Ajutor la Tele2, tarife, intrebari

ECUATII LINEARE SI INEGUALITATI I

§ 3 Funcţii liniare şi graficele acestora

Luați în considerare egalitatea

la = 2X + 1. (1)

Valoarea fiecărei litere X această egalitate pune în corespondență un sens foarte specific al scrisorii la . Dacă, de exemplu, X = 0, atunci la = 2 0 + 1 = 1; Dacă X = 10, atunci la = 2 10 + 1 = 21; la X = - 1 / 2 avem y = 2 (- 1 / 2) + 1 = 0 etc. Să trecem la o altă egalitate:

la = X 2 (2)

Fiecare valoare X această egalitate, ca și egalitatea (1), asociază o valoare bine definită la . Dacă, de exemplu, X = 2, atunci la = 4; la X = - 3 obținem la = 9 etc. Egalitățile (1) și (2) leagă două mărimi X Și la astfel încât fiecare valoare a unuia dintre ele ( X ) este pus în corespondență cu o valoare bine definită a unei alte mărimi ( la ).

Dacă fiecare valoare a cantităţii X corespunde unei valori foarte specifice la, atunci această valoare la numită funcţie de X. Magnitudinea X acesta se numește argumentul funcției la.

Astfel, formulele (1) și (2) definesc două funcții diferite ale argumentului X .

Funcția de argumentare X , având forma

y = ax + b , (3)

Unde A Și b - sunt numite unele numere date liniar. Un exemplu de funcție liniară poate fi oricare dintre funcțiile:

y = x + 2 (A = 1, b = 2);
la = - 10 (A = 0, b = - 10);
la = - 3X (A = - 3, b = 0);
la = 0 (a = b = 0).

După cum se știe din cursul de clasa a VIII-a, graficul funcției y = ax + b este o linie dreaptă. De aceea această funcție se numește liniară.

Să ne amintim cum să construim graficul unei funcții liniare y = ax + b .

1. Graficul unei funcții y = b . La A = 0 funcție liniară y = ax + b se pare ca y = b . Graficul său este o linie dreaptă paralelă cu axa X și axa de intersectare la la punctul de ordonata b . În figura 1 vedeți un grafic al funcției y = 2 ( b > 0), iar în Figura 2 este graficul funcției la = - 1 (b < 0).

Dacă nu numai A , dar de asemenea b este egal cu zero, apoi funcția y= ax+ b se pare ca la = 0. În acest caz, graficul său coincide cu axa X (Fig. 3.)

2. Graficul unei funcții y = ah . La b = 0 funcție liniară y = ax + b se pare ca y = ah .

Dacă A =/= 0, atunci graficul său este o linie dreaptă care trece prin origine și înclinată față de axă X la un unghi φ , a cărui tangentă este egală cu A (Fig. 4). Pentru a construi o linie dreaptă y = ah este suficient să găsiți oricare dintre punctele sale diferit de originea coordonatelor. Presupunând, de exemplu, în egalitate y = ah X = 1, obținem la = A . Prin urmare, punctul M cu coordonatele (1; A ) se află pe linia noastră dreaptă (Fig. 4). Acum trasând o dreaptă prin origine și punctul M, obținem linia dreaptă dorită y = ax .

În Figura 5, este trasată o linie dreaptă ca exemplu la = 2X (A > 0), iar în Figura 6 - drept y = - x (A < 0).

3. Graficul unei funcții y = ax + b .

Lăsa b > 0. Apoi linia dreaptă y = ax + b y = ah pe b unități în sus. Ca exemplu, Figura 7 arată construcția unei linii drepte la = X / 2 + 3.

Dacă b < 0, то прямая y = ax + b obţinut prin deplasarea paralelă a dreptei y = ah pe - b unități în jos. Ca exemplu, Figura 8 prezintă construcția unei linii drepte la = X / 2 - 3

Direct y = ax + b poate fi construit în alt mod.

Orice linie dreaptă este complet determinată de cele două puncte ale sale. Prin urmare, pentru a reprezenta un grafic al funcției y = ax + b Este suficient să găsiți oricare dintre punctele sale și apoi să trasați o linie dreaptă prin ele. Să explicăm acest lucru folosind exemplul funcției la = - 2X + 3.

