Găsiți o zonă delimitată de linii online. Calculator online Calculați integrala definită (aria unui trapez curbat)
A)
Soluţie.
Primul și cel mai important punct al deciziei este construcția desenului.
Să facem desenul:
Ecuația y=0 setează axa „x”;
- x=-2 Și x=1 - drept, paralel cu axa OU;
- y=x 2 +2 - o parabolă, ale cărei ramuri sunt îndreptate în sus, cu vârful în punctul (0;2).
Cometariu. Pentru a construi o parabolă, este suficient să găsiți punctele de intersecție a acesteia cu axele de coordonate, adică. punând x=0 găsiți intersecția cu axa OU și rezolvând ecuația pătratică corespunzătoare, găsiți intersecția cu axa Oh .
Vârful unei parabole poate fi găsit folosind formulele: 
De asemenea, puteți construi linii punct cu punct.
Pe intervalul [-2;1] graficul funcției y=x 2 +2 situat deasupra axei Bou , De aceea:
Răspuns: S =9 unități mp
După ce sarcina este finalizată, este întotdeauna util să priviți desenul și să vă dați seama dacă răspunsul este real. În acest caz, „prin ochi” numărăm numărul de celule din desen - ei bine, vor fi aproximativ 9, se pare că este adevărat. Este absolut clar că dacă am primit, să zicem, răspunsul: 20 de unități pătrate, atunci este evident că s-a făcut o greșeală undeva - 20 de celule evident nu se încadrează în figura în cauză, cel mult o duzină. Dacă răspunsul este negativ, atunci și sarcina a fost rezolvată incorect.
Ce trebuie să faceți dacă este localizat trapezul curbat sub ax Oh?
b) Calculați aria unei figuri delimitate de linii y=-e x , x=1 și axele de coordonate.
Soluţie.
Să facem un desen.
Dacă un trapez curbat complet situat sub ax Oh , atunci aria sa poate fi găsită folosind formula:
Răspuns: S=(e-1) unități mp" 1,72 unități mp
Atenţie! Cele două tipuri de sarcini nu trebuie confundate:
1) Dacă vi se cere să rezolvați pur și simplu o integrală definită fără nicio semnificație geometrică, atunci aceasta poate fi negativă.
2) Dacă vi se cere să găsiți aria unei figuri folosind o integrală definită, atunci aria este întotdeauna pozitivă! De aceea apare minusul în formula tocmai discutată.
În practică, cel mai adesea figura este situată atât în semiplanul superior, cât și în cel inferior.
Cu) Găsiți aria unei figuri plane delimitată de drepte y=2x-x 2, y=-x.
Soluţie.
Mai întâi trebuie să finalizați desenul. În general, atunci când construim un desen în probleme de zonă, suntem cel mai interesați de punctele de intersecție a liniilor. Să găsim punctele de intersecție ale parabolei 
si drept 
Acest lucru se poate face în două moduri. Prima metodă este analitică.
Rezolvam ecuatia:
Aceasta înseamnă că limita inferioară a integrării a=0 , limita superioară a integrării b=3 .
|
Construim dreptele date: 1. Parabola - vârf în punctul (1;1); intersecția axelor Oh - punctele (0;0) și (0;2). 2. Linie dreaptă - bisectoarea celui de-al 2-lea și al 4-lea unghi de coordonate. Și acum Atenție! Dacă pe segmentul [ a;b] oarecare funcție continuă f(x) mai mare sau egală cu o funcție continuă g(x), atunci aria figurii corespunzătoare poate fi găsită folosind formula: Și nu contează unde se află figura - deasupra axei sau sub axa, dar ceea ce contează este care grafic este MAI ÎNALT (față de un alt grafic) și care este JOS. În exemplul luat în considerare, este evident că pe segment parabola este situată deasupra liniei drepte și, prin urmare, este necesar să se scadă din |
.Puteți construi linii punct cu punct, iar limitele integrării devin clare „de la sine”. Cu toate acestea, metoda analitică de găsire a limitelor mai trebuie folosită uneori dacă, de exemplu, graficul este suficient de mare sau construcția detaliată nu a evidențiat limitele integrării (pot fi fracționale sau iraționale).
Cifra dorită este limitată de o parabolă deasupra și de o linie dreaptă dedesubt.
Pe segment 
, conform formulei corespunzătoare:
Răspuns: S =4,5 unități mp
În acest articol veți învăța cum să găsiți aria unei figuri delimitate de linii folosind calcule integrale. Pentru prima dată întâlnim formularea unei astfel de probleme în liceu, când tocmai am finalizat studiul integralelor definite și este timpul să începem interpretarea geometrică a cunoștințelor dobândite în practică.
Deci, ce este necesar pentru a rezolva cu succes problema găsirii ariei unei figuri folosind integrale:
- Abilitatea de a realiza desene competente;
- Abilitatea de a rezolva o integrală definită folosind binecunoscuta formulă Newton-Leibniz;
- Abilitatea de a „vedea” o opțiune de soluție mai profitabilă - de ex. înțelegeți cum va fi mai convenabil să efectuați integrarea într-un caz sau altul? De-a lungul axei x (OX) sau a axei y (OY)?
