Ajutor la Tele2, tarife, intrebari

Zaharova Lyudmila Vladimirovna
MBOU „Școala Gimnazială Nr. 59” din Barnaul
profesor de matematică [email protected]

№1 Cele mai simple ecuații trigonometrice

Ţintă: 1. Deduceți formule pentru soluțiile celor mai simple ecuații trigonometrice de forma sinx =a, cosx=a, tgx=a, ctgx=a;

2. Învață să rezolvi ecuații trigonometrice simple folosind formule.

Echipament: 1) Tabele cu grafice ale funcțiilor trigonometrice y= sinx, y=cosx, y=tgx, y=ctgx; 2) Tabel de valori ale funcțiilor trigonometrice inverse; 3) Tabel rezumativ al formulelor pentru rezolvarea ecuațiilor trigonometrice simple.

Planul lecției de curs:

1 .Derivarea formulelor pentru rădăcinile ecuaţiei

a) sinx =a,

b) cosx= A,

c) tgx= A,

d) ctgx= A.

2 . Lucru frontal oral pentru consolidarea formulelor primite.

3 . Lucrare scrisă pentru consolidarea materialului studiat

În timpul orelor.

În algebră, geometrie, fizică și alte discipline, ne confruntăm cu o varietate de probleme, a căror rezolvare implică rezolvarea ecuațiilor. Am studiat proprietățile funcțiilor trigonometrice, așa că este firesc să ne întoarcem la ecuații în care necunoscutul este conținut sub semnul funcției

Definiție: Ecuații de formă sinx = A , cosx= A , tgx= A , ctgx= A sunt numite cele mai simple ecuații trigonometrice.

Este foarte important să înveți cum să rezolvi cele mai simple ecuații trigonometrice, deoarece toate metodele și tehnicile de rezolvare a oricăror ecuații trigonometrice constau în reducerea acestora la cele mai simple.

Să începem prin a obține formule care funcționează „activ” atunci când rezolvăm ecuații trigonometrice.

1.Ecuații de forma sinx = A.

Să rezolvăm ecuația sinx = A grafic. Pentru a face acest lucru, într-un sistem de coordonate vom construi grafice ale funcțiilor y=sinx și y= A.

1) Dacă A> 1 și A păcat x= A nu are soluții, deoarece linia dreaptă și unda sinusoidală nu au puncte comune.

2) Dacă -1a a traversează unda sinusoidală de nenumărate ori. Aceasta înseamnă că ecuația sinx= A are o infinitate de solutii.

Deoarece perioada sinusului este 2 , apoi pentru a rezolva ecuația sinx= A este suficient să găsiți toate soluțiile pe orice segment de lungime 2.

Rezolvarea ecuației pe [-/2; /2] prin definiția arcsinusului x= arcsin A, iar pe x=-arcsin A. Ținând cont de periodicitatea funcției у=sinx, obținem următoarele expresii

x = -arcsin A+2n, n Z.

Ambele serii de soluții pot fi combinate

X = (-1) n arcsin A+n, nZ.

În următoarele trei cazuri, ei preferă să folosească relații mai simple decât o formulă generală:

Dacă A=-1, apoi sin x =-1, x=-/2+2n

Dacă A=1, atunci sin x =1, x =/2+2n

Dacă a= 0, atunci sin x =0. x = n,

Exemplu: Rezolvați o ecuație sinx =1/2.

Să creăm formule pentru soluții x=arcsin 1/2+ 2n

X= - arcsin a+2n

Să calculăm valoarea arcsin1/2. Să substituim valoarea găsită în formulele soluției

x=5/6+2n

sau după formula generală

X= (-1) n arcsin 1/2+n,

X= (-1) n /6+n,

2. Ecuații de formă cosx= A.

Să rezolvăm ecuația cosx= A tot grafic, prin reprezentarea grafică a funcțiilor y= cosx și y= A.

1) Dacă este 1, atunci ecuația cosx= A nu are soluții, deoarece graficele nu au puncte comune.

2) Dacă -1 A cosx= A are un număr infinit de soluții.

Vom găsi toate soluțiile cosx= A pe un interval de lungime 2 deoarece perioada cosinusului este 2.

