Ajutor la Tele2, tarife, intrebari

De exemplu, secvența \(2\); \(5\); \(8\); \(unsprezece\); \(14\)... este o progresie aritmetică, deoarece fiecare element ulterior diferă de cel anterior cu trei (se poate obține de la precedentul prin adăugarea a trei):

În această progresie, diferența \(d\) este pozitivă (egală cu \(3\)) și, prin urmare, fiecare termen următor este mai mare decât cel anterior. Se numesc astfel de progresii crescând.

Totuși, \(d\) poate fi și un număr negativ. De exemplu, în progresie aritmetică \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... diferența de progresie \(d\) este egală cu minus șase.

Și în acest caz, fiecare element următor va fi mai mic decât cel anterior. Aceste progresii se numesc in scadere.

Notarea progresiei aritmetice

Progresul este indicat de o literă latină mică.

Se numesc numerele care formează o progresie membrii(sau elemente).

Ele sunt notate cu aceeași literă ca o progresie aritmetică, dar cu un indice numeric egal cu numărul elementului în ordine.

De exemplu, progresia aritmetică \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) constă din elementele \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) și așa mai departe.

Cu alte cuvinte, pentru progresia \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)

Rezolvarea problemelor de progresie aritmetică

În principiu, informațiile prezentate mai sus sunt deja suficiente pentru a rezolva aproape orice problemă de progresie aritmetică (inclusiv cele oferite la OGE).

Exemplu (OGE). Progresia aritmetică este specificată de condițiile \(b_1=7; d=4\). Găsiți \(b_5\).
Soluţie:

Răspuns: \(b_5=23\)

Exemplu (OGE). Primii trei termeni ai unei progresii aritmetice sunt dați: \(62; 49; 36…\) Aflați valoarea primului termen negativ al acestei progresii..
Soluţie:

	Ni se dau primele elemente ale secvenței și știm că este o progresie aritmetică. Adică, fiecare element diferă de vecinul său prin același număr. Să aflăm care dintre ele scăzând pe cel precedent din următorul element: \(d=49-62=-13\).
	Acum ne putem restabili progresul la (primul element negativ) de care avem nevoie.
	Gata. Puteți scrie un răspuns.

Răspuns: \(-3\)

Exemplu (OGE). Având în vedere mai multe elemente consecutive ale unei progresii aritmetice: \(…5; x; 10; 12,5...\) Aflați valoarea elementului desemnat de litera \(x\).
Soluţie:

	Pentru a găsi \(x\), trebuie să știm cât de mult diferă următorul element față de cel anterior, cu alte cuvinte, diferența de progresie. Să o găsim din două elemente învecinate cunoscute: \(d=12,5-10=2,5\).
	Și acum putem găsi cu ușurință ceea ce căutăm: \(x=5+2.5=7.5\).
	Gata. Puteți scrie un răspuns.

Răspuns: \(7,5\).

Exemplu (OGE). Progresia aritmetica este definita de urmatoarele conditii: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Aflați suma primilor șase termeni ai acestei progresii.
Soluţie:

	Trebuie să găsim suma primilor șase termeni ai progresiei. Dar nu le cunoaștem semnificațiile; ni se dă doar primul element. Prin urmare, mai întâi calculăm valorile unul câte unul, folosind ceea ce ni se oferă: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) \(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\) \(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\) Și după ce am calculat cele șase elemente de care avem nevoie, găsim suma lor.
\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)	S-a găsit suma necesară.

Răspuns: \(S_6=9\).

Exemplu (OGE). În progresie aritmetică \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Găsiți diferența acestei progresii.
Soluţie:

Răspuns: \(d=7\).

Formule importante pentru progresia aritmetică

După cum puteți vedea, multe probleme privind progresia aritmetică pot fi rezolvate pur și simplu prin înțelegerea principalului lucru - că o progresie aritmetică este un lanț de numere și fiecare element ulterior din acest lanț se obține prin adăugarea aceluiași număr la cel precedent ( diferența de progresie).

Cu toate acestea, uneori există situații în care decizia „front-on” este foarte incomod. De exemplu, imaginați-vă că în primul exemplu trebuie să găsim nu al cincilea element \(b_5\), ci al trei sute optzeci și șase \(b_(386)\). Ar trebui să adăugăm de patru \(385\) ori? Sau imaginați-vă că în penultimul exemplu trebuie să găsiți suma primelor șaptezeci și trei de elemente. Te vei sătura să numeri...

Prin urmare, în astfel de cazuri ei nu rezolvă lucrurile „direct”, ci folosesc formule speciale derivate pentru progresia aritmetică. Iar cele principale sunt formula pentru al n-lea termen al progresiei și formula pentru suma \(n\) primilor termeni.

Formula celui de-al \(n\)-lea termen: \(a_n=a_1+(n-1)d\), unde \(a_1\) este primul termen al progresiei;
\(n\) – numărul elementului solicitat;
\(a_n\) – termenul progresiei cu număr \(n\).

Această formulă ne permite să găsim rapid chiar și al trei sutele sau milionul de element, cunoscând doar primul și diferența progresiei.

Exemplu. Progresia aritmetica este specificata de conditiile: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Găsiți \(b_(246)\).
Soluţie:

Răspuns: \(b_(246)=1850\).

Formula pentru suma primilor n termeni: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), unde

\(a_n\) – ultimul termen însumat;

Exemplu (OGE). Progresia aritmetică este specificată de condițiile \(a_n=3.4n-0.6\). Aflați suma primilor \(25\) termeni ai acestei progresii.
Soluţie:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\)		Pentru a calcula suma primilor douăzeci și cinci de termeni, trebuie să cunoaștem valoarea primului și a douăzeci și cinci de termeni. Progresia noastră este dată de formula celui de-al n-lea termen în funcție de numărul acestuia (pentru mai multe detalii, vezi). Să calculăm primul element înlocuind cu unul cu \(n\).
\(n=1;\) \(a_1=3,4·1-0,6=2,8\)		Acum să găsim al douăzeci și cincilea termen înlocuind douăzeci și cinci în loc de \(n\).
\(n=25;\) \(a_(25)=3,4·25-0,6=84,4\)		Ei bine, acum putem calcula cu ușurință suma necesară.
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2.8+84.4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		Răspunsul este gata.

Răspuns: \(S_(25)=1090\).

Pentru suma \(n\) primilor termeni, puteți obține o altă formulă: trebuie doar să \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) în loc de \(a_n\) înlocuiți formula \(a_n=a_1+(n-1)d\). Primim:

Formula pentru suma primilor n termeni: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), unde

\(S_n\) – suma necesară a \(n\) primele elemente;
\(a_1\) – primul termen însumat;
\(d\) – diferență de progresie;
\(n\) – numărul de elemente în total.

