Ajutor la Tele2, tarife, intrebari

Probleme 1.4 - 1.6

Starea problemei 1.4

Indicați eroarea în „soluția” problemei: se aruncă două zaruri; aflați probabilitatea ca suma punctelor extrase să fie 3 (eveniment A). "Soluţie". Există două rezultate posibile ale testului: suma punctelor extrase este 3, suma punctelor extrase nu este egală cu 3. Evenimentul A este favorizat de un singur rezultat, numărul total de rezultate este două. Prin urmare, probabilitatea dorită este egală cu P(A) = 1/2.

Rezolvarea problemei 1.4

Eroarea din această „soluție” este că rezultatele în cauză nu sunt la fel de posibile. Soluția corectă: numărul total de rezultate la fel de posibile este egal (fiecare număr de puncte aruncate pe un zar poate fi combinat cu toate numărul de puncte aruncate pe un alt zar). Dintre aceste rezultate, doar două rezultate favorizează evenimentul: (1; 2) și (2; 1). Aceasta înseamnă că probabilitatea necesară

Răspuns:

Starea problemei 1.5

Se aruncă două zaruri. Aflați probabilitățile următoarelor evenimente: a) suma punctelor extrase este șapte; b) suma punctelor extrase este opt, iar diferența este de patru; c) suma punctelor extrase este opt, dacă se știe că diferența lor este de patru; d) suma punctelor laminate este cinci, iar produsul este patru.

Rezolvarea problemei 1.5

a) Șase opțiuni pe primul zar, șase pe al doilea. Total opțiuni: (conform regulii produsului). Opțiuni pentru o sumă egală cu 7: (1,6), (6,1), (2,5), (5,2), (3,4), (4,3) - șase opțiuni în total. Mijloace,

b) Există doar două opțiuni potrivite: (6,2) și (2,6). Mijloace,

c) Există doar două opțiuni potrivite: (2,6), (6,2). Dar există 4 opțiuni posibile: (2,6), (6,2), (1,5), (5,1). Mijloace, .

d) Pentru o sumă egală cu 5, sunt potrivite următoarele opțiuni: (1.4), (4.1), (2.3), (3.2). Produsul este 4 pentru doar două opțiuni. Apoi

Raspuns: a) 1/6; b) 1/18; c) 1/2; d) 1/18

Starea problemei 1.6

Un cub, ale cărui margini sunt colorate, este tăiat în o mie de cuburi de aceeași dimensiune, care sunt apoi bine amestecate. Aflați probabilitatea ca cubul desenat de noroc să aibă fețe colorate: a) una; b) doi; la ora trei.

Soluția problemei 1.6

S-au format în total 1000 de cuburi. Cuburi cu trei fețe colorate: 8 (acestea sunt cuburi de colț). Cu două fețe colorate: 96 (deoarece există 12 margini ale unui cub cu 8 cuburi pe fiecare margine). Zaruri cu margini colorate: 384 (deoarece sunt 6 fețe și sunt 64 de cuburi pe fiecare față). Tot ce rămâne este să împărțiți fiecare cantitate găsită la 1000.

Răspuns: a) 0,384; b) 0,096 c) 0,008

În toate sarcinile B6 pe teoria probabilității, care sunt prezentate în Deschideți banca de activități pentru, trebuie să găsești probabilitate orice eveniment.

Trebuie să știi doar unul formulă, care este folosit pentru a calcula probabilitate:

În această formulă p - probabilitatea evenimentului,

k- numărul de evenimente care ne „mulțumesc”, în limbaj teoria probabilității se numesc rezultate favorabile.

n- numărul tuturor evenimentelor posibile sau numărul tuturor rezultatelor posibile.

Evident, numărul tuturor evenimentelor posibile este mai mare decât numărul rezultatelor favorabile, deci probabilitate este o valoare mai mică sau egală cu 1.

Dacă probabilitate valoarea evenimentului este 1, ceea ce înseamnă că acest eveniment se va întâmpla cu siguranță. Un astfel de eveniment se numește de încredere. De exemplu, faptul că după duminică va fi luni este, din păcate, un eveniment de încredere și probabilitatea acestuia este egală cu 1.