După definiția arcului cosinus, soluția ecuației va fi x= arcos a. Având în vedere paritatea funcției cosinus, soluția ecuației de pe [-;0] va fi x=-arcos A.

Astfel, rezolvarea ecuației cosx= A x= + arcos A+ 2 n,

În trei cazuri, nu vom folosi formula generală, ci relații mai simple:

Dacă A=-1, atunci cosx =-1, x =-/2+2n

Dacă A=1, atunci cosx =1, x = 2n,

Dacă a=0, atunci cosx=0. x =/2+n

Exemplu: Rezolvați o ecuație cos x =1/2,

Să creăm formule pentru soluții x=arccos 1/2+ 2n

Să calculăm valoarea arccos1/2.

Să substituim valoarea găsită în formulele soluției

X= + /3+ 2n, nZ.

Ecuații de formă tgx= A.

Deoarece perioada tangentei este egală, atunci pentru a găsi toate soluțiile ecuației tgx= A, este suficient să găsiți toate soluțiile pe orice interval de lungime . Prin definiția arctangentei, soluția ecuației de pe (-/2; /2) este arctan A. Ținând cont de perioada funcției, toate soluțiile ecuației pot fi scrise sub formă

x= arctan A+ n, nZ.

Exemplu: Rezolvați ecuația tan x = 3/3

Să creăm o formulă pentru rezolvarea x= arctan 3/3 +n, nZ.

Să calculăm valoarea arctangentei arctan 3/3= /6, atunci

X=/6+ n, nZ.

Derivarea formulei de rezolvare a ecuației Cu tgx= A pot fi oferite elevilor.

Exemplu.

Rezolvați ecuația ctg x = 1.

x = arcсtg 1 + n, nZ,

X = /4 + n, nZ.

Ca urmare a materialului studiat, elevii pot completa tabelul:

„Rezolvarea ecuațiilor trigonometrice”.

ecuația

Exerciții de consolidare a materialului studiat.

(Oral) Care dintre ecuațiile scrise poate fi rezolvată folosind formulele:

a) x= (-1) n arcsin A+n, nZ;

b) x= + arcos a+ 2n?

cos x = 2/2, tan x= 1, sin x = 1/3, cos x = 3/3, sin x = -1/2, cos x= 2/3, sin x = 3, cos x = 2 .

Care dintre următoarele ecuații nu are soluții?

Rezolvați ecuațiile:

a) sin x = 0; e) sin x = 2/2; h) sin x = 2;

b) cos x = 2/2; e) cos x = -1/2; i) cos x = 1;

d) tan x = 3; g) pat x = -1; j) tan x = 1/ 3.

3. Rezolvați ecuațiile:

a) sin 3x = 0; e) 2cos x = 1;

b) cos x/2 =1/2; e) 3 tg 3x =1;

d) sin x/4 = 1; g) 2cos(2x+ /5) = 3.

Când rezolvați aceste ecuații, este util să scrieți regulile de rezolvare a ecuațiilor de formă păcat V x = A, Și Cu păcat V x = A, | A|1.

Păcat V x = a, |a|1.

V x = (-1) n arcsin A+n, nZ,

x= (-1) n 1/ V arcsin A+n/ V, nZ.

Rezumând lecția:

Astăzi la clasă am derivat formule pentru rezolvarea ecuațiilor trigonometrice simple.

Ne-am uitat la exemple de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice simple.

Am completat tabelul pe care îl vom folosi pentru a rezolva ecuațiile.

Teme pentru acasă.

№2 Rezolvarea ecuațiilor trigonometrice

Ţintă: Metode de studiu pentru rezolvarea ecuațiilor trigonometrice: 1) reductibile la ecuații pătratice 2) reductibile la ecuații trigonometrice omogene;

Să dezvolte puterile de observație ale elevilor atunci când folosesc diverse metode de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice.

Lucru frontal cu elevii.

Care sunt formulele pentru rădăcinile ecuațiilor trigonometrice? cos x= A, sin x= A, tgx = A, ctg x = A.

Rezolvați ecuațiile (oral):

cos x=-1, sin x=0, tgx =0, cos x=1, cos x=1,5, sin x=0.