Exemplu. Aflați suma primilor \(33\)-ex termeni ai progresiei aritmetice: \(17\); \(15,5\); \(14\)…
Soluţie:

Răspuns: \(S_(33)=-231\).

Probleme de progresie aritmetică mai complexe

Acum aveți toate informațiile de care aveți nevoie pentru a rezolva aproape orice problemă de progresie aritmetică. Să încheiem subiectul luând în considerare probleme în care nu trebuie doar să aplicați formule, ci și să vă gândiți puțin (la matematică acest lucru poate fi util ☺)

Exemplu (OGE). Aflați suma tuturor termenilor negativi ai progresiei: \(-19,3\); \(-19\); \(-18,7\)…
Soluţie:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		Sarcina este foarte asemănătoare cu cea anterioară. Începem să rezolvăm același lucru: mai întâi găsim \(d\).
\(d=a_2-a_1=-19-(-19,3)=0,3\)		Acum aș dori să înlocuiesc \(d\) în formula pentru sumă... și aici apare o mică nuanță - nu știm \(n\). Cu alte cuvinte, nu știm câți termeni vor trebui adăugați. Cum să aflu? Să ne gândim. Vom opri adăugarea de elemente când ajungem la primul element pozitiv. Adică, trebuie să aflați numărul acestui element. Cum? Să notăm formula pentru calcularea oricărui element al unei progresii aritmetice: \(a_n=a_1+(n-1)d\) pentru cazul nostru.
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19,3+(n-1)·0,3\)		Avem nevoie ca \(a_n\) să devină mai mare decât zero. Să aflăm la ce \(n\) se va întâmpla asta.
\(-19,3+(n-1)·0,3>0\)
\((n-1)·0,3>19,3\) \(|:0,3\)		Împărțim ambele părți ale inegalității la \(0,3\).
\(n-1>\)\(\frac(19.3)(0.3)\)		Transferăm minus unu, fără a uita să schimbăm semnele
\(n>\)\(\frac(19.3)(0.3)\) \(+1\)		Hai sa calculam...
\(n>65.333…\)		...și rezultă că primul element pozitiv va avea numărul \(66\). În consecință, ultimul negativ are \(n=65\). Pentru orice eventualitate, hai să verificăm asta.
\(n=65;\) \(a_(65)=-19,3+(65-1)·0,3=-0,1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19,3+(66-1)·0,3=0,2\)		Deci trebuie să adăugăm primele \(65\) elemente.
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38,6+19,2)(2)\)\(\cdot 65=-630,5\)		Răspunsul este gata.

Răspuns: \(S_(65)=-630,5\).

Exemplu (OGE). Progresia aritmetica este specificata de conditiile: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Găsiți suma de la \(26\)-lea până la elementul \(42\) inclusiv.
Soluţie:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	În această problemă trebuie să găsiți și suma elementelor, dar începând nu de la primul, ci de la \(26\)-lea. Pentru un astfel de caz nu avem o formulă. Cum să decizi? Este ușor - pentru a obține suma de la \(26\)-a la \(42\)-a, trebuie mai întâi să găsiți suma de la \(1\)-a la \(42\)-a, apoi să scădeți din ea suma de la primul la \(25\)-lea (vezi poza).
	Pentru progresia noastră \(a_1=-33\), și diferența \(d=4\) (la urma urmei, adăugăm cele patru elementului anterior pentru a găsi următorul). Știind acest lucru, găsim suma primelor elemente \(42\)-y.
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	Acum suma primelor \(25\) elemente.
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	Și în sfârșit, calculăm răspunsul.
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

Răspuns: \(S=1683\).

Pentru progresia aritmetică, există mai multe formule pe care nu le-am luat în considerare în acest articol din cauza utilității lor practice scăzute. Cu toate acestea, le puteți găsi cu ușurință.

Da, da: progresia aritmetică nu este o jucărie pentru tine :)

Ei bine, prieteni, dacă citiți acest text, atunci dovada internă a capacului îmi spune că încă nu știți ce este o progresie aritmetică, dar chiar (nu, așa: SOOOOO!) doriți să știți. Prin urmare, nu vă voi chinui cu prezentări lungi și voi ajunge direct la obiect.

În primul rând, câteva exemple. Să ne uităm la mai multe seturi de numere:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

Ce au în comun toate aceste seturi? La prima vedere, nimic. Dar de fapt există ceva. Și anume: fiecare element următor diferă de cel precedent prin același număr.

Judecă singur. Primul set este pur și simplu numere consecutive, fiecare următor fiind cu unul mai mult decât precedentul. În al doilea caz, diferența dintre numerele adiacente este deja de cinci, dar această diferență este încă constantă. În al treilea caz, există rădăcini cu totul. Cu toate acestea, $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$ și $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, adică. și în acest caz, fiecare element următor crește pur și simplu cu $\sqrt(2)$ (și nu vă fie teamă că acest număr este irațional).

Deci: toate astfel de secvențe se numesc progresii aritmetice. Să dăm o definiție strictă:

Definiție. O succesiune de numere în care fiecare următor diferă de precedentul prin exact aceeași cantitate se numește progresie aritmetică. Însuși valoarea cu care numerele diferă se numește diferență de progresie și este cel mai adesea notă cu litera $d$.

Notație: $\left(((a)_(n)) \right)$ este progresia în sine, $d$ este diferența acesteia.

Și doar câteva note importante. În primul rând, progresia este luată în considerare ordonat succesiune de numere: au voie să fie citite strict în ordinea în care sunt scrise - și nimic altceva. Numerele nu pot fi rearanjate sau schimbate.

În al doilea rând, succesiunea în sine poate fi fie finită, fie infinită. De exemplu, mulțimea (1; 2; 3) este în mod evident o progresie aritmetică finită. Dar dacă scrieți ceva în spirit (1; 2; 3; 4; ...) - aceasta este deja o progresie infinită. Elipsele de după cele patru par să sugereze că mai urmează destul de multe numere. Infinit multe, de exemplu. :)

De asemenea, aș dori să remarc că progresiile pot fi în creștere sau în scădere. Am văzut deja crescătoare - același set (1; 2; 3; 4; ...). Iată exemple de progresii în scădere:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

Bine, bine: ultimul exemplu poate părea excesiv de complicat. Dar restul cred că ai înțeles. Prin urmare, introducem noi definiții:

Definiție. O progresie aritmetica se numeste:

1. crescând dacă fiecare element următor este mai mare decât cel anterior;
2. descrescătoare dacă, dimpotrivă, fiecare element ulterior este mai mic decât cel anterior.

