Creșterea, descreșterea și extremele unei funcții

Găsirea intervalelor de creștere, scădere și extreme ale unei funcții este atât o sarcină independentă, cât și o parte esențială a altor sarcini, în special, studiu complet al funcției. Informațiile inițiale despre creșterea, scăderea și extremele funcției sunt date în capitol teoretic despre derivată, pe care îl recomand cu căldură pentru studiu preliminar (sau repetare)– și pentru motivul că următorul material se bazează pe foarte în esență derivată, fiind o continuare armonioasă a acestui articol. Deși, dacă timpul este scurt, atunci este posibilă și o practică pur formală a exemplelor din lecția de astăzi.

Și astăzi există un spirit de unanimitate rară în aer și pot simți direct că toți cei prezenți arde de dorință învață să explorezi o funcție folosind derivata ei. Prin urmare, terminologia rezonabilă, bună, eternă apare imediat pe ecranele monitorului dumneavoastră.

Pentru ce? Unul dintre motive este cel mai practic: astfel încât să fie clar ce ți se cere în general într-o anumită sarcină!

Monotonitatea funcției. Punctele extreme și extremele unei funcții

Să luăm în considerare o funcție. Pentru a spune simplu, presupunem că ea continuu pe întreaga linie numerică:

Pentru orice eventualitate, să scăpăm imediat de eventualele iluzii, mai ales pentru acei cititori care s-au familiarizat recent cu intervale de semn constant ale funcției. Acum noi NU SUNT INTERESAT, cum este situat graficul funcției în raport cu axa (deasupra, dedesubt, unde se intersectează axa). Pentru a fi convingător, ștergeți mental axele și lăsați un grafic. Pentru că acolo este interesul.

Funcţie crește pe un interval dacă pentru oricare două puncte ale acestui interval conectate prin relația , inegalitatea este adevărată. Adică, o valoare mai mare a argumentului corespunde unei valori mai mari a funcției, iar graficul său merge „de jos în sus”. Funcția demonstrativă crește pe interval.

La fel, funcția scade pe un interval dacă pentru oricare două puncte dintr-un interval dat, astfel încât , inegalitatea este adevărată. Adică, o valoare mai mare a argumentului corespunde unei valori mai mici a funcției, iar graficul său merge „de sus în jos”. Funcția noastră scade pe intervale .

Dacă o funcție crește sau scade pe un interval, atunci se numește strict monoton la acest interval. Ce este monotonia? Luați-o la propriu – monotonie.

De asemenea, puteți defini nedescrescătoare funcția (condiție relaxată în prima definiție) și necrescătoare funcția (condiție atenuată în a 2-a definiție). O funcție care nu descrește sau nu crește pe un interval se numește funcție monotonă pe un interval dat (monotonitatea strictă este un caz special de monotonitate „pur și simplu”).

Teoria are în vedere și alte abordări pentru determinarea creșterii/scăderii unei funcții, inclusiv pe semiintervale, segmente, dar pentru a nu vă turna ulei-ulei-ulei pe cap, vom fi de acord să operam cu intervale deschise cu definiții categorice. - acest lucru este mai clar și pentru rezolvarea multor probleme practice destul de mult.

Prin urmare, în articolele mele formularea „monotonitatea unei funcții” va fi aproape întotdeauna ascunsă intervale monotonie strictă(funcție strict crescătoare sau strict descrescătoare).

Vecinătatea unui punct. Cuvinte după care elevii fug oriunde pot și se ascund îngroziți în colțuri. ...Deși după postare Limitele Cauchy Probabil că nu se mai ascund, ci doar tremură puțin =) Nu vă faceți griji, acum nu vor exista dovezi ale teoremelor de analiză matematică - aveam nevoie de împrejurimi pentru a formula definițiile mai strict puncte extremum. Să ne amintim:

Vecinătatea unui punct se numește un interval care conține un punct dat și, pentru comoditate, se presupune adesea că intervalul este simetric. De exemplu, un punct și vecinătatea sa standard:

De fapt, definițiile:

Punctul se numește punct maxim strict, Dacă există cartierul ei, pentru toți valori ale căror, cu excepția punctului în sine, inegalitatea . În exemplul nostru specific, acesta este un punct.