La X = 0 la = 3, iar la X = 1 la = 1. Prin urmare, pe dreapta noastră se află două puncte: M cu coordonatele (0; 3) și N cu coordonatele (1; 1). Prin marcarea acestor puncte pe planul de coordonate și conectându-le cu o dreaptă (Fig. 9), obținem un grafic al funcției la = - 2X + 3.

În loc de punctele M și N, se pot lua, desigur, celelalte două puncte. De exemplu, ca valori X am putea alege nu 0 și 1, ca mai sus, ci - 1 și 2,5. Atunci pentru la am obține valorile 5 și respectiv - 2. În loc de punctele M și N, am avea punctele P cu coordonatele (- 1; 5) și Q cu coordonatele (2.5; - 2). Aceste două puncte, precum și punctele M și N, definesc complet linia dorită la = - 2X + 3.

Exerciții

15. Construiți grafice de funcții pe aceeași figură:

A) la = - 4; b) la = -2; V) la = 0; G) la = 2; d) la = 4.

Aceste grafice intersectează axele de coordonate? Dacă se intersectează, atunci indicați coordonatele punctelor de intersecție.

16. Construiți grafice de funcții pe aceeași figură:

A) la = X / 4; b) la = X / 2; V) la =X ; G) la = 2X ; d) la = 4X .

17. Construiți grafice de funcții pe aceeași figură:

A) la = - X / 4; b) la = - X / 2; V) la = - X ; G) la = - 2X ; d) la = - 4X .

Construiți grafice ale acestor funcții (Nr. 18-21) și determinați coordonatele punctelor de intersecție ale acestor grafice cu axele de coordonate.

18. la = 3+ X . 20. la = - 4 - X .

19. la = 2X - 2. 21. la = 0,5(1 - 3X ).

22. Reprezentați grafic o funcție

la = 2X - 4;

folosind acest grafic, află: a) la ce valori X y = 0;

b) la ce valori X valorile la negativ și în ce condiții - pozitiv;

c) la ce valori X cantități X Și la au aceleași semne;

d) la ce valori X cantități X Și la au semne diferite.

23. Scrieți ecuațiile dreptelor prezentate în figurile 10 și 11.

24. Care dintre legile fizice pe care le cunoașteți sunt descrise folosind funcții liniare?

25. Cum se grafică o funcție la = - (ax + b ), dacă este dat graficul funcției y = ax + b ?

Conceptul de funcție numerică. Metode pentru specificarea unei funcții. Proprietățile funcțiilor.

O funcție numerică este o funcție care acționează de la un spațiu numeric (set) la un alt spațiu numeric (set).

Trei modalități principale de a defini o funcție: analitică, tabelară și grafică.

1. Analitice.

Metoda de specificare a unei funcții folosind o formulă se numește analitică. Această metodă este cea principală din covoraș. analiză, dar în practică nu este convenabil.

2. Metodă tabelară de specificare a unei funcții.

O funcție poate fi specificată folosind un tabel care conține valorile argumentului și valorile funcției corespunzătoare ale acestora.

3. Metodă grafică de specificare a unei funcții.

Se spune că o funcție y=f(x) este dată grafic dacă graficul ei este construit. Această metodă de specificare a unei funcții face posibilă determinarea valorilor funcției doar aproximativ, deoarece construirea unui grafic și găsirea valorilor funcției pe acesta este asociată cu erori.

Proprietățile unei funcții care trebuie luate în considerare la construirea graficului acesteia:

1) Domeniul de definire a funcției.

Domeniul funcției, adică acele valori pe care le poate lua argumentul x al funcției F =y (x).

2) Intervale de funcții crescătoare și descrescătoare.

Funcția se numește crescător pe intervalul luat în considerare, dacă o valoare mai mare a argumentului corespunde unei valori mai mari a funcției y(x). Aceasta înseamnă că dacă două argumente arbitrare x 1 și x 2 sunt luate din intervalul luat în considerare și x 1 > x 2, atunci y(x 1) > y(x 2).

Funcția se numește descrescătoare pe intervalul luat în considerare, dacă o valoare mai mare a argumentului corespunde unei valori mai mici a funcției y(x). Aceasta înseamnă că dacă două argumente arbitrare x 1 și x 2 sunt luate din intervalul luat în considerare și x 1< х 2 , то у(х 1) < у(х 2).

3) Zerourile funcției.