În plus, există așa-numitele secvențe „staționare” - ele constau din același număr care se repetă. De exemplu, (3; 3; 3; ...).

Rămâne o singură întrebare: cum să distingem o progresie crescătoare de una în scădere? Din fericire, totul aici depinde doar de semnul numărului $d$, adică. diferente de progresie:

1. Dacă $d \gt 0$, atunci progresia crește;
2. Dacă $d \lt 0$, atunci progresia este în mod evident în scădere;
3. În sfârșit, există cazul $d=0$ - în acest caz întreaga progresie se reduce la o succesiune staționară de numere identice: (1; 1; 1; 1; ...), etc.

Să încercăm să calculăm diferența $d$ pentru cele trei progresii descrescătoare prezentate mai sus. Pentru a face acest lucru, este suficient să luați oricare două elemente adiacente (de exemplu, primul și al doilea) și să scădeți numărul din stânga din numărul din dreapta. Va arăta astfel:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

După cum putem vedea, în toate cele trei cazuri diferența sa dovedit a fi de fapt negativă. Și acum că ne-am dat seama mai mult sau mai puțin definițiile, este timpul să ne dăm seama cum sunt descrise progresiile și ce proprietăți au acestea.

Termeni de progresie și formula de recurență

Deoarece elementele secvențelor noastre nu pot fi schimbate, ele pot fi numerotate:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3) )),... \dreapta\)\]

Elementele individuale ale acestui set sunt numite membri ai unei progresii. Ele sunt indicate printr-un număr: primul membru, al doilea membru etc.

În plus, după cum știm deja, termenii învecinați ai progresiei sunt legați prin formula:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Rightarrow ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

Pe scurt, pentru a găsi al $n$-lea termen al unei progresii, trebuie să cunoașteți $n-1$-lea termen și diferența $d$. Această formulă se numește recurentă, deoarece cu ajutorul ei poți găsi orice număr doar cunoscând-o pe precedentul (și de fapt, pe toate precedentele). Acest lucru este foarte incomod, deci există o formulă mai vicleană care reduce orice calcul la primul termen și diferența:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\stanga(n-1 \dreapta)d\]

Probabil că ați întâlnit deja această formulă. Le place să-l ofere în tot felul de cărți de referință și cărți de soluții. Și în orice manual de matematică sensibil este unul dintre primele.

Totuși, vă sugerez să exersați puțin.

Sarcina nr. 1. Notați primii trei termeni ai progresiei aritmetice $\left(((a)_(n)) \right)$ dacă $((a)_(1))=8,d=-5$.

Soluţie. Deci, cunoaștem primul termen $((a)_(1))=8$ și diferența de progresie $d=-5$. Să folosim formula tocmai dată și să înlocuim $n=1$, $n=2$ și $n=3$:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\left(2-1 \right)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\left(3-1 \right)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end(align)\]

Răspuns: (8; 3; −2)

Asta e tot! Vă rugăm să rețineți: progresul nostru este în scădere.

Desigur, $n=1$ nu a putut fi înlocuit - primul termen este deja cunoscut de noi. Totuși, înlocuind unitatea, am fost convinși că și pentru primul termen formula noastră funcționează. În alte cazuri, totul s-a rezumat la aritmetică banală.

Sarcina nr. 2. Scrieți primii trei termeni ai unei progresii aritmetice dacă al șaptelea termen este egal cu -40 și al șaptesprezecelea termen este egal cu -50.

Soluţie. Să scriem condiția problemei în termeni familiari:

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(align) \dreapta.\]

Am pus semnul de sistem pentru că aceste cerințe trebuie îndeplinite simultan. Acum să observăm că, dacă o scădem pe prima din a doua ecuație (avem dreptul să facem asta, deoarece avem un sistem), obținem asta:

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\&10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(align)\]

Așa este de ușor să găsești diferența de progresie! Tot ce rămâne este să înlocuiți numărul găsit în oricare dintre ecuațiile sistemului. De exemplu, în primul:

\[\begin(matrix) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \end(matrice)\]

Acum, cunoscând primul termen și diferența, rămâne să găsim al doilea și al treilea termen:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(align)\]

Gata! Problema este rezolvată.

Răspuns: (−34; −35; −36)

Observați proprietatea interesantă a progresiei pe care am descoperit-o: dacă luăm termenii $n$th și $m$th și îi scădem unul de celălalt, obținem diferența de progresie înmulțită cu numărul $n-m$:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \right)\]

O proprietate simplă, dar foarte utilă pe care neapărat trebuie să o cunoști - cu ajutorul ei poți accelera semnificativ rezolvarea multor probleme de progresie. Iată un exemplu clar în acest sens:

Sarcina nr. 3. Al cincilea termen al unei progresii aritmetice este 8,4, iar al zecelea termen este 14,4. Găsiți al cincisprezecelea termen al acestei progresii.

Soluţie. Deoarece $((a)_(5))=8,4$, $((a)_(10))=14,4$ și trebuie să găsim $((a)_(15))$, observăm următoarele:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end(align)\]

Dar prin condiția $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, deci $5d=6$, din care avem:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \end(align)\]

Răspuns: 20.4

Asta e tot! Nu a fost nevoie să creăm sisteme de ecuații și să calculăm primul termen și diferența - totul a fost rezolvat în doar câteva linii.

Acum să ne uităm la un alt tip de problemă - căutarea termenilor negativi și pozitivi ai unei progresii. Nu este un secret că, dacă o progresie crește, iar primul său termen este negativ, atunci mai devreme sau mai târziu vor apărea termeni pozitivi în ea. Și invers: termenii unei progresii în scădere vor deveni mai devreme sau mai târziu negativi.

În același timp, nu este întotdeauna posibil să găsiți acest moment „în față” parcurgând secvențial elementele. Adesea, problemele sunt scrise în așa fel încât, fără a cunoaște formulele, calculele ar dura mai multe coli de hârtie – pur și simplu am adormi în timp ce găsim răspunsul. Prin urmare, să încercăm să rezolvăm aceste probleme într-un mod mai rapid.

Sarcina nr. 4. Câți termeni negativi există în progresia aritmetică −38,5; −35,8; ...?

Soluţie. Deci, $((a)_(1))=-38,5$, $((a)_(2))=-35,8$, de unde găsim imediat diferența:

Rețineți că diferența este pozitivă, deci progresia crește. Primul termen este negativ, așa că într-adevăr, la un moment dat, ne vom împiedica de numere pozitive. Singura întrebare este când se va întâmpla asta.