- Ei bine, unde am fi fără calcule corecte?) Aceasta include înțelegerea cum să rezolvăm acel alt tip de integrale și calcule numerice corecte.
Algoritm pentru rezolvarea problemei de calcul a ariei unei figuri delimitate de linii:
1. Construim un desen. Este indicat să faceți acest lucru pe o foaie de hârtie în carouri, la scară mare. Semnăm numele acestei funcții cu un creion deasupra fiecărui grafic. Semnarea graficelor se face numai pentru confortul calculelor ulterioare. După ce a primit un grafic al cifrei dorite, în majoritatea cazurilor va fi imediat clar ce limite de integrare vor fi utilizate. Astfel, rezolvăm problema grafic. Cu toate acestea, se întâmplă ca valorile limitelor să fie fracționale sau iraționale. Prin urmare, puteți face calcule suplimentare, treceți la pasul doi.
2. Dacă limitele de integrare nu sunt specificate în mod explicit, atunci găsim punctele de intersecție ale graficelor între ele și vedem dacă soluția noastră grafică coincide cu cea analitică.
3. Apoi, trebuie să analizați desenul. În funcție de modul în care sunt aranjate graficele funcțiilor, există diferite abordări pentru a găsi aria unei figuri. Să ne uităm la diferite exemple de găsire a ariei unei figuri folosind integrale.
3.1. Cea mai clasică și simplă versiune a problemei este atunci când trebuie să găsiți zona unui trapez curbat. Ce este un trapez curbat? Aceasta este o figură plată limitată de axa x (y = 0), Drept x = a, x = b iar orice curbă continuă pe intervalul de la A inainte de b. În plus, această cifră nu este negativă și nu este situată sub axa x. În acest caz, aria trapezului curbiliniu este numeric egală cu o anumită integrală, calculată folosind formula Newton-Leibniz:
Exemplul 1 y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.
Prin ce linii este delimitată figura? Avem o parabolă y = x2 – 3x + 3, care este situat deasupra axei OH, este nenegativ, deoarece toate punctele acestei parabole au valori pozitive. Apoi, date drepte x = 1Și x = 3, care sunt paralele cu axa OU, sunt liniile de delimitare ale figurii din stânga și dreapta. Bine y = 0, este și axa x, care limitează figura de jos. Figura rezultată este umbrită, așa cum se poate vedea din figura din stânga. În acest caz, puteți începe imediat să rezolvați problema. În fața noastră este un exemplu simplu de trapez curbat, pe care apoi îl rezolvăm folosind formula Newton-Leibniz.
3.2. În paragraful anterior 3.1, am examinat cazul în care un trapez curbat este situat deasupra axei x. Acum luați în considerare cazul în care condițiile problemei sunt aceleași, cu excepția faptului că funcția se află sub axa x. La formula standard Newton-Leibniz se adaugă un minus. Vom analiza mai jos cum să rezolvăm o astfel de problemă.
Exemplul 2 . Calculați aria unei figuri delimitate de linii y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.
În acest exemplu avem o parabolă y = x2 + 6x + 2, care provine din axă OH, Drept x = -4, x = -1, y = 0. Aici y = 0 limitează cifra dorită de sus. Direct x = -4Și x = -1 acestea sunt limitele în care se va calcula integrala definită. Principiul rezolvării problemei găsirii ariei unei figuri coincide aproape complet cu exemplul numărul 1. Singura diferență este că funcția dată nu este pozitivă și este, de asemenea, continuă pe interval. [-4; -1] . Ce vrei sa spui ca nu pozitiv? După cum se poate observa din figură, figura care se află în x-urile date are coordonate exclusiv „negative”, ceea ce trebuie să vedem și să ne amintim atunci când rezolvăm problema. Căutăm aria figurii folosind formula Newton-Leibniz, doar cu semnul minus la început.
Articolul nu este completat.
În secțiunea anterioară, dedicată analizei semnificației geometrice a unei integrale definite, am primit o serie de formule pentru calcularea ariei unui trapez curbiliniu:
Yandex.RTB R-A-339285-1
S (G) = ∫ a b f (x) d x pentru o funcție continuă și nenegativă y = f (x) pe intervalul [ a ; b],
S (G) = - ∫ a b f (x) d x pentru o funcție continuă și nepozitivă y = f (x) pe intervalul [ a ; b ] .
Aceste formule sunt aplicabile pentru rezolvarea unor probleme relativ simple. În realitate, de multe ori va trebui să lucrăm cu figuri mai complexe. În acest sens, vom dedica această secțiune unei analize a algoritmilor pentru calcularea ariei figurilor care sunt limitate de funcții în formă explicită, de exemplu. cum ar fi y = f(x) sau x = g(y).
