozornost posvetio je razvoju induktivnih metoda za određivanje uzročne ovisnosti pojava. To je Baconova velika zasluga. Međutim, pokazalo se da doktrina indukcije koju je on stvorio, ironično, nije poricanje prethodne logike. I njegovo daljnje obogaćivanje i razvoj. Pridonio je stvaranju generalizirane teorije zaključivanja. I to je prirodno, jer, kao što će se u nastavku pokazati, indukcija i dedukcija ne isključuju, nego pretpostavljaju jedna drugu i u organskom su jedinstvu.

Ruski znanstvenici dali su poznati doprinos razvoju tradicionalne formalne logike. Tako već u prvim raspravama iz logike, počevši oko X.st. pokušalo se samostalno komentirati djela Aristotela i drugih znanstvenika. Izvorni logički koncepti u Rusiji razvijeni su u 18. stoljeću. a povezuju se prvenstveno s imenima M. Lomonosova (1711-1765) i A. Radiščeva (1749-1802). Procvat logičkih istraživanja kod nas seže krajem 19. stoljeća.

Grandiozan pokušaj razvoja cjelovitog sustava nove, dijalektičke logike učinio je njemački filozof G. Hegel (1770.-1831.). U svom temeljnom djelu "Znanost logike" on je, prije svega, otkrio temeljnu kontradikciju između postojećih logičkih teorija i stvarne prakse mišljenja, koja je do tog vremena dosegla značajne visine.

Kako ističe Kurbatov V.I., Hegel je preispitivao prirodu mišljenja, njegove zakone i oblike. S tim u vezi došao je do zaključka da “dijalektika čini prirodu samog mišljenja, da ono kao razum mora pasti u samonegaciju, u proturječje”. Mislilac je svoj zadatak vidio u pronalaženju načina za rješavanje tih proturječja. Hegel je oštro kritizirao staru, običnu logiku zbog njezine povezanosti s metafizičkom metodom spoznaje. Ali u toj je kritici otišao toliko daleko da je odbacio njezina načela utemeljena na zakonu identiteta i zakonu proturječnosti.

Ivin A.A. kaže da su problemi dijalektičke logike, njezin odnos s formalnom logikom dobili daljnju konkretizaciju i razvoj u djelima njemačkih filozofa i znanstvenika K. Marxa) 1818-1883) i F. Engelsa (1820-1895). Koristeći se najbogatijim intelektualnim materijalom akumuliranim u filozofiji, prirodnim i društvenim znanostima, stvorili su kvalitativno novi, dijalektičko-materijalistički sustav, koji je utjelovljen u djelima kao što su “Kapital” K. Marxa, “Anti-Dühring” i “Dijalektika prirode”. ” F. Engelsa. S tih općefilozofskih pozicija Marx i Engels ocjenjuju posebno “učenje mišljenja i njegovih zakona” - logiku i dijalektiku. Nisu negirali važnost formalne logike, nisu je smatrali "gluposti", ali su naglašavali njen povijesni karakter. Tako je Engels primijetio da je teoretsko mišljenje svake ere povijesni proizvod, koji u različitim vremenima poprima vrlo različite oblike i istovremeno vrlo različit sadržaj. “Slijedom toga, znanost o mišljenju, kao i svaka druga znanost, je povijesna znanost, znanost o povijesnom razvoju ljudskog mišljenja.”

Posljednjih su desetljeća u našoj zemlji učinjeni mnogi plodni pokušaji da se dijalektička logika sustavno prikaže. Razvoj se odvija u dva glavna smjera. S jedne strane, to je otkrivanje obrazaca odraza razvoja stvarnosti u ljudskom mišljenju, njegovih objektivnih proturječja, as druge strane, otkrivanje obrazaca razvoja samog mišljenja, njegove vlastite dijalektike.

U uvjetima znanstvene i tehnološke revolucije, kada znanosti prelaze na nove, dublje razine spoznaje i kada se povećava uloga dijalektičkog mišljenja, potreba za dijalektičkom logikom sve se više pojačava. Dobiva nove poticaje za svoj daljnji razvoj.

Pravu revoluciju u logičkim istraživanjima izazvalo je stvaranje matematičke logike u drugoj polovici 19. stoljeća, koja je nazvana i simboličkom, a označila je novu, modernu etapu u razvoju logike.

Početke ove logike možemo pratiti već kod Aristotela, kao i kod njegovih sljedbenika, stoika, u obliku elemenata predikatske logike i teorije modalnih zaključaka, kao i iskazne logike. Međutim, sustavni razvoj njegove problematike seže u mnogo kasnije vrijeme.

