Piramidă. Piramida trunchiată

Piramidă se numește poliedru, una dintre fețele căruia este un poligon ( baza ), iar toate celelalte fețe sunt triunghiuri cu un vârf comun ( fetele laterale ) (Fig. 15). Piramida se numește corect , dacă baza sa este un poligon regulat și vârful piramidei este proiectat în centrul bazei (Fig. 16). Se numește o piramidă triunghiulară în care toate muchiile sunt egale tetraedru .

Coastă laterală piramida se numeste latura fetei laterale care nu apartine bazei Înălţime piramida este distanța de la vârful ei până la planul bazei. Toate marginile laterale ale unei piramide obișnuite sunt egale între ele, toate fețele laterale sunt triunghiuri isoscele egale. Înălțimea feței laterale a unei piramide obișnuite trasă din vârf se numește apotemă . secțiune diagonală O secțiune a unei piramide se numește plan care trece prin două margini laterale care nu aparțin aceleiași fețe.

Suprafața laterală piramida se numește suma ariilor tuturor fețelor laterale. Suprafata intreaga este suma ariilor tuturor fețelor laterale și ale bazei.

Teoreme

1. Dacă într-o piramidă toate marginile laterale sunt înclinate în mod egal față de planul bazei, atunci vârful piramidei este proiectat în centrul cercului circumscris lângă bază.

2. Dacă într-o piramidă toate marginile laterale au lungimi egale, atunci vârful piramidei este proiectat în centrul cercului circumscris lângă bază.

3. Dacă în piramidă toate fețele sunt înclinate egal față de planul bazei, atunci vârful piramidei este proiectat în centrul cercului înscris în bază.

Pentru a calcula volumul unei piramide arbitrare, formula este corectă:

Unde V- volum;

S principal- suprafata de baza;

H este înălțimea piramidei.

Pentru o piramidă obișnuită, următoarele formule sunt adevărate:

Unde p- perimetrul bazei;

h a- apotema;

H- inaltimea;

S plin

partea S

S principal- suprafata de baza;

V este volumul unei piramide regulate.

trunchi de piramidă numită porțiunea piramidei cuprinsă între bază și planul de tăiere paralelă cu baza piramidei (Fig. 17). Piramida trunchiată corectă numită parte a unei piramide regulate, închisă între bază și un plan de tăiere paralel cu baza piramidei.

Fundații trunchi de piramidă - poligoane asemănătoare. Fețe laterale - trapez. Înălţime piramida trunchiată se numește distanța dintre bazele sale. Diagonală O piramidă trunchiată este un segment care leagă vârfurile sale care nu se află pe aceeași față. secțiune diagonală O secțiune a unei piramide trunchiate se numește plan care trece prin două margini laterale care nu aparțin aceleiași fețe.

Pentru o piramidă trunchiată, formulele sunt valabile:

(4)

Unde S 1 , S 2 - zone ale bazelor superioare și inferioare;

S plin este suprafața totală;

partea S este aria suprafeței laterale;

H- inaltimea;

V este volumul piramidei trunchiate.

Pentru o piramidă trunchiată obișnuită, următoarea formulă este adevărată:

Unde p 1 , p 2 - perimetre de bază;

h a- apotema unei piramide trunchiate regulate.

Exemplul 1Într-o piramidă triunghiulară obișnuită, unghiul diedric de la bază este de 60º. Aflați tangenta unghiului de înclinare a marginii laterale la planul bazei.

Soluţie. Să facem un desen (Fig. 18).

Piramida este regulată, ceea ce înseamnă că baza este un triunghi echilateral și toate fețele laterale sunt triunghiuri isoscele egale. Unghiul diedric de la bază este unghiul de înclinare a feței laterale a piramidei față de planul bazei. Unghiul liniar va fi unghiul Aîntre două perpendiculare: i.e. Vârful piramidei este proiectat în centrul triunghiului (centrul cercului circumscris și cercul înscris în triunghi ABC). Unghiul de înclinare al nervurii laterale (de exemplu SB) este unghiul dintre muchia însăși și proiecția acesteia pe planul de bază. Pentru coastă SB acest unghi va fi unghiul SBD. Pentru a găsi tangenta trebuie să cunoașteți picioarele ASA DEȘi OB. Fie lungimea segmentului BD este 3 A. punct DESPRE segment de linie BD este împărțit în părți: și Din găsim ASA DE: Din găsim:

Răspuns:

Exemplul 2 Găsiți volumul unei piramide patruunghiulare trunchiate obișnuite dacă diagonalele bazelor sale sunt cm și cm și înălțimea este de 4 cm.

