Mai întâi, câteva versuri pentru a înțelege problema pe care o rezolvă metoda intervalului. Să presupunem că trebuie să rezolvăm următoarea inegalitate:

(x − 5)(x + 3) > 0

Care sunt optiunile? Primul lucru care vine în minte pentru majoritatea studenților este regulile „plus pe plus dă plus” și „minus pe minus dă plus”. Prin urmare, este suficient să luăm în considerare cazul când ambele paranteze sunt pozitive: x − 5 > 0 și x + 3 > 0. Atunci luăm în considerare și cazul când ambele paranteze sunt negative: x − 5< 0 и x + 3 < 0. Таким образом, наше неравенство свелось к совокупности двух систем, которая, впрочем, легко решается:

Elevii mai avansați își vor aminti (poate) că în stânga este o funcție pătratică al cărei grafic este o parabolă. Mai mult, această parabolă intersectează axa OX în punctele x = 5 și x = −3. Pentru lucrări suplimentare, trebuie să deschideți parantezele. Avem:

x 2 − 2x − 15 > 0

Acum este clar că ramurile parabolei sunt îndreptate în sus, deoarece coeficientul a = 1 > 0. Să încercăm să desenăm o diagramă a acestei parabole:

Funcția este mai mare decât zero acolo unde trece deasupra axei OX. În cazul nostru, acestea sunt intervalele (−∞ −3) și (5; +∞) - acesta este răspunsul.

Vă rugăm să rețineți: imaginea arată exact diagrama functionala, nu programul ei. Pentru că pentru un grafic real trebuie să numărați coordonatele, să calculați deplasări și alte prostii de care nu avem absolut nicio utilitate deocamdată.

De ce sunt aceste metode ineficiente?

Deci, am luat în considerare două soluții la aceeași inegalitate. Ambele s-au dovedit a fi destul de greoaie. Apare prima decizie - doar gândește-te! — un set de sisteme de inegalități. A doua soluție nu este, de asemenea, deosebit de ușoară: trebuie să vă amintiți graficul parabolei și o grămadă de alte fapte mici.

A fost o inegalitate foarte simplă. Are doar 2 multiplicatori. Acum imaginați-vă că nu vor fi 2, ci cel puțin 4 multiplicatori. De exemplu:

(x − 7)(x − 1)(x + 4)(x + 9)< 0

Cum să rezolvi o astfel de inegalitate? Treci prin toate combinațiile posibile de argumente pro și contra? Da, vom adormi mai repede decât găsim o soluție. Desenarea unui grafic nu este, de asemenea, o opțiune, deoarece nu este clar cum se comportă o astfel de funcție pe planul de coordonate.

Pentru astfel de inegalități, este nevoie de un algoritm de soluție special, pe care îl vom lua în considerare astăzi.

Care este metoda intervalului

Metoda intervalului este un algoritm special conceput pentru a rezolva inegalitățile complexe de forma f (x) > 0 și f (x)< 0. Алгоритм состоит из 4 шагов:

1. Rezolvați ecuația f (x) = 0. Astfel, în loc de o inegalitate, obținem o ecuație care este mult mai simplu de rezolvat;
2. Marcați toate rădăcinile obținute pe linia de coordonate. Astfel, linia dreaptă va fi împărțită în mai multe intervale;
3. Aflați semnul (plus sau minus) al funcției f (x) în intervalul din dreapta. Pentru a face acest lucru, este suficient să înlocuiți în f (x) orice număr care va fi în dreapta tuturor rădăcinilor marcate;
4. Marcați semnele la intervalele rămase. Pentru a face acest lucru, amintiți-vă că atunci când treceți prin fiecare rădăcină, semnul se schimbă.

Asta e tot! După aceasta, nu mai rămâne decât să notăm intervalele care ne interesează. Ele sunt marcate cu semnul „+” dacă inegalitatea a fost de forma f (x) > 0 sau cu semnul „−” dacă inegalitatea a fost de forma f (x)< 0.

La prima vedere, poate părea că metoda intervalului este un fel de lucru mic. Dar, în practică, totul va fi foarte simplu. Exersează puțin și totul va deveni clar. Aruncă o privire la exemple și vezi singur:

Sarcină. Rezolvați inegalitatea:

(x − 2)(x + 7)< 0

Lucrăm folosind metoda intervalului. Pasul 1: înlocuiți inegalitatea cu o ecuație și rezolvați-o:

(x − 2)(x + 7) = 0

Produsul este zero dacă și numai dacă cel puțin unul dintre factori este zero:

x − 2 = 0 ⇒ x = 2;
x + 7 = 0 ⇒ x = −7.

Avem două rădăcini. Să trecem la pasul 2: marcați aceste rădăcini pe linia de coordonate. Avem:

Acum pasul 3: găsiți semnul funcției în intervalul din dreapta (în dreapta punctului marcat x = 2). Pentru a face acest lucru, trebuie să luați orice număr care este mai mare decât numărul x = 2. De exemplu, să luăm x = 3 (dar nimeni nu interzice să luați x = 4, x = 10 și chiar x = 10.000). Primim:

f (x) = (x − 2)(x + 7);
x = 3;
f (3) = (3 − 2)(3 + 7) = 1 10 = 10;

Constatăm că f (3) = 10 > 0, așa că punem un semn plus în intervalul din dreapta.

Să trecem la ultimul punct - trebuie să notăm semnele de pe intervalele rămase. Ne amintim că la trecerea prin fiecare rădăcină semnul trebuie să se schimbe. De exemplu, în dreapta rădăcinii x = 2 există un plus (ne-am asigurat de acest lucru în pasul anterior), deci trebuie să fie un minus la stânga.

Acest minus se extinde la întregul interval (−7; 2), deci există un minus la dreapta rădăcinii x = −7. Prin urmare, la stânga rădăcinii x = −7 există un plus. Rămâne să marcați aceste semne pe axa de coordonate. Avem:

Să revenim la inegalitatea inițială, care avea forma:

(x − 2)(x + 7)< 0

Deci funcția trebuie să fie mai mică decât zero. Aceasta înseamnă că ne interesează semnul minus, care apare doar pe un interval: (−7; 2). Acesta va fi răspunsul.

Sarcină. Rezolvați inegalitatea:

(x + 9)(x − 3)(1 − x )< 0

Pasul 1: setați partea stângă la zero:

(x + 9)(x − 3)(1 − x ) = 0;
x + 9 = 0 ⇒ x = −9;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3;
1 − x = 0 ⇒ x = 1.

Rețineți: produsul este egal cu zero atunci când cel puțin unul dintre factori este egal cu zero. De aceea avem dreptul de a echivala fiecare paranteză individuală cu zero.

Pasul 2: marcați toate rădăcinile pe linia de coordonate:

Pasul 3: aflați semnul decalajului cel mai din dreapta. Luăm orice număr care este mai mare decât x = 1. De exemplu, putem lua x = 10. Avem:

f (x) = (x + 9)(x − 3)(1 − x);
x = 10;
f (10) = (10 + 9)(10 − 3)(1 − 10) = 19 · 7 · (−9) = − 1197;
f (10) = −1197< 0.

Pasul 4: plasarea semnelor rămase. Ne amintim că la trecerea prin fiecare rădăcină semnul se schimbă. Drept urmare, imaginea noastră va arăta astfel:

Asta e tot. Rămâne doar să scrieți răspunsul. Aruncă o altă privire la inegalitatea inițială:

(x + 9)(x − 3)(1 − x )< 0

Aceasta este o inegalitate de forma f(x)< 0, т.е. нас интересуют интервалы, отмеченные знаком минус. А именно:

x ∈ (−9; 1) ∪ (3; +∞)

Acesta este răspunsul.

O notă despre semnele de funcție

Practica arată că cele mai mari dificultăți în metoda intervalului apar în ultimii doi pași, i.e. la amplasarea semnelor. Mulți elevi încep să se încurce: ce numere să ia și unde să pună semnele.

Pentru a înțelege în sfârșit metoda intervalului, luați în considerare două observații pe care se bazează:

1. O funcție continuă își schimbă semnul numai în acele puncte unde este egal cu zero. Astfel de puncte împart axa de coordonate în bucăți, în care semnul funcției nu se schimbă niciodată. De aceea rezolvăm ecuația f (x) = 0 și marchem rădăcinile găsite pe linia dreaptă. Numerele găsite sunt puncte „limită” care separă avantajele și dezavantajele.
2. Pentru a afla semnul unei funcții pe orice interval, este suficient să înlocuiți orice număr din acest interval în funcție. De exemplu, pentru intervalul (−5; 6) avem dreptul să luăm x = −4, x = 0, x = 4 și chiar x = 1,29374 dacă vrem. De ce este important? Da, pentru că îndoielile încep să roadă pe mulți studenți. Cum ar fi, ce se întâmplă dacă pentru x = −4 obținem un plus, iar pentru x = 0 obținem un minus? Dar nimic ca asta nu se va întâmpla vreodată. Toate punctele din același interval dau același semn. Tine minte asta.

Asta este tot ce trebuie să știi despre metoda intervalului. Desigur, l-am analizat în cea mai simplă formă. Există inegalități mai complexe - nestricte, fracționale și cu rădăcini repetate. Puteți folosi și metoda intervalului pentru ei, dar acesta este un subiect pentru o lecție mare separată.

Acum aș dori să mă uit la o tehnică avansată care simplifică dramatic metoda intervalului. Mai precis, simplificarea afectează doar al treilea pas - calcularea semnului din partea din dreapta a liniei. Din anumite motive, această tehnică nu este predată în școli (cel puțin nimeni nu mi-a explicat asta). Dar degeaba - pentru că de fapt acest algoritm este foarte simplu.

Deci, semnul funcției este pe piesa dreaptă a dreptei numerice. Această piesă are forma (a ; +∞), unde a este cea mai mare rădăcină a ecuației f (x) = 0. Pentru a nu vă surprinde mintea, să luăm în considerare un exemplu specific:

(x − 1)(2 + x )(7 − x )< 0;
f (x) = (x − 1)(2 + x)(7 − x);
(x − 1)(2 + x)(7 − x) = 0;
x − 1 = 0 ⇒ x = 1;
2 + x = 0 ⇒ x = −2;
7 − x = 0 ⇒ x = 7;

Avem 3 rădăcini. Să le enumeram în ordine crescătoare: x = −2, x = 1 și x = 7. Evident, cea mai mare rădăcină este x = 7.

