Ajutor la Tele2, tarife, intrebari

Studiul unui astfel de obiect de analiză matematică ca funcție este de mare importanță sensși în alte domenii ale științei. De exemplu, în analiza economică există o nevoie constantă de a evalua comportamentul funcții profit, și anume pentru a-i determina cel mai mare sensși să dezvolte o strategie pentru a-l atinge.

Instrucțiuni

Studiul oricărui comportament ar trebui să înceapă întotdeauna cu o căutare a domeniului definiției. De obicei, în funcție de condițiile unei probleme specifice, este necesar să se determine cea mai mare sens funcții fie pe toată această zonă, fie pe un anumit interval al acesteia cu margini deschise sau închise.

Pe baza , cel mai mare este sens funcții y(x0), în care pentru orice punct din domeniul definiției este valabilă inegalitatea y(x0) ≥ y(x) (x ≠ x0). Grafic, acest punct va fi cel mai mare dacă valorile argumentului sunt plasate de-a lungul axei absciselor, iar funcția însăși de-a lungul axei ordonatelor.

Pentru a determina cel mai mare sens funcții, urmați algoritmul în trei pași. Vă rugăm să rețineți că trebuie să puteți lucra cu unilateral și , precum și să calculați derivata. Deci, să fie dată o funcție y(x) și trebuie să găsiți cea mai mare sens pe un anumit interval cu valori la limită A și B.

Aflați dacă acest interval se încadrează în domeniul de aplicare al definiției funcții. Pentru a face acest lucru, trebuie să-l găsiți luând în considerare toate restricțiile posibile: prezența unei fracții, rădăcină pătrată etc. în expresie. Domeniul definiției este setul de valori ale argumentului pentru care funcția are sens. Determinați dacă intervalul dat este o submulțime a acestuia. Dacă da, atunci treceți la pasul următor.

Găsiți derivata funcțiiși rezolvați ecuația rezultată echivalând derivata la zero. În acest fel veți obține valorile așa-numitelor puncte staționare. Evaluați dacă cel puțin unul dintre ele aparține intervalului A, B.

În a treia etapă, luați în considerare aceste puncte și înlocuiți valorile lor în funcție. În funcție de tipul de interval, efectuați următorii pași suplimentari. Dacă există un segment de forma [A, B], punctele de limită sunt incluse în interval; acest lucru este indicat prin paranteze. Calculați valori funcții pentru x = A și x = B. Dacă intervalul este deschis (A, B), valorile limită sunt perforate, adică. nu sunt incluse în el. Rezolvați limite unilaterale pentru x→A și x→B. Un interval combinat de forma [A, B) sau (A, B), ale cărui limite îi aparține, cealaltă nu. Găsiți limita unilaterală pe măsură ce x tinde către valoarea perforată și înlocuiți-l pe celălalt în funcția.Interval infinit bilateral (-∞, +∞) sau intervale infinite unilaterale de forma: , (-∞, B).Pentru limitele reale A și B se procedează conform principiilor deja descrise, iar pentru infinite, căutați limite pentru x→-∞ și, respectiv, x→+∞.

Sarcina în această etapă

Fie definită și continuă funcția $z=f(x,y)$ într-un domeniu închis mărginit $D$. Fie ca funcția dată din această regiune să aibă derivate parțiale finite de ordinul întâi (cu excepția, poate, a unui număr finit de puncte). Pentru a găsi cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții a două variabile într-o regiune închisă dată, sunt necesari trei pași ai unui algoritm simplu.

Algoritm pentru găsirea celor mai mari și mai mici valori ale funcției $z=f(x,y)$ într-un domeniu închis $D$.

1. Aflați punctele critice ale funcției $z=f(x,y)$ aparținând domeniului $D$. Calculați valorile funcției în punctele critice.
2. Investigați comportamentul funcției $z=f(x,y)$ la limita regiunii $D$, găsind punctele valorilor maxime și minime posibile. Calculați valorile funcției la punctele obținute.
3. Din valorile funcției obținute în cele două paragrafe precedente, selectați cel mai mare și cel mai mic.

Care sunt punctele critice? arată ascunde

Sub puncte critice implică puncte la care ambele derivate parțiale de ordinul întâi sunt egale cu zero (adică $\frac(\partial z)(\partial x)=0$ și $\frac(\partial z)(\partial y)=0 $) sau cel puțin o derivată parțială nu există.

Adesea sunt numite punctele în care derivatele parțiale de ordinul întâi sunt egale cu zero punctele staţionare. Astfel, punctele staționare sunt un subset de puncte critice.

Exemplul nr. 1

Găsiți cele mai mari și cele mai mici valori ale funcției $z=x^2+2xy-y^2-4x$ într-o regiune închisă delimitată de liniile $x=3$, $y=0$ și $y=x +1$.