TeoremaFie definite şi continue funcţiile y = f 1 (x) şi y = f 2 (x) pe intervalul [ a ; b ] și f 1 (x) ≤ f 2 (x) pentru orice valoare x din [ a ; b ] . Apoi formula pentru calcularea ariei figurii G, mărginită de liniile x = a, x = b, y = f 1 (x) și y = f 2 (x) va arăta ca S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x .
O formulă similară va fi aplicabilă pentru aria unei figuri mărginite de liniile y = c, y = d, x = g 1 (y) și x = g 2 (y): S (G) = ∫ c d ( g 2 (y) - g 1 (y) d y .
Dovada
Să ne uităm la trei cazuri pentru care formula va fi valabilă.
În primul caz, ținând cont de proprietatea de aditivitate a ariei, suma ariilor figurii originale G și a trapezului curbiliniu G 1 este egală cu aria figurii G 2. Înseamnă că
Prin urmare, S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) dx.
Putem efectua ultima tranziție folosind a treia proprietate a integralei definite.
În al doilea caz, egalitatea este adevărată: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 ( x) - f 1 (x)) d x
Ilustrația grafică va arăta astfel:
Dacă ambele funcții sunt nepozitive, obținem: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) d x . Ilustrația grafică va arăta astfel:
Să trecem la considerarea cazului general când y = f 1 (x) și y = f 2 (x) intersectează axa O x.
Punctele de intersecție notăm ca x i, i = 1, 2, . . . , n - 1 . Aceste puncte despart segmentul [a; b ] în n părţi x i - 1 ; x i, i = 1, 2, . . . , n, unde α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n
Prin urmare,
S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 (x) - f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - f ( x)) d x = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x
Putem face ultima tranziție folosind a cincea proprietate a integralei definite.
Să ilustrăm cazul general pe grafic.
Formula S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x poate fi considerată dovedită.
Acum să trecem la analizarea exemplelor de calcul al ariei figurilor care sunt limitate de liniile y = f (x) și x = g (y).
Vom începe analiza oricăruia dintre exemple prin construirea unui grafic. Imaginea ne va permite să reprezentăm forme complexe ca uniuni de forme mai simple. Dacă construirea de grafice și figuri pe ele este dificilă pentru dvs., puteți studia secțiunea privind funcțiile elementare de bază, transformarea geometrică a graficelor de funcții, precum și construirea de grafice în timp ce studiați o funcție.
Exemplul 1
Este necesar să se determine aria figurii, care este limitată de parabola y = - x 2 + 6 x - 5 și linii drepte y = - 1 3 x - 1 2, x = 1, x = 4.
Soluţie
Să desenăm liniile pe grafic în sistemul de coordonate carteziene.
Pe segmentul [ 1 ; 4 ] graficul parabolei y = - x 2 + 6 x - 5 este situat deasupra dreptei y = - 1 3 x - 1 2. În acest sens, pentru a obține răspunsul folosim formula obținută mai devreme, precum și metoda de calcul a integralei definite folosind formula Newton-Leibniz:
S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13
Răspuns: S(G) = 13
Să ne uităm la un exemplu mai complex.
Exemplul 2
Este necesar să se calculeze aria figurii, care este limitată de liniile y = x + 2, y = x, x = 7.
Soluţie
În acest caz, avem o singură linie dreaptă situată paralelă cu axa x. Acesta este x = 7. Aceasta ne cere să găsim noi înșine a doua limită a integrării.
Să construim un grafic și să trasăm pe el liniile date în enunțul problemei.
Având graficul în fața ochilor, putem determina cu ușurință că limita inferioară de integrare va fi abscisa punctului de intersecție a graficului dreptei y = x și semi-parabola y = x + 2. Pentru a găsi abscisa folosim egalitățile:
y = x + 2 O DZ: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ O DZ x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ O DZ
Rezultă că abscisa punctului de intersecție este x = 2.
Vă atragem atenția asupra faptului că în exemplul general din desen, liniile y = x + 2, y = x se intersectează în punctul (2; 2), astfel încât astfel de calcule detaliate pot părea inutile. Am oferit aici o soluție atât de detaliată doar pentru că în cazuri mai complexe soluția poate să nu fie atât de evidentă. Aceasta înseamnă că este întotdeauna mai bine să calculați coordonatele intersecției liniilor analitic.
Pe intervalul [ 2 ; 7] graficul funcției y = x este situat deasupra graficului funcției y = x + 2. Să aplicăm formula pentru a calcula suprafața:
S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) d x = x 2 2 - 2 3 · (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 · (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6
Răspuns: S (G) = 59 6
Exemplul 3
Este necesar să se calculeze aria figurii, care este limitată de graficele funcțiilor y = 1 x și y = - x 2 + 4 x - 2.
Soluţie
Să trasăm liniile pe grafic.
