Ajutor la Tele2, tarife, intrebari

Acest articol abordează problema rezolvării ecuațiilor diferențiale liniare neomogene de ordinul doi cu coeficienți constanți. Teoria va fi discutată împreună cu exemple de probleme date. Pentru a descifra termeni neclari, este necesar să ne referim la subiectul despre definițiile și conceptele de bază ale teoriei ecuațiilor diferențiale.

Să considerăm o ecuație diferențială liniară (LDE) de ordinul doi cu coeficienți constanți de forma y "" + p · y " + q · y = f (x), unde p și q sunt numere arbitrare și funcția existentă f (x) este continuă pe intervalul de integrare x.

Să trecem la formularea teoremei pentru soluția generală a LNDE.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Teorema soluției generale pentru LDNU

O soluție generală, situată pe intervalul x, a unei ecuații diferențiale neomogene de forma y (n) + f n - 1 (x) · y (n - 1) + . . . + f 0 (x) · y = f (x) cu coeficienți de integrare continuă pe intervalul x f 0 (x) , f 1 (x) , . . . , f n - 1 (x) și o funcție continuă f (x) este egală cu suma soluției generale y 0, care corespunde LOD și unei soluții particulare y ~, unde ecuația neomogenă inițială este y = y 0 + y ~.

Aceasta arată că soluția unei astfel de ecuații de ordinul doi are forma y = y 0 + y ~ . Algoritmul pentru găsirea y 0 este discutat în articolul despre ecuații diferențiale liniare omogene de ordinul doi cu coeficienți constanți. După care ar trebui să trecem la definiția lui y ~.

Alegerea unei anumite soluții pentru LPDE depinde de tipul funcției disponibile f (x) situată în partea dreaptă a ecuației. Pentru a face acest lucru, este necesar să luăm în considerare separat soluțiile ecuațiilor diferențiale liniare neomogene de ordinul doi cu coeficienți constanți.

Când f (x) este considerat a fi un polinom de gradul al n-lea f (x) = P n (x), rezultă că o anumită soluție a LPDE este găsită folosind o formulă de forma y ~ = Q n (x ) x γ, unde Q n ( x) este un polinom de grad n, r este numărul de rădăcini zero ale ecuației caracteristice. Valoarea y ~ este o soluție particulară y ~ "" + p y ~ " + q y ~ = f (x) , apoi coeficienții disponibili care sunt definiți de polinom
Q n (x), găsim folosind metoda coeficienților nedeterminați din egalitatea y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x).

Exemplul 1

Calculați folosind teorema lui Cauchy y "" - 2 y " = x 2 + 1 , y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 .

Soluţie

Cu alte cuvinte, este necesar să trecem la o anumită soluție a unei ecuații diferențiale neomogene liniare de ordinul doi cu coeficienți constanți y "" - 2 y " = x 2 + 1, care va îndeplini condițiile date y (0) = 2, y " (0) = 1 4 .

Soluția generală a unei ecuații liniare neomogene este suma soluției generale, care corespunde ecuației y 0 sau unei soluții particulare a ecuației neomogene y ~, adică y = y 0 + y ~.

În primul rând, vom găsi o soluție generală pentru LNDU și apoi una particulară.

Să trecem la găsirea y 0. Scrierea ecuației caracteristice vă va ajuta să găsiți rădăcinile. Înțelegem asta

k 2 - 2 k = 0 k (k - 2) = 0 k 1 = 0 , k 2 = 2

Am descoperit că rădăcinile sunt diferite și reale. Prin urmare, să scriem

y 0 = C 1 e 0 x + C 2 e 2 x = C 1 + C 2 e 2 x.

Să găsim y ~ . Se poate observa că partea dreaptă a ecuației date este un polinom de gradul doi, atunci una dintre rădăcini este egală cu zero. Din aceasta obținem că o soluție particulară pentru y ~ va fi

y ~ = Q 2 (x) x γ = (A x 2 + B x + C) x = A x 3 + B x 2 + C x, unde valorile lui A, B, C iau coeficienți nedeterminați.

Să le găsim dintr-o egalitate de forma y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 .

Atunci obținem că:

y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 (A x 3 + B x 2 + C x) "" - 2 (A x 3 + B x 2 + C x) " = x 2 + 1 3 A x 2 + 2 B x + C " - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 6 A x + 2 B - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 - 6 A x 2 + x (6 A - 4 B) + 2 B - 2 C = x 2 + 1

Echivalând coeficienții cu aceiași exponenți ai lui x, obținem un sistem de expresii liniare - 6 A = 1 6 A - 4 B = 0 2 B - 2 C = 1. Când rezolvăm prin oricare dintre metode, vom găsi coeficienții și vom scrie: A = - 1 6, B = - 1 4, C = - 3 4 și y ~ = A x 3 + B x 2 + C x = - 1 6 x 3 - 1 4 x 2 - 3 4 x .

Această intrare se numește soluția generală a ecuației diferențiale neomogene liniare inițiale de ordinul doi cu coeficienți constanți.

Pentru a găsi o anumită soluție care îndeplinește condițiile y (0) = 2, y "(0) = 1 4, este necesar să se determine valorile C 1Și C 2, pe baza unei egalități de forma y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x.

Primim ca:

y (0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x x = 0 = C 1 + C 2 y " (0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x " x = 0 = = 2 C 2 e 2 x - 1 2 x 2 + 1 2 x + 3 4 x = 0 = 2 C 2 - 3 4

Lucrăm cu sistemul de ecuații rezultat de forma C 1 + C 2 = 2 2 C 2 - 3 4 = 1 4, unde C 1 = 3 2, C 2 = 1 2.

