Funcția poate fi specificată în mai multe moduri. Depinde de regula folosită pentru a-l specifica. Forma explicită de specificare a funcției este y = f (x). Există momente când descrierea sa este imposibilă sau incomodă. Dacă există multe perechi (x; y) care trebuie calculate pentru parametrul t pe intervalul (a; b). Pentru a rezolva sistemul x = 3 cos t y = 3 sin t cu 0 ≤ t< 2 π необходимо задавать окружность с центром координат с радиусом равным 3 .

Definiția unei funcții parametrice

De aici avem că x = φ (t), y = ψ (t) sunt definite pentru o valoare t ∈ (a; b) și au o funcție inversă t = Θ (x) pentru x = φ (t), atunci vorbim despre precizarea unei ecuații parametrice a unei funcții de forma y = ψ (Θ (x)) .

Există cazuri când, pentru a studia o funcție, este necesară căutarea derivatei față de x. Să luăm în considerare formula pentru derivata unei funcții definite parametric de forma y x " = ψ " (t) φ " (t), să vorbim despre derivata de ordinul 2 și al n-lea.

Derivarea formulei pentru derivata unei funcții definite parametric

Avem că x = φ (t), y = ψ (t), definit și derivabil pentru t ∈ a; b, unde x t " = φ " (t) ≠ 0 și x = φ (t), atunci există o funcție inversă de forma t = Θ (x).

Pentru început, ar trebui să treceți de la o sarcină parametrică la una explicită. Pentru a face acest lucru, trebuie să obțineți o funcție complexă de forma y = ψ (t) = ψ (Θ (x)), unde există un argument x.

Pe baza regulii de găsire a derivatei unei funcții complexe, obținem că y " x = ψ Θ (x) = ψ " Θ x · Θ " x .

Aceasta arată că t = Θ (x) și x = φ (t) sunt funcții inverse din formula funcției inverse Θ " (x) = 1 φ " (t), apoi y " x = ψ " Θ (x) Θ " (x) = ψ " (t) φ " (t) .

Să trecem la rezolvarea mai multor exemple folosind un tabel de derivate conform regulii de diferențiere.

Exemplul 1

Aflați derivata pentru funcția x = t 2 + 1 y = t.

Soluţie

Prin condiție avem că φ (t) = t 2 + 1, ψ (t) = t, de aici obținem că φ " (t) = t 2 + 1 ", ψ " (t) = t " = 1. Trebuie să utilizați formula derivată și să scrieți răspunsul sub forma:

y " x = ψ " (t) φ " (t) = 1 2 t

Răspuns: y x " = 1 2 t x = t 2 + 1 .

Când se lucrează cu derivata unei funcții h, parametrul t specifică expresia argumentului x prin același parametru t, pentru a nu pierde legătura dintre valorile derivatei și funcția definită parametric cu argumentul la cărora le corespund aceste valori.

Pentru a determina derivata de ordinul doi a unei funcții date parametric, trebuie să utilizați formula pentru derivata de ordinul întâi pe funcția rezultată, apoi obținem că

y "" x = ψ " (t) φ " (t) " φ " (t) = ψ "" (t) φ " (t) - ψ " (t) φ "" (t) φ " ( t) 2 φ " (t) = ψ "" (t) · φ " (t) - ψ " (t) · φ "" (t) φ " (t) 3 .

Exemplul 2

Aflați derivatele de ordinul 2 și 2 ale funcției date x = cos (2 t) y = t 2 .

Soluţie

Prin condiție obținem că φ (t) = cos (2 t) , ψ (t) = t 2 .

Apoi, după transformare

φ " (t) = cos (2 t) " = - sin (2 t) 2 t " = - 2 sin (2 t) ψ (t) = t 2 " = 2 t

Rezultă că y x " = ψ " (t) φ " (t) = 2 t - 2 sin 2 t = - t sin (2 t) .

Obținem că forma derivatei de ordinul I este x = cos (2 t) y x " = - t sin (2 t) .

