Ajutor la Tele2, tarife, intrebari

matrice inversă

Matrice inversă este o matrice care, înmulțită atât la dreapta cât și la stânga cu o matrice dată, dă matricea de identitate.
Să notăm matricea inversă a matricei A prin , apoi conform definiției obținem:

Unde E- matrice de identitate.
Matrice pătrată numit Nimic special (nedegenerat) dacă determinantul său nu este zero. Altfel se numeste special (degenerat) sau singular.

Teorema este valabilă: Fiecare matrice nesingulară are o matrice inversă.

Operația de găsire a matricei inverse se numește recurs matrici. Să luăm în considerare algoritmul de inversare a matricei. Să fie dată o matrice nesingulară n-a comanda:

unde Δ = det A ≠ 0.

Adunarea algebrică a unui element matrici n-a ordine A se numește determinantul unei matrici luate cu un anumit semn ( n–1)a ordinea obținută prin ștergere i-a linia și j coloana a matricei A:

Să creăm așa-numitul atașat matrice:

unde sunt complementele algebrice ale elementelor corespondente ale matricei A.
Rețineți că adunările algebrice ale elementelor rând matricei A sunt plasate în coloanele corespunzătoare ale matricei à , adică matricea este transpusă în același timp.
Prin împărțirea tuturor elementelor matricei à prin Δ – valoarea determinantului matricei A, obținem matricea inversă ca rezultat:

Să notăm o serie de proprietăți speciale ale matricei inverse:
1) pentru o matrice dată A matricea sa inversă este singurul;
2) dacă există o matrice inversă, atunci dreapta inversăȘi stânga inversă matricele coincid cu acesta;
3) o matrice pătrată singulară (singulară) nu are o matrice inversă.

Proprietățile de bază ale unei matrici inverse:
1) determinantul matricei inverse și determinantul matricei originale sunt reciproce;
2) matricea inversă a produsului matricelor pătrate este egală cu produsul matricei inverse a factorilor, luată în ordine inversă:

3) matricea inversă transpusă este egală cu matricea inversă a matricei transpuse dată:

EXEMPLU Calculați inversul matricei date.

Similar cu inversul în multe proprietăți.

YouTube enciclopedic

1 / 5

✪ Cum să găsiți inversul unei matrice - bezbotvy

✪ Matrice inversă (2 moduri de a găsi)

✪ Matrice inversă #1

✪ 28-01-2015. Matrice inversă 3x3

✪ 27-01-2015. Matricea inversă 2x2

Subtitrări

Proprietățile unei matrice inverse

• det A - 1 = 1 det A (\displaystyle \det A^(-1)=(\frac (1)(\det A))), Unde det (\displaystyle \\det ) denotă determinantul.
• (A B) - 1 = B - 1 A - 1 (\displaystyle \ (AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1)) pentru două matrici inversabile pătrate A (\displaystyle A)Și B (\displaystyle B).
• (A T) - 1 = (A - 1) T (\displaystyle \ (A^(T))^(-1)=(A^(-1))^(T)), Unde (. . .) T (\displaystyle (...)^(T)) denotă o matrice transpusă.
• (k A) − 1 = k − 1 A − 1 (\displaystyle \ (kA)^(-1)=k^(-1)A^(-1)) pentru orice coeficient k ≠ 0 (\displaystyle k\nu =0).
• E - 1 = E (\displaystyle \E^(-1)=E).
• Dacă este necesar să se rezolve un sistem de ecuații liniare, (b este un vector diferit de zero) unde x (\displaystyle x) este vectorul dorit, iar dacă A - 1 (\displaystyle A^(-1)) există, atunci x = A - 1 b (\displaystyle x=A^(-1)b). În caz contrar, fie dimensiunea spațiului soluției este mai mare decât zero, fie nu există soluții deloc.