Să încercăm să aflăm cât timp (adică până la ce număr natural $n$) rămâne negativitatea termenilor:

\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Rightarrow ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38,5+\left(n-1 \right)\cdot 2,7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \dreapta. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Rightarrow ((n)_(\max ))=15. \\ \end(align)\]

Ultima linie necesită câteva explicații. Deci știm că $n \lt 15\frac(7)(27)$. Pe de altă parte, ne mulțumim doar cu valori întregi ale numărului (mai mult: $n\in \mathbb(N)$), deci cel mai mare număr permis este tocmai $n=15$ și în niciun caz 16 .

Sarcina nr. 5. În progresie aritmetică $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Aflați numărul primului termen pozitiv al acestei progresii.

Aceasta ar fi exact aceeași problemă ca cea anterioară, dar nu știm $((a)_(1))$. Dar termenii vecini sunt cunoscuți: $((a)_(5))$ și $((a)_(6))$, așa că putem găsi cu ușurință diferența de progresie:

În plus, să încercăm să exprimăm al cincilea termen prin primul și diferența folosind formula standard:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \end(align)\]

Acum procedăm prin analogie cu sarcina anterioară. Să aflăm în ce moment în succesiunea noastră vor apărea numerele pozitive:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Rightarrow ((n)_(\min ))=56. \\ \end(align)\]

Soluția întreagă minimă a acestei inegalități este numărul 56.

Vă rugăm să rețineți: în ultima sarcină totul s-a rezumat la o inegalitate strictă, așa că opțiunea $n=55$ nu ne va potrivi.

Acum că am învățat cum să rezolvăm probleme simple, să trecem la altele mai complexe. Dar mai întâi, să studiem o altă proprietate foarte utilă a progresiilor aritmetice, care ne va economisi mult timp și celule inegale în viitor. :)

Media aritmetică și indentări egale

Să luăm în considerare câțiva termeni consecutivi ai progresiei aritmetice crescătoare $\left(((a)_(n)) \right)$. Să încercăm să le marchem pe linia numerică:

Termenii unei progresii aritmetice pe dreapta numerică

Am marcat în mod special termeni arbitrari $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, și nu niște $((a)_(1)) ,\ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ etc. Pentru că regula despre care vă voi spune acum funcționează la fel pentru orice „segment”.

Și regula este foarte simplă. Să ne amintim formula recurentă și să o notăm pentru toți termenii marcați:

\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(align)\]

Cu toate acestea, aceste egalități pot fi rescrise diferit:

\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(align)\]

Ei bine, ce? Și faptul că termenii $((a)_(n-1))$ și $((a)_(n+1))$ se află la aceeași distanță de $((a)_(n)) $ . Și această distanță este egală cu $d$. Același lucru se poate spune despre termenii $((a)_(n-2))$ și $((a)_(n+2))$ - sunt, de asemenea, eliminați din $((a)_(n) )$ la aceeași distanță egală cu $2d$. Putem continua la infinit, dar sensul este bine ilustrat de imagine

Termenii progresiei se află la aceeași distanță de centru

Ce înseamnă asta pentru noi? Aceasta înseamnă că $((a)_(n))$ poate fi găsit dacă numerele învecinate sunt cunoscute:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

Am obținut o afirmație excelentă: fiecare termen al unei progresii aritmetice este egal cu media aritmetică a termenilor învecinați! Mai mult decât atât: ne putem întoarce de la $((a)_(n))$ la stânga și la dreapta nu cu un pas, ci cu $k$ pași - și formula va fi în continuare corectă:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

Acestea. putem găsi cu ușurință câțiva $((a)_(150))$ dacă știm $((a)_(100))$ și $((a)_(200))$, deoarece $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. La prima vedere, poate părea că acest fapt nu ne oferă nimic util. Cu toate acestea, în practică, multe probleme sunt special adaptate pentru a utiliza media aritmetică. Aruncă o privire:

Sarcina nr. 6. Găsiți toate valorile lui $x$ pentru care numerele $-6((x)^(2))$, $x+1$ și $14+4((x)^(2))$ sunt termeni consecutivi ai o progresie aritmetică (în ordinea indicată).

Soluţie. Deoarece aceste numere sunt membre ale unei progresii, condiția mediei aritmetice este îndeplinită pentru ele: elementul central $x+1$ poate fi exprimat în termeni de elemente învecinate:

\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(align)\]

Rezultatul este o ecuație pătratică clasică. Rădăcinile sale: $x=2$ și $x=-3$ sunt răspunsurile.

Răspuns: −3; 2.

Sarcina nr. 7. Găsiți valorile lui $$ pentru care numerele $-1;4-3;(()^(2))+1$ formează o progresie aritmetică (în această ordine).

Soluţie. Să exprimăm din nou termenul mijlociu prin media aritmetică a termenilor vecini:

\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2 \right.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(align)\]

Din nou ecuația cuadratică. Și din nou există două rădăcini: $x=6$ și $x=1$.

Raspunsul 1; 6.

Dacă în procesul de rezolvare a unei probleme vii cu niște numere brutale, sau nu ești complet sigur de corectitudinea răspunsurilor găsite, atunci există o tehnică minunată care îți permite să verifici: am rezolvat corect problema?

Să presupunem că în problema nr. 6 am primit răspunsurile −3 și 2. Cum putem verifica dacă aceste răspunsuri sunt corecte? Să le conectăm la starea originală și să vedem ce se întâmplă. Permiteți-mi să vă reamintesc că avem trei numere ($-6(()^(2))$, $+1$ și $14+4(()^(2))$), care trebuie să formeze o progresie aritmetică. Să înlocuim $x=-3$:

\[\begin(align) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ & x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(align)\]

Am obținut numerele −54; −2; 50 care diferă cu 52 este, fără îndoială, o progresie aritmetică. Același lucru se întâmplă și pentru $x=2$:

\[\begin(align) & x=2\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ & x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(align)\]

Din nou o progresie, dar cu o diferență de 27. Astfel, problema a fost rezolvată corect. Cei care doresc pot verifica singuri a doua problemă, dar voi spune imediat: totul este corect și acolo.

În general, în timp ce rezolvăm ultimele probleme, am dat peste un alt fapt interesant, care trebuie de asemenea reținut:

Dacă trei numere sunt astfel încât al doilea este media aritmetică a primului și ultimului, atunci aceste numere formează o progresie aritmetică.

În viitor, înțelegerea acestei afirmații ne va permite să „construim” literalmente progresiile necesare pe baza condițiilor problemei. Dar înainte de a ne angaja într-o astfel de „construcție”, ar trebui să fim atenți la încă un fapt, care decurge direct din ceea ce a fost deja discutat.

