Ajutor la Tele2, tarife, intrebari

Această lecție va acoperi adunarea și scăderea fracțiilor algebrice cu diferiți numitori. Știm deja cum să adunăm și să scădem fracții comune cu numitori diferiți. Pentru a face acest lucru, fracțiile trebuie reduse la un numitor comun. Se pare că fracțiile algebrice urmează aceleași reguli. În același timp, știm deja cum să reducem fracțiile algebrice la un numitor comun. Adunarea și scăderea fracțiilor cu numitori diferiți este una dintre cele mai importante și dificile subiecte din cursul de clasa a VIII-a. Mai mult, acest subiect va apărea în multe subiecte din cursul de algebră pe care îl vei studia în viitor. Ca parte a lecției, vom studia regulile de adunare și scădere a fracțiilor algebrice cu diferiți numitori și, de asemenea, vom analiza o serie de exemple tipice.

Să ne uităm la cel mai simplu exemplu pentru fracțiile obișnuite.

Exemplul 1. Adăugați fracții: .

Soluţie:

Să ne amintim de regula de adunare a fracțiilor. Pentru început, fracțiile trebuie reduse la un numitor comun. Numitorul comun pentru fracțiile ordinare este cel mai mic multiplu comun(LCM) a numitorilor originali.

Definiție

Cel mai mic număr natural care este divizibil cu ambele numere și .

Pentru a găsi LCM, trebuie să factorizați numitorii în factori primi și apoi să selectați toți factorii primi care sunt incluși în extinderea ambilor numitori.

; . Atunci LCM-ul numerelor trebuie să includă doi doi și doi trei: .

După ce ați găsit numitorul comun, trebuie să găsiți un factor suplimentar pentru fiecare fracție (de fapt, împărțiți numitorul comun la numitorul fracției corespunzătoare).

Fiecare fracție este apoi înmulțită cu factorul suplimentar rezultat. Obținem fracții cu aceiași numitori, pe care le-am învățat să le adunăm și să le scădem în lecțiile anterioare.

Primim: .

Răspuns:.

Să luăm acum în considerare adăugarea fracțiilor algebrice cu numitori diferiți. Mai întâi, să ne uităm la fracțiile ai căror numitori sunt numere.

Exemplul 2. Adăugați fracții: .

Soluţie:

Algoritmul de soluție este absolut similar cu exemplul anterior. Este ușor de găsit numitorul comun al acestor fracții: și factori suplimentari pentru fiecare dintre ele.

.

Răspuns:.

Deci, hai să formulăm algoritm de adunare si scadere a fractiilor algebrice cu numitori diferiti:

1. Aflați cel mai mic numitor comun al fracțiilor.

2. Găsiți factori suplimentari pentru fiecare dintre fracții (prin împărțirea numitorului comun la numitorul fracției date).

3. Înmulțiți numărătorii cu factorii suplimentari corespunzători.

4. Adunați sau scădeți fracții folosind regulile de adunare și scădere a fracțiilor cu numitori similari.

Să luăm acum un exemplu cu fracții al căror numitor conține expresii cu litere.

Exemplul 3. Adăugați fracții: .

Soluţie:

Deoarece expresiile literelor din ambii numitori sunt aceleași, ar trebui să găsiți un numitor comun pentru numere. Numitorul comun final va arăta astfel: . Astfel, soluția acestui exemplu arată astfel:.

Răspuns:.

Exemplul 4. Scăderea fracțiilor: .

Soluţie:

Dacă nu puteți „trișa” atunci când alegeți un numitor comun (nu îl puteți factoriza sau folosi formule de înmulțire abreviate), atunci trebuie să luați produsul numitorilor ambelor fracții ca numitor comun.

Răspuns:.

În general, atunci când rezolvați astfel de exemple, cea mai dificilă sarcină este să găsiți un numitor comun.

Să ne uităm la un exemplu mai complex.

Exemplul 5. Simplifica: .

Soluţie:

Când găsiți un numitor comun, trebuie mai întâi să încercați să factorizați numitorii fracțiilor originale (pentru a simplifica numitorul comun).

În acest caz particular:

Atunci este ușor să determinați numitorul comun: .

Determinăm factori suplimentari și rezolvăm acest exemplu:

Răspuns:.

Acum să stabilim regulile de adunare și scădere a fracțiilor cu numitori diferiți.

Exemplul 6. Simplifica: .

Soluţie:

Răspuns:.

Exemplul 7. Simplifica: .