Să definim limitele integrării. Pentru a face acest lucru, determinăm coordonatele punctelor de intersecție ale liniilor prin echivalarea expresiilor 1 x și - x 2 + 4 x - 2. Cu condiția ca x să nu fie zero, egalitatea 1 x = - x 2 + 4 x - 2 devine echivalentă cu ecuația de gradul trei - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 = 0 cu coeficienți întregi. Pentru a vă reîmprospăta memoria algoritmului pentru rezolvarea unor astfel de ecuații, ne putem referi la secțiunea „Rezolvarea ecuațiilor cubice”.
Rădăcina acestei ecuații este x = 1: - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0.
Împărțind expresia - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 la binomul x - 1, obținem: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) = 0
Putem găsi rădăcinile rămase din ecuația x 2 - 3 x - 1 = 0:
x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 · 1 · (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3; x 2 = 3 - 13 2 ≈ - 0 . 3
Am găsit intervalul x ∈ 1; 3 + 13 2, în care figura G este cuprinsă deasupra liniei albastre și sub linia roșie. Acest lucru ne ajută să determinăm aria figurii:
S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2
Răspuns: S (G) = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2
Exemplul 4
Este necesar să se calculeze aria figurii, care este limitată de curbele y = x 3, y = - log 2 x + 1 și de axa absciselor.
Soluţie
Să trasăm toate liniile pe grafic. Putem obține graficul funcției y = - log 2 x + 1 din graficul y = log 2 x dacă îl poziționăm simetric față de axa x și îl mutăm cu o unitate în sus. Ecuația axei x este y = 0.
Să marchem punctele de intersecție ale dreptelor.
După cum se poate observa din figură, graficele funcțiilor y = x 3 și y = 0 se intersectează în punctul (0; 0). Acest lucru se întâmplă deoarece x = 0 este singura rădăcină reală a ecuației x 3 = 0.
x = 2 este singura rădăcină a ecuației - log 2 x + 1 = 0, deci graficele funcțiilor y = - log 2 x + 1 și y = 0 se intersectează în punctul (2; 0).
x = 1 este singura rădăcină a ecuației x 3 = - log 2 x + 1 . În acest sens, graficele funcțiilor y = x 3 și y = - log 2 x + 1 se intersectează în punctul (1; 1). Ultima afirmație poate să nu fie evidentă, dar ecuația x 3 = - log 2 x + 1 nu poate avea mai mult de o rădăcină, deoarece funcția y = x 3 este strict crescătoare, iar funcția y = - log 2 x + 1 este strict în scădere.
Soluția ulterioară implică mai multe opțiuni.
Opțiunea 1
Ne putem imagina figura G ca suma a două trapeze curbilinii situate deasupra axei x, primul fiind situat sub linia mediană a segmentului x ∈ 0; 1, iar al doilea este sub linia roșie pe segmentul x ∈ 1; 2. Aceasta înseamnă că aria va fi egală cu S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x .
Opțiunea nr. 2
Figura G poate fi reprezentată ca diferența a două figuri, dintre care prima este situată deasupra axei x și sub linia albastră de pe segmentul x ∈ 0; 2, iar al doilea între liniile roșii și albastre de pe segmentul x ∈ 1; 2. Acest lucru ne permite să găsim zona după cum urmează:
S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x
În acest caz, pentru a găsi aria va trebui să utilizați o formulă de forma S (G) = ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y. De fapt, liniile care delimitează figura pot fi reprezentate ca funcții ale argumentului y.
Să rezolvăm ecuațiile y = x 3 și - log 2 x + 1 în raport cu x:
y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y
Obținem zona necesară:
S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) d y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4
Răspuns: S (G) = 1 ln 2 - 1 4
Exemplul 5
Este necesar să se calculeze aria figurii, care este limitată de liniile y = x, y = 2 3 x - 3, y = - 1 2 x + 4.
Soluţie
Cu o linie roșie trasăm linia definită de funcția y = x. Desenăm linia y = - 1 2 x + 4 în albastru, iar linia y = 2 3 x - 3 în negru.
Să marchem punctele de intersecție.
Să găsim punctele de intersecție ale graficelor funcțiilor y = x și y = - 1 2 x + 4:
x = - 1 2 x + 4 O DZ: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 = 144 x 1 = 20 + 144 2 = 16 ; x 2 = 20 - 144 2 = 4 Verificați: x 1 = 16 = 4, - 1 2 x 1 + 4 = - 1 2 16 + 4 = - 4 ⇒ x 1 = 16 nu Este soluția ecuației x 2 = 4 = 2, - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 este soluția ecuației ⇒ (4; 2) punctul de intersecție i y = x și y = - 1 2 x + 4
Să găsim punctul de intersecție al graficelor funcțiilor y = x și y = 2 3 x - 3:
x = 2 3 x - 3 O DZ: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 Verificați: x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 - 3 = 3 ⇒ x 1 = 9 este soluția ecuației ⇒ (9 ; 3) punctul a s y = x și y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 Nu există o soluție a ecuației
Să găsim punctul de intersecție al dreptelor y = - 1 2 x + 4 și y = 2 3 x - 3:
1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6 ; 1 ) punctul de intersecție y = - 1 2 x + 4 și y = 2 3 x - 3
Metoda nr. 1
Să ne imaginăm aria figurii dorite ca suma suprafețelor figurilor individuale.
