Rezolvați un sistem de ecuații vectoriale folosind exemplele metodei lui Cramer. Regula lui Cramer

Să considerăm un sistem de 3 ecuații cu trei necunoscute

Folosind determinanți de ordinul 3, soluția unui astfel de sistem poate fi scrisă în aceeași formă ca și pentru un sistem de două ecuații, i.e.

(2.4)

dacă 0. Aici

Este acolo regula lui Cramer rezolvarea unui sistem de trei ecuații liniare în trei necunoscute.

Exemplul 2.3. Rezolvați un sistem de ecuații liniare folosind regula lui Cramer:

Soluţie . Aflarea determinantului matricei principale a sistemului

Deoarece 0, atunci pentru a găsi o soluție la sistem putem aplica regula lui Cramer, dar mai întâi calculăm încă trei determinanți:

Examinare:

Prin urmare, soluția a fost găsită corect. 

Regulile lui Cramer obținute pentru sistemele liniare de ordinul 2 și 3 sugerează că aceleași reguli pot fi formulate pentru sistemele liniare de orice ordin. Se întâmplă cu adevărat

teorema lui Cramer. Sistem pătratic de ecuații liniare cu un determinant diferit de zero al matricei principale a sistemului (0) are una și o singură soluție și această soluție se calculează folosind formulele

(2.5)

Unde  – determinant al matricei principale,  i – determinant matriceal, obtinut din cel principal, inlocuindicoloana a coloana a termenilor liberi.

Rețineți că dacă =0, atunci regula lui Cramer nu se aplică. Aceasta înseamnă că sistemul fie nu are deloc soluții, fie are infinite de soluții.

După ce a formulat teorema lui Cramer, se pune în mod firesc întrebarea de a calcula determinanții de ordine superioară.

2.4. Determinanți de ordinul al n-lea

Minor suplimentar M ij element A ij este un determinant obținut dintr-un dat prin ștergere i a linia și j a coloana. Complement algebric A ij element A ij minorul acestui element luat cu semnul (–1) se numește i + j, adică A ij = (–1) i + j M ij .

De exemplu, să găsim minorele și complementele algebrice ale elementelor A 23 și A 31 de calificari

Primim



Folosind conceptul de complement algebric putem formula teorema expansiunii determinanten-a ordinea după rând sau coloană.

Teorema 2.1. Determinant de matriceAeste egală cu suma produselor tuturor elementelor unui anumit rând (sau coloană) prin complementele lor algebrice:

(2.6)

Această teoremă stă la baza uneia dintre principalele metode de calculare a determinanților, așa-numitele. metoda de reducere a comenzii. Ca urmare a extinderii determinantului n Ordinea de pe orice rând sau coloană, obținem n determinanți ( n-1) ordinul. Pentru a avea mai puțini astfel de determinanți, este indicat să selectați rândul sau coloana care are cele mai multe zerouri. În practică, formula de expansiune pentru determinant este de obicei scrisă ca:

acestea. adaosurile algebrice sunt scrise explicit în termeni de minori.

Exemple 2.4. Calculați determinanții sortându-i mai întâi într-un rând sau coloană. De obicei, în astfel de cazuri, selectați coloana sau rândul care are cele mai multe zerouri. Rândul sau coloana selectată va fi indicată printr-o săgeată.



2.5. Proprietățile de bază ale determinanților

Extinderea determinantului pe orice rând sau coloană, obținem n determinanți ( n-1) ordinul. Apoi fiecare dintre acești determinanți ( n Ordinul –1 poate fi, de asemenea, descompus într-o sumă de determinanți ( n– 2) ordinul. Continuând acest proces, se poate ajunge la determinanții de ordinul 1, adică. la elementele matricei al cărei determinant se calculează. Deci, pentru a calcula determinanții de ordinul 2, va trebui să calculați suma a doi termeni, pentru determinanții de ordinul 3 - suma a 6 termeni, pentru determinanții de ordinul 4 - 24 de termeni. Numărul de termeni va crește brusc pe măsură ce ordinea determinantului crește. Aceasta înseamnă că calcularea factorilor determinanți ai comenzilor foarte mari devine o sarcină destul de intensivă în muncă, dincolo de capacitățile chiar și ale unui computer. Totuși, determinanții pot fi calculați într-un alt mod, folosind proprietățile determinanților.

