Ajutor la Tele2, tarife, intrebari

Continuăm să studiem logaritmii. În acest articol vom vorbi despre calcularea logaritmilor, acest proces se numește logaritm. Mai întâi vom înțelege calculul logaritmilor prin definiție. În continuare, să vedem cum sunt găsite valorile logaritmilor folosind proprietățile lor. După aceasta, ne vom concentra pe calcularea logaritmilor prin valorile specificate inițial ale altor logaritmi. În cele din urmă, să învățăm cum să folosim tabelele logaritmice. Întreaga teorie este furnizată cu exemple cu soluții detaliate.

Navigare în pagină.

Calcularea logaritmilor prin definiție

În cele mai simple cazuri, este posibil să efectuați destul de repede și ușor găsirea logaritmului prin definiție. Să aruncăm o privire mai atentă asupra modului în care se întâmplă acest proces.

Esența sa este de a reprezenta numărul b sub forma a c, din care, prin definiția unui logaritm, numărul c este valoarea logaritmului. Adică, prin definiție, următorul lanț de egalități corespunde găsirii logaritmului: log a b=log a a c =c.

Deci, calcularea unui logaritm prin definiție se reduce la găsirea unui număr c astfel încât a c = b, iar numărul c însuși este valoarea dorită a logaritmului.

Ținând cont de informațiile din paragrafele anterioare, atunci când numărul de sub semnul logaritmului este dat de o anumită putere a bazei logaritmului, puteți indica imediat cu ce este egal logaritmul - este egal cu exponentul. Să arătăm soluții la exemple.

Exemplu.

Găsiți log 2 2 −3 și, de asemenea, calculați logaritmul natural al numărului e 5,3.

Soluţie.

Definiția logaritmului ne permite să spunem imediat că log 2 2 −3 =−3. Într-adevăr, numărul de sub semnul logaritmului este egal cu baza 2 cu puterea -3.

În mod similar, găsim al doilea logaritm: lne 5.3 =5.3.

Răspuns:

log 2 2 −3 =−3 și lne 5,3 =5,3.

Dacă numărul b sub semnul logaritmului nu este specificat ca putere a bazei logaritmului, atunci trebuie să vă uitați cu atenție pentru a vedea dacă este posibil să veniți cu o reprezentare a numărului b sub forma a c . Adesea, această reprezentare este destul de evidentă, mai ales când numărul de sub semnul logaritmului este egal cu baza cu puterea lui 1, sau 2, sau 3, ...

Exemplu.

Calculați logaritmii log 5 25 și .

Soluţie.

Este ușor de observat că 25=5 2, aceasta vă permite să calculați primul logaritm: log 5 25=log 5 5 2 =2.

Să trecem la calculul celui de-al doilea logaritm. Numărul poate fi reprezentat ca o putere a lui 7: (vezi dacă este necesar). Prin urmare, .

Să rescriem al treilea logaritm în forma următoare. Acum poți vedea asta , din care tragem concluzia că . Prin urmare, prin definiția logaritmului .

Pe scurt, soluția ar putea fi scrisă astfel: .

Răspuns:

log 5 25=2 , Și .

Când există un număr natural suficient de mare sub semnul logaritmului, nu strica să-l factorizezi în factori primi. Adesea ajută să reprezentați un astfel de număr ca o putere a bazei logaritmului și, prin urmare, să calculați acest logaritm prin definiție.

Exemplu.

Aflați valoarea logaritmului.

Soluţie.

Unele proprietăți ale logaritmilor vă permit să specificați imediat valoarea logaritmilor. Aceste proprietăți includ proprietatea logaritmului lui unu și proprietatea logaritmului unui număr egal cu baza: log 1 1=log a a 0 =0 și log a a=log a a 1 =1. Adică, atunci când sub semnul logaritmului există un număr 1 sau un număr a egal cu baza logaritmului, atunci în aceste cazuri logaritmii sunt egali cu 0 și, respectiv, 1.

Exemplu.

Cu ce ​​sunt egali logaritmii și log10?

Soluţie.

Deoarece , atunci din definiția logaritmului rezultă .

În al doilea exemplu, numărul 10 de sub semnul logaritmului coincide cu baza sa, deci logaritmul zecimal de zece este egal cu unu, adică lg10=lg10 1 =1.