Soluţie. Pentru a afla volumul unei piramide trunchiate, folosim formula (4). Pentru a găsi zonele bazelor, trebuie să găsiți laturile pătratelor de bază, cunoscând diagonalele acestora. Laturile bazelor sunt de 2 cm, respectiv 8 cm. Aceasta înseamnă ariile bazelor și Înlocuind toate datele în formulă, calculăm volumul piramidei trunchiate:

Răspuns: 112 cmc.

Exemplul 3 Găsiți aria feței laterale a unei piramide trunchiate triunghiulare regulate ale cărei laturi ale bazelor sunt de 10 cm și 4 cm, iar înălțimea piramidei este de 2 cm.

Soluţie. Să facem un desen (Fig. 19).

Fața laterală a acestei piramide este un trapez isoscel. Pentru a calcula aria unui trapez, trebuie să cunoașteți bazele și înălțimea. Bazele sunt date de condiție, doar înălțimea rămâne necunoscută. Găsește-l de unde A 1 E perpendicular de la un punct A 1 pe planul bazei inferioare, A 1 D- perpendicular de la A 1 pe AC. A 1 E\u003d 2 cm, deoarece aceasta este înălțimea piramidei. Pentru găsire DE vom realiza un desen suplimentar, în care vom reprezenta o vedere de sus (Fig. 20). Punct DESPRE- proiecția centrelor bazelor superioare și inferioare. întrucât (vezi Fig. 20) şi Pe de altă parte Bine este raza cercului înscris și OM este raza cercului înscris:

MK=DE.

Conform teoremei lui Pitagora din

Zona feței laterale:

Răspuns:

Exemplul 4 La baza piramidei se află un trapez isoscel, ale cărui baze AȘi b (A> b). Fiecare față laterală formează un unghi egal cu planul bazei piramidei j. Aflați suprafața totală a piramidei.

Soluţie. Să facem un desen (Fig. 21). Suprafața totală a piramidei SABCD este egală cu suma ariilor și aria trapezului ABCD.

Folosim afirmația că, dacă toate fețele piramidei sunt înclinate egal față de planul bazei, atunci vârful este proiectat în centrul cercului înscris în bază. Punct DESPRE- proiecția vârfurilor S la baza piramidei. Triunghi GAZON este proiecția ortogonală a triunghiului CSD la planul de bază. Conform teoremei privind aria proiecției ortogonale a unei figuri plate, obținem:

În mod similar, înseamnă Astfel, problema s-a redus la găsirea zonei trapezului ABCD. Desenați un trapez ABCD separat (Fig. 22). Punct DESPRE este centrul unui cerc înscris într-un trapez.

Deoarece un cerc poate fi înscris într-un trapez, atunci sau Prin teorema lui Pitagora avem

Acest tutorial video va ajuta utilizatorii să-și facă o idee despre tema Pyramid. Piramida corectă. În această lecție, ne vom familiariza cu conceptul de piramidă, ne vom da o definiție. Luați în considerare ce este o piramidă obișnuită și ce proprietăți are. Apoi demonstrăm teorema pe suprafața laterală a unei piramide regulate.

În această lecție, ne vom familiariza cu conceptul de piramidă, ne vom da o definiție.

Luați în considerare un poligon A 1 A 2...A n, care se află în planul α și un punct P, care nu se află în planul α (Fig. 1). Să conectăm punctul P cu vârfuri A 1, A 2, A 3, … A n. obține n triunghiuri: A 1 A 2 R, A 2 A 3 Rși așa mai departe.

Definiție. Poliedru RA 1 A 2 ... A n, alcătuit din n-gon A 1 A 2...A nȘi n triunghiuri RA 1 A 2, RA 2 A 3 …RA n A n-1, sunat n- piramida carbunelui. Orez. 1.