Vom urma cele de mai sus, dar mai întâi ne vom ocupa de desenarea unei zone date, pe care o vom nota cu litera $D$. Ni se dau ecuațiile a trei drepte care limitează această zonă. Dreapta $x=3$ trece prin punctul $(3;0)$ paralel cu axa ordonatelor (axa Oy). Linia dreaptă $y=0$ este ecuația axei absciselor (axa Ox). Ei bine, pentru a construi dreapta $y=x+1$, vom găsi două puncte prin care vom trasa această dreaptă. Puteți, desigur, să înlocuiți câteva valori arbitrare în loc de $x$. De exemplu, înlocuind $x=10$, obținem: $y=x+1=10+1=11$. Am găsit punctul $(10;11)$ situat pe dreapta $y=x+1$. Totuși, este mai bine să găsiți acele puncte în care dreapta $y=x+1$ intersectează liniile $x=3$ și $y=0$. De ce este mai bine? Pentru că vom ucide câteva păsări dintr-o singură piatră: vom obține două puncte pentru a construi linia dreaptă $y=x+1$ și, în același timp, vom afla în ce puncte intersectează această dreaptă alte linii care limitează aria dată. Linia $y=x+1$ intersectează linia $x=3$ în punctul $(3;4)$, iar linia $y=0$ se intersectează în punctul $(-1;0)$. Pentru a nu aglomera mersul soluției cu explicații auxiliare, voi pune problema obținerii acestor două puncte într-o notă.

Cum au fost obținute punctele $(3;4)$ și $(-1;0)$? arată ascunde

Să începem de la punctul de intersecție al dreptelor $y=x+1$ și $x=3$. Coordonatele punctului dorit aparțin atât primei, cât și celei de a doua drepte, prin urmare, pentru a găsi coordonatele necunoscute, trebuie să rezolvați sistemul de ecuații:

$$ \left \( \begin(aligned) & y=x+1;\\ & x=3. \end(aligned) \right. $$

Solutia unui astfel de sistem este banala: substituind $x=3$ in prima ecuatie vom avea: $y=3+1=4$. Punctul $(3;4)$ este punctul de intersecție dorit al dreptelor $y=x+1$ și $x=3$.

Acum să găsim punctul de intersecție al dreptelor $y=x+1$ și $y=0$. Să compunem și să rezolvăm din nou sistemul de ecuații:

$$ \left \( \begin(aligned) & y=x+1;\\ & y=0. \end(aligned) \right. $$

Înlocuind $y=0$ în prima ecuație, obținem: $0=x+1$, $x=-1$. Punctul $(-1;0)$ este punctul de intersecție dorit al dreptelor $y=x+1$ și $y=0$ (axa x).

Totul este gata pentru a construi un desen care va arăta astfel:

Întrebarea notei pare evidentă, pentru că totul este vizibil în poză. Cu toate acestea, merită să ne amintim că un desen nu poate servi drept dovadă. Desenul are doar scop ilustrativ.

Zona noastră a fost definită folosind ecuații în linie dreaptă care o legau. Evident, aceste linii definesc un triunghi, nu? Sau nu este complet evident? Sau poate ni se oferă o zonă diferită, delimitată de aceleași linii:

Desigur, condiția spune că zona este închisă, așa că poza afișată este incorectă. Dar pentru a evita astfel de ambiguități, este mai bine să definiți regiunile prin inegalități. Suntem interesați de partea de plan situată sub dreapta $y=x+1$? Ok, deci $y ≤ x+1$. Zona noastră ar trebui să fie situată deasupra liniei $y=0$? Grozav, asta înseamnă $y ≥ 0$. Apropo, ultimele două inegalități pot fi ușor combinate într-una singură: $0 ≤ y ≤ x+1$.

$$ \left \( \begin(aligned) & 0 ≤ y ≤ x+1;\\ & x ≤ 3. \end(aligned) \right. $$

Aceste inegalități definesc regiunea $D$ și o definesc fără ambiguitate, fără a permite nicio ambiguitate. Dar cum ne ajută acest lucru cu întrebarea formulată la începutul notei? De asemenea, va ajuta :) Trebuie să verificăm dacă punctul $M_1(1;1)$ aparține regiunii $D$. Să substituim $x=1$ și $y=1$ în sistemul de inegalități care definesc această regiune. Dacă ambele inegalități sunt satisfăcute, atunci punctul se află în interiorul regiunii. Dacă cel puțin una dintre inegalități nu este satisfăcută, atunci punctul nu aparține regiunii. Asa de:

$$ \left \( \begin(aligned) & 0 ≤ 1 ≤ 1+1;\\ & 1 ≤ 3. \end(aligned) \right. \;\; \left \( \begin(aligned) & 0 ≤ 1 ≤ 2;\\ & 1 ≤ 3. \end(aligned) \right.$$

Ambele inegalități sunt valabile. Punctul $M_1(1;1)$ aparține regiunii $D$.

Acum este timpul să studiem comportamentul funcției la limita regiunii, adică. să mergem la . Să începem cu linia dreaptă $y=0$.

