Expresii, conversie de expresii

Expresii de putere (expresii cu puteri) și transformarea lor

În acest articol vom vorbi despre conversia expresiilor cu puteri. În primul rând, ne vom concentra asupra transformărilor care sunt efectuate cu expresii de orice fel, inclusiv expresii de putere, cum ar fi deschiderea parantezelor și aducerea de termeni similari. Și apoi vom analiza transformările inerente în mod specific expresiilor cu grade: lucrul cu baza și exponentul, utilizarea proprietăților gradelor etc.

Navigare în pagină.

Ce sunt expresiile puterii?

Termenul „expresii de putere” practic nu apare în manualele școlare de matematică, dar apare destul de des în colecții de probleme, în special în cele destinate pregătirii pentru Examenul Unificat de Stat și Examenul Unificat de Stat, de exemplu. După analizarea sarcinilor în care este necesară efectuarea oricăror acțiuni cu expresii de putere, devine clar că expresiile de putere sunt înțelese ca expresii care conțin puteri în intrările lor. Prin urmare, puteți accepta următoarea definiție pentru dvs.:

Definiție.

Expresii de putere sunt expresii care conțin grade.

Să dăm exemple de expresii de putere. Mai mult, le vom prezenta în funcție de modul în care are loc dezvoltarea vederilor de la un grad cu exponent natural la un grad cu un exponent real.

După cum se știe, mai întâi se familiarizează cu puterea unui număr cu exponent natural în această etapă, primele expresii de putere cele mai simple de tip 3 2, 7 5 +1, (2+1) 5, (−0.1); 4, 3 a 2 apar −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 etc.

Puțin mai târziu, se studiază puterea unui număr cu exponent întreg, ceea ce duce la apariția expresiilor de putere cu puteri întregi negative, precum următoarele: 3 −2, , a −2 +2 b −3 +c 2 .

În liceu se întorc la grade. Acolo se introduce un grad cu exponent rațional, care presupune apariția expresiilor de putere corespunzătoare: , , și așa mai departe. În sfârșit, se consideră grade cu exponenți iraționali și expresii care îi conțin: , .

Problema nu se limitează la expresiile de putere enumerate: mai departe variabila pătrunde în exponent și, de exemplu, apar următoarele expresii: 2 x 2 +1 sau . Și după ce ne-am familiarizat cu , încep să apară expresii cu puteri și logaritmi, de exemplu, x 2·lgx −5·x lgx.

Deci, ne-am ocupat de întrebarea ce reprezintă expresiile puterii. În continuare vom învăța să le transformăm.

Principalele tipuri de transformări ale expresiilor puterii

Cu expresiile de putere, puteți efectua oricare dintre transformările de bază de identitate ale expresiilor. De exemplu, puteți deschide paranteze, puteți înlocui expresiile numerice cu valorile lor, puteți adăuga termeni similari etc. Desigur, în acest caz, este necesar să urmați procedura acceptată pentru efectuarea acțiunilor. Să dăm exemple.

Exemplu.

Calculați valoarea expresiei puterii 2 3 ·(4 2 −12) .

Soluţie.

În conformitate cu ordinea de execuție a acțiunilor, mai întâi efectuați acțiunile dintre paranteze. Acolo, în primul rând, înlocuim puterea 4 2 cu valoarea sa 16 (dacă este necesar, vezi), iar în al doilea rând, calculăm diferența 16−12=4. Avem 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4.

În expresia rezultată înlocuim puterea 2 3 cu valoarea ei 8, după care calculăm produsul 8·4=32. Aceasta este valoarea dorită.

Asa de, 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4=8·4=32.

Răspuns:

2 3 ·(4 2 −12)=32.

Exemplu.

Simplificați expresiile cu puteri 3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7.

Soluţie.

Evident, această expresie conține termeni similari 3·a 4 ·b −7 și 2·a 4 ·b −7 , și îi putem prezenta: .

Răspuns:

3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7 =5 a 4 b −7 −1.

Exemplu.

Exprimați o expresie cu puteri ca produs.

Soluţie.

Puteți face față sarcinii reprezentând numărul 9 ca o putere a lui 3 2 și apoi folosind formula de înmulțire abreviată - diferența de pătrate:

Răspuns:

Există, de asemenea, o serie de transformări identice inerente în mod specific expresiilor de putere. Le vom analiza mai departe.

Lucrul cu baza și exponent

Există grade a căror bază și/sau exponent nu sunt doar numere sau variabile, ci unele expresii. Ca exemplu, dăm intrările (2+0.3·7) 5−3.7 și (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) .

Când lucrați cu astfel de expresii, puteți înlocui atât expresia din baza gradului, cât și expresia din exponent cu o expresie identică egală în ODZ a variabilelor sale. Cu alte cuvinte, după regulile cunoscute de noi, putem transforma separat baza gradului și separat exponentul. Este clar că în urma acestei transformări se va obține o expresie identică cu cea inițială.

Astfel de transformări ne permit să simplificăm expresiile cu puteri sau să atingem alte obiective de care avem nevoie. De exemplu, în expresia de putere menționată mai sus (2+0.3 7) 5−3.7, puteți efectua operații cu numerele din bază și exponent, ceea ce vă va permite să treceți la puterea 4.1 1.3. Și după ce deschidem parantezele și aducem termeni similari la baza gradului (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1), obținem o expresie a puterii de o formă mai simplă a 2·(x+). 1) .

Utilizarea proprietăților gradului

Unul dintre instrumentele principale pentru transformarea expresiilor cu puteri sunt egalitățile care reflectă . Să le amintim pe cele principale. Pentru orice numere pozitive a și b și numere reale arbitrare r și s, următoarele proprietăți ale puterilor sunt adevărate:

• a r ·a s =a r+s ;
• a r:a s =a r−s ;
• (a·b) r =a r ·b r ;
• (a:b) r =a r:b r ;
• (a r) s =a r·s .

Rețineți că pentru exponenții naturali, întregi și pozitivi, restricțiile asupra numerelor a și b pot să nu fie atât de stricte. De exemplu, pentru numerele naturale m și n egalitatea a m ·a n =a m+n este adevărată nu numai pentru a pozitiv, ci și pentru negativ a și pentru a=0.

La școală, atunci când transformăm expresiile puterii, accentul principal este pe capacitatea de a alege proprietatea potrivită și de a o aplica corect. În acest caz, bazele gradelor sunt de obicei pozitive, ceea ce permite ca proprietățile gradelor să fie utilizate fără restricții. Același lucru este valabil și pentru transformarea expresiilor care conțin variabile în bazele puterilor - intervalul de valori admisibile ale variabilelor este de obicei astfel încât bazele să ia numai valori pozitive pe el, ceea ce vă permite să utilizați liber proprietățile puterilor . În general, trebuie să vă întrebați în mod constant dacă este posibil să utilizați vreo proprietate de grade în acest caz, deoarece utilizarea incorectă a proprietăților poate duce la o îngustare a valorii educaționale și la alte probleme. Aceste puncte sunt discutate în detaliu și cu exemple în articolul transformarea expresiilor folosind proprietățile grade. Aici ne vom limita la a lua în considerare câteva exemple simple.

Exemplu.

Exprimați expresia a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 ca o putere cu baza a.

Soluţie.

Mai întâi, transformăm cel de-al doilea factor (a 2) −3 folosind proprietatea de a ridica o putere la o putere: (a 2) −3 =a 2·(−3) =a −6. Expresia originală a puterii va lua forma a 2,5 ·a −6:a −5,5. Evident, rămâne să folosim proprietățile înmulțirii și împărțirii puterilor cu aceeași bază, avem
a 2,5 ·a −6:a −5,5 =
a 2,5−6:a −5,5 =a −3,5:a −5,5 =
a −3,5−(−5,5) =a 2 .

Răspuns:

a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 =a 2.

Proprietățile puterilor la transformarea expresiilor de putere sunt folosite atât de la stânga la dreapta, cât și de la dreapta la stânga.

Exemplu.

Găsiți valoarea expresiei puterii.

Soluţie.

Egalitatea (a·b) r =a r ·b r, aplicată de la dreapta la stânga, ne permite să trecem de la expresia originală la un produs al formei și mai departe. Și atunci când înmulțim puteri cu aceleași baze, exponenții se adună: .

A fost posibil să se transforme expresia originală într-un alt mod:

Răspuns:

.

Exemplu.

Având în vedere expresia puterii a 1,5 −a 0,5 −6, introduceți o nouă variabilă t=a 0,5.

Soluţie.

Gradul a 1,5 poate fi reprezentat ca un 0,5 3 și apoi, pe baza proprietății gradului la gradul (a r) s =a r s, aplicat de la dreapta la stânga, se transformă în forma (a 0,5) 3. Prin urmare, a 1,5 −a 0,5 −6=(a 0,5) 3 −a 0,5 −6. Acum este ușor să introduceți o nouă variabilă t=a 0,5, obținem t 3 −t−6.

Răspuns:

t 3 −t−6 .

Conversia fracțiilor care conțin puteri

Expresiile de putere pot conține sau reprezenta fracții cu puteri. Oricare dintre transformările de bază ale fracțiilor care sunt inerente fracțiilor de orice fel sunt pe deplin aplicabile acestor fracții. Adică, fracțiile care conțin puteri pot fi reduse, reduse la un nou numitor, lucrate separat cu numărătorul lor și separat cu numitorul etc. Pentru a ilustra aceste cuvinte, luați în considerare soluții pentru mai multe exemple.

Exemplu.

Simplificați exprimarea puterii .

Soluţie.

