Piramidă. Piramida trunchiată

Piramidă este un poliedru, una dintre fețele căruia este un poligon ( baza ), iar toate celelalte fețe sunt triunghiuri cu un vârf comun ( fetele laterale ) (Fig. 15). Piramida se numește corect , dacă baza sa este un poligon regulat și vârful piramidei este proiectat în centrul bazei (Fig. 16). Se numește o piramidă triunghiulară cu toate muchiile egale tetraedru .

Coastă laterală a unei piramide este latura feței laterale care nu aparține bazei Înălţime piramida este distanța de la vârful ei până la planul bazei. Toate marginile laterale ale unei piramide obișnuite sunt egale între ele, toate fețele laterale sunt triunghiuri isoscele egale. Înălțimea feței laterale a unei piramide obișnuite trasă din vârf se numește apotema . Secțiune diagonală se numește secțiune a unei piramide printr-un plan care trece prin două margini laterale care nu aparțin aceleiași fețe.

Suprafata laterala piramida este suma ariilor tuturor fețelor laterale. Suprafata totala se numește suma ariilor tuturor fețelor laterale și ale bazei.

Teoreme

1. Dacă într-o piramidă toate marginile laterale sunt înclinate egal față de planul bazei, atunci vârful piramidei este proiectat în centrul cercului circumscris bazei.

2. Dacă toate marginile laterale ale unei piramide au lungimi egale, atunci vârful piramidei este proiectat în centrul unui cerc circumscris lângă bază.

3. Dacă toate fețele dintr-o piramidă sunt înclinate în mod egal față de planul bazei, atunci vârful piramidei este proiectat în centrul unui cerc înscris în bază.

Pentru a calcula volumul unei piramide arbitrare, formula corectă este:

Unde V- volum;

S baza– suprafata de baza;

H– înălțimea piramidei.

Pentru o piramidă obișnuită, următoarele formule sunt corecte:

Unde p– perimetrul de bază;

h a– apotema;

H- inaltimea;

S plin

partea S

S baza– suprafata de baza;

V– volumul unei piramide regulate.

Piramida trunchiată numită partea de piramidă închisă între bază și un plan de tăiere paralel cu baza piramidei (Fig. 17). Piramida trunchiată obișnuită numită partea unei piramide regulate închisă între bază și un plan de tăiere paralel cu baza piramidei.

Motive trunchi de piramidă - poligoane asemănătoare. Fețe laterale – trapeze. Înălţime a unei piramide trunchiate este distanța dintre bazele sale. Diagonală o piramidă trunchiată este un segment care leagă vârfurile sale care nu se află pe aceeași față. Secțiune diagonală este o secțiune a unei trunchi de piramidă printr-un plan care trece prin două margini laterale care nu aparțin aceleiași fețe.

Pentru o piramidă trunchiată sunt valabile următoarele formule:

(4)

Unde S 1 , S 2 – zone ale bazelor superioare și inferioare;

S plin– suprafata totala;

partea S– suprafata laterala;

H- inaltimea;

V– volumul unei piramide trunchiate.

Pentru o piramidă trunchiată obișnuită formula este corectă:

Unde p 1 , p 2 – perimetrele bazelor;

h a– apotema unei piramide trunchiate obișnuite.

Exemplul 1.Într-o piramidă triunghiulară obișnuită, unghiul diedric de la bază este de 60º. Aflați tangenta unghiului de înclinare a marginii laterale la planul bazei.

Soluţie. Să facem un desen (Fig. 18).

Piramida este regulată, ceea ce înseamnă că la bază există un triunghi echilateral și toate fețele laterale sunt triunghiuri isoscele egale. Unghiul diedric de la bază este unghiul de înclinare a feței laterale a piramidei față de planul bazei. Unghiul liniar este unghiul Aîntre două perpendiculare: etc. Vârful piramidei este proiectat în centrul triunghiului (centrul cercului circumferitor și cercul înscris al triunghiului ABC). Unghiul de înclinare a marginii laterale (de exemplu S.B.) este unghiul dintre marginea însăși și proiecția acesteia pe planul bazei. Pentru coastă S.B. acest unghi va fi unghiul SBD. Pentru a găsi tangenta trebuie să cunoașteți picioarele ASA DEȘi O.B.. Fie lungimea segmentului BD este egal cu 3 A. Punct DESPRE segment de linie BD este împărțit în părți: și Din găsim ASA DE: Din găsim:

Răspuns:

Exemplul 2. Găsiți volumul unei piramide patrulatere trunchiate obișnuite dacă diagonalele bazelor sale sunt egale cu cm și cm, iar înălțimea ei este de 4 cm.