Linia dreaptă $y=0$ (axa absciselor) limitează regiunea $D$ în condiția $-1 ≤ x ≤ 3$. Să substituim $y=0$ în funcția dată $z(x,y)=x^2+2xy-y^2-4x$. Notăm funcția unei variabile $x$ obținută ca rezultat al înlocuirii ca $f_1(x)$:

$$ f_1(x)=z(x,0)=x^2+2x\cdot 0-0^2-4x=x^2-4x. $$

Acum, pentru funcția $f_1(x)$ trebuie să găsim cele mai mari și cele mai mici valori pe intervalul $-1 ≤ x ≤ 3$. Să găsim derivata acestei funcții și să o echivalăm cu zero:

$$ f_(1)^(")(x)=2x-4;\\ 2x-4=0; \; x=2. $$

Valoarea $x=2$ aparține segmentului $-1 ≤ x ≤ 3$, așa că vom adăuga și $M_2(2;0)$ la lista de puncte. În plus, să calculăm valorile funcției $z$ la capetele segmentului $-1 ≤ x ≤ 3$, adică. la punctele $M_3(-1;0)$ și $M_4(3;0)$. Apropo, dacă punctul $M_2$ nu ar aparține segmentului luat în considerare, atunci, desigur, nu ar fi nevoie să se calculeze valoarea funcției $z$ din acesta.

Deci, să calculăm valorile funcției $z$ în punctele $M_2$, $M_3$, $M_4$. Puteți, desigur, să înlocuiți coordonatele acestor puncte în expresia originală $z=x^2+2xy-y^2-4x$. De exemplu, pentru punctul $M_2$ obținem:

$$z_2=z(M_2)=2^2+2\cdot 2\cdot 0-0^2-4\cdot 2=-4.$$

Cu toate acestea, calculele pot fi puțin simplificate. Pentru a face acest lucru, merită să ne amintim că pe segmentul $M_3M_4$ avem $z(x,y)=f_1(x)$. Voi scrie asta în detaliu:

\begin(aligned) & z_2=z(M_2)=z(2,0)=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\\ & z_3=z(M_3)=z(- 1,0)=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\\ & z_4=z(M_4)=z(3,0)=f_1(3)= 3^2-4\cdot 3=-3. \end(aliniat)

Desigur, de obicei nu este nevoie de astfel de înregistrări detaliate, iar în viitor vom nota pe scurt toate calculele:

$$z_2=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\; z_3=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\; z_4=f_1(3)=3^2-4\cdot 3=-3.$$

Acum să trecem la linia dreaptă $x=3$. Această linie dreaptă limitează regiunea $D$ în condiția $0 ≤ y ≤ 4$. Să substituim $x=3$ în funcția dată $z$. Ca rezultat al acestei substituții obținem funcția $f_2(y)$:

$$ f_2(y)=z(3,y)=3^2+2\cdot 3\cdot y-y^2-4\cdot 3=-y^2+6y-3. $$

Pentru funcția $f_2(y)$ trebuie să găsim cele mai mari și cele mai mici valori pe intervalul $0 ≤ y ≤ 4$. Să găsim derivata acestei funcții și să o echivalăm cu zero:

$$ f_(2)^(")(y)=-2y+6;\\ -2y+6=0; \; y=3. $$

Valoarea $y=3$ aparține segmentului $0 ≤ y ≤ 4$, așa că vom adăuga și $M_5(3;3)$ la punctele găsite anterior. În plus, este necesar să se calculeze valoarea funcției $z$ în punctele de la capetele segmentului $0 ≤ y ≤ 4$, adică. în punctele $M_4(3;0)$ și $M_6(3;4)$. La punctul $M_4(3;0)$ am calculat deja valoarea $z$. Să calculăm valoarea funcției $z$ în punctele $M_5$ și $M_6$. Permiteți-mi să vă reamintesc că pe segmentul $M_4M_6$ avem $z(x,y)=f_2(y)$, prin urmare:

\begin(aligned) & z_5=f_2(3)=-3^2+6\cdot 3-3=6; & z_6=f_2(4)=-4^2+6\cdot 4-3=5. \end(aliniat)

Și, în cele din urmă, luați în considerare ultima graniță a regiunii $D$, adică. linie dreaptă $y=x+1$. Această linie dreaptă limitează regiunea $D$ în condiția $-1 ≤ x ≤ 3$. Înlocuind $y=x+1$ în funcția $z$, vom avea:

$$ f_3(x)=z(x,x+1)=x^2+2x\cdot (x+1)-(x+1)^2-4x=2x^2-4x-1. $$

Din nou avem o funcție a unei variabile $x$. Și din nou trebuie să găsim cele mai mari și cele mai mici valori ale acestei funcții pe intervalul $-1 ≤ x ≤ 3$. Să găsim derivata funcției $f_(3)(x)$ și să o echivalăm cu zero:

$$ f_(3)^(")(x)=4x-4;\\ 4x-4=0; \; x=1. $$

Valoarea $x=1$ aparține intervalului $-1 ≤ x ≤ 3$. Dacă $x=1$, atunci $y=x+1=2$. Să adăugăm $M_7(1;2)$ la lista de puncte și să aflăm care este valoarea funcției $z$ în acest moment. Punctele de la capetele segmentului $-1 ≤ x ≤ 3$, i.e. punctele $M_3(-1;0)$ și $M_6(3;4)$ au fost luate în considerare mai devreme, am găsit deja valoarea funcției în ele.