Pentru a rezolva, trebuie să aplicați formula derivată de ordinul doi. Obținem o expresie a formei

y x "" = - t sin (2 t) φ " t = - t " · sin (2 t) - t · (sin (2 t)) " sin 2 (2 t) - 2 sin (2 t) = = 1 sin (2 t) - t cos (2 t) (2 t) " 2 sin 3 (2 t) = sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 sin 3 (2 t)

Apoi se specifică derivata de ordinul 2 folosind o funcție parametrică

x = cos (2 t) y x "" = sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 sin 3 (2 t)

O soluție similară poate fi rezolvată folosind o altă metodă. Apoi

φ " t = (cos (2 t)) " = - sin (2 t) 2 t " = - 2 sin (2 t) ⇒ φ "" t = - 2 sin (2 t) " = - 2 sin (2 t) " = - 2 cos (2 t) · (2 ​​​​t) " = - 4 cos (2 t) ψ " (t) = (t 2) " = 2 t ⇒ ψ "" (t) = ( 2 t) " = 2

De aici obținem asta

y "" x = ψ "" (t) φ " (t) - ψ " (t) φ "" (t) φ " (t) 3 = 2 - 2 sin (2 t) - 2 t (- 4 cos (2 t)) - 2 sin 2 t 3 = = sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 s i n 3 (2 t)

Răspuns: y "" x = sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 s i n 3 (2 t)

Derivatele de ordin superior cu funcții definite parametric se găsesc într-un mod similar.

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Derivată a unei funcții specificată implicit.
Derivată a unei funcții definite parametric

În acest articol ne vom uita la alte două sarcini tipice care se găsesc adesea în testele de matematică superioară. Pentru a stăpâni cu succes materialul, trebuie să poți găsi derivate cel puțin la un nivel intermediar. Puteți învăța să găsiți derivate practic de la zero în două lecții de bază și Derivată a unei funcții complexe. Dacă abilitățile tale de diferențiere sunt în regulă, atunci hai să mergem.

Derivată a unei funcții specificată implicit

Sau, pe scurt, derivata unei funcții implicite. Ce este o funcție implicită? Să ne amintim mai întâi însăși definiția unei funcții a unei variabile:

Funcție cu o singură variabilă este o regulă conform căreia fiecărei valori a variabilei independente îi corespunde una și doar o singură valoare a funcției.

Variabila este numită variabila independenta sau argument.
Variabila este numită variabilă dependentă sau funcţie .

Până acum ne-am uitat la funcțiile definite în explicit formă. Ce înseamnă? Să realizăm un debriefing folosind exemple specifice.

Luați în considerare funcția

Vedem că în stânga avem un „jucător” singuratic, iar în dreapta - doar "X". Adică funcția explicit exprimată prin variabila independentă.

Să ne uităm la o altă funcție:

Aici sunt amestecate variabilele. în plus imposibil prin orice mijloace exprimă „Y” doar prin „X”. Care sunt aceste metode? Transferarea termenilor dintr-o parte în parte cu schimbarea semnului, mutarea lor din paranteze, aruncarea factorilor conform regulii proporției etc. Rescrieți egalitatea și încercați să exprimați „y” în mod explicit: . Puteți răsuci și întoarce ecuația ore întregi, dar nu veți reuși.

Permiteți-mi să vă prezint: – exemplu funcţie implicită.

În cursul analizei matematice s-a dovedit că funcţia implicită există(totuși, nu întotdeauna), are un grafic (la fel ca o funcție „normală”). Funcția implicită este exact aceeași există derivată întâi, derivată a doua etc. După cum se spune, toate drepturile minorităților sexuale sunt respectate.

Și în această lecție vom învăța cum să găsim derivata unei funcții specificate implicit. Nu este atât de greu! Toate regulile de diferențiere și tabelul de derivate ale funcțiilor elementare rămân în vigoare. Diferența constă într-un moment deosebit, pe care îl vom analiza chiar acum.

Da, și vă voi spune veștile bune - sarcinile discutate mai jos sunt efectuate conform unui algoritm destul de strict și clar, fără o piatră în fața a trei piste.

Exemplul 1

1) În prima etapă, atașăm lovituri la ambele părți:

2) Folosim regulile de liniaritate ale derivatei (primele două reguli ale lecției Cum să găsesc derivatul? Exemple de soluții):

3) Diferențierea directă.
Cum să diferențiezi este complet clar. Ce să faci acolo unde există „jocuri” sub lovituri?