Orez. 1

Luați în considerare o piramidă patruunghiulară PABCD(Fig. 2).

R- vârful piramidei.

ABCD- baza piramidei.

RA- coasta laterala.

AB- marginea bazei.

De la un punct R scade perpendiculara RN pe planul solului ABCD. Perpendiculara desenată este înălțimea piramidei.

Orez. 2

Suprafața totală a piramidei constă din suprafața laterală, adică aria tuturor fețelor laterale și zona de bază:

S complet \u003d S lateral + S principal

O piramidă se numește corectă dacă:

• baza sa este un poligon regulat;
• segmentul care leagă vârful piramidei cu centrul bazei este înălțimea acesteia.

Explicație pe exemplul unei piramide patruunghiulare obișnuite

Luați în considerare o piramidă patruunghiulară obișnuită PABCD(Fig. 3).

R- vârful piramidei. baza piramidei ABCD- un patrulater regulat, adică un pătrat. Punct DESPRE, punctul de intersecție al diagonalelor, este centrul pătratului. Mijloace, RO este înălțimea piramidei.

Orez. 3

Explicaţie: in dreapta n-gon, centrul cercului înscris și centrul cercului circumscris coincid. Acest centru se numește centrul poligonului. Uneori se spune că vârful este proiectat în centru.

Înălțimea feței laterale a unei piramide obișnuite, trasă din vârful ei, se numește apotemăși notat h a.

1. toate marginile laterale ale unei piramide regulate sunt egale;

2. fețele laterale sunt triunghiuri isoscele egale.

Să demonstrăm aceste proprietăți folosind exemplul unei piramide patruunghiulare obișnuite.

Dat: RABSD- piramida patruunghiulara regulata,

ABCD- pătrat,

RO este înălțimea piramidei.

Dovedi:

1. RA = PB = PC = PD

2.∆ATP = ∆BCP = ∆CDP = ∆DAP Vezi Fig. 4.

Orez. 4

Dovada.

RO este înălțimea piramidei. Adică drept RO perpendicular pe plan ABC, și, prin urmare, direct AO, VO, SOȘi DO culcat în ea. Deci triunghiurile ROA, ROV, ROS, ROD- dreptunghiular.

Luați în considerare un pătrat ABCD. Din proprietăţile unui pătrat rezultă că AO = BO = CO = DO.

Apoi triunghiurile dreptunghiulare ROA, ROV, ROS, ROD picior RO- general si picioare AO, VO, SOȘi DO egale, deci aceste triunghiuri sunt egale în două catete. Din egalitatea triunghiurilor rezultă egalitatea segmentelor, RA = PB = PC = PD. Punctul 1 este dovedit.

Segmente ABȘi soare sunt egale pentru că sunt laturile aceluiași pătrat, RA = RV = PC. Deci triunghiurile AVRȘi VCR - isoscel și egal pe trei laturi.

În mod similar, obținem că triunghiurile ABP, BCP, CDP, DAP sunt isoscele și egale, ceea ce trebuia să se dovedească în paragraful 2.

Aria suprafeței laterale a unei piramide regulate este egală cu jumătate din produsul dintre perimetrul bazei și apotema:

Pentru demonstrație, alegem o piramidă triunghiulară obișnuită.

Dat: RAVS este o piramidă triunghiulară regulată.

AB = BC = AC.

RO- înălțime.

Dovedi: . Vezi fig. 5.

Orez. 5

Dovada.

RAVS este o piramidă triunghiulară regulată. Acesta este AB= AC = BC. Lăsa DESPRE- centrul triunghiului ABC, Apoi RO este înălțimea piramidei. Baza piramidei este un triunghi echilateral. ABC. observa asta .

triunghiuri RAV, RVS, RSA- triunghiuri isoscele egale (după proprietate). O piramidă triunghiulară are trei fețe laterale: RAV, RVS, RSA. Deci, aria suprafeței laterale a piramidei este:

Partea S = 3S RAB

Teorema a fost demonstrată.

Raza unui cerc înscris la baza unei piramide patrulatere obișnuite este de 3 m, înălțimea piramidei este de 4 m. Aflați aria suprafeței laterale a piramidei.

Dat: piramidă patruunghiulară regulată ABCD,

ABCD- pătrat,

r= 3 m,

RO- înălțimea piramidei,

RO= 4 m.