Soluţie. Pentru a afla volumul unei piramide trunchiate, folosim formula (4). Pentru a găsi aria bazelor, trebuie să găsiți laturile pătratelor de bază, cunoscând diagonalele acestora. Laturile bazelor sunt egale cu 2 cm și, respectiv, 8 cm. Aceasta înseamnă ariile bazelor și Înlocuind toate datele în formulă, calculăm volumul piramidei trunchiate:

Răspuns: 112 cm 3.

Exemplul 3. Găsiți aria feței laterale a unei piramide trunchiate triunghiulare regulate, ale cărei laturi ale bazelor sunt de 10 cm și 4 cm, iar înălțimea piramidei este de 2 cm.

Soluţie. Să facem un desen (Fig. 19).

Fața laterală a acestei piramide este un trapez isoscel. Pentru a calcula aria unui trapez, trebuie să cunoașteți baza și înălțimea. Bazele sunt date în funcție de stare, doar înălțimea rămâne necunoscută. O vom găsi de unde A 1 E perpendicular de la un punct A 1 pe planul bazei inferioare, A 1 D– perpendicular de la A 1 per AC. A 1 E= 2 cm, deoarece aceasta este înălțimea piramidei. A găsi DE Să facem un desen suplimentar care arată vedere de sus (Fig. 20). Punct DESPRE– proiecția centrelor bazelor superioare și inferioare. întrucât (vezi Fig. 20) şi Pe de altă parte Bine– raza înscrisă în cerc şi OM– raza înscrisă într-un cerc:

MK = DE.

Conform teoremei lui Pitagora din

Zona feței laterale:

Răspuns:

Exemplul 4. La baza piramidei se află un trapez isoscel, ale cărui baze AȘi b (A> b). Fiecare față laterală formează un unghi egal cu planul bazei piramidei j. Aflați suprafața totală a piramidei.

Soluţie. Să facem un desen (Fig. 21). Suprafața totală a piramidei SABCD egală cu suma ariilor și aria trapezului ABCD.

Să folosim afirmația că, dacă toate fețele piramidei sunt înclinate egal față de planul bazei, atunci vârful este proiectat în centrul cercului înscris în bază. Punct DESPRE– proiecția vârfurilor S la baza piramidei. Triunghi GAZON este proiecția ortogonală a triunghiului CSD la planul bazei. Folosind teorema privind aria proiecției ortogonale a unei figuri plane, obținem:

La fel înseamnă Astfel, problema s-a redus la găsirea zonei trapezului ABCD. Să desenăm un trapez ABCD separat (Fig. 22). Punct DESPRE– centrul unui cerc înscris într-un trapez.

Deoarece un cerc poate fi înscris într-un trapez, atunci sau Din teorema lui Pitagora avem

Conceptul de piramidă

Definiția 1

O figură geometrică formată dintr-un poligon și un punct care nu se află în planul care conține acest poligon, conectat la toate vârfurile poligonului, se numește piramidă (Fig. 1).

Poligonul din care este făcută piramida se numește baza piramidei; triunghiurile rezultate, atunci când sunt conectate la un punct, sunt fețele laterale ale piramidei, laturile triunghiurilor sunt laturile piramidei, iar punctul comun. la toate triunghiurile este vârful piramidei.

Tipuri de piramide

În funcție de numărul de unghiuri de la baza piramidei, aceasta poate fi numită triunghiulară, patruunghiulară și așa mai departe (Fig. 2).

Figura 2.

Un alt tip de piramidă este piramida obișnuită.

Să prezentăm și să demonstrăm proprietatea unei piramide obișnuite.

Teorema 1

Toate fețele laterale ale unei piramide regulate sunt triunghiuri isoscele care sunt egale între ele.

Dovada.

Considerăm o piramidă $n-$gonală regulată cu vârf $S$ de înălțime $h=SO$. Să desenăm un cerc în jurul bazei (Fig. 4).

Figura 4.

