Ajutor la Tele2, tarife, intrebari

Metoda Gaussiană are o serie de dezavantaje: este imposibil să știm dacă sistemul este consistent sau nu până când nu au fost efectuate toate transformările necesare în metoda Gauss; Metoda lui Gauss nu este potrivită pentru sistemele cu coeficienți de litere.

Să luăm în considerare alte metode de rezolvare a sistemelor de ecuații liniare. Aceste metode folosesc conceptul de rang de matrice și reduc soluția oricărui sistem consistent la soluția unui sistem căruia i se aplică regula lui Cramer.

Exemplul 1. Găsiți o soluție generală pentru următorul sistem de ecuații liniare folosind sistemul fundamental de soluții pentru sistemul omogen redus și o soluție particulară pentru sistemul neomogen.

1. Realizarea unei matrice Ași matrice de sistem extinsă (1)

2. Explorați sistemul (1) pentru împreună. Pentru a face acest lucru, găsim rândurile matricelor Ași https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif" width="17" height="26 src=">). Dacă se dovedește că , atunci sistemul (1) incompatibil. Dacă primim asta , atunci acest sistem este consistent și îl vom rezolva. (Studiul de compatibilitate se bazează pe teorema Kronecker-Capelli).

A. Găsim rA.

A găsi rA, vom lua în considerare secvenţial minori non-zero ale primului, al doilea, etc. ordine ale matricei Ași minorii din jurul lor.

M1=1≠0 (luăm 1 din colțul din stânga sus al matricei A).

Ne învecinam M1 al doilea rând și a doua coloană a acestei matrice. . Continuăm la graniță M1 a doua linie și a treia coloană..gif" width="37" height="20 src=">. Acum marginim minorul diferit de zero M2′ a doua comanda.

Avem: (deoarece primele două coloane sunt aceleași)

(deoarece a doua și a treia linie sunt proporționale).

Noi vedem asta rA=2, a este baza minoră a matricei A.

b. Găsim.

Minor destul de elementar M2′ matrici A chenar cu o coloană de termeni liberi și toate rândurile (avem doar ultimul rând).

. Rezultă că M3′′ rămâne minorul de bază al matricei https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif" width="168 height=75" height="75"> (2)

Deoarece M2′- baza minoră a matricei A sisteme (2) , atunci acest sistem este echivalent cu sistemul (3) , constând din primele două ecuații ale sistemului (2) (pentru M2′ se află în primele două rânduri ale matricei A).

(3)

Deoarece minorul de bază https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif" width="153" height="51"> (4)

În acest sistem există două necunoscute libere ( x2 Și x4 ). De aceea FSR sisteme (4) constă din două soluții. Pentru a le găsi, atribuim necunoscute gratuite în (4) valorile mai întâi x2=1 , x4=0 , și apoi - x2=0 , x4=1 .

La x2=1 , x4=0 primim:

.

Acest sistem are deja singurul lucru soluție (poate fi găsită folosind regula lui Cramer sau orice altă metodă). Scăzând prima din a doua ecuație, obținem:

Soluția ei va fi x1= -1 , x3=0 . Având în vedere valorile x2 Și x4 , pe care l-am adăugat, obținem prima soluție fundamentală a sistemului (2) : .

Acum credem în (4) x2=0 , x4=1 . Primim:

.

Rezolvăm acest sistem folosind teorema lui Cramer:

.

Obținem a doua soluție fundamentală a sistemului (2) : .

Soluții β1 , β2 si machiaza FSR sisteme (2) . Atunci soluția sa generală va fi

γ= C1 β1+С2β2=С1(‑1, 1, 0, 0)+С2(5, 0, 4, 1)=(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2)

Aici C1 , C2 – constante arbitrare.

4. Să găsim unul privat soluţie sistem eterogen(1) . Ca în paragraful 3 , în loc de sistem (1) Să considerăm un sistem echivalent (5) , constând din primele două ecuații ale sistemului (1) .

(5)

Să mutăm necunoscutele libere în partea dreaptă x2Și x4.

(6)

Să dăm necunoscute gratuite x2 Și x4 valori arbitrare, de exemplu, x2=2 , x4=1 și pune-le înăuntru (6) . Să luăm sistemul

Acest sistem are o soluție unică (din moment ce determinantul său M2′0). Rezolvând-o (folosind teorema lui Cramer sau metoda lui Gauss), obținem x1=3 , x3=3 . Având în vedere valorile necunoscutelor libere x2 Și x4 , primim soluție particulară a unui sistem neomogen(1)α1=(3,2,3,1).

5. Acum nu mai rămâne decât să-l notezi soluţia generală α a unui sistem neomogen(1) : este egal cu suma soluție privată acest sistem şi soluţie generală a sistemului său omogen redus (2) :

α=α1+γ=(3, 2, 3, 1)+(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2).

Acest lucru înseamnă: (7)

6. Examinare. Pentru a verifica dacă ați rezolvat corect sistemul (1) , avem nevoie de o soluție generală (7) înlocuire în (1) . Dacă fiecare ecuație se transformă în identitate ( C1 Și C2 trebuie distrus), atunci soluția este găsită corect.

Vom înlocui (7) de exemplu, doar ultima ecuație a sistemului (1) (X1 + X2 + X3 ‑9 X4 =‑1) .

Se obține: (3–С1+5С2)+(2+С1)+(3+4С2)–9(1+С2)=–1

(С1–С1)+(5С2+4С2–9С2)+(3+2+3–9)=–1

Unde –1=–1. Avem o identitate. Facem asta cu toate celelalte ecuații ale sistemului (1) .