Aplicând teorema lui Cauchy, avem asta

y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x = = 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x

Răspuns: 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x .

Când funcția f (x) este reprezentată ca produsul unui polinom cu gradul n și un exponent f (x) = P n (x) · e a x , atunci obținem că o anumită soluție a LPDE de ordinul doi va fi o ecuația de forma y ~ = e a x · Q n ( x) · x γ, unde Q n (x) este un polinom de gradul n, iar r este numărul de rădăcini ale ecuației caracteristice egal cu α.

Coeficienții aparținând lui Q n (x) se găsesc prin egalitatea y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .

Exemplul 2

Aflați soluția generală a unei ecuații diferențiale de forma y "" - 2 y " = (x 2 + 1) · e x .

Soluţie

Ecuația generală este y = y 0 + y ~ . Ecuația indicată corespunde LOD y "" - 2 y " = 0. Din exemplul anterior se poate observa că rădăcinile sale sunt egale k 1 = 0şi k 2 = 2 şi y 0 = C 1 + C 2 e 2 x prin ecuaţia caracteristică.

Se poate observa că partea dreaptă a ecuației este x 2 + 1 · e x . De aici LPDE se găsește prin y ~ = e a x · Q n (x) · x γ, unde Q n (x) este un polinom de gradul doi, unde α = 1 și r = 0, deoarece ecuația caracteristică nu au rădăcina egală cu 1. De aici obținem asta

y ~ = e a x · Q n (x) · x γ = e x · A x 2 + B x + C · x 0 = e x · A x 2 + B x + C .

A, B, C sunt coeficienți necunoscuți care pot fi găsiți prin egalitatea y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) · e x.

Am inteles

y ~ " = e x · A x 2 + B x + C " = e x · A x 2 + B x + C + e x · 2 A x + B = = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C y ~ " " = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C " = = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C + e x · 2 A x + 2 A + B = = e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C

y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) e x ⇔ e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C - - 2 e x A x 2 + x 2 A + B + B + C = x 2 + 1 · e x ⇔ e x · - A x 2 - B x + 2 A - C = (x 2 + 1) · e x ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = x 2 + 1 ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = 1 x 2 + 0 x + 1

Echivalăm indicatorii cu aceiași coeficienți și obținem un sistem de ecuații liniare. De aici găsim A, B, C:

A = 1 - B = 0 2 A - C = 1 ⇔ A = - 1 B = 0 C = - 3

Răspuns: este clar că y ~ = e x · (A x 2 + B x + C) = e x · - x 2 + 0 · x - 3 = - e x · x 2 + 3 este o soluție particulară a LNDDE și y = y 0 + y = C 1 e 2 x - e x · x 2 + 3 - o soluție generală pentru o ecuație diferită neomogenă de ordinul doi.

Când funcția este scrisă ca f (x) = A 1 cos (β x) + B 1 sin β x și A 1Și ÎN 1 sunt numere, atunci o soluție parțială a LPDE este considerată a fi o ecuație de forma y ~ = A cos β x + B sin β x · x γ, unde A și B sunt considerați coeficienți nedeterminați, iar r este numărul de rădăcini conjugate complexe legate de ecuația caracteristică, egale cu ± i β . În acest caz, căutarea coeficienților se realizează folosind egalitatea y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x).

Exemplul 3

Aflați soluția generală a unei ecuații diferențiale de forma y "" + 4 y = cos (2 x) + 3 sin (2 x) .

Soluţie

Înainte de a scrie ecuația caracteristică, găsim y 0. Apoi

k 2 + 4 = 0 k 2 = - 4 k 1 = 2 i , k 2 = - 2 i

Avem o pereche de rădăcini conjugate complexe. Să transformăm și să obținem:

y 0 = e 0 (C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x)) = C 1 cos 2 x + C 2 sin (2 x)

Rădăcinile ecuației caracteristice sunt considerate a fi perechea conjugată ± 2 i, atunci f (x) = cos (2 x) + 3 sin (2 x). Aceasta arată că căutarea pentru y ~ se va face din y ~ = (A cos (β x) + B sin (β x) x γ = (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x. Necunoscute Vom căuta coeficienții A și B dintr-o egalitate de forma y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) .

Să transformăm:

y ~ " = ((A cos (2 x) + B sin (2 x) x) " = = (- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x) y ~ "" = ((- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x)) " = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) - - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x)

Atunci este clar că

y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x) + + 4 (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x) = cos (2 x) + 3 sin (2 x)

Este necesar să se echivaleze coeficienții sinusurilor și cosinusurilor. Obtinem un sistem de forma:

4 A = 3 4 B = 1 ⇔ A = - 3 4 B = 1 4

Rezultă că y ~ = (A cos (2 x) + B sin (2 x) x = - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x.

Răspuns: se consideră soluția generală a LDDE inițială de ordinul doi cu coeficienți constanți

y = y 0 + y ~ = = C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x) + - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x

Când f (x) = e a x · P n (x) sin (β x) + Q k (x) cos (β x), atunci y ~ = e a x · (L m (x) sin (β x) + N m (x) cos (β x) x γ. Avem că r este numărul de perechi complexe de rădăcini conjugate legate de ecuația caracteristică, egal cu α ± i β, unde P n (x), Q k (x), L m (x) și Nm(x) sunt polinoame de gradul n, k, m, m, unde m = m a x (n, k). Găsirea coeficienților Lm(x)Și Nm(x) se face pe baza egalităţii y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .

Exemplul 4

Aflați soluția generală y "" + 3 y " + 2 y = - e 3 x · ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) .