- până la punctul de rușine, derivata unei funcții este egală cu derivata acesteia: .

Cum să diferențiezi
Aici avem functie complexa. De ce? Se pare că sub sinus există o singură literă „Y”. Dar adevărul este că există o singură literă „y” - ESTE ÎNȘI O FUNCȚIE(vezi definiția de la începutul lecției). Astfel, sinusul este o funcție externă și este o funcție internă. Folosim regula pentru diferențierea unei funcții complexe :

Diferențiem produsul după regula obișnuită :

Vă rugăm să rețineți că – este, de asemenea, o funcție complexă, orice „joc cu clopoței și fluiere” este o funcție complexă:

Soluția în sine ar trebui să arate cam așa:


Dacă există paranteze, extindeți-le:

4) În partea stângă colectăm termenii care conțin un „Y” cu un prim. Mutați totul în partea dreaptă:

5) În partea stângă scoatem derivata din paranteze:

6) Și conform regulii proporției, aruncăm aceste paranteze în numitorul părții drepte:

S-a găsit derivatul. Gata.

Este interesant de observat că orice funcție poate fi rescrisă implicit. De exemplu, funcția poate fi rescris astfel: . Și diferențiază-l folosind algoritmul tocmai discutat. De fapt, expresiile „funcție implicită” și „funcție implicită” diferă într-o singură nuanță semantică. Expresia „funcție specificată implicit” este mai generală și mai corectă, – această funcție este specificată implicit, dar aici puteți exprima „jocul” și prezenta funcția în mod explicit. Expresia „funcție implicită” se referă la funcția implicită „clasică” atunci când „y” nu poate fi exprimat.

A doua soluție

Atenţie! Vă puteți familiariza cu a doua metodă numai dacă știți să găsiți cu încredere derivate parțiale. Începători de calcul și manechini, vă rog nu citi și sări peste acest punct, altfel capul tău va fi o mizerie completă.

Să găsim derivata funcției implicite folosind a doua metodă.

Mutăm toți termenii în partea stângă:

Și luați în considerare o funcție a două variabile:

Apoi derivata noastră poate fi găsită folosind formula
Să găsim derivatele parțiale:

Prin urmare:

A doua soluție vă permite să efectuați o verificare. Dar nu este recomandabil ca ei să scrie versiunea finală a temei, deoarece derivatele parțiale sunt stăpânite mai târziu, iar un student care studiază subiectul „Derivată a unei funcții a unei variabile” nu ar trebui să cunoască încă derivate parțiale.

Să ne uităm la câteva exemple suplimentare.

Exemplul 2

Aflați derivata unei funcții dată implicit

Adăugați linii la ambele părți:

Folosim reguli de liniaritate:

Găsirea derivatelor:

Deschiderea tuturor parantezelor:

Mutăm toți termenii cu în partea stângă, restul în partea dreaptă:

Răspuns final:

Exemplul 3

Aflați derivata unei funcții dată implicit

Soluția completă și proiectarea eșantionului la sfârșitul lecției.

Nu este neobișnuit ca fracțiile să apară după diferențiere. În astfel de cazuri, trebuie să scapi de fracții. Să ne uităm la încă două exemple.

Exemplul 4

Aflați derivata unei funcții dată implicit

Închidem ambele părți sub linii și folosim regula liniarității:

Diferențierea folosind regula de diferențiere a unei funcții complexe și regula diferențierii coeficientilor :

Extinderea parantezelor:

Acum trebuie să scăpăm de fracțiune. Acest lucru se poate face mai târziu, dar este mai rațional să o faceți imediat. Numitorul fracției conține . Multiplica pe . În detaliu, va arăta astfel:

Uneori după diferențiere apar 2-3 fracții. Dacă am avea o altă fracție, de exemplu, atunci operația ar trebui repetată - înmulțiți fiecare termen al fiecărei părți pe

În partea stângă îl scoatem din paranteze:

Răspuns final:

Exemplul 5

Aflați derivata unei funcții dată implicit

Acesta este un exemplu de rezolvat singur. Singurul lucru este că înainte de a scăpa de fracțiune, va trebui mai întâi să scăpați de structura cu trei etaje a fracției în sine. Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției.

