Ajutor la Tele2, tarife, intrebari

Fie definită și continuă funcția $z=f(x,y)$ într-un domeniu închis mărginit $D$. Fie ca funcția dată din această regiune să aibă derivate parțiale finite de ordinul întâi (cu excepția, poate, a unui număr finit de puncte). Pentru a găsi cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții a două variabile într-o regiune închisă dată, sunt necesari trei pași ai unui algoritm simplu.

Algoritm pentru găsirea celor mai mari și mai mici valori ale funcției $z=f(x,y)$ într-un domeniu închis $D$.

1. Aflați punctele critice ale funcției $z=f(x,y)$ aparținând domeniului $D$. Calculați valorile funcției în punctele critice.
2. Investigați comportamentul funcției $z=f(x,y)$ la limita regiunii $D$, găsind punctele valorilor maxime și minime posibile. Calculați valorile funcției la punctele obținute.
3. Din valorile funcției obținute în cele două paragrafe precedente, selectați cel mai mare și cel mai mic.

Care sunt punctele critice? arată ascunde

Sub puncte critice implică puncte la care ambele derivate parțiale de ordinul întâi sunt egale cu zero (adică $\frac(\partial z)(\partial x)=0$ și $\frac(\partial z)(\partial y)=0 $) sau cel puțin o derivată parțială nu există.

Adesea sunt numite punctele în care derivatele parțiale de ordinul întâi sunt egale cu zero punctele staţionare. Astfel, punctele staționare sunt un subset de puncte critice.

Exemplul nr. 1

Găsiți cele mai mari și cele mai mici valori ale funcției $z=x^2+2xy-y^2-4x$ într-o regiune închisă delimitată de liniile $x=3$, $y=0$ și $y=x +1$.

Vom urma cele de mai sus, dar mai întâi ne vom ocupa de desenarea unei zone date, pe care o vom nota cu litera $D$. Ni se dau ecuațiile a trei drepte care limitează această zonă. Dreapta $x=3$ trece prin punctul $(3;0)$ paralel cu axa ordonatelor (axa Oy). Linia dreaptă $y=0$ este ecuația axei absciselor (axa Ox). Ei bine, pentru a construi dreapta $y=x+1$, vom găsi două puncte prin care vom trasa această dreaptă. Puteți, desigur, să înlocuiți câteva valori arbitrare în loc de $x$. De exemplu, înlocuind $x=10$, obținem: $y=x+1=10+1=11$. Am găsit punctul $(10;11)$ situat pe dreapta $y=x+1$. Totuși, este mai bine să găsiți acele puncte în care dreapta $y=x+1$ intersectează liniile $x=3$ și $y=0$. De ce este mai bine? Pentru că vom ucide câteva păsări dintr-o singură piatră: vom obține două puncte pentru a construi linia dreaptă $y=x+1$ și, în același timp, vom afla în ce puncte intersectează această dreaptă alte linii care limitează aria dată. Linia $y=x+1$ intersectează linia $x=3$ în punctul $(3;4)$, iar linia $y=0$ se intersectează în punctul $(-1;0)$. Pentru a nu aglomera mersul soluției cu explicații auxiliare, voi pune problema obținerii acestor două puncte într-o notă.

Cum au fost obținute punctele $(3;4)$ și $(-1;0)$? arată ascunde

Să începem de la punctul de intersecție al dreptelor $y=x+1$ și $x=3$. Coordonatele punctului dorit aparțin atât primei, cât și celei de a doua drepte, prin urmare, pentru a găsi coordonatele necunoscute, trebuie să rezolvați sistemul de ecuații:

$$ \left \( \begin(aligned) & y=x+1;\\ & x=3. \end(aligned) \right. $$

Solutia unui astfel de sistem este banala: substituind $x=3$ in prima ecuatie vom avea: $y=3+1=4$. Punctul $(3;4)$ este punctul de intersecție dorit al dreptelor $y=x+1$ și $x=3$.

Acum să găsim punctul de intersecție al dreptelor $y=x+1$ și $y=0$. Să compunem și să rezolvăm din nou sistemul de ecuații:

$$ \left \( \begin(aligned) & y=x+1;\\ & y=0. \end(aligned) \right. $$

Înlocuind $y=0$ în prima ecuație, obținem: $0=x+1$, $x=-1$. Punctul $(-1;0)$ este punctul de intersecție dorit al dreptelor $y=x+1$ și $y=0$ (axa x).

Totul este gata pentru a construi un desen care va arăta astfel:

Întrebarea notei pare evidentă, pentru că totul este vizibil în poză. Cu toate acestea, merită să ne amintim că un desen nu poate servi drept dovadă. Desenul are doar scop ilustrativ.

