Ajutor la Tele2, tarife, intrebari

Astăzi vom vorbi despre formule logaritmice iar noi vom da orientativ exemple de solutie.

Ele însele implică modele de soluție conform proprietăților de bază ale logaritmilor. Înainte de a aplica formule logaritmice pentru a rezolva, permiteți-ne să vă reamintim toate proprietățile:

Acum, pe baza acestor formule (proprietăți), vom arăta exemple de rezolvare a logaritmilor.

Exemple de rezolvare a logaritmilor pe bază de formule.

Logaritm un număr pozitiv b la baza a (notat cu log a b) este un exponent la care trebuie ridicat a pentru a obține b, cu b > 0, a > 0 și 1.

Conform definiției, log a b = x, care este echivalent cu a x = b, prin urmare log a a x = x.

Logaritmi, exemple:

log 2 8 = 3, deoarece 2 3 = 8

log 7 49 = 2, deoarece 7 2 = 49

log 5 1/5 = -1, deoarece 5 -1 = 1/5

Logaritm zecimal- acesta este un logaritm obișnuit, a cărui bază este 10. Se notează lg.

log 10 100 = 2, deoarece 10 2 = 100

Logaritmul natural- tot un logaritm obișnuit, un logaritm, dar cu baza e (e = 2,71828... - un număr irațional). Notat ca ln.

Este indicat să memorăm formulele sau proprietățile logaritmilor, deoarece vom avea nevoie de ele mai târziu la rezolvarea logaritmilor, ecuațiilor logaritmice și inegalităților. Să lucrăm din nou prin fiecare formulă cu exemple.

• Identitatea logaritmică de bază
  un log a b = b

  8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9

• Logaritmul produsului este egal cu suma logaritmilor
  log a (bc) = log a b + log a c

  log 3 8,1 + log 3 10 = log 3 (8,1*10) = log 3 81 = 4

• Logaritmul coeficientului este egal cu diferența logaritmilor
  log a (b/c) = log a b - log a c

  9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81

• Proprietățile puterii unui număr logaritmic și ale bazei logaritmului

  Exponent al numărului logaritmic log a b m = mlog a b

  Exponent al bazei logaritmului log a n b =1/n*log a b

  log a n b m = m/n*log a b,

  dacă m = n, obținem log a n b n = log a b

  log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3

• Trecerea la o nouă fundație
  log a b = log c b/log c a,

  dacă c = b, obținem log b b = 1

  atunci log a b = 1/log b a

  log 0,8 3*log 3 1,25 = log 0,8 3*log 0,8 1,25/log 0,8 3 = log 0,8 1,25 = log 4/5 5/4 = -1

După cum puteți vedea, formulele pentru logaritmi nu sunt atât de complicate pe cât par. Acum, după ce ne-am uitat la exemple de rezolvare a logaritmilor, putem trece la ecuații logaritmice. Vom analiza mai detaliat exemple de rezolvare a ecuațiilor logaritmice în articolul: „”. Nu ratați!

Dacă mai aveți întrebări despre soluție, scrieți-le în comentariile articolului.

Notă: am decis să obținem o altă clasă de educație și să studiem în străinătate ca opțiune.

Ce este un logaritm?

Atenţie!
Există suplimentare
materiale din secțiunea specială 555.
Pentru cei care sunt foarte „nu foarte...”
Și pentru cei care „foarte mult...”)

Ce este un logaritm? Cum se rezolvă logaritmii? Aceste întrebări îi încurcă pe mulți absolvenți. În mod tradițional, subiectul logaritmilor este considerat complex, de neînțeles și înfricoșător. În special ecuații cu logaritmi.

Acest lucru nu este absolut adevărat. Absolut! Nu mă crezi? Amenda. Acum, în doar 10 - 20 de minute:

1. Vei intelege ce este un logaritm.

2. Învață să rezolvi o întreagă clasă de ecuații exponențiale. Chiar dacă nu ai auzit nimic despre ei.

3. Învață să calculezi logaritmi simpli.

Mai mult, pentru asta va trebui doar să cunoști tabla înmulțirii și cum să ridici un număr la o putere...

Simt că ai îndoieli... Ei bine, bine, marchează timpul! Merge!

Mai întâi, rezolvă această ecuație în capul tău:

Daca va place acest site...

Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)

Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Să învățăm - cu interes!)

Vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.

Accentul acestui articol este logaritm. Aici vom da o definiție a unui logaritm, vom arăta notația acceptată, vom da exemple de logaritmi și vom vorbi despre logaritmi naturali și zecimali. După aceasta vom lua în considerare identitatea logaritmică de bază.

Navigare în pagină.

Definiţia logarithm

Conceptul de logaritm apare atunci când rezolvați o problemă într-un anumit sens invers, atunci când trebuie să găsiți un exponent dintr-o valoare cunoscută a exponentului și o bază cunoscută.

Dar destule prefațe, este timpul să răspundem la întrebarea „ce este un logaritm”? Să dăm definiția corespunzătoare.

Definiție.

Logaritmul lui b la baza a, unde a>0, a≠1 și b>0 este exponentul la care trebuie să creșteți numărul a pentru a obține b ca rezultat.

În această etapă, observăm că cuvântul rostit „logaritm” ar trebui să ridice imediat două întrebări ulterioare: „ce număr” și „pe ce bază”. Cu alte cuvinte, pur și simplu nu există logaritm, ci doar logaritmul unui număr la o anumită bază.

Să intrăm imediat notație logaritmică: logaritmul unui număr b la baza a este de obicei notat ca log a b. Logaritmul unui număr b în baza e și logaritmul în baza 10 au propriile lor denumiri speciale lnb și, respectiv, logb, adică nu scriu log e b, ci lnb și nu log 10 b, ci lgb.

Acum putem da: .
Și înregistrările nu au sens, deoarece în primul dintre ele există un număr negativ sub semnul logaritmului, în al doilea există un număr negativ în bază, iar în al treilea există un număr negativ sub semnul logaritmului și o unitate în baza.

Acum să vorbim despre reguli de citire a logaritmilor. Log a b este citit ca „logaritmul lui b la baza a”. De exemplu, log 2 3 este logaritmul de trei la baza 2 și este logaritmul de două virgulă două treimi la rădăcina pătrată de bază a lui cinci. Se numește logaritmul la baza e logaritmul natural, iar notația lnb citește „logaritmul natural al lui b”. De exemplu, ln7 este logaritmul natural al lui șapte și îl vom citi ca logaritmul natural al lui pi. Logaritmul de bază 10 are, de asemenea, un nume special - logaritm zecimal , iar lgb este citit ca „logaritm zecimal al lui b”. De exemplu, lg1 este logaritmul zecimal de unu, iar lg2.75 este logaritmul zecimal de două virgulă șapte cinci sutimi.

Merită să ne oprim separat asupra condițiilor a>0, a≠1 și b>0, în care este dată definiția logaritmului. Să explicăm de unde provin aceste restricții. O egalitate de formă numită , care decurge direct din definiția logaritmului dată mai sus, ne va ajuta să facem acest lucru.

Să începem cu a≠1. Deoarece unu la orice putere este egal cu unu, egalitatea poate fi adevărată numai când b=1, dar log 1 1 poate fi orice număr real. Pentru a evita această ambiguitate, se presupune a≠1.

Să justificăm oportunitatea condiției a>0. Cu a=0, prin definiția unui logaritm, am avea egalitate, care este posibilă doar cu b=0. Dar atunci log 0 0 poate fi orice număr real diferit de zero, deoarece de la zero la orice putere diferită de zero este zero. Condiția a≠0 ne permite să evităm această ambiguitate. Și când a<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .

În sfârșit, din inegalitatea a>0 rezultă condiția b>0, deoarece , iar valoarea unei puteri cu o bază pozitivă a este întotdeauna pozitivă.

Pentru a încheia acest punct, să presupunem că definiția declarată a logaritmului vă permite să indicați imediat valoarea logaritmului atunci când numărul de sub semnul logaritmului este o anumită putere a bazei. Într-adevăr, definiția unui logaritm ne permite să afirmăm că dacă b=a p, atunci logaritmul numărului b la baza a este egal cu p. Adică, logul de egalitate a a p =p este adevărat. De exemplu, știm că 2 3 =8, atunci log 2 8=3. Vom vorbi mai multe despre asta în articol.

274. Observaţii.

A) Dacă expresia pe care doriți să o evaluați conține sumă sau diferență numere, atunci ele trebuie găsite fără ajutorul tabelelor prin adunare sau scădere obișnuită. De exemplu:

log (35 +7,24) 5 = 5 log (35 + 7,24) = 5 log 42,24.

b)Știind cum să logaritmăm expresii, putem, invers, folosind un rezultat logaritm dat, să găsim expresia din care s-a obținut acest rezultat; astfel, dacă

Buturuga X=log A+ jurnal b- 3 busteni Cu,

atunci este ușor de înțeles că

V)Înainte de a trece la considerarea structurii tabelelor logaritmice, vom indica câteva proprietăți ale logaritmilor zecimali, i.e. cele la care se ia ca bază numărul 10 (pentru calcule se folosesc doar astfel de logaritmi).

Capitolul doi.

Proprietățile logaritmilor zecimali.

275 . A) Deoarece 10 1 = 10, 10 2 = 100, 10 3 = 1000, 10 4 = 10000 etc., atunci log 10 = 1, log 100 = 2, log 1000 = 3, log 10000 = 4 etc.

Mijloace, Logaritmul unui număr întreg reprezentat de unu și zerouri este un număr întreg pozitiv care conține atâtea unități câte zerouri există în reprezentarea numărului.

Prin urmare: log 100.000 = 5, Buturuga 1000 000 = 6 , etc.

b) Deoarece

log 0,1 = -l; log 0,01 = - 2; log 0,001 == -3; log 0,0001 = - 4, etc.

Mijloace, Logaritmul unei fracții zecimale, reprezentat de o unitate cu zerouri anterioare, este un întreg negativ care conține atâtea unități negative câte zerouri există în reprezentarea fracției, inclusiv 0 numere întregi.