Pentru cei cărora le este mai ușor să raționeze grafic, voi marca aceste rădăcini pe linia de coordonate. Să vedem ce se întâmplă:

Este necesar să se găsească semnul funcției f (x) pe intervalul din dreapta, adică. la (7; +∞). Dar, așa cum am observat deja, pentru a determina semnul puteți lua orice număr din acest interval. De exemplu, puteți lua x = 8, x = 150 etc. Și acum - aceeași tehnică care nu se predă în școli: să luăm infinitul ca număr. Mai precis, plus infinit, adică +∞.

"Esti drogat? Cum poți înlocui infinitul într-o funcție?” - s-ar putea să întrebi. Dar gândiți-vă: nu avem nevoie de valoarea funcției în sine, avem nevoie doar de semn. Prin urmare, de exemplu, valorile f (x) = −1 și f (x) = −938 740 576 215 înseamnă același lucru: funcția pe acest interval este negativă. Prin urmare, tot ceea ce ți se cere este să găsești semnul care apare la infinit, și nu valoarea funcției.

De fapt, înlocuirea infinitului este foarte simplă. Să revenim la funcția noastră:

f (x) = (x − 1)(2 + x)(7 − x)

Imaginează-ți că x este un număr foarte mare. Miliard sau chiar trilioane. Acum să vedem ce se întâmplă în fiecare paranteză.

Prima paranteză: (x − 1). Ce se întâmplă dacă scazi unul dintr-un miliard? Rezultatul va fi un număr nu foarte diferit de un miliard, iar acest număr va fi pozitiv. Similar cu a doua paranteză: (2 + x). Dacă adăugați un miliard la doi, obțineți un miliard și copeici - acesta este un număr pozitiv. În cele din urmă, a treia paranteză: (7 − x). Aici va fi un miliard în minus, din care o bucată jalnică în formă de șapte a fost „roșată”. Acestea. numărul rezultat nu va diferi mult de minus miliard - va fi negativ.

Rămâne doar să găsim semnul întregii lucrări. Deoarece am avut un plus în primele paranteze și un minus în ultima, obținem următoarea construcție:

(+) · (+) · (−) = (−)

Semnul final este minus! Și nu contează care este valoarea funcției în sine. Principalul lucru este că această valoare este negativă, adică. intervalul din dreapta are semnul minus. Mai rămâne doar să parcurgeți al patrulea pas al metodei intervalului: aranjați toate semnele. Avem:

Inegalitatea inițială a fost:

(x − 1)(2 + x )(7 − x )< 0

Prin urmare, ne interesează intervalele marcate cu semnul minus. Scriem răspunsul:

x ∈ (−2; 1) ∪ (7; +∞)

Acesta este tot trucul pe care voiam să-ți spun. În concluzie, iată o altă inegalitate care poate fi rezolvată prin metoda intervalului folosind infinitul. Pentru a scurta vizual soluția, nu voi scrie numere de pași și comentarii detaliate. Voi scrie doar ceea ce trebuie cu adevărat să scrieți atunci când rezolvați probleme reale:

Sarcină. Rezolvați inegalitatea:

x (2x + 8)(x − 3) > 0

Înlocuim inegalitatea cu o ecuație și o rezolvăm:

x (2x + 8)(x − 3) = 0;
x = 0;
2x + 8 = 0 ⇒ x = −4;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3.

Marcam toate cele trei rădăcini pe linia de coordonate (cu semne simultan):

Există un plus în partea dreaptă a axei de coordonate, deoarece functia arata asa:

f (x) = x (2x + 8)(x − 3)

Și dacă înlocuim infinitul (de exemplu, un miliard), obținem trei paranteze pozitive. Deoarece expresia originală trebuie să fie mai mare decât zero, ne interesează doar aspectele pozitive. Rămâne doar să scrieți răspunsul:

x ∈ (−4; 0) ∪ (3; +∞)

Primul nivel

Metoda intervalului. Ghidul suprem (2019)

Trebuie doar să înțelegi această metodă și să o cunoști ca pe dosul mâinii! Fie doar pentru că este folosit pentru rezolvarea inegalităților raționale și pentru că, cunoscând corect această metodă, rezolvarea acestor inegalități este surprinzător de simplă. Puțin mai târziu, vă voi spune câteva secrete despre cum să economisiți timp în rezolvarea acestor inegalități. Ei bine, ești intrigat? Atunci să mergem!

Esența metodei este de a factoriza inegalitatea în factori (repetați subiectul) și de a determina ODZ și semnul factorilor; acum voi explica totul. Să luăm cel mai simplu exemplu: .

Nu este nevoie să scrieți aici intervalul de valori acceptabile () deoarece nu există nicio diviziune prin variabilă și nu există radicali (rădăcini) observați aici. Totul aici este deja factorizat pentru noi. Dar nu vă relaxați, toate acestea sunt pentru a vă aminti elementele de bază și pentru a înțelege esența!

Să presupunem că nu cunoașteți metoda intervalului, cum ați rezolva această inegalitate? Abordați logic și construiți pe ceea ce știți deja. În primul rând, partea stângă va fi mai mare decât zero dacă ambele expresii din paranteze sunt fie mai mari decât zero, fie mai mici decât zero, deoarece „plus” pentru „plus” dă „plus” și „minus” pentru „minus” dă „plus”, nu? Și dacă semnele expresiilor din paranteze sunt diferite, atunci în cele din urmă partea stângă va fi mai mică decât zero. De ce avem nevoie pentru a afla acele valori la care expresiile dintre paranteze vor fi negative sau pozitive?

Trebuie să rezolvăm o ecuație, este exact la fel cu o inegalitate, doar că în loc de semn va fi un semn, rădăcinile acestei ecuații ne vor permite să determinăm acele valori la limită, la plecarea de la care factorii vor fi mai mari. sau mai puțin de zero.

Și acum intervalele în sine. Ce este un interval? Acesta este un anumit interval al dreptei numerice, adică toate numerele posibile cuprinse între două numere - capetele intervalului. Nu este atât de ușor să-ți imaginezi aceste intervale în capul tău, așa că este obișnuit să desenezi intervale, te voi învăța acum.

Desenăm o axă; întreaga serie de numere de la și până la este situată pe ea. Punctele sunt trasate pe axă, așa-numitele zerouri ale funcției, valorile la care expresia este egală cu zero. Aceste puncte sunt „evidențiate”, ceea ce înseamnă că nu se numără printre acele valori la care inegalitatea este adevărată. În acest caz, ele sunt perforate pentru că semnează inegalitatea și nu, adică strict mai mare decât și nu mai mare decât sau egal cu.

Vreau să spun că nu este necesar să se marcheze zero, este aici fără cercuri, ci doar pentru înțelegere și orientare de-a lungul axei. Bine, am desenat axa, am pus punctele (mai precis, cercuri), ce urmează, cum mă va ajuta asta să rezolv? - tu intrebi. Acum luați valoarea pentru x din intervale în ordine și înlocuiți-le în inegalitatea dvs. și vedeți în ce semn rezultă înmulțirea.

Pe scurt, o luăm de exemplu, înlocuim-o aici, se va rezolva, ceea ce înseamnă că inegalitatea va fi valabilă pe tot intervalul (pe întregul interval) de la până la, din care am luat-o. Cu alte cuvinte, dacă x este de la până, atunci inegalitatea este adevărată.

Facem același lucru cu intervalul de la până, luați sau, de exemplu, înlocuiți în, determinăm semnul, semnul va fi „minus”. Și facem același lucru cu ultimul, al treilea interval de la până, unde semnul se dovedește a fi „plus”. Există atât de mult text, dar nu suficientă claritate, nu?

Aruncă o altă privire asupra inegalității.

Acum aplicăm și semnele care se vor obține ca rezultat pe aceeași axă. În exemplul meu, o linie întreruptă denotă secțiunile pozitive și negative ale axei.

Privește inegalitatea - la desen, din nou la inegalitatea - și din nou la desen, este ceva clar? Acum încercați să spuneți la ce intervale X, inegalitatea va fi adevărată. Așa este, de la până la inegalitatea va fi adevărată și de la până la, dar pe intervalul de la până la inegalitatea este zero și acest interval ne interesează puțin, deoarece avem un semn în inegalitate.

Ei bine, acum că v-ați dat seama, singurul lucru care mai rămâne de făcut este să scrieți răspunsul! Ca răspuns, scriem acele intervale pentru care partea stângă este mai mare decât zero, care se citește ca X aparține intervalului de la minus infinit la minus unu și de la doi la plus infinit. Merită clarificat faptul că parantezele înseamnă că valorile prin care intervalul este limitat nu sunt soluții la inegalitate, adică nu sunt incluse în răspuns, ci indică doar că până la, de exemplu, nu este un soluţie.

Acum un exemplu în care nu va trebui doar să desenați intervalul:

Ce crezi că trebuie făcut înainte de a pune puncte pe axă? Da, includeți-l în factori:

Desenăm intervale și plasăm semne, observăm că avem puncte perforate pentru că semnul este strict mai mic decât zero:

Este timpul să vă spun un secret pe care l-am promis la începutul acestui topic! Dacă ți-aș spune că nu trebuie să înlocuiești valorile din fiecare interval pentru a determina semnul, dar poți determina semnul într-unul dintre intervale și pur și simplu alterna semnele în restul!

Astfel, am economisit puțin timp la așezarea semnelor - cred că acest timp câștigat la examenul de stat unificat nu va strica!

Scriem răspunsul:

Acum luați în considerare un exemplu de inegalitate fracțională-rațională - o inegalitate, ambele părți din care sunt expresii raționale (vezi).

Ce poți spune despre această inegalitate? Și o privești ca pe o ecuație fracțională-rațională, ce facem mai întâi? Vedem imediat că nu există rădăcini, ceea ce înseamnă că este cu siguranță rațional, dar apoi este o fracție și chiar cu o necunoscută la numitor!

Așa e, avem nevoie de ODZ!

Deci, să mergem mai departe, aici toți factorii, cu excepția unuia, au o variabilă de gradul întâi, dar există un factor în care x are un grad al doilea. De obicei, semnul nostru s-a schimbat după trecerea printr-unul dintre punctele în care partea stângă a inegalității capătă o valoare zero, pentru care am determinat cu ce ar trebui să fie x în fiecare factor. Dar aici, este întotdeauna pozitiv, pentru că orice număr la pătrat > zero și un termen pozitiv.

Crezi că acest lucru va afecta sensul inegalității? Așa este - nu va afecta! Putem împărți în siguranță inegalitatea în ambele părți și, prin urmare, putem elimina acest factor, astfel încât să nu fie o criză.