Kako ističe Ivin A.A., sve veći uspjesi u razvoju matematike i prodor matematičkih metoda u druge znanosti već u drugoj polovici 17. stoljeća hitno su postavili dva temeljna problema. S jedne strane, to je korištenje logike za razvijanje teorijskih temelja matematike, as druge, matematizacija same logike kao znanosti. Najdublji i najplodniji pokušaj rješavanja nastalih problema učinio je najveći njemački filozof i matematičar G. Leibniz (1646.-1416.). Time je postao, u biti, utemeljitelj matematičke logike. Leibniz je sanjao o vremenu u kojem se znanstvenici neće baviti empirijskim istraživanjem, već računanjem s olovkom u ruci. U tu je svrhu nastojao izmisliti univerzalni simbolički jezik kojim bi se svaka empirijska znanost mogla racionalizirati. Nova saznanja, po njegovom mišljenju, bit će rezultat logičnog računanja – računice.

Prema V.I. Kurbatovu, Leibnizove ideje dobile su određeni razvoj u 18. stoljeću i prvoj polovici 19. stoljeća. Međutim, najpovoljniji uvjeti za snažan razvoj simboličke logike nastali su tek u drugoj polovici 19. stoljeća. Do tog je vremena matematizacija znanosti postigla osobito značajan napredak, a novi temeljni problemi njezina opravdanja pojavili su se u samoj matematici. Engleski znanstvenik, matematičar i logičar Željeznica. Boole (1815.-1864.) je u svojim djelima matematiku primarno primijenio na logiku. Dao je matematičku analizu teorije zaključivanja i razvio logički račun (“Booleova algebra”). Njemački logičar i matematičar G. Frege (1848.-1925.) primijenio je logiku na proučavanje matematike. Kroz prošireni predikatski račun konstruirao je formalizirani aritmetički sustav.

Time je otvorena nova, moderna etapa u razvoju logičkih istraživanja. Možda je najvažnije obilježje ove faze razvoj i uporaba novih metoda za rješavanje tradicionalnih logičkih problema. To je razvoj i uporaba umjetnog, tzv. formaliziranog jezika – jezika simbola, tj. abecedni i drugi znakovi (odatle i najčešći naziv za modernu logiku – “simbolička”).

Kako ističe Ivin A.A. , postoje dvije vrste logičkog računa: iskazni račun i predikatski račun. Kod prvoga je dopuštena apstrakcija od unutarnje, pojmovne strukture sudova, a kod drugoga se ta struktura uzima u obzir te se, sukladno tome, simbolički jezik obogaćuje i dopunjuje novim znakovima.

Važnost simboličkih jezika u logici teško je precijeniti. G. Frege ga je usporedio sa značenjem teleskopa i mikroskopa. I njemački filozof G. Klaus (1912.-1974.) smatrao je da stvaranje formaliziranog jezika ima isti značaj za tehnologiju logičkog zaključivanja kao prijelaz s ručnog na strojni rad u sferi proizvodnje. Nastala na temelju tradicionalne formalne logike, simbolička logika s jedne strane pojašnjava, produbljuje i generalizira dotadašnje predodžbe o logičkim zakonima i oblicima, posebice u teoriji zaključivanja, as druge strane sve više proširuje i obogaćuje logičke probleme. . Moderna logika je složen i visoko razvijen sustav znanja. Uključuje mnoge smjerove, odvojene, relativno neovisne "logike", sve potpunije izražavajući potrebe prakse i u konačnici odražavajući raznolikost složenosti svijeta koji nas okružuje, jedinstvo i različitost razmišljanja o samom svijetu.

Simbolička logika se sve više koristi iu drugim znanostima - ne samo u matematici, već iu fizici, biologiji, kibernetici, ekonomiji i lingvistici. Dovodi do pojave novih grana znanja (matematika). Posebno je dojmljiva i jasna uloga logike u sferi proizvodnje. Otvarajući mogućnost automatizacije procesa razmišljanja, omogućuje prijenos nekih funkcija razmišljanja na tehničke uređaje. Njegovi se rezultati sve više koriste u tehnici: u izradi relejnih kontaktnih krugova, računala, informacijskih logičkih sustava itd. Prema slikovitom izrazu jednog od znanstvenika, moderna logika nije samo "alat" precizne misli, već i "misao" preciznog instrumenta, elektroničkog automata. Dostignuća moderne logike koriste se iu pravnoj sferi. Tako se u forenzičkoj znanosti u različitim fazama istraživanja provodi logička i matematička obrada prikupljenih informacija.