Această expresie a puterii este o fracție. Să lucrăm cu numărătorul și numitorul. La numărător deschidem parantezele și simplificăm expresia rezultată folosind proprietățile puterilor, iar la numitor prezentăm termeni similari:

Și să schimbăm și semnul numitorului punând un minus în fața fracției: .

Răspuns:

.

Reducerea fracțiilor care conțin puteri la un nou numitor se realizează în mod similar cu reducerea fracțiilor raționale la un nou numitor. În acest caz, se găsește și un factor suplimentar și se înmulțesc numărătorul și numitorul fracției cu acesta. Când efectuați această acțiune, merită să ne amintim că reducerea la un nou numitor poate duce la o îngustare a ODZ. Pentru a preveni acest lucru, este necesar ca factorul suplimentar să nu ajungă la zero pentru nicio valoare a variabilelor din variabilele ODZ pentru expresia originală.

Exemplu.

Reduceți fracțiile la un nou numitor: a) la numitorul a, b) la numitor.

Soluţie.

a) În acest caz, este destul de ușor să ne dăm seama care multiplicator suplimentar ajută la obținerea rezultatului dorit. Acesta este un multiplicator de 0,3, deoarece a 0,7 ·a 0,3 =a 0,7+0,3 =a. Rețineți că în intervalul de valori permise ale variabilei a (acesta este mulțimea tuturor numerelor reale pozitive), puterea lui 0,3 nu dispare, prin urmare, avem dreptul de a înmulți numărătorul și numitorul unui anumit număr. fracție de acest factor suplimentar:

b) Aruncând o privire mai atentă la numitor, veți găsi că

iar înmulțirea acestei expresii cu va da suma cuburilor și , adică . Și acesta este noul numitor la care trebuie să reducem fracția inițială.

Așa am găsit un factor suplimentar. În intervalul de valori admisibile ale variabilelor x și y, expresia nu dispare, prin urmare, putem înmulți numărătorul și numitorul fracției cu aceasta:

Răspuns:

A) , b) .

De asemenea, nu este nimic nou în reducerea fracțiilor care conțin puteri: numărătorul și numitorul sunt reprezentați ca un număr de factori, iar aceiași factori ai numărătorului și numitorului sunt reduse.

Exemplu.

Reduceți fracția: a) , b).

Soluţie.

a) În primul rând, numărătorul și numitorul pot fi reduse cu numerele 30 și 45, care este egal cu 15. De asemenea, este evident posibil să se efectueze o reducere cu x 0,5 +1 și cu . Iată ce avem:

b) În acest caz, factori identici la numărător și numitor nu sunt imediat vizibili. Pentru a le obține, va trebui să efectuați transformări preliminare. În acest caz, ele constau în factorizarea numitorului folosind formula diferenței de pătrate:

Răspuns:

A)

b) .

Conversia fracțiilor la un nou numitor și reducerea fracțiilor sunt folosite în principal pentru a face lucruri cu fracții. Acțiunile sunt efectuate conform regulilor cunoscute. La adunarea (scăderea) fracțiilor, acestea se reduc la un numitor comun, după care se adună (se scad) numărătorii, dar numitorul rămâne același. Rezultatul este o fracție al cărei numărător este produsul numărătorilor, iar numitorul este produsul numitorilor. Împărțirea cu o fracție este înmulțirea cu inversul acesteia.

Exemplu.

Urmareste pasii .

Soluţie.

În primul rând, scădem fracțiile din paranteze. Pentru a face acest lucru, îi aducem la un numitor comun, care este , după care scădem numărătorii:

Acum înmulțim fracțiile:

Evident, se poate reduce cu o putere de x 1/2, după care avem .

De asemenea, puteți simplifica expresia puterii în numitor folosind formula diferenței de pătrate: .

Răspuns:

Exemplu.

Simplificați expresia puterii .

Soluţie.

Evident, această fracție poate fi redusă cu (x 2,7 +1) 2, aceasta dă fracția . Este clar că trebuie făcut altceva cu puterile lui X. Pentru a face acest lucru, transformăm fracția rezultată într-un produs. Acest lucru ne oferă posibilitatea de a profita de proprietatea împărțirii puterilor cu aceleași baze: . Și la sfârșitul procesului trecem de la ultimul produs la fracțiune.

Răspuns:

.

Și să mai adăugăm că este posibil, și în multe cazuri de dorit, să se transfere factori cu exponenți negativi de la numărător la numitor sau de la numitor la numărător, schimbând semnul exponentului. Astfel de transformări simplifică adesea acțiunile ulterioare. De exemplu, o expresie de putere poate fi înlocuită cu .

Conversia expresiilor cu rădăcini și puteri

Adesea, în expresiile în care sunt necesare unele transformări, sunt prezente și rădăcini cu exponenți fracționari alături de puteri. Pentru a transforma o astfel de expresie în forma dorită, în cele mai multe cazuri este suficient să mergem doar la rădăcini sau doar la puteri. Dar, din moment ce este mai convenabil să lucrezi cu puteri, acestea se mută de obicei de la rădăcini la puteri. Cu toate acestea, este recomandabil să efectuați o astfel de tranziție atunci când ODZ de variabile pentru expresia originală vă permite să înlocuiți rădăcinile cu puteri fără a fi nevoie să vă referiți la modul sau să împărțiți ODZ-ul în mai multe intervale (am discutat acest lucru în detaliu în trecerea articolului de la rădăcini la puteri și înapoi După ce ne-am familiarizat cu gradul cu exponent rațional se introduce un grad cu un exponent irațional, ceea ce ne permite să vorbim despre un grad cu un exponent real arbitrar În această etapă, începe să fie a studiat la scoala. functie exponentiala, care este dată analitic de o putere, a cărei bază este un număr, iar exponentul este o variabilă. Așadar, ne confruntăm cu expresii de putere care conțin numere în baza puterii, iar în exponent - expresii cu variabile și, firește, apare nevoia de a efectua transformări ale unor astfel de expresii.

Trebuie spus că transformarea expresiilor de tipul indicat trebuie de obicei efectuată la rezolvare ecuații exponențialeȘi inegalități exponențiale, iar aceste conversii sunt destul de simple. În majoritatea covârșitoare a cazurilor, acestea se bazează pe proprietățile gradului și vizează, în cea mai mare parte, introducerea unei noi variabile în viitor. Ecuația ne va permite să le demonstrăm 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

În primul rând, puterile, în exponenții cărora este suma unei anumite variabile (sau expresii cu variabile) și a unui număr, sunt înlocuite cu produse. Acest lucru se aplică primului și ultimului termeni ai expresiei din partea stângă:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

În continuare, ambele părți ale egalității sunt împărțite la expresia 7 2 x, care pe ODZ a variabilei x pentru ecuația originală ia doar valori pozitive (aceasta este o tehnică standard pentru rezolvarea ecuațiilor de acest tip, nu suntem vorbind despre asta acum, așa că concentrează-te pe transformările ulterioare ale expresiilor cu puteri ):

Acum putem anula fracții cu puteri, ceea ce dă .

În cele din urmă, raportul puterilor cu aceiași exponenți este înlocuit cu puteri de relații, rezultând ecuația , care este echivalent . Transformările efectuate ne permit să introducem o nouă variabilă, care reduce soluția ecuației exponențiale inițiale la soluția unei ecuații pătratice

I. V. Boykov, L. D. Romanova Culegere de sarcini pentru pregătirea pentru examenul de stat unificat. Partea 1. Penza 2003.

De ce sunt necesare diplome?

Unde vei avea nevoie de ele?

De ce ar trebui să-ți faci timp să le studiezi?

Pentru a afla TOTUL DESPRE GRADE, citiți acest articol.

Și, bineînțeles, cunoașterea diplomelor vă va aduce mai aproape de promovarea cu succes a examenului de stat unificat.

Și la admiterea la universitatea visurilor tale!

Sa mergem sa mergem!)

PRIMUL NIVEL

Exponentiația este o operație matematică la fel ca adunarea, scăderea, înmulțirea sau împărțirea.

Acum voi explica totul în limbaj uman folosind exemple foarte simple. Atenție. Exemplele sunt elementare, dar explică lucruri importante.

Să începem cu adăugarea.

Nu este nimic de explicat aici. Știți deja totul: suntem opt. Toată lumea are două sticle de cola. Câtă cola este? Așa este - 16 sticle.

Acum înmulțirea.

Același exemplu cu cola poate fi scris diferit: . Matematicienii sunt oameni vicleni și leneși. Ei observă mai întâi unele modele, apoi găsesc o modalitate de a le „număra” mai repede. În cazul nostru, au observat că fiecare dintre cele opt persoane avea același număr de sticle de cola și au venit cu o tehnică numită înmulțire. De acord, este considerat mai ușor și mai rapid decât.

Deci, pentru a număra mai repede, mai ușor și fără erori, trebuie doar să vă amintiți masa înmulțirii. Desigur, poți face totul mai încet, mai greu și cu greșeli! Dar…

Iată tabla înmulțirii. Repeta.

Și încă unul, mai frumos:

Cu ce ​​alte trucuri inteligente de numărare au venit matematicienii leneși? Dreapta - ridicarea unui număr la o putere.

Ridicarea unui număr la o putere

Dacă trebuie să înmulțiți un număr cu el însuși de cinci ori, atunci matematicienii spun că trebuie să ridicați acel număr la puterea a cincea. De exemplu, . Matematicienii își amintesc că puterea doi la a cincea este... Și rezolvă astfel de probleme în capul lor - mai rapid, mai ușor și fără greșeli.

Tot ce trebuie să faci este amintiți-vă ce este evidențiat cu culoare în tabelul puterilor numerelor. Crede-mă, asta îți va face viața mult mai ușoară.