Derivată a unei funcții definite parametric

Să nu ne stresăm, totul în acest paragraf este, de asemenea, destul de simplu. Puteți nota formula generală pentru o funcție definită parametric, dar pentru a fi clar, voi scrie imediat un exemplu specific. În formă parametrică, funcția este dată de două ecuații: . Adesea ecuațiile sunt scrise nu între paranteze, ci secvențial: , .

Variabila se numește parametruși poate lua valori de la „minus infinit” la „plus infinit”. Luați în considerare, de exemplu, valoarea și înlocuiți-o în ambele ecuații: . Sau în termeni umani: „dacă x este egal cu patru, atunci y este egal cu unu”. Puteți marca un punct pe planul de coordonate, iar acest punct va corespunde valorii parametrului. În mod similar, puteți găsi un punct pentru orice valoare a parametrului „te”. În ceea ce privește o funcție „obișnuită”, pentru indienii americani ai unei funcții definite parametric, toate drepturile sunt de asemenea respectate: puteți construi un grafic, puteți găsi derivate etc. Apropo, dacă trebuie să reprezentați un grafic al unei funcții definite parametric, puteți utiliza programul meu.

În cele mai simple cazuri, este posibil să se reprezinte funcția în mod explicit. Să exprimăm parametrul din prima ecuație: – și înlocuiți-l în a doua ecuație: . Rezultatul este o funcție cubică obișnuită.

În cazurile mai „grave”, acest truc nu funcționează. Dar nu contează, deoarece există o formulă pentru a găsi derivata unei funcții parametrice:

Găsim derivata „jocului față de variabila te”:

Toate regulile de diferențiere și tabelul de derivate sunt valabile, desigur, pentru litera , astfel, nu există noutate în procesul de găsire a derivatelor. Doar înlocuiți mental toate „X”-urile din tabel cu litera „Te”.

Găsim derivata lui „x față de variabila te”:

Acum tot ce rămâne este să înlocuim derivatele găsite în formula noastră:

Gata. Derivata, ca și funcția în sine, depinde și de parametru.

În ceea ce privește notația, în loc să o scrieți în formulă, s-ar putea scrie pur și simplu fără un indice, deoarece aceasta este o derivată „regulată” „față de X”. Dar în literatură există întotdeauna o opțiune, așa că nu mă voi abate de la standard.

Exemplul 6

Folosim formula

În acest caz:

Prin urmare:

O caracteristică specială a găsirii derivatei unei funcții parametrice este faptul că la fiecare pas este benefic să simplificăm cât mai mult rezultatul. Deci, în exemplul luat în considerare, când l-am găsit, am deschis parantezele de sub rădăcină (deși s-ar putea să nu fi făcut asta). Există șanse mari ca atunci când înlocuiți în formulă, multe lucruri să fie reduse bine. Deși, desigur, există exemple cu răspunsuri stângace.

Exemplul 7

Găsiți derivata unei funcții specificată parametric

Acesta este un exemplu de rezolvat singur.

In articol Cele mai simple probleme tipice cu derivate ne-am uitat la exemple în care trebuia să găsim derivata a doua a unei funcții. Pentru o funcție definită parametric, puteți găsi și derivata a doua și se găsește folosind următoarea formulă: . Este destul de evident că, pentru a găsi derivata a doua, trebuie mai întâi să găsiți derivata întâi.

Exemplul 8

Găsiți prima și a doua derivată ale unei funcții date parametric

Mai întâi, să găsim prima derivată.
Folosim formula

În acest caz:

Inlocuim derivatele gasite in formula. Pentru simplificare, folosim formula trigonometrică:

Diferențierea logaritmică

Derivate ale funcţiilor elementare

Reguli de bază de diferențiere

Diferenţial de funcţie

Partea liniară principală a incrementului funcției A D Xîn determinarea diferenţiabilităţii unei funcţii

D f=f(X)-f(X 0)=A(x - x 0)+o(x – x 0), x®x 0

numită diferenţială a funcţiei f(X) la punct X 0 și se notează

df(X 0)=f¢(X 0)D x=A D X.