Soluţie:

.

Răspuns:.

Să luăm acum în considerare un exemplu în care nu se adună două, ci trei fracții (la urma urmei, regulile de adunare și scădere pentru un număr mai mare de fracții rămân aceleași).

Exemplul 8. Simplifica: .

După cum știm din matematică, un număr fracționar este format dintr-un numărător și un numitor. Numătorul este în partea de sus, iar numitorul este în partea de jos.

Este destul de simplu să se efectueze operații matematice de adunare sau scădere a cantităților fracționale cu același numitor. Trebuie doar să puteți adăuga sau scădea numerele din numărător (mai sus), iar același număr de jos rămâne neschimbat.

De exemplu, să luăm numărul fracționar 7/9, aici:

• numărul „șapte” de deasupra este numărătorul;
• numărul „nouă” de mai jos este numitorul.

Exemplul 1. Plus:

5/49 + 4/49 = (5+4) / 49 =9/49.

Exemplul 2. Scădere:

6/35−3/35 = (6−3) / 35 = 3/35.

Scăderea valorilor fracționale simple care au numitori diferiți

Pentru a efectua operația matematică de scădere a cantităților care au numitori diferiți, trebuie mai întâi să le reduceți la un singur numitor. Când îndepliniți această sarcină, este necesar să respectați regula conform căreia acest numitor comun trebuie să fie cea mai mică dintre toate opțiunile posibile.

Exemplul 3

Având în vedere două mărimi simple cu numitori diferiți (numerele mai mici): 7/8 și 2/9.

Este necesar să scadă a doua din prima valoare.

Soluția constă din mai mulți pași:

1. Găsiți numărul mai mic comun, adică ceva care este divizibil atât cu valoarea inferioară a primei fracții, cât și cu cea de-a doua. Acesta va fi numărul 72, deoarece este un multiplu al numerelor opt și nouă.

2. Cifra de jos a fiecărei fracții a crescut:

• numărul „opt” din fracția 7/8 a crescut de nouă ori - 8*9=72;
• numărul „nouă” din fracția 2/9 a crescut de opt ori - 9*8=72.

3. Dacă numitorul (cifra inferioară) s-a schimbat, atunci trebuie să se schimbe și numărătorul (cifra superioară). Conform regulii matematice existente, numărul de sus trebuie mărit exact cu aceeași sumă cu cel de jos. Acesta este:

• numărătorul „șapte” din prima fracție (7/8) se înmulțește cu numărul „nouă” - 7*9=63;
• Înmulțim numărătorul „doi” din a doua fracție (2/9) cu numărul „opt” - 2*8=16.

4. În urma acțiunilor noastre, am obținut două cantități noi, care, totuși, sunt identice cu cele originale.

• primul: 7/8 = 7*9 / 8*9 = 63/72;
• secunda: 2/9 = 2*8 / 9*8 = 16/72.

5. Acum este posibil să scazi un număr fracționar din altul:

7/8−2/9 = 63/72−16/72 =?

6. Efectuând această acțiune, revenim la subiectul scăderii fracțiilor cu aceleași cifre mai mici (numitori). Aceasta înseamnă că acțiunea de scădere va fi efectuată deasupra, în numărător, iar cifra de jos va fi transferată fără modificări.

63/72−16/72 = (63−16) / 72 = 47/72.

7/8−2/9 = 47/72.

Exemplul 4

Să complicăm problema luând mai multe fracții cu numere diferite, dar multiple în partea de jos pentru a le rezolva.

Valorile date sunt: ​​5/6; 1/3; 1/12; 7/24.

Ele trebuie luate unul de celălalt în această secvență.

1. Aducem fracțiile folosind metoda de mai sus la un numitor comun, care va fi numărul „24”:

• 5/6 = 5*4 / 6*4 = 20/24;
• 1/3 = 1*8 / 3*8 = 8/24;
• 1/12 = 1*2 / 12*2 = 2/24.

7/24 - lăsăm această ultimă valoare neschimbată, deoarece numitorul este numărul total „24”.

2. Scădem toate cantitățile:

20/24−8/2−2/24−7/24 = (20−8−2−7)/24 = 3/24.

3. Deoarece numărătorul și numitorul fracției rezultate sunt divizibile cu un număr, ele pot fi reduse prin împărțirea la numărul „trei”:

3:3 / 24:3 = 1/8.

4. Scriem răspunsul astfel:

5/6−1/3−1/12−7/24 = 1/8.