Prin urmare: log 0,00001= - 5, log 0,000001 = -6, etc.

V) Să luăm un număr întreg care nu este reprezentat de unu și zerouri, de exemplu. 35 sau un număr întreg cu o fracție, de exemplu. 10.7. Logaritmul unui astfel de număr nu poate fi un număr întreg, deoarece ridicând 10 la o putere cu un exponent întreg (pozitiv sau negativ), obținem 1 cu zerouri (urmând 1 sau precedându-l). Să presupunem acum că logaritmul unui astfel de număr este o fracție A / b . Atunci am avea egalitate

Dar aceste egalități sunt imposibile, așa cum 10A există 1 cu zerouri, în timp ce grade 35b Și 10,7b prin orice măsură b nu poate da 1 urmat de zerouri. Asta înseamnă că nu putem permite jurnalul 35Și jurnalul 10.7 erau egale cu fracții. Dar din proprietățile funcției logaritmice știm () că fiecare număr pozitiv are un logaritm; în consecință, fiecare dintre numerele 35 și 10.7 are propriul logaritm și, întrucât nu poate fi nici un număr întreg, nici un număr fracționar, este un număr irațional și, prin urmare, nu poate fi exprimat exact prin intermediul numerelor. Logaritmii iraționali sunt de obicei exprimați aproximativ ca o fracție zecimală cu mai multe zecimale. Se numește numărul întreg al acestei fracții (chiar dacă ar fi „0 numere întregi”) caracteristică, iar partea fracționată este mantisa logaritmului. Dacă, de exemplu, există un logaritm 1,5441 , atunci caracteristica sa este egală 1 , iar mantisa este 0,5441 .

G) Să luăm un număr întreg sau mixt, de exemplu. 623 sau 623,57 . Logaritmul unui astfel de număr constă dintr-o caracteristică și o mantise. Se pare că logaritmii zecimali au confortul că putem găsi întotdeauna caracteristicile lor după un singur tip de număr . Pentru a face acest lucru, să numărăm câte cifre sunt într-un număr întreg dat sau într-o parte întreagă a unui număr mixt. În exemplele noastre cu aceste cifre 3 . Prin urmare, fiecare dintre numere 623 Și 623,57 mai mult de 100 dar mai puțin de 1000; aceasta înseamnă că logaritmul fiecăruia dintre ele este mai mare log 100, adică mai mult 2 , dar mai puțin log 1000, adică mai puțin 3 (rețineți că un număr mai mare are și un logaritm mai mare). Prin urmare, log 623 = 2,..., Și log 623,57 = 2,... (punctele înlocuiesc mantisele necunoscute).

Astfel găsim:

10 < 56,7 < 100 1 < log56,7 < 2 log 56,7 = 1,...

1000 < 8634 < 10 000 3 < log8634 < 4 log 8634 = 3,...

Fie, în general, un număr întreg dat, sau o parte întreagă a unui număr mixt dat, să conțină m numere Deoarece cel mai mic număr întreg care conține m numere, da 1 Cu m - 1 zerouri la sfârșit, apoi (indicând acest număr N) putem scrie inegalitățile:

prin urmare,

m - 1 < log N < m ,

log N = ( m- 1) + fracție pozitivă.

Deci caracteristica logN = m - 1 .

Vedem în acest fel că caracteristica logaritmului unui număr întreg sau mixt conține atâtea unități pozitive câte cifre sunt în partea întreagă a numărului minus unu.

După ce am observat acest lucru, putem scrie direct:

log 7,205 = 0,...; log 83 = 1,...; log 720,4 = 2,...și așa mai departe.

d) Să luăm câteva fracții zecimale mai mici 1 (adică având 0 întreg): 0,35; 0,07; 0,0056; 0,0008, și așa mai departe.

Astfel, fiecare dintre acești logaritmi este conținut între două numere întregi negative care diferă cu o unitate; prin urmare, fiecare dintre ele este egal cu cel mai mic dintre aceste numere negative crescute cu o fracție pozitivă. De exemplu, log0,0056= -3 + fracție pozitivă. Să presupunem că această fracție este 0,7482. Atunci înseamnă:

log 0,0056 = - 3 + 0,7482 (= - 2,2518).

Sume precum - 3 + 0,7482 , constând dintr-un număr întreg negativ și o fracție zecimală pozitivă, am convenit să scriem prescurtat după cum urmează în calculele logaritmice: 3 ,7482 (Acest număr arată: 3 minus, 7482 zece miimi.), adică au pus semnul minus peste caracteristică pentru a arăta că se referă doar la această caracteristică, și nu la mantise, care rămâne pozitivă. Astfel, din tabelul de mai sus reiese clar că

log 0,35 == 1 ,....; log 0,07 = 2,....; log 0,0008 = 4,....

Lasă deloc . există o fracţie zecimală în care înainte de prima cifră semnificativă α cheltuieli m zerouri, inclusiv 0 numere întregi. Atunci este evident că

- m < log A < - (m- 1).

Deoarece din două numere întregi:- m Și - (m- 1) este mai putin - m , Acea

log A = - m+ fracție pozitivă,

şi deci caracteristica log A = - m (cu o mantisă pozitivă).

Prin urmare, caracteristica logaritmului unei fracții zecimale mai mică de 1 conține atâtea negative câte zerouri există în imaginea fracției zecimale înaintea primei cifre semnificative, inclusiv numere întregi zero; Mantisa unui astfel de logaritm este pozitivă.

e) Să înmulțim un număr N(întreg sau fracționar - nu contează) cu 10, cu 100 cu 1000..., în general cu 1 cu zerouri. Să vedem cum se schimbă asta jurnalul N. Deoarece logaritmul produsului este egal cu suma logaritmilor factorilor, atunci

log(N 10) = log N + log 10 = log N + 1;

log(N 100) = log N + log 100 = log N + 2;

log(N 1000) = log N + log 1000 = log N + 3; etc.

Când jurnalul N adăugăm un număr întreg, apoi putem adăuga întotdeauna acest număr la caracteristică și nu la mantise.

Deci, dacă log N = 2,7804, atunci 2,7804 + 1 = 3,7804; 2,7804 + 2 = 4,7801 etc.;

sau dacă log N = 3,5649, atunci 3,5649 + 1 = 2,5649; 3,5649 + 2 = 1,5649 etc.

Când un număr este înmulțit cu 10, 100, 1000,.., în general cu 1 cu zerouri, mantisa logaritmului nu se modifică, iar caracteristica crește cu atâtea unități câte zerouri sunt în factor. .

În mod similar, ținând cont că logaritmul coeficientului este egal cu logaritmul dividendului fără logaritmul divizorului, obținem:

log N / 10 = log N- log 10 = log N -1;

log N / 100 = log N- log 100 = log N -2;

log N / 1000 = log N- log 1000 = log N -3;și așa mai departe.

Dacă suntem de acord, atunci când scădem un număr întreg dintr-un logaritm, să scădem întotdeauna acest număr întreg din caracteristică și să lăsăm mantisa neschimbată, atunci putem spune:

Împărțirea unui număr la 1 cu zerouri nu schimbă mantisa logaritmului, dar caracteristica scade cu atâtea unități câte zerouri sunt în divizor.

276. Consecințele. De la proprietate ( e) se pot deduce următoarele două corolare:

A) Mantisa logaritmului unui număr zecimal nu se schimbă atunci când este mutată la un punct zecimal , deoarece mutarea unui punct zecimal echivalează cu înmulțirea sau împărțirea cu 10, 100, 1000 etc. Astfel, logaritmii numerelor:

0,00423, 0,0423, 4,23, 423

diferă doar în caracteristici, dar nu și în mantise (cu condiția ca toate mantisele să fie pozitive).

b) Mantisele numerelor care au aceeași parte semnificativă, dar diferă doar prin zerouri care se termină, sunt aceleași: Astfel, logaritmii numerelor: 23, 230, 2300, 23.000 diferă doar prin caracteristici.

Cometariu. Din proprietățile indicate ale logaritmilor zecimali este clar că putem găsi caracteristicile logaritmului unui întreg și a unei fracții zecimale fără ajutorul tabelelor (aceasta este marea comoditate a logaritmilor zecimal); ca urmare, o singură mantisă este plasată în tabelele logaritmice; în plus, deoarece găsirea logaritmilor fracțiilor se reduce la găsirea logaritmilor numerelor întregi (logaritmul unei fracții = logaritmul numărătorului fără logaritmul numitorului), mantisele logaritmilor numai numerelor întregi sunt plasate în tabele.

Capitolul trei.

Proiectarea și utilizarea tabelelor din patru cifre.

277. Sisteme de logaritmi. Un sistem de logaritmi este un set de logaritmi calculati pentru un număr de numere întregi consecutive folosind aceeași bază. Sunt utilizate două sisteme: sistemul de logaritmi obișnuiți sau zecimal, în care numărul este luat ca bază 10 , și un sistem de așa-numiți logaritmi naturali, în care un număr irațional este luat ca bază (din unele motive care sunt clare în alte ramuri ale matematicii) 2,7182818 ... Pentru calcule se folosesc logaritmi zecimali, datorita comoditatii pe care am indicat-o cand am enumerat proprietatile unor astfel de logaritmi.

Logaritmii naturali sunt numiți și Neperov, numit după inventatorul logaritmilor, un matematician scoțian Nepera(1550-1617), și logaritmi zecimal - Briggs numit după profesor Brigga(un contemporan și prieten al lui Napier), care a compilat pentru prima dată tabelele acestor logaritmi.

278. Transformarea unui logaritm negativ într-unul a cărui mantisă este pozitivă și transformarea inversă. Am văzut că logaritmii numerelor mai mici decât 1 sunt negativi. Aceasta înseamnă că acestea constau dintr-o caracteristică negativă și o mantisă negativă. Astfel de logaritmi pot fi întotdeauna transformați astfel încât mantisa lor să fie pozitivă, dar caracteristica rămâne negativă. Pentru a face acest lucru, este suficient să adăugați unul pozitiv la mantise și unul negativ la caracteristică (care, desigur, nu schimbă valoarea logaritmului).