Răspuns:

ȘI lg10=1.

Rețineți că calculul logaritmilor prin definiție (pe care am discutat în paragraful anterior) implică utilizarea logaritmului de egalitate a a p =p, care este una dintre proprietățile logaritmilor.

În practică, când un număr sub semnul logaritmului și baza logaritmului sunt ușor de reprezentat ca o putere a unui anumit număr, este foarte convenabil să folosiți formula , care corespunde uneia dintre proprietățile logaritmilor. Să ne uităm la un exemplu de găsire a unui logaritm care ilustrează utilizarea acestei formule.

Exemplu.

Calculați logaritmul.

Soluţie.

Răspuns:

.

Proprietățile logaritmilor nemenționați mai sus sunt, de asemenea, folosite în calcule, dar despre asta vom vorbi în paragrafele următoare.

Găsirea logaritmilor prin alți logaritmi cunoscuți

Informațiile din acest paragraf continuă subiectul utilizării proprietăților logaritmilor la calcularea acestora. Dar aici principala diferență este că proprietățile logaritmilor sunt folosite pentru a exprima logaritmul original în termenii unui alt logaritm, a cărui valoare este cunoscută. Să dăm un exemplu pentru clarificare. Să presupunem că știm că log 2 3≈1.584963, atunci putem găsi, de exemplu, log 2 6 făcând o mică transformare folosind proprietățile logaritmului: log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

În exemplul de mai sus, a fost suficient să folosim proprietatea logaritmului unui produs. Cu toate acestea, mult mai des este necesar să se folosească un arsenal mai larg de proprietăți ale logaritmilor pentru a calcula logaritmul original prin cei date.

Exemplu.

Calculați logaritmul de la 27 la baza 60 dacă știți că log 60 2=a și log 60 5=b.

Soluţie.

Deci trebuie să găsim log 60 27 . Este ușor de observat că 27 = 3 3 , iar logaritmul inițial, datorită proprietății logaritmului puterii, poate fi rescris ca 3·log 60 3 .

Acum să vedem cum să exprimăm log 60 3 în termeni de logaritmi cunoscuți. Proprietatea logaritmului unui număr egal cu baza ne permite să scriem logaritmul de egalitate 60 60=1. Pe de altă parte, log 60 60=log60(2 2 3 5)= log 60 2 2 +log 60 3+log 60 5= 2·log 60 2+log 60 3+log 60 5 . Prin urmare, 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. Prin urmare, log 60 3=1−2·log 60 2−log 60 5=1−2·a−b.

În cele din urmă, calculăm logaritmul original: log 60 27=3 log 60 3= 3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

Răspuns:

log 60 27=3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

Separat, merită menționat sensul formulei de tranziție la o nouă bază a logaritmului formei . Vă permite să treceți de la logaritmi cu orice bază la logaritmi cu o anumită bază, ale căror valori sunt cunoscute sau este posibil să le găsiți. De obicei, din logaritmul original, folosind formula de tranziție, se trec la logaritmi într-una dintre bazele 2, e sau 10, deoarece pentru aceste baze există tabele de logaritmi care permit ca valorile lor să fie calculate cu un anumit grad de precizie. În paragraful următor vom arăta cum se face acest lucru.

Tabelele logaritmice și utilizările lor

Pentru calcularea aproximativă a valorilor logaritmului pot fi utilizate tabele logaritmice. Cel mai frecvent utilizat tabel logaritm de bază 2, tabel logaritm natural și tabel logaritm zecimal. Când lucrați în sistemul numeric zecimal, este convenabil să utilizați un tabel de logaritmi bazat pe baza zece. Cu ajutorul lui vom învăța să găsim valorile logaritmilor.

Tabelul prezentat vă permite să găsiți valorile logaritmilor zecimali ale numerelor de la 1.000 la 9.999 (cu trei zecimale) cu o precizie de o zecemiime. Vom analiza principiul găsirii valorii unui logaritm folosind un tabel de logaritmi zecimali folosind un exemplu specific - este mai clar în acest fel. Să găsim log1.256.