Exemplul 5

Se dau trei fracții cu numitori nemulți: 3/4; 2/7; 1/13.

Trebuie să găsiți diferența.

1. Aducem primele două numere la un numitor comun, acesta va fi numărul „28”:

• ¾ = 3*7 / 4*7 = 21/28;
• 2/7 = 2*4 / 7*4 = 8/28.

2. Scădeți primele două fracții una de la cealaltă:

¾−2/7 = 21/28−8/28 = (21−8) / 28 = 13/28.

3. Scădeți a treia fracție dată din valoarea rezultată:

4. Aducem numerele la un numitor comun. Dacă nu este posibil să selectați același numitor într-un mod mai ușor, atunci trebuie doar să efectuați pașii înmulțind toți numitorii în secvență unul cu celălalt, fără a uita să creșteți valoarea numărătorului cu aceeași cifră. În acest exemplu facem asta:

• 13/28 = 13*13 / 28*13 = 169/364, unde 13 este cifra inferioară a lui 5/13;
• 5/13 = 5*28 / 13*28 = 140/364, unde 28 este numărul mai mic de la 13/28.

5. Scădeți fracțiile rezultate:

13/28−5/13 = 169/364−140/364 = (169−140) / 364 = 29/364.

Răspuns: ¾−2/7−5/13 = 29/364.

Fracții mixte

În exemplele discutate mai sus, s-au folosit numai fracții adecvate.

Ca exemplu:

• 8/9 este o fracție proprie;
• 9/8 este incorect.

Este imposibil să transformi o fracție nepotrivită într-o fracție adecvată, dar este posibil să o transformi în amestecat. De ce împărțiți numărul de sus (numărătorul) la cel de jos (numitorul) pentru a obține un număr cu rest? Întregul rezultat din împărțire se notează astfel, restul se scrie la numărător în partea de sus, iar numitorul din partea de jos rămâne același. Pentru a fi mai clar, să ne uităm la un exemplu specific:

Exemplul 6

Transformați fracția improprie 9/8 în cea corectă.

Pentru a face acest lucru, împărțiți numărul „nouă” la „opt”, rezultând o fracție mixtă cu un număr întreg și un rest:

9: 8 = 1 și 1/8 (acesta poate fi scris diferit ca 1+1/8), unde:

• numărul 1 este întregul rezultat din împărțire;
• un alt număr 1 este restul;
• numărul 8 este numitorul, care rămâne neschimbat.

Un număr întreg se mai numește și număr natural.

Restul și numitorul sunt o fracție nouă, dar adecvată.

Când se scrie numărul 1, se scrie înaintea fracției proprii 1/8.

Scăderea numerelor mixte cu diferiți numitori

Din cele de mai sus, dăm definiția unui număr fracțional mixt: „Număr mixt - aceasta este o cantitate care este egală cu suma unui număr întreg și a unei fracții ordinare propriu-zise. În acest caz, întreaga parte este numită numar natural, iar numărul care a rămas este al lui parte fracționată».

Exemplul 7

Date: două mărimi fracționale mixte formate dintr-un număr întreg și o fracție proprie:

• prima valoare este 9 și 4/7, adică (9+4/7);
• a doua valoare este 3 și 5/21, adică (3+5/21).

Este necesar să se găsească diferența dintre aceste cantități.

1. Pentru a scădea 3+5/21 din 9+4/7, mai întâi trebuie să scădeți valorile întregi una de la alta:

4/7−5/21 = 4*3 / 7*3−5/21 =12/21−5/21 = (12−5) / 21 = 7/21.

3. Rezultatul rezultat al diferenței dintre două numere mixte va consta din numărul natural (întreg) 6 și fracția proprie 7/21 = 1/3:

(9 + 4/7) - (3 + 5/21) = 6 + 1/3.

Matematicienii din toate țările au fost de acord că semnul „+” atunci când se scriu cantități mixte poate fi omis și doar numărul întreg rămâne înaintea fracției fără niciun semn.

Luați în considerare fracția $\frac63$. Valoarea sa este 2, deoarece $\frac63 =6:3 = 2$. Ce se întâmplă dacă numărătorul și numitorul sunt înmulțiți cu 2? $\frac63 \times 2=\frac(12)(6)$. Evident, valoarea fracției nu s-a schimbat, deci $\frac(12)(6)$ deoarece y este, de asemenea, egal cu 2. Puteți înmulțiți numărătorul și numitorul cu 3 și obțineți $\frac(18)(9)$ sau cu 27 și obțineți $\frac(162)(81)$ sau cu 101 și obțineți $\frac(606)(303)$. În fiecare dintre aceste cazuri, valoarea fracției pe care o obținem prin împărțirea numărătorului la numitor este 2. Aceasta înseamnă că nu s-a schimbat.