Sve veće potrebe znanstvenog i tehnološkog napretka uvjetuju daljnji intenzivni razvoj moderne logike.

Ostaje reći da su ruski znanstvenici dali važan doprinos razvoju sustava simboličke logike. Među njima se posebno ističe P. Poretsky (1846.-1907.). Prvi je u Rusiji počeo držati predavanja iz matematičke logike. Matematička logika nastavlja se razvijati i danas.

Prema V.I.Kurbatovu, proučavanje matematičke logike disciplinira um. Sjećajući se poznate izreke M. V. Lomonosova o matematici, možemo reći da matematička logika, više od bilo koje druge matematičke znanosti, "dovodi um u red".

Jezik bilo koje algebre sastoji se od skupa znakova koji se naziva abeceda tog jezika.

Znakovi abecede, po analogiji sa znakovima abecede prirodnog jezika, nazivaju se slovima.

Prirodno se postavlja pitanje: koja bi slova trebala sadržavati abeceda jezika numeričke algebre?

Prije svega, očito, moramo imati slova za označavanje elemenata skupa - nositelja algebre, u ovom slučaju za označavanje brojeva, te varijable za elemente tog skupa.

Koristeći decimalni brojevni sustav za označavanje brojeva, moramo u abecedu numeričke algebre uključiti deset slova koja se nazivaju brojevima: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, uz pomoć kojih, prema prema određenim pravilima, imena bilo kojih brojeva.

Kao numeričke varijable (varijable za brojeve bilo kojeg skupa N, N0, Z, Q ili R) koriste se slova latinične abecede a, b, c, x, y, z ili jedno od tih slova s ​​indeksom, tj. primjer X1, X2, Xn.

Ponekad se slova latinice koriste i kao numeričke konstante, odnosno kao nazivi brojeva (kada je riječ o određenom, ali nije bitno o kojem konkretnom broju). U ovom slučaju, početna slova latinične abecede a, b, c obično se koriste kao konstante, a posljednja slova x, y, z koriste se kao varijable.

Također su nam potrebna slova za predstavljanje operacija. Za zbrajanje i množenje koriste se dobro poznati znakovi (slova) + odnosno *.

Osim toga, ulogu interpunkcijskih znakova u jeziku algebre imaju zagrade (lijeva i desna).

Dakle, abeceda jezika u kojem je opisana bilo koja numerička algebra mora uključivati ​​skup koji se sastoji od četiri klase slova: I - brojevi od kojih su konstruirana imena brojeva; II - slova latinične abecede - numeričke varijable ili konstante; III - znakovi operacije; IV -- zagrade.

Znakovi za oduzimanje (--) i dijeljenje (:) mogu se uvesti definicijama odgovarajućih operacija.

Postupno se abeceda numeričke algebre nadopunjuje drugim "slovima", posebno se uvode znakovi binarnih odnosa "jednako", "manje od", "veće".

Svi navedeni znakovi uključeni su u abecedu matematičkog jezika, umjetnog jezika koji je nastao u vezi s potrebom za preciznim, jezgrovitim i nedvosmisleno razumljivim formulacijama matematičkih zakona, pravila i dokaza.

Povijesno gledano, simbolika matematike stvarana je stoljećima uz sudjelovanje mnogih istaknutih znanstvenika. Tako se smatra da je označavanje nepoznatih veličina slovima koristio Diofant (3. st.), a široka uporaba velikih slova latinične abecede u algebri započela je s Vietom (16. st.). mala slova ove abecede uveo je za označavanje R. Descartes (XVII. stoljeće). znak jednakosti (=) prvi put se pojavio u djelima engleskog znanstvenika R. Recorda (XVI. stoljeće), ali se uvriježio tek u XVIII. Znakovi nejednakosti (< , >) pojavili su se početkom 17. stoljeća, uveo ih je engleski matematičar Gariot. I iako znakovi “=”, “>”, “<» появились не так давно, сами понятия равенства и неравенства возникли в глубокой древности .

Tvrdnja u matematici je rečenica o kojoj je pitanje smisleno: istinita ili netočna.

O pojmovima i odnosima među njima mogu se donijeti različite prosudbe. Jezični oblik sudova su pripovjedne rečenice. Na primjer. U osnovnom tečaju matematike možete pronaći sljedeće rečenice:

1) Broj 12 je paran;

4) Broj 15 sadrži jednu deseticu i 5 jedinica;

5) Umnožak se ne mijenja preuređivanjem faktora;

6) Neki brojevi su djeljivi sa 3.