Proprietatea 1 . Determinantul nu se va schimba dacă rândurile și coloanele din acesta sunt schimbate, de exemplu. la transpunerea unei matrice:

Această proprietate indică egalitatea rândurilor și coloanelor determinantului. Cu alte cuvinte, orice afirmație despre coloanele unui determinant este valabilă și pentru rândurile sale și invers.

Proprietatea 2 . Determinantul își schimbă semnul când două rânduri (coloane) sunt schimbate.

Consecinţă . Dacă determinantul are două rânduri (coloane) identice, atunci este egal cu zero.

Proprietatea 3 . Factorul comun al tuturor elementelor din orice rând (coloană) poate fi scos din semnul determinant.

De exemplu,

Consecinţă . Dacă toate elementele unui anumit rând (coloană) a unui determinant sunt egale cu zero, atunci determinantul în sine este egal cu zero.

Proprietatea 4 . Determinantul nu se va schimba dacă elementele unui rând (coloană) sunt adăugate elementelor altui rând (coloană), înmulțite cu orice număr.

De exemplu,

Proprietatea 5 . Determinantul produsului matricelor este egal cu produsul determinanților matricelor:

Cu același număr de ecuații cu numărul de necunoscute cu determinantul principal al matricei, care nu este egal cu zero, coeficienții sistemului (pentru astfel de ecuații există o soluție și există doar una).

Teorema lui Cramer.

Când determinantul matricei unui sistem pătrat este diferit de zero, înseamnă că sistemul este consistent și are o singură soluție și poate fi găsit prin formulele lui Cramer:

unde Δ - determinant al matricei sistemului,

Δ i este determinantul matricei sistemului, în care în loc de i Coloana a treia conține coloana laturilor drepte.

Când determinantul unui sistem este zero, înseamnă că sistemul poate deveni cooperant sau incompatibil.

Această metodă este de obicei folosită pentru sisteme mici cu calcule ample și dacă este necesar să se determine una dintre necunoscute. Complexitatea metodei este că trebuie să se calculeze mulți factori determinanți.

Descrierea metodei Cramer.

Există un sistem de ecuații:

Un sistem de 3 ecuații poate fi rezolvat folosind metoda Cramer, care a fost discutată mai sus pentru un sistem de 2 ecuații.

Compunem un determinant din coeficienții necunoscutelor:

Va fi determinant de sistem. Când D≠0, ceea ce înseamnă că sistemul este consistent. Acum să creăm 3 determinanți suplimentari:

Rezolvăm sistemul prin formulele lui Cramer:

Exemple de rezolvare a sistemelor de ecuații folosind metoda lui Cramer.

Exemplul 1.

Sistemul dat:

Să o rezolvăm folosind metoda lui Cramer.

Mai întâi trebuie să calculați determinantul matricei sistemului:

Deoarece Δ≠0, ceea ce înseamnă că din teorema lui Cramer sistemul este consistent și are o singură soluție. Calculăm determinanți suplimentari. Determinantul Δ 1 se obține din determinantul Δ prin înlocuirea primei sale coloane cu o coloană de coeficienți liberi. Primim:

În același mod, obținem determinantul lui Δ 2 din determinantul matricei sistemului înlocuind a doua coloană cu o coloană de coeficienți liberi:

În prima parte, am analizat ceva material teoretic, metoda substituției, precum și metoda adunării termen cu termen a ecuațiilor de sistem. Recomand tuturor celor care au accesat site-ul prin această pagină să citească prima parte. Poate că unii vizitatori vor găsi materialul prea simplu, dar în procesul de rezolvare a sistemelor de ecuații liniare, am făcut o serie de comentarii și concluzii foarte importante cu privire la rezolvarea problemelor matematice în general.

Acum vom analiza regula lui Cramer, precum și rezolvarea unui sistem de ecuații liniare folosind o matrice inversă (metoda matricei). Toate materialele sunt prezentate simplu, detaliat și clar; aproape toți cititorii vor putea învăța cum să rezolve sisteme folosind metodele de mai sus.