Apropo, de ce se numește gradul doi? pătrat numere, iar al treilea - cub? Ce înseamnă? Foarte buna intrebarea. Acum veți avea atât pătrate, cât și cuburi.

Exemplul #1 din viața reală

Să începem cu pătratul sau a doua putere a numărului.

Imaginați-vă o piscină pătrată care măsoară un metru pe un metru. Piscina este la casa ta. E cald și îmi doresc foarte mult să înot. Dar... piscina nu are fund! Trebuie să acoperiți fundul piscinei cu gresie. De câte plăci ai nevoie? Pentru a determina acest lucru, trebuie să cunoașteți zona de jos a piscinei.

Puteți calcula pur și simplu arătând cu degetul că fundul piscinei este format din cuburi metru cu metru. Dacă aveți plăci de un metru cu un metru, veți avea nevoie de bucăți. E ușor... Dar unde ai văzut astfel de plăci? Placa va fi cel mai probabil cm cu cm Și apoi vei fi torturat „numărând cu degetul”. Atunci trebuie să te înmulți. Așadar, pe o parte a fundului piscinei vom potrivi plăci (bucăți) și pe cealaltă, de asemenea, gresie. Înmulțiți cu și obțineți plăci ().

Ați observat că pentru a determina suprafața fundului piscinei am înmulțit același număr de la sine? Ce înseamnă? Deoarece înmulțim același număr, putem folosi tehnica „exponențiării”. (Desigur, atunci când ai doar două numere, mai trebuie să le înmulți sau să le ridici la o putere. Dar dacă ai multe dintre ele, atunci ridicarea lor la o putere este mult mai ușoară și există și mai puține erori în calcule . Pentru examenul de stat unificat, acest lucru este foarte important).
Deci, treizeci la a doua putere va fi (). Sau putem spune că treizeci de pătrați vor fi. Cu alte cuvinte, a doua putere a unui număr poate fi întotdeauna reprezentată ca un pătrat. Și invers, dacă vezi un pătrat, acesta este ÎNTOTDEAUNA a doua putere a unui număr. Un pătrat este o imagine a celei de-a doua puteri a unui număr.

Exemplul #2 din viața reală

Iată o sarcină pentru tine: numără câte pătrate sunt pe tabla de șah folosind pătratul numărului... Pe o parte a celulelor și pe cealaltă. Pentru a calcula numărul lor, trebuie să înmulțiți opt cu opt sau... dacă observați că o tablă de șah este un pătrat cu o latură, atunci puteți pătra opt. Vei primi celule. () Asa de?

Exemplul #3 din viața reală

Acum, cubul sau a treia putere a unui număr. Aceeași piscină. Dar acum trebuie să aflați câtă apă va trebui turnată în această piscină. Trebuie să calculați volumul. (Volumele și lichidele, apropo, se măsoară în metri cubi. Neașteptat, nu?) Desenați o piscină: fundul are o dimensiune de un metru și un metru adâncime și încercați să calculați câte cuburi măsoară un metru pe un metru. se potrivește în piscina dvs.

Doar arată cu degetul și numără! Unu, doi, trei, patru... douăzeci și doi, douăzeci și trei... Câți ai primit? Nu ai pierdut? E greu să numeri cu degetul? Astfel încât! Luați un exemplu de la matematicieni. Sunt leneși, așa că au observat că, pentru a calcula volumul piscinei, trebuie să-i înmulțiți lungimea, lățimea și înălțimea între ele. În cazul nostru, volumul bazinului va fi egal cu cuburi... Mai ușor, nu?

Acum imaginați-vă cât de leneși și vicleni sunt matematicienii dacă ar simplifica și acest lucru. Am redus totul la o singură acțiune. Au observat că lungimea, lățimea și înălțimea sunt egale și că același număr se înmulțește cu el însuși... Ce înseamnă asta? Asta înseamnă că poți profita de grad. Deci, ceea ce ați numărat cândva cu degetul, ei fac într-o singură acțiune: trei cuburi sunt egali. Este scris astfel: .

Tot ce rămâne este amintiți-vă tabelul gradelor. Dacă, desigur, nu ești la fel de leneș și viclean ca matematicienii. Dacă îți place să muncești din greu și să faci greșeli, poți continua să numeri cu degetul.

Ei bine, pentru a te convinge în sfârșit că diplomele au fost inventate de cei care au renunțat și de oameni vicleni pentru a-și rezolva problemele vieții și nu pentru a-ți crea probleme, iată încă câteva exemple din viață.

Exemplul #4 din viața reală

Ai un milion de ruble. La începutul fiecărui an, pentru fiecare milion pe care îl câștigi, faci încă un milion. Adică, fiecare milion de ai tăi se dublează la începutul fiecărui an. Câți bani vei avea peste ani? Dacă stai acum și „numărați cu degetul”, atunci ești o persoană foarte muncitoare și... proastă. Dar cel mai probabil vei da un răspuns în câteva secunde, pentru că ești inteligent! Deci, în primul an - doi înmulțit cu doi... în al doilea an - ce s-a întâmplat, cu încă doi, în al treilea an... Stop! Ai observat că numărul se înmulțește de ori cu el însuși. Deci doi la a cincea putere este un milion! Acum imaginați-vă că aveți o competiție și cel care poate număra cel mai repede va primi aceste milioane... Merită să vă amintiți puterile numerelor, nu crezi?

Exemplul #5 din viața reală

Ai un milion. La începutul fiecărui an, pentru fiecare milion pe care îl câștigi, mai câștigi două. Grozav nu? Fiecare milion este triplat. Câți bani vei avea într-un an? Hai să numărăm. Primul an - înmulțiți cu, apoi rezultatul cu altul... Este deja plictisitor, pentru că ați înțeles deja totul: trei se înmulțesc de la sine ori. Deci la a patra putere este egal cu un milion. Trebuie doar să vă amintiți că trei până la a patra putere este sau.

Acum știi că, ridicând un număr la o putere, îți vei face viața mult mai ușoară. Să aruncăm o privire în continuare la ceea ce poți face cu diplome și ce trebuie să știi despre ele.

Termeni și concepte... ca să nu se încurce

Deci, mai întâi, să definim conceptele. Ce crezi, ce este un exponent? Este foarte simplu - este numărul care se află „în partea de sus” a puterii numărului. Nu științific, dar clar și ușor de reținut...

Ei bine, în același timp, ce o astfel de bază de grad? Și mai simplu - acesta este numărul care se află mai jos, la bază.

Iată un desen pentru o măsură bună.

Ei bine, în termeni generali, pentru a generaliza și a reține mai bine... Un grad cu o bază „ ” și un exponent „ ” se citește „la grad” și se scrie după cum urmează:

Puterea unui număr cu exponent natural

Probabil ați ghicit deja: pentru că exponentul este un număr natural. Da, dar ce este numar natural? Elementar! Numerele naturale sunt acele numere care sunt folosite la numărare la enumerarea obiectelor: unu, doi, trei... Când numărăm obiecte, nu spunem: „minus cinci”, „minus șase”, „minus șapte”. De asemenea, nu spunem: „o treime” sau „zero virgulă cinci”. Acestea nu sunt numere naturale. Ce numere crezi că sunt acestea?

Se referă numere precum „minus cinci”, „minus șase”, „minus șapte”. numere întregi.În general, numerele întregi includ toate numerele naturale, numerele opuse numerelor naturale (adică luate cu semnul minus) și numărul. Zero este ușor de înțeles - este atunci când nu există nimic. Ce înseamnă numerele negative („minus”)? Dar au fost inventate în primul rând pentru a indica datorii: dacă aveți un sold pe telefon în ruble, aceasta înseamnă că datorați ruble operatorului.

Toate fracțiile sunt numere raționale. Cum au apărut, crezi? Foarte simplu. Cu câteva mii de ani în urmă, strămoșii noștri au descoperit că le lipsesc numerele naturale care să măsoare lungimea, greutatea, suprafața etc. Și au venit cu numere rationale... Interesant, nu-i așa?

Există și numere iraționale. Care sunt aceste numere? Pe scurt, este o fracție zecimală infinită. De exemplu, dacă împărțiți circumferința unui cerc la diametrul acestuia, obțineți un număr irațional.

Rezumat:

Să definim conceptul de grad al cărui exponent este un număr natural (adică, întreg și pozitiv).

1. Orice număr la prima putere este egal cu el însuși:
2. A pătra un număr înseamnă a-l înmulți cu el însuși:
3. A cubi un număr înseamnă a-l înmulți cu el însuși de trei ori:

Definiție. A ridica un număr la o putere naturală înseamnă a înmulți numărul cu el însuși de ori:
.

Proprietățile grade

De unde au venit aceste proprietăți? Îți voi arăta acum.

Să vedem: ce este Și ?

Prioritate A:

Câți multiplicatori există în total?

Este foarte simplu: am adăugat multiplicatori la factori, iar rezultatul sunt multiplicatori.

Dar, prin definiție, aceasta este o putere a unui număr cu un exponent, adică: , care este ceea ce trebuia demonstrat.

Exemplu: Simplificați expresia.

Soluţie:

Exemplu: Simplificați expresia.

Soluţie: Este important de reținut că în regula noastră Neapărat trebuie sa fie aceleasi motive!
Prin urmare, combinăm puterile cu baza, dar rămâne un factor separat:

numai pentru produsul puterilor!

Sub nicio formă nu poți scrie asta.