Luați în considerare triunghiul $SOA$. Conform teoremei lui Pitagora, obținem

Evident, orice margine laterală va fi definită astfel. În consecință, toate muchiile laterale sunt egale între ele, adică toate fețele laterale sunt triunghiuri isoscele. Să demonstrăm că sunt egali unul cu celălalt. Deoarece baza este un poligon regulat, bazele tuturor fețelor laterale sunt egale între ele. În consecință, toate fețele laterale sunt egale conform criteriului III al egalității triunghiurilor.

Teorema a fost demonstrată.

Să introducem acum următoarea definiție legată de conceptul de piramidă obișnuită.

Definiția 3

Apotema unei piramide obișnuite este înălțimea feței sale laterale.

Evident, prin Teorema Unu, toate apotemele sunt egale între ele.

Teorema 2

Suprafața laterală a unei piramide obișnuite este determinată ca produsul dintre semiperimetrul bazei și apotema.

Dovada.

Să notăm cu $a$ latura bazei $n-$piramidei, iar apotema cu $d$. Prin urmare, aria feței laterale este egală cu

Deoarece, conform teoremei 1, toate laturile sunt egale, atunci

Teorema a fost demonstrată.

Un alt tip de piramidă este o piramidă trunchiată.

Definiția 4

Dacă un plan paralel cu baza sa este trasat printr-o piramidă obișnuită, atunci figura formată între acest plan și planul bazei se numește piramidă trunchiată (Fig. 5).

Figura 5. Piramida trunchiată

Fețele laterale ale trunchiului piramidei sunt trapeze.

Teorema 3

Suprafața laterală a unei piramide trunchiate obișnuite este determinată ca produsul dintre suma semiperimetrelor bazelor și apotema.

Dovada.

Să notăm laturile bazelor $n-$piramidei gonale cu $a\, respectiv\ b$, iar apotema cu $d$. Prin urmare, aria feței laterale este egală cu

Din moment ce toate părțile sunt egale, atunci

Teorema a fost demonstrată.

Exemplu de sarcină

Exemplul 1

Aflați aria suprafeței laterale a unei piramide triunghiulare trunchiate dacă este obținută dintr-o piramidă obișnuită cu latura de bază 4 și apotema 5 prin tăierea unui plan care trece prin linia mediană a fețelor laterale.

Soluţie.

Folosind teorema liniei mediane, aflăm că baza superioară a piramidei trunchiate este egală cu $4\cdot \frac(1)(2)=2$, iar apotema este egală cu $5\cdot \frac(1)(2) = 2,5 USD.

Apoi, prin teorema 3, obținem

Definiție. Marginea laterală- acesta este un triunghi în care un unghi se află în vârful piramidei, iar latura opusă coincide cu latura bazei (poligon).

Definiție. Coaste laterale- acestea sunt laturile comune ale fețelor laterale. O piramidă are tot atâtea muchii cât unghiurile unui poligon.

Definiție. Înălțimea piramidei- aceasta este o perpendiculară coborâtă de la vârf la baza piramidei.

Definiție. Apotema- aceasta este o perpendiculară pe fața laterală a piramidei, coborâtă din vârful piramidei până în lateralul bazei.

Definiție. Secțiune diagonală- aceasta este o secțiune a unei piramide printr-un plan care trece prin vârful piramidei și diagonala bazei.

Definiție. Piramida corectă este o piramidă în care baza este un poligon regulat, iar înălțimea coboară până în centrul bazei.

Volumul și suprafața piramidei

Formulă. Volumul piramidei prin zona de bază și înălțimea:

Proprietățile piramidei

Dacă toate marginile laterale sunt egale, atunci un cerc poate fi desenat în jurul bazei piramidei, iar centrul bazei coincide cu centrul cercului. De asemenea, o perpendiculară căzută din vârf trece prin centrul bazei (cercului).

Dacă toate marginile laterale sunt egale, atunci ele sunt înclinate față de planul bazei la aceleași unghiuri.

Marginile laterale sunt egale atunci când formează unghiuri egale cu planul bazei sau dacă se poate descrie un cerc în jurul bazei piramidei.

Dacă fețele laterale sunt înclinate față de planul bazei la același unghi, atunci un cerc poate fi înscris în baza piramidei, iar vârful piramidei este proiectat în centrul acesteia.

Dacă fețele laterale sunt înclinate față de planul bazei la același unghi, atunci apotemele fețelor laterale sunt egale.