Zona noastră a fost definită folosind ecuații în linie dreaptă care o legau. Evident, aceste linii definesc un triunghi, nu? Sau nu este complet evident? Sau poate ni se oferă o zonă diferită, delimitată de aceleași linii:

Desigur, condiția spune că zona este închisă, așa că poza afișată este incorectă. Dar pentru a evita astfel de ambiguități, este mai bine să definiți regiunile prin inegalități. Suntem interesați de partea de plan situată sub dreapta $y=x+1$? Ok, deci $y ≤ x+1$. Zona noastră ar trebui să fie situată deasupra liniei $y=0$? Grozav, asta înseamnă $y ≥ 0$. Apropo, ultimele două inegalități pot fi ușor combinate într-una singură: $0 ≤ y ≤ x+1$.

$$ \left \( \begin(aligned) & 0 ≤ y ≤ x+1;\\ & x ≤ 3. \end(aligned) \right. $$

Aceste inegalități definesc regiunea $D$ și o definesc fără ambiguitate, fără a permite nicio ambiguitate. Dar cum ne ajută acest lucru cu întrebarea formulată la începutul notei? De asemenea, va ajuta :) Trebuie să verificăm dacă punctul $M_1(1;1)$ aparține zonei $D$. Să substituim $x=1$ și $y=1$ în sistemul de inegalități care definesc această regiune. Dacă ambele inegalități sunt satisfăcute, atunci punctul se află în interiorul regiunii. Dacă cel puțin una dintre inegalități nu este satisfăcută, atunci punctul nu aparține regiunii. Asa de:

$$ \left \( \begin(aligned) & 0 ≤ 1 ≤ 1+1;\\ & 1 ≤ 3. \end(aligned) \right. \;\; \left \( \begin(aligned) & 0 ≤ 1 ≤ 2;\\ & 1 ≤ 3. \end(aligned) \right.$$

Ambele inegalități sunt valabile. Punctul $M_1(1;1)$ aparține regiunii $D$.

Acum este timpul să studiem comportamentul funcției la limita regiunii, adică. să mergem la . Să începem cu linia dreaptă $y=0$.

Linia dreaptă $y=0$ (axa absciselor) limitează regiunea $D$ în condiția $-1 ≤ x ≤ 3$. Să substituim $y=0$ în funcția dată $z(x,y)=x^2+2xy-y^2-4x$. Notăm funcția unei variabile $x$ obținută ca rezultat al înlocuirii ca $f_1(x)$:

$$ f_1(x)=z(x,0)=x^2+2x\cdot 0-0^2-4x=x^2-4x. $$

Acum, pentru funcția $f_1(x)$ trebuie să găsim cele mai mari și cele mai mici valori pe intervalul $-1 ≤ x ≤ 3$. Să găsim derivata acestei funcții și să o echivalăm cu zero:

$$ f_(1)^(")(x)=2x-4;\\ 2x-4=0; \; x=2. $$

Valoarea $x=2$ aparține segmentului $-1 ≤ x ≤ 3$, așa că vom adăuga și $M_2(2;0)$ la lista de puncte. În plus, să calculăm valorile funcției $z$ la capetele segmentului $-1 ≤ x ≤ 3$, adică. la punctele $M_3(-1;0)$ și $M_4(3;0)$. Apropo, dacă punctul $M_2$ nu ar aparține segmentului luat în considerare, atunci, desigur, nu ar fi nevoie să se calculeze valoarea funcției $z$ din acesta.

Deci, să calculăm valorile funcției $z$ în punctele $M_2$, $M_3$, $M_4$. Puteți, desigur, să înlocuiți coordonatele acestor puncte în expresia originală $z=x^2+2xy-y^2-4x$. De exemplu, pentru punctul $M_2$ obținem:

$$z_2=z(M_2)=2^2+2\cdot 2\cdot 0-0^2-4\cdot 2=-4.$$

Cu toate acestea, calculele pot fi puțin simplificate. Pentru a face acest lucru, merită să ne amintim că pe segmentul $M_3M_4$ avem $z(x,y)=f_1(x)$. Voi scrie asta în detaliu:

\begin(aligned) & z_2=z(M_2)=z(2,0)=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\\ & z_3=z(M_3)=z(- 1,0)=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\\ & z_4=z(M_4)=z(3,0)=f_1(3)= 3^2-4\cdot 3=-3. \end(aliniat)