2. asta e puterea a unui număr

La fel ca în cazul proprietății anterioare, să ne întoarcem la definiția gradului:

Se dovedește că expresia este înmulțită cu ea însăși ori, adică, conform definiției, aceasta este puterea a treia a numărului:

În esență, aceasta poate fi numită „scoaterea indicatorului din paranteze”. Dar nu poți face niciodată asta în total:

Să ne amintim de formulele de înmulțire prescurtate: de câte ori am vrut să scriem?

Dar asta nu este adevărat, până la urmă.

Putere cu bază negativă

Până în acest punct, am discutat doar care ar trebui să fie exponentul.

Dar care ar trebui să fie baza?

În puteri de indicator natural baza poate fi orice număr. Într-adevăr, putem înmulți orice numere unul cu celălalt, fie ele pozitive, negative sau chiar.

Să ne gândim ce semne ("" sau "") vor avea grade de numere pozitive și negative?

De exemplu, numărul este pozitiv sau negativ? A? ? Cu primul, totul este clar: indiferent câte numere pozitive am înmulți unul cu celălalt, rezultatul va fi pozitiv.

Dar cele negative sunt puțin mai interesante. Ne amintim de regula simplă din clasa a VI-a: „minus pentru minus dă un plus”. Adică sau. Dar dacă înmulțim cu, funcționează.

Determinați singur ce semn vor avea următoarele expresii:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Ai reușit?

Iată răspunsurile: În primele patru exemple, sper că totul este clar? Pur și simplu ne uităm la bază și exponent și aplicăm regula corespunzătoare.

În exemplul 5), totul nu este atât de înfricoșător pe cât pare: la urma urmei, nu contează cu ce este egală baza - gradul este egal, ceea ce înseamnă că rezultatul va fi întotdeauna pozitiv.

Ei bine, cu excepția cazului în care baza este zero. Baza nu este egală, nu-i așa? Evident că nu, din moment ce (pentru că).

Exemplul 6) nu mai este atât de simplu!

6 exemple de exersat

Analiza soluției 6 exemple

Întreg numim numerele naturale, contrariile lor (adică luate cu semnul " ") și numărul.

număr întreg pozitiv, și nu este diferit de natural, atunci totul arată exact ca în secțiunea anterioară.

Acum să ne uităm la cazuri noi. Să începem cu un indicator egal cu.

Orice număr la puterea zero este egal cu unu:

Ca întotdeauna, să ne întrebăm: de ce este așa?

Să luăm în considerare un anumit grad cu o bază. Luați, de exemplu, și înmulțiți cu:

Deci, am înmulțit numărul cu și am obținut același lucru ca și - . Cu ce ​​număr ar trebui să înmulțiți ca să nu se schimbe nimic? Așa e, pe. Mijloace.

Putem face același lucru cu un număr arbitrar:

Să repetăm ​​regula:

Orice număr la puterea zero este egal cu unu.

Dar există excepții de la multe reguli. Și aici este și acolo - acesta este un număr (ca bază).

Pe de o parte, trebuie să fie egal cu orice grad - indiferent cât de mult ai înmulți zero de la sine, vei obține în continuare zero, acest lucru este clar. Dar, pe de altă parte, ca orice număr la puterea zero, trebuie să fie egal. Deci cât de mult din asta este adevărat? Matematicienii au decis să nu se implice și au refuzat să ridice zero la puterea zero. Adică, acum nu putem nu numai să împărțim la zero, ci și să o ridicăm la puterea zero.

Sa trecem peste. Pe lângă numerele naturale și numerele, numerele întregi includ și numere negative. Pentru a înțelege ce este o putere negativă, să facem ca data trecută: înmulțim un număr normal cu același număr la o putere negativă:

De aici este ușor să exprimi ceea ce cauți:

Acum să extindem regula rezultată într-un grad arbitrar:

Deci, haideți să formulăm o regulă:

Un număr cu putere negativă este reciproca aceluiași număr cu putere pozitivă. Dar in acelasi timp Baza nu poate fi nulă:(pentru că nu poți împărți cu).

Să rezumam:

Sarcini pentru soluție independentă:

Ei bine, ca de obicei, exemple pentru soluții independente:

Analiza problemelor pentru rezolvare independentă:

Știu, știu, cifrele sunt înfricoșătoare, dar la examenul de stat unificat trebuie să fii pregătit pentru orice! Rezolvă aceste exemple sau analizează-le soluțiile dacă nu le-ai putut rezolva și vei învăța să le faci față cu ușurință la examen!

Să continuăm să extindem gama de numere „adecvate” ca exponent.

Acum să luăm în considerare numere rationale. Ce numere se numesc raționale?

Răspuns: tot ceea ce poate fi reprezentat ca o fracție, unde și sunt numere întregi și.

Pentru a înțelege ce este "grad fractionar", luați în considerare fracția:

Să ridicăm ambele părți ale ecuației la o putere:

Acum să ne amintim regula despre "grad la grad":

Ce număr trebuie ridicat la o putere pentru a obține?

Această formulare este definiția rădăcinii gradului al treilea.

Permiteți-mi să vă reamintesc: rădăcina puterii-a a unui număr () este un număr care, atunci când este ridicat la o putere, este egal cu.

Adică rădăcina puterii-a este operația inversă de ridicare la o putere: .

Se pare că. Evident, acest caz special poate fi extins: .

Acum adăugăm numărătorul: ce este? Răspunsul este ușor de obținut folosind regula putere-la-putere:

Dar baza poate fi orice număr? La urma urmei, rădăcina nu poate fi extrasă din toate numerele.

Nici unul!

Să ne amintim regula: orice număr ridicat la o putere pară este un număr pozitiv. Adică, este imposibil să extragi chiar și rădăcini din numere negative!

Aceasta înseamnă că astfel de numere nu pot fi ridicate la o putere fracțională cu un numitor par, adică expresia nu are sens.

Dar expresia?

Dar aici apare o problemă.

Un număr poate fi reprezentat ca alte fracții reductibile, de exemplu, sau.

Și se dovedește că există, dar nu există, dar acestea sunt doar două înregistrări diferite ale aceluiași număr.

Sau un alt exemplu: o dată, atunci îl poți nota. Dar dacă notăm diferit indicatorul, vom avea din nou probleme: (adică am obținut un cu totul alt rezultat!).

Pentru a evita astfel de paradoxuri, luăm în considerare numai exponent de bază pozitiv cu exponent fracționar.

Astfel, dacă:

• - numar natural;
• - întreg;

Exemple:

Exponenții raționali sunt foarte utili pentru transformarea expresiilor cu rădăcini, de exemplu:

5 exemple de exersat

Analiza a 5 exemple pentru antrenament

Ei bine, acum vine partea cea mai grea. Acum ne vom da seama grad cu exponent irațional.

Toate regulile și proprietățile gradelor de aici sunt exact aceleași ca pentru un grad cu un exponent rațional, cu excepția

La urma urmei, prin definiție, numerele iraționale sunt numere care nu pot fi reprezentate ca o fracție, unde și sunt numere întregi (adică numerele iraționale sunt toate numere reale, cu excepția celor raționale).

Când studiem grade cu exponenți naturali, întregi și raționali, de fiecare dată am creat o anumită „imagine”, „analogie” sau descriere în termeni mai familiari.

De exemplu, un grad cu exponent natural este un număr înmulțit cu el însuși de mai multe ori;

...număr la puterea zero- acesta este, așa cum ar fi, un număr înmulțit cu el însuși o dată, adică nu au început încă să-l înmulțească, ceea ce înseamnă că numărul în sine nici măcar nu a apărut încă - prin urmare, rezultatul este doar un anumit „număr gol” , și anume un număr;

...gradul întreg negativ- este ca și cum ar fi avut loc un „proces invers”, adică numărul nu a fost înmulțit cu el însuși, ci împărțit.

Apropo, în știință este adesea folosită o diplomă cu un exponent complex, adică exponentul nu este nici măcar un număr real.

Dar la școală nu ne gândim la astfel de dificultăți, vei avea ocazia să înțelegi aceste concepte noi la institut.

UNDE SUNTEM SIGURANȚI VOI MERGI! (daca inveti sa rezolvi astfel de exemple :))

De exemplu:

Decide pentru tine:

Analiza solutiilor:

1. Să începem cu regula obișnuită pentru ridicarea unei puteri la o putere:

NIVEL AVANSAT

Determinarea gradului

Un grad este o expresie de forma: , unde:

• — baza gradului;
• - exponent.

Gradul cu indicator natural (n = 1, 2, 3,...)

Ridicarea unui număr la puterea naturală n înseamnă înmulțirea numărului cu el însuși de ori:

Gradul cu un exponent întreg (0, ±1, ±2,...)

Dacă exponentul este număr întreg pozitiv număr:

Constructie la gradul zero:

Expresia este nedefinită, deoarece, pe de o parte, în orice grad este aceasta, iar pe de altă parte, orice număr până la gradul al treilea este aceasta.

Dacă exponentul este întreg negativ număr:

(pentru că nu poți împărți cu).

Încă o dată despre zerouri: expresia nu este definită în caz. Daca atunci.

Exemple:

Putere cu exponent rațional

• - numar natural;
• - întreg;

Exemple:

Proprietățile grade

Pentru a facilita rezolvarea problemelor, să încercăm să înțelegem: de unde provin aceste proprietăți? Să le dovedim.

Să vedem: ce este și?

Prioritate A:

Deci, în partea dreaptă a acestei expresii obținem următorul produs:

Dar, prin definiție, este o putere a unui număr cu exponent, adică:

Q.E.D.

Exemplu : Simplificați expresia.

Soluţie : .

Exemplu : Simplificați expresia.

