Ajutor la Tele2, tarife, intrebari

La prima vedere, fracțiile algebrice par foarte complicate, iar un elev nepregătit poate crede că este imposibil să faci ceva cu ele. Adunarea de variabile, numere și chiar puteri inspiră frică. Cu toate acestea, aceleași reguli sunt folosite pentru a reduce fracțiile (cum ar fi 15/25) și fracțiile algebrice.

Pași

Reducerea fracțiilor

Aflați cum să lucrați cu fracții simple. Operațiile cu fracțiile ordinare și algebrice sunt similare. De exemplu, luați fracția 15/35. Pentru a simplifica această fracție, găsiți un divizor comun. Ambele numere sunt divizibile cu cinci, așa că putem extrage 5 la numărător și numitor:

Acum poti reduce factorii comuni, adică tăiați 5 la numărător și numitor. Ca rezultat, obținem o fracție simplificată 3/7 . În expresiile algebrice, factorii comuni se disting în același mod ca și în cei obișnuiți. În exemplul anterior, am putut extrage cu ușurință 5 din 15 - același principiu se aplică expresiilor mai complexe, cum ar fi 15x - 5. Să găsim factorul comun. ÎN acest caz acesta va fi 5, deoarece ambii termeni (15x și -5) sunt divizibili cu 5. Ca și înainte, extragem factorul comun și îl transferăm La stânga.

15x - 5 = 5 * (3x - 1)

Pentru a verifica dacă totul este corect, este suficient să înmulțiți expresia dintre paranteze cu 5 - rezultatul va fi aceleași numere care erau la început. Termenii complexi pot fi distinși în același mod ca și cei simpli. Pentru fracțiile algebrice se aplică aceleași principii ca și pentru fracțiile obișnuite. Acesta este cel mai simplu mod de a reduce o fracție. Luați în considerare următoarea fracție:

Rețineți că atât numărătorul (sus) cât și numitorul (jos) au un termen (x+2), deci poate fi redus în același mod ca factorul comun 5 în 15/35:

Ca rezultat, obținem o expresie simplificată: (x-3)/(x+10)

Reducerea fracțiilor algebrice

Găsiți factorul comun în numărător, adică în partea de sus a fracției. Când reduceți o fracție algebrică, primul pas este simplificarea ambelor părți. Începeți cu numărătorul și încercați să îl factorați în cât mai mulți factori posibil. Luați în considerare în această secțiune următoarea fracție:

Să începem cu numărătorul: 9x - 3. Pentru 9x și -3, factorul comun este numărul 3. Să luăm 3 din paranteze, așa cum facem cu numerele obișnuite: 3 * (3x-1). În urma acestei transformări, se va obține următoarea fracție:

Găsiți factorul comun în numărător. Să continuăm execuția exemplului de mai sus și să scriem numitorul: 15x+6. Ca și înainte, aflăm cu ce număr ambele părți sunt divizibile. Și în acest caz factorul comun este 3, deci putem scrie: 3 * (5x +2). Să rescriem fracția în următoarea formă:

Reduceți termenii identici. În acest pas, puteți simplifica fracția. Anulați aceiași termeni la numărător și numitor. În exemplul nostru, acest număr este 3.

Stabiliți că fracția are cea mai simplă formă. O fracție este complet simplificată atunci când nu mai există factori comuni în numărător și numitor. Rețineți că nu puteți abrevia acei termeni care se află în paranteze - în exemplul de mai sus, nu există nicio modalitate de a extrage x din 3x și 5x, deoarece membrii completi sunt (3x -1) și (5x + 2). Astfel, fracția nu este supusă unei simplificări suplimentare, iar răspunsul final este următorul:

Exersați singuri reducerea fracțiilor. Cel mai bun mod de a învăța metoda este să rezolvi singur problemele. Răspunsurile corecte sunt date mai jos de exemple.

Răspuns:(x=13)

Răspuns:(2x-1)/5

Mișcări speciale

Mutați semnul negativ din fracție. Să presupunem că ni se dă următoarea fracție:

Rețineți că (x-4) și (4-x) sunt „aproape” identice, dar nu pot fi anulate definitiv, deoarece sunt „întors”. Cu toate acestea, (x - 4) poate fi scris ca -1 * (4 - x), la fel cum (4 + 2x) poate fi scris ca 2 * (2 + x). Aceasta se numește „inversarea semnelor”.

