Ajutor la Tele2, tarife, intrebari

Instituția de învățământ „Statul Belarus

Academia Agricolă"

Catedra de Matematică Superioară

Instrucțiuni

să studieze tema „Ecuații diferențiale liniare de ordinul doi” de către studenții facultății de contabilitate de educație prin corespondență (NISPO)

Gorki, 2013

Ecuații diferențiale liniare

de ordinul doi cu constantecoeficienți

Ecuații diferențiale liniare omogene

Ecuație diferențială liniară de ordinul doi cu coeficienți constanți numită ecuație a formei

acestea. o ecuație care conține funcția dorită și derivatele ei doar până la primul grad și nu conține produsele acestora. În această ecuație Și
- câteva numere și o funcție
dat pe un anumit interval
.

Dacă
pe interval
, atunci ecuația (1) va lua forma

, (2)

si se numeste liniar omogen . În caz contrar, se numește ecuația (1). liniar neomogen .

Luați în considerare funcția complexă

, (3)

Unde
Și
- functii reale. Dacă funcția (3) este o soluție complexă a ecuației (2), atunci partea reală
, și partea imaginară
solutii
separat sunt soluții ale aceleiași ecuații omogene. Astfel, orice soluție complexă a ecuației (2) generează două soluții reale ale acestei ecuații.

Soluțiile unei ecuații liniare omogene au următoarele proprietăți:

Dacă este o soluție a ecuației (2), apoi funcția
, Unde CU– o constantă arbitrară va fi, de asemenea, o soluție a ecuației (2);

Dacă Și există soluții pentru ecuația (2), apoi funcția
va fi, de asemenea, o soluție a ecuației (2);

Dacă Și există soluții pentru ecuația (2), apoi combinația lor liniară
va fi, de asemenea, o soluție a ecuației (2), unde Și
– constante arbitrare.

Funcții
Și
sunt numite dependent liniar pe interval
, dacă astfel de numere există Și
, nu egal cu zero în același timp, că pe acest interval egalitatea

Dacă egalitatea (4) apare numai când
Și
, apoi funcțiile
Și
sunt numite liniar independent pe interval
.

Exemplul 1 . Funcții
Și
sunt liniar dependente, deoarece
pe întreaga linie numerică. În acest exemplu
.

Exemplul 2 . Funcții
Și
sunt liniar independente pe orice interval, din moment ce egalitatea
este posibilă numai în cazul în care
, Și
.

Construirea unei soluții generale la o omogenă liniară

ecuații

Pentru a găsi o soluție generală a ecuației (2), trebuie să găsiți două dintre soluțiile sale liniar independente Și . Combinație liniară a acestor soluții
, Unde Și
sunt constante arbitrare și vor da o soluție generală unei ecuații liniare omogene.

Vom căuta soluții liniar independente ale ecuației (2) sub forma

, (5)

Unde – un anumit număr. Apoi
,
. Să substituim aceste expresii în ecuația (2):

sau
.

Deoarece
, Acea
. Deci funcția
va fi o soluție a ecuației (2) dacă va satisface ecuația

. (6)

Ecuația (6) se numește ecuație caracteristică pentru ecuația (2). Această ecuație este o ecuație algebrică pătratică.

Lăsa Și există rădăcini ale acestei ecuații. Ele pot fi fie reale și diferite, fie complexe, fie reale și egale. Să luăm în considerare aceste cazuri.

Lasă rădăcinile Și ecuațiile caracteristice sunt reale și distincte. Atunci soluțiile ecuației (2) vor fi funcțiile
Și
. Aceste soluții sunt liniar independente, deoarece egalitatea
poate fi efectuată numai atunci când
, Și
. Prin urmare, soluția generală a ecuației (2) are forma

,

Unde Și
- constante arbitrare.

Exemplul 3
.

Soluţie . Ecuația caracteristică pentru această diferență va fi
. După ce am rezolvat această ecuație pătratică, îi găsim rădăcinile
Și
. Funcții
Și
sunt soluții ale ecuației diferențiale. Soluția generală a acestei ecuații este
.

Număr complex numită expresie a formei
, Unde Și sunt numere reale și
numită unitatea imaginară. Dacă
, apoi numărul
se numește pur imaginar. Dacă
, apoi numărul
este identificat cu un număr real .

Număr se numește partea reală a unui număr complex și - partea imaginară. Dacă două numere complexe diferă unul de celălalt doar prin semnul părții imaginare, atunci ele se numesc conjugate:
,
.

Exemplul 4 . Rezolvați ecuația pătratică
.

Soluţie . Ecuație discriminantă
. Apoi. De asemenea,
. Astfel, această ecuație pătratică are rădăcini complexe conjugate.

Fie rădăcinile ecuației caracteristice să fie complexe, i.e.
,
, Unde
. Rezolvarile ecuatiei (2) pot fi scrise sub forma
,
sau
,
. Conform formulelor lui Euler

,
.

Apoi ,. După cum se știe, dacă o funcție complexă este o soluție la o ecuație liniară omogenă, atunci soluțiile acestei ecuații sunt atât părțile reale, cât și cele imaginare ale acestei funcții. Astfel, soluțiile ecuației (2) vor fi funcțiile
Și
. De la egalitate

poate fi executat numai dacă
Și
, atunci aceste soluții sunt liniar independente. Prin urmare, soluția generală a ecuației (2) are forma

Unde Și
- constante arbitrare.

Exemplul 5 . Găsiți soluția generală a ecuației diferențiale
.

Soluţie . Ecuația
este caracteristică unui diferențial dat. Să o rezolvăm și să obținem rădăcini complexe
,
. Funcții
Și
sunt soluții liniar independente ale ecuației diferențiale. Soluția generală a acestei ecuații este:

Fie rădăcinile ecuației caracteristice să fie reale și egale, adică.
. Atunci soluțiile ecuației (2) sunt funcțiile
Și
. Aceste soluții sunt liniar independente, deoarece expresia poate fi identic egală cu zero numai atunci când
Și
. Prin urmare, soluția generală a ecuației (2) are forma
.

Exemplul 6 . Găsiți soluția generală a ecuației diferențiale
.

Soluţie . Ecuație caracteristică
are rădăcini egale
. În acest caz, soluțiile liniar independente ale ecuației diferențiale sunt funcțiile
Și
. Soluția generală are forma
.

Ecuații diferențiale liniare neomogene de ordinul doi cu coeficienți constanți

și partea dreaptă specială

Soluția generală a ecuației liniare neomogene (1) este egală cu suma soluției generale
ecuația omogenă corespunzătoare și orice soluție particulară
ecuație neomogenă:
.

În unele cazuri, o anumită soluție la o ecuație neomogenă poate fi găsită destul de simplu prin forma părții din dreapta
ecuația (1). Să ne uităm la cazurile în care acest lucru este posibil.

acestea. partea dreaptă a ecuației neomogene este un polinom de grad m. Dacă
nu este o rădăcină a ecuației caracteristice, atunci o soluție specială a ecuației neomogene ar trebui căutată sub forma unui polinom de grad m, adică

Cote
sunt determinate în procesul de găsire a unei anumite soluții.