Gruparea și însumarea elementelor

Să revenim din nou la axa numerelor. Să notăm acolo câțiva membri ai progresiei, între care, poate. valorează mulți alți membri:

Pe linia numerică sunt marcate 6 elemente

Să încercăm să exprimăm „coada din stânga” prin $((a)_(n))$ și $d$, iar „coada din dreapta” prin $((a)_(k))$ și $d$. E foarte simplu:

\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(align)\]

Acum rețineți că următoarele sume sunt egale:

\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \end(align)\]

Mai simplu spus, dacă considerăm ca început două elemente ale progresiei, care în total sunt egale cu un anumit număr $S$, și apoi începem să pășim din aceste elemente în direcții opuse (unul către celălalt sau invers pentru a se îndepărta), apoi sumele elementelor de care ne vom împiedica vor fi de asemenea egale$S$. Acest lucru poate fi cel mai clar reprezentat grafic:

Indentațiile egale dau cantități egale

Înțelegerea acestui fapt ne va permite să rezolvăm probleme cu un nivel fundamental de complexitate mai mare decât cele pe care le-am considerat mai sus. De exemplu, acestea:

Sarcina nr. 8. Determinați diferența unei progresii aritmetice în care primul termen este 66, iar produsul dintre al doilea și al doisprezecelea termeni este cel mai mic posibil.

Soluţie. Să scriem tot ce știm:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \end(align)\]

Deci, nu cunoaștem diferența de progresie $d$. De fapt, întreaga soluție va fi construită în jurul diferenței, deoarece produsul $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ poate fi rescris după cum urmează:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \end(align)\]

Pentru cei din rezervor: am luat multiplicatorul total de 11 din a doua paranteză. Astfel, produsul dorit este o funcție pătratică față de variabila $d$. Prin urmare, luați în considerare funcția $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ - graficul său va fi o parabolă cu ramuri în sus, deoarece dacă extindem parantezele, obținem:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

După cum puteți vedea, coeficientul celui mai mare termen este 11 - acesta este un număr pozitiv, deci avem de-a face cu o parabolă cu ramuri în sus:

graficul unei funcții pătratice - parabolă

Vă rugăm să rețineți: această parabolă își ia valoarea minimă la vârful său cu abscisa $((d)_(0))$. Desigur, putem calcula această abscisă folosind schema standard (există formula $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), dar ar fi mult mai rezonabil să remarcăm că vârful dorit se află pe axa de simetrie a parabolei, prin urmare punctul $((d)_(0))$ este echidistant de rădăcinile ecuației $f\left(d \right)=0$:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \end(align)\]

De aceea nu m-am grăbit să deschid parantezele: în forma lor originală, rădăcinile erau foarte, foarte ușor de găsit. Prin urmare, abscisa este egală cu media aritmetică a numerelor −66 și −6:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

Ce ne oferă numărul descoperit? Cu ea, produsul solicitat capătă cea mai mică valoare (apropo, nu am calculat niciodată $((y)_(\min ))$ - nu ni se cere acest lucru). În același timp, acest număr este diferența progresiei inițiale, adică. am gasit raspunsul. :)

Răspuns: −36

Sarcina nr. 9. Între numerele $-\frac(1)(2)$ și $-\frac(1)(6)$ introduceți trei numere astfel încât împreună cu aceste numere să formeze o progresie aritmetică.

Soluţie. În esență, trebuie să facem o secvență de cinci numere, cu primul și ultimul număr deja cunoscute. Să notăm numerele lipsă prin variabilele $x$, $y$ și $z$:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]

Rețineți că numărul $y$ este „mijlocul” secvenței noastre - este echidistant de numerele $x$ și $z$ și de numerele $-\frac(1)(2)$ și $-\frac (1)( 6)$. Și dacă în prezent nu putem obține $y$ din numerele $x$ și $z$, atunci situația este diferită cu capetele progresiei. Să ne amintim media aritmetică:

Acum, cunoscând $y$, vom găsi numerele rămase. Rețineți că $x$ se află între numerele $-\frac(1)(2)$ și $y=-\frac(1)(3)$ pe care tocmai le-am găsit. De aceea

Folosind un raționament similar, găsim numărul rămas:

Gata! Am găsit toate cele trei numere. Să le scriem în răspuns în ordinea în care ar trebui să fie introduse între numerele originale.

Răspuns: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

Sarcina nr. 10. Între numerele 2 și 42, introduceți mai multe numere care, împreună cu aceste numere, formează o progresie aritmetică, dacă știți că suma primului, al doilea și ultimul dintre numerele introduse este 56.

Soluţie. O problemă și mai complexă, care, însă, se rezolvă după aceeași schemă ca și cele precedente - prin media aritmetică. Problema este că nu știm exact câte numere trebuie introduse. Prin urmare, să presupunem pentru certitudine că după ce ați inserat totul vor fi exact $n$ numere, iar primul dintre ele este 2, iar ultimul este 42. În acest caz, progresia aritmetică necesară poate fi reprezentată sub forma:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \dreapta\)\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

Rețineți, totuși, că numerele $((a)_(2))$ și $((a)_(n-1))$ sunt obținute din numerele 2 și 42 de la margini cu un pas unul spre celălalt, adică . spre centrul secvenței. Și asta înseamnă că

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

Dar atunci expresia scrisă mai sus poate fi rescrisă după cum urmează:

\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end(align)\]

Cunoscând $((a)_(3))$ și $((a)_(1))$, putem găsi cu ușurință diferența progresiei:

\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\left(3-1 \right)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Săgeată la dreapta d=5. \\ \end(align)\]

Tot ce rămâne este să găsiți termenii rămași:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(align)\]

Astfel, deja la pasul 9 vom ajunge la capătul din stânga secvenței – numărul 42. În total, au trebuit introduse doar 7 numere: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Răspuns: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Probleme de cuvinte cu progresii

În concluzie, aș dori să iau în considerare câteva probleme relativ simple. Ei bine, la fel de simplu: pentru majoritatea elevilor care studiază matematica la școală și nu au citit ce este scris mai sus, aceste probleme pot părea grele. Cu toate acestea, acestea sunt tipurile de probleme care apar în OGE și examenul de stat unificat la matematică, așa că vă recomand să vă familiarizați cu ele.

Sarcina nr. 11. Echipa a produs 62 de piese în ianuarie, iar în fiecare lună următoare a produs cu 14 piese mai multe decât în ​​luna precedentă. Câte piese a produs echipa în noiembrie?

Soluţie. Evident, numărul de piese enumerate pe lună va reprezenta o progresie aritmetică din ce în ce mai mare. În plus:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end(align)\]

Noiembrie este a 11-a lună a anului, așa că trebuie să găsim $((a)_(11))$:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

Prin urmare, în noiembrie vor fi produse 202 piese.