Acum puteți reduce aceiași termeni (4-x):

Deci iată răspunsul final: -3/5 . Învață să recunoști diferența de pătrate. Diferența de pătrate este atunci când pătratul unui număr este scăzut din pătratul altui număr, ca în expresia (a 2 - b 2). Diferența pătratelor perfecte poate fi întotdeauna descompusă în două părți - suma și diferența rădăcinilor pătrate corespunzătoare. Atunci expresia va lua următoarea formă:

A 2 - b 2 = (a+b)(a-b)

Acest truc este foarte util atunci când căutați termeni comuni în fracțiile algebrice.

• Verificați dacă ați factorizat corect cutare sau cutare expresie. Pentru a face acest lucru, înmulțiți factorii - rezultatul ar trebui să fie aceeași expresie.
• Pentru a simplifica complet o fracție, selectați întotdeauna cei mai mari factori.

Reducerea fracțiilor este necesară pentru a aduce fracția la o formă mai simplă, de exemplu, în răspunsul obținut în urma rezolvării expresiei.

Reducerea fracțiilor, definiție și formulă.

Ce este reducerea fracției? Ce înseamnă reducerea unei fracții?

Definiție:
Reducerea fracțiilor- aceasta este împărțirea numărătorului și numitorului fracției la același număr pozitiv nu este egal cu zero și unu. În urma reducerii se obține o fracție cu numărător și numitor mai mici, egală cu fracția anterioară conform.

Formula de reducere a fracțiilor proprietatea de bază a numerelor raționale.

\(\frac(p \times n)(q \times n)=\frac(p)(q)\)

Luați în considerare un exemplu:
Reduceți fracția \(\frac(9)(15)\)

Soluţie:
Putem factoriza o fracție în factori primi și reducem factorii comuni.

\(\frac(9)(15)=\frac(3 \times 3)(5 \times 3)=\frac(3)(5) \times \color(red) (\frac(3)(3) )=\frac(3)(5) \times 1=\frac(3)(5)\)

Răspuns: după reducere obținem fracția \(\frac(3)(5)\). Conform proprietății principale a numerelor raționale, fracțiile inițiale și cele rezultate sunt egale.

\(\frac(9)(15)=\frac(3)(5)\)

Cum se reduc fracțiile? Reducerea unei fracții la o formă ireductibilă.

Pentru a obține o fracție ireductibilă ca rezultat, avem nevoie găsiți cel mai mare divizor comun (mcd) pentru numărătorul și numitorul unei fracții.

Există mai multe moduri de a găsi GCD, vom folosi descompunerea numerelor în factori primi în exemplu.

Obțineți fracția ireductibilă \(\frac(48)(136)\).

Soluţie:
Găsiți GCD(48, 136). Să scriem numerele 48 și 136 în factori primi.
48=2⋅2⋅2⋅2⋅3
136=2⋅2⋅2⋅17
MCD(48, 136)= 2⋅2⋅2=6

\(\frac(48)(136)=\frac(\color(red) (2 \times 2 \times 2) \times 2 \times 3)(\color(red) (2 \times 2 \times 2) \times 17)=\frac(\color(red) (6) \times 2 \times 3)(\color(red) (6) \times 17)=\frac(2 \times 3)(17)=\ frac(6)(17)\)

Regula pentru reducerea unei fracții la o formă ireductibilă.

1. Aflați cel mai mare divizor comun pentru numărător și numitor.
2. Trebuie să împărțiți numărătorul și numitorul la cel mai mare divizor comun ca rezultat al împărțirii pentru a obține o fracție ireductibilă.

Exemplu:
Reduceți fracția \(\frac(152)(168)\).

Soluţie:
Găsiți GCD(152, 168). Să scriem numerele 152 și 168 în factori primi.
152=2⋅2⋅2⋅19
168=2⋅2⋅2⋅3⋅7
mcd(152, 168)= 2⋅2⋅2=6

\(\frac(152)(168)=\frac(\color(red) (6) \times 19)(\color(red) (6) \times 21)=\frac(19)(21)\)

Răspuns: \(\frac(19)(21)\) este o fracție ireductibilă.

Abrevierea unei fracții improprie.

Cum se reduce o fracție necorespunzătoare?
Regulile pentru reducerea fracțiilor pentru fracțiile proprii și improprii sunt aceleași.

Luați în considerare un exemplu:
Reduceți fracția improprie \(\frac(44)(32)\).

Soluţie:
Să scriem numărătorul și numitorul în factori primi. Și apoi reducem factorii comuni.