Metode de găsire a matricei inverse

Dacă matricea este inversabilă, atunci pentru a găsi matricea inversă puteți utiliza una dintre următoarele metode:

Metode exacte (directe).

metoda Gauss-Jordan

Să luăm două matrice: the A si singura E. Să prezentăm matricea A la matricea de identitate folosind metoda Gauss-Jordan, aplicând transformări de-a lungul rândurilor (puteți aplica și transformări de-a lungul coloanelor, dar nu amestecate). După aplicarea fiecărei operații la prima matrice, aplicați aceeași operație la a doua. Când reducerea primei matrice la forma unitară este finalizată, a doua matrice va fi egală cu A−1.

Când se folosește metoda Gaussiană, prima matrice va fi înmulțită în stânga cu una dintre matricele elementare Λ i (\displaystyle \Lambda _(i))(transvecție sau matrice diagonală cu unități pe diagonala principală, cu excepția unei poziții):

A doua matrice după aplicarea tuturor operațiilor va fi egală cu Λ (\displaystyle \Lambda), adică va fi cea dorită. complexitatea algoritmului - O (n 3) (\displaystyle O(n^(3))).

Folosind matricea complementului algebric

Matricea inversă a matricei A (\displaystyle A), poate fi reprezentat sub forma

A - 1 = adj (A) det (A) (\displaystyle (A)^(-1)=(((\mbox(adj))(A)) \over (\det(A))))

Unde adj (A) (\displaystyle (\mbox(adj))(A))- matrice adjunctă;

Complexitatea algoritmului depinde de complexitatea algoritmului de calcul al determinantului O det și este egală cu O(n²)·O det.

Folosind descompunerea LU/LUP

Ecuație matriceală A X = eu n (\displaystyle AX=I_(n)) pentru matricea inversă X (\displaystyle X) poate fi considerată o colecție n (\displaystyle n) sisteme de formă A x = b (\displaystyle Ax=b). Să notăm i (\displaystyle i) a-a coloană a matricei X (\displaystyle X) prin X i (\displaystyle X_(i)); Apoi A X i = e i (\displaystyle AX_(i)=e_(i)), i = 1 , … , n (\displaystyle i=1,\ldots ,n),deoarece i (\displaystyle i) a-a coloană a matricei eu n (\displaystyle I_(n)) este vectorul unitar e i (\displaystyle e_(i)). cu alte cuvinte, găsirea matricei inverse se reduce la rezolvarea n ecuații cu aceeași matrice și diferite părți din dreapta. După efectuarea descompunerii LUP (timp O(n³)), rezolvarea fiecăreia dintre ecuațiile n durează timp O(n²), deci această parte a lucrării necesită și timp O(n³).

Dacă matricea A este nesingulară, atunci descompunerea LUP poate fi calculată pentru aceasta PA = L U (\displaystyle PA=LU). Lăsa PA = B (\displaystyle PA=B), B - 1 = D (\displaystyle B^(-1)=D). Apoi din proprietățile matricei inverse putem scrie: D = U − 1 L − 1 (\displaystyle D=U^(-1)L^(-1)). Dacă înmulțiți această egalitate cu U și L, puteți obține două egalități de formă U D = L - 1 (\displaystyle UD=L^(-1))Și D L = U - 1 (\displaystyle DL=U^(-1)). Prima dintre aceste egalități este un sistem de n² ecuații liniare pentru n (n + 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n+1))(2))) din care se cunosc laturile din dreapta (din proprietăţile matricelor triunghiulare). Al doilea reprezintă, de asemenea, un sistem de n² ecuații liniare pentru n (n - 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n-1))(2))) din care se cunosc laturile din dreapta (tot din proprietatile matricelor triunghiulare). Împreună, ele reprezintă un sistem de n² egalități. Folosind aceste egalități, putem determina recursiv toate n² elemente ale matricei D. Apoi din egalitatea (PA) −1 = A −1 P −1 = B −1 = D. obținem egalitatea A - 1 = D P (\displaystyle A^(-1)=DP).

