Ajutor pe Tele2, tarife, intrebari

Logaritmul unui număr N bazat pe A numit exponent X , la care trebuie să construiți A pentru a obține numărul N

Cu conditia ca
,
,

Din definiția logaritmului rezultă că
, adică
- această egalitate este identitatea logaritmică de bază.

Logaritmii la baza 10 se numesc logaritmi zecimali. În loc de
scrie
.

Logaritmi la bază e sunt numite naturale și sunt desemnate
.

Proprietățile de bază ale logaritmilor.

Logaritmul lui unu este egal cu zero pentru orice bază.

Logaritmul produsului este egal cu suma logaritmilor factorilor.

3) Logaritmul coeficientului este egal cu diferența logaritmilor

Factor
numit modul de tranziție de la logaritmi la bază A la logaritmi la bază b .

Folosind proprietățile 2-5, este adesea posibil să se reducă logaritmul unei expresii complexe la rezultatul operațiilor aritmetice simple pe logaritmi.

De exemplu,

Astfel de transformări ale unui logaritm se numesc logaritmi. Transformările inverse logaritmilor se numesc potențare.

Capitolul 2. Elemente de matematică superioară.

1. Limite

Limita funcției
este un număr finit A dacă, ca xx 0 pentru fiecare prestabilit
, există un astfel de număr
că de îndată ce
, Acea
.

O funcție care are o limită diferă de aceasta printr-o cantitate infinitezimală:
, unde- b.m.v., i.e.
.

Exemplu. Luați în considerare funcția
.

Când te străduiești
, funcție y tinde spre zero:

1.1. Teoreme de bază despre limite.

Limita unei valori constante este egală cu această valoare constantă

.

Limita sumei (diferenței) unui număr finit de funcții este egală cu suma (diferenței) limitelor acestor funcții.

Limita produsului unui număr finit de funcții este egală cu produsul limitelor acestor funcții.

Limita câtului a două funcții este egală cu câtul limitelor acestor funcții dacă limita numitorului nu este zero.

Limite minunate

,
, Unde

1.2. Exemple de calcul al limitelor

Cu toate acestea, nu toate limitele sunt calculate atât de ușor. Mai des, calcularea limitei se reduce la dezvăluirea unei incertitudini de tipul: sau .

.

2. Derivata unei functii

Să avem o funcție
, continuu pe segment
.

Argument a primit o oarecare creștere
. Apoi funcția va primi o creștere
.

Valoarea argumentului corespunde valorii funcției
.

Valoarea argumentului
corespunde valorii funcției.

Prin urmare, .

Să găsim limita acestui raport la
. Dacă această limită există, atunci se numește derivată a funcției date.

Definiția 3 Derivată a unei funcții date
prin argumentare se numește limita raportului dintre incrementul unei funcții și incrementul argumentului, când incrementul argumentului tinde în mod arbitrar spre zero.

Derivata unei functii
poate fi desemnat astfel:

; ; ; .

Definiția 4 Operația de găsire a derivatei unei funcții se numește diferenţiere.

2.1. Sensul mecanic al derivatului.

Să luăm în considerare mișcarea rectilinie a unui corp rigid sau punct material.

Lasă la un moment dat punct de mișcare
era la distanta din pozitia de start
.

După o perioadă de timp
ea s-a deplasat o distanţă
. Atitudine =- viteza medie a unui punct material
. Să găsim limita acestui raport, ținând cont de faptul că
.

În consecință, determinarea vitezei instantanee de mișcare a unui punct material se reduce la găsirea derivatei traseului în raport cu timpul.

2.2. Valoarea geometrică a derivatei

Să avem o funcție definită grafic
.

Orez. 1. Sensul geometric al derivatului

Dacă
, apoi punct
, se va deplasa de-a lungul curbei, apropiindu-se de punct
.

Prin urmare
, adică valoarea derivatei pentru o valoare dată a argumentului egal numeric cu tangentei unghiului format de tangenta la un punct dat cu directia pozitiva a axei
.