Soluţie

După condiție este clar că

α = 3, β = 5, P n (x) = - 38 x - 45, Q k (x) = - 8 x + 5, n = 1, k = 1

Atunci m = m a x (n, k) = 1. Găsim y 0 scriind mai întâi o ecuație caracteristică de forma:

k 2 - 3 k + 2 = 0 D = 3 2 - 4 1 2 = 1 k 1 = 3 - 1 2 = 1 , k 2 = 3 + 1 2 = 2

Am descoperit că rădăcinile sunt reale și distincte. Prin urmare y 0 = C 1 e x + C 2 e 2 x. În continuare, este necesar să se caute o soluție generală bazată pe ecuația neomogenă y ~ a formei

y ~ = e α x (L m (x) sin (β x) + N m (x) cos (β x) x γ = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) x 0 = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))

Se știe că A, B, C sunt coeficienți, r = 0, deoarece nu există o pereche de rădăcini conjugate legate de ecuația caracteristică cu α ± i β = 3 ± 5 · i. Găsim acești coeficienți din egalitatea rezultată:

y ~ "" - 3 y ~ " + 2 y ~ = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) ⇔ (e 3 x (( A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))) "" - - 3 (e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))) = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x))

Găsirea termenilor derivati ​​și similari dă

E 3 x ((15 A + 23 C) x sin (5 x) + + (10 A + 15 B - 3 C + 23 D) sin (5 x) + + (23 A - 15 C) · x · cos (5 x) + (- 3 A + 23 B - 10 C - 15 D) · cos (5 x)) = = - e 3 x · (38 · x · sin (5 x) + 45 · sin (5 x) ) + + 8 x cos (5 x) - 5 cos (5 x))

După echivalarea coeficienților, obținem un sistem de forma

15 A + 23 C = 38 10 A + 15 B - 3 C + 23 D = 45 23 A - 15 C = 8 - 3 A + 23 B - 10 C - 15 D = - 5 ⇔ A = 1 B = 1 C = 1 D = 1

Din toate rezultă că

y ~ = e 3 x · ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) = = e 3 x · ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) sin (5 x))

Răspuns: Acum am obținut o soluție generală pentru ecuația liniară dată:

y = y 0 + y ~ = = C 1 e x + C 2 e 2 x + e 3 x ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) sin (5 x))

Algoritm pentru rezolvarea LDNU

Orice alt tip de funcție f (x) pentru soluție necesită conformitatea cu algoritmul de soluție:

• găsirea unei soluții generale la ecuația liniară omogenă corespunzătoare, unde y 0 = C 1 ⋅ y 1 + C 2 ⋅ y 2, unde y 1Și y 2 sunt soluții parțiale liniar independente ale LODE, C 1Și C 2 sunt considerate constante arbitrare;
• adoptarea ca soluție generală a LNDE y = C 1 (x) ⋅ y 1 + C 2 (x) ⋅ y 2 ;
• determinarea derivatelor unei funcții printr-un sistem de forma C 1 " (x) + y 1 (x) + C 2 " (x) · y 2 (x) = 0 C 1 " (x) + y 1 " ( x) + C 2 " (x) · y 2 " (x) = f (x) și găsirea funcțiilor C 1 (x)şi C2 (x) prin integrare.

Exemplul 5

Aflați soluția generală pentru y "" + 36 y = 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x.

Soluţie

Se trece la scrierea ecuației caracteristice, având scris anterior y 0, y "" + 36 y = 0. Să scriem și să rezolvăm:

k 2 + 36 = 0 k 1 = 6 i , k 2 = - 6 i ⇒ y 0 = C 1 cos (6 x) + C 2 sin (6 x) ⇒ y 1 (x) = cos (6 x) , y 2 (x) = sin (6 x)

Avem că soluția generală a ecuației date se va scrie ca y = C 1 (x) · cos (6 x) + C 2 (x) · sin (6 x) . Este necesar să trecem la definirea funcțiilor derivate C 1 (x)Și C2(x) conform unui sistem cu ecuații:

C 1 " (x) · cos (6 x) + C 2 " (x) · sin (6 x) = 0 C 1 " (x) · (cos (6 x)) " + C 2 " (x) · (sin (6 x)) " = 0 ⇔ C 1 " (x) cos (6 x) + C 2 " (x) sin (6 x) = 0 C 1 " (x) (- 6 sin (6 x) + C 2 "(x) (6 cos (6 x)) = = 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x

Trebuie luată o decizie cu privire la C 1" (x)Și C 2" (x) folosind orice metodă. Apoi scriem:

C 1 " (x) = - 4 sin 2 (6 x) + 2 sin (6 x) cos (6 x) - 6 e 6 x sin (6 x) C 2 " (x) = 4 sin (6 x) cos (6 x) - 2 cos 2 (6 x) + 6 e 6 x cos (6 x)

Fiecare dintre ecuații trebuie să fie integrată. Apoi scriem ecuațiile rezultate:

C 1 (x) = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin ( 6 x) + C 3 C 2 (x) = - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 4

Rezultă că soluția generală va avea forma:

y = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 3 cos (6 x) + + - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 4 sin (6 x) = = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 sin (6 x)

Răspuns: y = y 0 + y ~ = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 sin (6 x)

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

La prelegere sunt studiate LNDE-urile - ecuații diferențiale liniare neomogene. Se consideră structura soluției generale, soluția LPDE prin metoda variației constantelor arbitrare, soluția LDDE cu coeficienți constanți și partea dreaptă a unei forme speciale. Problemele luate în considerare sunt utilizate în studiul oscilațiilor forțate în fizică, inginerie electrică și electronică și în teoria controlului automat.