Proprietățile unei piramide obișnuite

1. Vârful piramidei este echidistant de toate colțurile bazei.

2. Toate marginile laterale sunt egale.

3. Toate nervurile laterale sunt înclinate la unghiuri egale față de bază.

4. Apotemele tuturor fețelor laterale sunt egale.

5. Suprafețele tuturor fețelor laterale sunt egale.

6. Toate fețele au aceleași unghiuri diedrice (plate).

7. O sferă poate fi descrisă în jurul piramidei. Centrul sferei circumscrise va fi punctul de intersecție al perpendicularelor care trec prin mijlocul marginilor.

8. Puteți încadra o sferă într-o piramidă. Centrul sferei înscrise va fi punctul de intersecție al bisectoarelor care emană din unghiul dintre margine și bază.

9. Dacă centrul sferei înscrise coincide cu centrul sferei circumscrise, atunci suma unghiurilor plane de la vârf este egală cu π sau invers, un unghi este egal cu π/n, unde n este numărul de unghiuri la baza piramidei.

Legătura dintre piramidă și sferă

O sferă poate fi descrisă în jurul unei piramide când la baza piramidei există un poliedru în jurul căruia poate fi descris un cerc (o condiție necesară și suficientă). Centrul sferei va fi punctul de intersecție al planurilor care trec perpendicular prin punctele de mijloc ale marginilor laterale ale piramidei.

Este întotdeauna posibil să descrii o sferă în jurul oricărei piramide triunghiulare sau regulate.

O sferă poate fi înscrisă într-o piramidă dacă planurile bisectoare ale unghiurilor diedrice interne ale piramidei se intersectează într-un punct (o condiție necesară și suficientă). Acest punct va fi centrul sferei.

Legătura unei piramide cu un con

Se spune că un con este înscris într-o piramidă dacă vârfurile lor coincid și baza conului este înscrisă în baza piramidei.

Un con poate fi înscris într-o piramidă dacă apotemele piramidei sunt egale între ele.

Se spune că un con este circumscris în jurul unei piramide dacă vârfurile lor coincid, iar baza conului este circumscrisă în jurul bazei piramidei.

Un con poate fi descris în jurul unei piramide dacă toate marginile laterale ale piramidei sunt egale între ele.

Relația dintre o piramidă și un cilindru

O piramidă se numește înscrisă într-un cilindru dacă vârful piramidei se află pe o bază a cilindrului, iar baza piramidei este înscrisă într-o altă bază a cilindrului.

Un cilindru poate fi descris în jurul unei piramide dacă un cerc poate fi descris în jurul bazei piramidei.

Definiție. Piramida trunchiată (prismă piramidală) este un poliedru care se află între baza piramidei și planul de secțiune paralel cu baza. Astfel, o piramidă are o bază mai mare și o bază mai mică care este similară cu cea mai mare. Fețele laterale sunt trapezoidale.

Definiție. Piramida triunghiulara (tetraedru) este o piramidă în care trei fețe și baza sunt triunghiuri arbitrare.

Un tetraedru are patru fețe și patru vârfuri și șase muchii, unde orice două muchii nu au vârfuri comune, dar nu se ating.

Fiecare vârf este format din trei fețe și muchii care se formează unghi triunghiular.

Segmentul care leagă vârful unui tetraedru cu centrul feței opuse se numește mediana tetraedrului(GM).

Bimedian numit segment care leagă punctele medii ale muchiilor opuse care nu se ating (KL).

Toate bimedianele și medianele unui tetraedru se intersectează într-un punct (S). În acest caz, bimedianele sunt împărțite în jumătate, iar medianele sunt împărțite într-un raport de 3:1 începând de sus.

Definiție. Piramidă înclinată este o piramidă în care una dintre margini formează un unghi obtuz (β) cu baza.

Definiție. Piramidă dreptunghiulară este o piramidă în care una dintre fețele laterale este perpendiculară pe bază.

Definiție. Piramidă unghiulară ascuțită- o piramidă în care apotema are mai mult de jumătate din lungimea laturii bazei.

Definiție. Piramidă obtuză- o piramidă în care apotema este mai mică de jumătate din lungimea laturii bazei.

Definiție. Tetraedru regulat- un tetraedru în care toate cele patru fețe sunt triunghiuri echilaterale. Este unul dintre cele cinci poligoane regulate. Într-un tetraedru obișnuit, toate unghiurile diedrice (între fețe) și unghiurile triedrice (la vârf) sunt egale.