Desigur, de obicei nu este nevoie de astfel de înregistrări detaliate, iar în viitor vom nota pe scurt toate calculele:

$$z_2=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\; z_3=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\; z_4=f_1(3)=3^2-4\cdot 3=-3.$$

Acum să trecem la linia dreaptă $x=3$. Această linie dreaptă limitează regiunea $D$ în condiția $0 ≤ y ≤ 4$. Să substituim $x=3$ în funcția dată $z$. Ca rezultat al acestei substituții obținem funcția $f_2(y)$:

$$ f_2(y)=z(3,y)=3^2+2\cdot 3\cdot y-y^2-4\cdot 3=-y^2+6y-3. $$

Pentru funcția $f_2(y)$ trebuie să găsim cele mai mari și cele mai mici valori pe intervalul $0 ≤ y ≤ 4$. Să găsim derivata acestei funcții și să o echivalăm cu zero:

$$ f_(2)^(")(y)=-2y+6;\\ -2y+6=0; \; y=3. $$

Valoarea $y=3$ aparține segmentului $0 ≤ y ≤ 4$, așa că vom adăuga și $M_5(3;3)$ la punctele găsite anterior. În plus, este necesar să se calculeze valoarea funcției $z$ în punctele de la capetele segmentului $0 ≤ y ≤ 4$, adică. în punctele $M_4(3;0)$ și $M_6(3;4)$. La punctul $M_4(3;0)$ am calculat deja valoarea $z$. Să calculăm valoarea funcției $z$ în punctele $M_5$ și $M_6$. Permiteți-mi să vă reamintesc că pe segmentul $M_4M_6$ avem $z(x,y)=f_2(y)$, prin urmare:

\begin(aligned) & z_5=f_2(3)=-3^2+6\cdot 3-3=6; & z_6=f_2(4)=-4^2+6\cdot 4-3=5. \end(aliniat)

Și, în cele din urmă, luați în considerare ultima graniță a regiunii $D$, adică. linie dreaptă $y=x+1$. Această linie dreaptă limitează regiunea $D$ în condiția $-1 ≤ x ≤ 3$. Înlocuind $y=x+1$ în funcția $z$, vom avea:

$$ f_3(x)=z(x,x+1)=x^2+2x\cdot (x+1)-(x+1)^2-4x=2x^2-4x-1. $$

Din nou avem o funcție a unei variabile $x$. Și din nou trebuie să găsim cele mai mari și cele mai mici valori ale acestei funcții pe intervalul $-1 ≤ x ≤ 3$. Să găsim derivata funcției $f_(3)(x)$ și să o echivalăm cu zero:

$$ f_(3)^(")(x)=4x-4;\\ 4x-4=0; \; x=1. $$

Valoarea $x=1$ aparține intervalului $-1 ≤ x ≤ 3$. Dacă $x=1$, atunci $y=x+1=2$. Să adăugăm $M_7(1;2)$ la lista de puncte și să aflăm care este valoarea funcției $z$ în acest moment. Punctele de la capetele segmentului $-1 ≤ x ≤ 3$, i.e. punctele $M_3(-1;0)$ și $M_6(3;4)$ au fost luate în considerare mai devreme, am găsit deja valoarea funcției în ele.

$$z_7=f_3(1)=2\cdot 1^2-4\cdot 1-1=-3.$$

Al doilea pas al soluției este finalizat. Am primit șapte valori:

$$z_1=-2;\;z_2=-4;\;z_3=5;\;z_4=-3;\;z_5=6;\;z_6=5;\;z_7=-3.$$

Să ne întoarcem la. Alegând cele mai mari și cele mai mici valori dintre numerele obținute în al treilea paragraf, vom avea:

$$z_(min)=-4; \; z_(max)=6.$$

Problema este rezolvată, rămâne doar să notăm răspunsul.

Răspuns: $z_(min)=-4; \; z_(max)=6$.

Exemplul nr. 2

Găsiți cele mai mari și cele mai mici valori ale funcției $z=x^2+y^2-12x+16y$ în regiunea $x^2+y^2 ≤ 25$.

Mai întâi, să construim un desen. Ecuația $x^2+y^2=25$ (aceasta este linia de delimitare a unei zone date) definește un cerc cu un centru la origine (adică în punctul $(0;0)$) și o rază de 5. Inegalitatea $x^2 +y^2 ≤ $25 satisface toate punctele din interiorul și de pe cercul menționat.