Atunci aria figurii este:
S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3
Metoda nr. 2
Aria figurii originale poate fi reprezentată ca suma a altor două figuri.
Apoi rezolvăm ecuația dreptei relativ la x și numai după aceea aplicăm formula de calcul a ariei figurii.
y = x ⇒ x = y 2 linie roșie y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 linie neagră y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s i n i a l i n e
Deci zona este:
S (G) = ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 - - 2 y + 8 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = 7 4 y 2 - 7 4 y 1 2 + - y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3
După cum puteți vedea, valorile sunt aceleași.
Răspuns: S (G) = 11 3
Rezultate
Pentru a găsi aria unei figuri care este limitată de linii date, trebuie să construim linii pe un plan, să găsim punctele lor de intersecție și să aplicăm formula pentru a găsi aria. În această secțiune, am examinat cele mai comune variante de sarcini.
Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter
Să trecem la considerarea aplicațiilor calculului integral. În această lecție vom analiza sarcina tipică și cea mai comună calcularea ariei unei figuri plane folosind o integrală definită. În cele din urmă, toți cei care caută sens în matematica superioară să-l găsească. Nu stii niciodata. În viața reală, va trebui să aproximați o diagramă dacha folosind funcții elementare și să-i găsiți aria folosind o integrală definită.
Pentru a stăpâni cu succes materialul, trebuie să:
1) Înțelegeți integrala nedefinită cel puțin la un nivel intermediar. Astfel, manechinii ar trebui să citească mai întâi lecția Nu.
2) Să fie capabil să aplice formula Newton-Leibniz și să calculeze integrala definită. Puteți stabili relații prietenoase calde cu anumite integrale de pe pagină Integrala definita. Exemple de soluții. Sarcina „calculați suprafața folosind o integrală definită” implică întotdeauna construirea unui desen, așa că cunoștințele și abilitățile tale de desen vor fi, de asemenea, o problemă relevantă. Cel puțin, trebuie să fiți capabil să construiți o linie dreaptă, o parabolă și o hiperbolă.
Să începem cu un trapez curbat. Un trapez curbat este o figură plată delimitată de graficul unei funcții y = f(X), axa BOUși linii X = A; X = b.
Aria unui trapez curbiliniu este numeric egală cu o integrală definită
Orice integrală definită (care există) are o semnificație geometrică foarte bună. La lectie Integrala definita. Exemple de soluții am spus că o integrală definită este un număr. Și acum este timpul să precizăm un alt fapt util. Din punct de vedere al geometriei, integrala definită este AREA. Acesta este, integrala definită (dacă există) corespunde geometric cu aria unei anumite figuri. Luați în considerare integrala definită
Integrand
definește o curbă pe plan (poate fi desenată dacă se dorește), iar integrala definită în sine este egală numeric cu aria trapezului curbiliniu corespunzător.
Exemplul 1
, , , .
Aceasta este o declarație tipică de atribuire. Cel mai important punct al deciziei este construcția desenului. Mai mult, desenul trebuie construit DREAPTA.
Când construiți un desen, vă recomand următoarea ordine: la început este mai bine să construiți toate liniile drepte (dacă există) și numai Apoi– parabole, hiperbole, grafice ale altor funcții. Tehnica de construcție punct cu punct poate fi găsită în materialul de referință Grafice și proprietăți ale funcțiilor elementare. Acolo puteți găsi și material foarte util pentru lecția noastră - cum să construiți rapid o parabolă.
În această problemă, soluția ar putea arăta astfel.
Să facem desenul (rețineți că ecuația y= 0 specifică axa BOU):
Nu vom umbri trapezul curbat, aici este evident despre ce zonă vorbim. Solutia continua asa:
Pe segmentul [-2; 1] graficul funcției y = X 2 + 2 localizate deasupra axeiBOU, De aceea:
Răspuns: .
Care are dificultăți în calcularea integralei definite și aplicarea formulei Newton-Leibniz
,
referi la prelegere Integrala definita. Exemple de soluții. După ce sarcina este finalizată, este întotdeauna util să priviți desenul și să vă dați seama dacă răspunsul este real. În acest caz, numărăm numărul de celule din desen „cu ochi” - ei bine, vor fi aproximativ 9, se pare că este adevărat. Este absolut clar că dacă am primit, să zicem, răspunsul: 20 de unități pătrate, atunci este evident că s-a făcut o greșeală undeva - 20 de celule evident nu se încadrează în figura în cauză, cel mult o duzină. Dacă răspunsul este negativ, atunci și sarcina a fost rezolvată incorect.