În primul rând, vom arunca o privire mai atentă la regula lui Cramer pentru un sistem de două ecuații liniare în două necunoscute. Pentru ce? – La urma urmei, cel mai simplu sistem poate fi rezolvat folosind metoda școlii, metoda adunării trimestriale!

Faptul este că, deși uneori, apare o astfel de sarcină - pentru a rezolva un sistem de două ecuații liniare cu două necunoscute folosind formulele lui Cramer. În al doilea rând, un exemplu mai simplu vă va ajuta să înțelegeți cum să utilizați regula lui Cramer pentru un caz mai complex - un sistem de trei ecuații cu trei necunoscute.

În plus, există sisteme de ecuații liniare cu două variabile, care este recomandabil să le rezolve folosind regula lui Cramer!

Luați în considerare sistemul de ecuații

La primul pas, calculăm determinantul, se numește determinant principal al sistemului.

metoda Gauss.

Dacă , atunci sistemul are o soluție unică, iar pentru a găsi rădăcinile trebuie să calculăm încă doi determinanți:
Și

În practică, calificativele de mai sus pot fi notate și printr-o literă latină.

Găsim rădăcinile ecuației folosind formulele:
,

Exemplul 7

Rezolvați un sistem de ecuații liniare

Soluţie: Vedem că coeficienții ecuației sunt destul de mari; în partea dreaptă sunt fracții zecimale cu virgulă. Virgula este un invitat destul de rar în sarcinile practice la matematică; am luat acest sistem dintr-o problemă econometrică.

Cum se rezolvă un astfel de sistem? Puteți încerca să exprimați o variabilă în termenii alteia, dar în acest caz veți ajunge probabil cu fracții fanteziste teribile, cu care sunt extrem de incomod de lucrat, iar designul soluției va arăta pur și simplu groaznic. Puteți înmulți a doua ecuație cu 6 și scădeți termen cu termen, dar aceleași fracții vor apărea și aici.

Ce să fac? În astfel de cazuri, formulele lui Cramer vin în ajutor.

;

Răspuns: ,

Ambele rădăcini au cozi infinite și se găsesc aproximativ, ceea ce este destul de acceptabil (și chiar banal) pentru problemele de econometrie.

Comentariile nu sunt necesare aici, deoarece sarcina este rezolvată folosind formule gata făcute, cu toate acestea, există o avertizare. Când utilizați această metodă, obligatoriu Un fragment al designului sarcinii este următorul fragment: „Aceasta înseamnă că sistemul are o soluție unică”. În caz contrar, recenzentul vă poate pedepsi pentru lipsa de respect față de teorema lui Cramer.

Nu ar fi de prisos să verificăm, ceea ce poate fi efectuat în mod convenabil pe un calculator: înlocuim valorile aproximative în partea stângă a fiecărei ecuații a sistemului. Ca rezultat, cu o mică eroare, ar trebui să obțineți numere care sunt în partea dreaptă.

Exemplul 8

Prezentați răspunsul în fracții improprii obișnuite. Faceți o verificare.

Acesta este un exemplu pe care îl puteți rezolva singur (un exemplu de design final și răspunsul de la sfârșitul lecției).

Să trecem la considerarea lui Cramer pentru un sistem de trei ecuații cu trei necunoscute:

Găsim principalul determinant al sistemului:

Dacă , atunci sistemul are infinit de soluții sau este inconsecvent (nu are soluții). În acest caz, regula lui Cramer nu va ajuta; trebuie să utilizați metoda Gauss.

Dacă , atunci sistemul are o soluție unică și pentru a găsi rădăcinile trebuie să calculăm încă trei determinanți:
, ,

Și în sfârșit, răspunsul este calculat folosind formulele:

După cum puteți vedea, cazul „trei câte trei” nu este în mod fundamental diferit de cazul „două câte doi”; coloana de termeni liberi „se plimbă” secvenţial de la stânga la dreapta de-a lungul coloanelor determinantului principal.

Exemplul 9

Rezolvați sistemul folosind formulele lui Cramer.