Cele mai mari dificultăți în rezolvarea problemelor apar tocmai la găsirea numerelor k și n.

Desigur, la fel ca atunci când rezolvați orice probleme, atunci când rezolvați problemele pe teoria probabilității Trebuie să citiți cu atenție condiția pentru a înțelege corect ce este dat și ce trebuie să găsiți.

Să ne uităm la câteva exemple de rezolvare a problemelor din de la Open Task Bank pentru .

Exemplul 1. Într-un experiment aleatoriu, se aruncă două zaruri. Aflați probabilitatea ca totalul să fie de 8 puncte. Rotunjiți rezultatul la sutimi.

Lăsați primul zar să arunce un punct, apoi al doilea zar poate arunca 6 opțiuni diferite. Astfel, deoarece primul zar are 6 fețe diferite, numărul total de opțiuni diferite este 6x6=36.

Dar nu suntem mulțumiți de toate. În funcție de condițiile problemei, suma punctelor extrase ar trebui să fie egală cu 8. Să creăm un tabel cu rezultate favorabile:

Vedem că numărul de rezultate care ni se potrivește este 5.

Astfel, probabilitatea ca un total de 8 puncte să apară este 5/36=0,13(8).

Încă o dată citim întrebarea problemei: rezultatul trebuie rotunjit la sutimi.

Să ne amintim regula de rotunjire.

Trebuie să rotunjim la cea mai apropiată sutime. Dacă în locul următor după sutimi (adică în locul miilor) există un număr care este mai mare sau egal cu 5, atunci adăugăm 1 la numărul de pe locul sutimilor; dacă acest număr este mai mic de 5, apoi numărul de pe locul sutimilor rămâne neschimbat.

În cazul nostru, numărul de pe locul miilor este 8, așa că creștem numărul 3, care se află pe locul miilor, cu 1.

Deci, p=5/36 ≈0,14

Răspuns: 0,14

Exemplul 2. 20 de sportivi participă la campionatul de gimnastică: 8 din Rusia, 7 din SUA, restul din China. Ordinea în care performanțele gimnastelor se stabilește prin tragere la sorți. Găsiți probabilitatea ca sportivul care concurează primul să fie din China.

În această problemă, numărul de rezultate posibile este de 20 - acesta este numărul tuturor sportivilor.

Să aflăm numărul de rezultate favorabile. Este egal cu numărul de atlete din China.

Prin urmare,

Răspuns: 0,25

Exemplul 3: În medie, din 1000 de pompe de grădină vândute, 5 scurgeri. Găsiți probabilitatea ca o pompă selectată aleatoriu pentru control să nu aibă scurgeri.

În această problemă n=1000.

Suntem interesați de pompe care nu au scurgeri. Numărul lor este 1000-5=995. Acestea.

Sarcini pentru probabilitatea de zaruri nu mai puțin populare decât problemele de aruncare a monedelor. Condiția unei astfel de probleme sună de obicei astfel: atunci când aruncați unul sau mai multe zaruri (2 sau 3), care este probabilitatea ca suma punctelor să fie egală cu 10 sau numărul de puncte să fie 4 sau produsul numărului de puncte sau produsul numărului de puncte împărțit la 2 etc.

Aplicarea formulei clasice de probabilitate este principala metodă de rezolvare a problemelor de acest tip.

Un singur mor, probabilitate.

Situația este destul de simplă cu un singur zar. este determinată de formula: P=m/n, unde m este numărul de rezultate favorabile evenimentului și n este numărul tuturor rezultatelor elementare la fel de posibile ale experimentului cu aruncarea unui os sau a unui cub.

Problema 1. Zarurile se aruncă o dată. Care este probabilitatea de a obține un număr par de puncte?

Deoarece zarul este un cub (sau se mai numește zar obișnuit, zarul va ateriza pe toate părțile cu aceeași probabilitate, deoarece este echilibrat), zarul are 6 laturi (numărul de puncte de la 1 la 6, care sunt indicată de obicei prin puncte), aceasta înseamnă că problema are un număr total de rezultate: n=6. Evenimentul este favorizat doar de rezultatele în care apare partea cu punctele pare 2,4 și 6; zarul are următoarele fețe: m=3. Acum putem determina probabilitatea dorită a zarului: P=3/6=1/2=0,5.