Același model se observă și în cazul altor fracții. Dacă numărătorul și numitorul fracției $\frac(120)(60)$ (egal cu 2) sunt împărțite la 2 (rezultatul este $\frac(60)(30)$), sau la 3 (rezultatul este $\frac(40)(20) $), sau cu 4 (rezultat $\frac(30)(15)$) și așa mai departe, atunci în fiecare caz valoarea fracției rămâne neschimbată și egală cu 2.

Această regulă se aplică și fracțiilor care nu sunt egale număr întreg.

Dacă numărătorul și numitorul fracției $\frac(1)(3)$ sunt înmulțite cu 2, obținem $\frac(2)(6)$, adică valoarea fracției nu s-a schimbat. Și de fapt, dacă împărțiți plăcinta în 3 părți și luați una dintre ele, sau o împărțiți în 6 părți și luați 2 părți, veți obține aceeași cantitate de plăcintă în ambele cazuri. Prin urmare, numerele $\frac(1)(3)$ și $\frac(2)(6)$ sunt identice. Să formulăm o regulă generală.

Numătorul și numitorul oricărei fracții pot fi înmulțite sau împărțite cu același număr fără a modifica valoarea fracției.

Această regulă se dovedește a fi foarte utilă. De exemplu, permite în unele cazuri, dar nu întotdeauna, evitarea operațiunilor cu numere mari.

De exemplu, putem împărți numărătorul și numitorul fracției $\frac(126)(189)$ la 63 și obținem fracția $\frac(2)(3)$, cu care este mult mai ușor de calculat. Încă un exemplu. Putem împărți numărătorul și numitorul fracției $\frac(155)(31)$ la 31 și obținem fracția $\frac(5)(1)$ sau 5, deoarece 5:1=5.

În acest exemplu, ne-am întâlnit prima dată o fracție al cărei numitor este 1. Astfel de fracții joacă un rol important în calcule. Trebuie amintit că orice număr poate fi împărțit la 1 și valoarea acestuia nu se va schimba. Adică $\frac(273)(1)$ este egal cu 273; $\frac(509993)(1)$ este egal cu 509993 și așa mai departe. Prin urmare, nu trebuie să împărțim numerele la , deoarece fiecare număr întreg poate fi reprezentat ca o fracție cu un numitor de 1.

Cu astfel de fracții, al căror numitor este 1, puteți efectua aceleași operații aritmetice ca și cu toate celelalte fracții: $\frac(15)(1)+\frac(15)(1)=\frac(30)(1) ) $, $\frac(4)(1) \times \frac(3)(1)=\frac(12)(1)$.

Vă puteți întreba la ce este bun dacă reprezentăm un întreg ca o fracție cu o unitate sub linie, deoarece este mai convenabil să lucrați cu un întreg. Dar ideea este că reprezentarea unui număr întreg ca fracție ne oferă posibilitatea de a efectua diverse operații mai eficient atunci când avem de-a face atât cu numere întregi, cât și cu fracții în același timp. De exemplu, să învețe se adună fracții cu numitori diferiți. Să presupunem că trebuie să adăugăm $\frac(1)(3)$ și $\frac(1)(5)$.

Știm că putem aduna doar fracții ai căror numitori sunt egali. Aceasta înseamnă că trebuie să învățăm cum să reducem fracțiile la o formă în care numitorii lor sunt egali. În acest caz, vom avea din nou nevoie de faptul că putem înmulți numărătorul și numitorul unei fracții cu același număr fără a-i schimba valoarea.

Mai întâi, înmulțiți numărătorul și numitorul fracției $\frac(1)(3)$ cu 5. Obținem $\frac(5)(15)$, valoarea fracției nu s-a schimbat. Apoi înmulțim numărătorul și numitorul fracției $\frac(1)(5)$ cu 3. Obținem $\frac(3)(15)$, iar valoarea fracției nu s-a schimbat. Prin urmare, $\frac(1)(3)+\frac(1)(5)=\frac(5)(15)+\frac(3)(15)=\frac(8)(15)$.

Acum să încercăm să aplicăm acest sistem la adunarea numerelor care conțin atât părți întregi, cât și părți fracționale.