Vidimo da se rečenice koje se koriste u matematici mogu pisati i na prirodnom (ruskom) jeziku i na matematičkom jeziku, koristeći simbole. Za rečenice 1,4,5 i 6 možemo reći da nose istinitu informaciju, a za rečenicu 2 - lažnu. Što se tiče rečenice x +5 = 8, općenito je nemoguće reći je li istinita ili lažna.

Ako su dane tvrdnje A i B, tada se od njih mogu sastaviti nove tvrdnje pomoću poveznika “i”, “ili”, “ako ... onda ...”, “ili ... ili ...”, “ako i samo ako ako”, kao i čestica “ne”. Na primjer, neka A znači izjavu "Sada je sunčano", a B znači izjavu "Sada je vjetrovito". Tada izjava "A i B" znači: "Sada je sunčano i vjetrovito", izjava "Ako nije A, onda nije B" znači "Ako sada nije sunčano, onda nije vjetrovito."

Takvi iskazi nazivaju se složeni, a iskazi A i B uključeni u njih nazivaju se elementarni iskazi. Za dvije složene tvrdnje A i B kaže se da su ekvivalentne ako su obje istinite i istovremeno netočne pod bilo kojim pretpostavkama o istinitosti elementarnih tvrdnji uključenih u njih. U ovom slučaju pišu: A=B.

Već od prvog sata matematike osnovnoškolci se susreću s tvrdnjama, uglavnom točnima. Upoznaju se sa sljedećim tvrdnjama: 2 > 1, 1< 2, 3 > 2, 2 + 1 = 3, 3 - 1= 2.

Ako je A neka tvrdnja, tada, tvrdnjom da je netočna, dobivamo novu tvrdnju, koja se zove poricanje izjave A i označen je simbolom B.

Dakle, ako je iskaz istinit, onda je njegova negacija lažna, i obrnuto. Ovaj zaključak može se napisati pomoću tablice u kojoj "I" označava istinitu tvrdnju, a "L" znači lažnu. Tablice ovog tipa nazivaju se tablicama istine (vidi Dodatak 2, slika 1).

Neka su A i B dva elementarna iskaza. Povezujući ih veznikom “i”, dobivamo novi iskaz tzv veznik podaci izjave i označen je A? B. Unos A? B glasi: "A i B."

Po definiciji, konjunkcija dvaju iskaza je istinita ako i samo ako su oba iskaza istinita. Ako je barem jedan od njih netočan, tada je veznik netočan (vidi Dodatak 2, sl. 2).

Razmotrite izjavu "7 - 4 = 3 i 4 je paran broj." To je spoj dviju izjava: "7 - 4 = 3" i "4 je paran broj". Budući da su obje tvrdnje istinite, onda je njihova konjunkcija istinita.

Ako je u spoju A? Zamijenimo li iskaze A i B, tada dobivamo konjunkciju oblika B? A. Iz tablice istinitosti jasno je da formule A? B i B? A jer su različita značenja izjava A i B ili istovremeno istinite ili istovremeno netočne.

Prema tome, oni su ekvivalentni, i za bilo koje izjave A i B imamo: A? B = B? A

Ovaj zapis izražava komutativno svojstvo konjunkcije, koje omogućuje zamjenu članova konjunkcije.

Nakon što ste sastavili tablice istine za (A? B)? S i A? (B? C), dobivamo da za bilo koje istinite vrijednosti izjava A, B, C, istinite vrijednosti izjava (A? B) ? S i A? (B? C) utakmica.

Dakle, (A? B) ? C = A? (B? C).

Ova jednakost izražava asocijativnost veznika. Takva je konjunkcija istinita ako i samo ako su svi iskazi uključeni u nju istiniti.

Povezivanjem dva elementarna iskaza A i B veznikom “ili” dobivamo novi iskaz tzv disjunkcija podaci izjave . Disjunkcija iskaza A i B označava se s A?B i čita se "A ili B." Disjunkcija je lažna samo ako su oba iskaza iz kojih je nastala lažna; u svim ostalim slučajevima disjunkcija je istinita. Tablica istinitosti disjunkcije ima oblik (vidi Dodatak 2, sl. 3).

Za disjunkciju, kao i za konjunkciju, mogu se naznačiti brojne ekvivalencije. Za bilo koji A, B i C imamo:

A? B = B? A (komutativna disjunkcija);

(Ha? B) ? C = A? (B? C) (asocijativnost disjunkcije).