Cometariu. Verificarea este de obicei destul de greoaie. Următoarea „verificare parțială” poate fi recomandată: în soluția generală a sistemului (1) atribuiți unele valori constantelor arbitrare și înlocuiți soluția parțială rezultată numai în ecuațiile aruncate (adică în acele ecuații din (1) , care nu au fost incluse în (5) ). Dacă obțineți identități, atunci mai probabil, soluție de sistem (1) găsit corect (dar o astfel de verificare nu oferă o garanție completă a corectitudinii!). De exemplu, dacă în (7) a pune C2=- 1 , C1=1, atunci obținem: x1=-3, x2=3, x3=-1, x4=0. Inlocuind in ultima ecuatie a sistemului (1), avem: - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 , adică –1=–1. Avem o identitate.

Exemplul 2. Găsiți o soluție generală a unui sistem de ecuații liniare (1) , exprimând necunoscutele de bază în termeni de libere.

Soluţie. Ca în exemplu 1, compune matrice Ași https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif" width="156" height="50"> ale acestor matrici. Acum lăsăm doar acele ecuații ale sistemului (1) , ai căror coeficienți sunt incluși în acest minor de bază (adică avem primele două ecuații) și considerăm un sistem format din ele, echivalent cu sistemul (1).

Să transferăm necunoscutele libere în partea dreaptă a acestor ecuații.

sistem (9) Rezolvăm prin metoda Gaussiană, considerând părțile din dreapta drept termeni liberi.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif" width="202 height=106" height="106">

Opțiunea 2.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif" width="192" height="106 src=">

Opțiunea 4.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif" width="172" height="80">

Opțiunea 5.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif" width="179 height=106" height="106">

Opțiunea 6.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif" width="195" height="106">

Rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare (SLAE) este, fără îndoială, cel mai important subiect dintr-un curs de algebră liniară. Un număr mare de probleme din toate ramurile matematicii se rezumă la rezolvarea sistemelor de ecuații liniare. Acești factori explică motivul acestui articol. Materialul articolului este selectat și structurat astfel încât cu ajutorul lui să puteți

• alege metoda optimă pentru rezolvarea sistemului tău de ecuații algebrice liniare,
• studiază teoria metodei alese,
• rezolvați sistemul dvs. de ecuații liniare luând în considerare soluții detaliate la exemple și probleme tipice.

Scurtă descriere a materialului articolului.

În primul rând, dăm toate definițiile, conceptele necesare și introducem notații.

În continuare, vom lua în considerare metode de rezolvare a sistemelor de ecuații algebrice liniare în care numărul de ecuații este egal cu numărul de variabile necunoscute și care au o soluție unică. În primul rând, ne vom concentra pe metoda lui Cramer, în al doilea rând, vom prezenta metoda matriceală pentru rezolvarea unor astfel de sisteme de ecuații, iar în al treilea rând, vom analiza metoda Gauss (metoda eliminării secvențiale a variabilelor necunoscute). Pentru a consolida teoria, cu siguranță vom rezolva mai multe SLAE-uri în moduri diferite.

După aceasta, vom trece la rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare de formă generală, în care numărul de ecuații nu coincide cu numărul de variabile necunoscute sau matricea principală a sistemului este singulară. Să formulăm teorema Kronecker-Capelli, care ne permite să stabilim compatibilitatea SLAE-urilor. Să analizăm soluția sistemelor (dacă sunt compatibile) folosind conceptul de bază minoră a unei matrice. Vom lua în considerare și metoda Gauss și vom descrie în detaliu soluțiile exemplelor.

Ne vom opri cu siguranță asupra structurii soluției generale a sistemelor omogene și neomogene de ecuații algebrice liniare. Să dăm conceptul de sistem fundamental de soluții și să arătăm cum este scrisă soluția generală a unui SLAE folosind vectorii sistemului fundamental de soluții. Pentru o mai bună înțelegere, să ne uităm la câteva exemple.

În concluzie, vom lua în considerare sisteme de ecuații care pot fi reduse la cele liniare, precum și diverse probleme în soluția cărora apar SLAE-uri.

Navigare în pagină.

Definiții, concepte, denumiri.

Vom lua în considerare sisteme de p ecuații algebrice liniare cu n variabile necunoscute (p poate fi egal cu n) de forma

Variabile necunoscute, - coeficienți (unele numere reale sau complexe), - termeni liberi (și numere reale sau complexe).

Această formă de înregistrare SLAE se numește coordona.

ÎN formă matriceală Scrierea acestui sistem de ecuații are forma,
Unde - matricea principală a sistemului, - o matrice coloană de variabile necunoscute, - o matrice coloană de termeni liberi.

Dacă adăugăm o coloană matrice de termeni liberi la matricea A ca coloană (n+1), obținem așa-numita matrice extinsă sisteme de ecuații liniare. De obicei, o matrice extinsă este desemnată cu litera T, iar coloana de termeni liberi este separată printr-o linie verticală de coloanele rămase, adică

Rezolvarea unui sistem de ecuații algebrice liniare numit un set de valori ale variabilelor necunoscute care transformă toate ecuațiile sistemului în identități. Ecuația matriceală pentru valorile date ale variabilelor necunoscute devine, de asemenea, o identitate.

Dacă un sistem de ecuații are cel puțin o soluție, atunci se numește comun.

Dacă un sistem de ecuații nu are soluții, atunci se numește nearticulată.