2.3. Tabelul formulelor de diferențiere de bază.

Funcția de putere

Functie exponentiala

Funcția logaritmică

Funcția trigonometrică

Funcția trigonometrică inversă

2.4. Reguli de diferențiere.

Derivat din

Derivată a sumei (diferenței) funcțiilor

Derivată a produsului a două funcții

Derivată a coeficientului a două funcții

2.5. Derivată a unei funcții complexe.

Să fie dată funcția
astfel încât să poată fi reprezentat sub formă

Și
, unde variabila este un argument intermediar, atunci

Derivata unei functii complexe este egala cu produsul derivatei functiei date fata de argumentul intermediar si derivata argumentului intermediar fata de x.

Exemplul 1.

Exemplul 2.

3. Funcția diferențială.

Să fie
, diferentiabil pe un anumit interval
lăsați-l să plece la această funcție are o derivată

,

atunci putem scrie

(1),

Unde - o cantitate infinitezimală,

de cand

Înmulțirea tuturor termenilor de egalitate (1) cu
avem:

Unde
- b.m.v. de ordin superior.

Magnitudinea
numită diferenţială a funcţiei
si este desemnat

.

3.1. Valoarea geometrică a diferenţialului.

Să fie dată funcția
.

Fig.2. Sensul geometric al diferenţialului.

.

Evident, diferența funcției
este egală cu incrementul ordonatei tangentei într-un punct dat.

3.2. Derivate și diferențiale de diverse ordine.

În cazul în care există
, Apoi
se numeste prima derivata.

Derivata primei derivate se numeste derivata de ordinul doi si se scrie
.

Derivată de ordinul al n-lea al funcției
se numește derivată de ordinul (n-1) și se scrie:

.

Diferenţialul diferenţialului unei funcţii se numeşte a doua diferenţială sau diferenţială de ordinul doi.

.

.

3.3 Rezolvarea problemelor biologice folosind diferențierea.

Sarcina 1. Studiile au arătat că creșterea unei colonii de microorganisme respectă legea
, Unde N – numărul de microorganisme (în mii), t – timp (zile).

b) Populația coloniei va crește sau va scădea în această perioadă?

Răspuns. Dimensiunea coloniei va crește.

Sarcina 2. Apa din lac este testată periodic pentru a monitoriza conținutul de bacterii patogene. Prin t zile după testare, concentrația de bacterii este determinată de raport

.

Când va avea lacul o concentrație minimă de bacterii și se va putea înota în el?

Soluție: O funcție atinge max sau min atunci când derivata ei este zero.

,

Să stabilim că maximul sau minul va fi în 6 zile. Pentru a face acest lucru, să luăm derivata a doua.

Răspuns: După 6 zile va exista o concentrație minimă de bacterii.

Expresii logaritmice, exemple de rezolvare. În acest articol ne vom uita la problemele legate de rezolvarea logaritmilor. Sarcinile pun întrebarea de a găsi sensul unei expresii. Trebuie remarcat faptul că conceptul de logaritm este folosit în multe sarcini și înțelegerea sensului său este extrem de importantă. În ceea ce privește examenul de stat unificat, logaritmul este utilizat la rezolvarea ecuațiilor, în probleme aplicate, precum și în sarcinile legate de studiul funcțiilor.

Să dăm exemple pentru a înțelege însuși sensul logaritmului:

Identitatea logaritmică de bază:

Proprietăți ale logaritmilor care trebuie reținut întotdeauna:

*Logaritmul produsului este egal cu suma logaritmilor factorilor.

* * *

*Logaritmul unui cot (fracție) este egal cu diferența dintre logaritmii factorilor.

* * *

*Logaritmul unei puteri este egal cu produsul dintre exponent și logaritmul bazei sale.

* * *

*Tranziția la o nouă fundație

* * *

Mai multe proprietăți:

* * *

Calculul logaritmilor este strâns legat de utilizarea proprietăților exponenților.

Să enumerăm câteva dintre ele:

Esența acestei proprietăți este că atunci când numărătorul este transferat la numitor și invers, semnul exponentului se schimbă în opus. De exemplu:

Un corolar al acestei proprietăți:

* * *

Când ridicați o putere la o putere, baza rămâne aceeași, dar exponenții sunt înmulțiți.

* * *

După cum ați văzut, conceptul de logaritm în sine este simplu. Principalul lucru este că aveți nevoie de o bună practică, care vă oferă o anumită abilitate. Desigur, sunt necesare cunoștințe de formule. Dacă abilitatea de a converti logaritmi elementari nu a fost dezvoltată, atunci când rezolvați sarcini simple puteți face cu ușurință o greșeală.