Găsi: partea S. Vezi fig. 6.

Orez. 6

Soluţie.

Conform teoremei dovedite, .

Găsiți mai întâi partea bazei AB. Știm că raza unui cerc înscris la baza unei piramide patruunghiulare regulate este de 3 m.

Apoi, m.

Aflați perimetrul pătratului ABCD cu latura de 6 m:

Luați în considerare un triunghi BCD. Lăsa M- partea de mijloc DC. Deoarece DESPRE- mijloc BD, Acea (m).

Triunghi DPC- isoscel. M- mijloc DC. Acesta este, RM- mediana, deci și înălțimea în triunghi DPC. Apoi RM- apotema piramidei.

RO este înălțimea piramidei. Apoi, drept RO perpendicular pe plan ABC, și de aici direct OM culcat în ea. Să găsim o apotema RM dintr-un triunghi dreptunghic ROM.

Acum putem găsi suprafața laterală a piramidei:

Răspuns: 60 m2.

Raza unui cerc circumscris lângă baza unei piramide triunghiulare regulate este m. Aria suprafeței laterale este de 18 m 2. Aflați lungimea apotemului.

Dat: ABCP- piramida triunghiulara regulata,

AB = BC = SA,

R= m,

Latura S = 18 m 2.

Găsi: . Vezi fig. 7.

Orez. 7

Soluţie.

Într-un triunghi dreptunghic ABC dată fiind raza cercului circumscris. Să găsim o parte AB acest triunghi folosind teorema sinusului.

Cunoscând latura unui triunghi regulat (m), găsim perimetrul acestuia.

Conform teoremei privind suprafața laterală a unei piramide regulate, unde h a- apotema piramidei. Apoi:

Răspuns: 4 m.

Deci, am examinat ce este o piramidă, ce este o piramidă obișnuită, am demonstrat teorema pe suprafața laterală a unei piramide obișnuite. În lecția următoare, ne vom familiariza cu piramida trunchiată.

Bibliografie

1. Geometrie. Clasele 10-11: un manual pentru studenții instituțiilor de învățământ (nivel de bază și de profil) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - Ed. a 5-a, Rev. si suplimentare - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: ill.
2. Geometrie. Clasele 10-11: Un manual pentru instituţiile de învăţământ general / Sharygin I. F. - M .: Bustard, 1999. - 208 p.: ill.
3. Geometrie. Clasa a 10-a: Manual pentru instituții de învățământ general cu studiu aprofundat și de profil al matematicii / E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - Ed. a VI-a, stereotip. - M.: Butard, 008. - 233 p.: ill.

1. Portalul de internet „Yaklass” ()
2. Portalul de internet „Festivalul de Idei Pedagogice „Primul Septembrie” ()
3. Portalul de internet „Slideshare.net” ()

Teme pentru acasă

1. Poate un poligon regulat să fie baza unei piramide neregulate?
2. Demonstrați că muchiile care nu se intersectează ale unei piramide regulate sunt perpendiculare.
3. Aflați valoarea unghiului diedrului de pe latura bazei unei piramide patruunghiulare regulate, dacă apotema piramidei este egală cu latura bazei acesteia.
4. RAVS este o piramidă triunghiulară regulată. Construiți unghiul liniar al unghiului diedric de la baza piramidei.

Introducere

Când am început să studiem figurile stereometrice, am atins subiectul „Piramida”. Ne-a plăcut această temă pentru că piramida este foarte des folosită în arhitectură. Și din moment ce viitoarea noastră profesie de arhitect, inspirată de această figură, credem că ea va putea să ne împingă spre proiecte mărețe.

Forța structurilor arhitecturale, calitatea lor cea mai importantă. Asociând rezistența, în primul rând, cu materialele din care sunt create și, în al doilea rând, cu caracteristicile soluțiilor de proiectare, se dovedește că rezistența unei structuri este direct legată de forma geometrică care este de bază pentru aceasta.

Cu alte cuvinte, vorbim despre acea figură geometrică, care poate fi considerată ca un model al formei arhitecturale corespunzătoare. Se pare că forma geometrică determină și rezistența structurii arhitecturale.