Exemplul 2
Calculați aria unei figuri delimitate de linii X y = 4, X = 2, X= 4 și axa BOU.
Acesta este un exemplu de rezolvat singur. Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției.
Ce trebuie să faceți dacă este localizat trapezul curbat sub axBOU?
Exemplul 3
Calculați aria unei figuri delimitate de linii y = e-x, X= 1 și axele de coordonate.
Soluție: Să facem un desen:
Dacă un trapez curbat complet situat sub ax BOU , atunci aria sa poate fi găsită folosind formula:
În acest caz:
.
Atenţie! Cele două tipuri de sarcini nu trebuie confundate:
1) Dacă vi se cere să rezolvați pur și simplu o integrală definită fără nicio semnificație geometrică, atunci aceasta poate fi negativă.
2) Dacă vi se cere să găsiți aria unei figuri folosind o integrală definită, atunci aria este întotdeauna pozitivă! De aceea apare minusul în formula tocmai discutată.
În practică, cel mai adesea figura este situată atât în semiplanul superior, cât și în cel inferior și, prin urmare, de la cele mai simple probleme școlare trecem la exemple mai semnificative.
Exemplul 4
Găsiți aria unei figuri plane delimitată de drepte y = 2X – X 2 , y = -X.
Soluție: Mai întâi trebuie să faci un desen. Când construim un desen în probleme de zonă, suntem cel mai interesați de punctele de intersecție a liniilor. Să găsim punctele de intersecție ale parabolei y = 2X – X 2 și drept y = -X. Acest lucru se poate face în două moduri. Prima metodă este analitică. Rezolvam ecuatia:
Aceasta înseamnă că limita inferioară a integrării A= 0, limita superioară a integrării b= 3. Este adesea mai profitabil și mai rapid să construiești linii punct cu punct, iar limitele integrării devin clare „de la sine”. Cu toate acestea, metoda analitică de găsire a limitelor mai trebuie folosită uneori dacă, de exemplu, graficul este suficient de mare sau construcția detaliată nu a evidențiat limitele integrării (pot fi fracționale sau iraționale). Să revenim la sarcina noastră: este mai rațional să construim mai întâi o linie dreaptă și abia apoi o parabolă. Să facem desenul:
Să repetăm că atunci când construim punctual, limitele integrării sunt cel mai adesea determinate „automat”.
Și acum formula de lucru:
Dacă pe segmentul [ A; b] oarecare funcție continuă f(X) mai mare sau egal cu vreo funcție continuă g(X), atunci aria figurii corespunzătoare poate fi găsită folosind formula:
Aici nu mai trebuie să vă gândiți unde se află figura - deasupra axei sau sub axa, dar contează care grafic este MAI MARE(față de alt grafic), si care este JOS.
În exemplul luat în considerare, este evident că pe segment parabola este situată deasupra liniei drepte și, prin urmare, de la 2 X – X 2 trebuie scazut - X.
Soluția finalizată ar putea arăta astfel:
Cifra dorită este limitată de o parabolă y = 2X – X 2 deasupra și drepte y = -X de mai jos.
Pe segmentul 2 X – X 2 ≥ -X. Conform formulei corespunzătoare:
Răspuns: .
De fapt, formula școlară pentru aria unui trapez curbiliniu în semiplanul inferior (a se vedea exemplul nr. 3) este un caz special al formulei
.
Pentru că axa BOU dat de ecuaţie y= 0 și graficul funcției g(X) situat sub axă BOU, Acea
.
Și acum câteva exemple pentru propria dvs. soluție
Exemplul 5
Exemplul 6
Găsiți aria unei figuri delimitate de linii
Când rezolvați probleme care implică calcularea ariei folosind o integrală definită, se întâmplă uneori un incident amuzant. Desenul a fost făcut corect, calculele au fost corecte, dar din nepăsare... A fost găsită zona figurii greșite.
Exemplul 7
Mai întâi să facem un desen:
Figura a cărei zonă trebuie să o găsim este umbrită în albastru(uitați-vă cu atenție la starea - cum este limitată cifra!). Dar, în practică, din cauza neatenției, oamenii decid adesea că trebuie să găsească zona figurii care este umbrită în verde!
Acest exemplu este, de asemenea, util deoarece calculează aria unei figuri folosind două integrale definite. Într-adevăr:
1) Pe segmentul [-1; 1] deasupra axei BOU graficul este situat drept y = X+1;
2) Pe un segment deasupra axei BOU este situat graficul unei hiperbole y = (2/X).
Este destul de evident că zonele pot (și ar trebui) să fie adăugate, prin urmare:
Răspuns:
Exemplul 8
Calculați aria unei figuri delimitate de linii
Să prezentăm ecuațiile sub formă de „școală”.
și faceți un desen punct cu punct:
Din desen este clar că limita noastră superioară este „bună”: b = 1.
Dar care este limita inferioară?! Este clar că acesta nu este un număr întreg, dar ce este?