Dacă
este rădăcina ecuației caracteristice, atunci o anumită soluție a ecuației neomogene trebuie căutată sub forma

Exemplul 7 . Găsiți soluția generală a ecuației diferențiale
.

Soluţie . Ecuația omogenă corespunzătoare pentru această ecuație este
. Ecuația sa caracteristică
are rădăcini
Și
. Soluția generală a ecuației omogene are forma
.

Deoarece
nu este o rădăcină a ecuației caracteristice, atunci vom căuta o soluție particulară a ecuației neomogene sub forma unei funcții
. Să găsim derivatele acestei funcții
,
și înlocuiți-le în această ecuație:

sau . Să echivalăm coeficienții pentru și membri gratuiti:
După ce am rezolvat acest sistem, obținem
,
. Atunci o anumită soluție a ecuației neomogene are forma
, iar soluția generală a unei ecuații neomogene date va fi suma soluției generale a ecuației omogene corespunzătoare și soluția particulară a celei neomogene:
.

Fie ecuația neomogenă să aibă forma

Dacă
nu este o rădăcină a ecuației caracteristice, atunci o soluție specială a ecuației neomogene ar trebui căutată în formă. Dacă
este rădăcina ecuației de multiplicitate caracteristică k (k=1 sau k=2), atunci în acest caz o soluție particulară a ecuației neomogene va avea forma .

Exemplul 8 . Găsiți soluția generală a ecuației diferențiale
.

Soluţie . Ecuația caracteristică pentru ecuația omogenă corespunzătoare are forma
. Rădăcinile sale
,
. În acest caz, soluția generală a ecuației omogene corespunzătoare se scrie sub formă
.

Deoarece numărul 3 nu este o rădăcină a ecuației caracteristice, o anumită soluție a ecuației neomogene ar trebui căutată sub forma
. Să găsim derivatele primului și al doilea ordin:

Să substituim în ecuația diferențială:
+ +,
+,.

Să echivalăm coeficienții pentru și membri gratuiti:

De aici
,
. Atunci o anumită soluție a acestei ecuații are forma
, și soluția generală

.

Metoda Lagrange de variație a constantelor arbitrare

Metoda de variație a constantelor arbitrare poate fi aplicată oricărei ecuații liniare neomogene cu coeficienți constanți, indiferent de tipul de partea dreaptă. Această metodă vă permite să găsiți întotdeauna o soluție generală a unei ecuații neomogene dacă este cunoscută soluția generală a ecuației omogene corespunzătoare.

Lăsa
Și
sunt soluții liniar independente ale ecuației (2). Atunci soluția generală a acestei ecuații este
, Unde Și
- constante arbitrare. Esența metodei de variație a constantelor arbitrare este că soluția generală a ecuației (1) este căutată sub forma

Unde
Și
- noi funcții necunoscute care trebuie găsite. Deoarece există două funcții necunoscute, pentru a le găsi, sunt necesare două ecuații care conțin aceste funcții. Aceste două ecuații alcătuiesc sistemul

care este un sistem algebric liniar de ecuații în raport cu
Și
. Rezolvând acest sistem, găsim
Și
. Integrând ambele părți ale egalităților obținute, găsim

Și
.

Înlocuind aceste expresii în (9), obținem o soluție generală a ecuației liniare neomogene (1).

Exemplul 9 . Găsiți soluția generală a ecuației diferențiale
.

Soluţie. Ecuația caracteristică pentru ecuația omogenă corespunzătoare unei ecuații diferențiale date este
. Rădăcinile sale sunt complexe
,
. Deoarece
Și
, Acea
,
, iar soluția generală a ecuației omogene are forma. Apoi vom căuta o soluție generală la această ecuație neomogenă sub forma unde
Și
- funcții necunoscute.

Sistemul de ecuații pentru găsirea acestor funcții necunoscute are forma

După ce am rezolvat acest sistem, găsim
,
. Apoi

,
. Să substituim expresiile rezultate în formula soluției generale:

Aceasta este soluția generală a acestei ecuații diferențiale, obținută prin metoda Lagrange.

Întrebări pentru autocontrolul cunoștințelor

Ce ecuație diferențială se numește ecuație diferențială liniară de ordinul doi cu coeficienți constanți?

Ce ecuație diferențială liniară se numește omogenă și care se numește neomogenă?

Ce proprietăți are o ecuație liniară omogenă?

Ce ecuație se numește caracteristică pentru o ecuație diferențială liniară și cum se obține?

În ce formă se scrie soluția generală a unei ecuații diferențiale liniare omogene cu coeficienți constanți în cazul diferitelor rădăcini ale ecuației caracteristice?

În ce formă este scrisă soluția generală a unei ecuații diferențiale liniare omogene cu coeficienți constanți în cazul rădăcinilor egale ale ecuației caracteristice?

În ce formă se scrie soluția generală a unei ecuații diferențiale liniare omogene cu coeficienți constanți în cazul rădăcinilor complexe ale ecuației caracteristice?

Cum se scrie soluția generală a unei ecuații liniare neomogene?

În ce formă se caută o anumită soluție a unei ecuații liniare neomogene dacă rădăcinile ecuației caracteristice sunt diferite și nu sunt egale cu zero, iar partea dreaptă a ecuației este un polinom de grad m?

În ce formă se caută o anumită soluție pentru o ecuație liniară neomogenă dacă există un zero între rădăcinile ecuației caracteristice și partea dreaptă a ecuației este un polinom de grad m?

Care este esența metodei lui Lagrange?

Ecuația

unde și sunt funcții continue în interval se numește ecuație diferențială liniară neomogenă de ordinul doi, funcționează și sunt coeficienții săi. Dacă în acest interval, atunci ecuația ia forma:

și se numește ecuație diferențială liniară omogenă de ordinul doi. Dacă ecuația (**) are aceiași coeficienți și ca și ecuația (*), atunci se numește ecuație omogenă corespunzătoare ecuației neomogene (*).

Ecuații diferențiale liniare omogene de ordinul doi

Lăsați ecuația liniară

Și sunt numere reale constante.

Vom căuta o soluție particulară a ecuației sub forma unei funcții , unde trebuie determinat un număr real sau complex. Diferențiând prin , obținem:

Înlocuind în ecuația diferențială inițială, obținem:

Prin urmare, ținând cont de faptul că avem:

Această ecuație se numește ecuația caracteristică a unei ecuații diferențiale liniare omogene. Ecuația caracteristică face posibilă găsirea. Aceasta este o ecuație de gradul doi, deci are două rădăcini. Să le notăm prin și . Sunt posibile trei cazuri:

1) Rădăcinile sunt reale și diferite. În acest caz, soluția generală a ecuației este:

Exemplul 1

2) Rădăcinile sunt reale și egale. În acest caz, soluția generală a ecuației este:

Exemplu2

Te-ai trezit pe această pagină încercând să rezolvi o problemă pentru un examen sau un test? Dacă tot nu ați reușit să promovați examenul, data viitoare faceți o programare în avans pe site-ul web despre Ajutor online la matematică superioară.

