Ajutor la Tele2, tarife, intrebari

PROPRIETĂȚI ALE UNUI BISSECTRIC

Proprietatea bisectoarei: Într-un triunghi, bisectoarea împarte latura opusă în segmente proporționale cu laturile adiacente.

Bisectoarea unui unghi exterior Bisectoarea unui unghi extern al unui triunghi intersectează prelungirea laturii sale într-un punct, distanțele de la care până la capetele acestei laturi sunt proporționale cu laturile adiacente ale triunghiului, respectiv. C B A D

Formule pentru lungimea unei bisectoare:

Formula pentru aflarea lungimilor segmentelor în care bisectoarea împarte latura opusă a triunghiului

Formula pentru aflarea raportului dintre lungimile segmentelor în care bisectoarea este împărțită la punctul de intersecție al bisectoarelor

Problema 1. Una dintre bisectoarele unui triunghi este împărțită la punctul de intersecție al bisectoarelor într-un raport de 3:2, numărând de la vârf. Aflați perimetrul triunghiului dacă lungimea laturii triunghiului în care este trasă această bisectoare este de 12 cm.

Rezolvare Să folosim formula pentru a găsi raportul lungimilor segmentelor în care bisectoarea este împărțită la punctul de intersecție al bisectoarelor din triunghi:   a + c = = 18  P ∆ ABC = a + b + c = b +(a + c) = 12 + 18 = 30. Răspuns: P = 30cm.

Sarcina 2. Bisectoarele BD și CE ∆ ABC se intersectează în punctul O. AB=14, BC=6, AC=10. Găsiți O D.

Soluţie. Să folosim formula pentru a afla lungimea bisectoarei: Avem: BD = BD = = După formula raportului segmentelor în care se împarte bisectoarea la punctul de intersecție al bisectoarelor: l = . 2 + 1 = 3 părți în total.

aceasta este partea 1  OD = Răspuns: OD =

Probleme În ∆ ABC sunt trasate bisectoarele AL și BK. Aflați lungimea segmentului KL dacă AB = 15, AK =7,5, BL = 5. La ∆ ABC există o bisectoare AD, iar prin punctul D o dreaptă paralelă cu AC și care se intersectează cu AB în punctul E. Aflați raportul dintre ariile ∆ ABC și ∆ BDE , dacă AB = 5, AC = 7. Aflați bisectoarele unghiurilor ascuțite ale unui triunghi dreptunghic cu catetele 24 cm și 18 cm. Într-un triunghi dreptunghic, bisectoarea unui unghi ascuțit împarte piciorul opus în segmente de 4 și 5 cm. Determinați aria triunghiului.

5. Într-un triunghi isoscel, baza și latura sunt egale cu 5 și, respectiv, 20 cm Aflați bisectoarea unghiului de la baza triunghiului. 6. Aflați bisectoarea unghiului drept al unui triunghi ale cărui catete sunt egale cu a și b. 7. Calculați lungimea bisectoarei unghiului A a triunghiului ABC cu lungimea laturilor a = 18 cm, b = 15 cm, c = 12 cm 8. În triunghiul ABC, lungimile laturilor AB, BC și AC sunt în raport 2:4:5, respectiv. Aflați raportul în care bisectoarele unghiurilor interioare sunt împărțite în punctul de intersecție.

Raspunsuri: Raspuns: Raspuns: Raspuns: Raspuns: Raspuns: Raspuns: Raspuns: Raspuns: AP = 6 AP = 10 cm KL = CP =

Printre numeroasele discipline ale liceului se numără una precum „geometria”. În mod tradițional se crede că fondatorii acestei științe sistematice sunt grecii. Astăzi, geometria greacă este numită elementară, deoarece ea a început studiul celor mai simple forme: plane, drepte și triunghiuri. Ne vom concentra atenția asupra acestuia din urmă, sau mai degrabă asupra bisectoarei acestei figuri. Pentru cei care au uitat deja, bisectoarea unui triunghi este un segment al bisectoarei unuia dintre colțurile triunghiului, care îl împarte în jumătate și leagă vârful cu un punct situat pe partea opusă.