Găsiți erorile și gândiți-vă la motivele erorilor.

cos x=1/2, x= + /6+2k,k Z.

sin x= 3/2, x= /3+k, kZ.

tgx = /4, x=1+ k, kZ.

2. Studierea materialelor noi.

Această lecție va acoperi unele dintre cele mai comune metode de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice.

Ecuații trigonometrice reduse la pătratice.

Această clasă poate include ecuații care includ o funcție (sinus sau cosinus) sau două funcții ale aceluiași argument, dar una dintre ele este redusă la a doua folosind identități trigonometrice de bază.

De exemplu, dacă cosх intră în ecuație în puteri pare, atunci o înlocuim cu 1-sin 2 x, dacă sin 2 x, atunci o înlocuim cu 1-cos 2 x.

Exemplu.

Rezolvați ecuația: 8 sin 2 x - 6sin x -5 =0.

Soluție: Să notăm sin x=t, apoi 8t 2 - 6t – 5=0,

D= 196,

T1 = -1/2, t2 = -5/4.

Să efectuăm înlocuirea inversă și să rezolvăm următoarele ecuații.

X=(-1) k+1/6+ k, kZ.

Deoarece -5/4>1, ecuația nu are rădăcini.

Răspuns: x=(-1) k+1 /6+ k, kZ.

Rezolvarea exercițiilor de consolidare.

Rezolvați ecuația:

1) 2sin 2 x+ 3cos x = 0;

2) 5sin 2 x+ 6cos x -6 = 0;

3) 2sin 2 x+ 3cos 2 x = -2sin x;

4) 3 tg 2 x +2 tgx-1=0.

Ecuații trigonometrice omogene.

Definiție: 1) Ecuația formeiA sinx + b cosx=0, (a=0, b=0) se numește ecuație omogenă de gradul I față de sin x și cos x.

Această ecuație se rezolvă prin împărțirea ambelor părți la cosx 0. Rezultatul este ecuația atgx+ b=0.

2) Ecuația formeiA păcat 2 X + b sinx cosx + c cos 2 X =0 se numește ecuație omogenă de gradul doi, unde a, b, c sunt orice numere.

Dacă a = 0, atunci rezolvăm ecuația împărțind ambele părți la cos 2 x 0. Ca rezultat, obținem ecuația atg 2 x+ btgx+с =0.

Cometariu: Ecuația formeiA păcat mx + b cos mx=0 sau

A păcat 2 mx + b păcat mx cos mx + c cos 2 mx =0 sunt de asemenea omogene. Pentru a le rezolva, ambele părți ale ecuației sunt împărțite la cos mx=0 sau cos 2 mx=0

3) Diverse ecuații care nu sunt inițial ecuații omogene pot fi reduse la ecuații omogene. De exemplu,păcat 2 mx + b păcat mx cos mx + c cos 2 mx = d, Și A sinx + b cosx= d. Pentru a rezolva aceste ecuații, trebuie să înmulțiți partea dreaptă cu „unitate trigonometrică” acestea. pe păcat 2 X + cos 2 Xși efectuează transformări matematice.

Exerciții pentru consolidarea materialului învățat:

1) 2sin x- 3cos x = 0; 5) 4 sin 2 x – sin2x =3;

2) sin 2x+ cos2x = 0; 6) 3 sin 2 x + sinx cosx =2 cos 2 x ;

3) sin x+ 3cos x = 0; 7) 3 sin 2 x- sinx cosx =2;

4) sin 2 x -3 sinx cosx +2 cos 2 x =0

3. Rezumând lecția. Teme pentru acasă.

În această lecție, în funcție de pregătirea grupului, puteți lua în considerare rezolvarea ecuațiilor de formă a sin mx +b cos mx=c, unde a, b, c nu sunt egale cu zero în același timp.

Exerciții de întărire:

1. 3sin x + cos x=2;

2. 3sin 2x + cos 2x= 2;

3. sin x/3 + cos x/3=1;

4. 12 sin x +5 cos x+13=0.

№ 3 Rezolvarea ecuațiilor trigonometrice

Ţintă: 1) Studiați metoda de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice prin factorizare; invata sa rezolvi ecuatii trigonometrice folosind diverse formule trigonometrice;

2) Verificați: cunoștințele elevilor cu privire la formulele de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice simple; capacitatea de a rezolva ecuații trigonometrice simple.