Punctul se numește punct minim strict, Dacă există cartierul ei, pentru toți valori ale căror, cu excepția punctului în sine, inegalitatea . În desen există punctul „a”.

Notă : cerința simetriei vecinătății nu este deloc necesară. În plus, este important însuşi faptul existenţei cartier (fie mic sau microscopic) care satisface conditiile specificate

Punctele sunt numite puncte strict extremum sau pur și simplu puncte extremum funcții. Adică este un termen generalizat pentru puncte maxime și puncte minime.

Cum înțelegem cuvântul „extrem”? Da, la fel de direct ca monotonia. Puncte extreme de roller coaster.

Ca și în cazul monotonității, postulate libere există și sunt chiar mai frecvente în teorie (în care, desigur, se încadrează cazurile stricte luate în considerare!):

Punctul se numește punct maxim, Dacă existăîmprejurimile sale sunt astfel încât pentru toți
Punctul se numește punct minim, Dacă existăîmprejurimile sale sunt astfel încât pentru toți valorile acestui cartier, inegalitatea este valabilă.

Rețineți că, conform ultimelor două definiții, orice punct al unei funcții constante (sau o „secțiune plată” a unei funcții) este considerat atât un punct maxim, cât și un punct minim! Funcția, apropo, este atât necreștere, cât și nedescrescătoare, adică monotonă. Cu toate acestea, vom lăsa aceste considerații în seama teoreticienilor, deoarece în practică aproape întotdeauna contemplăm „dealurile” și „golurile” tradiționale (vezi desenul) cu un „rege al dealului” sau „prințesa mlaștinii” unic. Ca varietate, apare bacsis, direcționat în sus sau în jos, de exemplu, minimul funcției în punct.

Oh, și vorbind despre regalitate:
– se numește sensul maxim funcții;
– se numește sensul minim funcții.

Denumirea comună - extreme funcții.

Vă rog să aveți grijă la cuvintele voastre!

Puncte extreme– acestea sunt valori „X”.
Extreme– semnificații „joc”.

! Notă : uneori termenii enumerați se referă la punctele „X-Y” care se află direct pe GRAFUL funcției ÎNSEȘI.

Câte extreme poate avea o funcție?

Niciuna, 1, 2, 3, ... etc. catre infinit. De exemplu, sinusul are infinit de minime și maxime.

IMPORTANT! Termenul „maxim de funcție” nu identice termenul „valoarea maximă a unei funcții”. Este ușor de observat că valoarea este maximă doar într-un cartier local, iar în stânga sus sunt „tovarăși mai cool”. La fel, „minimul unei funcții” nu este același lucru cu „valoarea minimă a unei funcții”, iar în desen vedem că valoarea este minimă doar într-o anumită zonă. În acest sens, se mai numesc puncte extremum punctele extreme locale, iar extrema - extreme locale. Se plimbă și se plimbă prin apropiere și global fraţi. Deci, orice parabolă are la vârf minim global sau maxim global. În plus, nu voi face distincția între tipurile de extreme, iar explicația este exprimată mai mult în scopuri educaționale generale - adjectivele suplimentare „local”/„global” nu ar trebui să vă ia prin surprindere.

Să rezumăm scurta noastră excursie în teorie cu un test: ce înseamnă sarcina „găsește intervalele de monotonitate și punctele extreme ale funcției”?

Formularea vă încurajează să găsiți:

– intervale de funcție crescătoare/descrescătoare (nedescrescătoare, necrescătoare apare mult mai rar);

– puncte maxime și/sau minime (dacă există). Ei bine, pentru a evita eșecul, este mai bine să găsiți ei înșiși minimele/maximurile ;-)

Cum să determine toate acestea? Folosind funcția derivată!