În coloana din stânga a tabelului de logaritmi zecimal găsim primele două cifre ale numărului 1,256, adică găsim 1,2 (acest număr este încercuit cu albastru pentru claritate). A treia cifră a numărului 1.256 (cifra 5) se găsește în prima sau ultima linie din stânga liniei duble (acest număr este încercuit cu roșu). A patra cifră a numărului original 1.256 (cifra 6) se găsește în prima sau ultima linie din dreapta liniei duble (acest număr este încercuit cu o linie verde). Acum găsim numerele în celulele tabelului de logaritm la intersecția rândului marcat și coloanelor marcate (aceste numere sunt evidențiate în portocaliu). Suma numerelor marcate dă valoarea dorită a logaritmului zecimal cu precizie la a patra zecimală, adică log1,236≈0,0969+0,0021=0,0990.

Este posibil, folosind tabelul de mai sus, să găsiți valorile logaritmilor zecimali ale numerelor care au mai mult de trei cifre după virgulă zecimală, precum și ale celor care depășesc intervalul de la 1 la 9,999? Da, poti. Să arătăm cum se face acest lucru cu un exemplu.

Să calculăm lg102.76332. Mai întâi trebuie să scrieți număr în formă standard: 102,76332=1,0276332·10 2. După aceasta, mantisa ar trebui să fie rotunjită la a treia zecimală, avem 1,0276332 10 2 ≈1,028 10 2, în timp ce logaritmul zecimal inițial este aproximativ egal cu logaritmul numărului rezultat, adică luăm log102,76332≈lg1,028·10 2. Acum aplicăm proprietățile logaritmului: lg1.028·10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. În final, găsim valoarea logaritmului lg1.028 din tabelul logaritmilor zecimali lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012. Ca rezultat, întregul proces de calcul al logaritmului arată astfel: log102,76332=log1,0276332 10 2 ≈lg1,028 10 2 = log1,028+lg10 2 =log1,028+2≈0,012+2=2,012.

În concluzie, este de remarcat faptul că folosind un tabel de logaritmi zecimali puteți calcula valoarea aproximativă a oricărui logaritm. Pentru a face acest lucru, este suficient să utilizați formula de tranziție pentru a merge la logaritmi zecimali, pentru a găsi valorile acestora în tabel și pentru a efectua calculele rămase.

De exemplu, să calculăm log 2 3 . Conform formulei de tranziție la o nouă bază a logaritmului, avem . Din tabelul logaritmilor zecimali găsim log3≈0,4771 și log2≈0,3010. Prin urmare, .

Bibliografie.

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. şi altele.Algebra şi începuturile analizei: Manual pentru clasele 10 - 11 ale instituţiilor de învăţământ general.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematică (un manual pentru cei care intră în școlile tehnice).

Ce este un logaritm?

Atenţie!
Există suplimentare
materiale din secțiunea specială 555.
Pentru cei care sunt foarte „nu foarte...”
Și pentru cei care „foarte mult...”)

Ce este un logaritm? Cum se rezolvă logaritmii? Aceste întrebări îi încurcă pe mulți absolvenți. În mod tradițional, subiectul logaritmilor este considerat complex, de neînțeles și înfricoșător. În special ecuații cu logaritmi.

Acest lucru nu este absolut adevărat. Absolut! Nu mă crezi? Amenda. Acum, în doar 10 - 20 de minute:

1. Vei intelege ce este un logaritm.

2. Învață să rezolvi o întreagă clasă de ecuații exponențiale. Chiar dacă nu ai auzit nimic despre ei.

3. Învață să calculezi logaritmi simpli.

Mai mult, pentru asta va trebui doar să cunoști tabla înmulțirii și cum să ridici un număr la o putere...

Simt că ai îndoieli... Ei bine, bine, marchează timpul! Merge!

Mai întâi, rezolvă această ecuație în capul tău:

Daca va place acest site...

Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)

Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Să învățăm - cu interes!)

Vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.

Logaritmul unui număr pozitiv b la baza a (a>0, a nu este egal cu 1) este un număr c astfel încât a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)       

Rețineți că logaritmul unui număr nepozitiv este nedefinit. În plus, baza logaritmului trebuie să fie un număr pozitiv care nu este egal cu 1. De exemplu, dacă pătratăm -2, obținem numărul 4, dar asta nu înseamnă că logaritmul la baza -2 din 4 este egal cu 2.