Soluţie: Să rezolvăm sistemul folosind formulele lui Cramer.

, ceea ce înseamnă că sistemul are o soluție unică.

Răspuns: .

De fapt, iar aici nu este nimic special de comentat, din cauza faptului că soluția urmează formule gata făcute. Dar există câteva comentarii.

Se întâmplă ca în urma calculelor să se obțină fracții ireductibile „rele”, de exemplu: .
Recomand următorul algoritm de „tratament”. Dacă nu aveți un computer la îndemână, procedați astfel:

1) Poate exista o eroare în calcule. De îndată ce întâlniți o fracțiune „rea”, trebuie să verificați imediat Condiția este rescrisă corect?. Dacă condiția este rescrisă fără erori, atunci trebuie să recalculați determinanții folosind expansiunea într-un alt rând (coloană).

2) Dacă nu sunt identificate erori ca urmare a verificării, atunci cel mai probabil a existat o greșeală de tipar în condițiile sarcinii. În acest caz, lucrați cu calm și CU ATENȚIE la sarcina până la capăt și apoi asigurați-vă că verificațiși o întocmim pe o foaie curată după decizie. Desigur, verificarea unui răspuns fracționat este o sarcină neplăcută, dar va fi un argument dezarmant pentru profesor, căruia îi place foarte mult să dea un minus pentru orice prostie de genul . Modul de manipulare a fracțiilor este descris în detaliu în răspunsul la Exemplul 8.

Dacă aveți un computer la îndemână, atunci utilizați un program automat pentru a verifica, care poate fi descărcat gratuit chiar la începutul lecției. Apropo, cel mai profitabil este să utilizați programul imediat (chiar înainte de a începe soluția); veți vedea imediat pasul intermediar în care ați greșit! Același calculator calculează automat soluția sistemului folosind metoda matricei.

A doua remarcă. Din când în când există sisteme din ecuațiile cărora lipsesc unele variabile, de exemplu:

Aici în prima ecuație nu există variabilă, în a doua nu există variabilă. În astfel de cazuri, este foarte important să scrieți corect și CU ATENȚIE principalul determinant:
– zerourile sunt plasate în locul variabilelor lipsă.
Apropo, este rațional să deschideți determinanții cu zerouri în funcție de rândul (coloana) în care se află zero, deoarece există considerabil mai puține calcule.

Exemplul 10

Rezolvați sistemul folosind formulele lui Cramer.

Acesta este un exemplu pentru o soluție independentă (o mostră din proiectul final și răspunsul de la sfârșitul lecției).

Pentru cazul unui sistem de 4 ecuații cu 4 necunoscute, formulele lui Cramer sunt scrise după principii similare. Puteți vedea un exemplu viu în lecția Proprietățile determinanților. Reducerea ordinului determinantului - cinci determinanți de ordinul 4 sunt destul de rezolvabili. Deși sarcina amintește deja foarte mult de pantoful unui profesor pe pieptul unui student norocos.

Rezolvarea sistemului folosind o matrice inversă

Metoda matricei inverse este în esență un caz special ecuația matriceală(Vezi Exemplul nr. 3 al lecției specificate).

Pentru a studia această secțiune, trebuie să fiți capabil să extindeți determinanții, să găsiți inversul unei matrice și să efectuați înmulțirea matricei. Link-urile relevante vor fi furnizate pe măsură ce explicațiile progresează.

Exemplul 11

Rezolvați sistemul folosind metoda matricei

Soluţie: Să scriem sistemul sub formă de matrice:
, Unde

Vă rugăm să priviți sistemul de ecuații și matrice. Cred că toată lumea înțelege principiul prin care scriem elementele în matrice. Singurul comentariu: dacă unele variabile ar lipsi din ecuații, atunci ar trebui plasate zerouri în locurile corespunzătoare din matrice.

Găsim matricea inversă folosind formula:
, unde este matricea transpusă a complementelor algebrice ale elementelor corespunzătoare ale matricei.

Mai întâi, să ne uităm la determinant:

Aici determinantul este extins pe prima linie.

Atenţie! Dacă , atunci matricea inversă nu există și este imposibil să se rezolve sistemul folosind metoda matricei. În acest caz, sistemul se rezolvă prin metoda eliminării necunoscutelor (metoda Gauss).