Cum să găsiți intervale de creștere, scădere,
punctele extreme și extremele funcției?

Multe reguli, de fapt, sunt deja cunoscute și înțelese din lecție despre semnificația unui derivat.

Derivată tangentă aduce vestea veselă că funcția crește pe tot parcursul domeniul definirii.

Cu cotangentă și derivatul său situatia este exact inversa.

Arcsinusul crește pe interval - derivata aici este pozitivă: .
Când funcția este definită, dar nu este diferențiabilă. Cu toate acestea, în punctul critic există o derivată de dreapta și o tangentă de dreapta, iar la cealaltă margine sunt omologii lor stângaci.

Cred că nu vă va fi prea dificil să efectuați un raționament similar pentru arccosinus și derivata sa.

Toate cazurile de mai sus, dintre care multe sunt derivate tabulare, vă reamintesc, urmăriți direct de la definiții derivate.

De ce să explorezi o funcție folosind derivata ei?

Pentru a înțelege mai bine cum arată graficul acestei funcții: unde merge „de jos în sus”, unde „de sus în jos”, unde ajunge la minime și maxime (dacă ajunge deloc). Nu toate funcțiile sunt atât de simple - în majoritatea cazurilor nu avem nicio idee despre graficul unei anumite funcții.

Este timpul să trecem la exemple mai semnificative și să luăm în considerare algoritm pentru găsirea intervalelor de monotonitate și a extremelor unei funcții:

Exemplul 1

Găsiți intervalele de creștere/descreștere și extremele funcției

Soluţie:

1) Primul pas este să găsești domeniul unei funcții, și, de asemenea, luați notă de punctele de întrerupere (dacă există). În acest caz, funcția este continuă pe întreaga linie numerică, iar această acțiune este într-o anumită măsură formală. Dar, într-un număr de cazuri, pasiuni serioase izbucnesc aici, așa că să tratăm paragraful fără dispreț.

2) Al doilea punct al algoritmului se datorează

o condiție necesară pentru un extremum:

Dacă există un extremum într-un punct, atunci fie valoarea nu există.

Confuz de final? Extremul funcției „modulu x”. .

Condiția este necesară, dar insuficient, iar inversul nu este întotdeauna adevărat. Deci, încă nu rezultă din egalitate că funcția să atingă un maxim sau un minim în punctul . Un exemplu clasic a fost deja evidențiat mai sus - aceasta este o parabolă cubică și punctul său critic.

Dar oricum ar fi, condiția necesară pentru un extremum dictează necesitatea de a găsi puncte suspecte. Pentru a face acest lucru, găsiți derivata și rezolvați ecuația:

La începutul primului articol despre graficele de funcțiiȚi-am spus cum să construiești rapid o parabolă folosind un exemplu : „...luăm derivata întâi și o echivalăm cu zero: ...Deci, soluția ecuației noastre: - în acest punct se află vârful parabolei...”. Acum, cred, toată lumea înțelege de ce vârful parabolei este situat exact în acest punct =) În general, ar trebui să începem cu un exemplu similar aici, dar este prea simplu (chiar și pentru un ceainic). În plus, există un analog la sfârșitul lecției despre derivata unei functii. Prin urmare, să creștem gradul:

Exemplul 2

Găsiți intervalele de monotonitate și extremele funcției

Acesta este un exemplu de rezolvat singur. O soluție completă și un eșantion final aproximativ al problemei la sfârșitul lecției.

A sosit momentul mult așteptat al întâlnirii cu funcțiile fracționare-raționale:

Exemplul 3

Explorați o funcție folosind derivata întâi

Fiți atenți la cât de variabil poate fi reformulată una și aceeași sarcină.

Soluţie:

1) Funcția suferă discontinuități infinite în puncte.