Dacă, de exemplu, avem un logaritm - 2,0873 , atunci poți scrie:

- 2,0873 = - 2 - 1 + 1 - 0,0873 = - (2 + 1) + (1 - 0,0873) = - 3 + 0,9127,

sau prescurtat:

În schimb, orice logaritm cu o caracteristică negativă și o mantisă pozitivă poate fi transformat într-unul negativ. Pentru a face acest lucru, este suficient să adăugați unul negativ la mantisa pozitivă și unul pozitiv la caracteristica negativă: deci, puteți scrie:

279. Descrierea tabelelor din patru cifre. Pentru a rezolva majoritatea problemelor practice, tabelele din patru cifre sunt destul de suficiente, a căror manipulare este foarte simplă. Aceste tabele (cu inscripția „logaritmi” în partea de sus) sunt plasate la sfârșitul acestei cărți, iar o mică parte din ele (pentru a explica aranjamentul) este tipărită pe această pagină. Ele conțin mantise.

Logaritmi.

logaritmii tuturor numerelor întregi din 1 inainte de 9999 inclusiv, calculat la patru zecimale, cu ultimul dintre aceste locuri majorat cu 1 în toate acele cazuri în care a 5-a zecimală ar fi 5 sau mai mult de 5; prin urmare, tabelele cu 4 cifre oferă mantise aproximative până la 1 / 2 a zecemiimea parte (cu o deficiență sau exces).

Deoarece putem caracteriza direct logaritmul unui număr întreg sau al unei fracții zecimale, pe baza proprietăților logaritmilor zecimali, trebuie să luăm doar mantisele din tabele; În același timp, trebuie să ne amintim că poziția punctului zecimal într-un număr zecimal, precum și numărul de zerouri de la sfârșitul numărului, nu afectează valoarea mantisei. Prin urmare, atunci când găsim mantisa pentru un anumit număr, aruncăm virgula din acest număr, precum și zerourile de la sfârșitul acestuia, dacă există, și găsim mantisa întregului format după aceasta. Pot apărea următoarele cazuri.

1) Un număr întreg este format din 3 cifre. De exemplu, să presupunem că trebuie să găsim mantisa logaritmului numărului 536. Primele două cifre ale acestui număr, adică 53, se găsesc în tabelele din prima coloană verticală din stânga (vezi tabelul). După ce am găsit numărul 53, ne deplasăm de la acesta de-a lungul unei linii orizontale spre dreapta până când această linie se intersectează cu o coloană verticală care trece prin unul dintre numerele 0, 1, 2, 3,... 9, plasate în partea de sus (și de jos) a tabelului, care este a 3-a cifră a unui număr dat, adică în exemplul nostru, numărul 6. La intersecție obținem mantisa 7292 (adică 0,7292), care aparține logaritmului numărului 536. În mod similar , pentru numărul 508 găsim mantisa 0,7059, pentru numărul 500 găsim 0,6990 etc.

2) Un număr întreg este format din 2 sau 1 cifre. Apoi atribuim mental unul sau două zerouri acestui număr și găsim mantisa pentru numărul de trei cifre astfel format. De exemplu, adăugăm un zero la numărul 51, din care obținem 510 și găsim mantisa 7070; numărului 5 atribuim 2 zerouri și găsim mantisa 6990 etc.

3) Un număr întreg este exprimat în 4 cifre. De exemplu, trebuie să găsiți mantisa jurnalului 5436. Apoi mai întâi găsim în tabele, așa cum tocmai s-a indicat, mantisa pentru numărul reprezentat de primele 3 cifre ale acestui număr, adică pentru 543 (această mantisă va fi 7348) ; apoi ne deplasăm de la mantisa găsită de-a lungul liniei orizontale spre dreapta (în partea dreaptă a mesei, situată în spatele liniei verticale groase) până când se intersectează cu coloana verticală care trece prin unul dintre numerele: 1, 2 3,. .. 9, situat în partea de sus (și în partea de jos ) a acestei părți a tabelului, care reprezintă a 4-a cifră a unui număr dat, adică, în exemplul nostru, numărul 6. La intersecție găsim corecția (numărul 5), care trebuie aplicat mental mantisei lui 7348 pentru a obține mantisa numărului 5436; În acest fel obținem mantisa 0,7353.

4) Un număr întreg este exprimat cu 5 sau mai multe cifre. Apoi aruncăm toate cifrele cu excepția primelor 4 și luăm un număr aproximativ de patru cifre și creștem ultima cifră a acestui număr cu 1 în acel număr. cazul în care a 5-a cifră aruncată a numărului este 5 sau mai mult de 5. Deci, în loc de 57842 luăm 5784, în loc de 30257 luăm 3026, în loc de 583263 luăm 5833 etc. Pentru acest număr rotunjit de patru cifre, găsim mantisa așa cum tocmai am explicat.

Ghidați de aceste instrucțiuni, să găsim, de exemplu, logaritmii următoarelor numere:

36,5; 804,7; 0,26; 0,00345; 7,2634; 3456,06.

În primul rând, fără să ne întoarcem la tabele deocamdată, vom lăsa doar caracteristicile, lăsând loc mantiselor, pe care le vom scrie după:

log 36,5 = 1,.... log 0,00345 = 3,....

log 804,7 = 2,.... log 7,2634 = 0,....

log 0,26 = 1,.... log 3456,86 = 3,....

log 36,5 = 1,5623; log 0,00345 = 3,5378;

log 804,7 = 2,9057; log 7,2634 = 0,8611;

log 0,26 = 1,4150; log 3456,86 = 3,5387.

280. Notă. În unele tabele din patru cifre (de exemplu, în tabele V. Lorchenko și N. Ogloblina, S. Glazenap, N. Kamenshchikova) nu sunt plasate corecții pentru a 4-a cifră a acestui număr. Când aveți de-a face cu astfel de tabele, trebuie să găsiți aceste corecții folosind un calcul simplu, care poate fi efectuat pe baza următorului adevăr: dacă numerele depășesc 100 și diferențele dintre ele sunt mai mici de 1, atunci fără o eroare sensibilă se poate presupune că diferențele dintre logaritmi sunt proporționale cu diferențele dintre numerele corespunzătoare . Să, de exemplu, trebuie să găsim mantisa corespunzătoare numărului 5367. Această mantise, desigur, este aceeași ca și pentru numărul 536.7. Găsim în tabelele pentru numărul 536 mantisa 7292. Comparând această mantise cu mantisa 7300 adiacentă la dreapta, corespunzătoare numărului 537, observăm că dacă numărul 536 crește cu 1, atunci mantisa ei va crește cu 8 zece. -miimi (8 este așa-numitul diferenta de masaîntre două mantise adiacente); dacă numărul 536 crește cu 0,7, atunci mantisa sa va crește nu cu 8 zece miimi, ci cu un număr mai mic X zece miimi, care, conform proporționalității presupuse, trebuie să satisfacă proporțiile:

X :8 = 0,7:1; Unde X = 8 07 = 5,6,

care se rotunjește la 6 zecemiimi. Aceasta înseamnă că mantisa pentru numărul 536,7 (și, prin urmare, pentru numărul 5367) va fi: 7292 + 6 = 7298.

Rețineți că găsirea unui număr intermediar folosind două numere adiacente în tabele este numită interpolare. Interpolarea descrisă aici se numește proporţional, deoarece se bazează pe presupunerea că modificarea logaritmului este proporțională cu modificarea numărului. Se mai numește și liniară, deoarece presupune că grafic modificarea unei funcții logaritmice este exprimată printr-o linie dreaptă.

281. Limita de eroare a logaritmului aproximativ. Dacă numărul al cărui logaritm este căutat este un număr exact, atunci limita de eroare a logaritmului său găsită în tabelele cu 4 cifre poate fi luată, după cum am spus în 1 / 2 parte a zece miile. Dacă acest număr nu este exact, atunci la această limită de eroare trebuie să adăugăm și limita unei alte erori care rezultă din inexactitatea numărului în sine. S-a dovedit (omitem această dovadă) că o astfel de limită poate fi considerată produsul

A(d +1) zece miimi.,

in care A este marja de eroare pentru numărul cel mai imprecis, presupunând că partea sa întreagă conține 3 cifre,A d diferența tabelară a mantiselor corespunzătoare a două numere consecutive din trei cifre între care se află numărul imprecis dat. Astfel, limita erorii finale a logaritmului va fi apoi exprimată prin formula:

1 / 2 + A(d +1) zece miimi

Exemplu. Găsiți jurnalul π , luând pentru π număr aproximativ 3.14, exact la 1 / 2 sutime.

Mutând virgula după a 3-a cifră în numărul 3.14, numărând din stânga, obținem numărul de trei cifre 314, exact cu 1 / 2 unități; Aceasta înseamnă că marja de eroare pentru un număr inexact, adică ceea ce am notat prin literă A , există 1 / 2 Din tabele găsim:

log 3,14 = 0,4969.

Diferența de masă d între mantisele numerelor 314 și 315 este egală cu 14, deci eroarea logaritmului găsit va fi mai mică

1 / 2 + 1 / 2 (14 +1) = 8 zece miimi.

Deoarece nu știm despre logaritmul 0,4969 dacă este deficitar sau excesiv, putem garanta doar că logaritmul exact π este între 0,4969 - 0,0008 și 0,4969 + 0,0008, adică 0,4961< log π < 0,4977.

282. Găsiți un număr folosind un logaritm dat. Pentru a găsi un număr folosind un logaritm dat, aceleași tabele pot fi folosite pentru a găsi mantisele numerelor date; dar este mai convenabil să folosiți alte tabele care conțin așa-numitele antilogaritmi, adică numere corespunzătoare acestor mantise. Aceste tabele, indicate prin inscripția din partea de sus „antilogaritmi”, sunt plasate la sfârșitul acestei cărți după tabelele de logaritmi; o mică parte din ele este plasată pe această pagină (pentru explicație).