Piramidele egiptene au fost mult timp considerate cea mai durabilă structură arhitecturală. După cum știți, au forma unor piramide patruunghiulare obișnuite.

Această formă geometrică este cea care oferă cea mai mare stabilitate datorită suprafeței mari de bază. Pe de altă parte, forma piramidei asigură că masa scade pe măsură ce înălțimea deasupra solului crește. Aceste două proprietăți sunt cele care fac piramida stabilă și, prin urmare, puternică în condițiile gravitației.

Obiectivul proiectului: învață ceva nou despre piramide, aprofundează cunoștințele și găsește aplicații practice.

Pentru a atinge acest obiectiv, a fost necesar să se rezolve următoarele sarcini:

Aflați informații istorice despre piramidă

Considerați piramida ca o figură geometrică

Găsiți aplicații în viață și arhitectură

Găsiți asemănări și diferențe între piramidele situate în diferite părți ale lumii

Partea teoretică

Informații istorice

Începutul geometriei piramidei a fost pus în Egiptul antic și Babilonul, dar a fost dezvoltat activ în Grecia antică. Primul care a stabilit cu ce este egal volumul piramidei a fost Democrit, iar Eudox din Cnidus a dovedit-o. Vechiul matematician grec Euclid a sistematizat cunoștințele despre piramidă în volumul XII al „Începuturilor” sale și a scos la iveală prima definiție a piramidei: o figură corporală delimitată de planuri care converg dintr-un singur plan într-un punct.

Mormintele faraonilor egipteni. Cea mai mare dintre ele - piramidele lui Keops, Khafre și Mikerin din El Giza în antichitate au fost considerate una dintre cele șapte minuni ale lumii. Ridicarea piramidei, în care grecii și romanii au văzut deja un monument al mândriei fără precedent a regilor și cruzimii, care a condamnat întregul popor din Egipt la o construcție fără sens, a fost cel mai important act de cult și trebuia să exprime, aparent, identitatea mistică a țării și a conducătorului ei. Populația țării a lucrat la construcția mormântului în perioada anului lipsită de muncă agricolă. O serie de texte mărturisesc atenția și grija pe care regii înșiși (deși dintr-o perioadă mai târziu) le-au acordat construcției mormântului lor și a constructorilor acestuia. Se știe și despre onorurile speciale de cult care s-au dovedit a fi piramida însăși.

Noțiuni de bază

Piramidă Se numește poliedru, a cărui bază este un poligon, iar fețele rămase sunt triunghiuri având un vârf comun.

Apotema- înălțimea feței laterale a unei piramide obișnuite, trasă din vârful acesteia;

Fețe laterale- triunghiuri convergente în vârf;

Coaste laterale- laturile comune ale fetelor laterale;

vârful piramidei- un punct care unește marginile laterale și nu se află în planul bazei;

Înălţime- un segment de perpendiculară trasat prin vârful piramidei până la planul bazei acesteia (capetele acestui segment sunt vârful piramidei și baza perpendicularei);

Secțiunea diagonală a unei piramide- sectiune a piramidei care trece prin varf si diagonala bazei;

Baza- un poligon care nu aparține vârfului piramidei.

Principalele proprietăți ale piramidei corecte

Marginile laterale, fețele laterale și respectiv apotemele sunt egale.

Unghiurile diedrice de la bază sunt egale.

Unghiurile diedrice de la marginile laterale sunt egale.

Fiecare punct de înălțime este echidistant de toate vârfurile de bază.

Fiecare punct de înălțime este echidistant de toate fețele laterale.

Formule piramidale de bază

Aria suprafeței laterale și complete a piramidei.

Aria suprafeței laterale a piramidei (plină și trunchiată) este suma ariilor tuturor fețelor sale laterale, suprafața totală este suma ariilor tuturor fețelor sale.

Teorema: Aria suprafeței laterale a unei piramide regulate este egală cu jumătate din produsul perimetrului bazei și apotema piramidei.

p- perimetrul bazei;

h- apotema.

Aria suprafețelor laterale și complete ale unei piramide trunchiate.

p1, p 2 - perimetrele de bază;

h- apotema.