Planul lecției:

Verificarea temelor.

Dictarea matematică.

Învățarea de materiale noi.

Muncă independentă.

Rezumând lecția. Teme pentru acasă.

Progresul lecției:

Verificarea temelor (soluțiile la ecuațiile trigonometrice sunt scrise pe scurt pe tablă).

Dictarea matematică.

ÎN 1

1. Ce ecuații se numesc cele mai simple ecuații trigonometrice?

2. Cum se numește ecuația formeiA sinx + b cosx=0? Indicați o modalitate de a o rezolva.

3.Notați formula pentru rădăcinile ecuației tgx = A(ctg x= A).

4. Notați formulele pentru rădăcinile ecuațiilor de forma cosx= A, Unde A=1, A=0, A=-1.

5. Scrieți formula generală pentru rădăcinile ecuației sin x= A, | A|

6. Cum se rezolvă ecuațiile de formăA cosx= b, | b|

LA 2

1. Scrieți formulele pentru rădăcinile ecuațiilor cosx= A,| A|

2. Scrieți formula generală pentru rădăcinile ecuației

= A, | A|

3. Cum se numesc ecuațiile de forma? sin x= A, tgx = A, sin x= A?

4.Notați formulele pentru rădăcinile ecuației sin x= A, Dacă A=1, A=0, A=-1.

5. Cum se rezolvă ecuațiile de formă păcat A x= b, | b|

6. Ce ecuații se numesc ecuații omogene de gradul doi? Cum sunt rezolvate?

Învățarea de materiale noi.

Metoda de factorizare.

Una dintre cele mai frecvent utilizate metode pentru rezolvarea ecuațiilor trigonometrice este metoda factorizării.

Dacă ecuația f(x) =0 poate fi reprezentată ca f 1 (x) f 2 (x) =0, atunci problema se reduce la rezolvarea a două ecuații f 1 (x) = 0, f 2 (x) = 0 .

(Cu elevii este util să ne amintim regula „ Produsul factorilor este egal cu zero dacă cel puțin unul dintre factori este egal cu zero, iar ceilalți au sens»)

Consolidarea materialului studiat prin rezolvarea de ecuații de complexitate variabilă.

(sin x-1/2)(sin x+1)=0; 2) (cosx- 2/2)(sin x+ 2/2)=0;(self)

3) sin 2 x+ sin x cosx=0; 4) sin 2 x- sin x =0;

5) sin 2x – cosx=0; 6) 4 cos 2 x -1 =0; (2 moduri)

7) cosx+ cos3x=0; 8) sin 3x= sin 17x;

9) sin x+ sin 2x+ sin 3x=0; 10) cos3x cos5x

11) sin x cos5x = sin 9x cos3x sin 2x sin 2x

12) 3 cosx sin x+ cos 2 x=0(self)

13) 2 cos 2 x - sin (x- /2)+ tanx tan (x+/2)=0.

Muncă independentă.

Opțiunea-1 Opțiunea-2

1) 6 sin 2 x+ 5sin x -1=0; 1) 3 cos 2 x+2 cosx -5=0;

2) sin 2x – cos2x=0; 2) 3 cos x/2 - sin x/2=0;

3) 5 sin 2 x+ sin x cosx -2 cos 2 x=2; 3) 4sin 2 x- sin x cosx +7cos 2 x=5;

4) sin x+sin5x=sin3x+sin7x; 4) sin x-sin 2x +sin 3x-sin 4x=0;

5) sin x+cosx=1. 5) sin x+cosx=2.

8. Rezumând lecția. Teme pentru acasă.

Tip de lecție: stabilirea unei sarcini de învățare.

Obiectivele lecției:

Educational: sistematizarea cunoștințelor elevilor cu privire la metodele de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice simple, consolidarea abilităților de lucru cu cercuri și tabele.

De dezvoltare: continuarea lucrărilor de formare a abilităților intelectuale creative ale elevilor prin utilizarea diferitelor tehnici de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice.

Educational: dezvoltarea abilităților de activitate mentală colectivă, sprijin reciproc și acceptare a unui punct de vedere diferit de al cuiva.