Să presupunem că vi se oferă o mantisă de 4 cifre 2863 (nu acordăm atenție caracteristicii) și trebuie să găsiți întregul corespunzător. Apoi, având tabele de antilogaritmi, trebuie să le folosiți exact în același mod cum a fost explicat anterior pentru a găsi mantisa pentru un anumit număr, și anume: găsim primele 2 cifre ale mantisei în prima coloană din stânga. Apoi trecem de la aceste numere de-a lungul liniei orizontale spre dreapta până se intersectează cu coloana verticală care provine din a 3-a cifră a mantisei, care trebuie căutată în linia de sus (sau de jos). La intersecție găsim numărul de patru cifre 1932, corespunzător mantisei 286. Apoi de la acest număr ne deplasăm mai departe de-a lungul liniei orizontale spre dreapta până la intersecția cu coloana verticală care provine din a 4-a cifră a mantisei, care trebuie se regăsesc sus (sau jos) printre numerele 1, 2 plasate acolo , 3,... 9. La intersecție găsim corecția 1, care trebuie aplicată (în minte) numărului 1032 găsit mai devreme în ordine. pentru a obține numărul corespunzător mantisei 2863.

Astfel, numărul va fi 1933. După aceasta, acordând atenție caracteristicii, trebuie să puneți ocupat la locul potrivit în numărul 1933. De exemplu:

Dacă Buturuga X = 3,2863, atunci X = 1933,

„ Buturuga x = 1,2863, „ X = 19,33,

, Buturuga X = 0,2&63, „ X = 1,933,

„ Buturuga X = 2 ,2863, „ X = 0,01933

Iată mai multe exemple:

Buturuga X = 0,2287, X = 1,693,

Buturuga X = 1 ,7635, X = 0,5801,

Buturuga X = 3,5029, X = 3184,

Buturuga X = 2 ,0436, X = 0,01106.

Dacă mantisa conține 5 sau mai multe cifre, atunci luăm doar primele 4 cifre, eliminând restul (și mărind a 4-a cifră cu 1 dacă a 5-a cifră are cinci sau mai multe). De exemplu, în loc de mantisa 35478 luăm 3548, în loc de 47562 luăm 4756.

283. Notă. Corecția pentru a 4-a și următoarele cifre ale mantisei poate fi găsită și prin interpolare. Deci, dacă mantisa este 84357, atunci, după ce a găsit numărul 6966, corespunzător mantisei 843, putem argumenta în continuare după cum urmează: dacă mantisa crește cu 1 (mii), adică face 844, atunci numărul, ca se vede din tabele, va crește cu 16 unități; dacă mantisa crește nu cu 1 (mii), ci cu 0,57 (mii), atunci numărul va crește cu X unități, și X trebuie să îndeplinească proporțiile:

X : 16 = 0,57: 1, de unde x = 16 0,57 = 9,12.

Aceasta înseamnă că numărul necesar va fi 6966 + 9,12 = 6975,12 sau (limitat la doar patru cifre) 6975.

284. Limită de eroare a numărului găsit. S-a dovedit că în cazul în care în numărul găsit virgula este după a 3-a cifră din stânga, adică când caracteristica logaritmului este 2, suma poate fi luată drept limită de eroare.

Unde A este limita de eroare a logaritmului (exprimat în zece miimi) cu care a fost găsit numărul și d - diferența dintre mantisele a două numere consecutive de trei cifre între care se află numărul găsit (cu virgulă după a 3-a cifră din stânga). Când caracteristica nu este 2, ci alta, atunci în numărul găsit virgula va trebui să fie mutată la stânga sau la dreapta, adică împărțiți sau înmulțiți numărul cu o putere de 10. În acest caz, eroarea a rezultatului va fi, de asemenea, împărțit sau înmulțit cu aceeași putere a lui 10.

Să căutăm, de exemplu, un număr folosind logaritmul 1,5950 , despre care se știe că are o precizie de 3 zecimii; asta înseamnă atunci A = 3 . Numărul corespunzător acestui logaritm, găsit din tabelul de antilogaritmi, este 39,36 . Mutând virgula după a 3-a cifră din stânga, avem numărul 393,6 , constând între 393 Și 394 . Din tabelele de logaritmi vedem că diferența dintre mantisele corespunzătoare acestor două numere este 11 zece miimi; Mijloace d = 11 . Eroarea numărului 393.6 va fi mai mică

Aceasta înseamnă că eroarea în număr 39,36 va fi mai putin 0,05 .

285. Operaţii pe logaritmi cu caracteristici negative. Adunarea și scăderea logaritmilor nu prezintă dificultăți, așa cum se poate observa din următoarele exemple:

De asemenea, nu există nicio dificultate în înmulțirea logaritmului cu un număr pozitiv, de exemplu:

În ultimul exemplu, mantisa pozitivă este înmulțită separat cu 34, apoi caracteristica negativă este înmulțită cu 34.

Dacă logaritmul unei caracteristici negative și al unei mantise pozitive este înmulțit cu un număr negativ, atunci procedați în două moduri: fie logaritmul dat este mai întâi transformat negativ, fie mantisa și caracteristica sunt înmulțite separat și rezultatele sunt combinate împreună, de exemplu :

3 ,5632 (- 4) = - 2,4368 (- 4) = 9,7472;

3 ,5632 (- 4) = + 12 - 2,2528 = 9,7472.

La împărțire, pot apărea două cazuri: 1) se împarte caracteristica negativă şi 2) nu este divizibil cu un divizor. În primul caz, caracteristica și mantisa sunt separate separat:

10 ,3784: 5 = 2 ,0757.

În al doilea caz, la caracteristică se adaugă atât de multe unități negative, astfel încât numărul rezultat este împărțit la divizor; același număr de unități pozitive se adaugă mantisei:

3 ,7608: 8 = (- 8 + 5,7608) : 8 = 1 ,7201.

Această transformare trebuie făcută în minte, așa că acțiunea decurge astfel:

286. Înlocuirea logaritmilor scăzuți cu termeni. Când calculați o expresie complexă folosind logaritmi, trebuie să adăugați niște logaritmi și să scădeți altele; în acest caz, în modul obișnuit de a efectua acțiuni, ei găsesc separat suma logaritmilor adunați, apoi suma celor scăzuți, iar pe al doilea din prima sumă îl scad. De exemplu, dacă avem:

Buturuga X = 2,7305 - 2 ,0740 + 3 ,5464 - 8,3589 ,

atunci execuția obișnuită a acțiunilor va arăta astfel:

Cu toate acestea, este posibil să înlocuiți scăderea cu adunarea. Asa de:

Acum puteți aranja calculul astfel:

287. Exemple de calcule.

Exemplul 1. Evaluați expresia:

Dacă A = 0,8216, B = 0,04826, C = 0,005127Și D = 7,246.

Să luăm un logaritm al acestei expresii:

Buturuga X= 1/3 log A + 4 log B - 3 log C - 1/3 log D

Acum, pentru a evita pierderea inutilă de timp și pentru a reduce posibilitatea apariției erorilor, în primul rând vom aranja toate calculele fără a le executa deocamdată și, prin urmare, fără a ne referi la tabele:

După aceasta, luăm tabelele și punem logaritmi în spațiile libere rămase:

Limită de eroare. Mai întâi, să găsim limita de eroare a numărului X 1 = 194,5 , egal cu:

Deci, în primul rând, trebuie să găsiți A , adică limita de eroare a logaritmului aproximativ, exprimată în zece miimi. Să presupunem că aceste numere A, B, CȘi D toate sunt corecte. Atunci erorile în logaritmii individuali vor fi după cum urmează (în zece miimi):

V logA.......... 1 / 2

V 1/3 log A......... 1 / 6 + 1 / 2 = 2 / 3

( 1 / 2 adăugat deoarece la împărțirea cu 3 logaritmi de 1,9146, am rotunjit coeficientul renunțând a 5-a cifră și, prin urmare, am făcut o eroare și mai mică 1 / 2 zece miile).

Acum găsim limita de eroare a logaritmului:

A = 2 / 3 + 2 + 3 / 2 + 1 / 6 = 4 1 / 3 (zece miimi).

Să definim în continuare d . Deoarece X 1 = 194,5 , apoi 2 numere întregi consecutive între care se află X 1 voi 194 Și 195 . Diferența de masă d între mantisele corespunzătoare acestor numere este egală cu 22 . Aceasta înseamnă că limita de eroare a numărului este X 1 Există:

Deoarece X = X 1 : 10, apoi limita de eroare în număr X egală 0,3:10 = 0,03 . Astfel, numărul pe care l-am găsit 19,45 diferă de numărul exact cu mai puțin de 0,03 . Deoarece nu știm dacă aproximarea noastră a fost găsită cu o deficiență sau cu un exces, putem garanta doar că

19,45 + 0,03 > X > 19,45 - 0,03 , adică

19,48 > X > 19,42 ,

și deci, dacă acceptăm X =19,4 , atunci vom avea o aproximare cu un dezavantaj cu o precizie de până la 0,1.

Exemplul 2. Calculati:

X = (- 2,31) 3 5 √72 = - (2,31) 3 5 √72 .

Deoarece numerele negative nu au logaritmi, mai întâi găsim:

X" = (2,31) 3 5 √72

prin descompunere:

Buturuga X"= 3 log 2,31 + 1 / 5 log72.

După calcul rezultă:

X" = 28,99 ;

prin urmare,

X = - 28,99 .

Exemplul 3. Calculati:

Logaritmizarea continuă nu poate fi folosită aici, deoarece semnul rădăcinii este c u m m a. În astfel de cazuri, calculați formula pe părți.

Mai întâi găsim N = 5 √8 , Apoi N 1 = 4 √3 ; apoi prin simpla adunare determinam N+ N 1 , iar în final calculăm 3 √N+ N 1 ; rezulta ca:

N=1,514, N 1 = 1,316 ; N+ N 1 = 2,830 .

Buturuga X= log 3 √ 2,830 = 1 / 3 log 2.830 = 0,1506 ;

X = 1,415 .

Capitolul patru.

Ecuații exponențiale și logaritmice.