Soluţie : Este important de reținut că în regula noastră Neapărat trebuie să existe aceleași motive. Prin urmare, combinăm puterile cu baza, dar rămâne un factor separat:

O altă notă importantă: această regulă - numai pentru produs de puteri!

Sub nicio formă nu poți scrie asta.

La fel ca în cazul proprietății anterioare, să ne întoarcem la definiția gradului:

Să rearanjam această lucrare astfel:

Se dovedește că expresia este înmulțită cu ea însăși ori, adică, conform definiției, aceasta este puterea a treia a numărului:

În esență, aceasta poate fi numită „scoaterea indicatorului din paranteze”. Dar nu poți face niciodată asta în total: !

Să ne amintim de formulele de înmulțire prescurtate: de câte ori am vrut să scriem? Dar acest lucru nu este adevărat, până la urmă.

Putere cu o bază negativă.

Până acum am discutat doar cum ar trebui să fie index grade. Dar care ar trebui să fie baza? În puteri de natural indicator baza poate fi orice număr .

Într-adevăr, putem înmulți orice numere unul cu celălalt, fie ele pozitive, negative sau chiar. Să ne gândim ce semne ("" sau "") vor avea grade de numere pozitive și negative?

De exemplu, numărul este pozitiv sau negativ? A? ?

Cu primul, totul este clar: indiferent câte numere pozitive am înmulți unul cu celălalt, rezultatul va fi pozitiv.

Dar cele negative sunt puțin mai interesante. Ne amintim de regula simplă din clasa a VI-a: „minus pentru minus dă un plus”. Adică sau. Dar dacă înmulțim cu (), obținem - .

Și așa mai departe la infinit: cu fiecare înmulțire ulterioară semnul se va schimba. Se pot formula următoarele reguli simple:

1. chiar grad, - număr pozitiv.
2. Număr negativ crescut la ciudat grad, - număr negativ.
3. Un număr pozitiv în orice grad este un număr pozitiv.
4. Zero la orice putere este egal cu zero.

Determinați singur ce semn vor avea următoarele expresii:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Ai reușit? Iată răspunsurile:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

În primele patru exemple, sper că totul este clar? Pur și simplu ne uităm la bază și exponent și aplicăm regula corespunzătoare.

În exemplul 5), totul nu este atât de înfricoșător pe cât pare: la urma urmei, nu contează cu ce este egală baza - gradul este egal, ceea ce înseamnă că rezultatul va fi întotdeauna pozitiv. Ei bine, cu excepția cazului în care baza este zero. Baza nu este egală, nu-i așa? Evident că nu, din moment ce (pentru că).

Exemplul 6) nu mai este atât de simplu. Aici trebuie să aflați care este mai puțin: sau? Dacă ne amintim asta, devine clar că, ceea ce înseamnă că baza este mai mică decât zero. Adică aplicăm regula 2: rezultatul va fi negativ.

Și din nou folosim definiția gradului:

Totul este ca de obicei - notăm definiția gradelor și le împărțim unul la altul, le împărțim în perechi și obținem:

Înainte de a ne uita la ultima regulă, să rezolvăm câteva exemple.

Calculați expresiile:

Soluții :

Să revenim la exemplu:

Și din nou formula:

Deci acum ultima regulă:

Cum o vom demonstra? Desigur, ca de obicei: să extindem conceptul de diplomă și să-l simplificăm:

Ei bine, acum să deschidem parantezele. Câte litere sunt în total? ori prin multiplicatori - de ce vă amintește asta? Aceasta nu este altceva decât o definiție a operațiunii multiplicare: Erau doar multiplicatori acolo. Adică aceasta, prin definiție, este o putere a unui număr cu un exponent:

Exemplu:

Gradul cu exponent irațional

Pe lângă informații despre grade pentru nivelul mediu, vom analiza gradul cu un exponent irațional. Toate regulile și proprietățile gradelor de aici sunt exact aceleași ca pentru un grad cu exponent rațional, cu excepția - la urma urmei, prin definiție, numerele iraționale sunt numere care nu pot fi reprezentate ca o fracție, unde și sunt numere întregi (adică , numerele iraționale sunt toate numere reale, cu excepția numerelor raționale).

Când studiem grade cu exponenți naturali, întregi și raționali, de fiecare dată am creat o anumită „imagine”, „analogie” sau descriere în termeni mai familiari. De exemplu, un grad cu exponent natural este un număr înmulțit cu el însuși de mai multe ori; un număr la puterea zero este, așa cum ar fi, un număr înmulțit cu el însuși o dată, adică nu au început încă să-l înmulțească, ceea ce înseamnă că numărul în sine nici măcar nu a apărut încă - prin urmare rezultatul este doar un anumit „număr necompletat”, și anume un număr; un grad cu un exponent negativ întreg - este ca și cum ar fi avut loc un „proces invers”, adică numărul nu a fost înmulțit cu el însuși, ci împărțit.

Este extrem de dificil să-ți imaginezi un grad cu un exponent irațional (la fel cum este dificil să-ți imaginezi un spațiu cu 4 dimensiuni). Este mai degrabă un obiect pur matematic pe care matematicienii l-au creat pentru a extinde conceptul de grad la întregul spațiu al numerelor.

Apropo, în știință se folosește adesea o diplomă cu un exponent complex, adică exponentul nu este nici măcar un număr real. Dar la școală nu ne gândim la astfel de dificultăți, vei avea ocazia să înțelegi aceste concepte noi la institut.

Deci, ce facem dacă vedem un exponent irațional? Facem tot posibilul să scăpăm de ea! :)

De exemplu:

Decide pentru tine:

1)

2)

3)

Raspunsuri:

REZUMATUL SECȚIUNII ȘI FORMULELE DE BAZĂ

grad numită expresie de forma: , unde:

Gradul cu un exponent întreg

un grad al cărui exponent este un număr natural (adică, întreg și pozitiv).

Putere cu exponent rațional

grad, al cărui exponent este numerele negative și fracționale.

Gradul cu exponent irațional

un grad al cărui exponent este o fracție zecimală infinită sau rădăcină.

Proprietățile grade

Caracteristicile diplomelor.

• Număr negativ crescut la chiar grad, - număr pozitiv.
• Număr negativ crescut la ciudat grad, - număr negativ.
• Un număr pozitiv în orice grad este un număr pozitiv.
• Zero este egal cu orice putere.
• Orice număr până la puterea zero este egal.

ACUM AI CUVÂNTUL...

Cum îți place articolul? Scrie mai jos în comentarii dacă ți-a plăcut sau nu.

Povestește-ne despre experiența ta de utilizare a proprietăților de grad.

Poate ai intrebari. Sau sugestii.

Scrieți în comentarii.

Și mult succes la examene!

Ei bine, subiectul s-a terminat. Dacă citești aceste rânduri, înseamnă că ești foarte cool.

Pentru că doar 5% dintre oameni sunt capabili să stăpânească ceva pe cont propriu. Și dacă citești până la capăt, atunci ești în acest 5%!

Acum cel mai important lucru.

Ați înțeles teoria pe această temă. Și, repet, asta... asta este pur și simplu super! Ești deja mai bun decât marea majoritate a colegilor tăi.

Problema este că acest lucru poate să nu fie suficient...

Pentru ce?

Pentru promovarea cu succes a Examenului Unificat de Stat, pentru intrarea la facultate cu buget redus și, CEL MAI IMPORTANT, pe viață.

Nu te voi convinge de nimic, o să spun doar un lucru...

Oamenii care au primit o educație bună câștigă mult mai mult decât cei care nu au primit-o. Aceasta este statistica.

Dar acesta nu este principalul lucru.

Principalul lucru este că sunt MAI FERICIȚI (există astfel de studii). Poate pentru că mai multe oportunități se deschid în fața lor și viața devine mai strălucitoare? nu stiu...

Dar gandeste-te singur...

Ce este nevoie pentru a fi sigur că ești mai bun decât alții la examenul de stat unificat și, în cele din urmă, fii... mai fericit?

CĂGAȚI-VĂ MÂNĂ PRIN REZOLVAREA PROBLEMELOR PE ACEST TEMA.

Nu ți se va cere teorie în timpul examenului.

Vei avea nevoie rezolva problemele in timp.

Și, dacă nu le-ați rezolvat (MULTE!), cu siguranță veți face o greșeală stupidă undeva sau pur și simplu nu veți avea timp.

Este ca în sport - trebuie să o repeți de multe ori pentru a câștiga cu siguranță.

Găsiți colecția oriunde doriți, neaparat cu solutii, analiza detaliata si decide, decide, decide!

Puteți folosi sarcinile noastre (opțional) și noi, desigur, le recomandăm.

Pentru a folosi mai bine sarcinile noastre, trebuie să contribuiți la prelungirea duratei de viață a manualului YouClever pe care îl citiți în prezent.

Cum? Există două opțiuni:

1. Deblocați toate sarcinile ascunse din acest articol -
2. Deblocați accesul la toate sarcinile ascunse din toate cele 99 de articole ale manualului - Cumpărați un manual - 899 RUR

Da, avem 99 de astfel de articole în manualul nostru și accesul la toate sarcinile și toate textele ascunse din ele poate fi deschis imediat.

Accesul la toate sarcinile ascunse este asigurat pe toată durata de viață a site-ului.

În concluzie...

Dacă nu vă plac sarcinile noastre, găsiți altele. Doar nu te opri la teorie.

„Înțeles” și „Pot rezolva” sunt abilități complet diferite. Ai nevoie de amândouă.

Găsiți probleme și rezolvați-le!