Bisectoarea unui triunghi are o serie de proprietăți pe care trebuie să le cunoașteți atunci când rezolvați anumite probleme:

• Bisectoarea unui unghi este locul punctelor situate la distanțe egale de laturile adiacente unghiului.
• Bisectoarea dintr-un triunghi împarte latura opusă unghiului în segmente care sunt proporționale cu laturile adiacente. De exemplu, având în vedere un triunghi MKB, în care o bisectoare iese din unghiul K, conectând vârful acestui unghi cu punctul A de pe latura opusă MB. După ce am analizat această proprietate și triunghiul nostru, avem MA/AB=MK/KB.
• Punctul în care bisectoarele tuturor celor trei unghiuri ale unui triunghi se intersectează este centrul unui cerc care este înscris în același triunghi.
• Bazele bisectoarelor unui unghi extern și a două unghiuri interne sunt pe aceeași linie dreaptă, cu condiția ca bisectoarea unghiului exterior să nu fie paralelă cu latura opusă a triunghiului.
• Dacă două bisectoare ale uneia, atunci aceasta

Trebuie remarcat faptul că, dacă sunt date trei bisectoare, atunci construirea unui triunghi din ele, chiar și cu ajutorul unei busole, este imposibilă.

Foarte des, atunci când se rezolvă probleme, bisectoarea unui triunghi este necunoscută, dar este necesar să se determine lungimea acestuia. Pentru a rezolva această problemă, trebuie să cunoașteți unghiul care este bisectat de bisectoare și laturile adiacente acestui unghi. În acest caz, lungimea necesară este definită ca raportul dintre de două ori produsul dintre laturile adiacente colțului și cosinusul unghiului împărțit la jumătate la suma laturilor adiacente colțului. De exemplu, având în vedere același triunghi MKB. Bisectoarea iese din unghiul K și intersectează latura opusă a MV în punctul A. Unghiul din care iese bisectoarea este notat cu y. Acum să notăm tot ce se spune în cuvinte sub forma unei formule: KA = (2*MK*KB*cos y/2) / (MK+KB).

Dacă valoarea unghiului din care iese bisectoarea unui triunghi este necunoscută, dar toate laturile sale sunt cunoscute, atunci pentru a calcula lungimea bisectoarei vom folosi o variabilă suplimentară, pe care o vom numi semiperimetru și o vom nota cu litera P: P=1/2*(MK+KB+MB). După aceasta, vom face câteva modificări la formula anterioară prin care s-a determinat lungimea bisectoarei și anume, în numărătorul fracției punem dublu produsul lungimilor laturilor adiacente colțului de semiperimetru. și coeficientul, unde lungimea celei de-a treia laturi este scăzută din semiperimetru. Să lăsăm numitorul neschimbat. Sub forma unei formule, va arăta astfel: KA=2*√(MK*KB*P*(P-MB)) / (MK+KB).

Bisectoarea unui triunghi isoscel, împreună cu proprietățile generale, are și câteva proprietăți proprii. Să ne amintim ce fel de triunghi este acesta. Un astfel de triunghi are două laturi egale și unghiuri egale adiacente bazei. Rezultă că bisectoarele care cad pe laturile laterale ale unui triunghi isoscel sunt egale între ele. În plus, bisectoarea coborâtă la bază este atât înălțimea, cât și mediana.