R- suprafața totală a unei piramide trunchiate obișnuite;

partea S- zona suprafeței laterale a unei piramide trunchiate regulate;

S1 + S2- suprafata de baza

Volumul piramidei

Formă Scara de volum este folosită pentru piramide de orice fel.

H este înălțimea piramidei.

Unghiurile piramidei

Unghiurile care sunt formate de fața laterală și baza piramidei se numesc unghiuri diedrice la baza piramidei.

Un unghi diedru este format din două perpendiculare.

Pentru a determina acest unghi, de multe ori trebuie să utilizați teorema celor trei perpendiculare.

Se numesc unghiurile care sunt formate de o muchie laterală și proiecția acesteia pe planul bazei unghiuri dintre marginea laterală și planul bazei.

Unghiul format din două fețe laterale se numește unghi diedru la marginea laterală a piramidei.

Unghiul, care este format din două margini laterale ale unei fețe ale piramidei, se numește colțul din vârful piramidei.

Secțiuni ale piramidei

Suprafața unei piramide este suprafața unui poliedru. Fiecare dintre fețele sale este un plan, deci secțiunea piramidei dată de planul secant este o linie întreruptă constând din drepte separate.

Secțiune diagonală

Secțiunea unei piramide printr-un plan care trece prin două margini laterale care nu se află pe aceeași față se numește secțiune diagonală piramide.

Secțiuni paralele

Teorema:

Dacă piramida este străbătută de un plan paralel cu baza, atunci marginile laterale și înălțimile piramidei sunt împărțite de acest plan în părți proporționale;

Secțiunea acestui plan este un poligon asemănător bazei;

Zonele secțiunii și ale bazei sunt legate între ele ca pătratele distanțelor lor față de vârf.

Tipuri de piramide

Piramida corectă- o piramidă, a cărei bază este un poligon regulat, iar vârful piramidei este proiectat în centrul bazei.

La piramida corectă:

1. coastele laterale sunt egale

2. feţele laterale sunt egale

3. apotemele sunt egale

4. unghiurile diedrice la bază sunt egale

5. unghiurile diedrice la marginile laterale sunt egale

6. fiecare punct de înălțime este echidistant de toate vârfurile bazei

7. fiecare punct de înălțime este echidistant de toate fețele laterale

Piramida trunchiată- partea de piramidă cuprinsă între baza acesteia și un plan de tăiere paralel cu bază.

Baza și secțiunea corespunzătoare a unei piramide trunchiate se numesc bazele unei piramide trunchiate.

Se numește perpendiculară trasată din orice punct al unei baze pe planul alteia înălțimea trunchiului piramidei.

Sarcini

Numarul 1. Într-o piramidă patruunghiulară regulată, punctul O este centrul bazei, SO=8 cm, BD=30 cm.Aflați muchia laterală SA.

Rezolvarea problemelor

Numarul 1. Într-o piramidă obișnuită, toate fețele și marginile sunt egale.

Să luăm în considerare OSB: OSB-dreptunghi dreptunghiular, deoarece.

SB 2 \u003d SO 2 + OB 2

SB2=64+225=289

Piramida în arhitectură

Piramidă - o structură monumentală sub forma unei piramide geometrice regulate obișnuite, în care laturile converg într-un punct. După scopul funcțional, piramidele în antichitate erau un loc de înmormântare sau de cult. Baza unei piramide poate fi triunghiulară, pătrangulară sau poligonală cu un număr arbitrar de vârfuri, dar cea mai comună versiune este baza pătraunghiulară.

Se cunosc un număr considerabil de piramide, construite de diferite culturi ale lumii antice, în principal ca temple sau monumente. Cele mai mari piramide sunt piramidele egiptene.

Pe tot pământul puteți vedea structuri arhitecturale sub formă de piramide. Clădirile piramidale amintesc de cele mai vechi timpuri și arată foarte frumos.

Piramidele egiptene sunt cele mai mari monumente de arhitectură ale Egiptului Antic, printre care una dintre „Șapte minuni ale lumii” este piramida lui Keops. De la picior până în vârf, ajunge la 137,3 m, iar înainte de a pierde vârful, înălțimea ei era de 146,7 m.

Clădirea postului de radio din capitala Slovaciei, asemănătoare cu o piramidă inversată, a fost construită în 1983. Pe lângă birouri și spații de servicii, în interiorul volumului există o sală de concerte destul de spațioasă, care are una dintre cele mai mari orgi din Slovacia .