Ecuația caracteristică are forma:

Rezolvarea ecuației caracteristice:

Soluția generală a ecuației diferențiale inițiale este:

3) Rădăcini complexe. În acest caz, soluția generală a ecuației este:

Exemplul 3

Ecuația caracteristică are forma:

Rezolvarea ecuației caracteristice:

Soluția generală a ecuației diferențiale inițiale este:

Ecuații diferențiale liniare neomogene de ordinul doi

Să considerăm acum soluția unor tipuri de ecuații liniare neomogene de ordinul doi cu coeficienți constanți

unde și sunt numere reale constante, este o funcție continuă cunoscută în intervalul . Pentru a găsi o soluție generală a unei astfel de ecuații diferențiale, este necesar să se cunoască soluția generală a ecuației diferențiale omogene corespunzătoare și soluția particulară. Să ne uităm la câteva cazuri:

Căutăm și o soluție parțială a ecuației diferențiale sub forma unui trinom pătratic:

Dacă 0 este o singură rădăcină a ecuației caracteristice, atunci

Dacă 0 este o rădăcină dublă a ecuației caracteristice, atunci

Situația este similară dacă este un polinom de grad arbitrar

Exemplul 4

Să rezolvăm ecuația omogenă corespunzătoare.

Ecuația caracteristică:

Soluția generală a ecuației omogene:

Să găsim o soluție specială pentru ecuația de difuzie neomogenă:

Înlocuind derivatele găsite în ecuația diferențială inițială, obținem:

Soluția specială necesară:

Soluția generală a ecuației diferențiale inițiale este:

Căutăm o anumită soluție sub forma , unde este coeficientul nedeterminat.

Înlocuind și în ecuația diferențială originală, obținem o identitate din care găsim coeficientul.

Dacă este rădăcina ecuației caracteristice, atunci căutăm o soluție particulară a ecuației diferențiale inițiale sub forma , când este o rădăcină simplă și , când este o rădăcină dublă.

Exemplul 5

Ecuația caracteristică:

Soluția generală a ecuației diferențiale omogene corespunzătoare este:

Să găsim o soluție specială pentru ecuația diferențială neomogenă corespunzătoare:

Soluția generală a ecuației diferențiale:

În acest caz, căutăm o soluție specială sub forma unui binom trigonometric:

unde și sunt coeficienți nedeterminați

Înlocuind și în ecuația diferențială originală, obținem o identitate din care găsim coeficienții.

Aceste ecuații determină coeficienții și cu excepția cazului în care (sau când - rădăcinile ecuației caracteristice). În acest din urmă caz, căutăm o soluție particulară a ecuației diferențiale sub forma:

Exemplu6

Ecuația caracteristică:

Soluția generală a ecuației diferențiale omogene corespunzătoare este:

Să găsim o soluție specială pentru ecuația de difuzie neomogenă

Înlocuind în ecuația diferențială inițială, obținem:

Soluția generală a ecuației diferențiale inițiale este:

Convergența serii de numere
Se dă o definiție a convergenței unei serii și se analizează în detaliu problemele pentru studierea convergenței seriilor de numere - teste de comparație, testul de convergență al lui d'Alembert, testul de convergență Cauchy și testul de convergență Cauchy integral.

Convergența absolută și condiționată a seriei
Pagina discută serii alternante, convergența lor condiționată și absolută, testul de convergență Leibniz pentru serii alternante - conține o scurtă teorie pe această temă și un exemplu de rezolvare a problemei.

Ecuații diferențiale de ordinul 2

§1. Metode de reducere a ordinii unei ecuații.

Ecuația diferențială de ordinul 2 are forma:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image002_107.gif" width="19" height="25 src=">.gif" width="119" height="25 src="> ( sau Diferențial" href="/text/category/differentcial/" rel="bookmark">Ecuație diferențială de ordinul 2). Problemă Cauchy pentru o ecuație diferențială de ordinul 2 (1..gif" width="85" height= "25 src =">.gif" width="85" height="25 src=">.gif" height="25 src=">.

Fie ecuația diferențială de ordinul 2 să aibă forma: https://pandia.ru/text/78/516/images/image009_41.gif" height="25 src=">..gif" width="39" height=" 25 src=">.gif" width="265" height="28 src=">.

Astfel, ecuația de ordinul 2 https://pandia.ru/text/78/516/images/image015_28.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="118" height =" 25 src=">.gif" width="117" height="25 src=">.gif" width="34" height="25 src=">. Rezolvând-o, obținem integrala generală a ecuației diferențiale inițiale, în funcție de două constante arbitrare: https://pandia.ru/text/78/516/images/image020_23.gif" width="95" height="25 src =">. gif" width="76" height="25 src=">.

Soluţie.

Deoarece ecuația originală nu conține în mod explicit un argument https://pandia.ru/text/78/516/images/image011_39.gif" height="25 src=">.gif" width="35" height="25 src=">..gif" width="35" height="25 src=">.gif" width="82" height="38 src="> ..gif" width="99" height="38 src=">.

De la https://pandia.ru/text/78/516/images/image029_18.gif" width="85" height="25 src=">.gif" width="42" height="38 src= " >.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="68" height="35 src=">..gif" height="25 src=">.

Fie ecuația diferențială de ordinul 2 să aibă forma: https://pandia.ru/text/78/516/images/image011_39.gif" height="25 src=">..gif" width="161" height=" 25 src=">.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="33" height="25 src=">..gif" width="225" height="25 src=">..gif" width="150" height="25 src=">.

Exemplul 2. Găsiți soluția generală a ecuației: https://pandia.ru/text/78/516/images/image015_28.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="107" height ="25 src=">..gif" width="100" height="27 src=">.gif" width="130" height="37 src=">.gif" width="34" height= "25 src =">.gif" width="183" height="36 src=">.

3. Ordinea puterii este redusă dacă este posibil să o transformăm într-o astfel de formă încât ambele părți ale ecuației să devină derivate complete conform https://pandia.ru/text/78/516/images/image052_13.gif " width="92" height=" 25 src=">..gif" width="98" height="48 src=">.gif" width="138" height="25 src=">.gif" width="282" height="25 src=">, (2.1)

unde https://pandia.ru/text/78/516/images/image060_12.gif" width="42" height="25 src=">.gif" width="42" height="25 src="> – functii date, continue pe intervalul pe care se cauta solutia. Presupunând că a0(x) ≠ 0, împărțim (2..gif" width="215" height="25 src="> (2.2)

Să acceptăm fără dovezi că (2..gif" width="82" height="25 src=">.gif" width="38" height="25 src=">.gif" width="65" înălțime = "25 src=">, atunci ecuația (2.2) se numește omogenă, iar ecuația (2.2) se numește neomogenă în caz contrar.