Pot fi, A=(-1/3)? Dar unde este garanția că desenul este realizat cu acuratețe perfectă, s-ar putea dovedi că A=(-1/4). Ce se întâmplă dacă am construit incorect graficul?
În astfel de cazuri, trebuie să petreceți timp suplimentar și să clarificați limitele integrării analitic.
Să găsim punctele de intersecție ale graficelor
Pentru a face acest lucru, rezolvăm ecuația:
.
Prin urmare, A=(-1/3).
Soluția ulterioară este banală. Principalul lucru este să nu vă confundați în înlocuiri și semne. Calculele de aici nu sunt cele mai simple. Pe segment
, 
,
după formula corespunzătoare:
Răspuns: 
Pentru a încheia lecția, să ne uităm la două sarcini mai dificile.
Exemplul 9
Calculați aria unei figuri delimitate de linii
Soluție: Să reprezentăm această figură în desen.
Pentru a construi un desen punct cu punct, trebuie să cunoașteți aspectul unei sinusoide. În general, este util să cunoașteți graficele tuturor funcțiilor elementare, precum și unele valori sinusoidale. Ele pot fi găsite în tabelul de valori funcții trigonometrice. În unele cazuri (de exemplu, în acest caz), este posibil să se construiască un desen schematic, pe care graficele și limitele de integrare ar trebui să fie în mod fundamental afișate corect.
Nu există probleme cu limitele integrării aici; ele decurg direct din condiția:
– „x” se schimbă de la zero la „pi”. Să luăm o altă decizie:
Pe un segment, graficul unei funcții y= păcatul 3 X situat deasupra axei BOU, De aceea:
(1) Puteți vedea cum sinusurile și cosinusurile sunt integrate în puteri impare în lecție Integrale ale funcțiilor trigonometrice. Ciupim un sinus.
(2) Folosim identitatea trigonometrică principală în formă
(3) Să schimbăm variabila t=cos X, atunci: este situat deasupra axei, prin urmare:
.
.
Notă: rețineți cum este luată integrala tangentei cube; aici este folosit un corolar al identității trigonometrice de bază
.
Problema 1(despre calcularea ariei unui trapez curbat).
În sistemul de coordonate dreptunghiular cartezian xOy, este dată o cifră (a se vedea figura) delimitată de axa x, drepte x = a, x = b (a printr-un trapez curbiliniu. Este necesar să se calculeze aria unui curbiliniu trapez.
Soluţie. Geometria ne oferă rețete pentru calcularea ariilor poligoanelor și a unor părți ale unui cerc (sector, segment). Folosind considerații geometrice, putem găsi doar o valoare aproximativă a ariei necesare, raționând după cum urmează.
Să împărțim segmentul [a; b] (baza unui trapez curbat) în n părți egale; această partiție se realizează folosind punctele x 1, x 2, ... x k, ... x n-1. Să tragem linii drepte prin aceste puncte paralele cu axa y. Apoi, trapezul curbiliniu dat va fi împărțit în n părți, în coloane înguste. Aria întregului trapez este egală cu suma ariilor coloanelor.
Să luăm în considerare coloana k-a separat, adică. un trapez curbat a cărui bază este un segment. Să-l înlocuim cu un dreptunghi cu aceeași bază și înălțime egală cu f(x k) (vezi figura). Aria dreptunghiului este egală cu \(f(x_k) \cdot \Delta x_k \), unde \(\Delta x_k \) este lungimea segmentului; Este firesc să luăm în considerare produsul rezultat ca o valoare aproximativă a ariei coloanei k-a. 
Dacă procedăm acum la fel cu toate celelalte coloane, vom ajunge la următorul rezultat: aria S a unui trapez curbiliniu dat este aproximativ egală cu aria S n a unei figuri în trepte formată din n dreptunghiuri (vezi figura):
\(S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \dots + f(x_k)\Delta x_k + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) \)
Aici, de dragul uniformității notației, presupunem că a = x 0, b = x n; \(\Delta x_0 \) - lungimea segmentului, \(\Delta x_1 \) - lungimea segmentului etc.; în acest caz, așa cum am convenit mai sus, \(\Delta x_0 = \dots = \Delta x_(n-1) \)
Deci, \(S \approx S_n \), iar această egalitate aproximativă este mai precisă, cu cât n este mai mare.
Prin definiție, se crede că aria necesară a unui trapez curbiliniu este egală cu limita secvenței (S n):
$$ S = \lim_(n \to \infty) S_n $$
Problema 2(despre mutarea unui punct)
Un punct material se deplasează în linie dreaptă. Dependența vitezei de timp este exprimată prin formula v = v(t). Aflați mișcarea unui punct într-o perioadă de timp [a; b].
Soluţie. Daca miscarea ar fi uniforma, atunci problema s-ar rezolva foarte simplu: s = vt, i.e. s = v(b-a). Pentru mișcarea neuniformă, trebuie să utilizați aceleași idei pe care s-a bazat soluția la problema anterioară.