2) Detectăm punctele critice. Să găsim prima derivată și să o echivalăm cu zero:

Să rezolvăm ecuația. O fracție este zero când numărătorul ei este zero:

Astfel, obținem trei puncte critice:

3) Trasăm TOATE punctele detectate pe linia numerică și metoda intervalului definim semnele DERIVATULUI:

Vă reamintesc că trebuie să luați un punct în interval și să calculați valoarea derivatei la acesta și determinați-i semnul. Este mai profitabil să nu numărăm, ci să „estimați” verbal. Să luăm, de exemplu, un punct aparținând intervalului și să efectuăm înlocuirea: .

Două „plus” și unul „minus” dau un „minus”, prin urmare, ceea ce înseamnă că derivata este negativă pe întreg intervalul.

Acțiunea, după cum înțelegeți, trebuie efectuată pentru fiecare dintre cele șase intervale. Apropo, rețineți că factorul numărător și numitorul sunt strict pozitive pentru orice punct din orice interval, ceea ce simplifică foarte mult sarcina.

Deci, derivata ne-a spus că FUNCȚIA ÎNSĂȘI crește cu si scade cu . Este convenabil să conectați intervale de același tip cu pictograma de alăturare.

În momentul în care funcția atinge maximul:
În momentul în care funcția atinge un minim:

Gândește-te de ce nu trebuie să recalculezi a doua valoare ;-)

Când trece printr-un punct, derivata nu își schimbă semnul, așa că funcția nu are NU EXTREM acolo - a scăzut și a rămas în scădere.

! Să repetăm ​​un punct important: punctele nu sunt considerate critice - conțin o funcție nedeterminat. În consecință, aici În principiu, nu pot exista extreme(chiar dacă derivata își schimbă semnul).

Răspuns: functia creste cu și scade cu În punctul în care se atinge maximul funcției: , iar la punctul – minimul: .

Cunoașterea intervalelor de monotonitate și a extremelor, cuplate cu stabilite asimptote oferă deja o idee foarte bună despre aspectul graficului funcției. O persoană de pregătire medie este capabilă să determine verbal că graficul unei funcții are două asimptote verticale și o asimptotă oblică. Iată eroul nostru:

Încercați încă o dată să corelați rezultatele studiului cu graficul acestei funcții.
Nu există extremum în punctul critic, dar există inflexia graficului(ceea ce, de regulă, se întâmplă în cazuri similare).

Exemplul 4

Găsiți extremele funcției

Exemplul 5

Găsiți intervalele de monotonitate, maximele și minimele funcției

… este aproape ca un fel de vacanță „X într-un cub” astăzi...
Soooo, cine din galerie s-a oferit să bea pentru asta? =)

Fiecare sarcină are propriile sale nuanțe de fond și subtilități tehnice, care sunt comentate la sfârșitul lecției.

Definiția unei funcții crescătoare.

Funcţie y=f(x) crește pe interval X, dacă pentru oricare și inegalitatea este valabilă. Cu alte cuvinte, o valoare mai mare a argumentului corespunde unei valori mai mari a funcției.

Definiția unei funcții descrescătoare.

Funcţie y=f(x) scade pe interval X, dacă pentru oricare și inegalitatea este valabilă . Cu alte cuvinte, o valoare mai mare a argumentului corespunde unei valori mai mici a funcției.

NOTĂ: dacă funcția este definită și continuă la sfârșitul intervalului crescător sau descrescător (a;b), adică când x=aȘi x=b, atunci aceste puncte sunt incluse în intervalul de creștere sau scădere. Acest lucru nu contrazice definițiile unei funcții crescătoare și descrescătoare pe interval X.

De exemplu, din proprietățile funcțiilor elementare de bază știm că y=sinx definit și continuu pentru toate valorile reale ale argumentului. Prin urmare, din creșterea funcției sinus pe interval, putem afirma că aceasta crește pe interval.