Să luăm în considerare proprietățile soluțiilor la lode de ordinul 2.

Definiție. Combinație liniară de funcții https://pandia.ru/text/78/516/images/image071_10.gif" width="93" height="25 src=">.gif" width="42" height="25 src = ">.gif" width="195" height="25 src=">, (2.3)

apoi combinația lor liniară https://pandia.ru/text/78/516/images/image076_10.gif" width="182" height="25 src="> în (2.3) și arată că rezultatul este identitatea:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image078_10.gif" width="368" height="25 src=">.

Deoarece funcțiile https://pandia.ru/text/78/516/images/image074_11.gif" width="42" height="25 src="> sunt soluții ale ecuației (2.3), atunci fiecare dintre parantezele din ultima ecuație este identică este egală cu zero, ceea ce trebuia demonstrat.

Corolarul 1. Din teorema dovedită rezultă că la https://pandia.ru/text/78/516/images/image080_10.gif" width="77" height="25 src="> - soluția ecuației (2. .gif" width=" 97" height="25 src=">.gif" width="165" height="25 src="> se numește liniar independent pe un anumit interval dacă niciuna dintre aceste funcții nu poate fi reprezentată ca liniar combinație a tuturor celorlalte.

În cazul a două funcții https://pandia.ru/text/78/516/images/image085_11.gif" width="119" height="25 src=">, adică..gif" width="77" înălțime ="47 src=">.gif" width="187" height="43 src=">.gif" width="42" height="25 src=">. Astfel, determinantul Wronski pentru două funcții liniar independente nu poate fi identic egal cu zero.

Să https://pandia.ru/text/78/516/images/image091_10.gif" width="46" height="25 src=">.gif" width="42" height="25 src="> .gif" width="605" height="50">..gif" width="18" height="25 src="> satisface ecuația (2..gif" width="42" height="25 src = "> – soluția ecuației (3.1)..gif" width="87" height="28 src=">..gif" width="182" height="34 src=">..gif" width= "162 " height="42 src=">.gif" width="51" height="25 src="> se obține identitatea. Astfel,

https://pandia.ru/text/78/516/images/image107_7.gif" width="18" height="25 src=">, în care determinantul pentru soluțiile liniar independente ale ecuației (2..gif " width= "42" height="25 src=">.gif" height="25 src="> ambii factori din partea dreaptă a formulei (3.2) sunt diferite de zero.

§4. Structura soluției generale a lodei de ordinul 2.

Teorema. Dacă https://pandia.ru/text/78/516/images/image074_11.gif" width="42" height="25 src="> sunt soluții liniar independente ale ecuației (2..gif" width=" 19" height="25 src=">.gif" width="129" height="25 src=">este o soluție a ecuației (2.3), rezultă din teorema privind proprietățile soluțiilor la lode de ordinul 2.. gif" width="85 " height="25 src=">.gif" width="19" height="25 src=">.gif" width="220" height="47">

Constantele https://pandia.ru/text/78/516/images/image003_79.gif" width="19" height="25 src="> din acest sistem de ecuații algebrice liniare sunt determinate unic, deoarece determinantul lui acest sistem este https: //pandia.ru/text/78/516/images/image006_56.gif" width="51" height="25 src=">:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image116_7.gif" width="138" height="25 src=">.gif" width="19" height="25 src=">. gif" width="69" height="25 src=">.gif" width="235" height="48 src=">..gif" width="143" height="25 src="> (5 ..gif" width="77" height="25 src=">. Conform paragrafului anterior, soluția generală a Lod de ordinul 2 este ușor de determinat dacă se cunosc două soluții parțiale liniar independente ale acestei ecuații. O metodă simplă pentru găsirea de soluții parțiale la o ecuație cu coeficienți constanți propusă de L. Euler..gif" width="25" height="26 src=">, obținem o ecuație algebrică, care se numește caracteristică:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image124_5.gif" width="59" height="26 src="> va fi o soluție a ecuației (5.1) numai pentru acele valori ale lui k care sunt rădăcinile ecuației caracteristice (5.2)..gif" width="49" height="25 src=">..gif" width="76" height="28 src=">.gif" width= "205" height="47 src="> și soluția generală (5..gif" width="45" height="25 src=">..gif" width="74" height="26 src=" >..gif" width="83 " height="26 src=">. Să verificăm dacă această funcție satisface ecuația (5.1)..gif" width="190" height="26 src=">. Înlocuind aceste expresii în ecuația (5.1), obținem

https://pandia.ru/text/78/516/images/image141_6.gif" width="328" height="26 src=">, deoarece..gif" width="137" height="26 src= „>.

Soluțiile particulare https://pandia.ru/text/78/516/images/image145_6.gif" width="86" height="28 src="> sunt liniar independente, deoarece..gif" width="166" înălțime ="26 src=">.gif" width="45" height="25 src=">..gif" width="65" height="33 src=">.gif" width="134" height = "25 src=">.gif" width="267" height="25 src=">.gif" width="474" height="25 src=">.

Ambele paranteze din partea stângă a acestei egalități sunt identice egale cu zero..gif" width="174" height="25 src=">..gif" width="132" height="25 src="> este soluția ecuației (5.1) ..gif" width="129" height="25 src="> va arăta astfel:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image162_6.gif" width="179" height="25 src="> f(x) (6.1)

este prezentat ca suma soluției generale https://pandia.ru/text/78/516/images/image164_6.gif" width="195" height="25 src="> (6.2)

și orice soluție anume https://pandia.ru/text/78/516/images/image166_6.gif" width="87" height="25 src="> va fi o soluție a ecuației (6.1)..gif" width=" 272" height="25 src="> f(x). Această egalitate este o identitate, deoarece..gif" width="128" height="25 src="> f(x). Prin urmare.gif" width="85" height="25 src=">.gif" width ="138" height="25 src=">.gif" width="18" height="25 src="> sunt soluții liniar independente ale acestei ecuații. Prin urmare:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image173_5.gif" width="289" height="48 src=">

https://pandia.ru/text/78/516/images/image002_107.gif" width="19" height="25 src=">.gif" width="11" height="25 src=">. gif" width="51" height="25 src=">, iar un astfel de determinant, așa cum am văzut mai sus, este diferit de zero..gif" width="19" height="25 src="> din sistem de ecuații (6 ..gif" width="76" height="25 src=">.gif" width="76" height="25 src=">.gif" width="140" height="25 src ="> va rezolva ecuația

https://pandia.ru/text/78/516/images/image179_5.gif" width="91" height="25 src="> în ecuația (6.5), obținem

https://pandia.ru/text/78/516/images/image181_5.gif" width="140" height="25 src=">.gif" width="128" height="25 src="> f (x) (7,1)

unde https://pandia.ru/text/78/516/images/image185_5.gif" width="34" height="25 src="> ecuația (7.1) în cazul în care partea dreaptă f(x ) are o formă specială.Această metodă se numește metoda coeficienților nedeterminați și constă în selectarea unei anumite soluții în funcție de tipul părții drepte f(x).Se consideră părțile drepte de următoarea formă:

1..gif" width="282" height="25 src=">.gif" width="53" height="25 src=">, poate fi zero. Să indicăm forma în care trebuie luată o anumită soluție în acest caz.

a) Dacă numărul https://pandia.ru/text/78/516/images/image191_5.gif" width="393" height="25 src=">.gif" width="157" height="25 src =>>.