Luvru, care „este la fel de tăcut și maiestuos ca o piramidă” a suferit multe schimbări de-a lungul secolelor înainte de a deveni cel mai mare muzeu din lume. S-a născut ca fortăreață, ridicată de Filip Augustus în 1190, care s-a transformat în scurt timp într-o reședință regală. În 1793 palatul a devenit muzeu. Colecțiile sunt îmbogățite prin legaturi sau achiziții.

• apotema- înălțimea feței laterale a unei piramide regulate, care este desenată din vârful acesteia (în plus, apotema este lungimea perpendicularei, care este coborâtă de la mijlocul unui poligon regulat la 1 din laturile sale);
• fetele laterale (ASB, BSC, CSD, DSA) - triunghiuri care converg în vârf;
• coaste laterale ( LA FEL DE , BS , CS , D.S. ) - laturile comune ale fetelor laterale;
• vârful piramidei (v. S) - un punct care leagă marginile laterale și care nu se află în planul bazei;
• înălţime ( ASA DE ) - un segment al perpendicularei, care este tras prin vârful piramidei până în planul bazei acesteia (capetele unui astfel de segment vor fi vârful piramidei și baza perpendicularei);
• secțiunea diagonală a unei piramide- sectiune a piramidei, care trece prin varful si diagonala bazei;
• baza (ABCD) este un poligon căruia nu îi aparține vârful piramidei.

proprietățile piramidei.

1. Când toate marginile laterale au aceeași dimensiune, atunci:

• lângă baza piramidei este ușor să descrii un cerc, în timp ce vârful piramidei va fi proiectat în centrul acestui cerc;
• nervurile laterale formează unghiuri egale cu planul de bază;
• în plus, este adevărat și invers, adică. când marginile laterale formează unghiuri egale cu planul de bază, sau când un cerc poate fi descris lângă baza piramidei și vârful piramidei va fi proiectat în centrul acestui cerc, atunci toate marginile laterale ale piramidei au aceeasi dimensiune.

2. Când fețele laterale au un unghi de înclinare față de planul bazei de aceeași valoare, atunci:

• lângă baza piramidei, este ușor să descrii un cerc, în timp ce vârful piramidei va fi proiectat în centrul acestui cerc;
• înălțimile fețelor laterale sunt de lungime egală;
• aria suprafeței laterale este ½ produsul dintre perimetrul bazei și înălțimea feței laterale.

3. O sferă poate fi descrisă în apropierea piramidei dacă baza piramidei este un poligon în jurul căruia poate fi descris un cerc (o condiție necesară și suficientă). Centrul sferei va fi punctul de intersecție al planurilor care trec prin punctele medii ale marginilor piramidei perpendicular pe acestea. Din această teoremă concluzionăm că o sferă poate fi descrisă atât în ​​jurul oricărei piramide triunghiulare, cât și în jurul oricărei piramide regulate.

4. O sferă poate fi înscrisă într-o piramidă dacă planele bisectoare ale unghiurilor diedrice interne ale piramidei se intersectează în punctul 1 (condiție necesară și suficientă). Acest punct va deveni centrul sferei.

Cea mai simplă piramidă.

În funcție de numărul de colțuri ale bazei piramidei, acestea sunt împărțite în triunghiulare, patruunghiulare și așa mai departe.

Piramida va triunghiular, patruunghiular, și așa mai departe, când baza piramidei este un triunghi, un patrulater și așa mai departe. O piramidă triunghiulară este un tetraedru - un tetraedru. Patraunghiular - pentaedru și așa mai departe.

Primul nivel

Piramidă. Ghid vizual (2019)

Ce este o piramidă?

Cum arată ea?

Vedeți: la piramida de mai jos (se spune „ la baza"") un poligon, iar toate vârfurile acestui poligon sunt conectate la un punct din spațiu (acest punct se numește " vârf»).

Toată această structură are fetele laterale, coaste lateraleȘi coaste de bază. Încă o dată, să desenăm o piramidă împreună cu toate aceste nume:

Unele piramide pot părea foarte ciudat, dar sunt încă piramide.