În timpul orelor

1. Situația de succes.

Rezolvați ecuația: cosx=1; cosx=0; cosx= -1.

2. Situație, decalaj” între cunoaștere și ignoranță.

Rezolvați ecuația: cosx=½; cosx=a.

Discuţie.

3. Enunțarea sarcinii educaționale.

Cum se rezolvă o ecuație de acest tip?

1) Care este abscisa unui punct de pe cercul unitar obtinuta prin rotirea punctului (1;0) in jurul originii cu un unghi egal cu: ?

2). Ce este egal cu: ?

Răspuns:

3).Ce este egal cu: .

Răspuns:

;

;

(1) .

Cuvintele profesorului: matematicienii au numit cuvintele invers cos „cuvântul arccosin (arccos). Arccosinusul unui număr este un număr al cărui cosinus este egal cu a:
arccosa=α,dacă cosα=a și 0≤α≤π.

4). Scrieți egalitatea (1) folosind simbolul arccos.

5). Rezolvați ecuațiile: cosx=½, cosx=α.

Răspuns: x=arccos½, x=arccosa.

6). Numiți unghiurile de rotație ale punctului (1;0) al cercului unitar având o abscisă egală cu ½.

Răspuns: abscisa este egală cu ½ atunci când punctul este rotit cu un unghi egal cu π/3 și -π/3.

adică cosx=½ la x=±arccos½
cosx=a la x=±arccosa.

7). Care sunt abscisele punctelor obținute prin rotirea punctului (1;0) cu unghiuri: π/3+2π; π/3+6π; -π/3+4π; -π/3+8π; π/3+2πn; -π/3+2πn.

Răspuns: abscisa este ½, iar cosx=½ la x=±arccos½+2πn,.
cosx=a la x=±arccosa+2πn,.

8). Concluzie: ecuația cosx=a

1) are rădăcini dacă ≤1,
2) nu are rădăcini dacă >1.

9). Rezumatul lecției:

a) Pentru ce valori ale lui a și α are sens egalitatea arccosa = α?
b) Cum se numește arccosinusul lui a?
c) La ce valori ale lui a are rădăcini ecuația cosx=a?
d) Formula pentru aflarea rădăcinilor ecuației cosx=a.

Cele mai simple ecuații trigonometrice sunt ecuațiile

Cos (x) = a, sin (x) = a, tg (x) = a, ctg (x) =a

Ecuația cos(x) = a

Explicație și raționament

1. Rădăcinile ecuației cosx = a. Când | a | > 1 ecuația nu are rădăcini, deoarece | cosx |< 1 для любого x (прямая y = а при а >1 sau la a< -1 не пересекает график функцииy = cosx).

Să | a |< 1. Тогда прямая у = а пересекает график функции

y = cos x. Pe interval, funcția y = cos x scade de la 1 la -1. Dar o funcție descrescătoare ia fiecare dintre valorile sale doar într-un punct al domeniului său de definiție, prin urmare ecuația cos x = a are o singură rădăcină pe acest interval, care, prin definiția arccosinusului, este egală cu: x 1 = arccos a (și pentru această rădăcină cos x = A).

Cosinusul este o funcție pară, deci pe intervalul [-n; 0] ecuația cos x = și are, de asemenea, o singură rădăcină - numărul opus x 1, adică

x 2 = -arccos a.

Astfel, pe intervalul [-n; p] (lungimea 2p) ecuația cos x = a cu | a |< 1 имеет только корни x = ±arccos а.

Funcția y = cos x este periodică cu o perioadă de 2n, prin urmare toate celelalte rădăcini diferă de cele găsite prin 2n (n € Z). Obținem următoarea formulă pentru rădăcinile ecuației cos x = a când

x = ±arccos a + 2pp, n £ Z.

1. Cazuri speciale de rezolvare a ecuației cosx = a.

Este util să ne amintim notații speciale pentru rădăcinile ecuației cos x = a când

a = 0, a = -1, a = 1, care poate fi obținut cu ușurință folosind ca referință cercul unitar.

Deoarece cosinusul este egal cu abscisa punctului corespunzător al cercului unitar, obținem că cos x = 0 dacă și numai dacă punctul corespunzător al cercului unitar este punctul A sau punctul B.