Puncte extreme, extreme ale unei funcții.

Punctul se numește punct maxim funcții y=f(x), dacă pentru toată lumea X din vecinătatea ei inegalitatea este valabilă. Se numește valoarea funcției în punctul maxim maximul funcției si noteaza .

Punctul se numește punct minim funcții y=f(x), dacă pentru toată lumea X din vecinătatea ei inegalitatea este valabilă. Se numește valoarea funcției în punctul minim functie minima si noteaza .

Vecinătatea unui punct este înțeleasă ca interval , unde este un număr pozitiv suficient de mic.

Se numesc punctele minime și maxime puncte extremum, iar valorile funcției corespunzătoare punctelor extreme sunt numite extreme ale funcției.

Nu confundați extremele unei funcții cu cele mai mari și mai mici valori ale funcției.

În prima figură, cea mai mare valoare a funcției de pe segment este atinsă în punctul maxim și este egal cu maximul funcției, iar în a doua figură - cea mai mare valoare a funcției este atinsă în punctul x=b, ceea ce nu este un punct maxim.

Condiții suficiente pentru creșterea și scăderea funcțiilor.

Pe baza unor conditii (semne) suficiente pentru cresterea si scaderea unei functii se gasesc intervale de crestere si scadere a functiei.

Iată formulările semnelor funcțiilor crescătoare și descrescătoare pe un interval:

dacă derivata funcţiei y=f(x) pozitiv pentru oricine X din interval X, apoi funcția crește cu X;

dacă derivata funcţiei y=f(x) negativ pentru oricine X din interval X, apoi funcția scade cu X.

Astfel, pentru a determina intervalele de creștere și scădere a unei funcții, este necesar:

Să luăm în considerare un exemplu de găsire a intervalelor de funcții crescătoare și descrescătoare pentru a explica algoritmul.

Exemplu.

Aflați intervalele funcției crescătoare și descrescătoare.

Soluţie.

Primul pas este să găsiți definiția funcției. În exemplul nostru, expresia din numitor nu ar trebui să meargă la zero, prin urmare, .

Să trecem la găsirea derivatei funcției:

Pentru a determina intervalele de creștere și scădere ale unei funcții pe baza unui criteriu suficient, rezolvăm inegalități pe domeniul definiției. Să folosim o generalizare a metodei intervalului. Singura rădăcină reală a numărătorului este x = 2, iar numitorul ajunge la zero la x=0. Aceste puncte împart domeniul definiției în intervale în care derivata funcției își păstrează semnul. Să notăm aceste puncte pe linia numerică. În mod convențional notăm cu plusuri și minus intervalele la care derivata este pozitivă sau negativă. Săgețile de mai jos arată schematic creșterea sau scăderea funcției pe intervalul corespunzător.

Funcția este numită crescând pe interval
, dacă pentru orice puncte

inegalitatea este valabilă
(o valoare mai mare a argumentului corespunde unei valori mai mari a funcției).

La fel, funcția
numit descrescand pe interval
, dacă pentru orice puncte
din acest interval dacă condiția este îndeplinită
inegalitatea este valabilă
(o valoare a argumentului mai mare corespunde unei valori mai mici a funcției).

Creștere pe interval
și descrescătoare pe interval
sunt numite funcții monoton pe interval
.

Cunoașterea derivatei unei funcții diferențiabile permite găsirea intervalelor de monotonitate a acesteia.

Teoremă (condiție suficientă pentru o creștere a unei funcții).
funcții
pozitiv pe interval
, apoi funcția
crește monoton în acest interval.

Teoremă (condiție suficientă pentru ca o funcție să scadă). Dacă derivata este diferențiabilă pe interval
funcții
negativ pe interval
, apoi funcția
scade monoton în acest interval.

Sensul geometric dintre aceste teoreme este că pe intervale de funcții descrescătoare, tangentele la graficul funcției formează cu axa
unghiuri obtuze, iar la intervale crescătoare – acute (vezi Fig. 1).