Svojstvo asocijativnosti disjunkcije omogućuje nam da izostavimo zagrade i napišemo A? U? C umjesto (A? B) ? S.

Pomoću tablica istine to je lako utvrditi

(Ha? B) ? C = (A? C)? (B? C)

(Ha? B) ? C = (A? C)? (PRIJE KRISTA)

Prva jednakost izražava distributivni zakon konjunkcije u odnosu na disjunkciju, a druga jednakost izražava distributivni zakon disjunkcije u odnosu na konjunkciju.

Operacije konjunkcije, disjunkcije i negacije povezane su sljedećim relacijama čija se valjanost može utvrditi pomoću tablica istine:

Te se relacije nazivaju de Morganove formule.

Razmotrimo složenu izjavu koja je formirana od dvije elementarne pomoću riječi "ako ... onda ...".

Neka su nam, na primjer, dane izjave A: “Jučer je bila nedjelja” i B: “Nisam bio na poslu.” Zatim složena izjava "Ako je jučer bila nedjelja, onda nisam bio na poslu" ima formulu "Ako A, onda B."

Poziva se izjava "Ako A, onda B". implikacija iskaza A, B i uz pomoć simbola zapisuju se ovako: A => B. Izjava A, uključena u implikaciju A => B, naziva se uvjet implikacije, a izjava B je njezin zaključak.

Stoga tablica istinitosti implikacije “Ako A, onda B” izgleda ovako (vidi Dodatak 2, sl. 4).

Od dvije tvrdnje A i B možete napraviti novu tvrdnju koja glasi ovako: “I ako i samo ako B.” Ova izjava se zove ekvivalentne izjave A i B i označavaju: A B. Izjava A B se smatra istinitom ako su obje tvrdnje A i B istinite ili su obje tvrdnje A i B netočne. U drugim slučajevima (tj. ako je jedna tvrdnja istinita, a druga netočna), ekvivalentnost se smatra lažnom. Dakle, tablica istinitosti za ekvivalenciju A i B ima oblik (vidi Dodatak 2, Slika 5).

1.3 Logično razmišljanje

Svako obrazloženje sastoji se od niza izjava koje slijede jedna iz druge prema određenim pravilima. Sposobnost rasuđivanja i ispravnog potkrijepljivanja zaključaka neophodna je za ljude bilo koje profesije. Čovjek uči rasuđivati ​​od trenutka kada počne govoriti, ali ciljano osposobljavanje logike rasuđivanja počinje u školi. Već početni tečaj matematike pretpostavlja razvoj sposobnosti učenika za uspoređivanje, klasificiranje predmeta, analizu činjenica i dokazivanje najjednostavnijih tvrdnji. Logičko razmišljanje potrebno je ne samo za rješavanje matematičkih problema, već i za gramatičku analizu, svladavanje principa prirodne povijesti itd. Dakle, učitelj razredne nastave mora poznavati logiku, tj. sa znanošću o zakonima i oblicima mišljenja, o općim obrascima zaključivanja.

Glavne vrste prosudbi i zaključaka razmatraju se u klasičnoj logici, koju je stvorio starogrčki filozof Aristotel (384-322 pr. Kr.).

U logici se zaključivanje dijeli na:

1. ispravan;

2. netočno.

Ispravno zaključivanje je zaključivanje u kojem se poštuju sva pravila i zakoni logike. Netočno rezoniranje je rezoniranje u kojem dolazi do logičkih pogrešaka zbog kršenja pravila ili zakona logike.

Postoje dvije vrste logičkih grešaka:

1. paralogizmi;

2. sofizam.

Paralogizmi su logičke pogreške koje se nenamjerno (iz neznanja) čine u procesu zaključivanja.

Sofizmi su logičke pogreške koje se u procesima zaključivanja čine namjerno s ciljem da se protivnik dovede u zabludu, da se opravda neka lažna tvrdnja, kakva glupost i sl.

Sofizmi su poznati od davnina. Sofisti su se široko koristili takvim razmatranjima u svojoj praksi. Od njih dolazi naziv "sofizam" Brojni primjeri rezoniranja koje su sofisti koristili u raznim sporovima preživjeli su do našeg vremena. Nabrojimo neke od njih.

Najpoznatiji antički sofizam je razmišljanje pod nazivom "Rogati".

Zamislite situaciju: jedna osoba želi drugu uvjeriti da ima rogove. Opravdanje za to je navedeno: “Ono što nisi izgubio, to imaš. Nisi izgubio rogove. Dakle, imaš rogove."

