Ajutor la Tele2, tarife, intrebari

Dar multe numere naturale sunt divizibile egal cu alte numere naturale.

De exemplu:

Numărul 12 este divizibil cu 1, cu 2, cu 3, cu 4, cu 6, cu 12;

Numărul 36 este divizibil cu 1, cu 2, cu 3, cu 4, cu 6, cu 12, cu 18, cu 36.

Numerele cu care numărul este divizibil (pentru 12 este 1, 2, 3, 4, 6 și 12) se numesc divizori de numere. Împărțitor al unui număr natural A este numărul natural care împarte numărul dat A fără urmă. Se numește un număr natural care are mai mult de doi factori compozit .

Rețineți că numerele 12 și 36 au divizori comuni. Aceste numere sunt: ​​1, 2, 3, 4, 6, 12. Cel mai mare divizor al acestor numere este 12. Divizorul comun al acestor două numere AȘi b este numărul cu care ambele numere date sunt divizibile fără rest AȘi b.

Multipli comuni mai multe numere se numește numărul care este divizibil cu fiecare dintre aceste numere. De exemplu, numerele 9, 18 și 45 au un multiplu comun al lui 180. Dar 90 și 360 sunt și multiplii lor comuni. Dintre toți multiplii comuni există întotdeauna unul cel mai mic, în în acest caz, acesta este 90. Acest număr este numit cel mai micmultiplu comun (CMM).

LCM este întotdeauna un număr natural care trebuie să fie mai mare decât cel mai mare dintre numerele pentru care este definit.

Cel mai mic multiplu comun (LCM). Proprietăți.

Comutativitate:

Asociativitate:

În special, dacă și sunt numere coprime, atunci:

Cel mai mic multiplu comun a două numere întregi mȘi n este un divizor al tuturor celorlalți multipli comuni mȘi n. Mai mult, setul multiplilor comuni m, n coincide cu setul de multipli pentru LCM( m, n).

Asimptoticele pentru pot fi exprimate în termenii unor funcții teoretice numerelor.

Asa de, Funcția Cebyshev. Și:

Aceasta rezultă din definiția și proprietățile funcției Landau g(n).

Ce rezultă din legea distribuției numerelor prime.

Găsirea celui mai mic multiplu comun (LCM).

NOC( a, b) poate fi calculată în mai multe moduri:

1. Dacă se cunoaște cel mai mare divizor comun, puteți utiliza conexiunea acestuia cu LCM:

2. Fie cunoscută descompunerea canonică a ambelor numere în factori primi:

Unde p 1,...,p k- diverse numere prime, și d 1 ,...,d kȘi e 1 ,...,e k— numere întregi nenegative (pot fi zero dacă primul corespunzător nu este în expansiune).

Apoi NOC ( A,b) se calculează prin formula:

Cu alte cuvinte, descompunerea LCM conține toți factorii primi incluși în cel puțin una dintre descompunerea numerelor. a, b, și se ia cel mai mare dintre cei doi exponenți ai acestui multiplicator.

Exemplu:

Calcularea celui mai mic multiplu comun al mai multor numere poate fi redusă la mai multe calcule secvențiale ale LCM a două numere:

Regulă. Pentru a găsi LCM a unei serii de numere, aveți nevoie de:

- descompune numerele în factori primi;

- transferați cea mai mare descompunere (produsul factorilor celui mai mare număr dintre cei dați) la factorii produsului dorit, apoi adăugați factori din descompunerea altor numere care nu apar în primul număr sau apar în el mai puține ori;

— produsul rezultat al factorilor primi va fi LCM al numerelor date.

Orice două sau mai multe numere naturale au propriul lor LCM. Dacă numerele nu sunt multipli unul celuilalt sau nu au aceiași factori în expansiune, atunci LCM lor este egal cu produsul acestor numere.

Factorii primi ai numărului 28 (2, 2, 7) sunt completați cu un factor de 3 (numărul 21), produsul rezultat (84) va fi cel mai mic număr care este divizibil cu 21 și 28.