Dacă un SLAE are o soluție unică, atunci se numește anumit; dacă există mai multe soluții, atunci - incert.

Dacă termenii liberi ai tuturor ecuațiilor sistemului sunt egali cu zero , atunci sistemul este apelat omogen, in caz contrar - eterogen.

Rezolvarea sistemelor elementare de ecuații algebrice liniare.

Dacă numărul de ecuații ale unui sistem este egal cu numărul de variabile necunoscute și determinantul matricei sale principale nu este egal cu zero, atunci astfel de SLAE vor fi numite elementar. Astfel de sisteme de ecuații au o soluție unică, iar în cazul unui sistem omogen, toate variabilele necunoscute sunt egale cu zero.

Am început să studiem astfel de SLAE în liceu. Când le-am rezolvat, am luat o ecuație, am exprimat o variabilă necunoscută în termenii altora și am înlocuit-o în ecuațiile rămase, apoi am luat următoarea ecuație, am exprimat următoarea variabilă necunoscută și am înlocuit-o în alte ecuații și așa mai departe. Sau au folosit metoda adunării, adică au adăugat două sau mai multe ecuații pentru a elimina unele variabile necunoscute. Nu ne vom opri în detaliu asupra acestor metode, deoarece sunt în esență modificări ale metodei Gauss.

Principalele metode de rezolvare a sistemelor elementare de ecuații liniare sunt metoda Cramer, metoda matriceală și metoda Gauss. Să le rezolvăm.

Rezolvarea sistemelor de ecuații liniare folosind metoda lui Cramer.

Să presupunem că trebuie să rezolvăm un sistem de ecuații algebrice liniare

în care numărul de ecuații este egal cu numărul de variabile necunoscute și determinantul matricei principale a sistemului este diferit de zero, adică .

Fie determinantul matricei principale a sistemului, și - determinanţi ai matricelor care se obţin din A prin înlocuire 1, 2, …, al n-lea coloana respectiv la coloana de membri liberi:

Cu această notație, variabilele necunoscute sunt calculate folosind formulele metodei lui Cramer ca . Așa se găsește soluția unui sistem de ecuații algebrice liniare folosind metoda lui Cramer.

Exemplu.

metoda lui Cramer .

Soluţie.

Matricea principală a sistemului are forma . Să calculăm determinantul acestuia (dacă este necesar, vezi articolul):

Deoarece determinantul matricei principale a sistemului este diferit de zero, sistemul are o soluție unică care poate fi găsită prin metoda lui Cramer.

Să compunem și să calculăm determinanții necesari (obținem determinantul prin înlocuirea primei coloane din matricea A cu o coloană de termeni liberi, determinantul prin înlocuirea celei de-a doua coloane cu o coloană de termeni liberi și prin înlocuirea celei de-a treia coloane a matricei A cu o coloană de termeni liberi) :

Găsirea variabilelor necunoscute folosind formule :

Răspuns:

Principalul dezavantaj al metodei lui Cramer (dacă poate fi numită un dezavantaj) este complexitatea calculării determinanților atunci când numărul de ecuații din sistem este mai mare de trei.

Rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare folosind metoda matricei (folosind o matrice inversă).

Fie dat un sistem de ecuații algebrice liniare sub formă de matrice, unde matricea A are dimensiunea n cu n și determinantul său este diferit de zero.

Deoarece , matricea A este inversabilă, adică există o matrice inversă. Dacă înmulțim ambele părți ale egalității cu stânga, obținem o formulă pentru găsirea unei matrice-coloană de variabile necunoscute. Așa am obținut o soluție a unui sistem de ecuații algebrice liniare folosind metoda matricei.

Exemplu.

Rezolvarea unui sistem de ecuații liniare metoda matricei.

Soluţie.

Să rescriem sistemul de ecuații sub formă de matrice:

Deoarece

atunci SLAE poate fi rezolvat folosind metoda matricei. Folosind matricea inversă, soluția acestui sistem poate fi găsită ca .

Să construim o matrice inversă folosind o matrice din adunări algebrice ale elementelor matricei A (dacă este necesar, vezi articolul):

Rămâne de calculat matricea variabilelor necunoscute prin înmulțirea matricei inverse la o coloană-matrice de membri liberi (dacă este necesar, vezi articolul):

Răspuns:

sau într-o altă notație x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Principala problemă la găsirea soluțiilor la sisteme de ecuații algebrice liniare folosind metoda matricei este complexitatea găsirii matricei inverse, în special pentru matrice pătrată de ordin mai mare decât treimea.

Rezolvarea sistemelor de ecuații liniare folosind metoda Gauss.

Să presupunem că trebuie să găsim o soluție la un sistem de n ecuații liniare cu n variabile necunoscute
al cărei determinant al matricei principale este diferit de zero.

Esența metodei Gauss constă în eliminarea secvenţială a variabilelor necunoscute: mai întâi, x 1 este exclus din toate ecuaţiile sistemului, începând de la a doua, apoi x 2 este exclus din toate ecuaţiile, începând cu a treia, şi tot aşa, până când rămâne doar variabila necunoscută x n în ultima ecuație. Acest proces de transformare a ecuațiilor de sistem pentru a elimina secvențial variabilele necunoscute se numește metoda Gaussiană directă. După finalizarea cursei înainte a metodei gaussiene, se găsește x n din ultima ecuație, folosind această valoare din penultima ecuație, se calculează x n-1 și așa mai departe, se află x 1 din prima ecuație. Procesul de calcul al variabilelor necunoscute la trecerea de la ultima ecuație a sistemului la prima este numit inversa metodei gaussiene.