1. Structura soluției generale a unei ecuații diferențiale neomogene liniare de ordinul 2.

Să considerăm mai întâi o ecuație liniară neomogenă de ordin arbitrar:

Ținând cont de notație, putem scrie:

În acest caz, vom presupune că coeficienții și partea dreaptă a acestei ecuații sunt continue pe un anumit interval.

Teorema. Soluția generală a unei ecuații diferențiale liniare neomogene într-un anumit domeniu este suma oricăreia dintre soluțiile sale și soluția generală a ecuației diferențiale liniare omogene corespunzătoare.

Dovada. Fie Y o soluție a unei ecuații neomogene.

Apoi, când înlocuim această soluție în ecuația originală, obținem identitatea:

Lăsa
- sistem fundamental de soluții la o ecuație liniară omogenă
. Atunci soluția generală a ecuației omogene poate fi scrisă astfel:

În special, pentru o ecuație diferențială liniară neomogenă de ordinul 2, structura soluției generale are forma:

Unde
este sistemul fundamental de soluții la ecuația omogenă corespunzătoare și
- orice soluție particulară a unei ecuații neomogene.

Astfel, pentru a rezolva o ecuație diferențială liniară neomogenă, este necesar să se găsească o soluție generală pentru ecuația omogenă corespunzătoare și să se găsească cumva o soluție particulară a ecuației neomogene. De obicei se găsește prin selecție. Vom lua în considerare metodele de selectare a unei soluții private în următoarele întrebări.

2. Metoda variației

În practică, este convenabil să se folosească metoda de variație a constantelor arbitrare.

Pentru a face acest lucru, mai întâi găsiți o soluție generală pentru ecuația omogenă corespunzătoare sub forma:

Apoi, punând coeficienții C i functii de la X, se caută o soluție la ecuația neomogenă:

Se poate dovedi că pentru a găsi funcții C i (X) trebuie să rezolvăm sistemul de ecuații:

Exemplu. Rezolvați ecuația

Rezolvarea unei ecuații liniare omogene

Soluția ecuației neomogene va avea forma:

Să creăm un sistem de ecuații:

Să rezolvăm acest sistem:

Din relație găsim funcția Oh).

Acum găsim B(x).

Înlocuim valorile obținute în formula pentru soluția generală a ecuației neomogene:

Răspuns final:

În general, metoda de variație a constantelor arbitrare este potrivită pentru găsirea de soluții la orice ecuație liniară neomogenă. Dar pentru că Găsirea sistemului fundamental de soluții pentru ecuația omogenă corespunzătoare poate fi o sarcină destul de dificilă; această metodă este utilizată în principal pentru ecuații neomogene cu coeficienți constanți.

3. Ecuații cu partea dreaptă a unei forme speciale

Pare posibil să ne imaginăm tipul unei anumite soluții în funcție de tipul părții din dreapta a ecuației neomogene.

Se disting următoarele cazuri:

I. Partea dreaptă a ecuației diferențiale liniare neomogene are forma:

unde este un polinom de grad m.

Apoi se caută o soluție specială sub forma:

Aici Q(X) - un polinom de același grad ca P(X) , dar cu coeficienți nedeterminați, și r– un număr care arată de câte ori numărul  este rădăcina ecuației caracteristice pentru ecuația diferențială liniară omogenă corespunzătoare.

Exemplu. Rezolvați ecuația
.

Să rezolvăm ecuația omogenă corespunzătoare:

Acum să găsim o soluție specială pentru ecuația neomogenă inițială.

Să comparăm partea dreaptă a ecuației cu forma părții drepte discutată mai sus.

Căutăm o soluție specială sub forma:
, Unde

Acestea.

Acum să determinăm coeficienții necunoscuți AȘi ÎN.

Să substituim soluția particulară în formă generală în ecuația diferențială neomogenă originală.

Soluție totală, privată:

Atunci soluția generală a unei ecuații diferențiale liniare neomogene este:

II. Partea dreaptă a ecuației diferențiale liniare neomogene are forma:

Aici R 1 (X)Și R 2 (X)– polinoame de grad m 1 și m 2 respectiv.

Atunci o anumită soluție a ecuației neomogene va avea forma:

unde este numarul r arată de câte ori un număr
este rădăcina ecuației caracteristice pentru ecuația omogenă corespunzătoare și Q 1 (X) Și Q 2 (X) – polinoame de grad nu mai mare decât m, Unde m- cel mai mare dintre grade m 1 Și m 2 .

Tabel rezumat al tipurilor de soluții private

pentru diferite tipuri de părți din dreapta

Rețineți că, dacă partea dreaptă a ecuației este o combinație de expresii de tipul considerat mai sus, atunci soluția se găsește ca o combinație de soluții la ecuații auxiliare, fiecare dintre acestea având o parte dreaptă corespunzătoare expresiei incluse. în combinație.

Acestea. daca ecuatia este:
, atunci o soluție specială a acestei ecuații va fi
Unde la 1 Și la 2 – soluții particulare ale ecuațiilor auxiliare

Și

Pentru a ilustra, să rezolvăm exemplul de mai sus într-un mod diferit.

Exemplu. Rezolvați ecuația

Să reprezentăm partea dreaptă a ecuației diferențiale ca sumă a două funcții f 1 (X) + f 2 (X) = X + (- păcat X).

Să compunem și să rezolvăm ecuația caracteristică:

Primim: i.e.

Total:

Acestea. soluția particulară necesară are forma:

Rezolvarea generală a unei ecuații diferențiale neomogene:

Să ne uităm la exemple de aplicare a metodelor descrise.

Exemplul 1.. Rezolvați ecuația

Să compunem o ecuație caracteristică pentru ecuația diferențială liniară omogenă corespunzătoare:

Acum să găsim o soluție specială pentru ecuația neomogenă sub forma:

Să folosim metoda coeficienților nedeterminați.