288. Ecuațiile exponențiale sunt acelea în care necunoscutul este inclus în exponent și logaritmică- cele în care necunoscutul intră sub semn Buturuga. Astfel de ecuații pot fi rezolvabile numai în cazuri speciale și trebuie să ne bazăm pe proprietățile logaritmilor și pe principiul că, dacă numerele sunt egale, atunci logaritmii lor sunt egali și, invers, dacă logaritmii sunt egali, atunci logaritmii corespunzătoare. numerele sunt egale.

Exemplul 1. Rezolvați ecuația: 2 X = 1024 .

Să logaritmăm ambele părți ale ecuației:

Exemplul 2. Rezolvați ecuația: A 2x - A X = 1 . Punând A X = la , obținem o ecuație pătratică:

y 2 - la - 1 = 0 ,

Deoarece 1-√5 < 0 , atunci ultima ecuație este imposibilă (funcția A X există întotdeauna un număr pozitiv), iar primul dă:

Exemplul 3. Rezolvați ecuația:

Buturuga( a + x) + jurnal ( b + x) = jurnal ( c + x) .

Ecuația poate fi scrisă astfel:

Buturuga[( a + x) (b + x)] = jurnal ( c + x) .

Din egalitatea logaritmilor concluzionăm că numerele sunt egale:

(a + x) (b + x) = c + x .

Aceasta este o ecuație pătratică, a cărei soluție nu este dificilă.

Capitolul cinci.

Dobândă compusă, plăți la termen și plăți la termen.

289. Problemă de bază privind dobânda compusă.În cât se va transforma capitalul? A ruble, date în creștere la R dobândă compusă, după t ani ( t - întreg)?

Ei spun că capitalul se plătește la dobândă compusă dacă se ia în considerare așa-numita „dobândă la dobândă”, adică dacă banii de dobândă datorați la capital se adaugă la capital la sfârșitul fiecărui an pentru a crește. aceasta cu interes în anii următori.

Fiecare rublă de capital dată R %, va aduce profit într-un an p / 100 rublă și, prin urmare, fiecare rublă de capital într-un an se va transforma în 1 + p / 100 rublă (de exemplu, dacă capitalul este dat la 5 %, atunci fiecare rublă dintr-un an se va transforma în 1 + 5 / 100 , adică în 1,05 rublă).

Pentru concizie, indicând fracția p / 100 cu o singură literă, de exemplu, r , putem spune că fiecare rublă de capital într-un an se va transforma în 1 + r ruble; prin urmare, A ruble vor fi returnate în 1 an la A (1 + r ) frecați. După încă un an, adică 2 ani de la începutul creșterii, fiecare rublă dintre acestea A (1 + r ) frecați. va contacta din nou 1 + r freca.; Aceasta înseamnă că tot capitalul se va transforma în A (1 + r ) 2 freca. La fel constatăm că după trei ani capitala va fi A (1 + r ) 3 , peste patru ani va fi A (1 + r ) 4 ,... în general prin t ani dacă t este un număr întreg, se va transforma în A (1 + r ) t freca. Astfel, notând prin A capitalul final, vom avea următoarea formulă a dobânzii compuse:

A = A (1 + r ) t Unde r = p / 100 .

Exemplu. Lăsa A =2.300 de ruble, p = 4, t=20 ani; atunci formula dă:

r = 4 / 100 = 0,04 ; A = 2.300 (1,04) 20.

A calcula A, folosim logaritmi:

Buturuga A = log 2 300 + 20 log 1,04 = 3,3617 + 20 0,0170 = 3,3617+0,3400 = 3,7017.

A = 5031 rublă.

Cometariu.În acest exemplu, a trebuit jurnalul 1.04înmulțit cu 20 . De la numărul 0,0170 există o valoare aproximativă jurnalul 1.04 pâna la 1 / 2 a zecemiimea parte, apoi produsul acestui număr cu 20 cu siguranță va fi doar până când 1 / 2 20, adică până la 10 zece miimi = 1 miime. Prin urmare, în total 3,7017 Nu putem garanta nu numai pentru numărul de zece miimi, ci și pentru numărul de miimi. Pentru a obține o precizie mai mare în astfel de cazuri, este mai bine pentru număr 1 + r luați logaritmi nu cu 4 cifre, ci cu un număr mare de cifre, de exemplu. 7 cifre. În acest scop, vă prezentăm aici un mic tabel în care sunt înscriși logaritmi de 7 cifre pentru cele mai comune valori R .

290. Sarcina principală este pentru plățile urgente. Cineva a luat A ruble per R % cu conditia de a rambursa datoria, impreuna cu dobanda datorata asupra acesteia, in t ani, plătind aceeași sumă la sfârșitul fiecărui an. Care ar trebui să fie această sumă?

Sumă X , plătită anual în asemenea condiţii, se numeşte plată urgentă. Să notăm din nou prin literă r dobândă anuală bani de la 1 rub., adică numărul p / 100 . Apoi, până la sfârșitul primului an, datoria A crește la A (1 + r ), plata de bază X va costa ruble A (1 + r )-X .

Până la sfârșitul celui de-al doilea an, fiecare rublă din această sumă se va transforma din nou în 1 + r ruble și, prin urmare, datoria va fi [ A (1 + r )-X ](1 + r ) = A (1 + r ) 2 - X (1 + r ), și pentru plată X rublele vor fi: A (1 + r ) 2 - X (1 + r ) - X . În același mod, ne vom asigura că până la sfârșitul celui de-al 3-lea an datoria va fi

A (1 + r ) 3 - X (1 + r ) 2 - X (1 + r ) - X ,

si in general si sfarsit t anul va fi:

A (1 + r ) t - X (1 + r ) t -1 - X (1 + r ) t -2 ... - X (1 + r ) - X , sau

A (1 + r ) t - X [ 1 + (1 + r ) + (1 + r ) 2 + ...+ (1 + r ) t -2 + (1 + r ) t -1 ]

Polinomul din paranteze reprezintă suma termenilor unei progresii geometrice; care are primul membru 1 , ultimul ( 1 + r ) t -1, iar numitorul ( 1 + r ). Folosind formula pentru suma termenilor unei progresii geometrice (Secțiunea 10, Capitolul 3, § 249), găsim:

si suma datoriei dupa t - a doua plată va fi:

Dupa conditiile problemei, datoria este la final t -al-lea an trebuie să fie egal cu 0 ; De aceea:

Unde

La calculul asta formule de plată urgentă folosind logaritmi trebuie mai întâi să găsim numărul auxiliar N = (1 + r ) t prin logaritm: log N= t log(1+ r) ; găsind N, scădem 1 din el, apoi obținem numitorul formulei pentru X, după care găsim prin logaritm secundar:

Buturuga X=log A+ log N + log r - log (N - 1).

291. Sarcina principală pentru contribuțiile la termen. Cineva depune aceeași sumă în bancă la începutul fiecărui an. A freca. Stabiliți ce capital va fi format din aceste contribuții după t ani dacă banca plătește R interes compus.

Desemnat de r dobândă anuală de bani de la 1 rublă, adică p / 100 , raționăm așa: până la sfârșitul primului an capitala va fi A (1 + r );

la începutul celui de-al 2-lea an se va adăuga la această sumă A ruble; asta înseamnă că în acest moment capitalul va fi A (1 + r ) + A . Până la sfârșitul anului 2 va fi A (1 + r ) 2 + a (1 + r );

la începutul anului 3 se înscrie din nou A ruble; asta înseamnă că în acest moment va exista capital A (1 + r ) 2 + a (1 + r ) + A ; pana la sfarsitul zilei de 3 va fi A (1 + r ) 3 + a (1 + r ) 2 + a (1 + r ) Continuând aceste argumente în continuare, constatăm că până la sfârșit t an capitalul necesar A voi:

Aceasta este formula pentru contribuțiile pe termen efectuate la începutul fiecărui an.

Aceeași formulă poate fi obținută prin următorul raționament: avans către A ruble în timp ce se afla în bancă t ani, se va transforma, conform formulei dobânzii compuse, în A (1 + r ) t freca. A doua tranșă, fiind în bancă cu un an mai puțin, adică. t - 1 ani, contact A (1 + r ) t-1 freca. La fel, a treia tranșă va da A (1 + r ) t-2 etc., iar în sfârșit ultima tranșă, fiind în bancă de doar 1 an, va merge la A (1 + r ) frecați. Aceasta înseamnă capitalul final A freca. voi:

A= A (1 + r ) t + A (1 + r ) t-1 + A (1 + r ) t-2 + . . . + A (1 + r ),

care, după simplificare, dă formula găsită mai sus.

Când calculați folosind logaritmi ai acestei formule, trebuie să procedați în același mod ca atunci când calculați formula pentru plăți urgente, adică mai întâi găsiți numărul N = ( 1 + r ) t prin logaritmul său: log N= t Buturuga(1 + r ), apoi numărul N-1și apoi luați un logaritm al formulei:

log A = log A+log(1+ r) + log (N - 1) - 1ogr

Cometariu. Dacă o contribuție urgentă la A freca. a fost efectuată nu la început, ci la sfârșitul fiecărui an (cum, de exemplu, se face o plată urgentă X a achita datoria), apoi, raționând similar celui precedent, constatăm că până la sfârșit t an capitalul necesar A" freca. va fi (inclusiv ultima tranșă A frec., fără dobândă):

A"= A (1 + r ) t-1 + A (1 + r ) t-2 + . . . + A (1 + r ) + A

care este egal cu:

adică A" ajunge în ( 1 + r ) ori mai puțin A, ceea ce era de așteptat, deoarece fiecare rublă de capital A" se află în bancă cu un an mai puțin decât rubla corespunzătoare de capital A.

Definiţia logarithm

Logaritmul lui b la baza a este exponentul la care trebuie ridicat a pentru a obține b.

Numărul eîn matematică se obişnuieşte să se desemneze limita la care se străduieşte o expresie

Numărul e este număr irațional- un număr incomensurabil cu unul, nu poate fi exprimat cu acuratețe nici ca număr întreg, nici ca fracție raţional număr.