În acest material ne vom uita la ce este puterea unui număr. Pe lângă definițiile de bază, vom formula ce sunt puterile cu exponenți naturali, întregi, raționali și iraționali. Ca întotdeauna, toate conceptele vor fi ilustrate cu exemple de probleme.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Mai întâi, să formulăm definiția de bază a unui grad cu un exponent natural. Pentru a face acest lucru, trebuie să ne amintim regulile de bază ale înmulțirii. Să lămurim dinainte că deocamdată vom lua ca bază un număr real (notat cu litera a) și un număr natural ca indicator (notat cu litera n).

Definiția 1

Puterea unui număr a cu exponent natural n este produsul celui de-al n-lea număr de factori, fiecare dintre care este egal cu numărul a. Gradul este scris astfel: un n, iar sub forma unei formule compoziția sa poate fi reprezentată după cum urmează:

De exemplu, dacă exponentul este 1 și baza este a, atunci prima putere a lui a se scrie ca a 1. Având în vedere că a este valoarea factorului și 1 este numărul de factori, putem concluziona că a 1 = a.

În general, putem spune că o diplomă este o formă convenabilă de a scrie un număr mare de factori egali. Deci, o înregistrare a formularului 8 8 8 8 poate fi scurtat la 8 4 . În același mod, produsul ne ajută să evităm să scriem un număr mare de termeni (8 + 8 + 8 + 8 = 8 · 4); Am discutat deja despre acest lucru în articolul dedicat înmulțirii numerelor naturale.

Cum să citești corect intrarea la diplomă? Opțiunea general acceptată este „a la puterea lui n”. Sau puteți spune „a-a putere a unei” sau „a-a putere”. Dacă, să spunem, în exemplu am întâlnit intrarea 8 12 , putem citi „8 la puterea a 12-a”, „8 la puterea lui 12” sau „puterea a 12-a a 8”.

Puterea a doua și a treia a numerelor au propriile nume stabilite: pătrat și cub. Dacă vedem a doua putere, de exemplu, numărul 7 (7 2), atunci putem spune „7 pătrat” sau „pătrat al numărului 7”. În mod similar, gradul al treilea se citește astfel: 5 3 - acesta este „cubul numărului 5” sau „5 cub”. Cu toate acestea, puteți utiliza și formula standard „la a doua/a treia putere” aceasta nu va fi o greșeală.

Exemplul 1

Să ne uităm la un exemplu de grad cu exponent natural: pentru 5 7 cinci va fi baza, iar șapte va fi exponentul.

Baza nu trebuie să fie un număr întreg: pentru grad (4 , 32) 9 baza va fi fracția 4, 32, iar exponentul va fi nouă. Atenție la paranteze: această notație se face pentru toate puterile ale căror baze diferă de numerele naturale.

De exemplu: 1 2 3, (- 3) 12, - 2 3 5 2, 2, 4 35 5, 7 3.

Pentru ce sunt parantezele? Ele ajută la evitarea erorilor în calcule. Să presupunem că avem două intrări: (− 2) 3 Și − 2 3 . Primul dintre acestea înseamnă un număr negativ minus doi ridicat la o putere cu un exponent natural de trei; al doilea este numărul corespunzător valorii opuse a gradului 2 3 .

Uneori, în cărți puteți găsi o ortografie ușor diferită a puterii unui număr - a^n(unde a este baza și n este exponentul). Adică, 4^9 este la fel ca 4 9 . Dacă n este un număr format din mai multe cifre, acesta este plasat între paranteze. De exemplu, 15 ^ (21) , (− 3 , 1) ^ (156) . Dar vom folosi notația un n ca mai frecvente.

Este ușor să ghiciți cum să calculați valoarea unui exponent cu un exponent natural din definiția acestuia: trebuie doar să înmulțiți un n-lea număr de ori. Am scris mai multe despre asta într-un alt articol.

Conceptul de grad este inversul altui concept matematic - rădăcina unui număr. Dacă știm valoarea puterii și a exponentului, putem calcula baza acesteia. Gradul are unele proprietăți specifice care sunt utile pentru rezolvarea problemelor, despre care am discutat într-un material separat.

Exponenții pot include nu numai numere naturale, ci și orice valori întregi în general, inclusiv cele negative și zerouri, deoarece aparțin și mulțimii numerelor întregi.

Definiția 2

Puterea unui număr cu un exponent întreg pozitiv poate fi reprezentată sub formă de formulă: .

În acest caz, n este orice număr întreg pozitiv.

Să înțelegem conceptul de grad zero. Pentru a face acest lucru, folosim o abordare care ia în considerare proprietatea coeficientului pentru puteri cu baze egale. Este formulat astfel:

Definiția 3

Egalitatea a m: a n = a m − n va fi adevărată în următoarele condiții: m și n sunt numere naturale, m< n , a ≠ 0 .

Ultima condiție este importantă deoarece evită împărțirea la zero. Dacă valorile lui m și n sunt egale, atunci obținem următorul rezultat: a n: a n = a n − n = a 0

Dar în același timp a n: a n = 1 este câtul de numere egale un n si a. Se pare că puterea zero a oricărui număr diferit de zero este egală cu unu.

Cu toate acestea, o astfel de demonstrație nu se aplică la zero la puterea zero. Pentru a face acest lucru, avem nevoie de o altă proprietate a puterilor - proprietatea produselor de puteri cu baze egale. Arata cam asa: a m · a n = a m + n .

Dacă n este egal cu 0, atunci a m · a 0 = a m(această egalitate ne demonstrează și că a 0 = 1). Dar dacă și este, de asemenea, egal cu zero, egalitatea noastră ia forma 0 m · 0 0 = 0 m, Va fi adevărat pentru orice valoare naturală a lui n și nu contează exact cu ce valoarea gradului este egală cu 0 0 , adică poate fi egal cu orice număr, iar acest lucru nu va afecta acuratețea egalității. Prin urmare, o notație a formei 0 0 nu are propriul ei înțeles special și nu i-o vom atribui.

Dacă doriți, este ușor să verificați asta a 0 = 1 converge cu proprietatea gradului (a m) n = a m n cu condiția ca baza gradului să nu fie zero. Astfel, puterea oricărui număr diferit de zero cu exponent zero este unu.

Exemplul 2

Să ne uităm la un exemplu cu numere specifice: Deci, 5 0 - unitate, (33 , 3) 0 = 1 , - 4 5 9 0 = 1 , iar valoarea 0 0 nedefinit.

După gradul zero, trebuie doar să ne dăm seama ce este un grad negativ. Pentru a face acest lucru, avem nevoie de aceeași proprietate a produsului puterilor cu baze egale pe care am folosit-o deja mai sus: a m · a n = a m + n.

Să introducem condiția: m = − n, atunci a nu trebuie să fie egal cu zero. Rezultă că a − n · a n = a − n + n = a 0 = 1. Se dovedește că un n și a−n avem numere reciproc reciproce.

Ca rezultat, a la puterea totală negativă nu este altceva decât fracția 1 a n.

Această formulare confirmă că pentru un grad cu un exponent întreg negativ sunt valabile toate aceleași proprietăți pe care le are un grad cu un exponent natural (cu condiția ca baza să nu fie egală cu zero).

Exemplul 3

O putere a cu un exponent întreg negativ n poate fi reprezentată ca o fracție 1 a n . Astfel, a - n = 1 a n supus a ≠ 0 iar n este orice număr natural.

Să ilustrăm ideea noastră cu exemple specifice:

Exemplul 4

3 - 2 = 1 3 2 , (- 4 . 2) - 5 = 1 (- 4 . 2) 5 , 11 37 - 1 = 1 11 37 1

În ultima parte a paragrafului, vom încerca să descriem clar tot ceea ce a fost spus într-o singură formulă:

Definiția 4

Puterea unui număr cu exponent natural z este: a z = a z, e cu l și z - întreg pozitiv 1, z = 0 și a ≠ 0, (pentru z = 0 și a = 0 rezultatul este 0 0, valorile expresiei 0 0 nu sunt definite) 1 a z, dacă și z este un întreg negativ și a ≠ 0 (dacă z este un întreg negativ și a = 0, obțineți 0 z, egoz valoarea este nedeterminată)

Ce sunt puterile cu un exponent rațional?

Am examinat cazurile în care exponentul conține un număr întreg. Cu toate acestea, puteți ridica un număr la o putere chiar și atunci când exponentul său conține un număr fracționar. Aceasta se numește o putere cu un exponent rațional. În această secțiune vom demonstra că are aceleași proprietăți ca și alte puteri.

Ce sunt numerele raționale? Setul lor include atât numere întregi, cât și numere fracționale, iar numerele fracționale pot fi reprezentate ca fracții obișnuite (atât pozitive, cât și negative). Să formulăm definiția puterii unui număr a cu exponent fracționar m / n, unde n este un număr natural și m este un număr întreg.

Avem un anumit grad cu un exponent fracționar a m n . Pentru ca proprietatea puterii de a putere să fie valabilă, egalitatea a m n n = a m n · n = a m trebuie să fie adevărată.

Având în vedere definiția rădăcinii a n-a și că a m n n = a m, putem accepta condiția a m n = a m n dacă a m n are sens pentru valorile date ale lui m, n și a.

Proprietățile de mai sus ale unui grad cu exponent întreg vor fi adevărate în condiția a m n = a m n .

Concluzia principală din raționamentul nostru este următoarea: puterea unui anumit număr a cu un exponent fracționar m / n este rădăcina a n-a a numărului a la puterea m. Acest lucru este adevărat dacă, pentru valorile date ale lui m, n și a, expresia a m n rămâne semnificativă.