Diferența depinde de punct X 0 și din incrementul D X. Pe D Xîn același timp ei îl privesc ca pe o variabilă independentă, deci în fiecare punct diferența este o funcție liniară a incrementului D X.

Dacă considerăm ca o funcție f(X)=x, apoi primim dx= D x,dy=Adx. Acest lucru este în concordanță cu notația lui Leibniz

Interpretarea geometrică a diferenţialului ca o creştere a ordonatei unei tangente.

Orez. 4.3

1) f= const , f¢= 0,df= 0D x= 0.

2) f=u+v, f¢=u¢+v¢, df = du+dv.

3) f=uv, f¢=u¢v+v¢u, df = u dv + v du.

Consecinţă. (cf(X))¢=cf¢(X), (c 1 f 1 (X)+…+c n f n(X))¢=c 1 f¢ 1 (X)+…+ c n f¢ n(X)

4) f=u/v, v(X 0)¹0 și derivata există, atunci f¢=(u¢v-v¢ u)/v 2 .

Pentru concizie vom desemna u=u(X), u 0 =u(X 0), atunci

Trecerea la limita la D x® 0 obţinem egalitatea cerută.

5) Derivată a unei funcții complexe.

Teorema. Dacă există f¢(X 0), g¢(X 0)și x 0 =g(t 0), apoi în vreun cartier t 0 este definită funcția complexă f(g(t)), este diferențiabilă în punctul t 0 Și

Dovada.

f(X)-f(X 0)=f¢(X 0)(x-x 0)+ A( X)(x-x 0), XÎ U(X 0).

f(g(t))-f(g(t 0))= f¢(X 0)(g(t)-g(t 0))+ A( g(t))(g(t)-g(t 0)).

Să împărțim ambele părți ale acestei egalități la ( t - t 0) si sa trecem la limita la t®t 0 .

6) Calculul derivatei funcției inverse.

Teorema. Fie f continuu și strict monoton pe[a,b]. Fie în punctul x 0 Î( a,b)există f¢(X 0)¹ 0 , atunci funcția inversă x=f -1 (y)are la punctul y 0 derivată egală cu

Dovada. Noi numărăm f crescând strict monoton, deci f -1 (y) este continuă, crește monoton cu [ f(A),f(b)]. Sa punem y 0 =f(X 0), y=f(X), x - x 0 =D X,

y - y 0 =D y. Datorită continuității funcției inverse D y®0 Þ D X®0, avem

Trecând la limită, obținem egalitatea necesară.

7) Derivata unei functii pare este impara, derivata unei functii impare este pare.

Într-adevăr, dacă x® - x 0 , Acea - x® x 0 , De aceea

Pentru funcția pară pentru funcția impară

1) f= const, f¢(X)=0.

2) f(X)=x,f¢(X)=1.

3) f(X)=e x, f¢(X)= e x ,

4) f(X)=a x,(un x)¢ = ax ln A.

5) ln A.

6) f(X)=ln X,

Consecinţă. (derivata unei funcții pare este impară)

7) (X m )¢= m X m -1 , X>0, X m =e m ln X .

8) (păcat X)¢= cos X,

9) (cos X)¢=- păcat X,(cos X)¢= (păcat( x+ p/2)) ¢= cos( x+ p/2)=-sin X.

10) (tg X)¢= 1/cos 2 X.

11) (ctg X)¢= -1/sin 2 X.

16) sh X, cap X.

f(x),, din care rezultă că f¢(X)=f(X)(ln f(X))¢ .

Aceeași formulă poate fi obținută diferit f(X)=e ln f(X) , f¢=e ln f(X) (ln f(X))¢.

Exemplu. Calculați derivata unei funcții f=x x .

=x x = x x = x x = x x(ln x+ 1).

Amplasarea geometrică a punctelor pe un plan

îl vom numi un grafic al unei funcții, dat parametric. Ei vorbesc, de asemenea, despre specificarea parametrică a unei funcții.