Factorii primi ai celui mai mare număr 30 sunt completați cu factorul 5 al numărului 25, produsul rezultat 150 este mai mare decât cel mai mare număr 30 și este divizibil cu toate numerele date fără rest. Acesta este cel mai mic produs posibil (150, 250, 300...) care este un multiplu al tuturor numerelor date.

Numerele 2,3,11,37 sunt numere prime, deci LCM lor este egal cu produsul numerelor date.

regulă. Pentru a calcula LCM a numerelor prime, trebuie să înmulțiți toate aceste numere împreună.

Altă opțiune:

Pentru a găsi cel mai mic multiplu comun (LCM) al mai multor numere aveți nevoie de:

1) reprezentați fiecare număr ca produs al factorilor primi, de exemplu:

504 = 2 2 2 3 3 7,

2) notează puterile tuturor factorilor primi:

504 = 2 2 2 3 3 7 = 2 3 3 2 7 1,

3) notează toți divizorii primi (multiplicatorii) fiecăruia dintre aceste numere;

4) alege cel mai mare grad al fiecăreia dintre ele, găsit în toate expansiunile acestor numere;

5) înmulțiți aceste puteri.

Exemplu. Aflați LCM al numerelor: 168, 180 și 3024.

Soluţie. 168 = 2 2 2 3 7 = 2 3 3 1 7 1,

180 = 2 2 3 3 5 = 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1.

Notăm cele mai mari puteri ale tuturor divizorilor primi și le înmulțim:

NOC = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.

Tema „Numere multiple” este studiată în clasa a V-a de gimnaziu. Scopul său este de a îmbunătăți abilitățile scrise și orale ale calculelor matematice. În această lecție, sunt introduse concepte noi - „numere multiple” și „divizori”, se elaborează tehnica de a găsi divizori și multipli ai unui număr natural, capacitatea de a găsi LCM în diferite moduri.

Acest subiect este foarte important. Cunoașterea acesteia poate fi aplicată la rezolvarea exemplelor cu fracții. Pentru a face acest lucru, trebuie să găsiți numitorul comun calculând cel mai mic multiplu comun (LCM).

Un multiplu al lui A este un întreg care este divizibil cu A fără rest.

Fiecare număr natural are un număr infinit de multipli ai acestuia. El însuși este considerat cel mai mic. Multiplu nu poate fi mai mic decât numărul în sine.

Este necesar să demonstrați că numărul 125 este un multiplu al numărului 5. Pentru a face acest lucru, trebuie să împărțiți primul număr la al doilea. Dacă 125 este divizibil cu 5 fără rest, atunci răspunsul este da.

Această metodă este aplicabilă pentru numere mici.

Există cazuri speciale când se calculează LOC.

1. Dacă trebuie să găsiți un multiplu comun a 2 numere (de exemplu, 80 și 20), unde unul dintre ele (80) este divizibil cu celălalt (20), atunci acest număr (80) este cel mai mic multiplu dintre acestea. doua numere.

LCM(80, 20) = 80.

2. Dacă doi nu au un divizor comun, atunci putem spune că LCM lor este produsul acestor două numere.

LCM (6, 7) = 42.

Să ne uităm la ultimul exemplu. 6 și 7 în raport cu 42 sunt divizori. Ele împart un multiplu al unui număr fără rest.

În acest exemplu, 6 și 7 sunt factori perechi. Produsul lor este egal cu cel mai multiplu număr (42).

Un număr se numește prim dacă este divizibil numai cu el însuși sau cu 1 (3:1=3; 3:3=1). Restul se numesc compozit.

Un alt exemplu implică determinarea dacă 9 este un divizor al lui 42.

42:9=4 (restul 6)

Răspuns: 9 nu este un divizor al lui 42 pentru că răspunsul are un rest.

Un divizor diferă de un multiplu prin faptul că divizorul este numărul cu care sunt împărțite numerele naturale, iar multiplu însuși este divizibil cu acest număr.