Exersează, rezolvă mai întâi cele mai simple exemple de la cursul de matematică, apoi treci la altele mai complexe. În viitor, cu siguranță voi arăta cum se rezolvă logaritmii „înfricoșători” nu vor apărea la examenul de stat unificat, dar sunt de interes, nu le ratați!

Asta e tot! Multă baftă!

Salutări, Alexander Krutitskikh

P.S: V-as fi recunoscator daca mi-ati spune despre site pe retelele de socializare.

Instrucțiuni

Scrieți expresia logaritmică dată. Dacă expresia folosește logaritmul lui 10, atunci notația sa este scurtată și arată astfel: lg b este logaritmul zecimal. Dacă logaritmul are ca bază numărul e, atunci scrieți expresia: ln b – logaritm natural. Se înțelege că rezultatul oricărei este puterea la care trebuie ridicat numărul de bază pentru a obține numărul b.

Când găsiți suma a două funcții, trebuie pur și simplu să le diferențiați una câte una și să adăugați rezultatele: (u+v)" = u"+v";

La găsirea derivatei produsului a două funcții, este necesar să înmulțim derivata primei funcții cu a doua și să adunăm derivata celei de-a doua funcții înmulțită cu prima funcție: (u*v)" = u"*v +v"*u;

Pentru a afla derivata coeficientului a doua functii, este necesar sa scadem din produsul derivatei dividendului inmultit cu functia divizor produsul derivatei divizorului inmultit cu functia dividendului si impartiti toate acestea prin funcția divizor la pătrat. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

Dacă este dată o funcție complexă, atunci este necesar să se înmulțească derivata funcției interne și derivata celei externe. Fie y=u(v(x)), apoi y"(x)=y"(u)*v"(x).

Folosind rezultatele obținute mai sus, puteți diferenția aproape orice funcție. Deci, să ne uităm la câteva exemple:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *X));
Există, de asemenea, probleme care implică calcularea derivatei la un punct. Fie dată funcția y=e^(x^2+6x+5), trebuie să găsiți valoarea funcției în punctul x=1.
1) Aflați derivata funcției: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) Calculați valoarea funcției la un punct dat y"(1)=8*e^0=8

Video pe tema

Sfaturi utile

Învață tabelul derivatelor elementare. Acest lucru va economisi timp semnificativ.

Surse:

• derivată a unei constante

Deci, care este diferența dintre o ecuație irațională și una rațională? Dacă variabila necunoscută se află sub semnul rădăcinii pătrate, atunci ecuația este considerată irațională.

Instrucțiuni

Principala metodă de rezolvare a unor astfel de ecuații este metoda de construire a ambelor părți ecuațiiîntr-un pătrat. In orice caz. acest lucru este firesc, primul lucru pe care trebuie să-l faci este să scapi de semn. Această metodă nu este dificilă din punct de vedere tehnic, dar uneori poate duce la probleme. De exemplu, ecuația este v(2x-5)=v(4x-7). Prin pătrarea ambelor părți se obține 2x-5=4x-7. Rezolvarea unei astfel de ecuații nu este dificilă; x=1. Dar numărul 1 nu va fi dat ecuații. De ce? Înlocuiți unul în ecuație în loc de valoarea lui x Și părțile din dreapta și din stânga vor conține expresii care nu au sens. Această valoare nu este valabilă pentru o rădăcină pătrată. Prin urmare, 1 este o rădăcină străină și, prin urmare, această ecuație nu are rădăcini.

Deci, o ecuație irațională se rezolvă folosind metoda punerii la pătrat a ambelor laturi. Și după ce am rezolvat ecuația, este necesar să tăiați rădăcinile străine. Pentru a face acest lucru, înlocuiți rădăcinile găsite în ecuația originală.

Luați în considerare altul.
2х+vх-3=0
Desigur, această ecuație poate fi rezolvată folosind aceeași ecuație ca cea anterioară. Mutați compuși ecuații, care nu au rădăcină pătrată, în partea dreaptă și apoi folosiți metoda pătratului. rezolvați ecuația rațională și rădăcinile rezultate. Dar și altul, mai elegant. Introduceți o nouă variabilă; vх=y. În consecință, veți primi o ecuație de forma 2y2+y-3=0. Adică o ecuație pătratică obișnuită. Găsiți-i rădăcinile; y1=1 și y2=-3/2. Apoi, rezolvă două ecuații vх=1; vх=-3/2. A doua ecuație nu are rădăcini din prima găsim că x=1. Nu uitați să verificați rădăcinile.