$$z_7=f_3(1)=2\cdot 1^2-4\cdot 1-1=-3.$$

Al doilea pas al soluției este finalizat. Am primit șapte valori:

$$z_1=-2;\;z_2=-4;\;z_3=5;\;z_4=-3;\;z_5=6;\;z_6=5;\;z_7=-3.$$

Să ne întoarcem la. Alegând cele mai mari și cele mai mici valori dintre numerele obținute în al treilea paragraf, vom avea:

$$z_(min)=-4; \; z_(max)=6.$$

Problema este rezolvată, rămâne doar să notăm răspunsul.

Răspuns: $z_(min)=-4; \; z_(max)=6$.

Exemplul nr. 2

Găsiți cele mai mari și cele mai mici valori ale funcției $z=x^2+y^2-12x+16y$ în regiunea $x^2+y^2 ≤ 25$.

Mai întâi, să construim un desen. Ecuația $x^2+y^2=25$ (aceasta este linia de delimitare a unei zone date) definește un cerc cu un centru la origine (adică în punctul $(0;0)$) și o rază de 5. Inegalitatea $x^2 +y^2 ≤ $25 satisface toate punctele din interiorul și de pe cercul menționat.

Vom acționa conform. Să găsim derivate parțiale și să aflăm punctele critice.

$$ \frac(\partial z)(\partial x)=2x-12; \frac(\partial z)(\partial y)=2y+16. $$

Nu există puncte în care derivatele parțiale găsite să nu existe. Să aflăm în ce puncte ambele derivate parțiale sunt simultan egale cu zero, adică. haideti sa gasim puncte stationare.

$$ \left \( \begin(aligned) & 2x-12=0;\\ & 2y+16=0. \end(aligned) \right. \;\; \left \( \begin(aligned) & x =6;\\ & y=-8.\end(aliniat)\right.$$

Am obținut un punct staționar $(6;-8)$. Totuși, punctul găsit nu aparține regiunii $D$. Acest lucru este ușor de arătat fără a recurge măcar la desen. Să verificăm dacă inegalitatea $x^2+y^2 ≤ 25$ este valabilă, ceea ce definește regiunea noastră $D$. Dacă $x=6$, $y=-8$, atunci $x^2+y^2=36+64=100$, adică. inegalitatea $x^2+y^2 ≤ 25$ nu este valabilă. Concluzie: punctul $(6;-8)$ nu aparține zonei $D$.

Deci, nu există puncte critice în interiorul regiunii $D$. Să trecem la... Trebuie să studiem comportamentul unei funcții la granița unei regiuni date, i.e. pe cercul $x^2+y^2=25$. Putem, desigur, să exprimăm $y$ în termeni de $x$ și apoi să înlocuim expresia rezultată în funcția noastră $z$. Din ecuația unui cerc obținem: $y=\sqrt(25-x^2)$ sau $y=-\sqrt(25-x^2)$. Înlocuind, de exemplu, $y=\sqrt(25-x^2)$ în funcția dată, vom avea:

$$ z=x^2+y^2-12x+16y=x^2+25-x^2-12x+16\sqrt(25-x^2)=25-12x+16\sqrt(25-x ^2); \;\; -5≤ x ≤ 5. $$

Soluția ulterioară va fi complet identică cu studiul comportamentului funcției la limita regiunii din exemplul precedent nr. 1. Totuși, mi se pare mai rezonabil să aplicăm metoda Lagrange în această situație. Ne va interesa doar prima parte a acestei metode. După aplicarea primei părți a metodei Lagrange, vom obține puncte la care vom examina funcția $z$ pentru valori minime și maxime.