Trebuie să adăugăm $3 + \frac(1)(3)+1\frac(1)(4)$. Mai întâi, să convertim toți termenii în fracții și să obținem: $\frac31 + \frac(1)(3)+\frac(5)(4)$. Acum trebuie să aducem toate fracțiile la un numitor comun, pentru aceasta înmulțim numărătorul și numitorul primei fracții cu 12, pe a doua cu 4 și pe a treia cu 3. Ca rezultat, obținem $\frac(36). )(12) + \frac(4 )(12)+\frac(15)(12)$, care este egal cu $\frac(55)(12)$. Dacă vrei să scapi de fracție improprie, poate fi transformat într-un număr format dintr-un număr întreg și o fracție: $\frac(55)(12) = \frac(48)(12)+\frac(7)(12)$ sau $4\frac(7) )( 12)$.

Toate regulile care permit operatii cu fractii, pe care tocmai le-am studiat, sunt valabile și în cazul numerelor negative. Deci, -1: 3 poate fi scris ca $\frac(-1)(3)$, iar 1: (-3) ca $\frac(1)(-3)$.

Deoarece împărțirea unui număr negativ la un număr pozitiv și împărțirea unui număr pozitiv la un număr negativ rezultă în numere negative, în ambele cazuri răspunsul va fi un număr negativ. Acesta este

$(-1) : 3 = \frac(1)(3)$ sau $1: (-3) = \frac(1)(-3)$. Semnul minus atunci când este scris în acest fel se referă la întreaga fracție, și nu separat la numărător sau numitor.

Pe de altă parte, (-1) : (-3) poate fi scris ca $\frac(-1)(-3)$ și, deoarece împărțirea unui număr negativ la un număr negativ dă un număr pozitiv, atunci $\frac (-1 )(-3)$ poate fi scris ca $+\frac(1)(3)$.

Adunarea și scăderea fracțiilor negative se efectuează conform aceleiași scheme ca și adunarea și scăderea fracțiilor pozitive. De exemplu, ce este $1- 1\frac13$? Să reprezentăm ambele numere ca fracții și să obținem $\frac(1)(1)-\frac(4)(3)$. Să aducem fracțiile la un numitor comun și să obținem $\frac(1 \times 3)(1 \times 3)-\frac(4)(3)$, adică $\frac(3)(3)-\ frac(4) (3)$ sau $-\frac(1)(3)$.

Notă!Înainte de a vă scrie răspunsul final, vedeți dacă puteți scurta fracția primită.

Scăderea fracțiilor cu numitori similari, exemple:

,

,

Scăderea unei fracții adecvate din una.

Dacă este necesară scăderea unei fracții dintr-o unitate care este proprie, unitatea este convertită în forma unei fracții improprie, numitorul ei este egal cu numitorul fracției scăzute.

Un exemplu de scădere a unei fracții adecvate din una:

Numitorul fracției de scăzut = 7 , adică reprezentăm una ca o fracție improprie 7/7 și o scădem conform regulii de scădere a fracțiilor cu numitori similari.

Scăderea unei fracții adecvate dintr-un număr întreg.

Reguli pentru scăderea fracțiilor - corect de la un număr întreg (numar natural):

• Transformăm fracțiile date care conțin o parte întreagă în unele improprii. Obținem termeni normali (nu contează dacă au numitori diferiți), pe care îi calculăm conform regulilor date mai sus;
• Apoi, calculăm diferența dintre fracțiile pe care le-am primit. Ca urmare, aproape vom găsi răspunsul;
• Efectuăm transformarea inversă, adică scăpăm de fracția necorespunzătoare - selectăm întreaga parte din fracție.

Scădeți o fracție proprie dintr-un număr întreg: reprezentați numărul natural ca număr mixt. Acestea. Luăm o unitate într-un număr natural și o transformăm în forma unei fracții improprie, numitorul fiind același cu cel al fracției scăzute.

Exemplu de scădere a fracțiilor:

În exemplu, am înlocuit una cu fracția improprie 7/7 și în loc de 3 am notat un număr mixt și am scăzut o fracție din partea fracțională.

Scăderea fracțiilor cu numitori diferiți.

Sau, altfel spus, scăderea diferitelor fracții.

Regula pentru scăderea fracțiilor cu numitori diferiți. Pentru a scădea fracții cu numitori diferiți, este necesar, mai întâi, să reduceți aceste fracții la cel mai mic numitor comun (LCD) și abia după aceasta, să efectuați scăderea ca și la fracțiile cu aceiași numitori.