1. Putem limita valoarea bazei gradului: să luăm a, care pentru valorile pozitive ale lui m va fi mai mare sau egală cu 0, iar pentru valori negative - strict mai mică (deoarece pentru m ≤ 0 primim 0 m, dar un astfel de grad nu este definit). În acest caz, definiția unui grad cu un exponent fracționar va arăta astfel:

O putere cu un exponent fracționar m/n pentru un număr pozitiv a este rădăcina a n-a a lui a ridicată la puterea m. Aceasta poate fi exprimată sub formă de formulă:

Pentru o putere cu o bază zero, această prevedere este de asemenea potrivită, dar numai dacă exponentul său este un număr pozitiv.

O putere cu o bază zero și un exponent pozitiv fracționar m/n poate fi exprimată ca

0 m n = 0 m n = 0 cu condiția ca m este un număr întreg pozitiv și n este un număr natural.

Pentru un raport negativ m n< 0 степень не определяется, т.е. такая запись смысла не имеет.

Să notăm un punct. Deoarece am introdus condiția ca a să fie mai mare sau egal cu zero, am ajuns să renunțăm la unele cazuri.

Expresia a m n uneori mai are sens pentru unele valori negative ale lui a și unele m. Astfel, intrările corecte sunt (- 5) 2 3, (- 1, 2) 5 7, - 1 2 - 8 4, în care baza este negativă.

2. A doua abordare este de a considera separat rădăcina a m n cu exponenți pari și impari. Atunci va trebui să mai introducem o condiție: gradul a, în exponentul căruia există o fracție ordinară reductibilă, este considerat a fi gradul a, în exponentul căruia se află fracția ireductibilă corespunzătoare. Mai târziu vom explica de ce avem nevoie de această afecțiune și de ce este atât de importantă. Astfel, dacă avem notația a m · k n · k , atunci o putem reduce la a m n și simplifica calculele.

Dacă n este un număr impar și valoarea lui m este pozitivă și a este orice număr nenegativ, atunci a m n are sens. Condiția ca a să fie nenegativ este necesară deoarece o rădăcină de grad par nu poate fi extrasă dintr-un număr negativ. Dacă valoarea lui m este pozitivă, atunci a poate fi atât negativ, cât și zero, deoarece Rădăcina impară poate fi luată din orice număr real.

Să combinăm toate definițiile de mai sus într-o singură intrare:

Aici m/n înseamnă o fracție ireductibilă, m este orice număr întreg și n este orice număr natural.

Definiția 5

Pentru orice fracție reductibilă obișnuită m · k n · k gradul poate fi înlocuit cu a m n .

Puterea unui număr a cu un exponent fracționar ireductibil m / n – poate fi exprimată ca a m n în următoarele cazuri: - pentru orice a real, valori întregi pozitive m și valori naturale impare n. Exemplu: 2 5 3 = 2 5 3, (- 5, 1) 2 7 = (- 5, 1) - 2 7, 0 5 19 = 0 5 19.

Pentru orice a real diferit de zero, valori întregi negative ale lui m și valori impare ale lui n, de exemplu, 2 - 5 3 = 2 - 5 3, (- 5, 1) - 2 7 = (- 5, 1) - 2 7

Pentru orice a nenegativ, întreg pozitiv m și chiar n, de exemplu, 2 1 4 = 2 1 4, (5, 1) 3 2 = (5, 1) 3, 0 7 18 = 0 7 18.

Pentru orice a pozitiv, întreg negativ m și chiar n, de exemplu, 2 - 1 4 = 2 - 1 4, (5, 1) - 3 2 = (5, 1) - 3, .

În cazul altor valori, gradul cu exponent fracționar nu este determinat. Exemple de astfel de grade: - 2 11 6, - 2 1 2 3 2, 0 - 2 5.

Acum să explicăm importanța condiției discutate mai sus: de ce să înlocuiți o fracție cu un exponent reductibil cu o fracție cu un exponent ireductibil. Dacă nu am fi făcut acest lucru, am fi avut următoarele situații, să zicem, 6/10 = 3/5. Atunci ar trebui să fie adevărat (- 1) 6 10 = - 1 3 5 , dar - 1 6 10 = (- 1) 6 10 = 1 10 = 1 10 10 = 1 și (- 1) 3 5 = (- 1 ) 3 5 = - 1 5 = - 1 5 5 = - 1 .

Definiția unui grad cu exponent fracționar, pe care am prezentat-o ​​prima, este mai convenabilă de utilizat în practică decât a doua, așa că o vom folosi în continuare.

Definiția 6

Astfel, puterea unui număr pozitiv a cu un exponent fracționar m/n este definită ca 0 m n = 0 m n = 0. În caz negativ A intrarea a m n nu are sens. Puterea lui zero pentru exponenții fracționali pozitivi m/n este definit ca 0 m n = 0 m n = 0 , pentru exponenții fracționali negativi nu definim gradul de zero.

În concluzii, observăm că puteți scrie orice indicator fracționar atât ca număr mixt, cât și ca fracție zecimală: 5 1, 7, 3 2 5 - 2 3 7.

Când se calculează, este mai bine să înlocuiți exponentul cu o fracție obișnuită și apoi să utilizați definiția exponentului cu un exponent fracționar. Pentru exemplele de mai sus obținem:

5 1 , 7 = 5 17 10 = 5 7 10 3 2 5 - 2 3 7 = 3 2 5 - 17 7 = 3 2 5 - 17 7

Ce sunt puterile cu exponenți iraționali și reali?

Ce sunt numerele reale? Setul lor include atât numere raționale, cât și iraționale. Prin urmare, pentru a înțelege ce este un grad cu un exponent real, trebuie să definim grade cu exponenți raționali și iraționali. Pe cele raționale le-am menționat deja mai sus. Să ne ocupăm de indicatorii iraționali pas cu pas.

Exemplul 5

Să presupunem că avem un număr irațional a și o succesiune a aproximărilor sale zecimale a 0 , a 1 , a 2 , . . . . De exemplu, să luăm valoarea a = 1,67175331. . . , Apoi

a 0 = 1, 6, a 1 = 1, 67, a 2 = 1, 671, . . . , a 0 = 1,67, a 1 = 1,6717, a 2 = 1,671753, . . .

Putem asocia secvențe de aproximări cu o succesiune de grade a a 0 , a a 1 , a a 2 , . . . . Dacă ne amintim ce am spus mai devreme despre ridicarea numerelor la puteri raționale, atunci putem calcula singuri valorile acestor puteri.

Să luăm de exemplu a = 3, apoi a a 0 = 3 1, 67, a a 1 = 3 1, 6717, a a 2 = 3 1, 671753, . . . etc.

Secvența puterilor poate fi redusă la un număr, care va fi valoarea puterii cu baza a și exponentul irațional a. Ca rezultat: un grad cu un exponent irațional de forma 3 1, 67175331. . poate fi redus la numărul 6, 27.

Definiția 7

Puterea unui număr pozitiv a cu exponent irațional a se scrie ca a . Valoarea sa este limita succesiunii a a 0 , a a 1 , a a 2 , . . . , unde a 0 , a 1 , a 2 , . . . sunt aproximări zecimale succesive ale numărului irațional a. Un grad cu o bază zero poate fi definit și pentru exponenții iraționali pozitivi, cu 0 a = 0 Deci, 0 6 = 0, 0 21 3 3 = 0. Dar acest lucru nu se poate face pentru cele negative, deoarece, de exemplu, valoarea 0 - 5, 0 - 2 π nu este definită. O unitate ridicată la orice putere irațională rămâne o unitate, de exemplu, iar 1 2, 1 5 în 2 și 1 - 5 va fi egal cu 1.

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Continuând conversația despre puterea unui număr, este logic să ne dăm seama cum să găsiți valoarea puterii. Acest proces se numește exponentiare. În acest articol vom studia modul în care se realizează exponentiarea, în timp ce vom atinge toți exponenții posibili - naturali, întregi, raționali și iraționali. Și conform tradiției, vom analiza în detaliu soluții la exemple de ridicare a numerelor la diferite puteri.

Navigare în pagină.

Ce înseamnă „exponentiare”?

Să începem prin a explica ceea ce se numește exponențiere. Iată definiția relevantă.

Definiție.

Exponentiație- aceasta este găsirea valorii puterii unui număr.

Astfel, găsirea valorii puterii unui număr a cu exponentul r și ridicarea numărului a la puterea r sunt același lucru. De exemplu, dacă sarcina este „calculați valoarea puterii (0,5) 5”, atunci poate fi reformulată după cum urmează: „Ridicați numărul 0,5 la puterea 5”.

Acum puteți merge direct la regulile prin care se realizează exponentiarea.

Ridicarea unui număr la o putere naturală

În practică, egalitatea bazată pe se aplică de obicei sub forma . Adică, când se ridică un număr a la o putere fracțională m/n, mai întâi se ia rădăcina a n-a a numărului a, după care rezultatul rezultat este ridicat la o putere întreagă m.

Să ne uităm la soluții la exemple de ridicare la o putere fracțională.

Exemplu.

Calculați valoarea gradului.

Soluţie.

Vom arăta două soluții.

Prima cale. Prin definiția unui grad cu exponent fracționar. Calculăm valoarea gradului de sub semnul rădăcinii și apoi extragem rădăcina cubă: .

A doua cale. Prin definiția unui grad cu exponent fracționar și pe baza proprietăților rădăcinilor, următoarele egalități sunt adevărate: . Acum extragem rădăcina , în cele din urmă, îl ridicăm la o putere întreagă .

Evident, rezultatele obținute ale ridicării la o putere fracțională coincid.