Acum trebuie să calculăm 9 minori și să le scriem în matricea minorilor

Referinţă: Este util să cunoaștem semnificația indicelor duble în algebra liniară. Prima cifră este numărul liniei în care se află elementul. A doua cifră este numărul coloanei în care se află elementul:

Adică, un indice dublu indică faptul că elementul este în primul rând, a treia coloană și, de exemplu, elementul este în 3 rânduri, 2 coloană

Metoda lui Cramer sau așa-numita regulă a lui Cramer este o metodă de căutare a cantităților necunoscute din sistemele de ecuații. Poate fi utilizat numai dacă numărul de valori căutate este echivalent cu numărul de ecuații algebrice din sistem, adică matricea principală formată din sistem trebuie să fie pătrată și să nu conțină rânduri zero și, de asemenea, dacă determinantul său trebuie să nu fie zero.

Teorema 1

Teorema lui Cramer Dacă determinantul principal $D$ al matricei principale, compilat pe baza coeficienților ecuațiilor, nu este egal cu zero, atunci sistemul de ecuații este consistent și are o soluție unică. Soluția unui astfel de sistem se calculează prin așa-numitele formule Cramer pentru rezolvarea sistemelor de ecuații liniare: $x_i = \frac(D_i)(D)$

Ce este metoda Cramer?

Esența metodei lui Cramer este următoarea:

Pentru a găsi o soluție la sistem folosind metoda lui Cramer, în primul rând calculăm determinantul principal al matricei $D$. Când determinantul calculat al matricei principale, atunci când este calculat prin metoda lui Cramer, se dovedește a fi egal cu zero, atunci sistemul nu are o singură soluție sau are un număr infinit de soluții. În acest caz, pentru a găsi un răspuns general sau de bază pentru sistem, se recomandă utilizarea metodei Gauss.
Apoi, trebuie să înlocuiți coloana cea mai exterioară a matricei principale cu o coloană de termeni liberi și să calculați determinantul $D_1$.
Repetați același lucru pentru toate coloanele, obținând determinanți de la $D_1$ la $D_n$, unde $n$ este numărul coloanei din dreapta.
După ce toți determinanții $D_1$...$D_n$ au fost găsiți, variabilele necunoscute pot fi calculate folosind formula $x_i = \frac(D_i)(D)$.

Tehnici de calcul al determinantului unei matrice

Pentru a calcula determinantul unei matrice cu o dimensiune mai mare de 2 cu 2, puteți utiliza mai multe metode:

Regula triunghiurilor, sau regula lui Sarrus, amintește de aceeași regulă. Esența metodei triunghiului este că atunci când se calculează determinantul, produsele tuturor numerelor conectate în figură prin linia roșie din dreapta sunt scrise cu semnul plus și toate numerele conectate într-un mod similar în figura din stânga sunt scrise cu semnul minus. Ambele reguli sunt potrivite pentru matrice de dimensiunea 3 x 3. În cazul regulii Sarrus, matricea în sine este mai întâi rescrisă, iar alături de ea prima și a doua coloană sunt rescrise din nou. Diagonalele sunt trasate prin matrice și aceste coloane suplimentare; elementele matricei situate pe diagonala principală sau paralele cu aceasta sunt scrise cu semnul plus, iar elementele situate pe sau paralele cu diagonala secundară sunt scrise cu semnul minus.

Figura 1. Regula triunghiului pentru calcularea determinantului pentru metoda lui Cramer

Folosind o metodă cunoscută sub numele de metoda Gaussiană, această metodă este uneori numită și reducerea ordinului determinantului. În acest caz, matricea este transformată și redusă la formă triunghiulară, apoi se înmulțesc toate numerele de pe diagonala principală. Trebuie amintit că atunci când căutați un determinant în acest fel, nu puteți înmulți sau împărți rânduri sau coloane cu numere fără a le scoate ca multiplicator sau divizor. În cazul căutării unui determinant, este posibilă doar scăderea și adăugarea rândurilor și coloanelor între ele, înmulțind în prealabil rândul scăzut cu un factor diferit de zero. De asemenea, ori de câte ori rearanjați rândurile sau coloanele matricei, ar trebui să vă amintiți nevoia de a schimba semnul final al matricei.
Când rezolvați un SLAE cu 4 necunoscute folosind metoda Cramer, cel mai bine este să utilizați metoda Gauss pentru a căuta și găsi determinanți sau determina determinant prin căutarea minorilor.