Cel mai mare divizor comun al numerelor AȘi b, înmulțit cu cel mai mic multiplu al lor, va da produsul numerelor în sine AȘi b.

Și anume: mcd (a, b) x mcd (a, b) = a x b.

Multiplii comuni pentru numere mai complexe se găsesc în felul următor.

De exemplu, găsiți LCM pentru 168, 180, 3024.

Factorim aceste numere în factori primi și le scriem ca produs de puteri:

168=2³x3¹x7¹

2⁴х3³х5¹х7¹=15120

LCM(168, 180, 3024) = 15120.

Cel mai mare divizor comun și cel mai mic multiplu comun sunt concepte aritmetice cheie care fac lucrul cu fracții fără efort. LCM și sunt cel mai adesea folosite pentru a găsi numitorul comun al mai multor fracții.

Noțiuni de bază

Împărțitorul unui întreg X este un alt întreg Y prin care X este împărțit fără a lăsa rest. De exemplu, divizorul lui 4 este 2, iar 36 este 4, 6, 9. Un multiplu al unui număr întreg X este un număr Y care este divizibil cu X fără rest. De exemplu, 3 este un multiplu al lui 15, iar 6 este un multiplu al lui 12.

Pentru orice pereche de numere putem găsi divizorii și multiplii lor comuni. De exemplu, pentru 6 și 9, multiplu comun este 18, iar divizorul comun este 3. Evident, perechile pot avea mai mulți divizori și multipli, așa că calculele folosesc cel mai mare divizor MCD și cel mai mic multiplu LCM.

Cel mai mic divizor este lipsit de sens, deoarece pentru orice număr este întotdeauna unul. Cel mai mare multiplu este, de asemenea, lipsit de sens, deoarece succesiunea multiplilor merge la infinit.

Găsirea gcd

Există multe metode pentru a găsi cel mai mare divizor comun, dintre care cele mai faimoase sunt:

• căutarea secvențială a divizorilor, selectarea celor comuni pentru o pereche și căutarea celui mai mare dintre ei;
• descompunerea numerelor în factori indivizibili;
• algoritm euclidian;
• algoritm binar.

Astăzi, în instituțiile de învățământ cele mai populare metode sunt descompunerea în factori primi și algoritmul euclidian. Acesta din urmă, la rândul său, este utilizat atunci când se rezolvă ecuații diofante: căutarea GCD este necesară pentru a verifica ecuația pentru posibilitatea rezoluției în numere întregi.

Găsirea NOC

Cel mai mic multiplu comun este determinat și de căutarea secvențială sau descompunerea în factori indivizibili. În plus, este ușor să găsiți LCM dacă cel mai mare divizor a fost deja determinat. Pentru numerele X și Y, LCM și GCD sunt legate prin următoarea relație:

LCD(X,Y) = X × Y / GCD(X,Y).

De exemplu, dacă MCM(15,18) = 3, atunci LCM(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90. Cel mai evident exemplu de utilizare a MCM este găsirea numitorului comun, care este cel mai mic multiplu comun al fracții date.

Numerele coprime

Dacă o pereche de numere nu are divizori comuni, atunci o astfel de pereche se numește coprim. MCD pentru astfel de perechi este întotdeauna egal cu unu și, pe baza conexiunii dintre divizori și multipli, mcd pentru perechile coprime este egal cu produsul lor. De exemplu, numerele 25 și 28 sunt relativ prime, deoarece nu au divizori comuni, iar LCM(25, 28) = 700, care corespunde produsului lor. Orice două numere indivizibile vor fi întotdeauna relativ prime.

Divizor comun și calculator multiplu

Cu calculatorul nostru puteți calcula GCD și LCM pentru orice număr de numere din care să alegeți. Sarcinile pentru calcularea divizorilor comuni și multiplilor se găsesc în aritmetica claselor 5 și 6, cu toate acestea, GCD și LCM sunt conceptele cheie ale matematicii și sunt utilizate în teoria numerelor, planimetrie și algebra comunicativă.