Să descriem pe scurt algoritmul de eliminare a variabilelor necunoscute.

Vom presupune că , deoarece putem realiza întotdeauna acest lucru prin rearanjarea ecuațiilor sistemului. Să eliminăm variabila necunoscută x 1 din toate ecuațiile sistemului, începând cu a doua. Pentru a face acest lucru, la a doua ecuație a sistemului o adunăm pe prima, înmulțită cu , la a treia ecuație o adunăm pe prima, înmulțită cu , și așa mai departe, la a n-a ecuație o adunăm pe prima, înmulțită cu . Sistemul de ecuații după astfel de transformări va lua forma

unde si .

Am fi ajuns la același rezultat dacă am fi exprimat x 1 în termenii altor variabile necunoscute în prima ecuație a sistemului și am fi înlocuit expresia rezultată în toate celelalte ecuații. Astfel, variabila x 1 este exclusă din toate ecuațiile, începând cu a doua.

În continuare, procedăm într-un mod similar, dar numai cu o parte din sistemul rezultat, care este marcată în figură

Pentru a face acest lucru, la a treia ecuație a sistemului o adunăm pe a doua, înmulțită cu , la a patra ecuație o adunăm pe a doua, înmulțită cu , și așa mai departe, la a n-a ecuație o adunăm pe a doua, înmulțită cu . Sistemul de ecuații după astfel de transformări va lua forma

unde si . Astfel, variabila x 2 este exclusă din toate ecuațiile, începând cu a treia.

În continuare, procedăm la eliminarea necunoscutului x 3, în timp ce acționăm similar cu partea de sistem marcată în figură

Așa că continuăm progresia directă a metodei gaussiene până când sistemul ia forma

Din acest moment începem inversul metodei gaussiene: calculăm x n din ultima ecuație ca , folosind valoarea obținută a lui x n găsim x n-1 din penultima ecuație, și așa mai departe, găsim x 1 din prima ecuație .

Exemplu.

Rezolvarea unui sistem de ecuații liniare metoda Gauss.

Soluţie.

Să excludem variabila necunoscută x 1 din a doua și a treia ecuație a sistemului. Pentru a face acest lucru, la ambele părți ale celei de-a doua și a treia ecuații adăugăm părțile corespunzătoare ale primei ecuații, înmulțite cu și, respectiv, cu:

Acum eliminăm x 2 din a treia ecuație adunând la laturile sale stânga și dreapta laturile stânga și dreapta ale celei de-a doua ecuații, înmulțite cu:

Aceasta completează cursa înainte a metodei Gauss; începem cursa inversă.

Din ultima ecuație a sistemului de ecuații rezultat găsim x 3:

Din a doua ecuație obținem .

Din prima ecuație găsim variabila necunoscută rămasă și completăm astfel inversul metodei Gauss.

Răspuns:

X 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare de formă generală.

În general, numărul de ecuații ale sistemului p nu coincide cu numărul de variabile necunoscute n:

Astfel de SLAE-uri pot să nu aibă soluții, să aibă o singură soluție sau să aibă infinite de soluții. Această afirmație se aplică și sistemelor de ecuații a căror matrice principală este pătrată și singulară.

Teorema Kronecker–Capelli.

Înainte de a găsi o soluție la un sistem de ecuații liniare, este necesar să se stabilească compatibilitatea acestuia. Răspunsul la întrebarea când SLAE este compatibil și când este inconsecvent este dat de Teorema Kronecker–Capelli:
Pentru ca un sistem de p ecuații cu n necunoscute (p poate fi egal cu n) să fie consistent, este necesar și suficient ca rangul matricei principale a sistemului să fie egal cu rangul matricei extinse, adică , Rang(A)=Rang(T).

Să luăm în considerare, ca exemplu, aplicarea teoremei Kronecker–Capelli pentru a determina compatibilitatea unui sistem de ecuații liniare.

Exemplu.

Aflați dacă sistemul de ecuații liniare are solutii.

Soluţie.

. Să folosim metoda limitării minorilor. Minor de ordinul doi diferit de zero. Să ne uităm la minorii de ordinul trei care se învecinează cu acesta:

Deoarece toți minorii învecinați de ordinul al treilea sunt egali cu zero, rangul matricei principale este egal cu doi.

La rândul său, rangul matricei extinse este egal cu trei, întrucât minorul este de ordinul trei

diferit de zero.

Prin urmare, Rang(A), prin urmare, folosind teorema Kronecker–Capelli, putem concluziona că sistemul original de ecuații liniare este inconsecvent.

Răspuns:

Sistemul nu are soluții.

Deci, am învățat să stabilim inconsistența unui sistem folosind teorema Kronecker-Capelli.

Dar cum să găsești o soluție la un SLAE dacă compatibilitatea acestuia este stabilită?

Pentru a face acest lucru, avem nevoie de conceptul de bază minoră a unei matrice și de o teoremă despre rangul unei matrice.

Se numește minorul de ordinul cel mai înalt al matricei A, diferit de zero de bază.

Din definiția unei baze minore rezultă că ordinea acesteia este egală cu rangul matricei. Pentru o matrice A diferită de zero pot exista mai multe baze minore; există întotdeauna o bază minoră.

De exemplu, luați în considerare matricea .

Toate minorele de ordinul trei ale acestei matrice sunt egale cu zero, deoarece elementele celui de-al treilea rând al acestei matrice sunt suma elementelor corespunzătoare din primul și al doilea rând.