Soluţie.

Pentru ecuația https://pandia.ru/text/78/516/images/image195_4.gif" width="86" height="25 src=">..gif" width="62" height="25 src = ">..gif" width="101" height="25 src=">.gif" width="153" height="25 src=">.gif" width="383" height="25 src= " >.

Reducem ambele părți la https://pandia.ru/text/78/516/images/image009_41.gif" height="25 src="> în partea stângă și dreaptă a egalității

https://pandia.ru/text/78/516/images/image206_5.gif" width="111" height="40 src=">

Din sistemul de ecuații rezultat găsim: https://pandia.ru/text/78/516/images/image208_5.gif" width="189" height="25 src=">, iar soluția generală a datei ecuația este:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image190_5.gif" width="11" height="25 src=">.gif" width="423" height="25 src=">,

unde https://pandia.ru/text/78/516/images/image212_5.gif" width="158" height="25 src=">.

Soluţie.

Ecuația caracteristică corespunzătoare are forma:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image214_6.gif" width="53" height="25 src=">.gif" width="85" height="25 src=">. gif" width="45" height="25 src=">.gif" width="219" height="25 src=">..gif" width="184" height="35 src=">. Final avem următoarea expresie pentru soluția generală:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image223_4.gif" width="170" height="25 src=">.gif" width="13" height="25 src="> excelent de la zero. Să indicăm tipul de soluție particulară în acest caz.

a) Dacă numărul https://pandia.ru/text/78/516/images/image227_5.gif" width="204" height="25 src=">,

unde https://pandia.ru/text/78/516/images/image226_5.gif" width="16" height="25 src="> este rădăcina ecuației caracteristice pentru ecuație (5..gif" width="229 " height="25 src=">,

unde https://pandia.ru/text/78/516/images/image229_5.gif" width="147" height="25 src=">.

Soluţie.

Rădăcinile ecuației caracteristice pentru ecuația https://pandia.ru/text/78/516/images/image231_4.gif" width="58" height="25 src=">.gif" width="203" înălțime ="25 src=">.

Partea dreaptă a ecuației din exemplul 3 are o formă specială: f(x) https://pandia.ru/text/78/516/images/image235_3.gif" width="50" height="25 src= ">.gif " width="55" height="25 src=">.gif" width="229" height="25 src=">.

Pentru a determina https://pandia.ru/text/78/516/images/image240_2.gif" width="11" height="25 src=">.gif" width="43" height="25 src=" > și înlocuiți-l în ecuația dată:

Citând termeni similari, echivalând coeficienții la https://pandia.ru/text/78/516/images/image245_2.gif" width="46" height="25 src=">.gif" width="100" înălțime = "25 src=">.

Soluția generală finală a ecuației date este: https://pandia.ru/text/78/516/images/image249_2.gif" width="281" height="25 src=">.gif" width="47 „ height ="25 src=">.gif" width="10" height="25 src="> respectiv, iar unul dintre aceste polinoame poate fi egal cu zero. Să indicăm tipul de soluție particulară în acest caz general .

a) Dacă numărul https://pandia.ru/text/78/516/images/image255_2.gif" width="605" height="51">, (7.2)

unde https://pandia.ru/text/78/516/images/image257_2.gif" width="121" height="25 src=">.

b) Dacă numărul https://pandia.ru/text/78/516/images/image210_5.gif" width="80" height="25 src=">, atunci soluția specială pentru lndu va arăta astfel:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image259_2.gif" width="17" height="25 src=">. În expresia (7..gif" width="121" height= " 25 src=">.

Exemplul 4. Indicați tipul de soluție particulară pentru ecuație

https://pandia.ru/text/78/516/images/image262_2.gif" width="129" height="25 src=">..gif" width="95" height="25 src="> . Soluția generală la Lodu are forma:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image266_2.gif" width="183" height="25 src=">..gif" width="42" height="25 src="> ..gif" width="36" height="25 src=">.gif" width="351" height="25 src=">.

Alți coeficienți https://pandia.ru/text/78/516/images/image273_2.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="42" height="28 src=" > există o soluție specială pentru ecuația cu partea dreaptă f1(x), și Variation" href="/text/category/variatciya/" rel="bookmark">variații ale constantelor arbitrare (metoda Lagrange).

Găsirea directă a unei anumite soluții a unei ecuații, cu excepția cazului unei ecuații cu coeficienți constanți și cu termeni liberi speciali, este foarte dificilă. Prin urmare, pentru a găsi o soluție generală a ecuației, se folosește de obicei metoda de variație a constantelor arbitrare, care face întotdeauna posibilă găsirea soluției generale a ecuației în pătraturi dacă este cunoscut sistemul fundamental de soluții pentru ecuația omogenă corespunzătoare. . Această metodă este după cum urmează.

Conform celor de mai sus, soluția generală a unei ecuații liniare omogenă este:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image278_2.gif" width="46" height="25 src=">.gif" width="51" height="25 src="> – nu constante, ci unele funcții, încă necunoscute, ale lui f(x). . trebuie luate din interval. De fapt, în acest caz determinantul Wronski este diferit de zero în toate punctele intervalului, adică în întregul spațiu - rădăcina complexă a ecuației caracteristice..gif" width="20" height="25 src="> soluții parțiale liniar independente de forma:

În formula generală a soluției, această rădăcină corespunde unei expresii a formei.

Acest articol abordează problema rezolvării ecuațiilor diferențiale liniare neomogene de ordinul doi cu coeficienți constanți. Teoria va fi discutată împreună cu exemple de probleme date. Pentru a descifra termeni neclari, este necesar să ne referim la subiectul despre definițiile și conceptele de bază ale teoriei ecuațiilor diferențiale.

Să considerăm o ecuație diferențială liniară (LDE) de ordinul doi cu coeficienți constanți de forma y "" + p · y " + q · y = f (x), unde p și q sunt numere arbitrare și funcția existentă f (x) este continuă pe intervalul de integrare x.

Să trecem la formularea teoremei pentru soluția generală a LNDE.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Teorema soluției generale pentru LDNU

O soluție generală, situată pe intervalul x, a unei ecuații diferențiale neomogene de forma y (n) + f n - 1 (x) · y (n - 1) + . . . + f 0 (x) · y = f (x) cu coeficienți de integrare continuă pe intervalul x f 0 (x) , f 1 (x) , . . . , f n - 1 (x) și o funcție continuă f (x) este egală cu suma soluției generale y 0, care corespunde LOD și unei soluții particulare y ~, unde ecuația neomogenă inițială este y = y 0 + y ~.