Na prvi pogled, ovo razmišljanje se čini točnim. Ali sadrži logičku pogrešku koju osoba koja ne razumije logiku vjerojatno neće moći odmah pronaći.

Navedimo još jedan primjer. Protagora (utemeljitelj škole sofista) bio je Euatlov učenik. Učitelj i učenik sklopili su sporazum prema kojem će Evatl plaćati školarinu tek nakon što dobije prvu parnicu. No, nakon završetka studija, Evatl se nije žurio pojaviti na sudu. Učitelju je ponestalo strpljenja i podigao je tužbu protiv svog učenika "U svakom slučaju, Euathlus će mi morati platiti", pomisli Protagora. - Ili će dobiti ovo suđenje ili ga izgubiti. Ako dobije, plati po dogovoru; ako izgubi, platit će po sudskoj presudi.” "Ništa slično", usprotivio se Evatl. - Zaista, ili ću dobiti ili izgubiti suđenje.

Ako dobijem, sudska odluka će me osloboditi plaćanja, ali ako izgubim, neću platiti prema našem dogovoru *.

U ovom primjeru postoji i logička pogreška. A koji točno - saznat ćemo dalje.

Glavni zadatak logike je analiza ispravnih razmatranja. Logičari nastoje identificirati i istražiti obrasce takvih razmatranja, definirati njihove različite vrste itd. Neispravno razmišljanje u logici analizira se samo sa stajališta pogrešaka koje su u njima učinjene.

Treba napomenuti da ispravnost obrazloženja ne znači istinitost njegovih premisa i zaključaka. Općenito, logika se ne bavi određivanjem istinitosti ili lažnosti premisa i zaključaka razmatranja. Ali u logici postoji takvo pravilo: ako je razmatranje konstruirano ispravno (u skladu s pravilima i zakonima logike) i istodobno se temelji na istinitim premisama, tada će zaključak takvog razmišljanja uvijek biti bezuvjetno istinit. U drugim slučajevima ne može se jamčiti istinitost zaključka.

Stoga, ako je rezoniranje netočno konstruirano, tada, čak i unatoč činjenici da su njegove premise istinite, zaključak takvog rezoniranja može biti istinit u jednom slučaju, a netočan u drugom.

Razmotrimo, na primjer, sljedeća dva razmatranja, koja su konstruirana prema istoj netočnoj shemi:

(1) Logika je znanost.

Alkemija nije logika.

Alkemija nije znanost.

(2) Logika je znanost.

Zakon nije logika.

Pravo nije znanost.

Očito je da je u prvom obrazloženju zaključak istinit, ali u drugom je netočan, iako su premise u oba slučaja istinite tvrdnje.

Također je nemoguće jamčiti istinitost zaključka argumenta kada je barem jedna od njegovih premisa netočna, čak i ako je ovo razmišljanje točno.

Ispravno zaključivanje je zaključivanje u kojem neke misli (zaključci) nužno slijede iz drugih mišljenja (premisa).

Primjer ispravnog razmišljanja mogao bi biti sljedeći zaključak: „Svaki građanin Ukrajine mora priznati njezin Ustav. Svi narodni zastupnici Ukrajine su državljani Ukrajine. Dakle, svatko od njih mora priznati Ustav svoje države”, a primjer istinite misli je i presuda: “Ima građana Ukrajine koji ne priznaju barem neke članke Ustava svoje države.”

Sljedeće obrazloženje treba smatrati netočnim: "Budući da se gospodarska kriza u Ukrajini jasno osjeća nakon proglašenja njezine neovisnosti, potonje je uzrok ove krize." Ova vrsta logičke pogreške naziva se "nakon ovoga - zbog ovoga". Ono leži u činjenici da se vremenski slijed događaja u takvim slučajevima poistovjećuje s kauzalnošću. Primjer neistinitog mišljenja može biti bilo koji stav koji ne odgovara stvarnosti, recimo, izjava da ukrajinska nacija uopće ne postoji.

Svrha znanja je stjecanje istinskog znanja. Da biste zaključivanjem dobili takvo znanje, morate, prvo, imati istinite premise, i drugo, pravilno ih kombinirati, zaključivati ​​prema zakonima logike. Kada koriste lažne premise, čine činjenične pogreške, a kada krše zakone logike, pravila za konstruiranje razmatranja, čine logičke pogreške. Činjenične pogreške, naravno, treba izbjegavati, što nije uvijek moguće. Što se tiče logičkih, osoba visoke intelektualne kulture može izbjeći ove pogreške, budući da su osnovni zakoni logički ispravnog razmišljanja, pravila za konstrukciju razmišljanja, pa čak i smisleno tipične pogreške u zaključivanju, odavno formulirane.