Rezolvarea identităților este destul de simplă. Pentru a face acest lucru, este necesar să efectuați transformări identice până când obiectivul este atins. Astfel, cu ajutorul unor operații aritmetice simple, se va rezolva sarcina depusă.

Vei avea nevoie

• - hartie;
• - pix.

Instrucțiuni

Cele mai simple dintre astfel de transformări sunt înmulțirile algebrice abreviate (cum ar fi pătratul sumei (diferența), diferența de pătrate, suma (diferența), cubul sumei (diferența)). În plus, există multe formule trigonometrice, care sunt în esență aceleași identități.

Într-adevăr, pătratul sumei a doi termeni este egal cu pătratul primului plus de două ori produsul primului cu al doilea și plus pătratul celui de-al doilea, adică (a+b)^2= (a+ b)(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2.

Simplificați pe ambele

Principii generale ale soluției

Repetați dintr-un manual de analiză matematică sau matematică superioară ceea ce este o integrală definită. După cum se știe, soluția unei integrale definite este o funcție a cărei derivată va da un integrand. Această funcție se numește antiderivată. Pe baza acestui principiu se construiesc integralele principale.
Determinați după tipul de integrand care dintre integralele de tabel este potrivită în acest caz. Nu este întotdeauna posibil să determinați acest lucru imediat. Adesea, forma tabulară devine vizibilă numai după mai multe transformări pentru a simplifica integrandul.

Metoda de înlocuire a variabilei

Dacă integrandul este o funcție trigonometrică al cărei argument este un polinom, atunci încercați să utilizați metoda schimbării variabilelor. Pentru a face acest lucru, înlocuiți polinomul din argumentul integrandului cu o nouă variabilă. Pe baza relației dintre variabilele noi și vechi, determinați noile limite de integrare. Prin diferențierea acestei expresii, găsiți noua diferență în . Astfel, veți obține o nouă formă a integralei anterioare, apropiată sau chiar corespunzătoare uneia tabulare.

Rezolvarea integralelor de al doilea fel

Dacă integrala este o integrală de al doilea fel, o formă vectorială a integrandului, atunci va trebui să utilizați regulile pentru trecerea de la aceste integrale la cele scalare. O astfel de regulă este relația Ostrogradsky-Gauss. Această lege ne permite să trecem de la fluxul rotoric al unei anumite funcții vectoriale la integrala triplă peste divergența unui câmp vectorial dat.

Înlocuirea limitelor de integrare

După găsirea antiderivatei, este necesar să se substituie limitele integrării. În primul rând, înlocuiți valoarea limitei superioare în expresia pentru antiderivată. Vei primi un număr. Apoi, scădeți din numărul rezultat un alt număr obținut din limita inferioară în antiderivată. Dacă una dintre limitele integrării este infinitul, atunci când o înlocuiți în funcția antiderivată, este necesar să mergeți la limită și să găsiți spre ce tinde expresia.
Dacă integrala este bidimensională sau tridimensională, atunci va trebui să reprezentați geometric limitele integrării pentru a înțelege cum să evaluați integrala. Într-adevăr, în cazul, de exemplu, a unei integrale tridimensionale, limitele integrării pot fi planuri întregi care limitează volumul care este integrat.

Rezultă din definiția sa. Și astfel logaritmul numărului b bazat pe A este definit ca exponentul la care trebuie ridicat un numar A pentru a obține numărul b(logaritmul există doar pentru numerele pozitive).

Din această formulare rezultă că calculul x=log a b, este echivalent cu rezolvarea ecuației a x =b. De exemplu, log 2 8 = 3 deoarece 8 = 2 3 . Formularea logaritmului face posibilă justificarea că dacă b=a c, apoi logaritmul numărului b bazat pe A egală Cu. De asemenea, este clar că subiectul logaritmilor este strâns legat de subiectul puterilor unui număr.