Următorii minori de ordinul doi sunt de bază, deoarece sunt diferit de zero

Minorii nu sunt de bază, deoarece sunt egale cu zero.

Teorema rangului matricei.

Dacă rangul unei matrice de ordinul p cu n este egal cu r, atunci toate elementele de rând (și coloană) ale matricei care nu formează baza minoră aleasă sunt exprimate liniar în termenii elementelor de rând (și coloană) corespunzătoare care formează baza minoră.

Ce ne spune teorema rangului matricei?

Dacă, conform teoremei Kronecker–Capelli, am stabilit compatibilitatea sistemului, atunci alegem orice bază minoră a matricei principale a sistemului (ordinea acesteia este egală cu r) și excludem din sistem toate ecuațiile care nu nu formează baza selectată minoră. SLAE obținut în acest fel va fi echivalent cu cel inițial, deoarece ecuațiile aruncate sunt încă redundante (conform teoremei rangului matricei, ele sunt o combinație liniară a ecuațiilor rămase).

Ca rezultat, după eliminarea ecuațiilor inutile ale sistemului, sunt posibile două cazuri.

Dacă numărul de ecuații r din sistemul rezultat este egal cu numărul de variabile necunoscute, atunci acesta va fi definit și singura soluție poate fi găsită prin metoda Cramer, metoda matricei sau metoda Gauss.

Exemplu.

.

Soluţie.

Rangul matricei principale a sistemului este egal cu doi, deoarece minorul este de ordinul doi diferit de zero. Rang matrice extins este, de asemenea, egal cu doi, deoarece singurul minor de ordinul trei este zero

iar minorul de ordinul doi considerat mai sus este diferit de zero. Pe baza teoremei Kronecker–Capelli, putem afirma compatibilitatea sistemului original de ecuații liniare, deoarece Rank(A)=Rank(T)=2.

Ca bază minoră luăm . Este format din coeficienții primei și celei de-a doua ecuații:


A treia ecuație a sistemului nu participă la formarea bazei minore, așa că o excludem din sistemul bazat pe teorema privind rangul matricei:


Așa am obținut un sistem elementar de ecuații algebrice liniare. Să o rezolvăm folosind metoda lui Cramer:


Răspuns:

x 1 = 1, x 2 = 2.

Dacă numărul de ecuații r din SLAE rezultat este mai mic decât numărul de variabile necunoscute n, atunci în partea stângă a ecuațiilor lăsăm termenii care formează baza minori și transferăm termenii rămași în partea dreaptă a ecuațiilor. ecuații ale sistemului cu semnul opus.

Se numesc variabilele necunoscute (r dintre ele) rămase în partea stângă a ecuațiilor principal.

Se numesc variabile necunoscute (există n - r piese) care sunt în partea dreaptă gratuit.

Acum credem că variabilele necunoscute libere pot lua valori arbitrare, în timp ce principalele r variabile necunoscute vor fi exprimate prin variabile necunoscute libere într-un mod unic. Expresia lor poate fi găsită prin rezolvarea SLAE rezultată folosind metoda Cramer, metoda matricei sau metoda Gauss.

Să ne uităm la asta cu un exemplu.

Exemplu.

Rezolvați un sistem de ecuații algebrice liniare .

Soluţie.

Să găsim rangul matricei principale a sistemului prin metoda limitării minorilor. Să luăm un 1 1 = 1 ca un minor diferit de zero de ordinul întâi. Să începem să căutăm un minor diferit de zero de ordinul doi care se învecinează cu acest minor:


Așa am găsit un minor non-zero de ordinul doi. Să începem să căutăm un minor de ordinul al treilea care nu se limitează la zero:


Astfel, rangul matricei principale este de trei. Rangul matricei extinse este, de asemenea, egal cu trei, adică sistemul este consecvent.

Luăm ca bază minorul non-zero găsit de ordinul al treilea.

Pentru claritate, arătăm elementele care formează baza minoră:


Lăsăm termenii implicați în baza minoră în partea stângă a ecuațiilor sistemului și transferăm restul cu semne opuse în partea dreaptă:


Să dăm variabilelor necunoscute libere x 2 și x 5 valori arbitrare, adică acceptăm , unde sunt numere arbitrare. În acest caz, SLAE va lua forma


Să rezolvăm sistemul elementar rezultat de ecuații algebrice liniare folosind metoda lui Cramer:


Prin urmare, .

În răspunsul dvs., nu uitați să indicați variabile necunoscute gratuite.

Răspuns:

Unde sunt numerele arbitrare.

Rezuma.

Pentru a rezolva un sistem de ecuații algebrice liniare generale, determinăm mai întâi compatibilitatea acestuia folosind teorema Kronecker–Capelli. Dacă rangul matricei principale nu este egal cu rangul matricei extinse, atunci ajungem la concluzia că sistemul este incompatibil.

Dacă rangul matricei principale este egal cu rangul matricei extinse, atunci selectăm o bază minoră și renunțăm la ecuațiile sistemului care nu participă la formarea bazei minore selectate.

Dacă ordinea bazei minore este egală cu numărul de variabile necunoscute, atunci SLAE are o soluție unică, care poate fi găsită prin orice metodă cunoscută de noi.