A sosit momentul să desenați intervalele; pentru a face acest lucru, trebuie să determinați acele valori de limită, la plecare de la care multiplicatorii vor fi mai mari și mai mici decât zero. Dar fiți atenți că aici există un semn, înseamnă că nu vom alege punctul în care partea stângă a inegalității capătă o valoare zero, este inclusă în numărul de soluții, avem doar un astfel de punct, acesta este punctul în care x este egal cu unu. Să colorăm punctul în care numitorul este negativ? - Desigur că nu!

Numitorul nu trebuie să fie zero, deci intervalul va arăta astfel:

Folosind această diagramă, puteți scrie cu ușurință răspunsul, voi spune doar că acum aveți la dispoziție un nou tip de paranteză - pătrat! Iată o paranteză [ spune că valoarea este inclusă în intervalul de soluție, i.e. face parte din răspuns, această paranteză corespunde unui punct umplut (nu fixat) pe axă.

Deci, ai primit același răspuns?

O includem în factori și mutam totul într-o parte; la urma urmei, trebuie să lăsăm doar zero în dreapta pentru a compara cu el:

Vă atrag atenția că în ultima transformare, pentru a obține atât la numărător cât și la numitor, înmulțesc ambele părți ale inegalității cu. Amintiți-vă că atunci când ambele părți ale unei inegalități sunt înmulțite cu, semnul inegalității se schimbă la opus!!!

Scriem ODZ:

În caz contrar, numitorul va ajunge la zero și, după cum vă amintiți, nu puteți împărți la zero!

De acord, inegalitatea rezultată este tentantă să reducă numărătorul și numitorul! Acest lucru nu se poate face; este posibil să pierdeți unele dintre decizii sau ODZ!

Acum încercați să puneți singur punctele pe axă. Voi observa doar că atunci când trasați puncte, trebuie să acordați atenție faptului că un punct cu o valoare, care, pe baza semnului, ar părea a fi reprezentat pe axă ca umbrit, nu va fi umbrit, va fi scos! De ce întrebaţi? Și ține minte ODZ, nu vei împărți la zero așa?

Amintiți-vă, ODZ este pe primul loc! Dacă toate inegalitățile și semnele egale spun un lucru, iar ODZ spune altceva, ai încredere în ODZ, mare și puternic! Ei bine, tu ai construit intervalele, sunt sigur că mi-ai luat aluzie despre alternanță și ai înțeles așa (vezi poza de mai jos) Acum taie-l și nu mai face greșeala asta! Ce eroare? - tu intrebi.

Cert este că în această inegalitate factorul s-a repetat de două ori (vă amintiți cum ați încercat să-l reduceți?). Deci, dacă un factor se repetă în inegalitate de un număr par de ori, atunci când trece printr-un punct de pe axa care transformă acest factor la zero (în acest caz, un punct), semnul nu se va schimba; dacă este impar , atunci semnul se schimba!

Următoarea axă cu intervale și semne va fi corectă:

Și, vă rugăm să rețineți că semnul care ne interesează nu este cel care a fost la început (când am văzut prima dată inegalitatea, semnul era acolo), după transformări, semnul s-a schimbat în, ceea ce înseamnă că ne interesează intervale. cu un semn.

Răspuns:

Voi mai spune că sunt situații când există rădăcini ale inegalității care nu sunt incluse în niciun interval, ca răspuns sunt scrise între paranteze, așa, de exemplu: . Despre astfel de situații puteți citi mai multe în articolul nivel mediu.

Să rezumăm cum să rezolvăm inegalitățile folosind metoda intervalului:

1. Mutăm totul în partea stângă, lăsând doar zero în dreapta;
2. Găsim ODZ;
3. Trasăm toate rădăcinile inegalității pe axă;
4. Luăm unul arbitrar dintr-unul dintre intervale și determinăm semnul în intervalul căruia îi aparține rădăcina, alternăm semnele, acordând atenție rădăcinilor care se repetă de mai multe ori în inegalitate; depinde dacă semnul se schimbă la trecerea lor. pe uniformitatea sau neregulă a numărului de ori se repetă sau nu;
5. Ca răspuns, scriem intervale, observând punctele perforate și neperforate (vezi ODZ), plasând între ele tipurile necesare de paranteze.

Și, în sfârșit, secțiunea noastră preferată, „do it yourself”!

Exemple:

Raspunsuri:

METODA INTERVALULUI. NIVEL MEDIU

Funcție liniară

O funcție a formei se numește liniară. Să luăm ca exemplu o funcție. Este pozitiv la și negativ la. Punctul este zero al funcției (). Să arătăm semnele acestei funcții pe axa numerelor:

Spunem că „funcția își schimbă semnul la trecerea prin punct”.

Se poate observa că semnele funcției corespund poziției graficului funcției: dacă graficul este deasupra axei, semnul este „ ”, dacă sub acesta este „ ”.

Dacă generalizăm regula rezultată la o funcție liniară arbitrară, obținem următorul algoritm:

• Aflarea zeroului funcției;
• O marcam pe axa numerelor;
• Determinăm semnul funcției pe laturile opuse ale zeroului.

Funcția pătratică

Sper că vă amintiți cum să rezolvați inegalitățile pătratice? Daca nu, citeste subiectul. Permiteți-mi să vă reamintesc de forma generală a unei funcții pătratice: .

Acum să ne amintim ce semne are funcția pătratică. Graficul său este o parabolă, iar funcția ia semnul " " pentru cei în care parabola este deasupra axei și " " - dacă parabola este sub axa:

Dacă o funcție are zerouri (valori la care), parabola intersectează axa în două puncte - rădăcinile ecuației pătratice corespunzătoare. Astfel, axa este împărțită în trei intervale, iar semnele funcției se schimbă alternativ la trecerea prin fiecare rădăcină.

Este posibil să determinați cumva semnele fără să desenați o parabolă de fiecare dată?

Amintiți-vă că un trinom pătrat poate fi factorizat:

De exemplu: .

Să marchem rădăcinile pe axă:

Ne amintim că semnul unei funcții se poate schimba doar la trecerea prin rădăcină. Să folosim acest fapt: pentru fiecare dintre cele trei intervale în care axa este împărțită prin rădăcini, este suficient să se determine semnul funcției într-un singur punct ales arbitrar: în punctele rămase ale intervalului semnul va fi același .

În exemplul nostru: la ambele expresii dintre paranteze sunt pozitive (înlocuitor, de exemplu:). Punem semnul „ ” pe axă:

Ei bine, când (înlocuitor, de exemplu), ambele paranteze sunt negative, ceea ce înseamnă că produsul este pozitiv:

Asta e metoda intervalului: cunoscând semnele factorilor pe fiecare interval, determinăm semnul întregului produs.

Să luăm în considerare și cazurile în care funcția nu are zerouri sau doar unul.

Dacă nu sunt acolo, atunci nu există rădăcini. Aceasta înseamnă că nu va exista nicio „trecere prin rădăcină”. Aceasta înseamnă că funcția ia un singur semn pe întreaga linie numerică. Poate fi determinat cu ușurință prin substituirea acesteia într-o funcție.

Dacă există o singură rădăcină, parabola atinge axa, deci semnul funcției nu se schimbă la trecerea prin rădăcină. Cu ce ​​regulă putem veni pentru astfel de situații?

Dacă factorizați o astfel de funcție, obțineți doi factori identici:

Și orice expresie la pătrat este nenegativă! Prin urmare, semnul funcției nu se schimbă. În astfel de cazuri, vom evidenția rădăcina, la trecerea prin care semnul nu se schimbă, încercuind-o cu un pătrat:

O astfel de rădăcină o vom numi multiplu.

Metoda intervalului în inegalități

Acum orice inegalitate pătratică poate fi rezolvată fără a trasa o parabolă. Este suficient doar să plasați semnele funcției pătratice pe axă și să selectați intervale în funcție de semnul inegalității. De exemplu:

Să măsurăm rădăcinile pe axă și să plasăm semnele:

Avem nevoie de partea axei cu semnul " "; deoarece inegalitatea nu este strictă, rădăcinile în sine sunt incluse și în soluție:

Acum luați în considerare o inegalitate rațională - o inegalitate, a cărei ambele părți sunt expresii raționale (vezi).

Exemplu:

Toți factorii, cu excepția unuia, sunt „liniari” aici, adică conțin o variabilă numai pentru prima putere. Avem nevoie de astfel de factori liniari pentru a aplica metoda intervalului - semnul se schimbă la trecerea prin rădăcinile lor. Dar multiplicatorul nu are deloc rădăcini. Aceasta înseamnă că este întotdeauna pozitiv (verificați acest lucru pentru dvs.) și, prin urmare, nu afectează semnul întregii inegalități. Aceasta înseamnă că putem împărți părțile stânga și dreapta ale inegalității cu aceasta și, astfel, scăpăm de ea:

Acum totul este la fel ca în cazul inegalităților pătratice: determinăm în ce puncte fiecare dintre factori devine zero, marchem aceste puncte pe axă și aranjam semnele. Aș dori să vă atrag atenția asupra unui fapt foarte important:

Răspuns: . Exemplu: .

Pentru a aplica metoda intervalului, una dintre părțile inegalității trebuie să aibă. Prin urmare, să mutam partea dreaptă la stânga:

Numătorul și numitorul au același factor, dar nu vă grăbiți să-l reduceți! La urma urmei, atunci s-ar putea să uităm să scoatem acest punct. Este mai bine să marcați această rădăcină ca multiplu, adică atunci când treceți prin ea, semnul nu se va schimba:

Răspuns: .

Și încă un exemplu foarte ilustrativ:

Din nou, nu anulăm aceiași factori ai numărătorului și numitorului, deoarece, dacă o facem, va trebui să ne amintim în mod special să perforam punctul.

• : ori repetate;
• : ori;
• : ori (la numărător și unul la numitor).

În cazul unui număr par, procedăm la fel ca înainte: încercuim punctul cu un pătrat și nu schimbăm semnul la trecerea prin rădăcină. Dar în cazul unui număr impar, această regulă nu se aplică: semnul se va schimba în continuare la trecerea prin rădăcină. Prin urmare, nu facem nimic suplimentar cu o astfel de rădăcină, de parcă nu ar fi un multiplu. Regulile de mai sus se aplică tuturor puterilor pare și impare.

Ce ar trebui să scriem în răspuns?