În cazul utilizării descompunerii LU, nu este necesară nicio permutare a coloanelor matricei D, dar soluția poate diverge chiar dacă matricea A este nesingulară.

Complexitatea algoritmului este O(n³).

Metode iterative

metodele Schultz

( Ψ k = E - A U k , U k + 1 = U k ∑ i = 0 n Ψ k i (\displaystyle (\begin(cases)\Psi _(k)=E-AU_(k)),\\U_() k+1)=U_(k)\sum _(i=0)^(n)\Psi _(k)^(i)\end(cases)))

Estimarea erorii

Selectarea unei aproximări inițiale

Problema alegerii aproximării inițiale în procesele iterative de inversare a matricei luate în considerare aici nu ne permite să le tratăm ca metode universale independente care concurează cu metodele de inversare directă bazate, de exemplu, pe descompunerea LU a matricelor. Există câteva recomandări pentru alegere U 0 (\displaystyle U_(0)), asigurând îndeplinirea condiţiei ρ (Ψ 0) < 1 {\displaystyle \rho (\Psi _{0})<1} (raza spectrală a matricei este mai mică decât unitatea), ceea ce este necesar și suficient pentru convergența procesului. Totuși, în acest caz, în primul rând, este necesar să se cunoască de mai sus estimarea pentru spectrul matricei inversabile A sau a matricei A A T (\displaystyle AA^(T))(și anume, dacă A este o matrice definită pozitivă simetrică și ρ (A) ≤ β (\displaystyle \rho (A)\leq \beta), atunci poți lua U 0 = α E (\displaystyle U_(0)=(\alpha )E), Unde ; dacă A este o matrice nesingulară arbitrară și ρ (A A T) ≤ β (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq \beta), atunci ei cred U 0 = α A T (\displaystyle U_(0)=(\alpha )A^(T)), unde de asemenea α ∈ (0 , 2 β) (\displaystyle \alpha \in \left(0,(\frac (2)(\beta ))\right)); Puteți, desigur, să simplificați situația și să profitați de faptul că ρ (A A T) ≤ k A A T k (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq (\mathcal (k))AA^(T)(\mathcal (k))), a pune U 0 = A T ‖ A A T ‖ (\displaystyle U_(0)=(\frac (A^(T))(\|AA^(T)\|)))). În al doilea rând, atunci când se specifică matricea inițială în acest fel, nu există nicio garanție că ‖ Ψ 0 ‖ (\displaystyle \|\Psi _(0)\|) va fi mic (poate chiar se va dovedi a fi ‖ Ψ 0 ‖ > 1 (\displaystyle \|\Psi _(0)\|>1)), iar un ordin ridicat al ratei de convergență nu va fi dezvăluit imediat.

Exemple

Matrice 2x2

Inversarea unei matrice 2x2 este posibilă numai cu condiția ca a d - b c = det A ≠ 0 (\displaystyle ad-bc=\det A\neq 0).

Aflarea matricei inverse- o problemă care este adesea rezolvată prin două metode:

• metoda adunărilor algebrice, care presupune găsirea determinanților și transpunerea matricelor;
• metoda gaussiană de eliminare a necunoscutelor, care necesită efectuarea de transformări elementare ale matricelor (adunarea rândurilor, înmulțirea rândurilor cu același număr etc.).

Pentru cei care sunt deosebit de curioși, există și alte metode, de exemplu, metoda transformărilor liniare. În această lecție vom analiza cele trei metode și algoritmi menționați pentru găsirea matricei inverse folosind aceste metode.

Matrice inversă A, se numește o astfel de matrice

A
. (1)

Matrice inversă , care trebuie găsită pentru o matrice pătrată dată A, se numește o astfel de matrice

al cărui produs matricele Aîn dreapta este matricea identităţii, adică.
. (1)

O matrice de identitate este o matrice diagonală în care toate elementele diagonale sunt egale cu unul.