Teoremă (o condiție necesară pentru monotonitatea unei funcții). Dacă funcţia
diferenţiabilă şi
(
) pe interval
, atunci nu scade (creste) pe acest interval.

Algoritm pentru găsirea intervalelor de monotonitate ale unei funcții
:

Exemplu. Găsiți intervalele de monotonitate ale unei funcții
.

Punct numit punctul maxim al funcției

astfel încât pentru toată lumea , îndeplinind condiția
, inegalitatea este valabilă
.

Funcție maximă este valoarea funcției în punctul maxim.

Figura 2 prezintă un exemplu de grafic al unei funcții care are maxime în puncte
.

Punct numit punctul minim al funcției
, dacă există un număr
astfel încât pentru toată lumea , îndeplinind condiția
, inegalitatea este valabilă
. Smochin. Funcția 2 are un minim la punct .

Există un nume comun pentru înalte și scăzute - extreme . În consecință, sunt numite punctele maxime și minime puncte extremum .

O funcție definită pe un segment poate avea un maxim și un minim doar în punctele situate în interiorul acestui segment. De asemenea, nu trebuie să confundați maximul și minimul unei funcții cu valorile sale cele mai mari și cele mai mici pe un segment - acestea sunt concepte fundamental diferite.

În punctele extreme, derivata are proprietăți speciale.

Teoremă (condiție necesară pentru extremum). Lasă la punct funcţie
are un extremum. Atunci fie
nu există, sau
.

Acele puncte din domeniul definirii functiei la care
nu există sau în care
, sunt numite punctele critice ale funcției .

Astfel, punctele extreme se află printre punctele critice. În general, punctul critic nu trebuie să fie un punct extremum. Dacă derivata unei funcții într-un anumit punct este egală cu zero, aceasta nu înseamnă că funcția are un extremum în acest punct.

Exemplu. Sa luam in considerare
. Avem
, dar punct
nu este un punct extrem (vezi Figura 3).

Teoremă (prima condiție suficientă pentru un extremum). Lasă la punct funcţie
este continuă, iar derivata
la trecerea printr-un punct schimba semnul. Apoi – punct extrem: maxim dacă semnul se schimbă de la „+” la „–”, și minim dacă de la „–” la „+”.

Dacă, la trecerea printr-un punct derivata nu își schimbă semnul, atunci la punct nu exista extrema.

Teoremă (a doua condiție suficientă pentru extremum). Lasă la punct derivata unei functii de doua ori diferentiabile
egal cu zero (
), iar derivata sa a doua în acest punct este diferită de zero (
) și este continuă într-o vecinătate a punctului . Apoi – punctul extremum
; la
acesta este punctul minim, iar la
acesta este punctul maxim.

Algoritm pentru găsirea extremelor unei funcții folosind prima condiție suficientă pentru un extrem:

Găsiți derivata.

Găsiți punctele critice ale funcției.

Examinați semnul derivatei la stânga și la dreapta fiecărui punct critic și trageți o concluzie despre prezența extremei.

Găsiți valori extreme ale funcției.

Algoritm pentru găsirea extremelor unei funcții folosind a doua condiție suficientă pentru un extrem:

Exemplu. Găsiți extremele funcției
.

Lucrarea finală sub forma Examenului de stat unificat pentru elevii de clasa a XI-a conține în mod necesar sarcini privind calculul limitelor, intervalele de derivate descrescătoare și crescătoare ale unei funcții, căutarea punctelor extreme și construirea de grafice. Buna cunoaștere a acestui subiect vă permite să răspundeți corect la mai multe întrebări de examen și să nu întâmpinați dificultăți în formarea profesională ulterioară.

Fundamentele calculului diferențial este unul dintre subiectele principale ale matematicii școlare moderne. Ea studiază utilizarea derivatei pentru a studia dependențele variabilelor - prin derivată se poate analiza creșterea și scăderea unei funcții fără a recurge la un desen.