Definiție. Tetraedru dreptunghiular se numește tetraedru în care există un unghi drept între trei muchii la vârf (marginile sunt perpendiculare). Se formează trei fețe unghi triunghiular dreptunghiular iar fețele sunt triunghiuri dreptunghiulare, iar baza este un triunghi arbitrar. Apotema oricărei fețe este egală cu jumătate din latura bazei pe care cade apotema.

Definiție. Tetraedru izoedric se numește tetraedru ale cărui fețe laterale sunt egale între ele, iar baza este un triunghi regulat. Un astfel de tetraedru are fețe care sunt triunghiuri isoscele.

Definiție. tetraedru ortocentric se numește tetraedru în care se intersectează într-un punct toate înălțimile (perpendicularele) care sunt coborâte de la vârf la fața opusă.

Definiție. Piramida stelară numit poliedru a cărui bază este o stea.

Definiție. Bipiramida- un poliedru format din două piramide diferite (piramidele pot fi și tăiate), având o bază comună, iar vârfurile se află pe laturile opuse ale planului bazei.

Acest tutorial video va ajuta utilizatorii să-și facă o idee despre tema piramidei. Piramida corectă. În această lecție ne vom familiariza cu conceptul de piramidă și îi vom da o definiție. Să luăm în considerare ce este o piramidă obișnuită și ce proprietăți are. Apoi demonstrăm teorema despre suprafața laterală a unei piramide regulate.

În această lecție ne vom familiariza cu conceptul de piramidă și îi vom da o definiție.

Luați în considerare un poligon A 1 A 2...A n, care se află în planul α și punctul P, care nu se află în planul α (Fig. 1). Să conectăm punctele P cu vârfuri A 1, A 2, A 3, … A n. Primim n triunghiuri: A 1 A 2 R, A 2 A 3 Rși așa mai departe.

Definiție. Poliedru RA 1 A 2 ...A n, alcătuit din n-pătrat A 1 A 2...A nȘi n triunghiuri RA 1 A 2, RA 2 A 3 …RA n A n-1 este numit n-piramida cărbunelui. Orez. 1.

Orez. 1

Luați în considerare o piramidă patruunghiulară PABCD(Fig. 2).

R- vârful piramidei.

ABCD- baza piramidei.

RA- coasta laterala.

AB- coasta de baza.

Din punct de vedere R să scăpăm perpendiculara RN la planul de bază ABCD. Perpendiculara desenată este înălțimea piramidei.

Orez. 2

Suprafața completă a piramidei este formată din suprafața laterală, adică aria tuturor fețelor laterale și aria bazei:

S plin = S lateral + S principal

O piramidă se numește corectă dacă:

• baza sa este un poligon regulat;
• segmentul care leagă vârful piramidei de centrul bazei este înălțimea acesteia.

Explicație folosind exemplul unei piramide patruunghiulare obișnuite

Luați în considerare o piramidă patruunghiulară obișnuită PABCD(Fig. 3).

R- vârful piramidei. Baza piramidei ABCD- un patrulater regulat, adică un pătrat. Punct DESPRE, punctul de intersecție al diagonalelor, este centrul pătratului. Mijloace, RO este înălțimea piramidei.

Orez. 3

Explicaţie: în corect nÎntr-un triunghi, centrul cercului înscris și centrul cercului circumscris coincid. Acest centru se numește centrul poligonului. Uneori se spune că vârful este proiectat în centru.

Se numește înălțimea feței laterale a unei piramide regulate trasă din vârful acesteia apotema si este desemnat h a.

1. toate marginile laterale ale unei piramide regulate sunt egale;

2. Fețele laterale sunt triunghiuri isoscele egale.

Vom da o dovadă a acestor proprietăți folosind exemplul unei piramide patruunghiulare obișnuite.

Dat: PABCD- piramida patruunghiulara regulata,

ABCD- pătrat,

RO- inaltimea piramidei.

Dovedi:

1. RA = PB = RS = PD

2.∆ABP = ∆BCP =∆CDP =∆DAP Vezi Fig. 4.

Orez. 4

Dovada.

RO- inaltimea piramidei. Adică drept RO perpendicular pe plan ABC, și deci direct SA, VO, SOȘi DO culcat în ea. Deci triunghiuri ROA, ROV, ROS, ROD- dreptunghiular.