Sarcina 2. Zarurile sunt aruncate o dată. Care este probabilitatea ca să obții cel puțin 5 puncte?

Această problemă este rezolvată prin analogie cu exemplul dat mai sus. La aruncarea unui zar, numărul total de rezultate la fel de posibile este: n=6 și doar 2 rezultate satisfac condiția problemei (cel puțin 5 puncte rulate, adică 5 sau 6 puncte rulate), ceea ce înseamnă m =2. În continuare, găsim probabilitatea necesară: P=2/6=1/3=0,333.

Două zaruri, probabilitate.

Când rezolvați probleme care implică aruncarea a 2 zaruri, este foarte convenabil să folosiți o masă specială de punctaj. Pe ea, numărul de puncte care au căzut pe primul zar este afișat pe orizontală, iar numărul de puncte care au căzut pe al doilea zar este afișat vertical. Piesa de prelucrat arată astfel:

Dar apare întrebarea, ce va fi în celulele goale ale tabelului? Depinde de problema care trebuie rezolvată. Dacă problema este despre suma punctelor, atunci suma este scrisă acolo, iar dacă este vorba despre diferență, atunci diferența se notează și așa mai departe.

Problema 3. Se aruncă 2 zaruri în același timp. Care este probabilitatea de a obține mai puțin de 5 puncte?

În primul rând, trebuie să vă dați seama care va fi numărul total de rezultate ale experimentului. Totul era evident atunci când aruncați un zar, 6 părți ale zarului - 6 rezultate ale experimentului. Dar când există deja două zaruri, rezultatele posibile pot fi reprezentate ca perechi ordonate de numere de forma (x, y), unde x arată câte puncte au fost aruncate pe primul zar (de la 1 la 6) și y - câte puncte au fost aruncate pe al doilea zar (de la 1 până la 6). Va exista un total de astfel de perechi de numere: n=6*6=36 (în tabelul de rezultate corespund exact la 36 de celule).

Acum puteți completa tabelul; pentru a face acest lucru, numărul de puncte care au căzut pe primul și pe al doilea zar este introdus în fiecare celulă. Tabelul completat arată astfel:

Folosind tabelul, vom determina numărul de rezultate care favorizează evenimentul „va apărea un total de mai puțin de 5 puncte”. Să numărăm numărul de celule a căror valoare sumă este mai mică decât numărul 5 (acestea sunt 2, 3 și 4). Pentru comoditate, pictăm peste astfel de celule; vor fi m = 6 dintre ele:

Luând în considerare datele din tabel, probabilitatea de zaruri este egal cu: P=6/36=1/6.

Problema 4. S-au aruncat două zaruri. Determinați probabilitatea ca produsul numărului de puncte să fie divizibil cu 3.

Pentru a rezolva problema, să facem un tabel cu produsele punctelor care au căzut pe primul și al doilea zar. În ea, evidențiem imediat numerele care sunt multipli de 3:

Notăm numărul total de rezultate ale experimentului n=36 (raționamentul este același ca în problema anterioară) și numărul de rezultate favorabile (numărul de celule care sunt umbrite în tabel) m=20. Probabilitatea evenimentului este: P=20/36=5/9.

Problema 5. Zarurile sunt aruncate de două ori. Care este probabilitatea ca diferența de puncte de pe primul și al doilea zar să fie de la 2 la 5?

A determina probabilitatea de zaruri Să scriem un tabel cu diferențe de puncte și să selectăm în el acele celule a căror valoare a diferenței va fi între 2 și 5:

Numărul de rezultate favorabile (numărul de celule umbrite în tabel) este m=10, numărul total de rezultate elementare la fel de posibile va fi n=36. Determină probabilitatea evenimentului: P=10/36=5/18.

În cazul unui eveniment simplu și atunci când aruncați 2 zaruri, trebuie să construiți o masă, apoi să selectați celulele necesare în acesta și să împărțiți numărul lor la 36, ​​aceasta va fi considerată o probabilitate.