Aceasta arată că soluția unei astfel de ecuații de ordinul doi are forma y = y 0 + y ~ . Algoritmul pentru găsirea y 0 este discutat în articolul despre ecuații diferențiale liniare omogene de ordinul doi cu coeficienți constanți. După care ar trebui să trecem la definiția lui y ~.

Alegerea unei anumite soluții pentru LPDE depinde de tipul funcției disponibile f (x) situată în partea dreaptă a ecuației. Pentru a face acest lucru, este necesar să luăm în considerare separat soluțiile ecuațiilor diferențiale liniare neomogene de ordinul doi cu coeficienți constanți.

Când f (x) este considerat a fi un polinom de gradul al n-lea f (x) = P n (x), rezultă că o anumită soluție a LPDE este găsită folosind o formulă de forma y ~ = Q n (x ) x γ, unde Q n ( x) este un polinom de grad n, r este numărul de rădăcini zero ale ecuației caracteristice. Valoarea y ~ este o soluție particulară y ~ "" + p y ~ " + q y ~ = f (x) , apoi coeficienții disponibili care sunt definiți de polinom
Q n (x), găsim folosind metoda coeficienților nedeterminați din egalitatea y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x).

Exemplul 1

Calculați folosind teorema lui Cauchy y "" - 2 y " = x 2 + 1 , y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 .

Soluţie

Cu alte cuvinte, este necesar să trecem la o anumită soluție a unei ecuații diferențiale neomogene liniare de ordinul doi cu coeficienți constanți y "" - 2 y " = x 2 + 1, care va îndeplini condițiile date y (0) = 2, y " (0) = 1 4 .

Soluția generală a unei ecuații liniare neomogene este suma soluției generale, care corespunde ecuației y 0 sau unei soluții particulare a ecuației neomogene y ~, adică y = y 0 + y ~.

În primul rând, vom găsi o soluție generală pentru LNDU și apoi una particulară.

Să trecem la găsirea y 0. Scrierea ecuației caracteristice vă va ajuta să găsiți rădăcinile. Înțelegem asta

k 2 - 2 k = 0 k (k - 2) = 0 k 1 = 0 , k 2 = 2

Am descoperit că rădăcinile sunt diferite și reale. Prin urmare, să scriem

y 0 = C 1 e 0 x + C 2 e 2 x = C 1 + C 2 e 2 x.

Să găsim y ~ . Se poate observa că partea dreaptă a ecuației date este un polinom de gradul doi, atunci una dintre rădăcini este egală cu zero. Din aceasta obținem că o soluție particulară pentru y ~ va fi

y ~ = Q 2 (x) x γ = (A x 2 + B x + C) x = A x 3 + B x 2 + C x, unde valorile lui A, B, C iau coeficienți nedeterminați.

Să le găsim dintr-o egalitate de forma y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 .

Atunci obținem că:

y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 (A x 3 + B x 2 + C x) "" - 2 (A x 3 + B x 2 + C x) " = x 2 + 1 3 A x 2 + 2 B x + C " - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 6 A x + 2 B - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 - 6 A x 2 + x (6 A - 4 B) + 2 B - 2 C = x 2 + 1

Echivalând coeficienții cu aceiași exponenți ai lui x, obținem un sistem de expresii liniare - 6 A = 1 6 A - 4 B = 0 2 B - 2 C = 1. Când rezolvăm prin oricare dintre metode, vom găsi coeficienții și vom scrie: A = - 1 6, B = - 1 4, C = - 3 4 și y ~ = A x 3 + B x 2 + C x = - 1 6 x 3 - 1 4 x 2 - 3 4 x .

Această intrare se numește soluția generală a ecuației diferențiale neomogene liniare inițiale de ordinul doi cu coeficienți constanți.

Pentru a găsi o anumită soluție care îndeplinește condițiile y (0) = 2, y "(0) = 1 4, este necesar să se determine valorile C 1Și C 2, pe baza unei egalități de forma y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x.

Primim ca:

y (0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x x = 0 = C 1 + C 2 y " (0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x " x = 0 = = 2 C 2 e 2 x - 1 2 x 2 + 1 2 x + 3 4 x = 0 = 2 C 2 - 3 4

Lucrăm cu sistemul de ecuații rezultat de forma C 1 + C 2 = 2 2 C 2 - 3 4 = 1 4, unde C 1 = 3 2, C 2 = 1 2.

Aplicând teorema lui Cauchy, avem asta

y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x = = 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x

Răspuns: 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x .

Când funcția f (x) este reprezentată ca produsul unui polinom cu gradul n și un exponent f (x) = P n (x) · e a x , atunci obținem că o anumită soluție a LPDE de ordinul doi va fi o ecuația de forma y ~ = e a x · Q n ( x) · x γ, unde Q n (x) este un polinom de gradul n, iar r este numărul de rădăcini ale ecuației caracteristice egal cu α.

Coeficienții aparținând lui Q n (x) se găsesc prin egalitatea y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .

Exemplul 2

Aflați soluția generală a unei ecuații diferențiale de forma y "" - 2 y " = (x 2 + 1) · e x .

Soluţie

Ecuația generală este y = y 0 + y ~ . Ecuația indicată corespunde LOD y "" - 2 y " = 0. Din exemplul anterior se poate observa că rădăcinile sale sunt egale k 1 = 0şi k 2 = 2 şi y 0 = C 1 + C 2 e 2 x prin ecuaţia caracteristică.

Se poate observa că partea dreaptă a ecuației este x 2 + 1 · e x . De aici LPDE se găsește prin y ~ = e a x · Q n (x) · x γ, unde Q n (x) este un polinom de gradul doi, unde α = 1 și r = 0, deoarece ecuația caracteristică nu au rădăcina egală cu 1. De aici obținem asta

y ~ = e a x · Q n (x) · x γ = e x · A x 2 + B x + C · x 0 = e x · A x 2 + B x + C .

A, B, C sunt coeficienți necunoscuți care pot fi găsiți prin egalitatea y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) · e x.

Am inteles

y ~ " = e x · A x 2 + B x + C " = e x · A x 2 + B x + C + e x · 2 A x + B = = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C y ~ " " = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C " = = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C + e x · 2 A x + 2 A + B = = e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C

y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) e x ⇔ e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C - - 2 e x A x 2 + x 2 A + B + B + C = x 2 + 1 · e x ⇔ e x · - A x 2 - B x + 2 A - C = (x 2 + 1) · e x ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = x 2 + 1 ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = 1 x 2 + 0 x + 1

Echivalăm indicatorii cu aceiași coeficienți și obținem un sistem de ecuații liniare. De aici găsim A, B, C:

A = 1 - B = 0 2 A - C = 1 ⇔ A = - 1 B = 0 C = - 3

Răspuns: este clar că y ~ = e x · (A x 2 + B x + C) = e x · - x 2 + 0 · x - 3 = - e x · x 2 + 3 este o soluție particulară a LNDDE și y = y 0 + y = C 1 e 2 x - e x · x 2 + 3 - o soluție generală pentru o ecuație diferită neomogenă de ordinul doi.