Logika vas uči ispravno zaključivati, izbjegavati logičke pogreške i razlikovati ispravno razmišljanje od netočnog zaključivanja. Klasificira ispravna razmatranja kako bi ih sustavno razumjela. U tom kontekstu može se postaviti pitanje: budući da ima mnogo promišljanja, je li moguće, riječima Kozme Prutkova, prigrliti bezgranično? Da, moguće je, budući da logika uči razmišljati, usredotočujući se ne na konkretan sadržaj misli koje su dio razmišljanja, već na shemu, strukturu razmišljanja, oblik kombiniranja tih misli. Recimo oblik rezoniranja poput “Svaki x je y, a ovaj z je x; Prema tome, zadani r je točan, a znanje o njegovoj ispravnosti uključuje mnogo bogatije informacije od znanja o ispravnosti zasebnog smislenog argumenta sličnog oblika. I oblik zaključivanja po shemi „Svaki x je y, a z je također y; dakle, z je x" odnosi se na netočne. Kao što gramatika proučava oblike riječi i njihove kombinacije u rečenici, apstrahirajući se od specifičnog sadržaja jezičnih izraza, tako logika proučava oblike mišljenja i njihove kombinacije, apstrahirajući se od specifičnog sadržaja tih misli.

Da bi se otkrio oblik misli ili razmatranja, ono mora biti formalizirano.

Zaključci o 1. poglavlju

Na temelju navedenog mogu se izvući sljedeći zaključci:

1. Logika je nastala kao grana filozofskog znanja. Glavni razlozi njezina nastanka su razvoj znanosti i govorništva. Budući da se znanost temelji na teoretskom mišljenju, koje uključuje konstrukciju zaključaka i dokaza, postoji potreba proučavanja samog mišljenja kao oblika spoznaje.

2. U modernoj znanosti važnost simboličke logike je vrlo velika. Nalazi primjenu u kibernetici, neurofiziologiji i lingvistici. Simbolička logika je moderna faza u razvoju formalne logike. Proučava procese zaključivanja i dokazivanja kroz njihovu reprezentaciju u logičkim sustavima. Dakle, po svom predmetu ova znanost je logika, a po svojoj metodi matematika.

Nakon proučavanja materijala, razjasnili smo svoje ideje o matematičkim pojmovima:

To su pojmovi idealnih objekata;

Svaki matematički pojam ima pojam, opseg i sadržaj;

Pojmovima su dane definicije; mogu biti eksplicitni ili implicitni. Implicitne uključuju kontekstualne i ostenzivne definicije;

Učenje koncepata odvija se od razreda do razreda uz prošireno istraživanje teme.

U proučavanju gradiva upoznali smo se s pojmovima uz pomoć kojih smo pojasnili značenje veznika „i“, „ili“, čestice „ne“, riječi „svaki“, „postoji“, „dakle“ i "ekvivalentno" korišten u matematici. Ovo su koncepti:

izjava;

Elementarni iskazi;

Logički veznici;

Složeni iskazi;

Konjunkcija iskaza;

Disjunkcija iskaza;

Uskraćivanje izjava.

Pregledali smo pravila:

Određivanje istinitosti složene izjave;

Konstrukcije negacije rečenica različitih struktura.

Poglavlje 2. Korištenje elemenata matematičke logike u nastavi matematike u osnovnoj školi

2.1 Korištenjeelementi logike u početnom tečaju matematike

Matematika pruža stvarne preduvjete za razvoj logičkog mišljenja, a zadatak učitelja je potpunije iskoristiti te mogućnosti u poučavanju djece matematici. Međutim, ne postoji poseban program za razvoj tehnika logičkog mišljenja koji bi se trebao formulirati tijekom proučavanja ovog predmeta. Kao rezultat toga, rad na razvoju logičkog mišljenja odvija se bez poznavanja sustava potrebnih tehnika, bez poznavanja njihovog sadržaja i slijeda formiranja.

Barakina V.T. ističe sljedeće zahtjeve za znanje, vještine i sposobnosti učenika pri proučavanju elemenata logike u osnovnoj školi:

1. Elementi teorije skupova:

Upoznati skupove raznih naravi na konkretnim primjerima i načinima njihova zapisivanja (nabrajanjem);

Naučiti identificirati elemente skupa;

Upoznati glavne tipove odnosa između skupova i način na koji se oni prikazuju Euler-Vennovim krugovima;

Naučiti izvoditi neke operacije nad skupovima (unija, presjek).