Dacă alternarea semnelor este încălcată, trebuie să fii foarte atent, deoarece dacă inegalitatea nu este strictă, răspunsul ar trebui să includă toate punctele umbrite. Dar unele dintre ele sunt adesea separate, adică nu sunt incluse în zona umbrită. În acest caz, le adăugăm la răspuns ca puncte izolate (în acolade):

Exemple (decideți singur):

Raspunsuri:

1. Dacă printre factori este simplă, este o rădăcină, deoarece poate fi reprezentată ca.
   .

METODA INTERVALULUI. SCURT DESPRE LUCRURILE PRINCIPALE

Metoda intervalului este utilizată pentru a rezolva inegalitățile raționale. Constă în determinarea semnului produsului din semnele factorilor pe diverse intervale.

Algoritm pentru rezolvarea inegalităților raționale folosind metoda intervalului.

• Mutăm totul în partea stângă, lăsând doar zero în dreapta;
• Găsim ODZ;
• Trasăm toate rădăcinile inegalității pe axă;
• Luăm unul arbitrar dintr-unul dintre intervale și determinăm semnul în intervalul căruia îi aparține rădăcina, alternăm semnele, acordând atenție rădăcinilor care se repetă de mai multe ori în inegalitate; depinde dacă semnul se schimbă la trecerea lor. pe uniformitatea sau neregulă a numărului de ori se repetă sau nu;
• Ca răspuns, scriem intervale, observând punctele perforate și neperforate (vezi ODZ), plasând între ele tipurile necesare de paranteze.

Ei bine, subiectul s-a terminat. Dacă citești aceste rânduri, înseamnă că ești foarte cool.

Pentru că doar 5% dintre oameni sunt capabili să stăpânească ceva pe cont propriu. Și dacă citești până la capăt, atunci ești în acest 5%!

Acum cel mai important lucru.

Ați înțeles teoria pe această temă. Și, repet, asta... asta este pur și simplu super! Ești deja mai bun decât marea majoritate a colegilor tăi.

Problema este că acest lucru poate să nu fie suficient...

Pentru ce?

Pentru promovarea cu succes a Examenului Unificat de Stat, pentru intrarea la facultate cu buget redus și, CEL MAI IMPORTANT, pe viață.

Nu te voi convinge de nimic, o să spun doar un lucru...

Oamenii care au primit o educație bună câștigă mult mai mult decât cei care nu au primit-o. Aceasta este statistica.

Dar acesta nu este principalul lucru.

Principalul lucru este că sunt MAI FERICIȚI (există astfel de studii). Poate pentru că mai multe oportunități se deschid în fața lor și viața devine mai strălucitoare? nu stiu...

Dar gandeste-te singur...

Ce este nevoie pentru a fi sigur că ești mai bun decât alții la examenul de stat unificat și, în cele din urmă, fii... mai fericit?

CĂGAȚI-VĂ MÂNĂ REZOLVÂND PROBLEME PE ACEST TEMA.

Nu ți se va cere teorie în timpul examenului.

Vei avea nevoie rezolva problemele in timp.

Și, dacă nu le-ați rezolvat (MULTE!), cu siguranță veți face o greșeală stupidă undeva sau pur și simplu nu veți avea timp.

Este ca în sport - trebuie să o repeți de multe ori pentru a câștiga cu siguranță.

Găsiți colecția oriunde doriți, neaparat cu solutii, analiza detaliata si decide, decide, decide!

Puteți folosi sarcinile noastre (opțional) și noi, bineînțeles, le recomandăm.

Pentru a folosi mai bine sarcinile noastre, trebuie să contribuiți la prelungirea duratei de viață a manualului YouClever pe care îl citiți în prezent.

Cum? Există două opțiuni:

1. Deblocați toate sarcinile ascunse din acest articol - 299 rub.
2. Deblocați accesul la toate sarcinile ascunse din toate cele 99 de articole ale manualului - 999 rub.

Da, avem 99 de astfel de articole în manualul nostru și accesul la toate sarcinile și toate textele ascunse din ele poate fi deschis imediat.

În al doilea caz vă vom oferi simulator „6000 de probleme cu soluții și răspunsuri, pentru fiecare subiect, la toate nivelurile de complexitate.” Cu siguranță va fi suficient pentru a pune mâna pe rezolvarea problemelor pe orice subiect.

De fapt, acesta este mult mai mult decât un simplu simulator - un întreg program de antrenament. Dacă este necesar, îl puteți folosi și GRATUIT.

Accesul la toate textele și programele este asigurat pe toată perioada de existență a site-ului.

În concluzie...

Dacă nu vă plac sarcinile noastre, găsiți altele. Doar nu te opri la teorie.

„Înțeles” și „Pot rezolva” sunt abilități complet diferite. Ai nevoie de amândouă.

Găsiți probleme și rezolvați-le!

Metoda intervalului(sau cum se numește uneori metoda intervalului) este o metodă universală de rezolvare a inegalităților. Este potrivit pentru rezolvarea unei varietăți de inegalități, dar este cel mai convenabil în rezolvare inegalități raționale cu o variabilă. Prin urmare, în cursul de algebră școlară, metoda intervalelor este strâns legată în mod specific de inegalitățile raționale și practic nu se acordă atenție rezolvării altor inegalități cu ajutorul ei.

În acest articol vom analiza în detaliu metoda intervalului și vom atinge toate complexitățile rezolvării inegalităților cu o variabilă folosind-o. Să începem prin a prezenta un algoritm de rezolvare a inegalităților folosind metoda intervalului. În continuare, vom explica pe ce aspecte teoretice se bazează acesta și vom analiza etapele algoritmului, în special, ne vom opri în detaliu asupra stabilirii semnelor pe intervale. După aceasta, vom trece la exersare și vom arăta soluții pentru mai multe exemple tipice. Și în concluzie, vom considera metoda intervalului în formă generală (adică fără referire la inegalitățile raționale), cu alte cuvinte, metoda intervalului generalizat.

Navigare în pagină.

Algoritm

Cunoașterea metodei intervalului în școală începe cu rezolvarea inegalităților de forma f(x)<0 (знак неравенства может быть и другим ≤, >sau ≥), unde f(x) este fie , reprezentat ca produs binoame liniare cu 1 pentru variabila x și/sau trinoame pătrate cu un coeficient de conducere de 1 și cu un discriminant negativ și puterile lor, sau raportul acestor polinoame. Pentru claritate, dăm exemple de astfel de inegalități: (x−5)·(x+5)≤0 , (x+3)·(x 2 −x+1)·(x+2) 3 ≥0, .

Pentru a face conversația ulterioară substanțială, să scriem imediat un algoritm pentru rezolvarea inegalităților de tipul de mai sus folosind metoda intervalului, apoi ne vom da seama ce, cum și de ce. Deci, folosind metoda intervalului:

• În primul rând, se găsesc zerourile numărătorului și zerourile numitorului. Pentru a face acest lucru, numărătorul și numitorul expresiei din partea stângă a inegalității sunt egale cu zero, iar ecuațiile rezultate sunt rezolvate.
• După aceasta, punctele corespunzătoare zerourilor găsite sunt marcate cu liniuțe. Este suficient un desen schematic, în care nu este necesar să se respecte scara, principalul lucru este să adere la locația punctelor unul față de celălalt: punctul cu coordonata mai mică este situat la stânga punctului cu coordonata mai mare. După aceasta, devine clar cum ar trebui să fie descrise: obișnuite sau perforate (cu un centru gol). La rezolvarea unei inegalități stricte (cu semn< или >) toate punctele sunt descrise ca perforate. La rezolvarea unei inegalități nestricte (cu semn ≤ sau ≥), punctele corespunzătoare zerourilor numitorului sunt perforate, iar punctele rămase marcate cu liniuțe sunt obișnuite. Aceste puncte împart linia de coordonate în mai multe intervale numerice.
• În continuare, semnele expresiei f(x) sunt determinate din partea stângă a inegalității care se rezolvă pe fiecare interval (vom descrie în detaliu cum se face acest lucru într-unul din paragrafele următoare), iar + sau - sunt plasate deasupra acestea în conformitate cu semnele definite pe ele.
• În sfârșit, la rezolvarea inegalității cu semne< или ≤ изображается штриховка над промежутками, отмеченными знаком −, а при решении неравенства со знаком >sau ≥ - peste spațiile marcate cu semnul +. Rezultatul este , care este soluția dorită a inegalității.

Rețineți că algoritmul de mai sus este în concordanță cu descrierea metodei intervalului din manualele școlare.

Pe ce se bazează metoda?

Abordarea care stă la baza metodei intervalelor are loc datorită următoarei proprietăți a unei funcții continue: dacă pe intervalul (a, b) funcția f este continuă și nu dispare, atunci ea păstrează un semn constant pe acest interval (am adăugați că o proprietate similară este valabilă și pentru razele numerice (−∞, a) și (a, +∞) ). Și această proprietate, la rândul ei, decurge din teorema Bolzano-Cauchy (considerarea ei depășește sfera curriculumului școlar), a cărei formulare și dovada, dacă este necesar, se regăsesc, de exemplu, în carte.

Pentru expresiile f(x) având forma indicată în paragraful anterior, constanța semnului pe intervale poate fi justificată în alt mod, pornind de la proprietățile inegalităților numerice și ținând cont de regulile de înmulțire și împărțire a numerelor cu același semne și semne diferite.

Ca exemplu, luați în considerare inegalitatea. Zerourile numărătorului și numitorului său împart linia numerică în trei intervale (−∞, −1), (−1, 5) și (5, +∞). Să arătăm că pe intervalul (−∞, −1) expresia din partea stângă a inegalității are semn constant (putem lua un alt interval, raționamentul va fi similar). Să luăm orice număr t din acest interval. Va satisface evident inegalitatea t<−1 , и так как −1<5 , то по свойству транзитивности, оно же будет удовлетворять и неравенству t<5 . Из этих неравенств в силу свойств числовых неравенств следует, что t+1<0 и t−5<0. То есть, t+1 и t−5 – отрицательные числа, не зависимо от того, какое конкретно число t мы возьмем из промежутка (−∞, −1) . Тогда позволяет констатировать, что значение выражения будет положительным, откуда следует, что значение выражения будет положительным при любом значении x из промежутка (−∞, −1) . Итак, на указанном промежутке выражение имеет постоянный знак, причем, это знак +.

Așa că am abordat fără probleme problema determinării semnelor pe intervale, dar nu vom trece peste primul pas al metodei intervalului, care presupune găsirea zerourilor numărătorului și numitorului.

Cum să găsiți zerourile numărătorului și numitorului?