Când funcția este scrisă ca f (x) = A 1 cos (β x) + B 1 sin β x și A 1Și ÎN 1 sunt numere, atunci o soluție parțială a LPDE este considerată a fi o ecuație de forma y ~ = A cos β x + B sin β x · x γ, unde A și B sunt considerați coeficienți nedeterminați, iar r este numărul de rădăcini conjugate complexe legate de ecuația caracteristică, egale cu ± i β . În acest caz, căutarea coeficienților se realizează folosind egalitatea y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x).

Exemplul 3

Aflați soluția generală a unei ecuații diferențiale de forma y "" + 4 y = cos (2 x) + 3 sin (2 x) .

Soluţie

Înainte de a scrie ecuația caracteristică, găsim y 0. Apoi

k 2 + 4 = 0 k 2 = - 4 k 1 = 2 i , k 2 = - 2 i

Avem o pereche de rădăcini conjugate complexe. Să transformăm și să obținem:

y 0 = e 0 (C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x)) = C 1 cos 2 x + C 2 sin (2 x)

Rădăcinile ecuației caracteristice sunt considerate a fi perechea conjugată ± 2 i, atunci f (x) = cos (2 x) + 3 sin (2 x). Aceasta arată că căutarea pentru y ~ se va face din y ~ = (A cos (β x) + B sin (β x) x γ = (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x. Necunoscute Vom căuta coeficienții A și B dintr-o egalitate de forma y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) .

Să convertim:

y ~ " = ((A cos (2 x) + B sin (2 x) x) " = = (- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x) y ~ "" = ((- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x)) " = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) - - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x)

Atunci este clar că

y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x) + + 4 (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x) = cos (2 x) + 3 sin (2 x)

Este necesar să se echivaleze coeficienții sinusurilor și cosinusurilor. Obtinem un sistem de forma:

4 A = 3 4 B = 1 ⇔ A = - 3 4 B = 1 4

Rezultă că y ~ = (A cos (2 x) + B sin (2 x) x = - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x.

Răspuns: se consideră soluția generală a LDDE inițială de ordinul doi cu coeficienți constanți

y = y 0 + y ~ = = C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x) + - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x

Când f (x) = e a x · P n (x) sin (β x) + Q k (x) cos (β x), atunci y ~ = e a x · (L m (x) sin (β x) + N m (x) cos (β x) x γ. Avem că r este numărul de perechi complexe de rădăcini conjugate legate de ecuația caracteristică, egal cu α ± i β, unde P n (x), Q k (x), L m (x) și Nm(x) sunt polinoame de gradul n, k, m, m, unde m = m a x (n, k). Găsirea coeficienților Lm(x)Și Nm(x) se face pe baza egalităţii y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .

Exemplul 4

Aflați soluția generală y "" + 3 y " + 2 y = - e 3 x · ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) .

Soluţie

După condiție este clar că

α = 3, β = 5, P n (x) = - 38 x - 45, Q k (x) = - 8 x + 5, n = 1, k = 1

Atunci m = m a x (n, k) = 1. Găsim y 0 scriind mai întâi o ecuație caracteristică de forma:

k 2 - 3 k + 2 = 0 D = 3 2 - 4 1 2 = 1 k 1 = 3 - 1 2 = 1, k 2 = 3 + 1 2 = 2

Am descoperit că rădăcinile sunt reale și distincte. Prin urmare y 0 = C 1 e x + C 2 e 2 x. În continuare, este necesar să se caute o soluție generală bazată pe ecuația neomogenă y ~ a formei

y ~ = e α x (L m (x) sin (β x) + N m (x) cos (β x) x γ = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) x 0 = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))

Se știe că A, B, C sunt coeficienți, r = 0, deoarece nu există o pereche de rădăcini conjugate legate de ecuația caracteristică cu α ± i β = 3 ± 5 · i. Găsim acești coeficienți din egalitatea rezultată:

y ~ "" - 3 y ~ " + 2 y ~ = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) ⇔ (e 3 x (( A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))) "" - - 3 (e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))) = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x))

Găsirea termenilor derivati ​​și similari dă

E 3 x ((15 A + 23 C) x sin (5 x) + + (10 A + 15 B - 3 C + 23 D) sin (5 x) + + (23 A - 15 C) · x · cos (5 x) + (- 3 A + 23 B - 10 C - 15 D) · cos (5 x)) = = - e 3 x · (38 · x · sin (5 x) + 45 · sin (5 x) ) + + 8 x cos (5 x) - 5 cos (5 x))

După echivalarea coeficienților, obținem un sistem de forma

15 A + 23 C = 38 10 A + 15 B - 3 C + 23 D = 45 23 A - 15 C = 8 - 3 A + 23 B - 10 C - 15 D = - 5 ⇔ A = 1 B = 1 C = 1 D = 1

Din toate rezultă că

y ~ = e 3 x · ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) = = e 3 x · ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) sin (5 x))

Răspuns: Acum am obținut o soluție generală pentru ecuația liniară dată:

y = y 0 + y ~ = = C 1 e x + C 2 e 2 x + e 3 x ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) sin (5 x))

Algoritm pentru rezolvarea LDNU

Orice alt tip de funcție f (x) pentru soluție necesită conformitatea cu algoritmul de soluție:

• găsirea unei soluții generale la ecuația liniară omogenă corespunzătoare, unde y 0 = C 1 ⋅ y 1 + C 2 ⋅ y 2, unde y 1Și y 2 sunt soluții parțiale liniar independente ale LODE, C 1Și C 2 sunt considerate constante arbitrare;
• adoptarea ca soluție generală a LNDE y = C 1 (x) ⋅ y 1 + C 2 (x) ⋅ y 2 ;
• determinarea derivatelor unei funcții printr-un sistem de forma C 1 " (x) + y 1 (x) + C 2 " (x) · y 2 (x) = 0 C 1 " (x) + y 1 " ( x) + C 2 " (x) · y 2 " (x) = f (x) și găsirea funcțiilor C 1 (x)şi C2 (x) prin integrare.

Exemplul 5

Aflați soluția generală pentru y "" + 36 y = 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x.