Exemple din viața reală

Numitorul comun al fracțiilor

Cel mai mic multiplu comun este folosit la găsirea numitorului comun al mai multor fracții. Să presupunem că într-o problemă de aritmetică trebuie să însumați 5 fracții:

1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.

Pentru a adăuga fracții, expresia trebuie redusă la un numitor comun, care se reduce la problema găsirii LCM. Pentru a face acest lucru, selectați 5 numere în calculator și introduceți valorile numitorilor în celulele corespunzătoare. Programul va calcula LCM (8, 9, 12, 15, 18) = 360. Acum trebuie să calculați factori suplimentari pentru fiecare fracție, care sunt definiți ca raportul dintre LCM și numitorul. Deci, multiplicatorii suplimentari ar arăta astfel:

• 360/8 = 45
• 360/9 = 40
• 360/12 = 30
• 360/15 = 24
• 360/18 = 20.

După aceea, înmulțim toate fracțiile cu factorul suplimentar corespunzător și obținem:

45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.

Putem aduna cu ușurință astfel de fracții și obținem rezultatul ca 159/360. Reducem fracția cu 3 și vedem răspunsul final - 53/120.

Rezolvarea ecuațiilor diofantine liniare

Ecuațiile diofantine liniare sunt expresii de forma ax + by = d. Dacă raportul d / mcd(a, b) este un număr întreg, atunci ecuația este rezolvabilă în numere întregi. Să verificăm câteva ecuații pentru a vedea dacă au o soluție întreagă. Mai întâi, verificați ecuația 150x + 8y = 37. Folosind un calculator, găsim mcd (150,8) = 2. Împărțiți 37/2 = 18,5. Numărul nu este un întreg, prin urmare ecuația nu are rădăcini întregi.

Să verificăm ecuația 1320x + 1760y = 10120. Folosește calculatorul pentru a găsi mcd(1320, 1760) = 440. Împărțim 10120/440 = 23. Ca rezultat, obținem un număr întreg, prin urmare, ecuația diofantică este coeficientă solubilă ineficientă. .

Concluzie

GCD și LCM joacă un rol important în teoria numerelor, iar conceptele în sine sunt utilizate pe scară largă în diferite domenii ale matematicii. Utilizați calculatorul nostru pentru a calcula cei mai mari divizori și cei mai mici multipli ai oricărui număr de numere.

Multipli comuni

Pur și simplu, orice număr întreg care este divizibil cu fiecare dintre numerele date este multiplu comun numere întregi date.

Puteți găsi multiplu comun a două sau mai multe numere întregi.

Exemplul 1

Calculați multiplu comun a două numere: $2$ și $5$.

Soluţie.

Prin definiție, multiplu comun de $2$ și $5$ este de $10$, deoarece este un multiplu al numărului $2$ și al numărului $5$:

Multiplii comuni ai numerelor $2$ și $5$ vor fi, de asemenea, numerele $–10, 20, –20, 30, –30$ etc., deoarece toate sunt împărțite în numere $2$ și $5$.

Nota 1

Zero este un multiplu comun al oricărui număr de numere întregi diferite de zero.

Conform proprietăților divizibilității, dacă un anumit număr este un multiplu comun al mai multor numere, atunci numărul opus în semn va fi, de asemenea, un multiplu comun al numerelor date. Acest lucru se poate observa din exemplul luat în considerare.

Pentru numere întregi date, le puteți găsi întotdeauna multiplu comun.

Exemplul 2

Calculați multiplu comun de $111$ și $55$.

Soluţie.

Să înmulțim numerele date: $111\div 55=6105$. Este ușor să verificați că numărul $6105$ este divizibil cu numărul $111$ și numărul $55$:

$6105\div 111=$55;

6105 USD\div 55=111 USD.

Astfel, $6105$ este un multiplu comun de $111$ și $55$.

Răspuns: Multiplu comun de $111$ și $55$ este de $6105$.