Răspuns:

Rețineți că un exponent fracționar poate fi scris ca o fracție zecimală sau un număr mixt, în aceste cazuri ar trebui înlocuit cu fracția obișnuită corespunzătoare și apoi ridicat la o putere.

Exemplu.

Calculați (44,89) 2,5.

Soluţie.

Să scriem exponentul sub forma unei fracții obișnuite (dacă este necesar, vezi articolul): . Acum efectuăm ridicarea la o putere fracțională:

Răspuns:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

De asemenea, trebuie spus că ridicarea numerelor la puteri raționale este un proces destul de intensiv în muncă (mai ales atunci când numărătorul și numitorul exponentului fracționar conțin numere suficient de mari), care se realizează de obicei folosind tehnologia computerizată.

Pentru a încheia acest punct, să ne concentrăm pe creșterea numărului zero la o putere fracțională. Am dat următorul sens puterii fracționare a lui zero de forma: când avem , iar la zero la puterea m/n nu este definită. Deci, zero la o putere pozitivă fracțională este zero, de exemplu, . Și zero într-o putere negativă fracțională nu are sens, de exemplu, expresiile 0 -4,3 nu au sens.

Ridicarea la o putere irațională

Uneori devine necesar să se afle valoarea puterii unui număr cu un exponent irațional. În acest caz, în scopuri practice este de obicei suficient să obțineți valoarea gradului exactă la un anumit semn. Să observăm imediat că, în practică, această valoare este calculată folosind calculatoare electronice, deoarece ridicarea ei la o putere irațională manual necesită un număr mare de calcule greoaie. Dar vom descrie totuși în termeni generali esența acțiunilor.

Pentru a obține o valoare aproximativă a puterii unui număr a cu un exponent irațional, se ia o aproximare zecimală a exponentului și se calculează valoarea puterii. Această valoare este o valoare aproximativă a puterii numărului a cu un exponent irațional. Cu cât este mai precisă aproximarea zecimală a unui număr inițial, cu atât mai precisă se va obține în final valoarea gradului.

Ca exemplu, să calculăm valoarea aproximativă a puterii lui 2 1,174367... . Să luăm următoarea aproximare zecimală a exponentului irațional: . Acum ridicăm 2 la puterea rațională 1.17 (am descris esența acestui proces în paragraful anterior), obținem 2 1.17 ≈2.250116. Prin urmare, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . Dacă luăm o aproximare zecimală mai precisă a exponentului irațional, de exemplu, obținem o valoare mai precisă a exponentului original: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

Bibliografie.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Manual de matematică pentru clasa a V-a. institutii de invatamant.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebră: manual pentru clasa a VII-a. institutii de invatamant.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebră: manual pentru clasa a VIII-a. institutii de invatamant.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebră: manual pentru clasa a IX-a. institutii de invatamant.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. şi altele Algebra şi începuturile analizei: Manual pentru clasele 10 - 11 ale instituţiilor de învăţământ general.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematică (un manual pentru cei care intră în școlile tehnice).

Puterea este folosită pentru a simplifica operația de înmulțire a unui număr cu el însuși. De exemplu, în loc să scrieți, puteți scrie 4 5 (\displaystyle 4^(5))(o explicație pentru această tranziție este dată în prima secțiune a acestui articol). Gradele facilitează scrierea de expresii sau ecuații lungi sau complexe; puterile sunt, de asemenea, ușor de adăugat și scăzut, rezultând o expresie sau o ecuație simplificată (de exemplu, 4 2 ∗ 4 3 = 4 5 (\displaystyle 4^(2)*4^(3)=4^(5))).

Notă: dacă trebuie să rezolvați o ecuație exponențială (într-o astfel de ecuație necunoscuta este în exponent), citiți.

Pași

Rezolvarea unor probleme simple cu grade

Înmulțiți baza exponentului cu ea însăși de un număr de ori egal cu exponentul. Dacă trebuie să rezolvați manual o problemă de putere, rescrieți puterea ca operație de multiplicare, în care baza puterii este înmulțită cu ea însăși. De exemplu, având o diplomă 3 4 (\displaystyle 3^(4)). În acest caz, baza puterii 3 trebuie înmulțită cu ea însăși de 4 ori: 3 ∗ 3 ∗ 3 ∗ 3 (\displaystyle 3*3*3*3). Iată și alte exemple:

În primul rând, înmulțiți primele două numere. De exemplu, 4 5 (\displaystyle 4^(5)) = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4*4*4*4*4). Nu vă faceți griji - procesul de calcul nu este atât de complicat pe cât pare la prima vedere. Mai întâi înmulțiți primele două patru și apoi înlocuiți-le cu rezultatul. Ca aceasta:

Înmulțiți rezultatul (16 în exemplul nostru) cu următorul număr. Fiecare rezultat ulterior va crește proporțional. În exemplul nostru, înmulțiți 16 cu 4. Astfel:

Rezolvați următoarele probleme. Verificați răspunsul folosind un calculator.

Pe calculator, căutați cheia etichetată „exp” sau „ x n (\displaystyle x^(n)) „, sau „^”. Folosind această cheie vei ridica un număr la o putere. Este aproape imposibil să se calculeze manual un grad cu un indicator mare (de exemplu, gradul 9 15 (\displaystyle 9^(15))), dar calculatorul poate face față cu ușurință acestei sarcini. În Windows 7, calculatorul standard poate fi comutat în modul de inginerie; Pentru a face acest lucru, faceți clic pe „Vizualizare” -> „Inginerie”. Pentru a comuta la modul normal, faceți clic pe „Vizualizare” -> „Normal”.

• Verificați răspunsul primit folosind un motor de căutare (Google sau Yandex). Folosind tasta „^” de pe tastatura computerului, introduceți expresia în motorul de căutare, care va afișa instantaneu răspunsul corect (și poate sugera expresii similare pe care să le studiați).

Adunarea, scăderea, înmulțirea puterilor

1. Puteți adăuga și scădea grade numai dacă au aceleași baze. Dacă trebuie să adăugați puteri cu aceleași baze și exponenți, atunci puteți înlocui operația de adunare cu operația de înmulțire. De exemplu, având în vedere expresia 4 5 + 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)). Amintiți-vă că gradul 4 5 (\displaystyle 4^(5)) poate fi reprezentat sub formă 1 ∗ 4 5 (\displaystyle 1*4^(5)); Prin urmare, 4 5 + 4 5 = 1 ∗ 4 5 + 1 ∗ 4 5 = 2 ∗ 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)=1*4^(5)+1*4^(5) =2*4^(5))(unde 1 +1 =2). Adică numărați numărul de grade similare, apoi înmulțiți acel grad și acest număr. În exemplul nostru, ridicați 4 la a cincea putere și apoi înmulțiți rezultatul rezultat cu 2. Amintiți-vă că operația de adunare poate fi înlocuită cu operația de înmulțire, de exemplu, 3 + 3 = 2 ∗ 3 (\displaystyle 3+3=2*3). Iată și alte exemple:

   La înmulțirea puterilor cu aceeași bază, se adaugă exponenții acestora (baza nu se schimbă). De exemplu, având în vedere expresia x 2 ∗ x 5 (\displaystyle x^(2)*x^(5)). În acest caz, trebuie doar să adăugați indicatorii, lăsând baza neschimbată. Prin urmare, x 2 ∗ x 5 = x 7 (\displaystyle x^(2)*x^(5)=x^(7)). Iată o explicație vizuală a acestei reguli:

   Când se ridică o putere la o putere, exponenții sunt înmulțiți. De exemplu, având o diplomă (x 2) 5 (\displaystyle (x^(2))^(5)). Din moment ce exponenții sunt înmulțiți, atunci (x 2) 5 = x 2 ∗ 5 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2*5)=x^(10)). Ideea acestei reguli este că înmulțiți cu puteri (x 2) (\displaystyle (x^(2))) pe sine de cinci ori. Ca aceasta:

   O putere cu un exponent negativ ar trebui convertită într-o fracție (putere inversă). Nu contează dacă nu știi ce este un grad reciproc. Dacă vi se oferă o diplomă cu exponent negativ, de ex. 3 − 2 (\displaystyle 3^(-2)), scrieți acest grad la numitorul fracției (puneți 1 la numărător) și faceți exponentul pozitiv. În exemplul nostru: 1 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(3^(2)))). Iată și alte exemple:

   La împărțirea gradelor cu aceeași bază, exponenții acestora sunt scăzuți (baza nu se schimbă). Operația de împărțire este opusă operației de înmulțire. De exemplu, având în vedere expresia 4 4 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))). Scădeți exponentul din numitor din exponentul din numărător (nu schimbați baza). Prin urmare, 4 4 4 2 = 4 4 − 2 = 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))=4^(4-2)=4^(2)) = 16 .

   Mai jos sunt câteva expresii care vă vor ajuta să învățați cum să rezolvați problemele cu exponenți. Expresiile date acoperă materialul prezentat în această secțiune. Pentru a vedea răspunsul, selectați pur și simplu spațiul gol după semnul egal.

Rezolvarea problemelor cu exponenți fracționari

Gradul cu un indicator fracționar (de exemplu, x 1 2 (\displaystyle x^(\frac (1)(2))) ) este transformată într-o operație de extracție a rădăcinii.În exemplul nostru: x 1 2 (\displaystyle x^(\frac (1)(2))) = x (\displaystyle (\sqrt (x))). Aici nu contează ce număr este în numitorul exponentului fracționar. De exemplu, x 1 4 (\displaystyle x^(\frac (1)(4)))- este a patra rădăcină a lui „x”, adică x 4 (\displaystyle (\sqrt[(4)](x))) .