\(\frac(44)(32)=\frac(\color(red) (2 \times 2 ) \times 11)(\color(red) (2 \times 2 ) \times 2 \times 2 \times 2 )=\frac(11)(2 \times 2 \times 2)=\frac(11)(8)\)

Reducerea fracțiilor mixte.

Fracțiile mixte urmează aceleași reguli ca și fracțiile obișnuite. Singura diferență este că putem nu atingeți întreaga parte, ci reduceți partea fracționată sau Convertiți o fracție mixtă într-o fracție improprie, reduceți și convertiți înapoi într-o fracție adecvată.

Luați în considerare un exemplu:
Reduceți fracția mixtă \(2\frac(30)(45)\).

Soluţie:
Să o rezolvăm în două moduri:
Prima cale:
Vom scrie partea fracțională în factori primi și nu vom atinge partea întreagă.

\(2\frac(30)(45)=2\frac(2 \times \color(red) (5 \times 3))(3 \times \color(red) (5 \times 3))=2\ frac(2)(3)\)

A doua cale:
Mai întâi traducem într-o fracție improprie, apoi o scriem în factori primi și o reducem. Transformați fracția necorespunzătoare rezultată într-una adecvată.

\(2\frac(30)(45)=\frac(45 \times 2 + 30)(45)=\frac(120)(45)=\frac(2 \times \color(red) (5 \times) 3) \times 2 \times 2)(3 \times \color(red) (3 \times 5))=\frac(2 \times 2 \times 2)(3)=\frac(8)(3)= 2\frac(2)(3)\)

Întrebări înrudite:
Pot fi reduse fracțiile atunci când se adună sau se scad?
Răspuns: nu, trebuie mai întâi să adunați sau să scădeți fracții conform regulilor și abia apoi să reduceți. Luați în considerare un exemplu:

Evaluați expresia \(\frac(50+20-10)(20)\) .

Soluţie:
Ei fac adesea greșeala de a reduce aceleași numere la numărător și numitor în cazul nostru, numărul 20, dar nu pot fi reduse până nu efectuați adunarea și scăderea.

\(\frac(50+\color(red) (20)-10)(\color(red) (20))=\frac(60)(20)=\frac(3 \times 20)(20)= \frac(3)(1)=3\)

Cu ce ​​număr poți reduce o fracție?
Răspuns: Puteți reduce o fracție cu cel mai mare divizor comun sau cu divizorul obișnuit al numărătorului și numitorului. De exemplu, fracția \(\frac(100)(150)\).

Să scriem numerele 100 și 150 în factori primi.
100=2⋅2⋅5⋅5
150=2⋅5⋅5⋅3
Cel mai mare divizor comun va fi numărul mcd(100, 150)= 2⋅5⋅5=50

\(\frac(100)(150)=\frac(2 \times 50)(3 \times 50)=\frac(2)(3)\)

Se obține fracția ireductibilă \(\frac(2)(3)\).

Dar nu este necesar să împărțiți întotdeauna cu GCD, o fracție ireductibilă nu este întotdeauna necesară, puteți reduce fracția cu un simplu divizor al numărătorului și numitorului. De exemplu, numărul 100 și 150 au un divizor comun 2. Să reducem fracția \(\frac(100)(150)\) cu 2.

\(\frac(100)(150)=\frac(2 \times 50)(2 \times 75)=\frac(50)(75)\)

Am obținut fracția redusă \(\frac(50)(75)\).

Ce fracții pot fi reduse?
Răspuns: Puteți reduce fracțiile în care numărătorul și numitorul au un divizor comun. De exemplu, fracția \(\frac(4)(8)\). Numărul 4 și 8 au un număr cu care ambele sunt divizibile cu acest număr 2. Prin urmare, o astfel de fracție poate fi redusă cu numărul 2.

Exemplu:
Comparați două fracții \(\frac(2)(3)\) și \(\frac(8)(12)\).

Aceste două fracții sunt egale. Luați în considerare fracția \(\frac(8)(12)\) în detaliu:

\(\frac(8)(12)=\frac(2 \times 4)(3 \times 4)=\frac(2)(3) \times \frac(4)(4)=\frac(2) (3) \times 1=\frac(2)(3)\)

De aici obținem, \(\frac(8)(12)=\frac(2)(3)\)

Două fracții sunt egale dacă și numai dacă una dintre ele se obține prin reducerea celeilalte fracții cu un factor comun al numărătorului și numitorului.