În mod similar, cos x = 1 dacă și numai dacă punctul corespunzător al cercului unitar este punctul C, prin urmare,

x = 2πп, k € Z.

De asemenea cos x = -1 dacă și numai dacă punctul corespunzător al cercului unitar este punctul D, deci x = n + 2n,

Ecuația sin(x) = a

Explicație și raționament

1. Rădăcinile ecuației sinx = a. Când | a | > 1 ecuația nu are rădăcini, deoarece | sinx |< 1 для любого x (прямая y = а на рисунке при а >1 sau la a< -1 не пересекает график функции y = sinx).

Exemple:

\(2\sin(⁡x) = \sqrt(3)\)
tg\((3x)=-\) \(\frac(1)(\sqrt(3))\)
\(4\cos^2⁡x+4\sin⁡x-1=0\)
\(\cos⁡4x+3\cos⁡2x=1\)

Cum se rezolvă ecuații trigonometrice:

Orice ecuație trigonometrică ar trebui redusă la unul dintre următoarele tipuri:

\(\sin⁡t=a\), \(\cos⁡t=a\), tg\(t=a\), ctg\(t=a\)

unde \(t\) este o expresie cu un x, \(a\) este un număr. Astfel de ecuații trigonometrice se numesc cel mai simplu. Ele pot fi rezolvate cu ușurință folosind () sau formule speciale:

Vedeți infografice despre rezolvarea ecuațiilor trigonometrice simple aici: și.

Exemplu . Rezolvați ecuația trigonometrică \(\sin⁡x=-\)\(\frac(1)(2)\).
Soluţie:

Răspuns: \(\left[ \begin(gathered)x=-\frac(π)(6)+2πk, \\ x=-\frac(5π)(6)+2πn, \end(gathered)\right.\) \(k,n∈Z\)

Ce înseamnă fiecare simbol în formula pentru rădăcinile ecuațiilor trigonometrice, vezi.

Atenţie! Ecuațiile \(\sin⁡x=a\) și \(\cos⁡x=a\) nu au soluții dacă \(a ϵ (-∞;-1)∪(1;∞)\). Deoarece sinus și cosinus pentru orice x sunt mai mari sau egale cu \(-1\) și mai mici sau egale cu \(1\):

\(-1≤\sin x≤1\) \(-1≤\cos⁡x≤1\)

Exemplu . Rezolvați ecuația \(\cos⁡x=-1,1\).
Soluţie: \(-1,1<-1\), а значение косинуса не может быть меньше \(-1\). Значит у уравнения нет решения.
Răspuns : fara solutii.

Exemplu . Rezolvați ecuația trigonometrică tg\(⁡x=1\).
Soluţie:

Să rezolvăm ecuația folosind cercul numeric. Pentru aceasta: 1) Construiți un cerc) 2) Construiți axele \(x\) și \(y\) și axa tangentei (trece prin punctul \((0;1)\) paralel cu axa \(y\)). 3) Pe axa tangentei, marcați punctul \(1\). 4) Conectați acest punct și originea coordonatelor - o linie dreaptă. 5) Marcați punctele de intersecție ale acestei drepte și cercul numeric. 6) Să semnăm valorile acestor puncte: \(\frac(π)(4)\) ,\(\frac(5π)(4)\) 7) Notați toate valorile acestor puncte. Deoarece sunt situate la o distanță de exact \(π\) unele de altele, toate valorile pot fi scrise într-o singură formulă:

Răspuns: \(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πk\), \(k∈Z\).

Exemplu . Rezolvați ecuația trigonometrică \(\cos⁡(3x+\frac(π)(4))=0\).
Soluţie:

Să folosim din nou cercul numeric. 1) Construiți un cerc, axele \(x\) și \(y\). 2) Pe axa cosinus (axa \(x\)), marcați \(0\). 3) Desenați o perpendiculară pe axa cosinusului prin acest punct. 4) Marcați punctele de intersecție ale perpendicularei și cercului. 5) Să semnăm valorile acestor puncte: \(-\) \(\frac(π)(2)\),\(\frac(π)(2)\). 6) Notăm întreaga valoare a acestor puncte și le echivalăm cu cosinusul (cu ceea ce este în interiorul cosinusului). \(3x+\)\(\frac(π)(4)\) \(=±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\), \(k∈Z\) \(3x+\)\(\frac(π)(4)\) \(=\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) \(3x+\)\(\frac( π)(4)\) \(=-\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) 8) Ca de obicei, vom exprima \(x\) în ecuații. Nu uitați să tratați numerele cu \(π\), precum și cu \(1\), \(2\), \(\frac(1)(4)\), etc. Acestea sunt aceleași numere ca toate celelalte. Fără discriminare numerică! \(3x=-\)\(\frac(π)(4)\) \(+\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) \(3x=-\)\ (\frac(π)(4)\) \(+\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) \(3x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+2πk\) \(|:3\) \(3x=-\)\(\frac(3π)(4)\) \(+2πk\) \(|:3\) \(x=\)\(\frac(π)(12)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\) \(x=-\)\(\frac(π)( 4)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\)

Răspuns: \(x=\)\(\frac(π)(12)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\) \(x=-\)\(\frac(π)( 4)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\) , \(k∈Z\).

Reducerea ecuațiilor trigonometrice la cea mai simplă este o sarcină creativă aici trebuie să utilizați ambele și metode speciale pentru rezolvarea ecuațiilor:
- Metoda (cea mai populară în cadrul examenului unificat de stat).
- Metoda.
- Metoda argumentelor auxiliare.

Să luăm în considerare un exemplu de rezolvare a ecuației trigonometrice pătratice

Exemplu . Rezolvați ecuația trigonometrică \(2\cos^2⁡x-5\cos⁡x+2=0\)
Soluţie:

\(2\cos^2⁡x-5\cos⁡x+2=0\)	Să facem înlocuirea \(t=\cos⁡x\).
	Ecuația noastră a devenit tipică. O poți rezolva folosind .
\(D=25-4 \cdot 2 \cdot 2=25-16=9\)
\(t_1=\)\(\frac(5-3)(4)\) \(=\)\(\frac(1)(2)\) ; \(t_2=\)\(\frac(5+3)(4)\) \(=2\)	Facem o înlocuire inversă.
\(\cos⁡x=\)\(\frac(1)(2)\); \(\cos⁡x=2\)	Rezolvăm prima ecuație folosind cercul numeric. A doua ecuație nu are soluții deoarece \(\cos⁡x∈[-1;1]\) și nu poate fi egal cu doi pentru orice x.
	Să notăm toate numerele care se află în aceste puncte.

Răspuns: \(x=±\)\(\frac(π)(3)\) \(+2πk\), \(k∈Z\).

Un exemplu de rezolvare a unei ecuații trigonometrice cu studiul ODZ:

Exemplu (UTILIZARE) . Rezolvați ecuația trigonometrică \(=0\)

\(\frac(2\cos^2⁡x-\sin(⁡2x))(ctg x)\)\(=0\)	Există o fracție și există o cotangentă - asta înseamnă că trebuie să o notăm. Permiteți-mi să vă reamintesc că o cotangentă este de fapt o fracție: ctg\(x=\)\(\frac(\cos⁡x)(\sin⁡x)\) Prin urmare, ODZ pentru ctg\(x\): \(\sin⁡x≠0\).
ODZ: ctg\(x ≠0\); \(\sin⁡x≠0\) \(x≠±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\); \(x≠πn\); \(k,n∈Z\)	Să marchem „non-soluții” pe cercul numeric.
\(\frac(2\cos^2⁡x-\sin(⁡2x))(ctg x)\)\(=0\)	Să scăpăm de numitorul din ecuație înmulțindu-l cu ctg\(x\). Putem face acest lucru, deoarece am scris mai sus că ctg\(x ≠0\).
\(2\cos^2⁡x-\sin⁡(2x)=0\)	Să aplicăm formula unghiului dublu pentru sinus: \(\sin⁡(2x)=2\sin⁡x\cos⁡x\).
\(2\cos^2⁡x-2\sin⁡x\cos⁡x=0\)	Dacă mâinile tale se întind pentru a împărți la cosinus, trage-le înapoi! Puteți împărți la o expresie cu o variabilă dacă cu siguranță nu este egală cu zero (de exemplu, acestea: \(x^2+1.5^x\)). În schimb, să punem \(\cos⁡x\) din paranteze.
\(\cos⁡x (2\cos⁡x-2\sin⁡x)=0\)	Să „împărțim” ecuația în două.
\(\cos⁡x=0\); \(2\cos⁡x-2\sin⁡x=0\)	Să rezolvăm prima ecuație folosind cercul numeric. Să împărțim a doua ecuație la \(2\) și să mutam \(\sin⁡x\) în partea dreaptă.
\(x=±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\), \(k∈Z\). \(\cos⁡x=\sin⁡x\)	Rădăcinile rezultate nu sunt incluse în ODZ. Prin urmare, nu le vom scrie ca răspuns. A doua ecuație este tipică. Să o împărțim la \(\sin⁡x\) (\(\sin⁡x=0\) nu poate fi o soluție a ecuației deoarece în acest caz \(\cos⁡x=1\) sau \(\cos⁡ x=-1\)).
	Folosim din nou un cerc.
\(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πn\), \(n∈Z\)	Aceste rădăcini nu sunt excluse de ODZ, așa că le puteți scrie în răspuns.