Identitatea logaritmică de bază

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)

Este important ca domeniul de aplicare al definiției părților din dreapta și din stânga acestei formule să fie diferit. Partea stângă este definită numai pentru b>0, a>0 și a ≠ 1. Partea dreaptă este definită pentru orice b și nu depinde deloc de a. Astfel, aplicarea „identității” logaritmice de bază la rezolvarea ecuațiilor și inegalităților poate duce la o modificare a DO.

Două consecințe evidente ale definiției logaritmului

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)
log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)

Într-adevăr, când ridicăm numărul a la prima putere, obținem același număr, iar când îl ridicăm la puterea zero, obținem unul.

Logaritmul produsului și logaritmul coeficientului

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)

Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)

Aș dori să îi avertizez pe școlari să nu folosească fără gânduri aceste formule atunci când rezolvă ecuații și inegalități logaritmice. Când le folosiți „de la stânga la dreapta”, ODZ se îngustează, iar când se trece de la suma sau diferența de logaritmi la logaritmul produsului sau al coeficientului, ODZ se extinde.

Într-adevăr, expresia log a (f (x) g (x)) este definită în două cazuri: când ambele funcții sunt strict pozitive sau când f(x) și g(x) sunt ambele mai mici decât zero.

Transformând această expresie în suma log a f (x) + log a g (x), suntem forțați să ne limităm doar la cazul în care f(x)>0 și g(x)>0. Există o restrângere a intervalului de valori acceptabile, iar acest lucru este categoric inacceptabil, deoarece poate duce la pierderea soluțiilor. O problemă similară există pentru formula (6).

Gradul poate fi scos din semnul logaritmului

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)

Și din nou aș dori să fac apel la acuratețe. Luați în considerare următorul exemplu:

Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)

Partea stângă a egalității este în mod evident definită pentru toate valorile lui f(x), cu excepția zero. Partea dreaptă este doar pentru f(x)>0! Luând gradul din logaritm, restrângem din nou ODZ. Procedura inversă duce la o extindere a intervalului de valori acceptabile. Toate aceste observații se aplică nu numai puterii 2, ci și oricărei puteri egale.

Formula pentru trecerea la o nouă fundație

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)

Acel caz rar în care ODZ nu se schimbă în timpul transformării. Dacă ați ales baza c cu înțelepciune (pozitivă și nu egală cu 1), formula pentru trecerea la o nouă bază este complet sigură.

Dacă alegem numărul b ca nouă bază c, obținem un caz special important de formula (8):

Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)

Câteva exemple simple cu logaritmi

Exemplul 1. Calculați: log2 + log50.
Soluţie. log2 + log50 = log100 = 2. Am folosit formula sumei logaritmilor (5) și definiția logaritmului zecimal.

Exemplul 2. Calculați: lg125/lg5.
Soluţie. log125/log5 = log 5 125 = 3. Am folosit formula pentru trecerea la o nouă bază (8).

Tabel de formule legate de logaritmi

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1)

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1)

log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1)

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1)

log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1)

Accentul acestui articol este logaritm. Aici vom da o definiție a unui logaritm, vom arăta notația acceptată, vom da exemple de logaritmi și vom vorbi despre logaritmi naturali și zecimali. După aceasta vom lua în considerare identitatea logaritmică de bază.

Navigare în pagină.

Definiţia logarithm

Conceptul de logaritm apare atunci când rezolvați o problemă într-un anumit sens invers, atunci când trebuie să găsiți un exponent dintr-o valoare cunoscută a exponentului și o bază cunoscută.

Dar destule prefațe, este timpul să răspundem la întrebarea „ce este un logaritm”? Să dăm definiția corespunzătoare.

Definiție.

Logaritmul lui b la baza a, unde a>0, a≠1 și b>0 este exponentul la care trebuie să creșteți numărul a pentru a obține b ca rezultat.

În această etapă, observăm că cuvântul rostit „logaritm” ar trebui să ridice imediat două întrebări ulterioare: „ce număr” și „pe ce bază”. Cu alte cuvinte, pur și simplu nu există logaritm, ci doar logaritmul unui număr la o anumită bază.