Înlocuind în ecuația inițială, obținem:

O anumită soluție are forma:

Soluția generală a unei ecuații liniare neomogene:

Exemplu. Rezolvați ecuația

Ecuația caracteristică:

Soluția generală a ecuației omogene:

Soluție particulară a ecuației neomogene:
.

Găsim derivatele și le înlocuim în ecuația originală neomogenă:

Obținem o soluție generală a ecuației diferențiale neomogene:

Ecuații diferențiale de ordinul doi neomogene cu coeficienți constanți

Structura soluției generale O ecuație liniară neomogenă de acest tip are forma: Unde p, q− numere constante (care pot fi fie reale, fie complexe). Pentru fiecare astfel de ecuație putem scrie corespunzătoare ecuație omogenă: Teorema: Soluția generală a unei ecuații neomogene este suma soluției generale y 0 (X) din ecuația omogenă corespunzătoare și soluția particulară y 1 (X) ecuație neomogenă: Mai jos vom lua în considerare două moduri de a rezolva ecuații diferențiale neomogene. Metoda de variație a constantelor Dacă soluţia generală y 0 din ecuația omogenă asociată este cunoscut, atunci soluția generală a ecuației neomogene poate fi găsită folosind metoda variației constante. Fie soluția generală a unei ecuații diferențiale omogene de ordinul doi să aibă forma: În loc de permanent C 1 și C 2 vom lua în considerare funcțiile auxiliare C 1 (X) Și C 2 (X). Vom căuta aceste funcții astfel încât soluția a satisfăcut ecuația neomogenă cu partea dreaptă f(X). Funcții necunoscute C 1 (X) Și C 2 (X) sunt determinate dintr-un sistem de două ecuații: Metoda coeficientului incert Partea dreaptă f(X) a unei ecuații diferențiale neomogene este adesea o funcție polinomială, exponențială sau trigonometrică sau o combinație a acestor funcții. În acest caz, este mai convenabil să căutați o soluție folosind metoda coeficienților nesiguri. Subliniem că această metodă funcționează doar pentru o clasă limitată de funcții din partea dreaptă, cum ar fi În ambele cazuri, alegerea unei anumite soluții trebuie să corespundă structurii părții drepte a ecuației diferențiale neomogene. În cazul 1, dacă numărul α în funcția exponențială coincide cu rădăcina ecuației caracteristice, atunci soluția particulară va conține un factor suplimentar X s, Unde s− multiplicitatea rădăcinilor α în ecuaţia caracteristică. În cazul 2, dacă numărul α + βi coincide cu rădăcina ecuației caracteristice, atunci expresia pentru soluția particulară va conține un factor suplimentar X. Coeficienții necunoscuți pot fi determinați prin înlocuirea expresiei găsite pentru o anumită soluție în ecuația diferențială neomogenă originală. Principiul suprapunerii Dacă partea dreaptă a ecuaţiei neomogene este Cantitate mai multe funcţii ale formei atunci o anumită soluție a ecuației diferențiale va fi și suma soluțiilor parțiale construite separat pentru fiecare termen din partea dreaptă.

Exemplul 1

Rezolvați ecuația diferențială y"" + y= păcat(2 X). Soluţie. Mai întâi rezolvăm ecuația omogenă corespunzătoare y"" + y= 0. În acest caz, rădăcinile ecuației caracteristice sunt pur imaginare: În consecință, soluția generală a ecuației omogene este dată de expresia Să revenim din nou la ecuația neomogenă. Vom căuta soluția sa în formă folosind metoda variaţiei constantelor. Funcții C 1 (X) Și C 2 (X) poate fi găsită din următorul sistem de ecuații: Să exprimăm derivata C 1 " (X) din prima ecuație: Înlocuind în a doua ecuație, găsim derivata C 2 " (X): Rezultă că Integrarea expresiilor pentru derivate C 1 " (X) Și C 2 " (X), primim: Unde A 1 , A 2 – constante de integrare. Acum să înlocuim funcțiile găsite C 1 (X) Și C 2 (X) în formula pentru y 1 (X) și notează soluția generală a ecuației neomogene:

Exemplul 2

Găsiți soluția generală a ecuației y"" + y" −6y = 36X. Soluţie. Să folosim metoda coeficienților nedeterminați. Partea dreaptă a ecuației date este o funcție liniară f(X)= ax + b. Prin urmare, vom căuta o soluție specială în formular Derivatele sunt egale: Înlocuind aceasta în ecuația diferențială, obținem: Ultima ecuație este o identitate, adică este valabilă pentru toți X, prin urmare echivalăm coeficienții termenilor cu aceleași grade X pe partea stanga si dreapta: Din sistemul rezultat găsim: A = −6, B= −1. Ca rezultat, soluția particulară este scrisă sub formă Acum să găsim soluția generală a ecuației diferențiale omogene. Să calculăm rădăcinile ecuației caracteristice auxiliare: Prin urmare, soluția generală a ecuației omogene corespunzătoare are forma: Deci, soluția generală a ecuației neomogene originale este exprimată prin formula

Integrala generală a DE.

Rezolvați ecuația diferențială

Dar cel mai amuzant este că răspunsul este deja cunoscut: , mai precis, trebuie să adăugăm și o constantă: Integrala generală este o soluție a ecuației diferențiale.