Răspuns: \(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πn\), \(n∈Z\).

ecuația cos X = A

Fiecare rădăcină a ecuației

cos X = A (1)

poate fi considerată ca abscisa unui punct de intersecție al sinusoidei y = cosX cu o linie dreaptă y =A , și, invers, abscisa fiecărui astfel de punct de intersecție este una dintre rădăcinile ecuației (1). Astfel, mulțimea tuturor rădăcinilor ecuației (1) coincide cu setul de abscise a tuturor punctelor de intersecție ale undei cosinus. y = cosX cu o linie dreaptă y = A .

Dacă | A| >1 , apoi cosinusul y = cosX nu se intersectează cu o linie y = A .

În acest caz, ecuația (1) nu are rădăcini.

La |A| < 1 există infinit de multe puncte de intersecție.

pentru a > 0

Pentru o< 0.

Vom împărți toate aceste puncte de intersecție în două grupuri:

A -2 , A - 1 , A 1 , A 2 , ... ,

B -2 , B - 1 , B 1 , B 2 , ... ,

Punct A are o abscisă arccos A , iar toate celelalte puncte ale primului grup sunt separate de acesta la distanțe care sunt multipli de 2 π

arccos A+ 2k π . (2)

Punct ÎN, după cum se poate înțelege cu ușurință din figuri, are o abscisă - arccosA , iar toate celelalte puncte ale celui de-al doilea grup sunt îndepărtate din acesta la distanțe care sunt multipli de 2 π . Prin urmare abscisele lor sunt exprimate ca

arccos A+ 2nπ . (3)

Astfel, ecuația (1) are două grupuri de rădăcini definite prin formulele (2) și (3). Dar aceste două formule pot fi scrise în mod evident ca o singură formulă

X = ± arccos A+ 2m π , (4)

Unde m trece prin toate numerele întregi (m = 0, ±1, ±2, ±3, ...).

Raționamentul pe care l-am efectuat în derivarea acestei formule este corect numai dacă
| A| =/= 1. Cu toate acestea, formal relația (4) determină toate rădăcinile ecuației cosx=a iar la | A| =1. (Demonstrați!) Prin urmare, putem spune că formula (4) oferă toate rădăcinile ecuației (1) pentru orice valoare A , Doar daca |A| < 1 .

Dar tot în trei cazuri speciale ( A = 0, A = -1, A= +1) vă recomandăm să nu folosiți formula (4) , dar folosiți alte relații. Este util să ne amintim că rădăcinile ecuației cos X = 0 sunt date prin formula

X = π / 2 +n π ; (5)

rădăcinile ecuației cos X = -1 sunt date prin formula

X = π + 2m π ; (6)

și în final, rădăcinile ecuației cos X = 1 sunt date prin formula

X = 2m π ; (7)

În concluzie, observăm că formulele (4) , (5), (6) și (7) sunt corecte numai în ipoteza că unghiul dorit X exprimată în radiani. Dacă este exprimată în grade, atunci aceste formule trebuie schimbate în mod natural. Deci, formula (4) ar trebui înlocuit cu formula

X = ± arccos A+ 360° n,

formula (5) formulă

X = 90° + 180° n etc.