Nota 1. Dacă X y continuu pentru [a,b] Și X(t) strict monoton pe segment (de exemplu, crește strict monoton), apoi pe [ a,b], a=x(A) , b=x(b) functie definita f(X)=y(t(X)), unde t(X) – funcţie inversă la x(t). Graficul acestei funcții coincide cu graficul funcției

Dacă domeniul definiţiei o funcție dată parametric poate fi împărțită într-un număr finit de segmente ,k= 1,2,...,n, pe fiecare dintre care există o funcţie X(t) este strict monotonă, atunci funcția definită parametric se descompune într-un număr finit de funcții obișnuite fk(X)=y(t -1 (X)) cu domenii [ X(A k), X(b k)] pentru cresterea sectiunilor X(t) și cu domenii [ X(b k), X(A k)] pentru zonele cu funcție în scădere X(t). Funcțiile obținute în acest fel se numesc ramuri cu o singură valoare ale unei funcții definite parametric.

Figura prezintă un grafic al unei funcții definite parametric

Cu parametrizarea selectată, zona de definire este împărțit în cinci secțiuni de monotonitate strictă a funcției sin(2 t), exact: tÎ tÎ ,tÎ ,tÎ , și, în consecință, graficul se va împărți în cinci ramuri clare corespunzătoare acestor secțiuni.

Orez. 4.4

Orez. 4.5

Puteți alege o parametrizare diferită a aceleiași locații geometrice a punctelor

În acest caz vor fi doar patru astfel de ramuri. Ele vor corespunde zonelor de strictă monotonie tÎ ,tÎ ,tÎ ,tÎ funcții păcatul (2 t).

Orez. 4.6

Patru secțiuni de monotonitate ale funcției sin(2 t) pe un segment lung.

Orez. 4.7

Reprezentarea ambelor grafice într-o singură figură vă permite să reprezentați aproximativ graficul unei funcții specificate parametric, folosind zonele de monotonitate ale ambelor funcții.

Ca exemplu, luați în considerare prima ramură corespunzătoare segmentului tÎ . La sfârșitul acestei secțiuni funcția x= păcatul (2 t) ia valori -1 și 1 , deci această ramură va fi definită la [-1,1] . După aceasta, trebuie să vă uitați la zonele de monotonie ale celei de-a doua funcții y= cos( t), ea are două secțiuni de monotonie . Acest lucru ne permite să spunem că prima ramură are două secțiuni de monotonitate. După ce am găsit punctele finale ale graficului, le puteți conecta cu linii drepte pentru a indica natura monotoniei graficului. Făcând acest lucru cu fiecare ramură, obținem zone de monotonitate ale ramurilor fără ambiguitate ale graficului (ele sunt evidențiate cu roșu în figură)

Orez. 4.8

Prima ramură cu valoare unică f 1 (X)=y(t(X)) , corespunzător site-ului va fi determinat pentru XО[-1,1] . Prima ramură cu valoare unică tÎ , XО[-1,1].

Toate celelalte trei ramuri vor avea, de asemenea, un domeniu de definiție [-1,1] .

Orez. 4.9

A doua ramură tÎ XО[-1,1].

Orez. 4.10

A treia ramură tÎ XО[-1,1]

Orez. 4.11

A patra ramură tÎ XО[-1,1]

Orez. 4.12

cometariu 2. Aceeași funcție poate avea setări parametrice diferite. Diferențele pot viza atât funcțiile în sine X(t), y(t) , și domeniul definiției aceste funcții.

Exemplu de atribuiri parametrice diferite pentru aceeași funcție

Și tО[-1, 1] .

Nota 3. Dacă x,y sunt continui pe , X(t)- strict monoton pe segment și există derivate y¢(t 0),x¢(t 0)¹0, atunci există f¢(X 0)= .

Într-adevăr, .

Ultima declarație se aplică și ramurilor cu o singură valoare ale unei funcții definite parametric.

4.2 Derivate și diferențiale de ordin superior

Derivate și diferențiale superioare. Diferențierea funcțiilor specificate parametric. formula lui Leibniz.