Vom acționa conform. Să găsim derivate parțiale și să aflăm punctele critice.

$$ \frac(\partial z)(\partial x)=2x-12; \frac(\partial z)(\partial y)=2y+16. $$

Nu există puncte în care derivatele parțiale găsite să nu existe. Să aflăm în ce puncte ambele derivate parțiale sunt simultan egale cu zero, adică. haideti sa gasim puncte stationare.

$$ \left \( \begin(aligned) & 2x-12=0;\\ & 2y+16=0. \end(aligned) \right. \;\; \left \( \begin(aligned) & x =6;\\ & y=-8.\end(aliniat)\right.$$

Am obținut un punct staționar $(6;-8)$. Totuși, punctul găsit nu aparține regiunii $D$. Acest lucru este ușor de arătat fără a recurge măcar la desen. Să verificăm dacă inegalitatea $x^2+y^2 ≤ 25$ este valabilă, ceea ce definește regiunea noastră $D$. Dacă $x=6$, $y=-8$, atunci $x^2+y^2=36+64=100$, adică. inegalitatea $x^2+y^2 ≤ 25$ nu este valabilă. Concluzie: punctul $(6;-8)$ nu aparține zonei $D$.

Deci, nu există puncte critice în interiorul regiunii $D$. Să trecem la... Trebuie să studiem comportamentul unei funcții la granița unei regiuni date, i.e. pe cercul $x^2+y^2=25$. Putem, desigur, să exprimăm $y$ în termeni de $x$ și apoi să înlocuim expresia rezultată în funcția noastră $z$. Din ecuația unui cerc obținem: $y=\sqrt(25-x^2)$ sau $y=-\sqrt(25-x^2)$. Înlocuind, de exemplu, $y=\sqrt(25-x^2)$ în funcția dată, vom avea:

$$ z=x^2+y^2-12x+16y=x^2+25-x^2-12x+16\sqrt(25-x^2)=25-12x+16\sqrt(25-x ^2); \;\; -5≤ x ≤ 5. $$

Soluția ulterioară va fi complet identică cu studiul comportamentului funcției la limita regiunii din exemplul precedent nr. 1. Totuși, mi se pare mai rezonabil să aplicăm metoda Lagrange în această situație. Ne va interesa doar prima parte a acestei metode. După aplicarea primei părți a metodei Lagrange, vom obține puncte la care vom examina funcția $z$ pentru valori minime și maxime.

Compunem funcția Lagrange:

$$ F=z(x,y)+\lambda\cdot(x^2+y^2-25)=x^2+y^2-12x+16y+\lambda\cdot (x^2+y^2 -25). $$

Găsim derivatele parțiale ale funcției Lagrange și compunem sistemul de ecuații corespunzător:

$$ F_(x)^(")=2x-12+2\lambda x; \;\; F_(y)^(")=2y+16+2\lambda y.\\ \left \( \begin (aliniat) & 2x-12+2\lambda x=0;\\ & 2y+16+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-25=0. \end(aligned) \ dreapta. \;\; \left \( \begin(aligned) & x+\lambda x=6;\\ & y+\lambda y=-8;\\ & x^2+y^2=25. \end( aliniat)\dreapta.$$

Pentru a rezolva acest sistem, să subliniem imediat că $\lambda\neq -1$. De ce $\lambda\neq -1$? Să încercăm să înlocuim $\lambda=-1$ în prima ecuație:

$$ x+(-1)\cdot x=6; \; x-x=6; \; 0=6. $$

Contradicția rezultată $0=6$ indică faptul că valoarea $\lambda=-1$ este inacceptabilă. Ieșire: $\lambda\neq -1$. Să exprimăm $x$ și $y$ în termeni de $\lambda$:

\begin(aligned) & x+\lambda x=6;\; x(1+\lambda)=6;\; x=\frac(6)(1+\lambda). \\ & y+\lambda y=-8;\; y(1+\lambda)=-8;\; y=\frac(-8)(1+\lambda). \end(aliniat)

Cred că aici devine evident de ce am stipulat în mod specific condiția $\lambda\neq -1$. Acest lucru a fost făcut pentru a încadra expresia $1+\lambda$ în ​​numitori fără interferențe. Adică, pentru a fi sigur că numitorul $1+\lambda\neq 0$.