Sarcina nr. 12. Atelierul de legătorie a legat 216 cărți în ianuarie, iar în fiecare lună următoare a legat cu 4 cărți mai multe decât în ​​luna precedentă. Câte cărți a legat atelierul în decembrie?

Soluţie. Tot la fel:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(align)$

Decembrie este ultima, a 12-a lună a anului, așa că căutăm $((a)_(12))$:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

Acesta este răspunsul - 260 de cărți vor fi legate în decembrie.

Ei bine, dacă ați citit până aici, mă grăbesc să vă felicit: ați finalizat cu succes „cursul tânărului luptător” în progresii aritmetice. Puteți trece în siguranță la următoarea lecție, unde vom studia formula pentru suma progresiei, precum și consecințele importante și foarte utile din aceasta.

Tip de lecție:învăţarea de materiale noi.

Obiectivele lecției:

• extinderea și aprofundarea înțelegerii de către elevi a problemelor rezolvate folosind progresia aritmetică; organizarea activităților de căutare ale elevilor la derivarea formulei pentru suma primilor n termeni ai unei progresii aritmetice;
• dezvoltarea capacității de a dobândi în mod independent noi cunoștințe și de a utiliza cunoștințele deja dobândite pentru a îndeplini o anumită sarcină;
• dezvoltarea dorintei si nevoii de generalizare a faptelor obtinute, dezvoltand independenta.

Sarcini:

• rezuma și sistematiza cunoștințele existente pe tema „Progresia aritmetică”;
• deduceți formule pentru calcularea sumei primilor n termeni ai unei progresii aritmetice;
• învață cum să aplici formulele obținute la rezolvarea diferitelor probleme;
• atrage atenţia elevilor asupra procedeului de aflare a valorii unei expresii numerice.

Echipament:

• fișe cu sarcini pentru lucrul în grupuri și perechi;
• lucrare de evaluare;
• prezentare„Progresie aritmetică”.

I. Actualizarea cunoștințelor de bază.

1. Muncă independentă in perechi.

prima varianta:

Definiți progresia aritmetică. Scrieți o formulă de recurență care definește o progresie aritmetică. Vă rugăm să oferiți un exemplu de progresie aritmetică și să indicați diferența acesteia.

a 2-a varianta:

Scrieți formula pentru al n-lea termen al unei progresii aritmetice. Găsiți al 100-lea termen al progresiei aritmetice ( un n}: 2, 5, 8 …
În acest moment, doi elevi din spatele tablei pregătesc răspunsuri la aceleași întrebări.
Elevii evaluează munca partenerului lor verificându-le pe tablă. (Se predau foile cu răspunsuri.)

2. Momentul jocului.

Exercitiul 1.

Profesor. M-am gândit la o progresie aritmetică. Pune-mi doar două întrebări pentru ca după răspunsuri să poți numi rapid al 7-lea termen al acestei progresii. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15…)

Întrebări de la studenți.

1. Care este al șaselea termen al progresiei și care este diferența?
2. Care este al optulea termen al progresiei și care este diferența?

Dacă nu mai există întrebări, atunci profesorul le poate stimula - o „interdicție” pe d (diferență), adică nu este permis să întrebați cu ce este egală diferența. Puteți pune întrebări: cu ce este egal al 6-lea termen al progresiei și cu ce este al 8-lea termen al progresiei?

Sarcina 2.

Pe tablă sunt scrise 20 de numere: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

Profesorul stă cu spatele la tablă. Elevii sună numărul, iar profesorul sună imediat numărul în sine. Explicați cum pot face asta?

Profesorul își amintește formula pentru al n-lea trimestru a n = 3n – 2și, înlocuind valorile specificate n, găsește valorile corespunzătoare un n.

II. Stabilirea unei sarcini de învățare.

Îmi propun să rezolv o problemă străveche care datează din mileniul II î.Hr., găsită în papirusurile egiptene.

Sarcină:„Să vi se spună: împărțiți 10 măsuri de orz la 10 persoane, diferența dintre fiecare persoană și vecinul său este de 1/8 din măsură.”

• Cum este această problemă legată de progresia aritmetică a subiectului? (Fiecare persoană următoare primește 1/8 din măsură în plus, ceea ce înseamnă că diferența este d=1/8, 10 persoane, ceea ce înseamnă n=10.)
• Ce crezi că înseamnă numărul 10 măsuri? (Suma tuturor termenilor progresiei.)
• Ce altceva trebuie să știți pentru a face ușor și simplu împărțirea orzului în funcție de condițiile problemei? (Primul termen de progresie.)

Obiectivul lecției– obținerea dependenței sumei termenilor progresiei de numărul lor, primul termen și diferența și verificarea dacă problema a fost rezolvată corect în antichitate.

Înainte de a deduce formula, să ne uităm la modul în care egiptenii antici au rezolvat problema.

Și au rezolvat-o astfel:

1) 10 măsuri: 10 = 1 măsură – cotă medie;
2) 1 măsură ∙ = 2 măsuri – dublată in medie acțiune.
Dublat in medie cota este suma acțiunilor persoanei a 5-a și a 6-a.
3) 2 masuri – 1/8 masuri = 1 7/8 masuri – dublu fata de persoana a cincea.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 – fracțiune de cincime; și așa mai departe, puteți găsi cota fiecărei persoane anterioare și ulterioare.

Obținem secvența:

III. Rezolvarea problemei.

1. Lucrați în grupuri

Grupa I: Aflați suma a 20 de numere naturale consecutive: S 20 =(20+1)∙10 =210.

În general

grupa II: Aflați suma numerelor naturale de la 1 la 100 (Legenda lui Micul Gauss).

S 100 = (1+100)∙50 = 5050

Concluzie:

grupa III: Aflați suma numerelor naturale de la 1 la 21.

Rezolvare: 1+21=2+20=3+19=4+18…

Concluzie:

grupa IV: Aflați suma numerelor naturale de la 1 la 101.

Concluzie:

Această metodă de rezolvare a problemelor luate în considerare se numește „Metoda Gauss”.

2. Fiecare grupă prezintă pe tablă soluția problemei.

3. Generalizarea soluțiilor propuse pentru o progresie aritmetică arbitrară:

a 1, a 2, a 3,..., a n-2, a n-1, a n.
S n =a 1 + a 2 + a 3 + a 4 +…+ a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n.