Dacă ordinea bazei minore este mai mică decât numărul de variabile necunoscute, atunci în partea stângă a ecuațiilor sistemului lăsăm termenii cu principalele variabile necunoscute, transferăm termenii rămași în partea dreaptă și dăm valori arbitrare pentru variabilele necunoscute libere. Din sistemul de ecuații liniare rezultat găsim principalele variabile necunoscute folosind metoda Cramer, metoda matricei sau metoda Gauss.

Metoda Gauss pentru rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare de formă generală.

Metoda Gauss poate fi folosită pentru a rezolva sisteme de ecuații algebrice liniare de orice fel fără a le testa mai întâi pentru consistență. Procesul de eliminare secvențială a variabilelor necunoscute face posibilă tragerea unei concluzii atât despre compatibilitatea, cât și despre incompatibilitatea SLAE, iar dacă există o soluție, face posibilă găsirea acesteia.

Din punct de vedere computațional, metoda Gaussiană este de preferat.

Vezi descrierea detaliată a acesteia și exemplele analizate în articolul Metoda Gauss pentru rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare generale.

Scrierea unei soluții generale la sisteme algebrice liniare omogene și neomogene folosind vectori ai sistemului fundamental de soluții.

În această secțiune vom vorbi despre sisteme omogene și neomogene simultane de ecuații algebrice liniare care au un număr infinit de soluții.

Să ne ocupăm mai întâi de sisteme omogene.

Sistem fundamental de soluții sistem omogen de p ecuații algebrice liniare cu n variabile necunoscute este o colecție de (n – r) soluții liniar independente ale acestui sistem, unde r este ordinul bazei minore a matricei principale a sistemului.

Dacă notăm soluții liniar independente ale unui SLAE omogen ca X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) sunt matrici coloane de dimensiunea n prin 1) , atunci soluția generală a acestui sistem omogen este reprezentată ca o combinație liniară de vectori ai sistemului fundamental de soluții cu coeficienți constanți arbitrari C 1, C 2, ..., C (n-r), adică .

Ce înseamnă termenul de soluție generală a unui sistem omogen de ecuații algebrice liniare (oroslau)?

Semnificația este simplă: formula specifică toate soluțiile posibile ale SLAE inițial, cu alte cuvinte, luând orice set de valori ale constantelor arbitrare C 1, C 2, ..., C (n-r), folosind formula pe care o vom obțineți una dintre soluțiile SLAE omogen original.

Astfel, dacă găsim un sistem fundamental de soluții, atunci putem defini toate soluțiile acestui SLAE omogen ca .

Să arătăm procesul de construire a unui sistem fundamental de soluții la un SLAE omogen.

Selectăm baza minoră a sistemului original de ecuații liniare, excludem toate celelalte ecuații din sistem și transferăm toți termenii care conțin variabile necunoscute libere în partea dreaptă a ecuațiilor sistemului cu semne opuse. Să dăm variabilelor necunoscute libere valorile 1,0,0,...,0 și să calculăm principalele necunoscute prin rezolvarea sistemului elementar rezultat de ecuații liniare în orice mod, de exemplu, folosind metoda Cramer. Aceasta va avea ca rezultat X (1) - prima soluție a sistemului fundamental. Dacă dăm necunoscutelor libere valorile 0,1,0,0,…,0 și calculăm principalele necunoscute, obținem X (2) . Și așa mai departe. Dacă atribuim valorile 0,0,…,0,1 variabilelor necunoscute libere și calculăm principalele necunoscute, obținem X (n-r) . În acest fel, se va construi un sistem fundamental de soluții la un SLAE omogen și soluția sa generală poate fi scrisă sub forma .

Pentru sistemele neomogene de ecuații algebrice liniare, soluția generală este reprezentată sub forma , unde este soluția generală a sistemului omogen corespunzător și este soluția particulară a SLAE neomogen original, pe care o obținem dând necunoscutelor libere valorile ​0,0,...,0 și calcularea valorilor principalelor necunoscute.

Să ne uităm la exemple.

Exemplu.

Aflați sistemul fundamental de soluții și soluția generală a unui sistem omogen de ecuații algebrice liniare .

Soluţie.

Rangul matricei principale a sistemelor omogene de ecuații liniare este întotdeauna egal cu rangul matricei extinse. Să găsim rangul matricei principale folosind metoda limitării minorilor. Ca un minor non-zero de ordinul întâi, luăm elementul a 1 1 = 9 din matricea principală a sistemului. Să găsim minorul care se limitează la zero de ordinul doi:

A fost găsit un minor de ordinul doi, diferit de zero. Să trecem prin minorii de ordinul trei care se învecinează cu acesta în căutarea unuia diferit de zero:

Toți minorii de ordinul trei sunt egali cu zero, prin urmare, rangul matricei principale și extinse este egal cu doi. Hai sa luam . Pentru claritate, să notăm elementele sistemului care îl formează:

A treia ecuație a SLAE inițial nu participă la formarea bazei minore, prin urmare, poate fi exclusă:

Lăsăm termenii care conțin principalele necunoscute în partea dreaptă a ecuațiilor și transferăm termenii cu necunoscute libere în partea dreaptă:

Să construim un sistem fundamental de soluții la sistemul omogen original de ecuații liniare. Sistemul fundamental de soluții al acestui SLAE constă din două soluții, deoarece SLAE original conține patru variabile necunoscute, iar ordinea bazei sale minore este egală cu două. Pentru a găsi X (1), dăm variabilelor necunoscute libere valorile x 2 = 1, x 4 = 0, apoi găsim principalele necunoscute din sistemul de ecuații
.