Găsirea zerourilor numărătorului și numitorului unei fracții de tipul indicat în primul paragraf, de obicei, nu pune probleme. Pentru aceasta, expresiile de la numărător și numitor sunt egale cu zero, iar ecuațiile rezultate sunt rezolvate. Principiul rezolvării ecuațiilor de acest tip este descris în detaliu în articol rezolvarea ecuațiilor prin metoda factorizării. Aici ne vom limita doar la un exemplu.

Luați în considerare fracția și găsiți zerourile numărătorului și numitorului său. Să începem cu zerourile numărătorului. Echivalăm numărătorul cu zero, obținem ecuația x·(x−0.6)=0, din care trecem la mulțimea a două ecuații x=0 și x−0.6=0, de unde găsim două rădăcini 0 și 0.6 . Acestea sunt zerourile necesare ale numărătorului. Acum găsim zerourile numitorului. Să facem o ecuație x 7 ·(x 2 +2·x+7) 2 ·(x+5) 3 =0, este echivalent cu un set de trei ecuații x 7 =0, (x 2 +2 x+7) 2 =0, (x+5) 3 =0 și apoi x=0, x 2 +2 x+7 =0, x+5=0. Rădăcina primei dintre aceste ecuații este evidentă, este 0, a doua ecuație nu are rădăcini, deoarece discriminantul ei este negativ, iar rădăcina celei de-a treia ecuații este -5. Deci, am găsit zerourile numitorului, au fost două: 0 și −5. Rețineți că 0 s-a dovedit a fi atât un zero la numărător, cât și un zero la numitor.

Pentru a găsi zerourile numărătorului și numitorului în cazul general, când partea stângă a inegalității este o fracție, dar nu neapărat rațională, numărătorul și numitorul sunt, de asemenea, egalați cu zero, iar ecuațiile corespunzătoare sunt rezolvate.

Cum să determinați semnele la intervale?

Cea mai sigură modalitate de a determina semnul expresiei din partea stângă a inegalității pe fiecare interval este de a calcula valoarea acestei expresii în orice punct din fiecare interval. În acest caz, semnul dorit de pe interval coincide cu semnul valorii expresiei în orice punct al acestui interval. Să explicăm acest lucru cu un exemplu.

Să luăm inegalitatea . Expresia din partea stângă nu are zerouri la numărător, iar zeroul la numitor este numărul -3. Împarte linia numerică în două intervale (−∞, −3) și (−3, +∞). Să stabilim semnele de pe ele. Pentru a face acest lucru, luați un punct din aceste intervale și calculați valorile expresiei din ele. Să observăm imediat că este recomandabil să luăm astfel de puncte, astfel încât să fie ușor de efectuat calcule. De exemplu, din primul interval (−∞, −3) putem lua −4. Pentru x=−4 avem , a primit o valoare cu semnul minus (negativ), prin urmare, va exista un semn minus pe acest interval. Trecem la determinarea semnului pe al doilea interval (−3, +∞). Este convenabil să luați 0 din el (dacă 0 este inclus în interval, atunci este indicat să îl luați întotdeauna, deoarece la x=0 calculele sunt cele mai simple). La x=0 avem . Această valoare are un semn plus (pozitiv), deci va exista un semn plus pe acest interval.

Există o altă abordare pentru determinarea semnelor, care constă în găsirea semnului la unul dintre intervale și menținerea acestuia sau schimbarea acestuia la trecerea la intervalul adiacent prin zero. Trebuie să respectați următoarea regulă. La trecerea prin zero al numărătorului, dar nu prin numitor, sau prin zero al numitorului, dar nu prin numărător, semnul se schimbă dacă gradul expresiei care dă acest zero este impar și nu se schimbă dacă este par . Și la trecerea printr-un punct care este atât zero al numărătorului, cât și zero al numitorului, semnul se schimbă dacă suma puterilor expresiilor care dau acest zero este impară și nu se schimbă dacă este par.

Apropo, dacă expresia din partea dreaptă a inegalității are forma indicată la începutul primului paragraf al acestui articol, atunci va exista un semn plus pe decalajul din dreapta.

Pentru a clarifica totul, să ne uităm la un exemplu.

Să existe inegalitate înaintea noastră , și o rezolvăm folosind metoda intervalului. Pentru a face acest lucru, găsim zerourile numărătorului 2, 3, 4 și zerourile numitorului 1, 3, 4, marcați-le mai întâi pe linia de coordonate cu liniuțe

apoi înlocuim zerourile numitorului cu imagini de puncte perforate

și deoarece rezolvăm o inegalitate nestrictă, înlocuim liniuțele rămase cu puncte obișnuite

Și apoi vine momentul identificării semnelor la intervale. După cum am observat înainte de acest exemplu, în intervalul din dreapta (4, +∞) va exista un semn +:

Să determinăm semnele rămase, în timp ce trecem de la gol la gol de la dreapta la stânga. Trecând la următorul interval (3, 4), trecem prin punctul cu coordonata 4. Acesta este zero atât al numărătorului, cât și al numitorului, aceste zerouri dau expresiile (x−4) 2 și x−4, suma puterilor lor este 2+1=3, iar acesta este un număr impar, ceea ce înseamnă că la trecerea prin acest punct trebuie să schimbați semnul. Prin urmare, pe intervalul (3, 4) va exista un semn minus:

Mergem mai departe la intervalul (2, 3), în timp ce trecem prin punctul cu coordonata 3. Acesta este, de asemenea, zero atât al numărătorului, cât și al numitorului, este dat de expresiile (x−3) 3 și (x−3) 5, suma puterilor lor este 3+5=8, iar acesta este par. numărul, prin urmare, semnul va rămâne neschimbat:

Trecem mai departe la intervalul (1, 2). Calea către acesta este blocată de un punct cu coordonata 2. Acesta este zero al numărătorului, este dat de expresia x−2, gradul său este 1, adică este impar, prin urmare, la trecerea prin acest punct, semnul se va schimba:

În cele din urmă, rămâne de determinat semnul pe ultimul interval (−∞, 1) . Pentru a ajunge la el, trebuie să depășim punctul cu coordonata 1. Acesta este zeroul numitorului, este dat de expresia (x−1) 4, gradul său este 4, adică este par, prin urmare, semnul nu se va schimba la trecerea prin acest punct. Deci am identificat toate semnele, iar desenul ia următoarea formă:

Este clar că utilizarea metodei luate în considerare este justificată în special atunci când calcularea valorii unei expresii implică o cantitate mare de muncă. De exemplu, calculați valoarea expresiei în orice moment al intervalului .

Exemple de rezolvare a inegalităților folosind metoda intervalului

Acum puteți reuni toate informațiile prezentate, suficiente pentru a rezolva inegalitățile folosind metoda intervalului și puteți analiza soluțiile mai multor exemple.

Exemplu.

Rezolvați inegalitatea .

Soluţie.

Să rezolvăm această inegalitate folosind metoda intervalului. Evident, zerourile numărătorului sunt 1 și -5, iar zerourile numitorului sunt 1. Le marchem pe linia numerică, cu punctele cu coordonatele și 1 punctat ca zerouri ale numitorului, iar zeroul rămas al numărătorului −5 reprezentat ca un punct obișnuit, deoarece rezolvăm o inegalitate nestrictă:

Acum punem semne pe intervale, respectând regula menținerii sau schimbării semnului la trecerea prin zerouri. Va exista un semn + deasupra decalajului din dreapta (acest lucru poate fi verificat prin calcularea valorii expresiei din partea stângă a inegalității la un moment dat în acest decalaj, de exemplu, la x=3). Când trecem prin semn schimbăm, când trecem prin 1 îl lăsăm la fel, iar când trecem prin −5 lăsăm din nou semnul neschimbat:

Deoarece rezolvăm inegalitatea cu semnul ≤, rămâne să trasăm umbrire peste intervalele marcate cu semnul − și să notăm răspunsul din imaginea rezultată.

Deci, soluția pe care o căutăm este: .

Răspuns:

.

Pentru a fi corect, să atragem atenția asupra faptului că, în marea majoritate a cazurilor, la rezolvarea inegalităților raționale, acestea trebuie mai întâi transformate în forma necesară pentru a face posibilă rezolvarea lor folosind metoda intervalelor. Vom discuta în detaliu cum să efectuați astfel de transformări în articol. rezolvarea inegalităților raționale, iar acum vom da un exemplu care ilustrează un punct important referitor la trinoamele pătrate în înregistrarea inegalităților.

Exemplu.

Găsiți soluția inegalității .

Soluţie.

La prima vedere asupra acestei inegalități, se pare că forma ei este potrivită pentru aplicarea metodei intervalului. Dar nu strică să verifici dacă discriminanții trinoamelor pătratice din notația sa sunt cu adevărat negativi. Să le dăm seama pentru a ne ușura conștiința. Pentru trinomul x 2 +3 x+3 avem D=3 2 −4 1 3=−3<0 , а для трехчлена x 2 +2·x−8 получаем D’=1 2 −1·(−8)=9>0 . Aceasta înseamnă că sunt necesare transformări pentru a da acestei inegalități forma dorită. În acest caz, este suficient să reprezentați trinomul x 2 +2 x−8 ca (x+4) (x−2) , iar apoi să rezolvați inegalitatea folosind metoda intervalelor .

Răspuns:

.

Metoda intervalului generalizat

Metoda intervalului generalizat vă permite să rezolvați inegalitățile de forma f(x)<0 (≤, >, ≥), unde f(x) este arbitrară cu o variabilă x. Să-l notăm algoritm de rezolvare a inegalităților folosind metoda intervalului generalizat:

• Mai întâi aveți nevoie de f și de zerourile acestei funcție.
• Punctele limită, inclusiv punctele individuale, ale domeniului de definiție sunt marcate pe linia numerică. De exemplu, dacă domeniul unei funcții este mulțimea (−5, 1]∪(3)∪ (nu definim semnul pe intervalul (−6, 4), deoarece nu face parte din domeniul de definire al funcției.) Pentru a face acest lucru, luați un punct din fiecare interval, de exemplu, 16 , 8 , 6 și −8 și calculați valoarea funcției f din ele:
  
  

  Dacă aveți întrebări despre cum s-a aflat care sunt valorile calculate ale funcției, pozitive sau negative, atunci studiați materialul din articol compararea numerelor.