Punctele în care funcția F = y (x) intersectează axa absciselor (se obțin prin rezolvarea ecuației y(x) = 0) se numesc zerouri ale funcției.

4) Funcții pare și impare.

Funcția se numește par, dacă pentru toate valorile argumentului din domeniu

y(-x) = y(x).

Graficul unei funcții pare este simetric față de ordonată.

Funcția se numește impar, dacă pentru toate valorile argumentului din domeniul definiției

y(-x) = -y(x).

Graficul unei funcții pare este simetric față de origine.

Multe funcții nu sunt nici pare, nici impare.

5) Periodicitatea funcției.

Funcția se numește periodică, dacă există un număr P astfel încât pentru toate valorile argumentului din domeniul definiției

y(x + P) = y(x).

Funcția liniară, proprietățile și graficul acesteia.

O funcție liniară este o funcție a formei y = kx + b, definit pe mulțimea tuturor numerelor reale.

k– pantă (număr real)

b– termen inactiv (număr real)

X- variabila independenta.

· În cazul special, dacă k = 0, se obține o funcție constantă y = b, al cărei grafic este o dreaptă paralelă cu axa Ox care trece prin punctul cu coordonatele (0; b).

· Dacă b = 0, atunci obținem funcția y = kx, care este proporționalitate directă.

o Sensul geometric al coeficientului b este lungimea segmentului pe care linia dreaptă o taie de-a lungul axei Oy, numărând de la origine.

o Sensul geometric al coeficientului k este unghiul de înclinare al dreptei față de direcția pozitivă a axei Ox, calculat în sens invers acelor de ceasornic.

Proprietățile unei funcții liniare:

1) Domeniul de definire al unei funcții liniare este întreaga axă reală;

2) Dacă k ≠ 0, atunci domeniul de valori al funcției liniare este întreaga axă reală.

Dacă k = 0, atunci domeniul de valori al funcției liniare constă din numărul b;

3) Egalitatea și imparitatea unei funcții liniare depind de valorile coeficienților k și b.

a) b ≠ 0, k = 0, prin urmare, y = b – par;

b) b = 0, k ≠ 0, deci y = kx – impar;

c) b ≠ 0, k ≠ 0, prin urmare y = kx + b este o funcție de formă generală;

d) b = 0, k = 0, prin urmare y = 0 este atât o funcție pară, cât și o funcție impară.

4) O funcție liniară nu are proprietatea de periodicitate;

5) Puncte de intersecție cu axele de coordonate:

Ox: y = kx + b = 0, x = -b/k, prin urmare (-b/k; 0) este punctul de intersecție cu axa x.

Oy: y = 0k + b = b, prin urmare (0; b) este punctul de intersecție cu ordonata.

Cometariu. Dacă b = 0 și k = 0, atunci funcția y = 0 dispare pentru orice valoare a variabilei x. Dacă b ≠ 0 și k = 0, atunci funcția y = b nu dispare pentru nicio valoare a variabilei x.

6) Intervalele de semn constant depind de coeficientul k.

a) k > 0; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k.

y = kx + b – pozitiv la x din (-b/k; +∞),

y = kx + b – negativ pentru x din (-∞; -b/k).

b)k< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.

y = kx + b – pozitiv la x din (-∞; -b/k),

y = kx + b – negativ pentru x din (-b/k; +∞).

c) k = 0, b > 0; y = kx + b este pozitiv în întregul domeniu de definiție,

k = 0, b< 0; y = kx + b отрицательна на всей области определения.

7) Intervalele de monotonitate ale unei funcţii liniare depind de coeficientul k.

k > 0, prin urmare y = kx + b crește pe întregul domeniu de definiție,

k< 0, следовательно y = kx + b убывает на всей области определения.

11. Funcția y = ax 2 + bx + c, proprietățile și graficul acesteia.

Funcția y = ax 2 + bx + c (a, b, c sunt constante, a ≠ 0) se numește pătraticăÎn cel mai simplu caz, y = ax 2 (b = c = 0) graficul este o linie curbă care trece prin origine. Curba care servește drept grafic al funcției y = ax 2 este o parabolă. Fiecare parabolă are o axă de simetrie numită axa parabolei. Se numește punctul O al intersecției unei parabole cu axa ei vârful parabolei.