Pregătirea cuprinzătoare a absolvenților pentru promovarea examenului de stat unificat pe portalul educațional Shkolkovo vă va ajuta să înțelegeți profund principiile diferențierii - înțelegeți teoria în detaliu, studiați exemple de rezolvare a problemelor tipice și încercați-vă mâna la muncă independentă. Vă vom ajuta să eliminați golurile în cunoștințe - clarificați-vă înțelegerea conceptelor lexicale ale subiectului și dependențele cantităților. Elevii vor putea trece în revistă cum să găsească intervalele de monotonitate, ceea ce înseamnă că derivata unei funcții crește sau descrește pe un anumit segment atunci când punctele de limită sunt și nu sunt incluse în intervalele găsite.

Înainte de a începe rezolvarea directă a problemelor tematice, vă recomandăm să mergeți mai întâi la secțiunea „Teoretică” și să repetați definițiile conceptelor, regulilor și formulelor tabelare. Aici puteți citi cum să găsiți și să scrieți fiecare interval de funcție crescătoare și descrescătoare pe graficul derivat.

Toate informațiile oferite sunt prezentate în cea mai accesibilă formă pentru înțelegere, practic de la zero. Site-ul oferă materiale pentru percepție și asimilare în mai multe forme diferite - citire, vizionare video și instruire directă sub îndrumarea unor profesori cu experiență. Profesorii profesioniști vă vor spune în detaliu cum să găsiți intervalele de derivate crescătoare și descrescătoare ale unei funcții folosind metode analitice și grafice. În cadrul webinarilor, veți putea adresa orice întrebare care vă interesează, atât despre teorie, cât și despre rezolvarea unor probleme specifice.

După ce v-ați amintit punctele principale ale subiectului, uitați-vă la exemple de creștere a derivatei unei funcții, similare sarcinilor din opțiunile de examen. Pentru a consolida ceea ce ați învățat, aruncați o privire la „Catalog” - aici veți găsi exerciții practice pentru muncă independentă. Sarcinile din secțiune sunt selectate la diferite niveluri de dificultate, ținând cont de dezvoltarea abilităților. De exemplu, fiecare dintre ele este însoțit de algoritmi de soluție și răspunsuri corecte.

Alegând secțiunea „Constructor”, studenții vor putea exersa studiul creșterii și scăderii derivatei unei funcții pe versiuni reale ale Examenului de stat unificat, actualizate constant pentru a ține cont de cele mai recente modificări și inovații.

„Funcția de creștere și scădere”

Obiectivele lecției:

1. Învață să găsești perioade de monotonie.

2. Dezvoltarea abilităților de gândire care asigură analiza situației și dezvoltarea unor metode adecvate de acțiune (analiza, sinteza, comparația).

3. Formarea interesului pentru subiect.

Astăzi continuăm să studiem aplicarea derivatei și să luăm în considerare problema aplicării sale la studiul funcțiilor. Lucru din față

Acum să dăm câteva definiții proprietăților funcției „Brainstorming”.

1. Cum se numește o funcție?

2. Care este numele variabilei X?

3. Care este numele variabilei Y?

4. Care este domeniul unei funcții?

5. Care este setul de valori al unei funcții?

6. Care funcție se numește par?

7. Care funcție se numește impar?

8. Ce poți spune despre graficul unei funcții pare?

9. Ce poți spune despre graficul unei funcții impare?

10. Ce functie se numeste crestere?

11. Care funcție se numește descrescătoare?

12. Ce funcție se numește periodică?

Matematica este studiul modelelor matematice. Unul dintre cele mai importante modele matematice este o funcție. Există diferite moduri de a descrie funcțiile. Care este cel mai evident?

- Grafic.

– Cum se construiește un grafic?

- Punct cu punct.