Unghiurile interioare ale unui triunghi se numesc bisectoarea triunghiului.
Bisectoarea unui unghi al unui triunghi este, de asemenea, înțeleasă ca segmentul dintre vârful său și punctul de intersecție al bisectoarei cu latura opusă a triunghiului.
Teorema 8. Cele trei bisectoare ale unui triunghi se intersectează într-un punct.
Într-adevăr, să considerăm mai întâi punctul P de intersecție a două bisectoare, de exemplu AK 1 și VK 2. Acest punct este la fel de îndepărtat de laturile AB și AC, deoarece se află pe bisectoarea unghiului A și la fel de îndepărtat de laturile AB și BC, ca aparținând bisectoarei unghiului B. Aceasta înseamnă că este la fel de îndepărtat de laturile AB și BC. laturile AC și BC și, prin urmare, aparține celei de-a treia bisectoare CK 3, adică în punctul P se intersectează toate cele trei bisectoare.
Proprietățile bisectoarelor unghiurilor interne și externe ale unui triunghi
Teorema 9. Bisectoarea unui unghi interior al unui triunghi împarte latura opusă în părți proporționale cu laturile adiacente.
Dovada. Să considerăm triunghiul ABC și bisectoarea unghiului său B. Să trasăm o dreaptă CM prin vârful C, paralelă cu bisectoarea BC, până când se intersectează în punctul M cu continuarea laturii AB. Deoarece VC este bisectoarea unghiului ABC, atunci ∠ ABC = ∠ KBC. În plus, ∠ АВК=∠ ВСМ, ca unghiuri corespunzătoare pentru linii paralele, și ∠ КВС=∠ ВСМ, ca unghiuri transversale pentru liniile paralele. Prin urmare ∠ ВСМ=∠ ВМС și, prin urmare, triunghiul ВСМ este isoscel, deci ВС=ВМ. Conform teoremei despre drepte paralele care intersectează laturile unui unghi, avem AK:K C=AB:VM=AB:BC, care este ceea ce trebuia demonstrat.
Teorema 10 Bisectoarea unghiului extern B al triunghiului ABC are o proprietate similară: segmentele AL și CL de la vârfurile A și C până la punctul L de intersecție a bisectoarei cu continuarea laturii AC sunt proporționale cu laturile triunghiului: AL: C.L.=AB:BC.
Această proprietate este demonstrată în același mod ca și precedenta: în figură se trasează o dreaptă auxiliară SM paralelă cu bisectoarea BL. Unghiurile BMC și BC sunt egale, ceea ce înseamnă că laturile BM și BC ale triunghiului BMC sunt egale. De la care ajungem la concluzia AL:CL=AB:BC.

Teorema d4. (prima formulă pentru bisectoare): Dacă în triunghiul ABC segmentul AL este bisectoarea unghiului A, atunci AL? = AB·AC - LB·LC.

Dovada: Fie M punctul de intersecție al dreptei AL cu cercul circumscris triunghiului ABC (Fig. 41). Unghiul BAM este egal cu unghiul MAC după condiție. Unghiurile BMA și BCA sunt congruente ca unghiuri înscrise subtinse de aceeași coardă. Aceasta înseamnă că triunghiurile BAM și LAC sunt similare în două unghiuri. Prin urmare, AL: AC = AB: AM. Deci AL · AM = AB · AC<=>AL (AL + LM) = AB AC<=>AL? = AB · AC - AL · LM = AB · AC - BL · LC. Ceea ce trebuia dovedit. Notă: pentru teorema despre segmentele de acorduri care se intersectează într-un cerc și despre unghiurile înscrise, vezi subiectul cerc și cerc.

Teorema d5. (a doua formulă pentru bisectoare): Într-un triunghi ABC cu laturile AB=a, AC=b și unghiul A egal cu 2? și bisectoarea l, egalitatea este valabilă:
l = (2ab / (a+b)) cos?.

Dovada: Fie ABC triunghiul dat, AL bisectoarea ei (Fig. 42), a=AB, b=AC, l=AL. Atunci S ABC = S ALB + S ALC. Prin urmare, absin2? = alsin? +blsin?<=>2absin?·cos? = (a + b) lsin?<=>l = 2·(ab / (a+b))· cos?. Teorema a fost demonstrată.

Bisectoarea unui triunghi este un concept geometric comun care nu provoacă prea multe dificultăți în învățare. Având cunoștințe despre proprietățile sale, puteți rezolva multe probleme fără prea multe dificultăți. Ce este bisectoarea? Vom încerca să familiarizăm cititorul cu toate secretele acestei linii matematice.