1) Împărțiți intervalul de timp [a; b] în n părți egale.
2) Considerați o perioadă de timp și presupuneți că în această perioadă de timp viteza a fost constantă, la fel ca la momentul t k. Deci presupunem că v = v(t k).
3) Să găsim valoarea aproximativă a mișcării punctului într-o perioadă de timp; vom nota această valoare aproximativă ca s k
\(s_k = v(t_k) \Delta t_k \)
4) Aflați valoarea aproximativă a deplasării s:
\(s \aprox S_n \) unde
\(S_n = s_0 + \dots + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \dots + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) \)
5) Deplasarea necesară este egală cu limita secvenței (S n):
$$ s = \lim_(n \to \infty) S_n $$
Să rezumam. Soluțiile la diferite probleme au fost reduse la același model matematic. Multe probleme din diverse domenii ale științei și tehnologiei duc la același model în procesul de soluționare. Aceasta înseamnă că acest model matematic trebuie studiat special.
Conceptul de integrală definită
Să dăm o descriere matematică a modelului care a fost construit în cele trei probleme luate în considerare pentru funcția y = f(x), continuă (dar nu neapărat nenegativă, așa cum sa presupus în problemele luate în considerare) pe intervalul [a; b]:
1) împărțiți segmentul [a; b] în n părți egale;
2) alcătuiți suma $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) calculați $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$
În cursul analizei matematice s-a dovedit că această limită există în cazul unei funcții continue (sau continuă pe bucăți). El este numit o anumită integrală a funcției y = f(x) peste segmentul [a; b]și notată după cum urmează:
\(\int\limits_a^b f(x) dx \)
Numerele a și b se numesc limite de integrare (inferioară și respectiv superioară).
Să revenim la sarcinile discutate mai sus. Definiția zonei dată în problema 1 poate fi acum rescrisă după cum urmează:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx \)
aici S este aria trapezului curbiliniu prezentat în figura de mai sus. Aceasta este semnificația geometrică a unei integrale definite.
Definiția deplasării s a unui punct care se deplasează în linie dreaptă cu o viteză v = v(t) în perioada de timp de la t = a la t = b, dată în problema 2, poate fi rescrisă astfel:
formula Newton-Leibniz
Mai întâi, să răspundem la întrebarea: care este legătura dintre integrala definită și antiderivată?
Răspunsul poate fi găsit în problema 2. Pe de o parte, deplasarea s a unui punct care se deplasează în linie dreaptă cu viteza v = v(t) pe perioada de timp de la t = a la t = b se calculează prin formula
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt \)
Pe de altă parte, coordonatele unui punct în mișcare este o antiderivată pentru viteză - să o notăm s(t); Aceasta înseamnă că deplasarea s este exprimată prin formula s = s(b) - s(a). Ca rezultat obținem:
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) \)
unde s(t) este antiderivata lui v(t).
Următoarea teoremă a fost demonstrată în cursul analizei matematice.
Teorema. Dacă funcția y = f(x) este continuă pe intervalul [a; b], atunci formula este valabilă
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) \)
unde F(x) este antiderivata lui f(x).
Formula dată este de obicei numită formula Newton-Leibnizîn onoarea fizicianului englez Isaac Newton (1643-1727) și a filozofului german Gottfried Leibniz (1646-1716), care l-au primit independent unul de celălalt și aproape simultan.
În practică, în loc să scrie F(b) - F(a), ei folosesc notația \(\left. F(x)\right|_a^b \) (uneori se numește dubla substitutie) și, în consecință, rescrieți formula Newton-Leibniz în această formă:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = \left. F(x)\right|_a^b \)
Când calculați o integrală definită, găsiți mai întâi antiderivată și apoi efectuați o dublă substituție.
Pe baza formulei Newton-Leibniz, putem obține două proprietăți ale integralei definite.
Proprietatea 1. Integrala sumei funcțiilor este egală cu suma integralelor:
\(\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx \)
Proprietatea 2. Factorul constant poate fi scos din semnul integral:
\(\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx \)
Calcularea ariilor figurilor plane folosind o integrală definită
Folosind integrala, puteți calcula zonele nu numai ale trapezelor curbate, ci și ale figurilor plane de tip mai complex, de exemplu, cea prezentată în figură. Figura P este limitată de drepte x = a, x = b și grafice ale funcțiilor continue y = f(x), y = g(x), iar pe segmentul [a; b] inegalitatea \(g(x) \leq f(x) \) este valabilă. Pentru a calcula aria S a unei astfel de figuri, vom proceda după cum urmează:
\(S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = \)
\(= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)
Deci, aria S a unei figuri mărginite de drepte x = a, x = b și grafice ale funcțiilor y = f(x), y = g(x), continuă pe segment și astfel încât pentru orice x din segment [A; b] inegalitatea \(g(x) \leq f(x) \) este satisfăcută, calculată prin formula
\(S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)