Această metodă este potrivită dacă știți dinainte cum arată graficul aproximativ. De exemplu, care este graficul unei funcții pătratice, funcție liniară, proporționalitate inversă sau y = sinx? (Sunt demonstrate formulele corespunzătoare, elevii numesc curbele care sunt grafice.)

Dar ce se întâmplă dacă trebuie să trasezi un grafic al unei funcții sau chiar al unuia mai complex? Puteți găsi mai multe puncte, dar cum se comportă funcția între aceste puncte?

Așezați două puncte pe tablă și cereți elevilor să arate cum ar putea arăta graficul „între ei”:

Derivatul său vă ajută să vă dați seama cum se comportă o funcție.

Deschide-ți caietele, notează numărul, grozav.

Scopul lecției: învață cum se raportează graficul unei funcții cu graficul derivatei sale și învață să rezolvi două tipuri de probleme:

1. Folosind graficul derivat, găsiți intervalele de creștere și scădere ale funcției în sine, precum și punctele extreme ale funcției;

2. Folosind schema semnelor derivate pe intervale, găsiți intervalele de creștere și scădere ale funcției în sine, precum și punctele extreme ale funcției.

Sarcini similare nu sunt în manualele noastre, dar se găsesc în testele examenului de stat unificat (părțile A și B).

Astăzi, în lecție, ne vom uita la un mic element al lucrării celei de-a doua etape de studiu a procesului, studiul uneia dintre proprietățile funcției - determinarea intervalelor de monotonitate

Pentru a rezolva această problemă, trebuie să ne amintim câteva probleme discutate mai devreme.

Deci, haideți să scriem subiectul lecției de astăzi: Semne de creștere și scădere a funcțiilor.

Semne de creștere și scădere a funcției:

Dacă derivata unei anumite funcții este pozitivă pentru toate valorile lui x din intervalul (a; b), adică f"(x) > 0, atunci funcția crește în acest interval.
Dacă derivata unei anumite funcții este negativă pentru toate valorile lui x din intervalul (a; b), adică f"(x)< 0, то функция в этом интервале убывает

Ordinea găsirii intervalelor de monotonitate:

Găsiți domeniul de definire al funcției.

1. Găsiți prima derivată a funcției.

2. decideți singuri la bord

Găsiți punctele critice, investigați semnul derivatei întâi în intervalele în care punctele critice găsite împart domeniul de definiție al funcției. Găsiți intervalele de monotonitate ale funcțiilor:

a) domeniul de definire,

b) găsiți prima derivată:

c) aflaţi punctele critice: ; , Și

3. Să examinăm semnul derivatei în intervalele rezultate și să prezentăm soluția sub forma unui tabel.

punct la puncte extreme

Să ne uităm la câteva exemple de studiere a funcțiilor pentru creștere și scădere.

O condiție suficientă pentru existența unui maxim este schimbarea semnului derivatei la trecerea prin punctul critic de la „+” la „-”, iar pentru un minim de la „-” la „+”. Dacă, la trecerea prin punctul critic, semnul derivatei nu se schimbă, atunci nu există niciun extremum în acest punct

1. Găsiți D(f).

2. Găsiți f"(x).

3. Găsiți puncte staționare, de ex. puncte în care f"(x) = 0 sau f"(x) nu există.
(Derivata este 0 la zerourile numărătorului, derivata nu există la zerourile numitorului)

4. Plasați D(f) și aceste puncte pe linia de coordonate.

5. Determinați semnele derivatei pe fiecare dintre intervale

6. Aplicați semne.

7. Notează răspunsul.

Consolidarea materialului nou.

Elevii lucrează în perechi și notează soluția în caiete.

a) y = x³ - 6 x² + 9 x - 9;

b) y = 3 x² - 5x + 4.

Două persoane lucrează la consiliu.

a) y = 2 x³ – 3 x² – 36 x + 40

b) y = x4-2 x³

3. Rezumatul lecției

Temă pentru acasă: test (diferențiat)