Să intrăm imediat notație logaritmică: logaritmul unui număr b la baza a este de obicei notat ca log a b. Logaritmul unui număr b în baza e și logaritmul în baza 10 au propriile denumiri speciale lnb și, respectiv, logb, adică nu scriu log e b, ci lnb și nu log 10 b, ci lgb.

Acum putem da: .
Și înregistrările nu au sens, deoarece în primul dintre ele există un număr negativ sub semnul logaritmului, în al doilea există un număr negativ în bază, iar în al treilea există un număr negativ sub semnul logaritmului și o unitate în baza.

Acum să vorbim despre reguli de citire a logaritmilor. Log a b este citit ca „logaritmul lui b la baza a”. De exemplu, log 2 3 este logaritmul de trei la baza 2 și este logaritmul de două virgulă două treimi la rădăcina pătrată de bază a lui cinci. Se numește logaritmul la baza e logaritmul natural, iar notația lnb citește „logaritmul natural al lui b”. De exemplu, ln7 este logaritmul natural al lui șapte și îl vom citi ca logaritmul natural al lui pi. Logaritmul de bază 10 are, de asemenea, un nume special - logaritm zecimal, iar lgb este citit ca „logaritm zecimal al lui b”. De exemplu, lg1 este logaritmul zecimal de unu, iar lg2.75 este logaritmul zecimal de două virgulă șapte cinci sutimi.

Merită să ne oprim separat asupra condițiilor a>0, a≠1 și b>0, în care este dată definiția logaritmului. Să explicăm de unde provin aceste restricții. O egalitate de formă numită , care decurge direct din definiția logaritmului dată mai sus, ne va ajuta să facem acest lucru.

Să începem cu a≠1. Deoarece unu la orice putere este egal cu unu, egalitatea poate fi adevărată numai când b=1, dar log 1 1 poate fi orice număr real. Pentru a evita această ambiguitate, se presupune a≠1.

Să justificăm oportunitatea condiției a>0. Cu a=0, prin definiția unui logaritm, am avea egalitate, care este posibilă doar cu b=0. Dar atunci log 0 0 poate fi orice număr real diferit de zero, deoarece de la zero la orice putere diferită de zero este zero. Condiția a≠0 ne permite să evităm această ambiguitate. Și când a<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .

În sfârșit, din inegalitatea a>0 rezultă condiția b>0, deoarece , iar valoarea unei puteri cu o bază pozitivă a este întotdeauna pozitivă.

Pentru a încheia acest punct, să presupunem că definiția declarată a logaritmului vă permite să indicați imediat valoarea logaritmului atunci când numărul de sub semnul logaritmului este o anumită putere a bazei. Într-adevăr, definiția unui logaritm ne permite să afirmăm că dacă b=a p, atunci logaritmul numărului b la baza a este egal cu p. Adică, logul de egalitate a a p =p este adevărat. De exemplu, știm că 2 3 =8, atunci log 2 8=3. Vom vorbi mai multe despre asta în articol.

Menținerea confidențialității dvs. este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să examinați practicile noastre de confidențialitate și să ne comunicați dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica sau contacta o anumită persoană.

Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.

Mai jos sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și cum putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

• Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele, numărul de telefon, adresa de e-mail etc.

Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:

• Informațiile personale pe care le colectăm ne permit să vă contactăm cu oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
• Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a trimite notificări și comunicări importante.
• De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi efectuarea de audituri, analize de date și diverse cercetări pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
• Dacă participați la o tragere la sorți, la un concurs sau la o promoție similară, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.

Dezvăluirea informațiilor către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.

Excepții:

• Dacă este necesar - în conformitate cu legea, procedura judiciară, în cadrul procedurilor judiciare și/sau pe baza solicitărilor publice sau a solicitărilor din partea autorităților guvernamentale de pe teritoriul Federației Ruse - de a vă dezvălui informațiile personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată pentru securitate, aplicarea legii sau alte scopuri de importanță publică.
• În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, este posibil să transferăm informațiile personale pe care le colectăm terței părți succesoare aplicabile.

Protecția informațiilor personale

Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.

Respectarea vieții private la nivelul companiei

Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt securizate, comunicăm angajaților noștri standarde de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.