Compunem funcția Lagrange:

$$ F=z(x,y)+\lambda\cdot(x^2+y^2-25)=x^2+y^2-12x+16y+\lambda\cdot (x^2+y^2 -25). $$

Găsim derivatele parțiale ale funcției Lagrange și compunem sistemul de ecuații corespunzător:

$$ F_(x)^(")=2x-12+2\lambda x; \;\; F_(y)^(")=2y+16+2\lambda y.\\ \left \( \begin (aliniat) & 2x-12+2\lambda x=0;\\ & 2y+16+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-25=0. \end(aligned) \ dreapta. \;\; \left \( \begin(aligned) & x+\lambda x=6;\\ & y+\lambda y=-8;\\ & x^2+y^2=25. \end( aliniat)\dreapta.$$

Pentru a rezolva acest sistem, să subliniem imediat că $\lambda\neq -1$. De ce $\lambda\neq -1$? Să încercăm să înlocuim $\lambda=-1$ în prima ecuație:

$$ x+(-1)\cdot x=6; \; x-x=6; \; 0=6. $$

Contradicția rezultată $0=6$ indică faptul că valoarea $\lambda=-1$ este inacceptabilă. Ieșire: $\lambda\neq -1$. Să exprimăm $x$ și $y$ în termeni de $\lambda$:

\begin(aligned) & x+\lambda x=6;\; x(1+\lambda)=6;\; x=\frac(6)(1+\lambda). \\ & y+\lambda y=-8;\; y(1+\lambda)=-8;\; y=\frac(-8)(1+\lambda). \end(aliniat)

Cred că aici devine evident de ce am stipulat în mod specific condiția $\lambda\neq -1$. Acest lucru a fost făcut pentru a încadra expresia $1+\lambda$ în ​​numitori fără interferențe. Adică, pentru a fi sigur că numitorul $1+\lambda\neq 0$.

Să substituim expresiile rezultate pentru $x$ și $y$ în a treia ecuație a sistemului, adică. în $x^2+y^2=25$:

$$ \left(\frac(6)(1+\lambda) \right)^2+\left(\frac(-8)(1+\lambda) \right)^2=25;\\ \frac( 36)((1+\lambda)^2)+\frac(64)((1+\lambda)^2)=25;\\ \frac(100)((1+\lambda)^2)=25 ; \; (1+\lambda)^2=4. $$

Din egalitatea rezultată rezultă că $1+\lambda=2$ sau $1+\lambda=-2$. Astfel avem două valori ale parametrului $\lambda$ și anume: $\lambda_1=1$, $\lambda_2=-3$. În consecință, obținem două perechi de valori $x$ și $y$:

\begin(aligned) & x_1=\frac(6)(1+\lambda_1)=\frac(6)(2)=3; \; y_1=\frac(-8)(1+\lambda_1)=\frac(-8)(2)=-4. \\ & x_2=\frac(6)(1+\lambda_2)=\frac(6)(-2)=-3; \; y_2=\frac(-8)(1+\lambda_2)=\frac(-8)(-2)=4. \end(aliniat)

Deci, am obținut două puncte ale unui posibil extremum condiționat, i.e. $M_1(3;-4)$ și $M_2(-3;4)$. Să găsim valorile funcției $z$ în punctele $M_1$ și $M_2$:

\begin(aligned) & z_1=z(M_1)=3^2+(-4)^2-12\cdot 3+16\cdot (-4)=-75; \\ & z_2=z(M_2)=(-3)^2+4^2-12\cdot(-3)+16\cdot 4=125. \end(aliniat)

Ar trebui să selectăm cele mai mari și cele mai mici valori dintre cele pe care le-am obținut în primul și al doilea pas. Dar în în acest caz, alegerea este mică :) Avem:

$$ z_(min)=-75; \; z_(max)=125. $$

Răspuns: $z_(min)=-75; \; z_(max)=125 USD.

Procesul de căutare a celor mai mici și mai mari valori ale unei funcții pe un segment amintește de un zbor fascinant în jurul unui obiect (graficul funcției) într-un elicopter, trăgând în anumite puncte dintr-un tun cu rază lungă de acțiune și selectând puncte foarte speciale din aceste puncte pentru lovituri de control. Punctele sunt selectate într-un anumit mod și în conformitate cu anumite reguli. După ce reguli? Vom vorbi mai departe despre asta.

Dacă funcţia y = f(X) este continuă pe intervalul [ A, b] , apoi ajunge pe acest segment cel mai puţin Și cele mai mari valori . Acest lucru se poate întâmpla fie în puncte extremum, sau la capetele segmentului. Prin urmare, pentru a găsi cel mai puţin Și cele mai mari valori ale funcției , continuu pe intervalul [ A, b] , trebuie să-i calculați valorile în totalitate puncte criticeși la capetele segmentului, apoi alegeți cel mai mic și cel mai mare dintre ele.

De exemplu, doriți să determinați cea mai mare valoare a funcției f(X) pe segmentul [ A, b] . Pentru a face acest lucru, trebuie să găsiți toate punctele sale critice pe [ A, b] .

Punct critic numit punctul în care functie definita, si ea derivat fie egal cu zero, fie nu există. Apoi ar trebui să calculați valorile funcției în punctele critice. Și, în sfârșit, ar trebui să comparăm valorile funcției în punctele critice și la capetele segmentului ( f(A) Și f(b)). Cel mai mare dintre aceste numere va fi cea mai mare valoare a funcției de pe segment [A, b] .

Probleme de găsire cele mai mici valori ale funcției .