Să substituim expresiile rezultate pentru $x$ și $y$ în a treia ecuație a sistemului, adică. în $x^2+y^2=25$:

$$ \left(\frac(6)(1+\lambda) \right)^2+\left(\frac(-8)(1+\lambda) \right)^2=25;\\ \frac( 36)((1+\lambda)^2)+\frac(64)((1+\lambda)^2)=25;\\ \frac(100)((1+\lambda)^2)=25 ; \; (1+\lambda)^2=4. $$

Din egalitatea rezultată rezultă că $1+\lambda=2$ sau $1+\lambda=-2$. Astfel avem două valori ale parametrului $\lambda$ și anume: $\lambda_1=1$, $\lambda_2=-3$. În consecință, obținem două perechi de valori $x$ și $y$:

\begin(aligned) & x_1=\frac(6)(1+\lambda_1)=\frac(6)(2)=3; \; y_1=\frac(-8)(1+\lambda_1)=\frac(-8)(2)=-4. \\ & x_2=\frac(6)(1+\lambda_2)=\frac(6)(-2)=-3; \; y_2=\frac(-8)(1+\lambda_2)=\frac(-8)(-2)=4. \end(aliniat)

Deci, am obținut două puncte ale unui posibil extremum condiționat, i.e. $M_1(3;-4)$ și $M_2(-3;4)$. Să găsim valorile funcției $z$ în punctele $M_1$ și $M_2$:

\begin(aligned) & z_1=z(M_1)=3^2+(-4)^2-12\cdot 3+16\cdot (-4)=-75; \\ & z_2=z(M_2)=(-3)^2+4^2-12\cdot(-3)+16\cdot 4=125. \end(aliniat)

Ar trebui să selectăm cele mai mari și cele mai mici valori dintre cele pe care le-am obținut în primul și al doilea pas. Dar în acest caz alegerea este mică :) Avem:

$$ z_(min)=-75; \; z_(max)=125. $$

Răspuns: $z_(min)=-75; \; z_(max)=125 USD.

Cum să găsiți cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții pe un segment?

Pentru aceasta urmam un algoritm binecunoscut:

1 . Găsirea funcțiilor ODZ.

2 . Găsirea derivatei funcției

3 . Echivalarea derivatei cu zero

4 . Găsim intervalele peste care derivata își păstrează semnul, iar din ele determinăm intervalele de creștere și scădere a funcției:

Dacă pe intervalul I derivata funcției este 0" title="f^(prim)(x)>0">, то функция !} crește în acest interval.

Dacă pe intervalul I derivata funcției , atunci funcția scade în acest interval.

5 . Găsim punctele maxime și minime ale funcției.

ÎN în punctul maxim al funcției, derivata își schimbă semnul de la „+” la „-”.

ÎN punctul minim al funcțieiderivata își schimbă semnul din „-” în „+”.

6 . Găsim valoarea funcției la capetele segmentului,

• apoi comparăm valoarea funcției la capetele segmentului și la punctele maxime și alegeți cea mai mare dintre ele dacă trebuie să găsiți cea mai mare valoare a funcției
• sau comparați valoarea funcției la capetele segmentului și la punctele minime și alegeți cel mai mic dintre ele dacă trebuie să găsiți cea mai mică valoare a funcției

Totuși, în funcție de modul în care funcția se comportă pe segment, acest algoritm poate fi redus semnificativ.

Luați în considerare funcția . Graficul acestei funcții arată astfel:

Să ne uităm la câteva exemple de rezolvare a problemelor din Open Task Bank pentru

1 . Sarcina B15 (nr. 26695)

Pe segment.

1. Funcția este definită pentru toate valorile reale ale lui x

Evident, această ecuație nu are soluții, iar derivata este pozitivă pentru toate valorile lui x. În consecință, funcția crește și ia cea mai mare valoare la capătul drept al intervalului, adică la x=0.

Raspuns: 5.

2 . Sarcina B15 (nr. 26702)

Găsiți cea mai mare valoare a funcției pe segment.

1. Funcții ODZ title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Derivata este egală cu zero la , cu toate acestea, în aceste puncte nu își schimbă semnul:

Prin urmare, title="3/(cos^2(x))>=3">, значит, title="3/(cos^2(x))-3>=0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция !} crește și ia cea mai mare valoare la capătul drept al intervalului, la .

Pentru a face evident de ce derivata nu își schimbă semnul, transformăm expresia pentru derivată după cum urmează:

Title="y^(prim)=3/(cos^2(x))-3=(3-3cos^2(x))/(cos^2(x))=(3sin^2 (x))/(cos^2(x))=3tg^2(x)>=0">!}

Raspuns: 5.

3. Sarcina B15 (nr. 26708)

Găsiți cea mai mică valoare a funcției de pe segment.

1. Funcții ODZ: title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Să plasăm rădăcinile acestei ecuații pe cercul trigonometric.

Intervalul conține două numere: și

Să punem semne. Pentru a face acest lucru, determinăm semnul derivatei în punctul x=0: . La trecerea prin puncte și, derivata își schimbă semnul.