Luați în considerare definirea unei linii pe un plan în care variabilele x, y sunt funcții ale unei a treia variabile t (numită parametru):

Pentru fiecare valoare t dintr-un anumit interval corespund anumite valori XȘi y, a, prin urmare, un anumit punct M (x, y) al planului. Când t parcurge toate valorile dintr-un interval dat, apoi punctul M (X y) descrie o linie L. Ecuațiile (2.2) se numesc ecuații de linii parametrice L.

Dacă funcția x = φ(t) are un invers t = Ф(x), atunci substituind această expresie în ecuația y = g(t), obținem y = g(Ф(x)), care specifică y ca o funcție a X. În acest caz, spunem că ecuațiile (2.2) definesc funcția y parametric.

Exemplul 1. Lăsa M(x,y)– punct arbitrar pe un cerc de rază Rși centrat la origine. Lăsa t– unghiul dintre axe Bou si raza OM(vezi Fig. 2.3). Apoi X y sunt exprimate prin t:

Ecuațiile (2.3) sunt ecuații parametrice ale unui cerc. Să excludem parametrul t din ecuațiile (2.3). Pentru a face acest lucru, pătram fiecare ecuație și o adunăm, obținem: x 2 + y 2 = R 2 (cos 2 t + sin 2 t) sau x 2 + y 2 = R 2 – ecuația unui cerc în carteziană sistem de coordonate. Definește două funcții: Fiecare dintre aceste funcții este dată de ecuații parametrice (2.3), dar pentru prima funcție și pentru a doua.

Exemplul 2. Ecuații parametrice

definiți o elipsă cu semi-axe a, b(Fig. 2.4). Excluzând parametrul din ecuații t, obținem ecuația canonică a elipsei:

Exemplul 3. Un cicloid este o linie descrisă de un punct situat pe un cerc dacă acest cerc se rostogolește fără să alunece într-o linie dreaptă (Fig. 2.5). Să introducem ecuațiile parametrice ale cicloidei. Fie raza cercului de rulare A, punct M, descriind cicloidul, la începutul mișcării a coincis cu originea coordonatelor.

Să stabilim coordonatele X, y puncte M după ce cercul s-a rotit printr-un unghi t
(Fig. 2.5), t = ÐMCB. Lungimea arcului M.B. egală cu lungimea segmentului O.B. deoarece cercul se rostogolește fără să alunece, așadar

OB = at, AB = MD = asint, CD = acost, x = OB – AB = at – asint = a(t – sint),

y = AM = CB – CD = a – acost = a(1 – cost).

Deci, se obțin ecuațiile parametrice ale cicloidei:

La modificarea unui parametru t de la 0 la 2π cercul se rotește cu o rotație, iar punctul M descrie un arc de cicloid. Ecuațiile (2.5) dau y ca o funcție a X. Deşi funcţia x = a(t – sint) are o funcție inversă, dar nu se exprimă în termeni de funcții elementare, deci funcția y = f(x) nu se exprimă prin funcţii elementare.

Să considerăm diferențierea unei funcții definită parametric prin ecuațiile (2.2). Funcția x = φ(t) pe un anumit interval de schimbare t are funcție inversă t = Ф(x), Apoi y = g(Ф(x)). Lăsa x = φ(t), y = g(t) au derivate și x"t≠0. Conform regulii de diferenţiere a funcţiilor complexe y"x=y"t×t"x. Pe baza regulii de diferențiere a funcției inverse, deci:

Formula rezultată (2.6) permite găsirea derivatei pentru o funcție specificată parametric.

Exemplul 4. Fie funcția y, în funcție de X, este specificat parametric:

Soluţie. .
Exemplul 5. Găsiți panta k tangentă la cicloidă în punctul M 0 corespunzător valorii parametrului.
Soluţie. Din ecuațiile cicloidale: y" t = asint, x" t = a(1 – cost), De aceea

Pantă tangentă la un punct M0 egal cu valoarea la t 0 = π/4:

FUNCȚIE DIFERENȚIALĂ

Lăsați funcția la punct x 0 are un derivat. Prioritate A:
prin urmare, conform proprietăților limitei (Secțiunea 1.8), unde A– infinitezimal la Δx → 0. De aici

Δy = f „(x0)Δx + α×Δx. (2.7)

Ca Δx → 0, al doilea termen din egalitatea (2.7) este un infinitezimal de ordin superior, comparativ cu , prin urmare Δy și f " (x 0)×Δx sunt echivalente, infinitezimale (pentru f "(x 0) ≠ 0).