Căutăm împreună cele mai mici și cele mai mari valori ale funcției

Exemplul 1. Găsiți cele mai mici și cele mai mari valori ale unei funcții pe segment [-1, 2] .

Soluţie. Găsiți derivata acestei funcții. Să echivalăm derivata cu zero () și să obținem două puncte critice: și . Pentru a găsi cele mai mici și mai mari valori ale unei funcții pe un anumit segment, este suficient să-i calculați valorile la capetele segmentului și la punctul, deoarece punctul nu aparține segmentului [-1, 2]. Aceste valori ale funcției sunt: ​​, , . Rezultă că cea mai mică valoare a funcției(indicat cu roșu pe graficul de mai jos), egal cu -7, este realizat la capătul din dreapta al segmentului - în punctul , și cel mai mare(de asemenea roșu pe grafic), este egal cu 9, - în punctul critic.

Dacă o funcție este continuă într-un anumit interval și acest interval nu este un segment (dar este, de exemplu, un interval; diferența dintre un interval și un segment: punctele limită ale intervalului nu sunt incluse în interval, ci punctele de limită ale segmentului sunt incluse în segment), apoi printre valorile funcției este posibil să nu fie cel mai mic și cel mai mare. Deci, de exemplu, funcția prezentată în figura de mai jos este continuă pe ]-∞, +∞[ și nu are cea mai mare valoare.

Cu toate acestea, pentru orice interval (închis, deschis sau infinit), următoarea proprietate a funcțiilor continue este adevărată.

Exemplul 4. Găsiți cele mai mici și cele mai mari valori ale unei funcții pe segment [-1, 3] .

Soluţie. Găsim derivata acestei funcții ca derivată a coeficientului:

.

Echivalăm derivata cu zero, ceea ce ne oferă un punct critic: . Aparține segmentului [-1, 3] . Pentru a găsi cele mai mici și mai mari valori ale unei funcții pe un anumit segment, găsim valorile acesteia la capetele segmentului și în punctul critic găsit:

Să comparăm aceste valori. Concluzie: egal cu -5/13, la punctul și cea mai mare valoare egal cu 1 la punctul .

Continuăm să căutăm împreună cele mai mici și mai mari valori ale funcției

Sunt profesori care, pe tema găsirii celor mai mici și mai mari valori ale unei funcții, nu dau elevilor exemple de rezolvat mai complexe decât cele discutate, adică acelea în care funcția este un polinom sau un fracție, al cărei numărător și numitor sunt polinoame. Dar nu ne vom limita la astfel de exemple, deoarece printre profesori sunt cei cărora le place să-i oblige pe elevi să gândească în întregime (tabelul derivatelor). Prin urmare, se vor folosi funcția logaritm și trigonometrică.

Exemplul 6. Găsiți cele mai mici și cele mai mari valori ale unei funcții pe segment .

Soluţie. Găsim derivata acestei funcții ca derivat al produsului :

Echivalăm derivata cu zero, ceea ce dă un punct critic: . Aparține segmentului. Pentru a găsi cele mai mici și mai mari valori ale unei funcții pe un anumit segment, găsim valorile acesteia la capetele segmentului și în punctul critic găsit:

Rezultatul tuturor acțiunilor: funcția își atinge valoarea minimă, egal cu 0, în punctul și în punctul și cea mai mare valoare, egal e², la punctul.

Exemplul 7. Găsiți cele mai mici și cele mai mari valori ale unei funcții pe segment .

Soluţie. Găsiți derivata acestei funcții:

Echivalăm derivata cu zero:

Singurul punct critic aparține segmentului. Pentru a găsi cele mai mici și mai mari valori ale unei funcții pe un anumit segment, găsim valorile acesteia la capetele segmentului și în punctul critic găsit:

Concluzie: funcția își atinge valoarea minimă, egal cu , la punctul și cea mai mare valoare, egal , la punctul .

În problemele extreme aplicate, găsirea celor mai mici (maxime) valori ale unei funcții, de regulă, se reduce la găsirea minimului (maximului). Dar nu minimele sau maximele în sine prezintă un interes practic mai mare, ci acele valori ale argumentului la care sunt atinse. La rezolvarea problemelor aplicate, apare o dificultate suplimentară - alcătuirea funcțiilor care descriu fenomenul sau procesul luat în considerare.

Exemplul 8. Un rezervor cu o capacitate de 4, avand forma unui paralelipiped cu baza patrata si deschis in varf, trebuie sa fie cositorit. Ce dimensiune ar trebui să aibă rezervorul, astfel încât să se folosească cea mai mică cantitate de material pentru a-l acoperi?

Soluţie. Lăsa X- partea de bază, h- inaltimea rezervorului, S- suprafața sa fără acoperire, V- volumul acestuia. Suprafața rezervorului este exprimată prin formula, adică este o funcție a două variabile. A exprima Sîn funcție de o variabilă, folosim faptul că , de unde . Înlocuind expresia găsită hîn formula pentru S:

Să examinăm această funcție până la extrem. Este definită și diferențiabilă peste tot în ]0, +∞[ , și

.