Să descriem schimbarea semnelor derivatei unei funcții pe linia de coordonate:

Evident, punctul este un punct minim (la care derivata își schimbă semnul de la „-” la „+”), iar pentru a găsi cea mai mică valoare a funcției pe segment, trebuie să comparați valorile funcției la punctul minim și la capătul din stânga segmentului, .

Cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții

concepte de analiză matematică. Valoarea luată de o funcție într-un punct al mulțimii pe care este definită această funcție se numește cea mai mare (mai mică) din această mulțime dacă în niciun alt punct din mulțime funcția are o valoare mai mare (mai mică). N. și N. h. f. în comparație cu valorile sale în toate punctele suficient de apropiate sunt numite extreme (maxime și, respectiv, minime) ale funcției. N. și N. h. f., dat pe un segment, se poate realiza fie în punctele în care derivata este egală cu zero, fie în punctele în care nu există, fie la capetele segmentului. O funcție continuă definită pe un segment atinge în mod necesar valorile sale cele mai mari și cele mai mici; dacă o funcție continuă este considerată pe un interval (adică un segment cu capete excluse), atunci printre valorile sale pe acest interval poate să nu existe cel mai mare sau cel mai mic. De exemplu, funcția la = X, dat pe segment, atinge cele mai mari și, respectiv, cele mai mici valori la X= 1 și X= 0 (adică la capetele segmentului); dacă luăm în considerare această funcție pe intervalul (0; 1), atunci printre valorile sale pe acest interval nu există nici cea mai mare, nici cea mai mică, deoarece pentru fiecare x 0 există întotdeauna un punct din acest interval situat la dreapta (la stânga) x 0, și astfel încât valoarea funcției în acest punct să fie mai mare (respectiv mai mică) decât în ​​punctul x 0. Afirmații similare sunt adevărate pentru funcțiile multor variabile. Vezi și Extremum.

Marea Enciclopedie Sovietică. - M.: Enciclopedia Sovietică. 1969-1978 .

Vedeți ce sunt „Cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții” în alte dicționare:

Dicţionar enciclopedic mare

Concepte de analiză matematică. Valoarea luată de o funcție într-un punct al mulțimii pe care este dată această funcție se numește cea mai mare (mai mică) din această mulțime dacă în niciun alt punct funcția are o valoare mai mare (mai mică) ... ... Dicţionar enciclopedic

Concepte de matematică. analiză. Valoarea luată de funcție în punctul mulțimii, pe lângă această funcție este dată, este numită. cea mai mare (mai mică) din acest set dacă în niciun alt punct funcția nu are o valoare mai mare (mai mică)... Științele naturii. Dicţionar enciclopedic

FUNCȚII MAXIME ȘI MINIME- respectiv, cele mai mari și cele mai mici valori ale funcției în comparație cu valorile acesteia în toate punctele suficient de apropiate. Punctele maxime și minime se numesc puncte extreme... Marea Enciclopedie Politehnică

Cele mai mari și, în consecință, cele mai mici valori ale unei funcții care ia valori reale. Se numește punctul din domeniul de definire a funcției luate în considerare, la care ia un maxim sau un minim. respectiv, un punct maxim sau un punct minim... ... Enciclopedie matematică

O funcție ternară în teoria sistemelor funcționale și logica ternară este o funcție de tip, unde este o mulțime ternară și un întreg nenegativ, care se numește aritatea sau localitatea funcției. Elementele setului sunt digitale... ... Wikipedia

Reprezentarea funcțiilor booleene prin forme normale (vezi forme normale ale funcțiilor booleene). cel mai simplu raportat la o anumită măsură de complexitate. De obicei, complexitatea unei forme normale se referă la numărul de litere din ea. În acest caz, cea mai simplă formă se numește... ... Enciclopedie matematică

O funcție care primește incremente infinitezimale pentru incremente infinitezimale ale argumentului. O funcție cu o singură valoare f (x) se numește continuă pentru valoarea argumentului x0 dacă pentru toate valorile argumentului x care diferă suficient de puțin de x0 ... Marea Enciclopedie Sovietică

- (lat. maxim și minim, literalmente cel mai mare și cel mai mic) (matematică), cele mai mari și mai mici valori ale unei funcții în comparație cu valorile acesteia în puncte destul de apropiate. În figură, funcția y = f(x) are un maxim în punctele x1 și x3, iar în punctul x2 ... ... Dicţionar enciclopedic

- (din latinescul maxim și minim, cel mai mare și cel mai mic) (matematic), cele mai mari și mai mici valori ale unei funcții în comparație cu valorile acesteia în puncte destul de apropiate. Punctele maxime și minime se numesc puncte extreme... Enciclopedie modernă

Algoritmul standard pentru rezolvarea unor astfel de probleme presupune, după găsirea zerourilor funcției, determinarea semnelor derivatei pe intervale. Apoi, calculul valorilor la punctele maxime (sau minime) găsite și la limita intervalului, în funcție de ce întrebare este în stare.