Exemplu:
Reduceți următoarele fracții dacă este posibil: a) \(\frac(90)(65)\) b) \(\frac(27)(63)\) c) \(\frac(17)(100)\) d ) \(\frac(100)(250)\)

Soluţie:
a) \(\frac(90)(65)=\frac(2 \times \color(red) (5) \times 3 \times 3)(\color(red) (5) \times 13)=\frac (2 \times 3 \times 3)(13)=\frac(18)(13)\)
b) \(\frac(27)(63)=\frac(\color(red) (3 \times 3) \times 3)(\color(red) (3 \times 3) \times 7)=\frac (3)(7)\)
c) \(\frac(17)(100)\) fracție ireductibilă
d) \(\frac(100)(250)=\frac(\color(red) (2 \times 5 \times 5) \times 2)(\color(red) (2 \times 5 \times 5) \ ori 5)=\frac(2)(5)\)

Copiii de la școală învață regulile de reducere a fracțiilor în clasa a VI-a. În acest articol, vă vom spune mai întâi ce înseamnă această acțiune, apoi vă vom explica cum să traduceți o fracție reductibilă într-una ireductibilă. Următorul articol va fi regulile de reducere a fracțiilor, iar apoi vom ajunge treptat la exemple.

Ce înseamnă „reduce o fracție”?

Deci, știm cu toții că fracțiile obișnuite sunt împărțite în două grupe: reductibile și ireductibile. Deja după nume se poate înțelege că cele care sunt contractibile sunt reduse, iar cele care sunt ireductibile nu sunt reduse.

• A reduce o fracție înseamnă a împărți numitorul și numărătorul acesteia la divizorul lor pozitiv (altul decât unul). Rezultatul, desigur, este o nouă fracție cu un numitor și un numărător mai mici. Fracția rezultată va fi egală cu fracția inițială.

Este demn de remarcat faptul că în cărțile de matematică cu sarcina „reduceți fracția”, aceasta înseamnă că trebuie să aduceți fracția originală la această formă ireductibilă. În termeni simpli, împărțirea numitorului și numărătorului la cel mai mare divizor comun al lor este o reducere.

Cum se reduce o fracție. Reguli pentru reducerea fracțiilor (clasa 6)

Deci aici sunt doar două reguli.

1. Prima regulă pentru reducerea fracțiilor este să găsiți mai întâi cel mai mare divizor comun al numitorului și numărătorului fracției dvs.
2. A doua regulă: Împărțiți numitorul și numărătorul la cel mai mare divizor comun pentru a obține o fracție ireductibilă.

Cum se reduce o fracție necorespunzătoare?

Regulile de reducere a fracțiilor sunt identice cu regulile de reducere a fracțiilor improprii.

Pentru a reduce o fracție necorespunzătoare, mai întâi va trebui să pictați numitorul și numărătorul în factori simpli și abia apoi să reduceți factorii comuni.

Reducerea fracțiilor mixte

Regulile pentru reducerea fracțiilor se aplică și la reducerea fracțiilor mixte. Există doar o mică diferență: nu putem atinge întreaga parte, ci reducem fracțiunea fracțională sau mixtă într-una necorespunzătoare, apoi o reducem și o transformăm din nou într-o fracție adecvată.

Există două moduri de a reduce fracțiile mixte.

În primul rând: pentru a picta partea fracțională în factori primi și apoi nu atingeți partea întreagă.

A doua modalitate: mai întâi traduceți într-o fracție necorespunzătoare, pictați pe factorii obișnuiți, apoi reduceți fracția. Convertiți fracția improprie primită în cea adecvată.

Exemple pot fi văzute în fotografia de mai sus.

Sperăm cu adevărat că te-am putea ajuta pe tine și pe copiii tăi. La urma urmei, în clasă sunt foarte des neatenți, așa că trebuie să muncești mai mult acasă pe cont propriu.

Pentru a înțelege cum să reduceți fracțiile, să ne uităm mai întâi la un exemplu.

A reduce o fracție înseamnă a împărți numărătorul și numitorul la același. Atât 360, cât și 420 se termină într-un număr, deci putem reduce această fracție cu 2. În noua fracție, atât 180, cât și 210 sunt de asemenea divizibile cu 2, reducem această fracție cu 2. În numerele 90 și 105, suma dintre cifrele sunt divizibile cu 3, deci ambele numere sunt divizibile cu 3, reducem fracția cu 3. În noua fracție, 30 și 35 se termină în 0 și 5, ceea ce înseamnă că ambele numere sunt divizibile cu 5, deci reducem fracția cu 5. Fracția rezultată, șase șaptimi, este ireductibilă. Acesta este răspunsul final.