In contact cu

Esența conceptului

Numele conceptului provine de la utilizarea cuvintelor în latină, al căror sens este „bi” - doi, „sectio” - a tăia. Ele indică în mod specific sensul geometric al conceptului - împărțirea spațiului între raze în două părți egale.

Bisectoarea unui triunghi este un segment care provine de la vârful figurii, iar celălalt capăt este așezat pe latura care este situată opusă acestuia, împărțind spațiul în două părți identice.

Pentru a memora rapid în mod asociativ conceptele matematice, mulți profesori folosesc o terminologie diferită, care se reflectă în poezii sau asociații. Desigur, utilizarea acestei definiții este recomandată copiilor mai mari.

Cum este desemnată această linie? Aici ne bazăm pe regulile de desemnare a segmentelor sau razelor. Dacă vorbim despre desemnarea bisectoarei unui unghi al unei figuri triunghiulare, atunci este de obicei scris ca un segment ale cărui capete sunt vârf și punctul de intersecție cu latura opusă vârfului. Mai mult, începutul notației este scris tocmai din vârf.

Atenţie! Câte bisectoare are un triunghi? Răspunsul este evident: câte vârfuri sunt - trei.

Proprietăți

În afară de definiție, nu multe proprietăți ale acestui concept geometric pot fi găsite într-un manual școlar. Prima proprietate a bisectoarei unui triunghi în care sunt introduși școlarii este centrul înscris, iar a doua, direct legată de acesta, este proporționalitatea segmentelor. Concluzia este aceasta:

1. Oricare ar fi linia de despărțire, există puncte pe ea care sunt la aceeasi distanta de laturi, care alcătuiesc spațiul dintre raze.
2. Pentru a potrivi un cerc într-o figură triunghiulară, este necesar să se determine punctul în care aceste segmente se vor intersecta. Acesta este punctul central al cercului.
3. Sunt situate părțile laturii unei figuri geometrice triunghiulare în care linia de despărțire o împarte proporţional cu laturile care formează unghiul.

Vom încerca să aducem caracteristicile rămase în sistem și să prezentăm fapte suplimentare care vor ajuta la înțelegerea mai bună a avantajelor acestui concept geometric.

Lungime

Unul dintre tipurile de probleme care provoacă dificultăți pentru școlari este găsirea lungimii bisectoarei unui unghi al unui triunghi. Prima opțiune, care conține lungimea sa, conține următoarele date:

• cantitatea de spațiu dintre razele din vârful căruia iese un anumit segment;
• lungimile laturilor care formează acest unghi.

Pentru a rezolva problema formula utilizată, al cărui sens este de a găsi raportul dintre produsul valorilor laturilor care alcătuiesc unghiul, mărit de 2 ori, cu cosinusul jumătății sale la suma laturilor.

Să ne uităm la un exemplu concret. Să presupunem că ni se dă o figură ABC, în care un segment este desenat din unghiul A și intersectează latura BC în punctul K. Notăm valoarea lui A ca Y. Pe baza acesteia, AK = (2*AB*AC*cos(Y) /2))/(AB+ AC).

A doua versiune a problemei, în care se determină lungimea bisectoarei unui triunghi, conține următoarele date:

• se cunosc semnificațiile tuturor laturilor figurii.

La rezolvarea unei probleme de acest tip, inițial determina semiperimetrul. Pentru a face acest lucru, trebuie să adunați valorile tuturor laturilor și să împărțiți la jumătate: p=(AB+BC+AC)/2. Apoi, aplicăm formula de calcul care a fost folosită pentru a determina lungimea acestui segment în problema anterioară. Este necesar doar să faceți unele modificări la esența formulei în conformitate cu noii parametri. Deci, este necesar să se găsească raportul dintre rădăcina dublă a celei de-a doua puteri a produsului dintre lungimile laturilor care sunt adiacente vârfului de semiperimetru și diferența dintre semiperimetru și lungimea latura opusă sumei laturilor care formează unghiul. Adică AK = (2٦AB*AC*p*(p-BC))/(AB+AC).