Cu logaritmi, ca și cu orice numere, poți face operații de adunare, scădereși se transformă în toate modurile posibile. Dar datorită faptului că logaritmii nu sunt numere în întregime obișnuite, aici se aplică propriile reguli speciale, care se numesc proprietăți principale.

Adunarea și scăderea logaritmilor.

Să luăm doi logaritmi cu aceleași baze: log un xȘi log a y. Apoi, este posibil să efectuați operații de adunare și scădere:

log a x+ log a y= log a (x·y);

log a x - log a y = log a (x:y).

log a(X 1 . X 2 . X 3 ... x k) = log un x 1 + log un x 2 + log un x 3 + ... + log a x k.

Din teorema coeficientului de logaritm mai poate fi obținută o proprietate a logaritmului. Este cunoscut faptul că log A 1= 0, prin urmare

Buturuga A 1 /b=log A 1 - jurnal a b= -log a b.

Aceasta înseamnă că există o egalitate:

log a 1 / b = - log a b.

Logaritmi a două numere reciproce din același motiv vor diferi unul de celălalt numai prin semn. Asa de:

Log 3 9= - log 3 1 / 9 ; log 5 1 / 125 = -log 5 125.

Sa incepem cu proprietățile logaritmului unu. Formularea sa este următoarea: logaritmul unității este egal cu zero, adică log a 1=0 pentru orice a>0, a≠1. Demonstrarea nu este dificilă: întrucât a 0 =1 pentru orice a care îndeplinește condițiile de mai sus a>0 și a≠1, atunci egalitatea log a 1=0 de demonstrat rezultă imediat din definiția logaritmului.

Să dăm exemple de aplicare a proprietății considerate: log 3 1=0, log1=0 și .

Să trecem la următoarea proprietate: logaritmul unui număr egal cu baza este egal cu unu, acesta este, log a a=1 pentru a>0, a≠1. Într-adevăr, deoarece a 1 =a pentru orice a, atunci prin definiția logaritmului log a a=1.

Exemple de utilizare a acestei proprietăți a logaritmilor sunt egalitățile log 5 5=1, log 5.6 5.6 și lne=1.

De exemplu, log 2 2 7 =7, log10 -4 =-4 și .

Logaritmul produsului a două numere pozitive x și y este egal cu produsul logaritmilor acestor numere: log a (x y)=log a x+log a y, a>0, a≠1. Să demonstrăm proprietatea logaritmului unui produs. Datorită proprietăților gradului a log a x+log a y =a log a x ·a log a y, și deoarece prin identitatea logaritmică principală un log a x =x și un log a y =y, atunci un log a x ·a log a y =x·y. Astfel, un log a x+log a y =x·y, din care, prin definirea unui logaritm, rezultă egalitatea care se dovedește.

Să arătăm exemple de utilizare a proprietății logaritmului unui produs: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 și .

Proprietatea logaritmului unui produs poate fi generalizată la produsul unui număr finit n de numere pozitive x 1 , x 2 , …, x n ca log a (x 1 ·x 2 ·…·x n)= log a x 1 +log a x 2 +…+log a x n . Această egalitate poate fi dovedită fără probleme.

De exemplu, logaritmul natural al produsului poate fi înlocuit cu suma a trei logaritmi naturali ai numerelor 4, e și.

Logaritmul câtului a două numere pozitive x și y este egal cu diferența dintre logaritmii acestor numere. Proprietatea logaritmului unui coeficient corespunde unei formule de forma , unde a>0, a≠1, x și y sunt niște numere pozitive. Valabilitatea acestei formule este dovedită la fel ca și formula pentru logaritmul unui produs: întrucât , apoi prin definiția logaritmului.

Iată un exemplu de utilizare a acestei proprietăți a logaritmului: .

Să trecem la proprietatea logaritmului puterii. Logaritmul unui grad este egal cu produsul exponentului și logaritmul modulului bazei acestui grad. Să scriem această proprietate a logaritmului unei puteri ca formulă: log a b p =p·log a |b|, unde a>0, a≠1, b și p sunt numere astfel încât gradul b p are sens și b p >0.

Mai întâi demonstrăm această proprietate pentru pozitivul b. Identitatea logaritmică de bază ne permite să reprezentăm numărul b ca un log a b , apoi b p =(a log a b) p , iar expresia rezultată, datorită proprietății puterii, este egală cu a p·log a b . Ajungem deci la egalitatea b p =a p·log a b, din care, prin definiția unui logaritm, concluzionăm că log a b p =p·log a b.