Un sistem omogen este întotdeauna consistent și are o soluție banală
. Pentru ca o soluție netrivială să existe, este necesar ca rangul matricei a fost mai mic decât numărul de necunoscute:

.

Sistem fundamental de soluții sistem omogen
numiți un sistem de soluții sub formă de vectori coloană
, care corespund temeiului canonic, i.e. bază în care constantele arbitrare
sunt setate alternativ egale cu unu, în timp ce restul sunt setate la zero.

Atunci soluția generală a sistemului omogen are forma:

Unde
- constante arbitrare. Cu alte cuvinte, soluția globală este o combinație liniară a sistemului fundamental de soluții.

Astfel, soluțiile de bază pot fi obținute din soluția generală dacă necunoscutelor libere li se dă pe rând valoarea unu, punând toate celelalte egale cu zero.

Exemplu. Să găsim o soluție la sistem

Să acceptăm, apoi obținem o soluție sub forma:

Să construim acum un sistem fundamental de soluții:

.

Soluția generală se va scrie astfel:

Soluțiile unui sistem de ecuații liniare omogene au următoarele proprietăți:

Cu alte cuvinte, orice combinație liniară de soluții la un sistem omogen este din nou o soluție.

Rezolvarea sistemelor de ecuații liniare folosind metoda Gauss

Rezolvarea sistemelor de ecuații liniare i-a interesat pe matematicieni de câteva secole. Primele rezultate au fost obținute în secolul al XVIII-lea. În 1750, G. Kramer (1704–1752) și-a publicat lucrările despre determinanții matricilor pătrate și a propus un algoritm pentru găsirea matricei inverse. În 1809, Gauss a schițat o nouă metodă de soluție cunoscută sub numele de metoda eliminării.

Metoda Gauss, sau metoda eliminării secvenţiale a necunoscutelor, constă în faptul că, folosind transformări elementare, un sistem de ecuaţii se reduce la un sistem echivalent de formă în trepte (sau triunghiulară). Astfel de sisteme fac posibilă găsirea secvenţială a tuturor necunoscutelor într-o anumită ordine.

Să presupunem că în sistemul (1)
(ceea ce este întotdeauna posibil).

(1)

Înmulțind prima ecuație una câte una cu așa-numita numere potrivite

și adunând rezultatul înmulțirii cu ecuațiile corespunzătoare ale sistemului, obținem un sistem echivalent în care în toate ecuațiile cu excepția primei nu va exista necunoscută. X 1

(2)

Să înmulțim acum a doua ecuație a sistemului (2) cu numere adecvate, presupunând că

,

iar adăugând-o cu cele inferioare, eliminăm variabila din toate ecuațiile, începând cu a treia.

Continuând acest proces, după
pas obtinem:

(3)

Dacă cel puţin unul dintre numere
nu este egal cu zero, atunci egalitatea corespunzătoare este contradictorie și sistemul (1) este inconsecvent. Dimpotrivă, pentru orice sistem de numere comun
sunt egale cu zero. Număr nu este altceva decât rangul matricei sistemului (1).

Se numește trecerea de la sistemul (1) la (3). drept înainte Metoda Gauss și găsirea necunoscutelor din (3) – în sens invers .

cometariu : Este mai convenabil să efectuați transformări nu cu ecuațiile în sine, ci cu matricea extinsă a sistemului (1).

Exemplu. Să găsim o soluție la sistem

.

Să scriem matricea extinsă a sistemului:

.

Să-l adăugăm pe primul la liniile 2,3,4, înmulțit cu (-2), (-3), respectiv (-2):

.

Să schimbăm rândurile 2 și 3, apoi în matricea rezultată adăugați rândul 2 la rândul 4, înmulțit cu :

.

Adaugă la linia 4 linia 3 înmulțită cu
:

.

Este evident că
, prin urmare, sistemul este consistent. Din sistemul de ecuații rezultat

găsim soluția prin substituție inversă:

,
,
,
.

Exemplul 2. Găsiți o soluție pentru sistem:

.

Este evident că sistemul este inconsecvent, pentru că
, A
.

Avantajele metodei Gauss :

Mai puțin intensivă de muncă decât metoda lui Cramer.

Stabilește fără ambiguitate compatibilitatea sistemului și vă permite să găsiți o soluție.

Face posibilă determinarea rangului oricăror matrici.

Soluțiile unui sistem omogen au următoarele proprietăți. Dacă vectorul = (α 1 , α 2 ,... ,α n) este o soluție a sistemului (15.14), apoi pentru orice număr k vector k = (kα 1 , kα 2 ,..., kα n) va fi soluția acestui sistem. Dacă soluția sistemului (15.14) este vectorul = (γ 1 , γ 2 , ... ,γ n), apoi suma + va fi, de asemenea, o soluție pentru acest sistem. Rezultă că orice combinație liniară de soluții la un sistem omogen este, de asemenea, o soluție pentru acest sistem.

După cum știm din secțiunea 12.2, fiecare sistem n-vectori dimensionali constând din mai mult de P vectorii este dependent liniar. Astfel, din mulțimea vectorilor soluție ai sistemului omogen (15.14) se poate alege o bază, i.e. orice soluție vectorială a unui sistem dat va fi o combinație liniară de vectori ai acestei baze. Orice astfel de bază este numită sistem fundamental de soluții sistem omogen de ecuații liniare. Următoarea teoremă este adevărată, pe care o prezentăm fără demonstrație.

TEOREMA 4. Dacă rangul r al unui sistem de ecuaţii omogene(15.14) este mai mic decât numărul de necunoscute n, apoi fiecare sistem fundamental de soluții ale sistemului (15.14) constă din n - r soluții.