Scrisoare e- prima literă a unui cuvânt latin exponere- a se arăta, de unde și numele în matematică exponenţială- functie exponentiala.

Număr e utilizat pe scară largă în matematică și în toate științele care într-un fel sau altul folosesc calcule matematice pentru nevoile lor.

Logaritmi. Proprietățile logaritmilor

Definiție: Logaritmul unui număr pozitiv b față de baza sa este exponentul c la care trebuie ridicat numărul a pentru a obține numărul b.

Identitatea logaritmică de bază:

7) Formula pentru mutarea la o nouă bază:

lna = log e a, e ≈ 2,718…

Probleme și teste pe tema „Logaritmi. Proprietățile logaritmilor"

• Logaritmi - Subiecte importante pentru revizuirea Examenului de stat unificat la matematică

Pentru a finaliza cu succes sarcinile pe această temă, trebuie să cunoașteți definiția unui logaritm, proprietățile logaritmilor, identitatea logaritmică de bază, definițiile logaritmilor zecimal și naturali. Principalele tipuri de probleme pe această temă sunt problemele care implică calculul și transformarea expresiilor logaritmice. Să luăm în considerare soluția lor folosind următoarele exemple.

Soluţie: Folosind proprietățile logaritmilor, obținem

Soluţie: Folosind proprietățile gradelor, obținem

1) (2 2) log 2 5 =(2 log 2 5) 2 =5 2 =25

Proprietăți ale logaritmilor, formulărilor și demonstrațiilor.

Logaritmii au o serie de proprietăți caracteristice. În acest articol ne vom uita la principalele proprietățile logaritmilor. Aici vom prezenta formulările lor, vom nota proprietățile logaritmilor sub formă de formule, vom arăta exemple de aplicare a acestora și, de asemenea, vom oferi dovezi ale proprietăților logaritmilor.

Navigare în pagină.

Proprietățile de bază ale logaritmilor, formulelor

Pentru ușurință de memorare și utilizare, să ne imaginăm proprietățile de bază ale logaritmilor sub forma unei liste de formule. În paragraful următor vom oferi formulările acestora, dovezile, exemplele de utilizare și explicațiile necesare.

Proprietatea logaritmului unității: log a 1=0 pentru orice a>0, a≠1.

Logaritmul unui număr egal cu baza: log a a=1 pentru a>0, a≠1.

Proprietatea logaritmului puterii bazei: log a a p =p, unde a>0, a≠1 și p este orice număr real.

Logaritmul produsului a două numere pozitive: log a (x y)=log a x+log a y , a>0 , a≠1 , x>0 , y>0 ,
și proprietatea logaritmului produsului a n numere pozitive: log a (x 1 · x 2 ·…·x n)= log a x 1 +log a x 2 +…+log a x n , a>0 , a≠1 , x 1 >0, x 2 >0, …, x n >0 .

Proprietatea logaritmului unui coeficient: , unde a>0, a≠1, x>0, y>0.

Logaritmul puterii unui număr: log a b p =p·log a |b| , unde a>0, a≠1, b și p sunt numere astfel încât gradul b p are sens și b p >0.

Consecinţă: , unde a>0, a≠1, n este un număr natural mai mare decât unu, b>0.

Corolarul 1: , a>0, a≠1, b>0, b≠1.

Corolarul 2: , a>0 , a≠1 , b>0 , p și q sunt numere reale, q≠0 , în special pentru b=a avem .

Formulări și dovezi de proprietăți

Se trece la formularea și demonstrarea proprietăților scrise ale logaritmilor. Toate proprietățile logaritmilor sunt dovedite pe baza definiției logaritmului și a identității logaritmice de bază care decurge din acesta, precum și pe proprietățile gradului.

Sa incepem cu proprietățile logaritmului unu. Formularea sa este următoarea: logaritmul unității este egal cu zero, adică log a 1=0 pentru orice a>0, a≠1. Demonstrarea nu este dificilă: întrucât a 0 = 1 pentru orice a care îndeplinește condițiile de mai sus a>0 și a≠1, atunci egalitatea log a 1=0 de demonstrat rezultă imediat din definiția logaritmului.

Să dăm exemple de aplicare a proprietății considerate: log 3 1=0, log1=0 și .

Să trecem la următoarea proprietate: logaritmul unui număr egal cu baza este egal cu unu, acesta este, log a a=1 pentru a>0, a≠1. Într-adevăr, deoarece a 1 =a pentru orice a, atunci prin definiția logaritmului log a a=1.

Exemple de utilizare a acestei proprietăți a logaritmilor sunt egalitățile log 5 5=1, log 5.6 5.6 și lne=1.

Logaritmul unei puteri a unui număr egal cu baza logaritmului este egal cu exponentul. Această proprietate a logaritmului corespunde unei formule de formă log a a p =p, unde a>0, a≠1 și p – orice număr real. Această proprietate decurge direct din definiția logaritmului. Rețineți că vă permite să indicați imediat valoarea logaritmului, dacă este posibil să reprezentați numărul de sub semnul logaritmului ca putere a bazei; vom vorbi mai multe despre acest lucru în articolul Calcularea logaritmilor.

De exemplu, log 2 2 7 =7, log10 -4 =-4 și .

Logaritmul produsului a două numere pozitive x și y este egal cu produsul logaritmilor acestor numere: log a (x y)=log a x+log a y, a>0, a≠1. Să demonstrăm proprietatea logaritmului unui produs. Datorită proprietăților gradului a log a x+log a y =a log a x ·a log a y, și deoarece prin identitatea logaritmică principală un log a x =x și un log a y =y, atunci un log a x ·a log a y =x· y. Astfel, un log a x+log a y =x·y, din care, prin definirea unui logaritm, rezultă egalitatea care se dovedește.

Să arătăm exemple de utilizare a proprietății logaritmului unui produs: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 și .

Proprietatea logaritmului unui produs poate fi generalizată la produsul unui număr finit n de numere pozitive x 1 , x 2 , …, x n ca log a (x 1 · x 2 ·…·x n)= log a x 1 +log a x 2 +…+log a x n. Această egalitate poate fi dovedită fără probleme folosind metoda inducției matematice.

De exemplu, logaritmul natural al produsului poate fi înlocuit cu suma a trei logaritmi naturali ai numerelor 4, e și.

Logaritmul câtului a două numere pozitive x și y este egal cu diferența dintre logaritmii acestor numere. Proprietatea logaritmului unui coeficient corespunde unei formule de forma , unde a>0, a≠1, x și y sunt niște numere pozitive. Valabilitatea acestei formule este dovedită la fel ca și formula pentru logaritmul unui produs: întrucât , apoi prin definiția logaritmului .

Iată un exemplu de utilizare a acestei proprietăți a logaritmului: .

Să trecem la proprietatea logaritmului puterii. Logaritmul unui grad este egal cu produsul exponentului și logaritmul modulului bazei acestui grad. Să scriem această proprietate a logaritmului unei puteri ca formulă: log a b p =p·log a |b|, unde a>0, a≠1, b și p sunt numere astfel încât gradul b p are sens și b p >0.

Mai întâi demonstrăm această proprietate pentru pozitivul b. Identitatea logaritmică de bază ne permite să reprezentăm numărul b ca un log a b , apoi b p =(a log a b) p , iar expresia rezultată, datorită proprietății puterii, este egală cu a p·log a b . Ajungem deci la egalitatea b p =a p·log a b, din care, prin definiția unui logaritm, concluzionăm că log a b p =p·log a b.

Rămâne de demonstrat această proprietate pentru negativul b. Aici observăm că expresia log a b p pentru negativ b are sens doar pentru exponenții pari p (deoarece valoarea gradului b p trebuie să fie mai mare decât zero, altfel logaritmul nu va avea sens), iar în acest caz b p =|b| p. Atunci b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p·log a |b| , de unde log a b p =p·log a |b| .

De exemplu, și ln(-3) 4 =4·ln|-3|=4·ln3 .

Rezultă din proprietatea anterioară proprietatea logaritmului de la rădăcină: logaritmul rădăcinii a n-a este egal cu produsul fracției 1/n cu logaritmul expresiei radicalului, adică unde a>0, a≠1, n este un număr natural mai mare decât unu, b>0 .

Dovada se bazează pe egalitatea (vezi definiția exponentului cu un exponent fracționar), care este valabilă pentru orice b pozitiv și proprietatea logaritmului exponentului: .

Iată un exemplu de utilizare a acestei proprietăți: .

Acum să demonstrăm formula pentru trecerea la o nouă bază logaritmică drăguț . Pentru a face acest lucru, este suficient să demonstrăm validitatea egalității log c b=log a b·log c a. Identitatea logaritmică de bază ne permite să reprezentăm numărul b ca log a b , apoi log c b=log c a log a b . Rămâne să folosim proprietatea logaritmului gradului: log c a log a b =log a b·log c a . Aceasta dovedește egalitatea log c b=log a b·log c a, ceea ce înseamnă că este dovedită și formula pentru tranziția la o nouă bază a logaritmului .

Să arătăm câteva exemple de utilizare a acestei proprietăți a logaritmilor: și .

Formula pentru trecerea la o nouă bază vă permite să treceți la lucrul cu logaritmi care au o bază „convenabilă”. De exemplu, poate fi folosit pentru a trece la logaritmi naturali sau zecimali, astfel încât să puteți calcula valoarea unui logaritm dintr-un tabel de logaritmi. Formula de trecere la o nouă bază logaritmică permite, în unele cazuri, să se găsească valoarea unui logaritm dat atunci când sunt cunoscute valorile unor logaritmi cu alte baze.

Un caz special al formulei de tranziție la o nouă bază logaritmică pentru c=b a formei este adesea folosit. Aceasta arată că log a b și log b a sunt numere reciproc inverse. De exemplu, .

Formula este de asemenea folosită adesea, ceea ce este convenabil pentru găsirea valorilor logaritmilor. Pentru a confirma cuvintele noastre, vom arăta cum poate fi folosit pentru a calcula valoarea unui logaritm de forma . Avem . Pentru a demonstra formula, este suficient să folosiți formula pentru a trece la o nouă bază a logaritmului a: .