  Amplasăm semnele nou definite și aplicăm umbrire peste spațiile cu semnul minus:
  

  În răspuns scriem unirea a două intervale cu semnul −, avem (−∞, −6]∪(7, 12). Rețineți că −6 este inclus în răspuns (punctul corespunzător este solid, nu perforat) Cert este că acesta nu este zero al funcției (pe care, la rezolvarea unei inegalități stricte, nu l-am include în răspuns), ci punctul limită al domeniului de definiție (este colorat, nu negru) și inclus în domeniul definiției. Valoarea funcției în acest punct este negativă (după cum este evidențiată de semnul minus pe intervalul corespunzător), adică satisface inegalitatea. Dar 4 nu trebuie inclus în răspuns (ca precum și întregul interval ∪(7, 12) .

  Bibliografie.

  1. Algebră: Clasa a IX-a: educațională. pentru învăţământul general instituții / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; editat de S. A. Teliakovsky. - Ed. a XVI-a. - M.: Educație, 2009. - 271 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-021134-5.
  2. Mordkovich A.G. Algebră. clasa a 9-a. În 2 ore Partea 1. Manual pentru studenții instituțiilor de învățământ general / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - Ed. a XIII-a, șters. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 p.: ill. ISBN 978-5-346-01752-3.
  3. Algebră iar începutul analizei: Proc. pentru clasele 10-11. educatie generala instituții / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn și alții; Ed. A. N. Kolmogorov.- ed. a XIV-a - M.: Educație, 2004. - 384 p.: il. - ISBN 5-09-013651-3.
  4. Kudryavtsev L.D. Curs de analiză matematică (în două volume): Manual pentru studenți și studenți. – M.: Mai sus. şcoală, 1981, vol. 1. – 687 p., ill.

  Primul nivel

  Metoda intervalului. Ghidul suprem (2019)

  Trebuie doar să înțelegi această metodă și să o cunoști ca pe dosul mâinii! Fie doar pentru că este folosit pentru rezolvarea inegalităților raționale și pentru că, cunoscând corect această metodă, rezolvarea acestor inegalități este surprinzător de simplă. Puțin mai târziu, vă voi spune câteva secrete despre cum să economisiți timp în rezolvarea acestor inegalități. Ei bine, ești intrigat? Atunci să mergem!

  Esența metodei este de a factoriza inegalitatea în factori (repetați subiectul) și de a determina ODZ și semnul factorilor; acum voi explica totul. Să luăm cel mai simplu exemplu: .

  Nu este nevoie să scrieți aici intervalul de valori acceptabile () deoarece nu există nicio diviziune prin variabilă și nu există radicali (rădăcini) observați aici. Totul aici este deja factorizat pentru noi. Dar nu vă relaxați, toate acestea sunt pentru a vă aminti elementele de bază și pentru a înțelege esența!

  Să presupunem că nu cunoașteți metoda intervalului, cum ați rezolva această inegalitate? Abordați logic și construiți pe ceea ce știți deja. În primul rând, partea stângă va fi mai mare decât zero dacă ambele expresii din paranteze sunt fie mai mari decât zero, fie mai mici decât zero, deoarece „plus” pentru „plus” dă „plus” și „minus” pentru „minus” dă „plus”, nu? Și dacă semnele expresiilor din paranteze sunt diferite, atunci în cele din urmă partea stângă va fi mai mică decât zero. De ce avem nevoie pentru a afla acele valori la care expresiile dintre paranteze vor fi negative sau pozitive?

  Trebuie să rezolvăm o ecuație, este exact la fel cu o inegalitate, doar că în loc de semn va fi un semn, rădăcinile acestei ecuații ne vor permite să determinăm acele valori la limită, la plecarea de la care factorii vor fi mai mari. sau mai puțin de zero.

  Și acum intervalele în sine. Ce este un interval? Acesta este un anumit interval al dreptei numerice, adică toate numerele posibile cuprinse între două numere - capetele intervalului. Nu este atât de ușor să-ți imaginezi aceste intervale în capul tău, așa că este obișnuit să desenezi intervale, te voi învăța acum.

  Desenăm o axă; întreaga serie de numere de la și până la este situată pe ea. Punctele sunt trasate pe axă, așa-numitele zerouri ale funcției, valorile la care expresia este egală cu zero. Aceste puncte sunt „evidențiate”, ceea ce înseamnă că nu se numără printre acele valori la care inegalitatea este adevărată. În acest caz, ele sunt perforate pentru că semnează inegalitatea și nu, adică strict mai mare decât și nu mai mare decât sau egal cu.

  Vreau să spun că nu este necesar să se marcheze zero, este aici fără cercuri, ci doar pentru înțelegere și orientare de-a lungul axei. Bine, am desenat axa, am pus punctele (mai precis, cercuri), ce urmează, cum mă va ajuta asta să rezolv? - tu intrebi. Acum luați valoarea pentru x din intervale în ordine și înlocuiți-le în inegalitatea dvs. și vedeți în ce semn rezultă înmulțirea.

  Pe scurt, o luăm de exemplu, înlocuim-o aici, se va rezolva, ceea ce înseamnă că inegalitatea va fi valabilă pe tot intervalul (pe întregul interval) de la până la, din care am luat-o. Cu alte cuvinte, dacă x este de la până, atunci inegalitatea este adevărată.

  Facem același lucru cu intervalul de la până, luați sau, de exemplu, înlocuiți în, determinăm semnul, semnul va fi „minus”. Și facem același lucru cu ultimul, al treilea interval de la până, unde semnul se dovedește a fi „plus”. Există atât de mult text, dar nu suficientă claritate, nu?

  Aruncă o altă privire asupra inegalității.

  Acum aplicăm și semnele care se vor obține ca rezultat pe aceeași axă. În exemplul meu, o linie întreruptă denotă secțiunile pozitive și negative ale axei.

  

  Privește inegalitatea - la desen, din nou la inegalitatea - și din nou la desen, este ceva clar? Acum încercați să spuneți la ce intervale X, inegalitatea va fi adevărată. Așa este, de la până la inegalitatea va fi adevărată și de la până la, dar pe intervalul de la până la inegalitatea este zero și acest interval ne interesează puțin, deoarece avem un semn în inegalitate.

  Ei bine, acum că v-ați dat seama, singurul lucru care mai rămâne de făcut este să scrieți răspunsul! Ca răspuns, scriem acele intervale pentru care partea stângă este mai mare decât zero, care se citește ca X aparține intervalului de la minus infinit la minus unu și de la doi la plus infinit. Merită clarificat faptul că parantezele înseamnă că valorile prin care intervalul este limitat nu sunt soluții la inegalitate, adică nu sunt incluse în răspuns, ci indică doar că până la, de exemplu, nu este un soluţie.

  Acum un exemplu în care nu va trebui doar să desenați intervalul:

  Ce crezi că trebuie făcut înainte de a pune puncte pe axă? Da, includeți-l în factori:

  Desenăm intervale și plasăm semne, observăm că avem puncte perforate pentru că semnul este strict mai mic decât zero:

  

  Este timpul să vă spun un secret pe care l-am promis la începutul acestui topic! Dacă ți-aș spune că nu trebuie să înlocuiești valorile din fiecare interval pentru a determina semnul, dar poți determina semnul într-unul dintre intervale și pur și simplu alterna semnele în restul!

  Astfel, am economisit puțin timp la așezarea semnelor - cred că acest timp câștigat la examenul de stat unificat nu va strica!

  Scriem răspunsul:

  Acum luați în considerare un exemplu de inegalitate fracțională-rațională - o inegalitate, ambele părți din care sunt expresii raționale (vezi).

  Ce poți spune despre această inegalitate? Și o privești ca pe o ecuație fracțională-rațională, ce facem mai întâi? Vedem imediat că nu există rădăcini, ceea ce înseamnă că este cu siguranță rațional, dar apoi este o fracție și chiar cu o necunoscută la numitor!

  Așa e, avem nevoie de ODZ!

  Deci, să mergem mai departe, aici toți factorii, cu excepția unuia, au o variabilă de gradul întâi, dar există un factor în care x are un grad al doilea. De obicei, semnul nostru s-a schimbat după trecerea printr-unul dintre punctele în care partea stângă a inegalității capătă o valoare zero, pentru care am determinat cu ce ar trebui să fie x în fiecare factor. Dar aici, este întotdeauna pozitiv, pentru că orice număr la pătrat > zero și un termen pozitiv.

  Crezi că acest lucru va afecta sensul inegalității? Așa este - nu va afecta! Putem împărți în siguranță inegalitatea în ambele părți și, prin urmare, putem elimina acest factor, astfel încât să nu fie o criză.

  A sosit momentul să desenați intervalele; pentru a face acest lucru, trebuie să determinați acele valori de limită, la plecare de la care multiplicatorii vor fi mai mari și mai mici decât zero. Dar fiți atenți că aici există un semn, înseamnă că nu vom alege punctul în care partea stângă a inegalității capătă o valoare zero, este inclusă în numărul de soluții, avem doar un astfel de punct, acesta este punctul în care x este egal cu unu. Să colorăm punctul în care numitorul este negativ? - Desigur că nu!

  Numitorul nu trebuie să fie zero, deci intervalul va arăta astfel:

  

  Folosind această diagramă, puteți scrie cu ușurință răspunsul, voi spune doar că acum aveți la dispoziție un nou tip de paranteză - pătrat! Iată o paranteză [ spune că valoarea este inclusă în intervalul de soluție, i.e. face parte din răspuns, această paranteză corespunde unui punct umplut (nu fixat) pe axă.

  Deci, ai primit același răspuns?

  O includem în factori și mutam totul într-o parte; la urma urmei, trebuie să lăsăm doar zero în dreapta pentru a compara cu el:

  Vă atrag atenția că în ultima transformare, pentru a obține atât la numărător cât și la numitor, înmulțesc ambele părți ale inegalității cu. Amintiți-vă că atunci când ambele părți ale unei inegalități sunt înmulțite cu, semnul inegalității se schimbă la opus!!!

  Scriem ODZ:

  În caz contrar, numitorul va ajunge la zero și, după cum vă amintiți, nu puteți împărți la zero!

  De acord, inegalitatea rezultată este tentantă să reducă numărătorul și numitorul! Acest lucru nu se poate face; este posibil să pierdeți unele dintre decizii sau ODZ!

  Acum încercați să puneți singur punctele pe axă. Voi observa doar că atunci când trasați puncte, trebuie să acordați atenție faptului că un punct cu o valoare, care, pe baza semnului, ar părea a fi reprezentat pe axă ca umbrit, nu va fi umbrit, va fi scos! De ce întrebaţi? Și ține minte ODZ, nu vei împărți la zero așa?