Să indicăm acum o metodă pentru găsirea unui sistem fundamental de soluții (FSS). Fie sistemul de ecuații omogene (15.14) să aibă rang r< п. Apoi, după cum rezultă din regulile lui Cramer, necunoscutele de bază ale acestui sistem X 1 , X 2 , … x r exprimată liniar în termeni de variabile libere x r + 1 , xr + 2 , ..., x p:

Să selectăm soluții particulare ale sistemului omogen (15.14) conform următorului principiu. Pentru a găsi primul vector soluție 1 setăm x r + 1 = 1, x r + 2 = x r +3 = ... = x n= 0. Atunci găsim a doua soluție 2: acceptăm x r+2 = 1 și restul r- Setați 1 variabilă liberă la zero. Cu alte cuvinte, atribuim secvențial o valoare unitară fiecărei variabile libere, setând restul la zero. Astfel, sistemul fundamental de soluții în formă vectorială, ținând cont de primul r variabilele de bază (15.15) are forma

FSR (15.16) este unul dintre seturile fundamentale de soluții ale sistemului omogen (15.14).

Exemplul 1. Aflați soluția și FSR ale unui sistem de ecuații omogene

Soluţie. Vom rezolva acest sistem folosind metoda Gaussiană. Deoarece numărul de ecuații ale sistemului este mai mic decât numărul de necunoscute, luăm în considerare X 1 , X 2 , X 3 necunoscute de bază și X 4 , X 5 , X 6 - variabile libere. Să compunem o matrice extinsă a sistemului și să realizăm acțiunile care alcătuiesc cursul direct al metodei.

Sisteme de ecuații liniare omogene- are forma ∑a k i x i = 0. unde m > n sau m Un sistem omogen de ecuații liniare este întotdeauna consistent, întrucât rangA = rangB. În mod evident, are o soluție formată din zerouri, care se numește banal.

Scopul serviciului. Calculatorul online este conceput pentru a găsi o soluție netrivială și fundamentală pentru SLAE. Soluția rezultată este salvată într-un fișier Word (vezi exemplu de soluție).

Instrucțiuni. Selectați dimensiunea matricei:

numărul de variabile: 2 3 4 5 6 7 8 şi număr de linii 2 3 4 5 6

Proprietăți ale sistemelor de ecuații liniare omogene

Pentru ca sistemul să aibă soluții nebanale, este necesar și suficient ca rangul matricei sale să fie mai mic decât numărul de necunoscute.

Teorema. Un sistem în cazul m=n are o soluție netrivială dacă și numai dacă determinantul acestui sistem este egal cu zero.

Teorema. Orice combinație liniară de soluții pentru un sistem este, de asemenea, o soluție pentru acel sistem.
Definiție. Mulțimea soluțiilor unui sistem de ecuații liniare omogene se numește sistem fundamental de soluții, dacă această mulțime constă din soluții liniar independente și orice soluție a sistemului este o combinație liniară a acestor soluții.

Teorema. Dacă rangul r al matricei sistemului este mai mic decât numărul n de necunoscute, atunci există un sistem fundamental de soluții format din soluții (n-r).

Algoritm pentru rezolvarea sistemelor de ecuații liniare omogene

1. Aflarea rangului matricei.
2. Selectăm minorul de bază. Distingem necunoscutele dependente (de bază) și libere.
3. Tăiem acele ecuații ale sistemului ai căror coeficienți nu sunt incluși în baza minoră, deoarece sunt consecințe ale celorlalte (conform teoremei pe baza minoră).
4. Mutăm termenii ecuațiilor care conțin necunoscute libere în partea dreaptă. Ca urmare, obținem un sistem de r ecuații cu r necunoscute, echivalent cu cel dat, al cărui determinant este diferit de zero.
5. Rezolvăm sistemul rezultat prin eliminarea necunoscutelor. Găsim relații care exprimă variabile dependente prin intermediul celor libere.
6. Dacă rangul matricei nu este egal cu numărul de variabile, atunci găsim soluția fundamentală a sistemului.
7. În cazul rang = n avem o soluție banală.

Exemplu. Găsiți baza sistemului de vectori (a 1, a 2,...,a m), ordonați și exprimați vectorii pe baza bazei. Dacă a 1 =(0,0,1,-1) și 2 =(1,1,2,0) și 3 =(1,1,1,1) și 4 =(3,2,1 ,4) și 5 =(2,1,0,3).
Să notăm matricea principală a sistemului:

Înmulțiți a treia linie cu (-3). Să adăugăm a 4-a linie la a 3-a:

0	0	1	-1
0	0	-1	1
0	-1	-2	1
3	2	1	4
2	1	0	3

Înmulțiți a patra linie cu (-2). Să înmulțim a 5-a linie cu (3). Să adăugăm a 5-a linie la a 4-a:
Să adăugăm a doua linie la prima:
Să găsim rangul matricei.
Sistemul cu coeficienții acestei matrice este echivalent cu sistemul original și are forma:
- x 3 = - x 4
- x 2 - 2x 3 = - x 4
2x 1 + x 2 = - 3x 4
Folosind metoda eliminării necunoscutelor, găsim o soluție netrivială:
Am obținut relații care exprimă variabilele dependente x 1 , x 2 , x 3 prin cele libere x 4 , adică am găsit o soluție generală:
x 3 = x 4
x 2 = - x 4
x 1 = - x 4