Metoda de variație a constantelor arbitrare. Exemple de soluții

Metoda de variație a constantelor arbitrare este utilizată pentru a rezolva ecuații diferențiale neomogene. Această lecție este destinată acelor elevi care sunt deja mai mult sau mai puțin versați în subiect. Dacă abia începeți să vă familiarizați cu telecomanda, de exemplu. Dacă ești un ceainic, recomand să începi cu prima lecție: Ecuații diferențiale de ordinul întâi. Exemple de soluții. Și dacă ați terminat deja, vă rugăm să renunțați la posibila preconcepție că metoda este dificilă. Pentru că este simplu.

În ce cazuri este utilizată metoda de variație a constantelor arbitrare?

1) Metoda de variație a unei constante arbitrare poate fi folosită pentru a rezolva DE liniar neomogen de ordinul I. Deoarece ecuația este de ordinul întâi, atunci constanta este și ea una.

2) Pentru rezolvarea unora se folosește metoda variației constantelor arbitrare ecuații liniare neomogene de ordinul doi. Aici variază două constante.

Este logic să presupunem că lecția va consta din două paragrafe... Așa că am scris această propoziție și timp de aproximativ 10 minute m-am gândit dureros la ce alte prostii inteligente aș putea adăuga pentru o tranziție lină la exemple practice. Dar din anumite motive nu am niciun gând după sărbători, deși se pare că nu am abuzat de nimic. Prin urmare, să trecem direct la primul paragraf.

Metoda de variație a unei constante arbitrare pentru o ecuație neomogenă liniară de ordinul întâi

Înainte de a lua în considerare metoda de variație a unei constante arbitrare, este recomandabil să fiți familiarizați cu articolul Ecuații diferențiale liniare de ordinul întâi. În acea lecție am exersat prima solutie neomogen ordinul I DE. Această primă soluție, vă reamintesc, se numește metoda de înlocuire sau metoda Bernoulli(a nu se confunda cu ecuația lui Bernoulli!!!)

Acum ne vom uita a doua soluție– metoda de variație a unei constante arbitrare. Voi da doar trei exemple și le voi lua din lecția menționată mai sus. De ce atât de puțini? Pentru că, de fapt, soluția din a doua modalitate va fi foarte asemănătoare cu soluția din prima. În plus, conform observațiilor mele, metoda de variație a constantelor arbitrare este folosită mai rar decât metoda înlocuirii.

Exemplul 1

Găsiți soluția generală a ecuației diferențiale (diferă față de Exemplul nr. 2 al lecției Ecuații diferențiale liniare neomogene de ordinul I)

Soluţie: Această ecuație este liniară neomogenă și are o formă familiară:

În prima etapă, este necesar să rezolvăm o ecuație mai simplă: Adică resetăm prost partea dreaptă la zero - scriem în schimb zero. Voi numi ecuația ecuație auxiliară.

În acest exemplu, trebuie să rezolvați următoarea ecuație auxiliară:

Înaintea noastră ecuație separabilă, a cărui soluție (sper) nu vă mai este dificilă:

Astfel: – soluţia generală a ecuaţiei auxiliare.

La a doua treaptă vom înlocui unele constante pentru acum funcție necunoscută care depinde de „x”:

De aici și numele metodei - variam constanta. Alternativ, constanta ar putea fi o funcție pe care trebuie să o găsim acum.

ÎN originalîn ecuația neomogenă facem înlocuirea:

Să substituim în ecuație:

Punct de control - cei doi termeni din partea stângă se anulează. Dacă acest lucru nu se întâmplă, ar trebui să căutați eroarea de mai sus.

Ca urmare a înlocuirii s-a obţinut o ecuaţie cu variabile separabile. Separăm variabilele și integrăm.

Ce binecuvântare, exponenții anulează și:

Adăugăm o constantă „normală” funcției găsite:

În etapa finală, ne amintim despre înlocuirea noastră:

Funcția tocmai a fost găsită!

Deci solutia generala este:

Răspuns: decizie comuna:

Dacă imprimați cele două soluții, veți observa cu ușurință că în ambele cazuri am găsit aceleași integrale. Singura diferență este în algoritmul de soluție.

Acum, pentru ceva mai complicat, voi comenta și al doilea exemplu:

Exemplul 2

Găsiți soluția generală a ecuației diferențiale (diferă față de Exemplul nr. 8 din lecția Ecuații diferențiale liniare neomogene de ordinul I)

Soluţie: Să aducem ecuația la forma:

Să resetam partea dreaptă și să rezolvăm ecuația auxiliară:

Separăm variabilele și integrăm: Soluția generală a ecuației auxiliare:

În ecuația neomogenă facem înlocuirea:

Conform regulii de diferențiere a produselor:

Să substituim în ecuația originală neomogenă:

Cei doi termeni din partea stângă se anulează, ceea ce înseamnă că suntem pe drumul cel bun:

Să integrăm pe părți. Scrisoarea gustoasă din formula de integrare prin părți este deja implicată în soluție, așa că folosim, de exemplu, literele „a” și „fi”:

În cele din urmă:

Acum să ne amintim de înlocuire:

Răspuns: decizie comuna:

Metoda de variație a constantelor arbitrare pentru o ecuație liniară neomogenă de ordinul doi cu coeficienți constanți

Am auzit adesea părerea că metoda de variație a constantelor arbitrare pentru o ecuație de ordinul doi nu este un lucru ușor. Dar presupun următoarele: cel mai probabil, metoda pare dificilă multora pentru că nu apare atât de des. Dar, în realitate, nu există dificultăți speciale - cursul deciziei este clar, transparent și de înțeles. Si frumos.