  Amintiți-vă, ODZ este pe primul loc! Dacă toate inegalitățile și semnele egale spun un lucru, iar ODZ spune altceva, ai încredere în ODZ, mare și puternic! Ei bine, tu ai construit intervalele, sunt sigur că mi-ai luat aluzie despre alternanță și ai înțeles așa (vezi poza de mai jos) Acum taie-l și nu mai face greșeala asta! Ce eroare? - tu intrebi.

  

  Cert este că în această inegalitate factorul s-a repetat de două ori (vă amintiți cum ați încercat să-l reduceți?). Deci, dacă un factor se repetă în inegalitate de un număr par de ori, atunci când trece printr-un punct de pe axa care transformă acest factor la zero (în acest caz, un punct), semnul nu se va schimba; dacă este impar , atunci semnul se schimba!

  Următoarea axă cu intervale și semne va fi corectă:

  

  Și, vă rugăm să rețineți că semnul care ne interesează nu este cel care a fost la început (când am văzut prima dată inegalitatea, semnul era acolo), după transformări, semnul s-a schimbat în, ceea ce înseamnă că ne interesează intervale. cu un semn.

  Răspuns:

  Voi mai spune că sunt situații când există rădăcini ale inegalității care nu sunt incluse în niciun interval, ca răspuns sunt scrise între paranteze, așa, de exemplu: . Despre astfel de situații puteți citi mai multe în articolul nivel mediu.

  Să rezumăm cum să rezolvăm inegalitățile folosind metoda intervalului:

  1. Mutăm totul în partea stângă, lăsând doar zero în dreapta;
  2. Găsim ODZ;
  3. Trasăm toate rădăcinile inegalității pe axă;
  4. Luăm unul arbitrar dintr-unul dintre intervale și determinăm semnul în intervalul căruia îi aparține rădăcina, alternăm semnele, acordând atenție rădăcinilor care se repetă de mai multe ori în inegalitate; depinde dacă semnul se schimbă la trecerea lor. pe uniformitatea sau neregulă a numărului de ori se repetă sau nu;
  5. Ca răspuns, scriem intervale, observând punctele perforate și neperforate (vezi ODZ), plasând între ele tipurile necesare de paranteze.

  Și, în sfârșit, secțiunea noastră preferată, „do it yourself”!

  Exemple:

  Raspunsuri:

  METODA INTERVALULUI. NIVEL MEDIU

  Funcție liniară

  O funcție a formei se numește liniară. Să luăm ca exemplu o funcție. Este pozitiv la și negativ la. Punctul este zero al funcției (). Să arătăm semnele acestei funcții pe axa numerelor:

  

  Spunem că „funcția își schimbă semnul la trecerea prin punct”.

  Se poate observa că semnele funcției corespund poziției graficului funcției: dacă graficul este deasupra axei, semnul este „ ”, dacă sub acesta este „ ”.

  Dacă generalizăm regula rezultată la o funcție liniară arbitrară, obținem următorul algoritm:

  • Aflarea zeroului funcției;
  • O marcam pe axa numerelor;
  • Determinăm semnul funcției pe laturile opuse ale zeroului.

  Funcția pătratică

  Sper că vă amintiți cum să rezolvați inegalitățile pătratice? Daca nu, citeste subiectul. Permiteți-mi să vă reamintesc de forma generală a unei funcții pătratice: .

  Acum să ne amintim ce semne are funcția pătratică. Graficul său este o parabolă, iar funcția ia semnul " " pentru cei în care parabola este deasupra axei și " " - dacă parabola este sub axa:

  

  Dacă o funcție are zerouri (valori la care), parabola intersectează axa în două puncte - rădăcinile ecuației pătratice corespunzătoare. Astfel, axa este împărțită în trei intervale, iar semnele funcției se schimbă alternativ la trecerea prin fiecare rădăcină.

  Este posibil să determinați cumva semnele fără să desenați o parabolă de fiecare dată?

  Amintiți-vă că un trinom pătrat poate fi factorizat:

  De exemplu: .

  Să marchem rădăcinile pe axă:

  Ne amintim că semnul unei funcții se poate schimba doar la trecerea prin rădăcină. Să folosim acest fapt: pentru fiecare dintre cele trei intervale în care axa este împărțită prin rădăcini, este suficient să se determine semnul funcției într-un singur punct ales arbitrar: în punctele rămase ale intervalului semnul va fi același .

  În exemplul nostru: la ambele expresii dintre paranteze sunt pozitive (înlocuitor, de exemplu:). Punem semnul „ ” pe axă:

  

  

  Ei bine, când (înlocuitor, de exemplu), ambele paranteze sunt negative, ceea ce înseamnă că produsul este pozitiv:

  

  Asta e metoda intervalului: cunoscând semnele factorilor pe fiecare interval, determinăm semnul întregului produs.

  Să luăm în considerare și cazurile în care funcția nu are zerouri sau doar unul.

  Dacă nu sunt acolo, atunci nu există rădăcini. Aceasta înseamnă că nu va exista nicio „trecere prin rădăcină”. Aceasta înseamnă că funcția ia un singur semn pe întreaga linie numerică. Poate fi determinat cu ușurință prin substituirea acesteia într-o funcție.

  Dacă există o singură rădăcină, parabola atinge axa, deci semnul funcției nu se schimbă la trecerea prin rădăcină. Cu ce ​​regulă putem veni pentru astfel de situații?

  Dacă factorizați o astfel de funcție, obțineți doi factori identici:

  Și orice expresie la pătrat este nenegativă! Prin urmare, semnul funcției nu se schimbă. În astfel de cazuri, vom evidenția rădăcina, la trecerea prin care semnul nu se schimbă, încercuind-o cu un pătrat:

  O astfel de rădăcină o vom numi multiplu.

  Metoda intervalului în inegalități

  Acum orice inegalitate pătratică poate fi rezolvată fără a trasa o parabolă. Este suficient doar să plasați semnele funcției pătratice pe axă și să selectați intervale în funcție de semnul inegalității. De exemplu:

  Să măsurăm rădăcinile pe axă și să plasăm semnele:

  

  Avem nevoie de partea axei cu semnul " "; deoarece inegalitatea nu este strictă, rădăcinile în sine sunt incluse și în soluție:

  Acum luați în considerare o inegalitate rațională - o inegalitate, a cărei ambele părți sunt expresii raționale (vezi).

  Exemplu:

  Toți factorii, cu excepția unuia, sunt „liniari” aici, adică conțin o variabilă numai pentru prima putere. Avem nevoie de astfel de factori liniari pentru a aplica metoda intervalului - semnul se schimbă la trecerea prin rădăcinile lor. Dar multiplicatorul nu are deloc rădăcini. Aceasta înseamnă că este întotdeauna pozitiv (verificați acest lucru pentru dvs.) și, prin urmare, nu afectează semnul întregii inegalități. Aceasta înseamnă că putem împărți părțile stânga și dreapta ale inegalității cu aceasta și, astfel, scăpăm de ea:

  Acum totul este la fel ca în cazul inegalităților pătratice: determinăm în ce puncte fiecare dintre factori devine zero, marchem aceste puncte pe axă și aranjam semnele. Aș dori să vă atrag atenția asupra unui fapt foarte important:

  
  

  Răspuns: . Exemplu: .

  Pentru a aplica metoda intervalului, una dintre părțile inegalității trebuie să aibă. Prin urmare, să mutam partea dreaptă la stânga:

  Numătorul și numitorul au același factor, dar nu vă grăbiți să-l reduceți! La urma urmei, atunci s-ar putea să uităm să scoatem acest punct. Este mai bine să marcați această rădăcină ca multiplu, adică atunci când treceți prin ea, semnul nu se va schimba:

  Răspuns: .

  Și încă un exemplu foarte ilustrativ:

  Din nou, nu anulăm aceiași factori ai numărătorului și numitorului, deoarece, dacă o facem, va trebui să ne amintim în mod special să perforam punctul.

  • : ori repetate;
  • : ori;
  • : ori (la numărător și unul la numitor).

  În cazul unui număr par, procedăm la fel ca înainte: încercuim punctul cu un pătrat și nu schimbăm semnul la trecerea prin rădăcină. Dar în cazul unui număr impar, această regulă nu se aplică: semnul se va schimba în continuare la trecerea prin rădăcină. Prin urmare, nu facem nimic suplimentar cu o astfel de rădăcină, de parcă nu ar fi un multiplu. Regulile de mai sus se aplică tuturor puterilor pare și impare.
  

  Ce ar trebui să scriem în răspuns?

  Dacă alternarea semnelor este încălcată, trebuie să fii foarte atent, deoarece dacă inegalitatea nu este strictă, răspunsul ar trebui să includă toate punctele umbrite. Dar unele dintre ele sunt adesea separate, adică nu sunt incluse în zona umbrită. În acest caz, le adăugăm la răspuns ca puncte izolate (în acolade):

  Exemple (decideți singur):

  Raspunsuri:

  1. Dacă printre factori este simplă, este o rădăcină, deoarece poate fi reprezentată ca.
     .

  METODA INTERVALULUI. SCURT DESPRE LUCRURILE PRINCIPALE

  Metoda intervalului este utilizată pentru a rezolva inegalitățile raționale. Constă în determinarea semnului produsului din semnele factorilor pe diverse intervale.

  Algoritm pentru rezolvarea inegalităților raționale folosind metoda intervalului.

  • Mutăm totul în partea stângă, lăsând doar zero în dreapta;
  • Găsim ODZ;
  • Trasăm toate rădăcinile inegalității pe axă;
  • Luăm unul arbitrar dintr-unul dintre intervale și determinăm semnul în intervalul căruia îi aparține rădăcina, alternăm semnele, acordând atenție rădăcinilor care se repetă de mai multe ori în inegalitate; depinde dacă semnul se schimbă la trecerea lor. pe uniformitatea sau neregulă a numărului de ori se repetă sau nu;
  • Ca răspuns, scriem intervale, observând punctele perforate și neperforate (vezi ODZ), plasând între ele tipurile necesare de paranteze.

  Ei bine, subiectul s-a terminat. Dacă citești aceste rânduri, înseamnă că ești foarte cool.

  Pentru că doar 5% dintre oameni sunt capabili să stăpânească ceva pe cont propriu. Și dacă citești până la capăt, atunci ești în acest 5%!

  Acum cel mai important lucru.

  Ați înțeles teoria pe această temă. Și, repet, asta... asta este pur și simplu super! Ești deja mai bun decât marea majoritate a colegilor tăi.

  Problema este că acest lucru poate să nu fie suficient...

  Pentru ce?

  Pentru promovarea cu succes a Examenului Unificat de Stat, pentru intrarea la facultate cu buget redus și, CEL MAI IMPORTANT, pe viață.