Teorema.Pentru fiecare matrice pătrată nesingulară (nedegenerată, nesingulară), se poate găsi o matrice inversă și numai una. Pentru o matrice pătrată specială (degenerată, singulară), matricea inversă nu există.

Matricea pătrată se numește Nimic special(sau nedegenerat, nesingular), dacă determinantul său nu este zero și special(sau degenerat, singular) dacă determinantul său este zero.

Inversul unei matrice poate fi găsit doar pentru o matrice pătrată. Desigur, matricea inversă va fi, de asemenea, pătrată și de aceeași ordine cu matricea dată. O matrice pentru care poate fi găsită o matrice inversă se numește matrice inversabilă.

Pentru matrice inversă Există o analogie relevantă cu inversul unui număr. Pentru fiecare număr A, nu este egal cu zero, există un astfel de număr b că munca AȘi b este egal cu unu: ab= 1 . Număr b numit inversul unui număr b. De exemplu, pentru numărul 7 reciproca este 1/7, deoarece 7*1/7=1.

Găsirea matricei inverse folosind metoda adunărilor algebrice (matrice aliată)

Pentru o matrice pătrată nesingulară A inversul este matricea

unde este determinantul matricei A, a este o matrice aliată cu matricea A.

Aliat cu o matrice pătrată A este o matrice de același ordin, ale cărei elemente sunt complementele algebrice ale elementelor corespunzătoare ale determinantului matricei transpuse față de matricea A. Astfel, dacă

Acea

Și

Algoritm pentru găsirea matricei inverse folosind metoda adunărilor algebrice

1. Aflați determinantul acestei matrice A. Dacă determinantul este egal cu zero, găsirea matricei inverse se oprește, deoarece matricea este singulară și inversul său nu există.

2. Aflați matricea transpusă în raport cu A.

3. Calculați elementele matricei de unire ca complemente algebrice ale maritzului găsit la pasul 2.

4. Aplicați formula (2): înmulțiți inversul determinantului matricei A, la matricea de unire găsită la pasul 4.

5. Verificați rezultatul obținut la pasul 4 prin înmulțirea acestei matrice A la matricea inversă. Dacă produsul acestor matrici este egal cu matricea de identitate, atunci matricea inversă a fost găsită corect. În caz contrar, începeți din nou procesul de soluție.

Exemplul 1. Pentru matrice

găsiți matricea inversă.

Soluţie. Pentru a găsi matricea inversă, trebuie să găsiți determinantul matricei A. Găsim după regula triunghiurilor:

Prin urmare, matricea A– nesingular (nedegenerat, nesingular) și există un invers pentru acesta.

Să găsim o matrice aliată acestei matrice A.

Să găsim matricea transpusă în raport cu matricea A:

Calculăm elementele matricei aliate ca complemente algebrice ale matricei transpuse în raport cu matricea A:

Prin urmare, matricea este aliată cu matricea A, are forma

Cometariu. Ordinea în care sunt calculate elementele și matricea este transpusă poate fi diferită. Puteți calcula mai întâi complementele algebrice ale matricei A, și apoi transpuneți matricea complementului algebric. Rezultatul ar trebui să fie aceleași elemente ale matricei de unire.

Aplicând formula (2), găsim matricea inversă matricei A:

Găsirea matricei inverse folosind metoda gaussiană de eliminare necunoscută

Primul pas pentru a găsi inversul unei matrice folosind metoda eliminării gaussiene este alocarea matricei A matrice de identitate de același ordin, separându-le cu o bară verticală. Vom obține o matrice duală. Să înmulțim ambele părți ale acestei matrice cu , apoi obținem

,

Algoritm pentru găsirea matricei inverse folosind metoda de eliminare a necunoscutelor gaussiene

1. La matrice A atribuiți o matrice de identitate de același ordin.

2. Transformați matricea duală rezultată astfel încât pe partea stângă să obțineți o matrice unitară, apoi pe partea dreaptă, în locul matricei de identitate, obțineți automat o matrice inversă. Matrice A pe partea stângă se transformă în matricea identitară prin transformări matrice elementare.