Numitorul comun al mai multor fracții este LCM (cel mai mic multiplu comun) numere naturale care sunt numitorii acestor fracții.

Atenţie! Dacă în fracția finală numărătorul și numitorul au factori comuni, atunci fracția trebuie redusă. O fracție improprie este cel mai bine reprezentată ca o fracție mixtă. Lăsarea rezultatului scăderii fără reducerea fracției acolo unde este posibil este o soluție incompletă a exemplului!

Procedura de scădere a fracțiilor cu numitori diferiți.

• găsiți LCM pentru toți numitorii;
• puneți factori suplimentari pentru toate fracțiile;
• înmulțiți toți numărătorii cu un factor suplimentar;
• Scriem produsele rezultate la numărător, semnând numitorul comun sub toate fracțiile;
• scădeți numărătorii fracțiilor, semnând numitorul comun sub diferență.

În același mod, adunarea și scăderea fracțiilor se efectuează dacă există litere în numărător.

Scăderea fracțiilor, exemple:

Scăderea fracțiilor mixte.

La scăderea fracțiilor mixte (numerele) separat, partea întreagă este scăzută din partea întreagă, iar partea fracțională este scăzută din partea fracțională.

Prima opțiune pentru scăderea fracțiilor mixte.

Dacă părțile fracționale aceeași numitorii și numărătorul părții fracționale a minuendului (o scădem din el) ≥ numărătoarea părții fracționale a subtraendului (o scădem).

De exemplu:

A doua opțiune pentru scăderea fracțiilor mixte.

Când părțile fracționate diferit numitori. Pentru început, aducem părțile fracționale la un numitor comun, iar după aceea scădem întreaga parte din întreaga parte, iar partea fracțională din partea fracțională.

De exemplu:

A treia opțiune pentru scăderea fracțiilor mixte.

Partea fracționară a minuendului este mai mică decât partea fracționară a subtraendului.

Exemplu:

Deoarece Părțile fracționale au numitori diferiți, ceea ce înseamnă, ca și în a doua opțiune, mai întâi aducem fracțiile obișnuite la un numitor comun.

Numătorul părții fracționale a minuendului este mai mic decât numărătorul părții fracționale a subtraendului.3 < 14. Aceasta înseamnă că luăm o unitate din întreaga parte și reducem această unitate la forma unei fracții improprie cu același numitor și numărător = 18.

În numărătorul din dreapta scriem suma numărătorilor, apoi deschidem parantezele din numărătorul din dreapta, adică înmulțim totul și dăm altele asemănătoare. Nu deschidem parantezele la numitor. Se obișnuiește să lăsați produsul în numitori. Primim:

Una dintre cele mai importante științe, a cărei aplicare poate fi văzută în discipline precum chimia, fizica și chiar biologia, este matematica. Studierea acestei științe vă permite să dezvoltați unele calități mentale și să vă îmbunătățiți capacitatea de concentrare. Unul dintre subiectele care merită o atenție deosebită la cursul de Matematică este adunarea și scăderea fracțiilor. Mulți studenți le este greu să studieze. Poate că articolul nostru vă va ajuta să înțelegeți mai bine acest subiect.

Cum se scad fracțiile ai căror numitori sunt aceiași

Fracțiile sunt aceleași numere cu care puteți efectua diverse operații. Diferența lor față de numerele întregi constă în prezența unui numitor. De aceea, atunci când efectuați operații cu fracții, trebuie să studiați unele dintre caracteristicile și regulile acestora. Cel mai simplu caz este scăderea fracțiilor ordinare ai căror numitori sunt reprezentați ca același număr. Efectuarea acestei acțiuni nu va fi dificilă dacă cunoașteți o regulă simplă:

• Pentru a scădea o secundă dintr-o fracție, este necesar să se scadă numărătorul fracției scăzute din numărătorul fracției care se reduce. Scriem acest număr în numărătorul diferenței și lăsăm numitorul același: k/m - b/m = (k-b)/m.

Exemple de scădere a fracțiilor ai căror numitori sunt aceiași

7/19 - 3/19 = (7 - 3)/19 = 4/19.

Din numărătorul fracției „7” scădem numărătorul fracției „3” de scăzut, obținem „4”. Scriem acest număr la numărătorul răspunsului, iar la numitor punem același număr care era în numitorii primei și celei de-a doua fracții - „19”.