Soluţie

Se trece la scrierea ecuației caracteristice, având scris anterior y 0, y "" + 36 y = 0. Să scriem și să rezolvăm:

k 2 + 36 = 0 k 1 = 6 i , k 2 = - 6 i ⇒ y 0 = C 1 cos (6 x) + C 2 sin (6 x) ⇒ y 1 (x) = cos (6 x) , y 2 (x) = sin (6 x)

Avem că soluția generală a ecuației date se va scrie ca y = C 1 (x) · cos (6 x) + C 2 (x) · sin (6 x) . Este necesar să trecem la definirea funcțiilor derivate C 1 (x)Și C2(x) conform unui sistem cu ecuații:

C 1 " (x) · cos (6 x) + C 2 " (x) · sin (6 x) = 0 C 1 " (x) · (cos (6 x)) " + C 2 " (x) · (sin (6 x)) " = 0 ⇔ C 1 " (x) cos (6 x) + C 2 " (x) sin (6 x) = 0 C 1 " (x) (- 6 sin (6 x) + C 2 "(x) (6 cos (6 x)) = = 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x

Trebuie luată o decizie cu privire la C 1" (x)Și C 2" (x) folosind orice metodă. Apoi scriem:

C 1 " (x) = - 4 sin 2 (6 x) + 2 sin (6 x) cos (6 x) - 6 e 6 x sin (6 x) C 2 " (x) = 4 sin (6 x) cos (6 x) - 2 cos 2 (6 x) + 6 e 6 x cos (6 x)

Fiecare dintre ecuații trebuie să fie integrată. Apoi scriem ecuațiile rezultate:

C 1 (x) = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin ( 6 x) + C 3 C 2 (x) = - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 4

Rezultă că soluția generală va avea forma:

y = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 3 cos (6 x) + + - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 4 sin (6 x) = = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 sin (6 x)

Răspuns: y = y 0 + y ~ = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 sin (6 x)

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

În unele probleme de fizică, nu se poate stabili o legătură directă între mărimile care descriu procesul. Dar este posibil să se obțină o egalitate care să conțină derivatele funcțiilor studiate. Așa apar ecuațiile diferențiale și necesitatea de a le rezolva pentru a găsi o funcție necunoscută.

Acest articol este destinat celor care se confruntă cu problema rezolvării unei ecuații diferențiale în care funcția necunoscută este o funcție a unei variabile. Teoria este structurată în așa fel încât, cu cunoștințe zero ale ecuațiilor diferențiale, puteți face față sarcinii dvs.

Fiecare tip de ecuație diferențială este asociat cu o metodă de rezolvare cu explicații detaliate și soluții la exemple și probleme tipice. Tot ce trebuie să faceți este să determinați tipul de ecuație diferențială a problemei dvs., să găsiți un exemplu analizat similar și să efectuați acțiuni similare.

Pentru a rezolva cu succes ecuații diferențiale, veți avea nevoie și de capacitatea de a găsi seturi de antiderivate (integrale nedefinite) ale diferitelor funcții. Dacă este necesar, vă recomandăm să consultați secțiunea.

În primul rând, vom lua în considerare tipurile de ecuații diferențiale obișnuite de ordinul întâi care pot fi rezolvate în raport cu derivata, apoi vom trece la EDO de ordinul doi, apoi ne vom opri asupra ecuațiilor de ordin superior și vom termina cu sisteme de ecuatii diferentiale.

Reamintim că dacă y este o funcție a argumentului x.

Ecuații diferențiale de ordinul întâi.

Cele mai simple ecuații diferențiale de ordinul întâi de formă.

Să notăm câteva exemple de astfel de telecomandă .

Ecuatii diferentiale poate fi rezolvată în raport cu derivata împărțind ambele părți ale egalității la f(x) . În acest caz, ajungem la o ecuație care va fi echivalentă cu cea inițială pentru f(x) ≠ 0. Exemple de astfel de ODE sunt .

Dacă există valori ale argumentului x la care funcțiile f(x) și g(x) dispar simultan, atunci apar soluții suplimentare. Soluții suplimentare pentru ecuație dat x sunt orice funcții definite pentru aceste valori de argument. Exemple de astfel de ecuații diferențiale includ:

Ecuații diferențiale de ordinul doi.

Ecuații diferențiale liniare omogene de ordinul doi cu coeficienți constanți.

LDE cu coeficienți constanți este un tip foarte comun de ecuație diferențială. Soluția lor nu este deosebit de dificilă. În primul rând, se găsesc rădăcinile ecuației caracteristice . Pentru diferite p și q, sunt posibile trei cazuri: rădăcinile ecuației caracteristice pot fi reale și diferite, reale și coincide sau conjugate complexe. În funcție de valorile rădăcinilor ecuației caracteristice, soluția generală a ecuației diferențiale se scrie ca , sau , sau respectiv.

De exemplu, luați în considerare o ecuație diferențială liniară omogenă de ordinul doi cu coeficienți constanți. Rădăcinile ecuației sale caracteristice sunt k 1 = -3 și k 2 = 0. Rădăcinile sunt reale și diferite, prin urmare, soluția generală a unei LODE cu coeficienți constanți are forma


Ecuații diferențiale liniare neomogene de ordinul doi cu coeficienți constanți.

Soluția generală a unui LDDE de ordinul doi cu coeficienți constanți y se caută sub forma sumei soluției generale a LDDE corespunzătoare. și o soluție particulară a ecuației neomogene inițiale, adică . Paragraful anterior este dedicat găsirii unei soluții generale la o ecuație diferențială omogenă cu coeficienți constanți. Și o anumită soluție este determinată fie prin metoda coeficienților nedeterminați pentru o anumită formă a funcției f(x) din partea dreaptă a ecuației originale, fie prin metoda variației constantelor arbitrare.

Ca exemple de LDDE de ordinul doi cu coeficienți constanți, dăm


Pentru a înțelege teoria și a vă familiariza cu soluții detaliate de exemple, vă oferim pe pagina ecuații diferențiale liniare neomogene de ordinul doi cu coeficienți constanți.

Ecuații diferențiale liniare omogene (LODE) și ecuații diferențiale neomogene liniare (LNDE) de ordinul doi.

Un caz special de ecuații diferențiale de acest tip sunt LODE și LDDE cu coeficienți constanți.

Soluția generală a LODE pe un anumit segment este reprezentată de o combinație liniară a două soluții parțiale liniar independente y 1 și y 2 ale acestei ecuații, adică .

Principala dificultate constă tocmai în găsirea unor soluții parțiale liniar independente la o ecuație diferențială de acest tip. De obicei, anumite soluții sunt selectate din următoarele sisteme de funcții liniar independente:


Cu toate acestea, soluțiile speciale nu sunt întotdeauna prezentate în această formă.

Un exemplu de LOD este .

Soluția generală a LDDE este căutată sub forma , unde este soluția generală a LDDE corespunzătoare și este soluția particulară a ecuației diferențiale inițiale. Tocmai am vorbit despre găsirea lui, dar poate fi determinat folosind metoda variației constantelor arbitrare.

Se poate da un exemplu de LNDU .

Ecuații diferențiale de ordin superior.

Ecuații diferențiale care permit o reducere în ordine.

Ordinea ecuației diferențiale , care nu conține funcția dorită și derivatele ei până la ordinul k-1, poate fi redusă la n-k prin înlocuirea .

În acest caz, ecuația diferențială inițială va fi redusă la . După găsirea soluției sale p(x), rămâne să revenim la înlocuire și să determinăm funcția necunoscută y.

De exemplu, ecuația diferențială după înlocuire, va deveni o ecuație cu variabile separabile, iar ordinea ei va fi redusă de la a treia la prima.