Echivalăm derivata cu zero () și găsim punctul critic. În plus, atunci când derivata nu există, dar această valoare nu este inclusă în domeniul definiției și, prin urmare, nu poate fi un punct extremum. Deci, acesta este singurul punct critic. Să verificăm prezența unui extremum folosind al doilea semn suficient. Să găsim derivata a doua. Când derivata a doua este mai mare decât zero (). Aceasta înseamnă că atunci când funcția atinge un minim . De la aceasta minim este singurul extrem al acestei funcții, este cea mai mică valoare a acesteia. Deci, partea bazei rezervorului ar trebui să fie de 2 m, iar înălțimea acestuia ar trebui să fie de .

Exemplul 9. Din punct de vedere A situat pe linia de cale ferata, pana la punct CU, situat la o distanţă de acesta l, marfa trebuie transportata. Costul transportului unei unități de greutate pe unitate de distanță pe calea ferată este egal cu , iar pe autostradă este egal cu . Până în ce punct M linia de cale ferată ar trebui să fie construită ca o autostradă, astfel încât mărfurile să poată fi transportate din A V CU a fost cea mai economică (secțiunea AB se presupune că calea ferată este dreaptă)?

Să vedem cum să examinăm o funcție folosind un grafic. Rezultă că uitându-ne la grafic, putem afla tot ce ne interesează, și anume:

• domeniul unei funcții
• intervalul de funcții
• zerouri ale funcției
• intervale de creştere şi scădere
• puncte maxime și minime
• cea mai mare și cea mai mică valoare a unei funcții pe un segment.

Să clarificăm terminologia:

Abscisă este coordonata orizontală a punctului.
Ordonată- coordonata verticala.
Axa absciselor- axa orizontală, numită cel mai adesea axă.
axa Y- axa verticală, sau axa.

Argument- o variabilă independentă de care depind valorile funcției. Cel mai adesea indicat.
Cu alte cuvinte, alegem , înlocuim funcții în formulă și obținem .

Domeniu funcții - setul acelor (și numai acelea) valori de argument pentru care există funcția.
Indicat prin: sau .

În figura noastră, domeniul de definire al funcției este segmentul. Pe acest segment este trasat graficul funcției. Acesta este singurul loc unde există această funcție.

Gama de funcții este setul de valori pe care le ia o variabilă. În figura noastră, acesta este un segment - de la cea mai mică la cea mai mare valoare.

Zerourile funcției- punctele în care valoarea funcției este zero, adică. În figura noastră, acestea sunt puncte și .

Valorile funcției sunt pozitive Unde . În figura noastră acestea sunt intervalele și .
Valorile funcției sunt negative Unde . Pentru noi, acesta este intervalul (sau intervalul) de la până la .

Cele mai importante concepte - funcţia crescătoare şi descrescătoare pe vreun platou. Ca set, puteți lua un segment, un interval, o uniune de intervale sau întreaga linie numerică.

Funcţie crește

Cu alte cuvinte, cu cât mai mult, cu atât mai mult, adică graficul merge la dreapta și în sus.

Funcţie scade pe o mulțime dacă pentru oricare și aparținând mulțimii, inegalitatea implică inegalitatea .

Pentru o funcție descrescătoare, o valoare mai mare corespunde unei valori mai mici. Graficul merge la dreapta și în jos.

În figura noastră, funcția crește pe interval și scade pe intervale și .

Să definim ce este punctele maxime și minime ale funcției.

Punct maxim- acesta este un punct intern al domeniului de definiție, astfel încât valoarea funcției din acesta este mai mare decât în ​​toate punctele suficient de apropiate de acesta.
Cu alte cuvinte, un punct maxim este un punct în care valoarea funcției Mai mult decât în ​​cele vecine. Acesta este un „deal” local pe diagramă.

În figura noastră există un punct maxim.

Punct minim- un punct intern al domeniului de definiție, astfel încât valoarea funcției din acesta să fie mai mică decât în ​​toate punctele suficient de apropiate de acesta.
Adică, punctul minim este astfel încât valoarea funcției din ea să fie mai mică decât în ​​vecinii săi. Aceasta este o „gaură” locală pe grafic.

În figura noastră există un punct minim.

Punctul este granița. Nu este un punct intern al domeniului definiției și, prin urmare, nu se potrivește definiției unui punct maxim. La urma urmei, nu are vecini în stânga. La fel, pe graficul nostru nu poate exista un punct minim.

Punctele maxime și minime împreună sunt numite punctele extreme ale funcției. În cazul nostru aceasta este și .

Ce trebuie să faceți dacă trebuie să găsiți, de exemplu, functie minima pe segment? În acest caz răspunsul este: . Deoarece functie minima este valoarea sa la punctul minim.

În mod similar, maximul funcției noastre este . Se ajunge la punctul .

Putem spune că extremele funcției sunt egale cu și .