Rezolvarea sistemelor de ecuații folosind metoda lui Cramer

Să aplicăm metoda lui Cramer pentru un sistem de 2 ecuații și două mărimi necesare:

$\begin(cases) a_1x_1 + a_2x_2 = b_1 \\ a_3x_1 + a_4x_2 = b_2 \\ \end(cases)$

Să-l afișăm în formă extinsă pentru comoditate:

$A = \begin(array)(cc|c) a_1 & a_2 & b_1 \\ a_3 & a_4 & b_1 \\ \end(array)$

Să găsim determinantul matricei principale, numit și determinantul principal al sistemului:

$D = \begin(array)(|cc|) a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \\ \end(array) = a_1 \cdot a_4 – a_3 \cdot a_2$

Dacă determinantul principal nu este egal cu zero, atunci pentru a rezolva slough folosind metoda lui Cramer, este necesar să se calculeze încă câțiva determinanți din două matrici cu coloanele matricei principale înlocuite cu un rând de termeni liberi:

$D_1 = \begin(array)(|cc|) b_1 & a_2 \\ b_2 & a_4 \\ \end(array) = b_1 \cdot a_4 – b_2 \cdot a_4$

$D_2 = \begin(array)(|cc|) a_1 & b_1 \\ a_3 & b_2 \\ \end(array) = a_1 \cdot b_2 – a_3 \cdot b_1$

Acum să găsim necunoscutele $x_1$ și $x_2$:

$x_1 = \frac (D_1)(D)$

$x_2 = \frac (D_2)(D)$

Exemplul 1

Metoda lui Cramer pentru rezolvarea SLAE-urilor cu o matrice principală de ordinul 3 (3 x 3) și trei necesare.

Rezolvați sistemul de ecuații:

$\begin(cases) 3x_1 – 2x_2 + 4x_3 = 21 \\ 3x_1 +4x_2 + 2x_3 = 9\\ 2x_1 – x_2 - x_3 = 10 \\ \end(cases)$

Să calculăm determinantul principal al matricei folosind regula menționată mai sus la punctul numărul 1:

$D = \begin(array)(|ccc|) 3 & -2 & 4 \\3 & 4 & -2 \\ 2 & -1 & 1 \\ \end(array) = 3 \cdot 4 \cdot ( -1) + 2 \cdot (-2) \cdot 2 + 4 \cdot 3 \cdot (-1) – 4 \cdot 4 \cdot 2 – 3 \cdot (-2) \cdot (-1) - (- 1) \cdot 2 \cdot 3 = - 12 – 8 -12 -32 – 6 + 6 = - 64$

Și acum alți trei factori determinanți:

$D_1 = \begin(array)(|ccc|) 21 & 2 & 4 \\ 9 & 4 & 2 \\ 10 & 1 & 1 \\ \end(array) = 21 \cdot 4 \cdot 1 + (- 2) \cdot 2 \cdot 10 + 9 \cdot (-1) \cdot 4 – 4 \cdot 4 \cdot 10 – 9 \cdot (-2) \cdot (-1) - (-1) \cdot 2 \ cdot 21 = - 84 – 40 – 36 – 160 – 18 + 42 = - 296 USD

$D_2 = \begin(array)(|ccc|) 3 & 21 & 4 \\3 & 9 & 2 \\ 2 & 10 & 1 \\ \end(array) = 3 \cdot 9 \cdot (- 1) + 3 \cdot 10 \cdot 4 + 21 \cdot 2 \cdot 2 – 4 \cdot 9 \cdot 2 – 21 \cdot 3 \cdot (-1) – 2 \cdot 10 \cdot 3 = - 27 + 120 + 84 – 72 + 63 – 60 = 108 USD