2. Elementi propozicijske teorije:

Upoznati iskaz na razini ideja;

Naučiti razlikovati iskaze od drugih rečenica;

Upoznati glavne vrste izjava;

Naučiti izvoditi neke operacije nad izjavama (negacija, konjunkcija, disjunkcija).

3. Elementi kombinatorike:

Upoznajte se s ovim pojmom na razini ideja;

Naučiti razlikovati kombinatorne probleme od drugih tipova tekstualnih zadataka koji se obrađuju u lekcijama matematike;

Naučiti rješavati zadatke određivanja broja rasporeda n elemenata po m elemenata.

Elementi logike u osnovnoj školi obrađuju se i na nastavi matematike i informatike. Istodobno, razina zahtjeva za znanjem, vještinama i sposobnostima učenika, kao i sadržaj obuke u ovom dijelu, donekle se razlikuje u različitim programima. To je, prije svega, zbog činjenice da trenutno Savezni državni obrazovni standard za osnovno osnovno obrazovanje ne zahtijeva obvezno razmatranje ove teme u razredima 1-4.

Trenutno su svi matematički tečajevi usmjereni na razvoj učenika. Na primjer, tečaj Istomina N.B. njegov glavni cilj je razvoj metoda mentalne aktivnosti učenika, mentalnih operacija: analiza, sinteza, usporedba, klasifikacija, analogija, generalizacija.

...

Slični dokumenti

Studiranje tečaja matematičke logike. Osnova logike je svijest o strukturi matematičke znanosti i njezinih temeljnih pojmova. Povijesna crtica. Ekvivalencija rečenica. Uskraćivanje izjava. Logičan nastavak.

diplomski rad, dodan 08.08.2007


Izvannastavne aktivnosti kao jedan od oblika rada. Pedagoške osnove izučavanja matematičke logike u srednjoj školi u sklopu izvannastavnih aktivnosti. Analiza postojećih metoda za razvoj općih logičkih i logičkih vještina kod učenika.

kolegij, dodan 19.11.2012


Osnove metoda proučavanja matematičkih pojmova. Matematički pojmovi, njihov sadržaj i opseg, klasifikacija pojmova. Psihološko-pedagoške značajke nastave matematike u 5.-6. Psihološki aspekti oblikovanja pojmova.

diplomski rad, dodan 08.08.2007


Jezične osnove učenja pridjeva u osnovnoj školi. Psihološko-pedagoške osnove učenja pridjeva u osnovnoj školi. Metodika rada na pridjevima prema sustavu razvojnog obrazovanja L.V. Zankova.

diplomski rad, dodan 03.04.2007


Teorijske osnove pripreme djece za učenje matematike u školi. Pitanja pripreme djece za školu u psihološkoj, pedagoškoj i metodičkoj literaturi. Pojam, suština, značenje matematičke spremnosti za učenje u školi. Istraživački program.

kolegij, dodan 23.10.2008


Značajke izučavanja matematike u osnovnoj školi prema Saveznom državnom obrazovnom standardu za osnovno opće obrazovanje. Sadržaj predmeta. Analiza osnovnih matematičkih pojmova. Suština individualnog pristupa u didaktici.

kolegij, dodan 29.09.2016


Psihološko-pedagoške osnove za razvoj logičkog mišljenja kod osnovnoškolaca. Izrada metodologije za rješavanje problema razvoja logičke pismenosti učenika u nastavi matematike u osnovnoj školi, primjeri rješavanja nestandardnih aritmetičkih zadataka.

diplomski rad, dodan 31.03.2012


Teorijsko-metodološke osnove ispitnih zadataka i njihovih vrsta. Psihološko-pedagoške osnove. Testovi na nastavi matematike. Analiza iskustva nastavnika u korištenju ispitnih zadataka. Kratak opis prednosti korištenja testnog oblika kontrole.

kolegij, dodan 17.04.2017


Psihološke karakteristike mlađeg školskog djeteta. Tehnike i metode korištenja elemenata etimološke analize u nastavi osnovne škole. Značajke poučavanja kompetentnog pisanja mlađih školaraca. Analiza obrazovnog kompleksa "Ruski jezik" u osnovnim razredima.

diplomski rad, dodan 24.03.2015


Razvoj govora učenika u nastavi matematike. Tehnike razvoja matematičkog govora. Veze govora, mišljenja i jezika. Razvijanje logike, izražajnosti, dokaznosti i točnosti matematičkog govora. Podizanje razine govorne kulture učenika.