2. Dacă în procesul de transformare a matricei Aîn matricea de identitate vor fi doar zerouri în orice rând sau în orice coloană, atunci determinantul matricei este egal cu zero și, în consecință, matricea A va fi singular și nu are o matrice inversă. În acest caz, determinarea ulterioară a matricei inverse se oprește.

Exemplul 2. Pentru matrice

găsiți matricea inversă.

și o vom transforma astfel încât în ​​partea stângă să obținem o matrice de identitate. Începem transformarea.

Înmulțiți primul rând al matricei din stânga și dreapta cu (-3) și adăugați-l la al doilea rând, apoi înmulțiți primul rând cu (-4) și adăugați-l la al treilea rând, apoi obținem

.

Pentru a ne asigura că nu există numere fracționale în transformările ulterioare, să creăm mai întâi o unitate în al doilea rând din partea stângă a matricei duale. Pentru a face acest lucru, înmulțim a doua linie cu 2 și scădem a treia linie din ea, apoi obținem

.

Să adăugăm prima linie cu a doua, apoi să înmulțim a doua linie cu (-9) și să o adăugăm cu a treia linie. Apoi primim

.

Împărțiți a treia linie la 8, apoi

.

Înmulțiți a treia linie cu 2 și adăugați-o la a doua linie. Se dovedește:

.

Să schimbăm a doua și a treia linie, apoi obținem în sfârșit:

.

Vedem că în partea stângă avem matricea de identitate, prin urmare, în partea dreaptă avem matricea inversă. Prin urmare:

.

Puteți verifica corectitudinea calculelor înmulțind matricea originală cu matricea inversă găsită:

Rezultatul ar trebui să fie o matrice inversă.

Exemplul 3. Pentru matrice

găsiți matricea inversă.

Soluţie. Compilarea unei matrice duale

și o vom transforma.

Înmulțim prima linie cu 3 și a doua cu 2 și scadem din a doua, apoi înmulțim prima linie cu 5 și a treia cu 2 și scadem din a treia linie, apoi obținem

.

Înmulțim prima linie cu 2 și o adăugăm la a doua, apoi scădem a doua din a treia linie, apoi obținem

.

Vedem că în a treia linie din partea stângă toate elementele sunt egale cu zero. Prin urmare, matricea este singulară și nu are o matrice inversă. Ne oprim mai departe să găsim inversul maritz.

De obicei, operațiile inverse sunt folosite pentru a simplifica expresii algebrice complexe. De exemplu, dacă problema implică operația de împărțire la o fracție, o puteți înlocui cu operația de înmulțire cu reciproca unei fracții, care este operația inversă. În plus, matricele nu pot fi împărțite, așa că trebuie să înmulțiți cu matricea inversă. Calcularea inversului unei matrice 3x3 este destul de obositoare, dar trebuie să o poți face manual. De asemenea, puteți găsi reciprocul folosind un calculator grafic bun.

Pași

Folosind matricea adjunctă

Transpuneți matricea originală. Transpunerea este înlocuirea rândurilor cu coloane în raport cu diagonala principală a matricei, adică trebuie să schimbați elementele (i,j) și (j,i). În acest caz, elementele diagonalei principale (începe în colțul din stânga sus și se termină în colțul din dreapta jos) nu se modifică.

• Pentru a schimba rândurile în coloane, scrieți elementele primului rând în prima coloană, elementele celui de-al doilea rând în a doua coloană și elementele celui de-al treilea rând în a treia coloană. Ordinea schimbării poziției elementelor este prezentată în figură, în care elementele corespunzătoare sunt încercuite cu cercuri colorate.