Pentru a stăpâni metoda, este de dorit să se poată rezolva ecuații neomogene de ordinul doi, selectând o anumită soluție pe baza formei părții din dreapta. Această metodă este discutată în detaliu în articol. DE-uri neomogene de ordinul 2. Reamintim că o ecuație neomogenă liniară de ordinul doi cu coeficienți constanți are forma:

Metoda de selecție, care a fost discutată în lecția de mai sus, funcționează doar într-un număr limitat de cazuri când partea dreaptă conține polinoame, exponențiale, sinusuri și cosinus. Dar ce să faci când în dreapta, de exemplu, este o fracție, logaritm, tangentă? Într-o astfel de situație, metoda de variație a constantelor vine în ajutor.

Exemplul 4

Găsiți soluția generală a unei ecuații diferențiale de ordinul doi

Soluţie: Există o fracție în partea dreaptă a acestei ecuații, așa că putem spune imediat că metoda de selectare a unei anumite soluții nu funcționează. Folosim metoda variației constantelor arbitrare.

Nu există semne de furtună; începutul soluției este complet obișnuit:

Vom găsi decizie comună adecvat omogen ecuatii:

Să compunem și să rezolvăm ecuația caracteristică: – se obțin rădăcini complexe conjugate, deci soluția generală este:

Acordați atenție înregistrării soluției generale - dacă există paranteze, deschideți-le.

Acum facem aproape același truc ca pentru ecuația de ordinul întâi: variam constantele, înlocuindu-le cu funcții necunoscute. Acesta este, soluţie generală de neomogenă vom căuta ecuații sub forma:

Unde - pentru acum funcții necunoscute.

Arată ca o groapă de gunoi menajere, dar acum vom rezolva totul.

Necunoscutele sunt derivatele funcțiilor. Scopul nostru este să găsim derivate, iar derivatele găsite trebuie să satisfacă atât prima cât și a doua ecuație a sistemului.

De unde vin „grecii”? Barza le aduce. Ne uităm la soluția generală obținută mai devreme și scriem:

Să găsim derivatele:

Părțile din stânga au fost tratate. Ce este în dreapta?

este partea dreaptă a ecuației inițiale, în acest caz:

Fundamentele rezolvării ecuațiilor diferențiale liniare neomogene de ordinul doi (LNDE-2) cu coeficienți constanți (PC)

Un LDDE de ordinul 2 cu coeficienți constanți $p$ și $q$ are forma $y""+p\cdot y"+q\cdot y=f\left(x\right)$, unde $f\left(x \right)$ este o funcție continuă.

În ceea ce privește LNDU 2 cu PC, următoarele două afirmații sunt adevărate.

Să presupunem că o funcție $U$ este o soluție parțială arbitrară a unei ecuații diferențiale neomogene. Să presupunem, de asemenea, că o funcție $Y$ este soluția generală (GS) a ecuației diferențiale liniare omogene corespunzătoare (HLDE) $y""+p\cdot y"+q\cdot y=0$. Atunci GR a LHDE-2 este egal cu suma soluțiilor private și generale indicate, adică $y=U+Y$.

Dacă partea dreaptă a unui LMDE de ordinul 2 este o sumă de funcții, adică $f\left(x\right)=f_(1) \left(x\right)+f_(2) \left(x \right)+. ..+f_(r) \left(x\right)$, atunci mai întâi putem găsi PD-urile $U_(1) ,U_(2) ,...,U_(r)$ care corespund la fiecare dintre funcțiile $f_( 1) \left(x\right),f_(2) \left(x\right),...,f_(r) \left(x\right)$ și după aceea scrie CR LNDU-2 sub forma $U=U_(1) +U_(2) +...+U_(r) $.

Soluție LPDE de ordinul 2 cu PC

Este evident că tipul unuia sau altul PD $U$ al unui LNDU-2 dat depinde de forma specifică a părții sale din dreapta $f\left(x\right)$. Cele mai simple cazuri de căutare a PD LNDU-2 sunt formulate sub forma următoarelor patru reguli.

Regula #1.

Partea dreaptă a LNDU-2 are forma $f\left(x\right)=P_(n) \left(x\right)$, unde $P_(n) \left(x\right)=a_(0 ) \cdot x^(n) +a_(1) \cdot x^(n-1) +...+a_(n-1) \cdot x+a_(n) $, adică se numește polinom de gradul $n$. Apoi PD-ul său $U$ este căutat sub forma $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) $, unde $Q_(n) \left(x\right)$ este un alt polinom de același grad ca $P_(n) \left(x\right)$ și $r$ este numărul de rădăcini ale ecuației caracteristice a LODE-2 corespunzătoare care sunt egale cu zero. Coeficienții polinomului $Q_(n) \left(x\right)$ se găsesc prin metoda coeficienților nedeterminați (UK).

Regula nr. 2.

Partea dreaptă a LNDU-2 are forma $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot P_(n) \left(x\right)$, unde $P_(n) \left(x\right)$ este un polinom de gradul $n$. Apoi PD-ul său $U$ este căutat sub forma $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) \cdot e^(\alpha \cdot x) $, unde $Q_(n ) \ left(x\right)$ este un alt polinom de același grad cu $P_(n) \left(x\right)$, iar $r$ este numărul de rădăcini ale ecuației caracteristice LODE-2 corespunzătoare egal cu $\alpha $. Coeficienții polinomului $Q_(n) \left(x\right)$ se găsesc prin metoda NC.

Regula nr. 3.

Partea dreaptă a LNDU-2 are forma $f\left(x\right)=a\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+b\cdot \sin \left(\beta \cdot x \right) $, unde $a$, $b$ și $\beta$ sunt numere cunoscute. Apoi PD-ul său $U$ este căutat sub forma $U=\left(A\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+B\cdot \sin \left(\beta \cdot x\right) \right )\cdot x^(r) $, unde $A$ și $B$ sunt coeficienți necunoscuți, iar $r$ este numărul de rădăcini ale ecuației caracteristice a LODE-2 corespunzătoare, egal cu $i\cdot \beta $. Coeficienții $A$ și $B$ se găsesc folosind metoda nedistructivă.