Dar, așa cum am văzut deja din exemplul anterior, acest multiplu comun nu este unul. Alți multipli comuni ar fi $–6105, 12210, –12210, 61050, –61050$ etc. Astfel, am ajuns la următoarea concluzie:

Nota 2

Orice set de numere întregi are un număr infinit de multipli comuni.

În practică, ele se limitează la găsirea multiplilor comuni ai numerelor întregi pozitive (naturale), deoarece mulţimile multiplilor unui număr dat şi opusul acestuia coincid.

Determinarea celui mai mic multiplu comun

Cel mai adesea, dintre toți multiplii unui număr dat, este utilizat cel mai mic multiplu comun (LCM).

Definiția 2

Cel mai mic multiplu comun pozitiv al numerelor întregi date este cel mai mic multiplu comun aceste numere.

Exemplul 3

Calculați LCM al numerelor $4$ și $7$.

Soluţie.

Deoarece aceste numere nu au divizori comuni, atunci $LCM(4,7)=28$.

Răspuns: $NOK (4,7)=28$.

Găsirea NOC prin GCD

Deoarece există o legătură între LCM și GCD, cu ajutorul ei este posibil să se calculeze LCM a două numere întregi pozitive:

Nota 3

Exemplul 4

Calculați LCM al numerelor $232$ și $84$.

Soluţie.

Să folosim formula pentru găsirea LCM prin GCD:

$LCD (a,b)=\frac(a\cdot b)(GCD (a,b))$

Să găsim mcd-ul numerelor $232$ și $84$ folosind algoritmul euclidian:

$232=84\cdot 2+64$,

$84=64\cdot 1+20$,

$64=20\cdot 3+4$,

Acestea. $GCD(232, 84)=4$.

Să găsim $LCM (232, 84)$:

$NOK (232,84)=\frac(232\cdot 84)(4)=58\cdot 84=4872$

Răspuns: $NOK(232,84)=4872$.

Exemplul 5

Calculați $LCM (23, 46)$.

Soluţie.

Deoarece $46$ este divizibil cu $23$, apoi $gcd (23, 46)=23$. Să găsim LOC:

$LCC(23,46)=\frac(23\cdot 46)(23)=46$

Răspuns: $NOK (23,46)=$46.

Astfel, se poate formula regulă:

Nota 4

Scolarilor li se dau o multime de sarcini la matematica. Printre acestea, de foarte multe ori există probleme cu următoarea formulare: există două sensuri. Cum să găsiți cel mai mic multiplu comun al numerelor date? Este necesar să puteți îndeplini astfel de sarcini, deoarece abilitățile dobândite sunt folosite pentru a lucra cu fracții cu numitori diferiți. În acest articol ne vom uita la cum să găsim LOC și concepte de bază.

Înainte de a găsi răspunsul la întrebarea cum să găsiți LCM, trebuie să definiți termenul multiplu. Cel mai adesea, formularea acestui concept sună astfel: un multiplu al unei anumite valori A este un număr natural care va fi divizibil cu A fără rest. Deci, pentru 4, multiplii vor fi 8, 12, 16, 20, și așa mai departe, până la limita necesară.

În acest caz, numărul de divizori pentru o anumită valoare poate fi limitat, dar multiplii sunt infiniti. Există, de asemenea, aceeași valoare pentru valorile naturale. Acesta este un indicator care este împărțit în ele fără rest. După ce am înțeles conceptul de cea mai mică valoare pentru anumiți indicatori, să trecem la cum să o găsim.

Găsirea NOC

Cel mai mic multiplu de doi sau mai mulți exponenți este cel mai mic număr natural care este complet divizibil cu toate numerele specificate.