Imaginea de mai jos prezintă mai multe exemple similare.

Să luăm în considerare un exemplu mai complex în care se scad fracțiile cu numitori similari:

29/47 - 3/47 - 8/47 - 2/47 - 7/47 = (29 - 3 - 8 - 2 - 7)/47 = 9/47.

Din numărătorul fracției „29” fiind redus prin scăderea pe rând a numărătorilor tuturor fracțiilor ulterioare - „3”, „8”, „2”, „7”. Drept urmare, obținem rezultatul „9”, pe care îl notăm la numărătorul răspunsului, iar la numitor notăm numărul care se află în numitorii tuturor acestor fracții - „47”.

Adunarea fracțiilor care au același numitor

Adunarea și scăderea fracțiilor obișnuite urmează același principiu.

• Pentru a adăuga fracții ai căror numitori sunt aceiași, trebuie să adăugați numărătorii. Numărul rezultat este numărătorul sumei, iar numitorul va rămâne același: k/m + b/m = (k + b)/m.

Să vedem cum arată asta folosind un exemplu:

1/4 + 2/4 = 3/4.

La numărătorul primului termen al fracției - „1” - adăugați numărătorul celui de-al doilea termen al fracției - „2”. Rezultatul - „3” - este scris în numărătorul sumei, iar numitorul rămâne același cu cel prezent în fracții - „4”.

Fracții cu numitori diferiți și scăderea lor

Am considerat deja operația cu fracții care au același numitor. După cum puteți vedea, cunoscând reguli simple, rezolvarea unor astfel de exemple este destul de ușoară. Dar dacă trebuie să efectuați o operație cu fracții care au numitori diferiți? Mulți elevi de liceu sunt derutați de astfel de exemple. Dar și aici, dacă cunoașteți principiul soluției, exemplele nu vă vor mai fi dificile. Există și o regulă aici, fără de care rezolvarea unor astfel de fracții este pur și simplu imposibilă.

Pentru a scădea fracții cu numitori diferiți, acestea trebuie reduse la același cel mai mic numitor.



Vom vorbi mai detaliat despre cum să facem acest lucru.

Proprietatea unei fracții

Pentru a aduce mai multe fracții la același numitor, trebuie să utilizați proprietatea principală a unei fracții în soluție: după împărțirea sau înmulțirea numărătorului și numitorului cu același număr, obțineți o fracție egală cu cea dată.

Deci, de exemplu, fracția 2/3 poate avea numitori precum „6”, „9”, „12”, etc., adică poate avea forma oricărui număr care este multiplu al lui „3”. După ce înmulțim numărătorul și numitorul cu „2”, obținem fracția 4/6. După ce înmulțim numărătorul și numitorul fracției inițiale cu „3”, obținem 6/9, iar dacă facem o operație similară cu numărul „4”, obținem 8/12. O egalitate poate fi scrisă după cum urmează:

2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12…

Cum se transformă mai multe fracții la același numitor

Să ne uităm la cum să reducem mai multe fracții la același numitor. De exemplu, să luăm fracțiile prezentate în imaginea de mai jos. Mai întâi trebuie să determinați ce număr poate deveni numitorul pentru toate. Pentru a ușura lucrurile, să factorizăm numitorii existenți.

Numitorul fracției 1/2 și al fracției 2/3 nu pot fi factorizați. Numitorul 7/9 are doi factori 7/9 = 7/(3 x 3), numitorul fracției 5/6 = 5/(2 x 3). Acum trebuie să determinăm care factori vor fi cei mai mici pentru toate aceste patru fracții. Deoarece prima fracție are numărul „2” la numitor, înseamnă că trebuie să fie prezentă la toți numitorii; în fracția 7/9 există două triplete, ceea ce înseamnă că ambele trebuie să fie prezente și la numitor. Ținând cont de cele de mai sus, determinăm că numitorul este format din trei factori: 3, 2, 3 și este egal cu 3 x 2 x 3 = 18.



Să luăm în considerare prima fracție - 1/2. Există un „2” în numitorul său, dar nu există o singură cifră „3”, dar ar trebui să fie două. Pentru a face acest lucru, înmulțim numitorul cu două triple, dar, conform proprietății unei fracții, trebuie să înmulțim numărătorul cu două triple:
1/2 = (1 x 3 x 3)/(2 x 3 x 3) = 9/18.

Efectuăm aceleași operații cu fracțiile rămase.