Uneori problemele necesită găsirea cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții pe un segment dat. Ele nu coincid neapărat cu extremele.

În cazul nostru cea mai mică valoare a funcției pe segment este egal și coincide cu minimul funcției. Dar valoarea sa cea mai mare pe acest segment este egală cu . Se ajunge la capătul stâng al segmentului.

În orice caz, cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții continue pe un segment sunt atinse fie la punctele extreme, fie la capetele segmentului.

Algoritmul standard pentru rezolvarea unor astfel de probleme presupune, după găsirea zerourilor funcției, determinarea semnelor derivatei pe intervale. Apoi, calculul valorilor la punctele maxime (sau minime) găsite și la limita intervalului, în funcție de ce întrebare este în stare.

Vă sfătuiesc să faceți lucrurile puțin diferit. De ce? Am scris despre asta.

Îmi propun să rezolv astfel de probleme după cum urmează:

1. Găsiți derivata.
2. Aflați zerourile derivatei.
3. Stabiliți care dintre ele aparțin acestui interval.
4. Calculăm valorile funcției la limitele intervalului și punctelor pasului 3.
5. Tragem o concluzie (raspunde la intrebarea pusa).

În timp ce rezolvați exemplele prezentate, rezolvarea ecuațiilor pătratice nu este discutată în detaliu; trebuie să puteți face acest lucru. Ar trebui să știe și ei.

Să ne uităm la exemple:

77422. Aflați cea mai mare valoare a funcției y=x 3 –3x+4 pe segmentul [–2;0].

Să găsim zerourile derivatei:

Punctul x = –1 aparține intervalului specificat în condiție.

Calculăm valorile funcției la punctele –2, –1 și 0:

Cea mai mare valoare a funcției este 6.

Raspuns: 6

77425. Aflați cea mai mică valoare a funcției y = x 3 – 3x 2 + 2 pe segment.

Să găsim derivata funcției date:

Să găsim zerourile derivatei:

Punctul x = 2 aparține intervalului specificat în condiție.

Calculăm valorile funcției la punctele 1, 2 și 4:

Cea mai mică valoare a funcției este –2.

Răspuns: -2

77426. Aflați cea mai mare valoare a funcției y = x 3 – 6x 2 pe segmentul [–3;3].

Să găsim derivata funcției date:

Să găsim zerourile derivatei:

Intervalul specificat în condiție conține punctul x = 0.

Calculăm valorile funcției la punctele –3, 0 și 3:

Cea mai mică valoare a funcției este 0.

Raspuns: 0

77429. Aflați cea mai mică valoare a funcției y = x 3 – 2x 2 + x +3 pe segment.

Să găsim derivata funcției date:

3x 2 – 4x + 1 = 0

Obținem rădăcinile: x 1 = 1 x 1 = 1/3.

Intervalul specificat în condiție conține doar x = 1.

Să găsim valorile funcției la punctele 1 și 4:

Am constatat că cea mai mică valoare a funcției este 3.

Raspuns: 3

77430. Aflați cea mai mare valoare a funcției y = x 3 + 2x 2 + x + 3 pe segmentul [– 4; -1].

Să găsim derivata funcției date:

Să găsim zerourile derivatei și să rezolvăm ecuația pătratică:

3x 2 + 4x + 1 = 0

Să luăm rădăcinile:

Intervalul specificat în condiție conține rădăcina x = –1.

Găsim valorile funcției la punctele –4, –1, –1/3 și 1:

Am descoperit că cea mai mare valoare a funcției este 3.

Raspuns: 3

77433. Aflați cea mai mică valoare a funcției y = x 3 – x 2 – 40x +3 pe segment.

Să găsim derivata funcției date:

Să găsim zerourile derivatei și să rezolvăm ecuația pătratică:

3x 2 – 2x – 40 = 0

Să luăm rădăcinile:

Intervalul specificat în condiție conține rădăcina x = 4.

Găsiți valorile funcției la punctele 0 și 4:

Am constatat că cea mai mică valoare a funcției este –109.

Răspuns: –109

Să luăm în considerare o modalitate de a determina cele mai mari și cele mai mici valori ale funcțiilor fără o derivată. Această abordare poate fi utilizată dacă aveți probleme mari cu determinarea derivatei. Principiul este simplu - înlocuim toate valorile întregi din interval în funcție (fapt este că în toate astfel de prototipuri răspunsul este un număr întreg).

77437. Aflați cea mai mică valoare a funcției y=7+12x–x 3 pe segmentul [–2;2].

Înlocuiți puncte de la –2 la 2: Vizualizați soluția

77434. Aflați cea mai mare valoare a funcției y=x 3 + 2x 2 – 4x + 4 pe segmentul [–2;0].

Asta e tot. Multă baftă!

Cu stimă, Alexander Krutitskikh.

P.S: V-as fi recunoscator daca mi-ati spune despre site pe retelele de socializare.