Graficul poate fi construit după următoarea schemă: 1) Aflați coordonatele vârfului parabolei x 0 = -b/2a; y 0 = y(x 0). 2) Construim mai multe puncte care aparțin parabolei; atunci când construim, putem folosi simetriile parabolei în raport cu dreapta x = -b/2a. 3) Conectați punctele indicate cu o linie netedă. Exemplu. Reprezentați grafic funcția b = x 2 + 2x - 3. Soluții. Graficul funcției este o parabolă, ale cărei ramuri sunt îndreptate în sus. Abscisa vârfului parabolei x 0 = 2/(2 ∙1) = -1, ordonatele sale y(-1) = (1) 2 + 2(-1) - 3 = -4. Deci, vârful parabolei este punctul (-1; -4). Să alcătuim un tabel de valori pentru mai multe puncte care sunt situate în dreapta axei de simetrie a parabolei - dreaptă x = -1. Proprietățile funcției.

Definiția unei funcții liniare

Să introducem definiția unei funcții liniare

Definiție

O funcție de forma $y=kx+b$, unde $k$ este diferit de zero, se numește funcție liniară.

Graficul unei funcții liniare este o linie dreaptă. Numărul $k$ se numește panta dreptei.

Când $b=0$ funcția liniară se numește funcție de proporționalitate directă $y=kx$.

Luați în considerare figura 1.

Orez. 1. Sensul geometric al pantei unei drepte

Luați în considerare triunghiul ABC. Vedem că $ВС=kx_0+b$. Să găsim punctul de intersecție al dreptei $y=kx+b$ cu axa $Ox$:

\ \

Deci $AC=x_0+\frac(b)(k)$. Să găsim raportul dintre aceste laturi:

\[\frac(BC)(AC)=\frac(kx_0+b)(x_0+\frac(b)(k))=\frac(k(kx_0+b))((kx)_0+b)=k \]

Pe de altă parte, $\frac(BC)(AC)=tg\angle A$.

Astfel, putem trage următoarea concluzie:

Concluzie

Sensul geometric al coeficientului $k$. Coeficientul unghiular al dreptei $k$ este egal cu tangentei unghiului de înclinare a acestei drepte la axa $Ox$.

Studiul funcției liniare $f\left(x\right)=kx+b$ și graficul acesteia

Mai întâi, luați în considerare funcția $f\left(x\right)=kx+b$, unde $k > 0$.

1. $f"\left(x\right)=(\left(kx+b\right))"=k>0$. În consecință, această funcție crește pe întregul domeniu de definiție. Nu există puncte extreme.
2. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=-\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=+\infty $
3. Grafic (Fig. 2).

Orez. 2. Grafice ale funcției $y=kx+b$, pentru $k > 0$.

Acum luați în considerare funcția $f\left(x\right)=kx$, unde $k

1. Domeniul definiției sunt toate numerele.
2. Gama de valori este toate numerele.
3. $f\stanga(-x\dreapta)=-kx+b$. Funcția nu este nici pară, nici impară.
4. Pentru $x=0,f\left(0\right)=b$. Când $y=0.0=kx+b,\ x=-\frac(b)(k)$.

Puncte de intersecție cu axe de coordonate: $\left(-\frac(b)(k),0\right)$ și $\left(0,\b\right)$

1. $f"\left(x\right)=(\left(kx\right))"=k
2. $f^("")\left(x\right)=k"=0$. Prin urmare, funcția nu are puncte de inflexiune.
3. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=+\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=-\infty $
4. Grafic (Fig. 3).

Menținerea confidențialității dvs. este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să examinați practicile noastre de confidențialitate și să ne comunicați dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica sau contacta o anumită persoană.

Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.

Mai jos sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și cum putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

• Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele dvs., numărul de telefon, adresa de e-mail etc.

Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:

• Informațiile personale pe care le colectăm ne permit să vă contactăm cu oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
• Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a trimite notificări și comunicări importante.
• De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi efectuarea de audituri, analize de date și diverse cercetări pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
• Dacă participați la o tragere la sorți, la un concurs sau la o promoție similară, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.

Dezvăluirea informațiilor către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.

Excepții:

• Dacă este necesar - în conformitate cu legea, procedura judiciară, în cadrul procedurilor judiciare și/sau pe baza solicitărilor publice sau a solicitărilor din partea autorităților guvernamentale de pe teritoriul Federației Ruse - de a vă dezvălui informațiile personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată pentru securitate, aplicarea legii sau alte scopuri de importanță publică.
• În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, este posibil să transferăm informațiile personale pe care le colectăm terței părți succesoare aplicabile.