Rămâne de demonstrat această proprietate pentru negativul b. Aici observăm că expresia log a b p pentru negativ b are sens numai pentru exponenții pari p (deoarece valoarea gradului b p trebuie să fie mai mare decât zero, altfel logaritmul nu va avea sens), iar în acest caz b p =|b| p. Apoi b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p·log a |b|, de unde log a b p =p·log a |b| .

De exemplu, și ln(-3) 4 =4·ln|-3|=4·ln3 .

Rezultă din proprietatea anterioară proprietatea logaritmului de la rădăcină: logaritmul rădăcinii a n-a este egal cu produsul fracției 1/n cu logaritmul expresiei radicalului, adică , unde a>0, a≠1, n este un număr natural mai mare decât unu, b>0.

Dovada se bazează pe egalitatea (vezi), care este valabilă pentru orice b pozitiv și pe proprietatea logaritmului puterii: .

Iată un exemplu de utilizare a acestei proprietăți: .

Acum să demonstrăm formula pentru trecerea la o nouă bază logaritmică drăguț . Pentru a face acest lucru, este suficient să dovedim validitatea egalității log c b=log a b·log c a. Identitatea logaritmică de bază ne permite să reprezentăm numărul b ca log a b , apoi log c b=log c a log a b . Rămâne să folosim proprietatea logaritmului gradului: log c a log a b =log a b log c a. Aceasta dovedește egalitatea log c b=log a b·log c a, ceea ce înseamnă că a fost demonstrată și formula pentru tranziția la o nouă bază a logaritmului.

Să arătăm câteva exemple de utilizare a acestei proprietăți a logaritmilor: și .

Formula pentru trecerea la o nouă bază vă permite să treceți la lucrul cu logaritmi care au o bază „convenabilă”. De exemplu, poate fi folosit pentru a merge la logaritmi naturali sau zecimali, astfel încât să puteți calcula valoarea unui logaritm dintr-un tabel de logaritmi. Formula de trecere la o nouă bază logaritmică permite, în unele cazuri, să se găsească valoarea unui logaritm dat atunci când sunt cunoscute valorile unor logaritmi cu alte baze.

Un caz special al formulei de tranziție la o nouă bază logaritmică pentru c=b a formei este adesea folosit . Aceasta arată că log a b și log b a – . De exemplu, .

Formula este de asemenea folosită des , care este convenabil pentru găsirea valorilor logaritmului. Pentru a ne confirma cuvintele, vom arăta cum poate fi folosit pentru a calcula valoarea unui logaritm de forma . Avem . Pentru a demonstra formula este suficient să folosiți formula pentru tranziția la o nouă bază a logaritmului a: .

Rămâne de demonstrat proprietățile comparației logaritmilor.

Să demonstrăm că pentru orice numere pozitive b 1 și b 2, b 1 log a b 2 , iar pentru a>1 – inegalitatea log a b 1

În cele din urmă, rămâne de demonstrat ultima dintre proprietățile enumerate ale logaritmilor. Să ne limităm la demonstrarea primei sale părți, adică vom demonstra că dacă a 1 >1, a 2 >1 și a 1 1 este adevărat log a 1 b>log a 2 b . Enunțurile rămase ale acestei proprietăți a logaritmilor sunt dovedite după un principiu similar.

Să folosim metoda opusă. Să presupunem că pentru a 1 >1, a 2 >1 și a 1 1 este adevărat log a 1 b≤log a 2 b . Pe baza proprietăților logaritmilor, aceste inegalități pot fi rescrise ca Și respectiv, iar din ele rezultă că log b a 1 ≤log b a 2 și, respectiv, log b a 1 ≥log b a 2. Atunci, după proprietățile puterilor cu aceleași baze, trebuie să fie valabile egalitățile b log b a 1 ≥b log b a 2 și b log b a 1 ≥b log b a 2, adică a 1 ≥a 2 . Deci am ajuns la o contradicție cu condiția a 1

Bibliografie.

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. şi altele Algebra şi începuturile analizei: Manual pentru clasele 10 - 11 ale instituţiilor de învăţământ general.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematică (un manual pentru cei care intră în școlile tehnice).