Rămâne de demonstrat proprietățile comparației logaritmilor.

Să folosim metoda opusă. Să presupunem că pentru a 1 >1, a 2 >1 și a 1 2 și pentru 0 1, log a 1 b≤log a 2 b este adevărat. Pe baza proprietăților logaritmilor, aceste inegalități pot fi rescrise ca Și respectiv, iar din ele rezultă că log b a 1 ≤log b a 2 și, respectiv, log b a 1 ≥log b a 2. Atunci, după proprietățile puterilor cu aceleași baze, trebuie să fie valabile egalitățile b log b a 1 ≥b log b a 2 și b log b a 1 ≥b log b a 2, adică a 1 ≥a 2 . Deci am ajuns la o contradicție cu condiția a 1 2. Aceasta completează dovada.

Proprietățile de bază ale logaritmilor

• Materiale pentru lecție
• Descărcați toate formulele

Logaritmii, ca orice numere, pot fi adunați, scăzuți și transformați în orice fel. Dar, deoarece logaritmii nu sunt chiar numere obișnuite, există reguli aici, care sunt numite proprietăți principale.

Cu siguranță trebuie să cunoașteți aceste reguli - fără ele nu poate fi rezolvată nicio problemă logaritmică serioasă. În plus, sunt foarte puține dintre ele - puteți învăța totul într-o singură zi. Asadar, haideti sa începem.

Adunarea și scăderea logaritmilor

Luați în considerare doi logaritmi cu aceleași baze: log a x și log a y. Apoi pot fi adăugate și scăzute și:

Deci, suma logaritmilor este egală cu logaritmul produsului, iar diferența este egală cu logaritmul coeficientului. Vă rugăm să rețineți: punctul cheie aici este temeiuri identice. Dacă motivele sunt diferite, aceste reguli nu funcționează!

Aceste formule vă vor ajuta să calculați o expresie logaritmică chiar și atunci când părțile sale individuale nu sunt luate în considerare (vezi lecția „Ce este un logaritm”). Aruncă o privire la exemple și vezi:

Sarcină. Găsiți valoarea expresiei: log 6 4 + log 6 9.

Deoarece logaritmii au aceleași baze, folosim formula sumei:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Sarcină. Aflați valoarea expresiei: log 2 48 − log 2 3.

Bazele sunt aceleași, folosim formula diferenței:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Sarcină. Aflați valoarea expresiei: log 3 135 − log 3 5.

Din nou bazele sunt aceleași, deci avem:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

După cum puteți vedea, expresiile originale sunt formate din logaritmi „răi”, care nu sunt calculate separat. Dar după transformări se obțin numere complet normale. Multe teste se bazează pe acest fapt. Da, expresii asemănătoare testelor sunt oferite cu toată seriozitatea (uneori practic fără modificări) la examenul de stat unificat.

Extragerea exponentului din logaritm

Acum să complicăm puțin sarcina. Ce se întâmplă dacă baza sau argumentul unui logaritm este o putere? Apoi, exponentul acestui grad poate fi scos din semnul logaritmului conform următoarelor reguli:

• log a x n = n · log a x ;
• 
• 

Este ușor de observat că ultima regulă le urmează pe primele două. Dar este mai bine să-l amintiți oricum - în unele cazuri va reduce semnificativ cantitatea de calcule.

Desigur, toate aceste reguli au sens dacă se respectă ODZ al logaritmului: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Și încă ceva: învață să aplici toate formulele nu numai de la stânga la dreapta, ci și invers. , adică Puteți introduce numerele înainte de semnul logaritmului în logaritmul însuși. Acesta este ceea ce se cere cel mai adesea.

Sarcină. Aflați valoarea expresiei: log 7 49 6 .

Să scăpăm de gradul din argument folosind prima formulă:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Sarcină. Găsiți sensul expresiei:

[Letină pentru imagine]

Rețineți că numitorul conține un logaritm, a cărui bază și argument sunt puteri exacte: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Avem:

[Letină pentru imagine]

Cred că ultimul exemplu necesită unele clarificări. Unde s-au dus logaritmii? Până în ultimul moment lucrăm doar cu numitorul. Am prezentat baza și argumentul logaritmului aflat acolo sub formă de puteri și am scos exponenții - am obținut o fracțiune „cu trei etaje”.

Acum să ne uităm la fracția principală. Numătorul și numitorul conțin același număr: log 2 7. Deoarece log 2 7 ≠ 0, putem reduce fracția - 2/4 va rămâne în numitor. Conform regulilor aritmeticii, cele patru pot fi transferate la numărător, ceea ce s-a făcut. Rezultatul a fost răspunsul: 2.

Trecerea la o nouă fundație

Vorbind despre regulile de adunare și scădere a logaritmilor, am subliniat în mod special că funcționează doar cu aceleași baze. Ce se întâmplă dacă motivele sunt diferite? Ce se întâmplă dacă nu sunt puteri exacte de același număr?

Formulele pentru tranziția către o nouă fundație vin în ajutor. Să le formulăm sub forma unei teoreme:

Fie dat logaritmul log a x. Atunci pentru orice număr c astfel încât c > 0 și c ≠ 1, egalitatea este adevărată:

[Letină pentru imagine]

În special, dacă setăm c = x, obținem:

[Letină pentru imagine]

Din a doua formulă rezultă că baza și argumentul logaritmului pot fi schimbate, dar în acest caz întreaga expresie este „întoarsă”, adică. logaritmul apare la numitor.

Aceste formule se găsesc rar în expresiile numerice obișnuite. Este posibil să se evalueze cât de convenabile sunt acestea numai atunci când se rezolvă ecuații și inegalități logaritmice.

Cu toate acestea, există probleme care nu pot fi rezolvate deloc decât prin trecerea la o nouă fundație. Să ne uităm la câteva dintre acestea:

Sarcină. Aflați valoarea expresiei: log 5 16 log 2 25.

Rețineți că argumentele ambilor logaritmi conțin puteri exacte. Să scoatem indicatorii: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

Acum să „inversăm” al doilea logaritm:

[Letină pentru imagine]

Deoarece produsul nu se schimbă la rearanjarea factorilor, am înmulțit cu calm patru și doi, apoi ne-am ocupat de logaritmi.

Sarcină. Aflați valoarea expresiei: log 9 100 lg 3.

Baza și argumentul primului logaritm sunt puteri exacte. Să notăm asta și să scăpăm de indicatorii:

[Letină pentru imagine]

Acum să scăpăm de logaritmul zecimal trecând la o nouă bază:

[Letină pentru imagine]

Identitatea logaritmică de bază

Adesea, în procesul de rezolvare, este necesar să se reprezinte un număr ca logaritm la o bază dată. În acest caz, următoarele formule ne vor ajuta:

1. n = log a a n

2. În primul caz, numărul n devine exponent în argument. Numărul n poate fi absolut orice, deoarece este doar o valoare logaritmică.

   A doua formulă este de fapt o definiție parafrazată. Așa se numește: identitatea logaritmică de bază.

   De fapt, ce se întâmplă dacă numărul b este ridicat la o astfel de putere încât numărul b la această putere dă numărul a? Așa este: rezultatul este același număr a. Citiți din nou acest paragraf cu atenție - mulți oameni rămân blocați în el.

   Asemenea formulelor pentru trecerea la o nouă bază, identitatea logaritmică de bază este uneori singura soluție posibilă.

   [Letină pentru imagine]

   Rețineți că log 25 64 = log 5 8 - pur și simplu am luat pătratul de la baza și argumentul logaritmului. Luând în considerare regulile de înmulțire a puterilor cu aceeași bază, obținem:

   [Letină pentru imagine]

   Dacă cineva nu știe, aceasta a fost o sarcină reală de la examenul de stat unificat :)

   Unitate logaritmică și zero logaritmic

   În concluzie, voi da două identități care cu greu pot fi numite proprietăți - mai degrabă, sunt consecințe ale definiției logaritmului. Apar constant în probleme și, în mod surprinzător, creează probleme chiar și pentru elevii „avansați”.

   1. log a a = 1 este o unitate logaritmică. Amintiți-vă odată pentru totdeauna: logaritmul oricărei baze a a acelei baze în sine este egal cu unu.
   2. log a 1 = 0 este zero logaritmic. Baza a poate fi orice, dar dacă argumentul conține unul, logaritmul este egal cu zero! Deoarece a 0 = 1 este o consecință directă a definiției.

   Sunt toate proprietățile. Asigurați-vă că exersați punerea lor în practică! Descărcați fișa cheat la începutul lecției, imprimați-o și rezolvați problemele.

   Logaritm. Proprietățile logaritmului (adunare și scădere).

   Proprietățile logaritmului rezultă din definiția sa. Și astfel logaritmul numărului b bazat pe A este definit ca exponentul la care trebuie ridicat un numar A pentru a obține numărul b(logaritmul există doar pentru numerele pozitive).

   Din această formulare rezultă că calculul x=log a b, este echivalent cu rezolvarea ecuației a x =b. De exemplu, log 2 8 = 3 deoarece 8 = 2 3 . Formularea logaritmului face posibilă justificarea că dacă b=a c, apoi logaritmul numărului b bazat pe A egală Cu. De asemenea, este clar că tema logaritmilor este strâns legată de subiectul puterilor.

   Cu logaritmi, ca și cu orice numere, poți face operații de adunare, scădereși se transformă în toate modurile posibile. Dar datorită faptului că logaritmii nu sunt numere în întregime obișnuite, aici se aplică propriile lor reguli speciale, care sunt numite proprietăți principale.

   Adunarea și scăderea logaritmilor.

   Să luăm doi logaritmi cu aceleași baze: log un xȘi log a y. Apoi se pot efectua operații de adunare și scădere:

   După cum vedem, suma logaritmilor este egal cu logaritmul produsului și diferență logaritmi- logaritmul coeficientului. Mai mult, acest lucru este adevărat dacă numerele A, XȘi la pozitivă și a ≠ 1.

   Este important de menționat că aspectul principal în aceste formule sunt aceleași baze. Dacă motivele sunt diferite, aceste reguli nu se aplică!