Vă sfătuiesc să faceți lucrurile puțin diferit. De ce? Am scris despre asta.

Îmi propun să rezolv astfel de probleme după cum urmează:

1. Găsiți derivata.
2. Aflați zerourile derivatei.
3. Stabiliți care dintre ele aparțin acestui interval.
4. Calculăm valorile funcției la limitele intervalului și punctelor pasului 3.
5. Tragem o concluzie (raspunde la intrebarea pusa).

În timp ce rezolvați exemplele prezentate, rezolvarea ecuațiilor pătratice nu este discutată în detaliu; trebuie să puteți face acest lucru. Ar trebui să știe și ei.

Să ne uităm la exemple:

77422. Aflați cea mai mare valoare a funcției y=x 3 –3x+4 pe segmentul [–2;0].

Să găsim zerourile derivatei:

Punctul x = –1 aparține intervalului specificat în condiție.

Calculăm valorile funcției la punctele –2, –1 și 0:

Cea mai mare valoare a funcției este 6.

Raspuns: 6

77425. Aflați cea mai mică valoare a funcției y = x 3 – 3x 2 + 2 pe segment.

Să găsim derivata funcției date:

Să găsim zerourile derivatei:

Punctul x = 2 aparține intervalului specificat în condiție.

Calculăm valorile funcției la punctele 1, 2 și 4:

Cea mai mică valoare a funcției este –2.

Răspuns: -2

77426. Aflați cea mai mare valoare a funcției y = x 3 – 6x 2 pe segmentul [–3;3].

Să găsim derivata funcției date:

Să găsim zerourile derivatei:

Intervalul specificat în condiție conține punctul x = 0.

Calculăm valorile funcției la punctele –3, 0 și 3:

Cea mai mică valoare a funcției este 0.

Raspuns: 0

77429. Aflați cea mai mică valoare a funcției y = x 3 – 2x 2 + x +3 pe segment.

Să găsim derivata funcției date:

3x 2 – 4x + 1 = 0

Obținem rădăcinile: x 1 = 1 x 1 = 1/3.

Intervalul specificat în condiție conține doar x = 1.

Să găsim valorile funcției la punctele 1 și 4:

Am constatat că cea mai mică valoare a funcției este 3.

Raspuns: 3

77430. Aflați cea mai mare valoare a funcției y = x 3 + 2x 2 + x + 3 pe segmentul [– 4; -1].

Să găsim derivata funcției date:

Să găsim zerourile derivatei și să rezolvăm ecuația pătratică:

3x 2 + 4x + 1 = 0

Să luăm rădăcinile:

Intervalul specificat în condiție conține rădăcina x = –1.

Găsim valorile funcției la punctele –4, –1, –1/3 și 1:

Am descoperit că cea mai mare valoare a funcției este 3.

Raspuns: 3

77433. Aflați cea mai mică valoare a funcției y = x 3 – x 2 – 40x +3 pe segment.

Să găsim derivata funcției date:

Să găsim zerourile derivatei și să rezolvăm ecuația pătratică:

3x 2 – 2x – 40 = 0

Să luăm rădăcinile:

Intervalul specificat în condiție conține rădăcina x = 4.

Găsiți valorile funcției la punctele 0 și 4:

Am constatat că cea mai mică valoare a funcției este –109.

Răspuns: –109

Să luăm în considerare o modalitate de a determina cele mai mari și cele mai mici valori ale funcțiilor fără o derivată. Această abordare poate fi utilizată dacă aveți probleme mari cu determinarea derivatei. Principiul este simplu - înlocuim toate valorile întregi din interval în funcție (fapt este că în toate astfel de prototipuri răspunsul este un număr întreg).

77437. Aflați cea mai mică valoare a funcției y=7+12x–x 3 pe segmentul [–2;2].

Înlocuiți puncte de la –2 la 2: Vizualizați soluția

77434. Aflați cea mai mare valoare a funcției y=x 3 + 2x 2 – 4x + 4 pe segmentul [–2;0].

Asta e tot. Multă baftă!

Cu stimă, Alexander Krutitskikh.

P.S: V-as fi recunoscator daca mi-ati spune despre site pe retelele de socializare.

Cea mai mare (cea mai mică) valoare a unei funcții este cea mai mare (cea mai mică) valoare acceptată a ordonatei pe intervalul considerat.