Protecția informațiilor personale

Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.

Respectarea vieții private la nivelul companiei

Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri standarde de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.

Instrucțiuni

Există mai multe moduri de a rezolva funcții liniare. Să le enumerăm pe cele mai multe dintre ele. Metoda cea mai des folosită este metoda de substituție pas cu pas. Într-una dintre ecuații este necesar să se exprime o variabilă în termenii unei alte și să o înlocuiască într-o altă ecuație. Și așa mai departe până când într-una dintre ecuații rămâne o singură variabilă. Pentru a o rezolva, trebuie să lăsați o variabilă pe o parte a semnului egal (poate fi cu un coeficient), iar pe cealaltă parte a semnului egal toate datele numerice, fără a uita să schimbați semnul numărului în cel opus la transfer. După ce ați calculat o variabilă, înlocuiți-o în alte expresii și continuați calculele folosind același algoritm.

De exemplu, să luăm un sistem liniar funcții, constând din două ecuații:
2x+y-7=0;
x-y-2=0.
Este convenabil să exprimăm x din a doua ecuație:
x=y+2.
După cum puteți vedea, la transferul de la o parte a egalității la alta, semnul lui y și variabilele s-au schimbat, așa cum a fost descris mai sus.
Înlocuim expresia rezultată în prima ecuație, excluzând astfel variabila x din ea:
2*(y+2)+y-7=0.
Extinderea parantezelor:
2y+4+y-7=0.
Adunăm variabile și numere și le adunăm:
3у-3=0.
O mutăm în partea dreaptă a ecuației și schimbăm semnul:
3y=3.
Împărțiți la coeficientul total, obținem:
y=1.
Inlocuim valoarea rezultata in prima expresie:
x=y+2.
Obtinem x=3.

O altă modalitate de a le rezolva pe cele similare este să adăugați două ecuații termen cu termen pentru a obține una nouă cu o variabilă. Ecuația poate fi înmulțită cu un anumit coeficient, principalul lucru este să înmulțiți fiecare membru al ecuației și să nu uitați, apoi să adăugați sau să scădeți o ecuație din. Această metodă este foarte economică atunci când găsiți un liniar funcții.

Să luăm sistemul deja familiar de ecuații cu două variabile:
2x+y-7=0;
x-y-2=0.
Este ușor de observat că coeficientul variabilei y este identic în prima și a doua ecuație și diferă doar în semn. Aceasta înseamnă că atunci când adunăm aceste două ecuații termen cu termen, obținem una nouă, dar cu o singură variabilă.
2x+x+y-y-7-2=0;
3x-9=0.
Transferăm datele numerice în partea dreaptă a ecuației, schimbând semnul:
3x=9.
Găsim un factor comun egal cu coeficientul de la x și împărțim ambele părți ale ecuației cu acesta:
x=3.
Rezultatul poate fi înlocuit în oricare dintre ecuațiile sistemului pentru a calcula y:
x-y-2=0;
3-у-2=0;
-y+1=0;
-y=-1;
y=1.

De asemenea, puteți calcula datele creând un grafic precis. Pentru a face acest lucru, trebuie să găsiți zerouri funcții. Dacă una dintre variabile este egală cu zero, atunci o astfel de funcție se numește omogenă. După ce am rezolvat astfel de ecuații, veți obține două puncte necesare și suficiente pentru a construi o linie dreaptă - unul dintre ele va fi situat pe axa x, celălalt pe axa y.

Luăm orice ecuație a sistemului și înlocuim valoarea x=0 acolo:
2*0+y-7=0;
Obtinem y=7. Astfel, primul punct, să-l numim A, va avea coordonatele A(0;7).
Pentru a calcula un punct situat pe axa x, este convenabil să înlocuiți valoarea y=0 în a doua ecuație a sistemului:
x-0-2=0;
x=2.
Al doilea punct (B) va avea coordonatele B (2;0).
Marcam punctele obținute pe grila de coordonate și tragem o linie dreaptă prin ele. Dacă îl reprezentați destul de precis, alte valori ale lui x și y pot fi calculate direct din el.