$D_3 = \begin(array)(|ccc|) 3 & -2 & 21 \\ 3 & 4 & 9 \\ 2 & 1 & 10 \\ \end(array) = 3 \cdot 4 \cdot 10 + 3 \cdot (-1) \cdot 21 + (-2) \cdot 9 \cdot 2 – 21 \cdot 4 \cdot 2 - (-2) \cdot 3 \cdot 10 - (-1) \cdot 9 \cdot 3 = 120 – 63 – 36 – 168 + 60 + 27 = - 60 USD

Să găsim cantitățile necesare:

$x_1 = \frac(D_1) (D) = \frac(- 296)(-64) = 4 \frac(5)(8)$

$x_2 = \frac(D_1) (D) = \frac(108) (-64) = - 1 \frac (11) (16)$

$x_3 = \frac(D_1) (D) = \frac(-60) (-64) = \frac (15) (16)$

Pentru a stăpâni acest paragraf, trebuie să poți dezvălui determinanții „două câte doi” și „trei câte trei”. Dacă ești prost cu calificative, te rog să studiezi lecția Cum se calculează determinantul?

În plus, există sisteme de ecuații liniare cu două variabile, care este recomandabil să le rezolve folosind regula lui Cramer!

Luați în considerare sistemul de ecuații

La primul pas, calculăm determinantul, se numește determinant principal al sistemului.

metoda Gauss.

Dacă , atunci sistemul are o soluție unică, iar pentru a găsi rădăcinile trebuie să calculăm încă doi determinanți:
Și

În practică, calificativele de mai sus pot fi notate și printr-o literă latină.

Găsim rădăcinile ecuației folosind formulele:
,

Exemplul 7

Rezolvați un sistem de ecuații liniare

Ce să fac? În astfel de cazuri, formulele lui Cramer vin în ajutor.

;

Răspuns: ,

Ambele rădăcini au cozi infinite și se găsesc aproximativ, ceea ce este destul de acceptabil (și chiar banal) pentru problemele de econometrie.

Exemplul 8

Prezentați răspunsul în fracții improprii obișnuite. Faceți o verificare.

Acesta este un exemplu pe care îl puteți rezolva singur (un exemplu de design final și răspunsul de la sfârșitul lecției).

Să trecem la considerarea lui Cramer pentru un sistem de trei ecuații cu trei necunoscute:

Găsim principalul determinant al sistemului:

Dacă , atunci sistemul are infinit de soluții sau este inconsecvent (nu are soluții). În acest caz, regula lui Cramer nu va ajuta; trebuie să utilizați metoda Gauss.

Dacă , atunci sistemul are o soluție unică și pentru a găsi rădăcinile trebuie să calculăm încă trei determinanți:
, ,

Și în sfârșit, răspunsul este calculat folosind formulele:

Exemplul 9

Rezolvați sistemul folosind formulele lui Cramer.

Soluţie: Să rezolvăm sistemul folosind formulele lui Cramer.

, ceea ce înseamnă că sistemul are o soluție unică.

Răspuns: .

De fapt, iar aici nu este nimic special de comentat, din cauza faptului că soluția urmează formule gata făcute. Dar există câteva comentarii.

Exemplul 10

Rezolvați sistemul folosind formulele lui Cramer.

Acesta este un exemplu pentru o soluție independentă (o mostră din proiectul final și răspunsul de la sfârșitul lecției).

Rezolvarea sistemului folosind o matrice inversă

Metoda matricei inverse este în esență un caz special ecuația matriceală(Vezi Exemplul nr. 3 al lecției specificate).

Exemplul 11

Rezolvați sistemul folosind metoda matricei

Soluţie: Să scriem sistemul sub formă de matrice:
, Unde

Găsim matricea inversă folosind formula:
, unde este matricea transpusă a complementelor algebrice ale elementelor corespunzătoare ale matricei.

Mai întâi, să ne uităm la determinant:

Aici determinantul este extins pe prima linie.

Acum trebuie să calculăm 9 minori și să le scriem în matricea minorilor

În timpul soluției, este mai bine să descrieți în detaliu calculul minorilor, deși cu ceva experiență vă puteți obișnui să le calculați cu erori oral.