Să găsim această sumă folosind un raționament similar:

4. Am rezolvat problema?(Da.)

IV. Înțelegerea și aplicarea primară a formulelor obținute la rezolvarea problemelor.

1. Verificarea soluției unei probleme vechi folosind formula.

2. Aplicarea formulei în rezolvarea diverselor probleme.

3. Exerciții de dezvoltare a capacității de a aplica formule la rezolvarea problemelor.

A) Nr. 613

Dat: ( a n) - progresie aritmetică;

(a n): 1, 2, 3, …, 1500

Găsi: S 1500

Soluţie: , a 1 = 1 și 1500 = 1500,

B) Având în vedere: ( a n) - progresie aritmetică;
(a n): 1, 2, 3, …
S n = 210

Găsi: n
Soluţie:

V. Munca independentă cu verificare reciprocă.

Denis a început să lucreze ca curier. În prima lună, salariul său a fost de 200 de ruble, în fiecare lună următoare a crescut cu 30 de ruble. Cât a câștigat în total într-un an?

Dat: ( a n) - progresie aritmetică;
a 1 = 200, d=30, n=12
Găsi: S 12
Soluţie:

Răspuns: Denis a primit 4380 de ruble pe an.

VI. Instruirea temelor pentru acasă.

1. Secțiunea 4.3 – învață derivarea formulei.
2. №№ 585, 623 .
3. Creați o problemă care poate fi rezolvată folosind formula pentru suma primilor n termeni ai unei progresii aritmetice.

VII. Rezumând lecția.

1. Fișa de punctaj

2. Continuați propozițiile

• Astăzi la clasă am învățat...
• Formule invatate...
• Eu cred că …

3. Puteți găsi suma numerelor de la 1 la 500? Ce metodă veți folosi pentru a rezolva această problemă?

Bibliografie.

1. Algebră, clasa a IX-a. Manual pentru instituțiile de învățământ general. Ed. G.V. Dorofeeva. M.: „Iluminismul”, 2009.

I. V. Yakovlev | Materiale de matematică | MathUs.ru

Progresie aritmetică

O progresie aritmetică este un tip special de secvență. Prin urmare, înainte de a defini progresia aritmetică (și apoi geometrică), trebuie să discutăm pe scurt conceptul important de secvență de numere.

Urmare

Imaginează-ți un dispozitiv pe ecranul căruia anumite numere sunt afișate unul după altul. Să spunem 2; 7; 13; 1; 6; 0; 3; : : : Acest set de numere este tocmai un exemplu de succesiune.

Definiție. O secvență de numere este un set de numere în care fiecărui număr i se poate atribui un număr unic (adică asociat cu un singur număr natural)1. Numărul n se numește al n-lea termen al șirului.

Deci, în exemplul de mai sus, primul număr este 2, acesta este primul membru al secvenței, care poate fi notat cu a1; numărul cinci are numărul 6 este al cincilea termen al șirului, care poate fi notat cu a5. În general, al n-lea termen al unei secvențe este notat cu un (sau bn, cn etc.).

O situație foarte convenabilă este atunci când al n-lea termen al secvenței poate fi specificat printr-o formulă. De exemplu, formula an = 2n 3 specifică succesiunea: 1; 1; 3; 5; 7; : : : Formula an = (1)n specifică succesiunea: 1; 1; 1; 1; : : :

Nu orice set de numere este o succesiune. Astfel, un segment nu este o succesiune; conține „prea multe” numere pentru a fi renumerotate. Mulțimea R a tuturor numerelor reale nu este, de asemenea, o secvență. Aceste fapte sunt dovedite în cursul analizei matematice.

Progresia aritmetică: definiții de bază

Acum suntem gata să definim o progresie aritmetică.

Definiție. O progresie aritmetică este o succesiune în care fiecare termen (începând cu al doilea) este egal cu suma termenului anterior și a unui număr fix (numit diferența progresiei aritmetice).

De exemplu, secvența 2; 5; 8; unsprezece; : : : este o progresie aritmetică cu primul termen 2 și diferența 3. Secvența 7; 2; 3; 8; : : : este o progresie aritmetică cu primul termen 7 și diferența 5. Secvența 3; 3; 3; : : : este o progresie aritmetică cu o diferență egală cu zero.

Definiție echivalentă: șirul an se numește progresie aritmetică dacă diferența an+1 an este o valoare constantă (independentă de n).

O progresie aritmetică se numește crescătoare dacă diferența este pozitivă și descrescătoare dacă diferența este negativă.

1 Dar iată o definiție mai concisă: o succesiune este o funcție definită pe mulțimea numerelor naturale. De exemplu, o succesiune de numere reale este o funcție f: N ! R.

În mod implicit, secvențele sunt considerate infinite, adică care conțin un număr infinit de numere. Dar nimeni nu ne deranjează să luăm în considerare secvențe finite; de fapt, orice set finit de numere poate fi numită o secvență finită. De exemplu, secvența finală este 1; 2; 3; 4; 5 este format din cinci numere.

Formula pentru al n-lea termen al unei progresii aritmetice

Este ușor de înțeles că o progresie aritmetică este complet determinată de două numere: primul termen și diferența. Prin urmare, se pune întrebarea: cum, cunoscând primul termen și diferența, găsim un termen arbitrar al unei progresii aritmetice?

Nu este dificil să obțineți formula necesară pentru al n-lea termen al unei progresii aritmetice. Lasă an

progresie aritmetică cu diferență d. Avem:
an+1 = an + d (n = 1; 2; : : :):
În special, scriem:
a2 = a1 + d;
a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d;
a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d;
și acum devine clar că formula pentru an este:
an = a1 + (n 1)d:

Problema 1. În progresia aritmetică 2; 5; 8; unsprezece; : : : găsiți formula pentru al n-lea termen și calculați al sutelea termen.

Soluţie. Conform formulei (1) avem:

an = 2 + 3(n 1) = 3n 1:

a100 = 3 100 1 = 299:

Proprietatea și semnul progresiei aritmetice

Proprietatea progresiei aritmetice. În progresie aritmetică an pentru orice

Cu alte cuvinte, fiecare membru al unei progresii aritmetice (începând de la al doilea) este media aritmetică a membrilor săi vecini.

	Dovada. Avem:
	a n 1+ a n+1		(an d) + (an + d)

care este ceea ce s-a cerut.

Mai general, progresia aritmetică an satisface egalitatea

a n = a n k+ a n+k

pentru orice n > 2 și orice k natural< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).

Se pare că formula (2) servește nu numai ca o condiție necesară, ci și ca o condiție suficientă pentru ca șirul să fie o progresie aritmetică.

Semnul progresiei aritmetice. Dacă egalitatea (2) este valabilă pentru toate n > 2, atunci șirul an este o progresie aritmetică.

Dovada. Să rescriem formula (2) după cum urmează:

a na n 1= a n+1a n:

Din aceasta putem observa că diferența an+1 an nu depinde de n și asta înseamnă tocmai că șirul an este o progresie aritmetică.