Luați în considerare un pătrat ABCD. Din proprietățile unui pătrat rezultă că AO = VO = CO = DO.

Apoi triunghiurile dreptunghiulare ROA, ROV, ROS, ROD picior RO- general si picioare SA, VO, SOȘi DO sunt egale, ceea ce înseamnă că aceste triunghiuri sunt egale pe două laturi. Din egalitatea triunghiurilor rezultă egalitatea segmentelor, RA = PB = RS = PD. Punctul 1 a fost dovedit.

Segmente ABȘi Soare sunt egale pentru că sunt laturile aceluiași pătrat, RA = PB = RS. Deci triunghiuri AVRȘi VSR - isoscel și egal pe trei laturi.

Într-un mod similar găsim că triunghiurile ABP, VCP, CDP, DAP sunt isoscele și egale, așa cum trebuie dovedit la paragraful 2.

Aria suprafeței laterale a unei piramide regulate este egală cu jumătate din produsul dintre perimetrul bazei și apotema:

Pentru a demonstra acest lucru, să alegem o piramidă triunghiulară obișnuită.

Dat: RAVS- piramida triunghiulara regulata.

AB = BC = AC.

RO- înălțime.

Dovedi: . Vezi fig. 5.

Orez. 5

Dovada.

RAVS- piramida triunghiulara regulata. Acesta este AB= AC = BC. Lăsa DESPRE- centrul triunghiului ABC, Apoi RO este înălțimea piramidei. La baza piramidei se află un triunghi echilateral ABC. observa asta .

Triunghiuri RAV, RVS, RSA- triunghiuri isoscele egale (după proprietate). O piramidă triunghiulară are trei fețe laterale: RAV, RVS, RSA. Aceasta înseamnă că aria suprafeței laterale a piramidei este:

Partea S = 3S RAW

Teorema a fost demonstrată.

Raza unui cerc înscris la baza unei piramide patrulatere obișnuite este de 3 m, înălțimea piramidei este de 4 m. Aflați aria suprafeței laterale a piramidei.

Dat: piramidă patruunghiulară regulată ABCD,

ABCD- pătrat,

r= 3 m,

RO- inaltimea piramidei,

RO= 4 m.

Găsi: partea S. Vezi fig. 6.

Orez. 6

Soluţie.

Conform teoremei dovedite, .

Să găsim mai întâi partea laterală a bazei AB. Știm că raza unui cerc înscris la baza unei piramide patruunghiulare regulate este de 3 m.

Apoi, m.

Aflați perimetrul pătratului ABCD cu latura de 6 m:

Luați în considerare un triunghi BCD. Lăsa M- mijlocul lateral DC. Deoarece DESPRE- mijloc BD, Acea (m).

Triunghi DPC- isoscel. M- mijloc DC. Acesta este, RM- mediana, și deci înălțimea în triunghi DPC. Apoi RM- apotema piramidei.

RO- inaltimea piramidei. Apoi, drept RO perpendicular pe plan ABC, și deci direct OM, culcat în ea. Să găsim apotema RM dintr-un triunghi dreptunghic ROM.

Acum putem găsi suprafața laterală a piramidei:

Răspuns: 60 m2.

Raza cercului circumscris bazei unei piramide triunghiulare regulate este egală cu m. Aria suprafeței laterale este de 18 m 2. Aflați lungimea apotemului.

Dat: ABCP- piramida triunghiulara regulata,

AB = BC = SA,

R= m,

Latura S = 18 m2.

Găsi: . Vezi fig. 7.

Orez. 7

Soluţie.

Într-un triunghi dreptunghic ABC Este dată raza cercului circumscris. Să găsim o parte AB acest triunghi folosind legea sinusurilor.

Cunoscând latura unui triunghi regulat (m), găsim perimetrul acestuia.

Prin teorema de pe suprafața laterală a unei piramide regulate, unde h a- apotema piramidei. Apoi:

Răspuns: 4 m.

Deci, ne-am uitat la ce este o piramidă, ce este o piramidă obișnuită și am demonstrat teorema despre suprafața laterală a unei piramide obișnuite. În lecția următoare ne vom familiariza cu piramida trunchiată.