Există mai multe modalități de a găsi o astfel de valoare., luați în considerare următoarele metode:

1. Dacă numerele sunt mici, atunci scrieți în linie toate divizibile cu ea. Continuați să faceți asta până când găsiți ceva în comun între ei. În scris, ele sunt notate cu litera K. De exemplu, pentru 4 și 3, cel mai mic multiplu este 12.
2. Dacă acestea sunt mari sau trebuie să găsiți un multiplu de 3 sau mai multe valori, atunci ar trebui să utilizați o altă tehnică care implică descompunerea numerelor în factori primi. Mai întâi, așezați-o pe cea mai mare listată, apoi pe toate celelalte. Fiecare dintre ele are propriul său număr de multiplicatori. De exemplu, să descompunăm 20 (2*2*5) și 50 (5*5*2). Pentru cel mai mic, subliniază factorii și adaugă-i la cel mai mare. Rezultatul va fi 100, care va fi cel mai mic multiplu comun al numerelor de mai sus.
3. La găsirea a 3 numere (16, 24 și 36) principiile sunt aceleași ca și pentru celelalte două. Să extindem fiecare dintre ele: 16 = 2*2*2*2, 24=2*2*2*3, 36=2*2*3*3. Doar doi doi din extinderea numărului 16 nu au fost incluse în extinderea celui mai mare.Le adunăm și obținem 144, care este cel mai mic rezultat pentru valorile numerice indicate anterior.

Acum știm care este tehnica generală pentru găsirea celei mai mici valori pentru două, trei sau mai multe valori. Cu toate acestea, există și metode private, ajutând la căutarea NOC dacă cele anterioare nu ajută.

Cum să găsiți GCD și NOC.

Metode private de găsire

Ca și în cazul oricărei secțiuni matematice, există cazuri speciale de găsire a LCM care ajută în situații specifice:

• dacă unul dintre numere este divizibil cu celelalte fără rest, atunci cel mai mic multiplu al acestor numere este egal cu acesta (MCM de 60 și 15 este 15);
• numerele prime relativ nu au factori primi comuni. Cea mai mică valoare a acestora este egală cu produsul acestor numere. Astfel, pentru numerele 7 și 8 va fi 56;
• aceeași regulă funcționează și pentru alte cazuri, inclusiv cele speciale, despre care se poate citi în literatura de specialitate. Aceasta ar trebui să includă și cazurile de descompunere a numerelor compuse, care sunt subiectul articolelor individuale și chiar al disertațiilor candidaților.

Cazurile speciale sunt mai puțin frecvente decât exemplele standard. Dar datorită lor, puteți învăța să lucrați cu fracții de diferite grade de complexitate. Acest lucru este valabil mai ales pentru fracții, unde există numitori inegali.

Cateva exemple

Să ne uităm la câteva exemple care vă vor ajuta să înțelegeți principiul găsirii celui mai mic multiplu:

1. Găsim LCM (35; 40). Mai întâi descompunem 35 = 5*7, apoi 40 = 5*8. Adăugați 8 la cel mai mic număr și obțineți LOC 280.
2. NOC (45; 54). Descompunem fiecare dintre ele: 45 = 3*3*5 și 54 = 3*3*6. Adăugăm numărul 6 la 45. Obținem un LCM egal cu 270.
3. Ei bine, ultimul exemplu. Există 5 și 4. Nu există multipli primi ai acestora, așa că cel mai mic multiplu comun în acest caz va fi produsul lor, care este egal cu 20.

Datorită exemplelor, puteți înțelege cum este localizat NOC, care sunt nuanțele și care este sensul unor astfel de manipulări.

Găsirea NOC este mult mai ușoară decât ar părea inițial. Pentru a face acest lucru, se folosesc atât extinderea simplă, cât și multiplicarea valorilor simple una cu cealaltă. Capacitatea de a lucra cu această secțiune a matematicii ajută la studiul ulterioară a subiectelor matematice, în special a fracțiunilor cu diferite grade de complexitate.

Nu uitați să rezolvați periodic exemple folosind diferite metode; acest lucru vă dezvoltă aparatul logic și vă permite să vă amintiți numeroși termeni. Învață cum să găsești un astfel de exponent și te vei putea descurca bine în restul secțiunilor de matematică. Învățare fericită la matematică!

Video

Acest videoclip vă va ajuta să înțelegeți și să vă amintiți cum să găsiți cel mai mic multiplu comun.