Atenţie! Pentru a stăpâni mai ușor materialul, poți apela la povești comice disponibile pe internet care vorbesc despre „aventurile” acestei linii.

Care este bisectoarea unui triunghi? La această întrebare, cunoscutul șobolan care alergă pe la colțuri și împarte colțul în jumătate iese din gura unor oameni." Dacă răspunsul ar trebui să fie "umoristic", atunci poate că este corect. Dar din punct de vedere științific al În opinia noastră, răspunsul la această întrebare ar trebui să fie: ceva de genul acesta: pornind de la vârful unui unghi și împărțindu-l pe acesta din urmă în două părți egale.” În geometrie, această figură este, de asemenea, percepută ca un segment al bisectoarei până când se intersectează cu latura opusă a triunghiului. Aceasta nu este o concepție greșită. Ce se mai știe despre bisectoarea unui unghi, în afară de definiția lui?

Ca orice loc geometric al punctelor, are propriile sale caracteristici. Prima dintre ele nu este, mai degrabă, nici măcar un semn, ci o teoremă, care poate fi exprimată pe scurt după cum urmează: „Dacă latura opusă acesteia este împărțită în două părți printr-o bisectoare, atunci raportul lor va corespunde raportului dintre laturile unui triunghi mare.”

A doua proprietate pe care o are: punctul de intersecție al bisectoarelor tuturor unghiurilor se numește incentru.

Al treilea semn: bisectoarele unui unghi intern și a două unghiuri externe ale unui triunghi se intersectează în centrul unuia dintre cele trei cercuri înscrise.

A patra proprietate a bisectoarei unui triunghi este că, dacă fiecare dintre ele este egală, atunci acesta din urmă este isoscel.

Al cincilea semn se referă și la un triunghi isoscel și este principalul ghid pentru recunoașterea lui într-un desen prin bisectoare și anume: într-un triunghi isoscel servește simultan ca mediană și altitudine.

Bisectoarea unghiului poate fi construită folosind o busolă și o riglă:

A șasea regulă spune că este imposibil să construiești un triunghi folosindu-l pe acesta din urmă doar cu bisectoarele existente, la fel cum este imposibil să construiești în acest fel dublarea unui cub, pătrarea unui cerc și trisecția unui unghi. Strict vorbind, acestea sunt toate proprietățile bisectoarei unui triunghi.

Dacă ai citit cu atenție paragraful anterior, atunci poate că te-a interesat o singură frază. "Ce este trisecția unui unghi?" - probabil vei intreba. Trisectorul este puțin asemănător cu bisectoarea, dar dacă o desenați pe aceasta din urmă, unghiul va fi împărțit în două părți egale, iar la construirea unei trisecțiuni, acesta va fi împărțit în trei. Desigur, bisectoarea unui unghi este mai ușor de reținut, deoarece trisecția nu este predată la școală. Dar, de dragul completității, vă voi spune și despre asta.

Un trisector, așa cum am spus deja, nu poate fi construit doar cu o busolă și o riglă, ci poate fi creat folosind regulile lui Fujita și câteva curbe: melcii lui Pascal, cuadratricele, concoidele lui Nicomede, secțiunile conice,

Problemele de trisecție a unui unghi sunt rezolvate destul de simplu folosind nevsis.

În geometrie există o teoremă despre trisectoarele unghiulare. Se numește teorema lui Morley. Ea afirmă că punctele de intersecție ale trisectoarelor fiecărui unghi situat în mijloc vor fi vârfurile

Un triunghi negru mic în interiorul unuia mare va fi întotdeauna echilateral. Această teoremă a fost descoperită de omul de știință britanic Frank Morley în 1904.

Iată cât de multe puteți învăța despre împărțirea unui unghi: trisectorul și bisectoarea unui unghi necesită întotdeauna explicații detaliate. Dar aici s-au dat multe definiții pe care nu le-am dezvăluit încă: melcul lui Pascal, concoida lui Nicomede etc. Fii sigur, mai sunt multe de scris despre ei.