• 2/3 - unul trei și unul doi lipsesc la numitor:
  2/3 = (2 x 3 x 2)/(3 x 3 x 2) = 12/18.
• 7/9 sau 7/(3 x 3) - numitorului lipsește un doi:
  7/9 = (7 x 2)/(9 x 2) = 14/18.
• 5/6 sau 5/(2 x 3) - numitorului îi lipsește un trei:
  5/6 = (5 x 3)/(6 x 3) = 15/18.

Toate împreună arată așa:



Cum se scad și se adună fracții care au numitori diferiți

După cum s-a menționat mai sus, pentru a adăuga sau scădea fracții care au numitori diferiți, acestea trebuie reduse la același numitor și apoi să se folosească regulile de scădere a fracțiilor care au același numitor, care au fost deja discutate.

Să ne uităm la asta ca exemplu: 4/18 - 3/15.

Aflarea multiplului numerelor 18 și 15:

• Numărul 18 este format din 3 x 2 x 3.
• Numărul 15 este format din 5 x 3.
• Multiplu comun va fi următorii factori: 5 x 3 x 3 x 2 = 90.

După ce a fost găsit numitorul, este necesar să se calculeze factorul care va fi diferit pentru fiecare fracție, adică numărul cu care va fi necesar să se înmulțească nu numai numitorul, ci și numărătorul. Pentru a face acest lucru, împărțiți numărul pe care l-am găsit (multiplu comun) la numitorul fracției pentru care trebuie să fie determinați factori suplimentari.

• 90 împărțit la 15. Numărul rezultat „6” va fi un multiplicator pentru 3/15.
• 90 împărțit la 18. Numărul rezultat „5” va fi un multiplicator pentru 4/18.

Următoarea etapă a soluției noastre este să reducem fiecare fracție la numitorul „90”.

Am vorbit deja despre cum se face acest lucru. Să vedem cum este scris asta într-un exemplu:

(4 x 5)/(18 x 5) - (3 x 6)/(15 x 6) = 20/90 - 18/90 = 2/90 = 1/45.

Dacă fracțiile au numere mici, atunci puteți determina numitorul comun, ca în exemplul prezentat în imaginea de mai jos.



Același lucru este valabil și pentru cei cu numitori diferiți.

Scăderea și având părți întregi

Am discutat deja în detaliu despre scăderea fracțiilor și adunarea lor. Dar cum să scadă dacă o fracție are o parte întreagă? Din nou, să folosim câteva reguli:

• Convertiți toate fracțiile care au o parte întreagă în fracții improprii. Cu cuvinte simple, eliminați o parte întreagă. Pentru a face acest lucru, înmulțiți numărul părții întregi cu numitorul fracției și adăugați produsul rezultat la numărător. Numărul care iese după aceste acțiuni este numărătorul fracției improprie. Numitorul rămâne neschimbat.
• Dacă fracțiile au numitori diferiți, acestea ar trebui reduse la același numitor.
• Efectuați adunarea sau scăderea cu aceiași numitori.
• Când primiți o fracție necorespunzătoare, selectați întreaga parte.



Există un alt mod în care puteți adăuga și scădea fracții cu părți întregi. Pentru a face acest lucru, acțiunile sunt efectuate separat cu părți întregi și acțiunile cu fracții separat, iar rezultatele sunt înregistrate împreună.



Exemplul dat este format din fracții care au același numitor. În cazul în care numitorii sunt diferiți, aceștia trebuie adusi la aceeași valoare și apoi efectuați acțiunile prezentate în exemplu.

Scăderea fracțiilor din numere întregi

Un alt tip de operatie cu fractii este cazul in care o fractiune trebuie scazuta.La prima vedere, un astfel de exemplu pare greu de rezolvat. Totuși, totul este destul de simplu aici. Pentru a o rezolva, trebuie să convertiți numărul întreg într-o fracție și cu același numitor care se află în fracția scăzută. În continuare, efectuăm o scădere similară cu scăderea cu numitori identici. Într-un exemplu arată astfel:

7 - 4/9 = (7 x 9)/9 - 4/9 = 53/9 - 4/9 = 49/9.

Scăderea fracțiilor (clasa 6) prezentată în acest articol este baza pentru rezolvarea unor exemple mai complexe care sunt acoperite în notele ulterioare. Cunoașterea acestui subiect este ulterior utilizată pentru a rezolva funcții, derivate și așa mai departe. Prin urmare, este foarte important să înțelegeți și să înțelegeți operațiile cu fracții discutate mai sus.