Proprietatea și semnul unei progresii aritmetice pot fi formulate sub forma unui enunț; Pentru comoditate, vom face acest lucru pentru trei numere (aceasta este situația care apare adesea în probleme).

Caracterizarea unei progresii aritmetice. Trei numere a, b, c formează o progresie aritmetică dacă și numai dacă 2b = a + c.

Problema 2. (MSU, Facultatea de Economie, 2007) Trei numere 8x, 3 x2 și 4 în ordinea indicată formează o progresie aritmetică descrescătoare. Găsiți x și indicați diferența acestei progresii.

Soluţie. Prin proprietatea progresiei aritmetice avem:

2(3 x2 ) = 8x 4 , 2x2 + 8x 10 = 0 , x2 + 4x 5 = 0 , x = 1; x = 5:

Dacă x = 1, atunci obținem o progresie descrescătoare de 8, 2, 4 cu o diferență de 6. Dacă x = 5, atunci obținem o progresie crescătoare de 40, 22, 4; acest caz nu este potrivit.

Răspuns: x = 1, diferența este 6.

Suma primilor n termeni ai unei progresii aritmetice

Legenda spune că într-o zi profesorul le-a spus copiilor să găsească suma numerelor de la 1 la 100 și s-a așezat în liniște să citească ziarul. Cu toate acestea, în câteva minute, un băiat a spus că a rezolvat problema. Acesta a fost Carl Friedrich Gauss, în vârstă de 9 ani, mai târziu unul dintre cei mai mari matematicieni din istorie.

Ideea micuțului Gauss a fost următoarea. Lăsa

S = 1 + 2 + 3 + : : : + 98 + 99 + 100:

Să scriem această sumă în ordine inversă:

S = 100 + 99 + 98 + : : : + 3 + 2 + 1;

și adăugați aceste două formule:

2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):

Fiecare termen dintre paranteze este egal cu 101 și există 100 de astfel de termeni în total.

2S = 101 100 = 10100;

Folosim această idee pentru a deriva formula sumei

S = a1 + a2 + : : : + an + a n n: (3)

O modificare utilă a formulei (3) se obține dacă înlocuim formula celui de-al n-lea termen an = a1 + (n 1)d în ea:

		2a1 + (n 1)d

Problema 3. Aflați suma tuturor numerelor pozitive din trei cifre divizibile cu 13.

Soluţie. Numerele din trei cifre care sunt multipli ai lui 13 formează o progresie aritmetică, primul termen fiind 104 și diferența fiind 13; Al n-lea termen al acestei progresii are forma:

an = 104 + 13(n 1) = 91 + 13n:

Să aflăm câți termeni conține progresia noastră. Pentru a face acest lucru, rezolvăm inegalitatea:

un 6 999; 91 + 13n 6 999;

n 6 908 13 = 6911 13; n 6 69:

Deci, sunt 69 de membri în progresul nostru. Folosind formula (4) găsim cantitatea necesară:

S = 2 104 + 68 13 69 = 37674: 2

Instrucțiuni

O progresie aritmetică este o succesiune de forma a1, a1+d, a1+2d..., a1+(n-1)d. Pasul numărul d progresie.Este evident că generalul unui n-lea termen arbitrar al aritmeticii progresie are forma: An = A1+(n-1)d. Apoi cunoașterea unuia dintre membri progresie, membru progresie si pas progresie, puteți, adică numărul membrului de progres. Evident, acesta va fi determinat prin formula n = (An-A1+d)/d.

Să se cunoască acum al-lea termen progresieși un alt membru progresie- n-lea, dar n , ca în cazul precedent, dar se știe că n și m nu coincid. progresie poate fi calculat folosind formula: d = (An-Am)/(n-m). Atunci n = (An-Am+md)/d.

Dacă se cunoaşte suma mai multor elemente ale unei ecuaţii aritmetice progresie, precum și primul și ultimul său, atunci se poate determina și numărul acestor elemente.Suma aritmeticii progresie va fi egal cu: S = ((A1+An)/2)n. Atunci n = 2S/(A1+An) - chdenov progresie. Folosind faptul că An = A1+(n-1)d, această formulă poate fi rescrisă ca: n = 2S/(2A1+(n-1)d). Din aceasta putem exprima n prin rezolvarea unei ecuații pătratice.

O secvență aritmetică este un set ordonat de numere, fiecare membru al căruia, cu excepția primului, diferă de cel precedent cu aceeași cantitate. Această valoare constantă se numește diferența progresiei sau pasul acesteia și poate fi calculată din termenii cunoscuți ai progresiei aritmetice.

Instrucțiuni

Dacă din condițiile problemei sunt cunoscute valorile primului și celui de-al doilea sau a oricărei alte perechi de termeni adiacenți, pentru a calcula diferența (d) pur și simplu scădeți-l pe cel anterior din termenul următor. Valoarea rezultată poate fi fie un număr pozitiv, fie un număr negativ - depinde dacă progresia este în creștere. În formă generală, scrieți soluția pentru o pereche arbitrară (aᵢ și aᵢ₊₁) de termeni învecinați ai progresiei după cum urmează: d = aᵢ₊₁ - aᵢ.

Pentru o pereche de termeni ai unei astfel de progresii, dintre care unul este primul (a₁), iar celălalt este oricare altul ales arbitrar, este de asemenea posibil să se creeze o formulă pentru găsirea diferenței (d). Cu toate acestea, în acest caz, numărul de serie (i) al unui membru arbitrar selectat al secvenței trebuie să fie cunoscut. Pentru a calcula diferența, adăugați ambele numere și împărțiți rezultatul rezultat la numărul ordinal al unui termen arbitrar redus cu unu. În general, scrieți această formulă după cum urmează: d = (a₁+ aᵢ)/(i-1).

Dacă, pe lângă un membru arbitrar al unei progresii aritmetice cu numărul ordinal i, se cunoaște un alt membru cu numărul ordinal u, modificați în mod corespunzător formula din pasul anterior. În acest caz, diferența (d) a progresiei va fi suma acestor doi termeni împărțită la diferența numerelor lor ordinale: d = (aᵢ+aᵥ)/(i-v).

Formula de calcul a diferenței (d) devine oarecum mai complicată dacă condițiile problemei dau valoarea primului său termen (a₁) și suma (Sᵢ) unui număr dat (i) a primilor termeni ai șirului aritmetic. Pentru a obține valoarea dorită, împărțiți suma la numărul de termeni care o compun, scădeți valoarea primului număr din succesiune și dublați rezultatul. Împărțiți valoarea rezultată la numărul de termeni care alcătuiesc suma redusă cu unu. În general, scrieți formula pentru calcularea discriminantului după cum urmează: d = 2*(Sᵢ/i-a₁)/(i-1).