Regula nr. 4.

Partea dreaptă a LNDU-2 are forma $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left$, unde $P_(n) \left(x\right)$ este un polinom de gradul $ n$, iar $P_(m) \left(x\right)$ este un polinom de gradul $m$. Apoi PD-ul său $U$ este căutat sub forma $U=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left\cdot x^(r) $, unde $Q_(s) \left(x\right)$ și $ R_(s) \left(x\right)$ sunt polinoame de grad $s$, numărul $s$ este maximul a două numere $n$ și $m$ și $r$ este numărul de rădăcini a ecuației caracteristice LODE-2 corespunzătoare, egală cu $\alpha +i\cdot \beta $. Coeficienții polinoamelor $Q_(s) \left(x\right)$ și $R_(s) \left(x\right)$ se găsesc prin metoda NC.

Metoda NK constă în aplicarea următoarei reguli. Pentru a găsi coeficienții necunoscuți ai polinomului care fac parte din soluția parțială a ecuației diferențiale neomogene LNDU-2, este necesar:

• înlocuiți PD $U$, scris în formă generală, în partea stângă a LNDU-2;
• în partea stângă a LNDU-2, efectuați simplificări și grupați termeni cu aceleași puteri $x$;
• în identitatea rezultată, echivalează coeficienții termenilor cu aceleași puteri $x$ ale părților stângă și dreaptă;
• rezolvați sistemul rezultat de ecuații liniare pentru coeficienți necunoscuți.

Exemplul 1

Sarcină: găsiți SAU LNDU-2 $y""-3\cdot y"-18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. Găsiți și PD , îndeplinind condițiile inițiale $y=6$ pentru $x=0$ și $y"=1$ pentru $x=0$.

Notăm LOD-2 corespunzător: $y""-3\cdot y"-18\cdot y=0$.

Ecuația caracteristică: $k^(2) -3\cdot k-18=0$. Rădăcinile ecuației caracteristice sunt: ​​$k_(1) =-3$, $k_(2) =6$. Aceste rădăcini sunt valide și distincte. Astfel, OR-ul LODE-2 corespunzător are forma: $Y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) $.

Partea dreaptă a acestui LNDU-2 are forma $\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. Este necesar să se ia în considerare coeficientul exponentului $\alpha =3$. Acest coeficient nu coincide cu niciuna dintre rădăcinile ecuației caracteristice. Prin urmare, PD-ul acestui LNDU-2 are forma $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $.

Vom căuta coeficienții $A$, $B$ folosind metoda NC.

Găsim prima derivată a Republicii Cehe:

$U"=\left(A\cdot x+B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot \left( e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$

$=A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(A+3\cdot A\ cdot x+3\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

Găsim a doua derivată a Republicii Cehe:

$U""=\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot \left(e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$

$=3\cdot A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

Înlocuim funcțiile $U""$, $U"$ și $U$ în loc de $y""$, $y"$ și $y$ în NLDE-2 $y""-3\cdot y" -18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x).$ În plus, deoarece exponentul $e^(3\cdot x)$ este inclus ca factor în toate componentele, atunci acesta poate fi omis. Obținem:

$6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B-3\cdot \left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)-18\cdot \left(A\ cdot x+B\right)=36\cdot x+12.$

Efectuăm acțiunile din partea stângă a egalității rezultate:

$-18\cdot A\cdot x+3\cdot A-18\cdot B=36\cdot x+12.$

Folosim metoda NDT. Obținem un sistem de ecuații liniare cu două necunoscute:

$-18\cdot A=36;$

$3\cdot A-18\cdot B=12.$

Soluția acestui sistem este: $A=-2$, $B=-1$.

PD $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ pentru problema noastră arată astfel: $U=\left(-2\cdot x-1\right) \cdot e^(3\cdot x) $.

SAU $y=Y+U$ pentru problema noastră arată astfel: $y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) + \ stânga(-2\cdot x-1\right)\cdot e^(3\cdot x) $.

Pentru a căuta un PD care îndeplinește condițiile inițiale date, găsim derivata $y"$ a OP:

$y"=-3\cdot C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +6\cdot C_(2) \cdot e^(6\cdot x) -2\cdot e^(3\ cdot x) +\left(-2\cdot x-1\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) .$

Inlocuim in $y$ si $y"$ conditiile initiale $y=6$ pentru $x=0$ si $y"=1$ pentru $x=0$:

$6=C_(1) +C_(2) -1; $

$1=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -2-3=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -5.$

Am primit un sistem de ecuații:

$C_(1) +C_(2) =7;$

$-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) =6.$

Să rezolvăm. Găsim $C_(1) $ folosind formula lui Cramer, iar $C_(2) $ determinăm din prima ecuație:

$C_(1) =\frac(\left|\begin(array)(cc) (7) & (1) \\ (6) & (6) \end(array)\right|)(\left|\ begin(array)(cc) (1) & (1) \\ (-3) & (6) \end(array)\right|) =\frac(7\cdot 6-6\cdot 1)(1\ cdot 6-\left(-3\right)\cdot 1) =\frac(36)(9) =4; C_(2) =7-C_(1) =7-4=3.$

Astfel, PD-ul acestei ecuații diferențiale are forma: $y=4\cdot e^(-3\cdot x) +3\cdot e^(6\cdot x) +\left(-2\cdot x-1 \right )\cdot e^(3\cdot x) $.