Pentru a găsi cea mai mare sau cea mai mică valoare a unei funcții trebuie să:

1. Verificați ce puncte staționare sunt incluse într-un anumit segment.
2. Calculați valoarea funcției la capetele segmentului și în punctele staționare de la pasul 3
3. Selectați cea mai mare sau cea mai mică valoare din rezultatele obținute.

Pentru a găsi punctele maxime sau minime, trebuie să:

1. Găsiți derivata funcției $f"(x)$
2. Găsiți puncte staționare rezolvând ecuația $f"(x)=0$
3. Factorizați derivata unei funcții.
4. Desenați o dreaptă de coordonate, plasați puncte staționare pe ea și determinați semnele derivatei în intervalele rezultate, folosind notația de la pasul 3.
5. Găsiți punctele maxime sau minime conform regulii: dacă la un punct derivata își schimbă semnul de la plus la minus, atunci acesta va fi punctul maxim (dacă de la minus la plus, atunci acesta va fi punctul minim). În practică, este convenabil să folosiți imaginea săgeților pe intervale: pe intervalul în care derivata este pozitivă, săgeata este trasă în sus și invers.

Tabel de derivate ale unor funcții elementare:

Reguli de bază de diferențiere

1. Derivata sumei si diferentei este egala cu derivata fiecarui termen

$(f(x) ± g(x))′= f′(x)± g′(x)$

Aflați derivata funcției $f(x) = 3x^5 – cosx + (1)/(x)$

Derivata sumei și diferenței este egală cu derivata fiecărui termen

$f′(x)=(3x^5)′–(cosx)′+((1)/(x))"=15x^4+sinx-(1)/(x^2)$

2. Derivat al produsului.

$(f(x)∙g(x))′=f′(x)∙g(x)+f(x)∙g(x)′$

Aflați derivata $f(x)=4x∙cosx$

$f′(x)=(4x)′∙cosx+4x∙(cosx)′=4∙cosx-4x∙sinx$

3. Derivată a coeficientului

$((f(x))/(g(x)))"=(f^"(x)∙g(x)-f(x)∙g(x)")/(g^2(x) )$

Găsiți derivata $f(x)=(5x^5)/(e^x)$

$f"(x)=((5x^5)"∙e^x-5x^5∙(e^x)")/((e^x)^2)=(25x^4∙e^x- 5x^5∙e^x)/((e^x)^2)$

4. Derivata unei functii complexe este egala cu produsul dintre derivata functiei externe si derivata functiei interne

$f(g(x))′=f′(g(x))∙g′(x)$

$f′(x)=cos′(5x)∙(5x)′= - sin(5x)∙5= -5sin(5x)$

Aflați punctul minim al funcției $y=2x-ln⁡(x+11)+4$

1. Aflați ODZ a funcției: $x+11>0; x>-11$

2. Aflați derivata funcției $y"=2-(1)/(x+11)=(2x+22-1)/(x+11)=(2x+21)/(x+11)$

3. Găsiți puncte staționare echivalând derivata cu zero

$(2x+21)/(x+11)=0$

O fracție este egală cu zero dacă numărătorul este zero și numitorul nu este zero.

$2x+21=0; x≠-11$

4. Să desenăm o dreaptă de coordonate, să punem puncte staționare pe ea și să determinăm semnele derivatei în intervalele rezultate. Pentru a face acest lucru, înlocuiți orice număr din regiunea cea mai din dreapta în derivată, de exemplu, zero.

$y"(0)=(2∙0+21)/(0+11)=(21)/(11)>0$

5. La punctul minim, derivata își schimbă semnul din minus în plus, prin urmare, punctul $-10,5$ este punctul minim.

Răspuns: -10,5 USD

Găsiți cea mai mare valoare a funcției $y=6x^5-90x^3-5$ pe segmentul $[-5;1]$

1. Aflați derivata funcției $y′=30x^4-270x^2$

2. Echivalează derivata cu zero și găsește puncte staționare

$30x^4-270x^2=0$

Să luăm factorul total $30x^2$ din paranteze

30$x^2(x^2-9)=0$

$30x^2(x-3)(x+3)=0$

Să echivalăm fiecare factor cu zero

$x^2=0 ; x-3=0; x+3=0$

$x=0;x=3;x=-3$

3. Selectați punctele staționare care aparțin segmentului dat $[-5;1]$

Punctele staționare $x=0$ și $x=-3$ ni se potrivesc

4. Calculați valoarea funcției la capetele segmentului și în punctele staționare de la pasul 3