  Nu te voi convinge de nimic, o să spun doar un lucru...

  Oamenii care au primit o educație bună câștigă mult mai mult decât cei care nu au primit-o. Aceasta este statistica.

  Dar acesta nu este principalul lucru.

  Principalul lucru este că sunt MAI FERICIȚI (există astfel de studii). Poate pentru că mai multe oportunități se deschid în fața lor și viața devine mai strălucitoare? nu stiu...

  Dar gandeste-te singur...

  Ce este nevoie pentru a fi sigur că ești mai bun decât alții la examenul de stat unificat și, în cele din urmă, fii... mai fericit?

  CĂGAȚI-VĂ MÂNĂ REZOLVÂND PROBLEME PE ACEST TEMA.

  Nu ți se va cere teorie în timpul examenului.

  Vei avea nevoie rezolva problemele in timp.

  Și, dacă nu le-ați rezolvat (MULTE!), cu siguranță veți face o greșeală stupidă undeva sau pur și simplu nu veți avea timp.

  Este ca în sport - trebuie să o repeți de multe ori pentru a câștiga cu siguranță.

  Găsiți colecția oriunde doriți, neaparat cu solutii, analiza detaliata si decide, decide, decide!

  Puteți folosi sarcinile noastre (opțional) și noi, bineînțeles, le recomandăm.

  Pentru a folosi mai bine sarcinile noastre, trebuie să contribuiți la prelungirea duratei de viață a manualului YouClever pe care îl citiți în prezent.

  Cum? Există două opțiuni:

  1. Deblocați toate sarcinile ascunse din acest articol - 299 rub.
  2. Deblocați accesul la toate sarcinile ascunse din toate cele 99 de articole ale manualului - 999 rub.

  Da, avem 99 de astfel de articole în manualul nostru și accesul la toate sarcinile și toate textele ascunse din ele poate fi deschis imediat.

  În al doilea caz vă vom oferi simulator „6000 de probleme cu soluții și răspunsuri, pentru fiecare subiect, la toate nivelurile de complexitate.” Cu siguranță va fi suficient pentru a pune mâna pe rezolvarea problemelor pe orice subiect.

  De fapt, acesta este mult mai mult decât un simplu simulator - un întreg program de antrenament. Dacă este necesar, îl puteți folosi și GRATUIT.

  Accesul la toate textele și programele este asigurat pe toată perioada de existență a site-ului.

  În concluzie...

  Dacă nu vă plac sarcinile noastre, găsiți altele. Doar nu te opri la teorie.

  „Înțeles” și „Pot rezolva” sunt abilități complet diferite. Ai nevoie de amândouă.

  Găsiți probleme și rezolvați-le!

  Metoda intervalului– o modalitate simplă de rezolvare a inegalităților raționale fracționale. Acesta este numele pentru inegalitățile care conțin expresii raționale (sau fracționale-rationale) care depind de o variabilă.

  1. Luați în considerare, de exemplu, următoarea inegalitate

  Metoda intervalului vă permite să o rezolvați în câteva minute.

  În partea stângă a acestei inegalități se află o funcție rațională fracțională. Rațional pentru că nu conține rădăcini, sinusuri sau logaritmi - doar expresii raționale. În dreapta este zero.

  Metoda intervalului se bazează pe următoarea proprietate a unei funcții raționale fracționale.

  O funcție rațională fracțională poate schimba semnul numai în acele puncte în care este egală cu zero sau nu există.

  Să ne amintim cum este factorizat un trinom pătratic, adică o expresie de forma .

  Unde și sunt rădăcinile ecuației pătratice.

  Desenăm o axă și plasăm punctele în care numărătorul și numitorul merg la zero.

  

  Zerourile numitorului și sunt puncte perforate, deoarece în aceste puncte funcția din partea stângă a inegalității nu este definită (nu puteți împărți la zero). Zerourile numărătorului și - sunt umbrite, deoarece inegalitatea nu este strictă. Când și inegalitatea noastră este satisfăcută, deoarece ambele laturi sunt egale cu zero.

  Aceste puncte despart axa în intervale.

  Să determinăm semnul funcției raționale fracționale din partea stângă a inegalității noastre la fiecare dintre aceste intervale. Ne amintim că o funcție rațională fracțională poate schimba semnul numai în acele puncte în care este egală cu zero sau nu există. Aceasta înseamnă că la fiecare dintre intervalele dintre punctele în care numărătorul sau numitorul ajunge la zero, semnul expresiei din partea stângă a inegalității va fi constant - fie „plus”, fie „minus”.

  Prin urmare, pentru a determina semnul funcției pe fiecare astfel de interval, luăm orice punct aparținând acestui interval. Cel care ne este convenabil.
  . Luați, de exemplu, și verificați semnul expresiei din partea stângă a inegalității. Fiecare dintre „paranteze” este negativ. Partea stângă are un semn.

  

  Următorul interval: . Să verificăm semnul de la . Constatăm că partea stângă și-a schimbat semnul în .

  

  Să o luăm. Când expresia este pozitivă - prin urmare, este pozitivă pe întreg intervalul de la până la.

  

  Când partea stângă a inegalității este negativă.

  

  Și, în sfârșit, class="tex" alt="x>7"> . Подставим и проверим знак выражения в левой части неравенства. Каждая "скобочка" положительна. Следовательно, левая часть имеет знак .!}

  

  Am aflat la ce intervale expresia este pozitivă. Rămâne doar să scrieți răspunsul:

  Răspuns: .

  Vă rugăm să rețineți: semnele alternează între intervale. Acest lucru s-a întâmplat pentru că la trecerea prin fiecare punct, exact unul dintre factorii liniari și-a schimbat semnul, în timp ce restul l-a păstrat neschimbat.

  Vedem că metoda intervalului este foarte simplă. Pentru a rezolva inegalitatea fracționară-rațională folosind metoda intervalului, o reducem la forma:

  Sau class="tex" alt="\genfrac())()(0)(\displaystyle P\left(x\right))(\displaystyle Q\left(x\right)) > 0"> !}, sau sau .

  (în partea stângă este o funcție rațională fracțională, în partea dreaptă este zero).

  Apoi marchem pe linia numerica punctele in care numaratorul sau numitorul merge la zero.
  Aceste puncte împart întreaga dreaptă numerică în intervale, pe fiecare dintre ele funcția fracționară-rațională își păstrează semnul.
  Rămâne doar să-i aflăm semnul la fiecare interval.
  Facem acest lucru verificând semnul expresiei în orice punct aparținând unui interval dat. După aceea, scriem răspunsul. Asta e tot.

  Dar se pune întrebarea: semnele alternează întotdeauna? Nu, nu întotdeauna! Trebuie să fii atent și să nu așezi semne mecanic și fără gânduri.

  2. Să luăm în considerare o altă inegalitate.

  Class="tex" alt="\genfrac())()(0)(\displaystyle \left(x-2 \right)^2)(\displaystyle \left(x-1 \right) \ stânga(x-3 \dreapta))>0"> !}

  Așezați din nou punctele pe axă. Punctele și sunt perforate pentru că sunt zerouri ale numitorului. Punctul este, de asemenea, tăiat, deoarece inegalitatea este strictă.

  

  Când numărătorul este pozitiv, ambii factori din numitor sunt negativi. Acest lucru poate fi verificat cu ușurință luând orice număr dintr-un interval dat, de exemplu, . Partea stângă are semnul:

  

  Când numărătorul este pozitiv; Primul factor din numitor este pozitiv, al doilea factor este negativ. Partea stângă are semnul:

  

  Situația este aceeași! Numătorul este pozitiv, primul factor din numitor este pozitiv, al doilea este negativ. Partea stângă are semnul:

  

  În cele din urmă, cu class="tex" alt="x>3"> все множители положительны, и левая часть имеет знак :!}
  
  

  Răspuns: .

  De ce a fost întreruptă alternanța semnelor? Pentru că atunci când trece printr-un punct, multiplicatorul este „responsabil” pentru acesta nu a schimbat semnul. În consecință, toată partea stângă a inegalității noastre nu și-a schimbat semnul.

  Concluzie: dacă multiplicatorul liniar este o putere pară (de exemplu, pătrat), atunci când trece printr-un punct semnul expresiei din partea stângă nu se schimbă. În cazul unui grad impar, semnul, desigur, se schimbă.

  3. Să luăm în considerare un caz mai complex. Diferă de precedentul prin faptul că inegalitatea nu este strictă:

  Partea stângă este aceeași ca în problema anterioară. Imaginea semnelor va fi aceeași:

  

  Poate răspunsul va fi același? Nu! Se adaugă o soluție. Acest lucru se întâmplă deoarece ambele părți din stânga și din dreapta inegalității sunt egale cu zero - prin urmare, acest punct este o soluție.

  Răspuns: .

  Această situație apare adesea în problemele de la examenul unificat de stat la matematică. Aici candidații cad într-o capcană și pierd puncte. Atenție!

  4. Ce trebuie să faceți dacă numărătorul sau numitorul nu poate fi factorizat în factori liniari? Luați în considerare această inegalitate:

  Un trinom pătrat nu poate fi factorizat: discriminantul este negativ, nu există rădăcini. Dar asta e bine! Aceasta înseamnă că semnul expresiei pentru toți este același și, în mod specific, pozitiv. Puteți citi mai multe despre acest lucru în articolul despre proprietățile funcțiilor pătratice.

  Și acum putem împărți ambele părți ale inegalității noastre la o valoare care este pozitivă pentru toți. Să ajungem la o inegalitate echivalentă:

  Ceea ce se rezolvă ușor folosind metoda intervalului.

  Vă rugăm să rețineți că am împărțit ambele părți ale inegalității la o valoare despre care știam cu siguranță că este pozitivă. Desigur, în general, nu trebuie să înmulțiți sau să împărțiți o inegalitate cu o variabilă al cărei semn este necunoscut.

  5 . Să luăm în considerare o altă inegalitate, aparent destul de simplă:

  Vreau doar să o înmulțesc cu . Dar suntem deja inteligenți și nu vom face asta. La urma urmei, poate fi atât pozitiv, cât și negativ. Și știm că dacă ambele părți ale inegalității sunt înmulțite cu o valoare negativă, semnul inegalității se schimbă.

  O vom face diferit - vom colecta totul într-o singură parte și o vom aduce la un numitor comun. Partea dreaptă va rămâne zero:

  Class="tex" alt="\genfrac())()()(0)(\displaystyle x-2)(\displaystyle x)>0"> !}

  Și după aceea - aplicați metoda intervalului.