Bibliografie

1. Geometrie. Clasele 10-11: manual pentru elevii instituţiilor de învăţământ general (nivel de bază şi de specialitate) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - Ed. a 5-a, rev. si suplimentare - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: ill.
2. Geometrie. Clasele 10-11: Manual pentru instituțiile de învățământ general / Sharygin I. F. - M.: Gutarda, 1999. - 208 p.: ill.
3. Geometrie. Nota a 10-a: Manual pentru instituţiile de învăţământ general cu studiu aprofundat şi de specialitate la matematică /E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - Ed. a VI-a, stereotip. - M.: Butard, 008. - 233 p.: ill.

1. Portalul de internet „Yaklass” ()
2. Portalul de internet „Festivalul ideilor pedagogice „Primul septembrie” ()
3. Portalul de internet „Slideshare.net” ()

Teme pentru acasă

1. Poate un poligon regulat să fie baza unei piramide neregulate?
2. Demonstrați că muchiile disjunse ale unei piramide regulate sunt perpendiculare.
3. Aflați valoarea unghiului diedrului de pe latura bazei unei piramide patruunghiulare regulate dacă apotema piramidei este egală cu latura bazei acesteia.
4. RAVS- piramida triunghiulara regulata. Construiți unghiul liniar al unghiului diedric de la baza piramidei.

Elevii întâlnesc conceptul de piramidă cu mult înainte de a studia geometria. Vina este a celebrelor mari minuni egiptene ale lumii. Prin urmare, atunci când încep să studieze acest minunat poliedru, majoritatea studenților deja își imaginează clar. Toate atracțiile menționate mai sus au forma corectă. Ce s-a întâmplat piramida regulata, și ce proprietăți are vor fi discutate în continuare.

In contact cu

Definiție

Există destul de multe definiții ale unei piramide. Din cele mai vechi timpuri, a fost foarte popular.

De exemplu, Euclid a definit-o ca o figură corporală formată din planuri care, pornind de la unul, converg într-un anumit punct.

Heron a oferit o formulare mai precisă. El a insistat că aceasta era cifra care are o bază și plane sub formă de triunghiuri, convergând la un moment dat.

Pe baza interpretării moderne, piramida este reprezentată ca un poliedru spațial, format dintr-un anumit k-gon și k figuri triunghiulare plate, având un punct comun.

Să ne uităm la asta mai detaliat, din ce elemente constă:

• K-gonul este considerat baza figurii;
• Formele 3-gonale ies în afară pe măsură ce marginile părții laterale;
• partea superioară din care provin elementele laterale se numește vârf;
• toate segmentele care leagă un vârf se numesc muchii;
• dacă o linie dreaptă este coborâtă de la vârf la planul figurii la un unghi de 90 de grade, atunci partea ei conținută în spațiul interior este înălțimea piramidei;
• în orice element lateral, o perpendiculară, numită apotema, poate fi trasă pe partea poliedrului nostru.

Numărul de muchii este calculat folosind formula 2*k, unde k este numărul de laturi ale k-gonului. Câte fețe are un poliedru, cum ar fi o piramidă, pot fi determinate folosind expresia k+1.

Important! O piramidă de formă regulată este o figură stereometrică al cărei plan de bază este un k-gon cu laturi egale.

Proprietăți de bază

Piramida corectă are multe proprietăți, care sunt unice pentru ea. Să le enumerăm:

1. Baza este o figură cu forma corectă.
2. Marginile piramidei care limitează elementele laterale au valori numerice egale.
3. Elementele laterale sunt triunghiuri isoscele.
4. Baza înălțimii figurii cade în centrul poligonului, în timp ce este simultan punctul central al înscrisului și circumscrisului.
5. Toate nervurile laterale sunt înclinate față de planul bazei la același unghi.
6. Toate suprafețele laterale au același unghi de înclinare față de bază.

Datorită tuturor proprietăților enumerate, efectuarea calculelor elementelor este mult mai simplă. Pe baza proprietăților de mai sus, acordăm atenție doua semne:

1. În cazul în care poligonul se potrivește într-un cerc, fețele laterale vor avea unghiuri egale cu baza.
2. Când descrieți un cerc în jurul unui poligon, toate marginile piramidei care emană de la vârf vor avea lungimi egale și unghiuri egale cu baza.

Baza este un pătrat

Piramidă patruunghiulară obișnuită - un poliedru a cărui bază este un pătrat.

Are patru fețe laterale, care au aspect isoscel.

Un pătrat este reprezentat pe un plan, dar se bazează pe toate proprietățile unui patrulater regulat.