   Regulile de adunare și scădere a logaritmilor cu aceleași baze sunt citite nu numai de la stânga la dreapta, ci și invers. Ca rezultat, avem teoremele pentru logaritmul produsului și logaritmul coeficientului.

   Logaritmul produsului două numere pozitive este egală cu suma logaritmilor lor ; reformulând această teoremă obținem următoarele dacă numerele A, XȘi la pozitivă și a ≠ 1, Acea:

   Logaritmul coeficientului două numere pozitive este egală cu diferența dintre logaritmii dividendului și divizorului. Altfel spus, dacă numerele A, XȘi la pozitivă și a ≠ 1, Acea:

   Să aplicăm teoremele de mai sus pentru a le rezolva exemple:

   Dacă numerele XȘi la sunt negative, atunci formula logaritmului produsului devine lipsit de sens. Astfel, este interzis să scrieți:

   deoarece expresiile log 2 (-8) și log 2 (-4) nu sunt deloc definite (funcția logaritmică la= jurnalul 2 X definit numai pentru valorile argumentului pozitiv X).

   Teorema produsului aplicabil nu numai pentru doi, ci și pentru un număr nelimitat de factori. Aceasta înseamnă că pentru fiecare natural kși orice numere pozitive X 1 , X 2 , . . . ,x n exista o identitate:

   Din teorema coeficientului de logaritm Mai poate fi obținută o proprietate a logaritmului. Este cunoscut faptul că log A 1= 0, prin urmare

   Aceasta înseamnă că există o egalitate:

   Logaritmi a două numere reciproce din același motiv vor diferi unul de celălalt numai prin semn. Asa de:

   Logaritm. Proprietățile logaritmilor

   Logaritm. Proprietățile logaritmilor

   Să luăm în considerare egalitatea. Anunțați-ne valorile și și vrem să aflăm valoarea lui.

   Adică căutăm exponentul prin care trebuie să-l coborăm pentru a obține .

   Lăsa o variabilă poate lua orice valoare reală, atunci variabilelor li se impun următoarele restricții: o" title="a>o"/> , 1″ title="a1″/>, 0″ title="b>0″ />

   Dacă cunoaștem valorile lui și și ne confruntăm cu sarcina de a găsi necunoscutul, atunci în acest scop se introduce o operație matematică, care se numește logaritm.

   Pentru a găsi valoarea pe care o luăm logaritmul unui număr De bază :

   Logaritmul unui număr la baza sa este exponentul la care trebuie ridicat pentru a obține .

   Acesta este identitate logaritmică de bază:

   o» title=»a>o»/> , 1″ title=»a1″/>, 0″ title=»b>0″/>

   este în esență o notație matematică definiții ale logaritmului.

   Operația matematică a logaritmului este inversa operației de exponențiere, deci proprietățile logaritmilor sunt strâns legate de proprietățile gradului.

   Să enumeram principalele proprietățile logaritmilor:

   (o" title="a>o"/> , 1″ title=»a1″/>, 0″ title=»b>0″/>, 0,

   d>0″/>, 1″ title="d1″/>

   4.

   5.

   Următorul grup de proprietăți vă permite să reprezentați exponentul unei expresii sub semnul logaritmului sau stând la baza logaritmului sub forma unui coeficient în fața semnului logaritmului:

   6.

   7.

   8.

   9.

   Următorul grup de formule vă permite să treceți de la un logaritm cu o bază dată la un logaritm cu o bază arbitrară și se numește formule de tranziție la o nouă bază:

   10.

   12. (corolarul din proprietatea 11)

   

   Următoarele trei proprietăți nu sunt bine cunoscute, dar sunt adesea folosite la rezolvarea ecuațiilor logaritmice sau la simplificarea expresiilor care conțin logaritmi:

   13.

   14.

   15.

   Cazuri speciale:

   — logaritm zecimal

   — logaritmul natural

   La simplificarea expresiilor care conțin logaritmi, se folosește o abordare generală:

   1. Reprezentăm fracții zecimale ca fracții obișnuite.

   2. Reprezentăm numere mixte ca fracții improprii.

   3. Descompunem numerele de la baza logaritmului și sub semnul logaritmului în factori simpli.

   4. Încercăm să reducem toți logaritmii la aceeași bază.

   5. Aplicați proprietățile logaritmilor.

   Să ne uităm la exemple de simplificare a expresiilor care conțin logaritmi.

   Exemplul 1.

   Calculati:

   Să simplificăm toți exponenții: sarcina noastră este să îi reducem la logaritmi, a căror bază este același număr cu baza exponentului.

   ==(prin proprietatea 7)=(prin proprietatea 6) =

   Să înlocuim indicatorii pe care i-am introdus în expresia originală. Primim:

   Răspuns: 5.25

   Exemplul 2. Calculați:

   

   Să reducem toți logaritmii la baza 6 (în acest caz, logaritmii de la numitorul fracției vor „migra” la numărător):

   Să descompunăm numerele de sub semnul logaritmului în factori simpli:

   Să aplicăm proprietățile 4 și 6:

   Să introducem înlocuitorul

   Primim:

   Raspunsul 1

   Logaritm . Identitatea logaritmică de bază.

   Proprietățile logaritmilor. Logaritm zecimal. Logaritmul natural.

   Logaritm numărul pozitiv N la bază (b > 0, b 1) este exponentul x la care trebuie ridicat b pentru a obține N .

   Această intrare este echivalentă cu următoarele: b x = N .

   Exemple: log 3 81 = 4, deoarece 3 4 = 81;

   log 1/3 27 = – 3, deoarece (1/3) - 3 = 3 3 = 27.

   Definiția de mai sus a logaritmului poate fi scrisă ca o identitate:

   

   Proprietățile de bază ale logaritmilor.

   2) log 1 = 0, deoarece b 0 = 1 .

   3) Logaritmul produsului este egal cu suma logaritmilor factorilor:

   4) Logaritmul coeficientului este egal cu diferența dintre logaritmii dividendului și divizorului:

   5) Logaritmul unei puteri este egal cu produsul dintre exponent și logaritmul bazei sale:

   Consecința acestei proprietăți este următoarea: logaritmul rădăcinii egal cu logaritmul numărului radical împărțit la puterea rădăcinii:

   

   6) Dacă baza logaritmului este un grad, atunci valoarea inversul exponentului poate fi scos ca o rimă log:

   

   Ultimele două proprietăți pot fi combinate într-una singură:

   

   7) Formula modulului de tranziție (adică tranziția de la o bază logaritmică la o altă bază):

   

   În cazul special când N=a avem:

   

   Logaritm zecimal numit logaritm de bază 10. Se notează lg, adică. jurnalul 10 N= jurnal N. Logaritmii numerelor 10, 100, 1000, . p sunt 1, 2, 3, respectiv …, adică au atât de multe pozitive

   unități, câte zerouri sunt într-un număr logaritmic după unu. Logaritmii numerelor 0,1, 0,01, 0,001, . p sunt respectiv –1, –2, –3, …, adică. au atâtea negative câte zerouri sunt în numărul logaritmic înainte de unu (inclusiv numere întregi zero). Logaritmii altor numere au o parte fracționară numită mantisa. Partea întreagă a unui logaritm se numește caracteristică. Pentru utilizare practică, logaritmii zecimali sunt cei mai convenabil.

   Logaritmul natural numit logaritm de bază e. Este notat cu ln, i.e. Buturuga e N= jurnal N. Număr e este irațional, valoarea sa aproximativă este 2,718281828. Este limita la care tinde numărul (1 + 1 / n) n cu spor nelimitat n(cm. prima limită minunată pe pagina „Limite de succesiune numerică”).
   Oricât de ciudat ar părea, logaritmii naturali s-au dovedit a fi foarte convenabil atunci când se efectuează diferite tipuri de operații legate de analiza funcțiilor. Calcularea logaritmilor la bază e realizat mult mai repede decât din orice alt motiv.

• De ce este nevoie astăzi pentru a adopta un copil în Rusia? Adopția în Rusia, pe lângă o decizie personală responsabilă, implică o serie de proceduri de verificare de stat a candidaților. Selecția riguroasă în etapa pregătitoare contribuie la mai multe […]
• Informații gratuite despre TIN sau OGRN din registrul fiscal din toată Rusia - online Pe Portalul Serviciilor Fiscale Unificate, informații despre înregistrarea de stat a persoanelor juridice, antreprenorilor individuali, […]
• Pedeapsa pentru conducere fara acte (permis de conducere, asigurare, STS) Uneori, din cauza uitarii, conducatorii auto se urca la volan fara permis si primesc amenda pentru conducere fara acte. Dorim să vă reamintim că un pasionat de mașini trebuie să aibă […]
• Flori pentru barbati. Ce flori poti da unui barbat? Ce flori poti da unui barbat? Nu sunt multe flori „masculin”, dar sunt unele care sunt date bărbaților. O mică listă de flori în fața ta: Crizanteme. Trandafiri. Garoafe. […]
• Un memoriu intern este o formă specială de document care este utilizată în mediul intern al unei întreprinderi și servește la rezolvarea rapidă a problemelor curente de producție. De obicei, acest document este întocmit cu scopul de a introduce unele […]
• Când și cum să primiți partea finanțată a pensiei dvs. de la Sberbank? Sberbank este o bancă parteneră a fondului de pensii de stat. Pe baza acestui fapt, cetățenii care s-au înscris pentru o pensie finanțată ar putea transfera partea finanțată […]
• Alocații pentru copii în Ulyanovsk și regiunea Ulyanovsk în 2018 În plus, programele aprobate de legislația federală funcționează în toate regiunile. Să ne uităm la cine poate conta pe ce beneficii. Cum autoritățile regionale […]
• Îndrumări detaliate privind modul de întocmire a unei împuterniciri pentru a reprezenta interesele unei persoane în instanță Într-o cerere civilă sau arbitrală, într-o cauză administrativă sau penală, interesele atât ale reclamantului, cât și ale pârâtului pot fi reprezentate de un avocat: […]