Astfel, incrementul funcției Δy este format din doi termeni, dintre care primul f "(x 0)×Δx este parte principală increment Δy, liniar în raport cu Δx (pentru f "(x 0)≠ 0).

Diferenţial funcția f(x) în punctul x 0 se numește partea principală a incrementului funcției și se notează: dy sau df(x0). Prin urmare,

df (x0) =f "(x0)×Δx. (2.8)

Exemplul 1. Aflați diferența unei funcții dy iar incrementul funcției Δy pentru funcția y = x 2 la:
1) arbitrar Xşi Δ X; 2) x 0 = 20, Δx = 0,1.

Soluţie

1) Δy = (x + Δx) 2 – x 2 = x 2 + 2xΔx + (Δx) 2 – x 2 = 2xΔx + (Δx) 2, dy = 2xΔx.

2) Dacă x 0 = 20, Δx = 0,1, atunci Δy = 40×0,1 + (0,1) 2 = 4,01; dy = 40×0,1= 4.

Să scriem egalitatea (2.7) sub forma:

Δy = dy + a×Δx. (2,9)

Incrementul Δy este diferit de diferenţial dy la un infinitezimal de ordin superior, în comparație cu Δx, prin urmare, în calcule aproximative, egalitatea aproximativă Δy ≈ dy este utilizată dacă Δx este suficient de mic.

Considerând că Δy = f(x 0 + Δx) – f(x 0), obținem o formulă aproximativă:

f(x 0 + Δx) ≈ f(x 0) + dy. (2,10)

Exemplul 2. Calculați aproximativ.

Soluţie. Considera:

Folosind formula (2.10), obținem:

Deci, ≈ 2,025.

Să luăm în considerare sensul geometric al diferenţialului df(x 0)(Fig. 2.6).

Să desenăm o tangentă la graficul funcției y = f(x) în punctul M 0 (x0, f(x 0)), fie φ unghiul dintre tangenta KM0 și axa Ox, apoi f"( x 0) = tanφ Din ΔM0NP:
PN = tgφ×Δx = f "(x 0)×Δx = df(x 0). Dar PN este incrementul ordonatei tangentei pe măsură ce x se schimbă de la x 0 la x 0 + Δx.

În consecință, diferența funcției f(x) în punctul x 0 este egală cu incrementul ordonatei tangentei.

Să găsim diferența funcției
y = x. Deoarece (x)" = 1, atunci dx = 1×Δx = Δx. Vom presupune că diferența variabilei independente x este egală cu incrementul acesteia, adică dx = Δx.

Dacă x este un număr arbitrar, atunci din egalitatea (2.8) obținem df(x) = f "(x)dx, de unde .
Astfel, derivata pentru o funcție y = f(x) este egală cu raportul dintre diferența sa și diferența argumentului.

Să luăm în considerare proprietățile diferențialei unei funcții.

Dacă u(x), v(x) sunt funcții diferențiabile, atunci următoarele formule sunt valabile:

Pentru a demonstra aceste formule, se folosesc formule derivate pentru suma, produsul și câtul unei funcții. Să demonstrăm, de exemplu, formula (2.12):

d(u×v) = (u×v)"Δx = (u×v" + u"×v)Δx = u×v"Δx + u"Δx×v = u×dv + v×du.

Să considerăm diferența unei funcții complexe: y = f(x), x = φ(t), adică. y = f(φ(t)).

Atunci dy = y" t dt, dar y" t = y" x ×x" t, deci dy =y" x x" t dt. Luand in considerare,

că x" t = dx, obținem dy = y" x dx =f "(x)dx.

Astfel, diferența unei funcții complexe y = f(x), unde x =φ(t), are forma dy = f "(x)dx, la fel ca și în cazul în care x este o variabilă independentă. Această proprietate se numește invarianţa formei diferenţialului A.