De exemplu, dacă este necesar să relaționați latura unui pătrat cu diagonala sa, atunci utilizați următoarea formulă: diagonala este egală cu produsul dintre latura pătratului și rădăcina pătrată a două.

Se bazează pe un triunghi regulat

O piramidă triunghiulară regulată este un poliedru a cărui bază este un 3-gon regulat.

Dacă baza este un triunghi regulat și marginile laterale sunt egale cu marginile bazei, atunci o astfel de figură numit tetraedru.

Toate fețele unui tetraedru sunt 3-goane echilaterale. În acest caz, trebuie să cunoașteți câteva puncte și să nu pierdeți timpul cu ele când calculați:

• unghiul de înclinare a nervurilor față de orice bază este de 60 de grade;
• dimensiunea tuturor fețelor interne este, de asemenea, de 60 de grade;
• orice față poate acționa ca bază;
• , desenate în interiorul figurii, acestea sunt elemente egale.

Secțiuni ale unui poliedru

În orice poliedru există mai multe tipuri de secțiuni apartament. Adesea, într-un curs de geometrie școlar, lucrează cu doi:

• axial;
• paralel cu baza.

O secțiune axială se obține prin intersectarea unui poliedru cu un plan care trece prin vârf, margini laterale și axă. În acest caz, axa este înălțimea desenată de la vârf. Planul de tăiere este limitat de liniile de intersecție cu toate fețele, rezultând un triunghi.

Atenţie!Într-o piramidă obișnuită, secțiunea axială este un triunghi isoscel.

Dacă planul de tăiere este paralel cu baza, atunci rezultatul este a doua opțiune. În acest caz, avem o figură în secțiune transversală similară bazei.

De exemplu, dacă există un pătrat la bază, atunci secțiunea paralelă cu baza va fi și ea un pătrat, doar de dimensiuni mai mici.

Când rezolvă probleme în această condiție, ei folosesc semne și proprietăți de similitudine ale figurilor, bazat pe teorema lui Thales. În primul rând, este necesar să se determine coeficientul de similitudine.

Dacă planul este trasat paralel cu baza și taie partea superioară a poliedrului, atunci se obține o piramidă trunchiată obișnuită în partea inferioară. Atunci bazele unui poliedru trunchiat se spune că sunt poligoane similare. În acest caz, fețele laterale sunt trapeze isoscele. Secțiunea axială este, de asemenea, isoscelă.

Pentru a determina înălțimea unui poliedru trunchiat, este necesar să se tragă înălțimea în secțiunea axială, adică în trapez.

Zone de suprafață

Principalele probleme geometrice care trebuie rezolvate la un curs de geometrie școlară sunt aflarea suprafetei si volumului unei piramide.

Există două tipuri de valori ale suprafeței:

• zona elementelor laterale;
• suprafata intregii suprafete.

Din numele în sine este clar despre ce vorbim. Suprafața laterală include doar elementele laterale. Rezultă de aici că, pentru a-l găsi, trebuie pur și simplu să adunăm zonele planurilor laterale, adică zonele de 3-gonuri isoscele. Să încercăm să derivăm formula pentru aria elementelor laterale:

1. Aria unui 3-gon isoscel este Str=1/2(aL), unde a este latura bazei, L este apotema.
2. Numărul de planuri laterale depinde de tipul de k-gon de la bază. De exemplu, o piramidă patruunghiulară obișnuită are patru planuri laterale. Prin urmare, este necesar să se adauge ariile a patru figuri Sside=1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)=1/2*4a*L. Expresia este simplificată în acest fel deoarece valoarea este 4a = Rosn, unde Rosn este perimetrul bazei. Iar expresia 1/2*Rosn este semiperimetrul său.
3. Deci, concluzionăm că aria elementelor laterale ale unei piramide regulate este egală cu produsul semiperimetrului bazei și apotema: Sside = Rosn * L.

Aria suprafeței totale a piramidei este formată din suma ariilor planurilor laterale și ale bazei: Sp.p. = Sside + Sbas.

În ceea ce privește aria bazei, aici formula este utilizată în funcție de tipul de poligon.

Volumul unei piramide obișnuite egal cu produsul dintre suprafața planului de bază și înălțimea împărțită la trei: V=1/3*Sbas*H, unde H este înălțimea poliedrului.

Ce este o piramidă obișnuită în geometrie

Proprietățile unei piramide patruunghiulare regulate