Aici, de exemplu, destul de „oblic” piramidă.

Și mai multe despre nume: dacă există un triunghi la baza piramidei, atunci piramida se numește triunghiulară;

În același timp, punctul în care a căzut înălţime, se numește baza de inaltime. Rețineți că în piramidele „strâmbe”. înălţime poate ajunge chiar în afara piramidei. Ca aceasta:

Și nu este nimic groaznic în asta. Arată ca un triunghi obtuz.

Piramida corectă.

Multe cuvinte dificile? Să descifrăm: "La bază - corect" - acest lucru este de înțeles. Și acum amintiți-vă că un poligon obișnuit are un centru - un punct care este centrul lui și , și .

Ei bine, iar cuvintele „vârful este proiectat în centrul bazei” înseamnă că baza înălțimii cade exact în centrul bazei. Uite ce netedă și drăguță arată piramida dreapta.

Hexagonal: la bază - un hexagon regulat, vârful este proiectat în centrul bazei.

patruunghiular: la bază - un pătrat, vârful este proiectat la punctul de intersecție al diagonalelor acestui pătrat.

triunghiular: la bază se află un triunghi regulat, vârful este proiectat la punctul de intersecție al înălțimilor (sunt și mediane și bisectoare) acestui triunghi.

Foarte proprietăți importante ale unei piramide obișnuite:

În piramida dreaptă

• toate marginile laterale sunt egale.
• toate fețele laterale sunt triunghiuri isoscele și toate aceste triunghiuri sunt egale.

Volumul piramidei

Formula principală pentru volumul piramidei:

De unde a venit exact? Acest lucru nu este atât de simplu și la început trebuie doar să vă amintiți că piramida și conul au volum în formulă, dar cilindrul nu.

Acum să calculăm volumul celor mai populare piramide.

Lasă latura bazei să fie egală, iar marginea laterală egală. Trebuie să găsesc și.

Aceasta este aria unui triunghi dreptunghic.

Să ne amintim cum să căutăm această zonă. Folosim formula zonei:

Avem "" - asta și "" - și asta, eh.

Acum să găsim.

Conform teoremei lui Pitagora pt

Ce conteaza? Aceasta este raza cercului circumscris în, deoarece piramidăcorectși de aici centrul.

Deoarece - punctul de intersecție și mediana de asemenea.

(teorema lui Pitagora pentru)

Înlocuiți în formula pentru.

Să conectăm totul la formula de volum:

Atenţie: dacă aveți un tetraedru obișnuit (adică), atunci formula este:

Lasă latura bazei să fie egală, iar marginea laterală egală.

Nu este nevoie să căutați aici; pentru că la bază este un pătrat și, prin urmare.

Sa gasim. Conform teoremei lui Pitagora pt

știm noi? Aproape. Uite:

(am văzut acest lucru prin revizuire).

Înlocuiți în formula:

Și acum înlocuim și în formula de volum.

Lasă latura bazei să fie egală, iar marginea laterală.

Cum să găsești? Uite, un hexagon este format din exact șase triunghiuri regulate identice. Am căutat deja aria unui triunghi regulat atunci când calculăm volumul unei piramide triunghiulare regulate, aici folosim formula găsită.

Acum să găsim (acesta).

Conform teoremei lui Pitagora pt

Dar ce contează? Este simplu pentru că (și toți ceilalți) au dreptate.

Inlocuim:

\displaystyle V=\frac(\sqrt(3))(2)((a)^(2))\sqrt(((b)^(2))-((a)^(2)))

PIRAMIDĂ. SCURT DESPRE PRINCIPALA

O piramidă este un poliedru care constă din orice poligon plat (), un punct care nu se află în planul bazei (partea de sus a piramidei) și toate segmentele care leagă vârful piramidei de punctele de bază (marginile laterale).

O perpendiculară coborâtă din vârful piramidei spre planul bazei.

Piramida corectă- o piramidă, care are un poligon regulat la bază, iar vârful piramidei este proiectat în centrul bazei.

Proprietatea unei piramide regulate:

• Într-o piramidă obișnuită, toate marginile laterale sunt egale.
• Toate fețele laterale sunt triunghiuri isoscele și toate aceste triunghiuri sunt egale.