Putem ajunge la același răspuns într-un mod diferit.

Atât 360, cât și 420 se termină cu zero, ceea ce înseamnă că sunt divizibili cu 10. Reducem fracția cu 10. În noua fracție, atât numărătorul 36, cât și numitorul 42 sunt împărțiți la 2. Reducem fracția cu 2. În următoarea fracție, atât numărătorul 18, cât și numitorul 21 sunt împărțite la 3, ceea ce înseamnă că reducem fracția cu 3. Am ajuns la rezultat - șase șaptimi.

Și încă o soluție.

Data viitoare vom lua în considerare exemple de reducere a fracțiilor.

În această lecție, vom studia proprietatea de bază a unei fracții, vom afla care fracții sunt egale între ele. Vom învăța cum să reducem fracțiile, să stabilim dacă o fracție este redusă sau nu, să exersăm reducerea fracțiilor și să aflăm când să folosim reducerea și când nu.

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit. Adipisci autem beatae consectetur corporis dolores ea, eius, esse id illo inventore iste mollitia nemo nesciunt nisi obcaecati optio similique tempore voluptate!

Adipisci alias assumenda consequatur cupiditate, ex id minima quam rem sint vitae? Animi dolores earum enim fugit magni nihil odit provident quaerat. Aliquid aspernatur eos esse magnam maiores necessitatibus, nulla?

Aceste informații sunt disponibile pentru utilizatorii înregistrați

Proprietatea de bază a unei fracții

Imaginați-vă o astfel de situație.

La masa 3 umană şi 5 merele. Divide 5 trei mere. Fiecare primește mere \(\mathbf(\frac(5)(3))\).

Și la masa alăturată 3 persoană și de asemenea 5 merele. Fiecare din nou \(\mathbf(\frac(5)(3))\)

În același timp, toate 10 merele 6 Uman. Fiecare \(\mathbf(\frac(10)(6))\)

Dar este la fel.

\(\mathbf(\frac(5)(3) = \frac(10)(6))\)

Aceste fracții sunt echivalente.

Puteți dubla numărul de oameni și dublați numărul de mere. Rezultatul va fi același.

În matematică, aceasta este formulată după cum urmează:

Dacă numărătorul și numitorul unei fracții sunt înmulțite sau împărțite cu același număr (nu este egal cu 0), atunci noua fracție va fi egală cu cea inițială.

Această proprietate este uneori denumită „ proprietatea de baza a fractiei ».

$$\mathbf(\frac(a)(b) = \frac(a\cdot c)(b\cdot c) = \frac(a:d)(b:d))$$

De exemplu, drumul de la oraș la sat- 14 km.

Mergem de-a lungul drumului și stabilim distanța parcursă de stâlpii kilometri. După ce am depășit șase coloane, șase kilometri, înțelegem că am trecut pe drumuri \(\mathbf(\frac(6)(14))\).

Dar dacă nu vedem stâlpii (poate că nu au fost montați), putem număra poteca de-a lungul stâlpilor electrici de-a lungul drumului. Al lor 40 bucăți pe kilometru. Adică totul 560 tot drumul. Şase kilometri - \(\mathbf(6\cdot40 = 240)\) stâlpi. Adică am trecut 240 din 560 coloane- \(\mathbf(\frac(240)(560))\)

\(\mathbf(\frac(6)(14) = \frac(240)(560))\)

Exemplul 1

Marcați un punct cu coordonatele ( 5; 7 ) pe planul de coordonate XOY. Se va potrivi cu fracția \(\mathbf(\frac(5)(7))\)

Conectați originea la punctul rezultat. Construiți un alt punct care are coordonatele de două ori mai mari decât cele precedente. Ce fracție ai primit? Vor fi ei egali?

Soluţie

O fracție de pe planul de coordonate poate fi marcată cu un punct. Pentru a desena o fracție \(\mathbf(\frac(5)(7))\), marcați un punct cu coordonatele 5 de-a lungul axei YȘi 7 de-a lungul axei X. Să tragem o linie dreaptă de la origine până la punctul nostru.

Punctul corespunzător fracției \(\mathbf(\frac(10)(14))\)

Ele sunt echivalente: \(\mathbf(\frac(5)(7) = \frac(10)(14))\)