Institutie bugetara de invatamant municipal -

Scoala Gimnaziala nr 51

Orenburg.

Proiect pe:

profesor de matematică

Egorcheva Victoria Andreevna

2017

Ipoteză : Dacă teoria grafurilor este adusă mai aproape de practică, atunci se pot obține cele mai benefice rezultate.

Ţintă: Familiarizați-vă cu conceptul de grafice și învățați cum să le aplicați în rezolvarea diferitelor probleme.

Sarcini:

1) Extinderea cunoștințelor despre metodele de construire a graficelor.

2) Identificați tipuri de probleme a căror rezolvare necesită utilizarea teoriei grafurilor.

3) Explorați utilizarea graficelor în matematică.

„Euler a calculat, fără niciun efort vizibil, cum respiră o persoană sau cum se înalță un vultur deasupra pământului.”

Dominic Arago.

eu. Introducere. p.

II . Parte principală.

1. Conceptul de grafic. Problemă cu podurile Königsberg. p.

2. Proprietăţile graficelor. p.

3. Probleme folosind teoria grafurilor. p.

Sh. Concluzie.

Sensul graficelor. p.

IV. Bibliografie. p.

eu . INTRODUCERE.

Teoria grafurilor este o știință relativ tânără. „Grafe” are rădăcina cuvântului grecesc „grapho”, care înseamnă „eu scriu”. Aceeași rădăcină este în cuvintele „graf”, „biografie”.

În munca mea, mă uit la modul în care teoria graficelor este utilizată în diferite domenii ale vieții oamenilor. Fiecare profesor de matematică și aproape fiecare elev știe cât de dificil este să rezolvi problemele geometrice, precum și problemele cu cuvintele de algebră. După ce am explorat posibilitatea utilizării teoriei grafurilor într-un curs de matematică școlar, am ajuns la concluzia că această teorie simplifică foarte mult înțelegerea și rezolvarea problemelor.

II . PARTE PRINCIPALĂ.

1. Conceptul de grafic.

Prima lucrare despre teoria grafurilor îi aparține lui Leonhard Euler. A apărut în 1736 în publicațiile Academiei de Științe din Sankt Petersburg și a început cu o analiză a problemei podurilor Königsberg.

Probabil știi că există un astfel de oraș ca Kaliningrad, care se numea Koenigsberg. Râul Pregolya curge prin oraș. Este împărțit în două ramuri și face în jurul insulei. În secolul al XVII-lea existau șapte poduri în oraș, aranjate așa cum se arată în imagine.

Se spune că într-o zi un locuitor al orașului l-a întrebat pe prietenul său dacă poate trece peste toate podurile pentru a le vizita pe fiecare o singură dată și a se întoarce la locul de unde a început plimbarea. Mulți orășeni au devenit interesați de această problemă, dar nimeni nu a putut găsi o soluție. Această problemă a atras atenția oamenilor de știință din multe țări. Celebrul matematician Leonhard Euler a reușit să rezolve problema. Leonhard Euler, originar din Basel, s-a născut la 15 aprilie 1707. Realizările științifice ale lui Euler sunt enorme. El a influențat dezvoltarea aproape tuturor ramurilor matematicii și mecanicii, atât în ​​domeniul cercetării fundamentale, cât și în aplicațiile acestora. Leonhard Euler nu numai că a rezolvat această problemă specifică, ci a venit și cu o metodă generală de rezolvare a acestor probleme. Euler a făcut următoarele: a „comprimat” pământul în puncte și a „întins” podurile în linii. Rezultatul este figura prezentată în figură.

O astfel de figură, constând din puncte și linii care leagă aceste puncte, se numeștenumara. Punctele A, B, C, D se numesc vârfuri ale graficului, iar liniile care leagă vârfurile sunt numite muchii ale graficului. În desenul de la vârfuri B, C, D Ies 3 coaste, iar de sus A - 5 coaste. Se numesc vârfurile din care iese un număr impar de muchiivârfuri impare, iar vârfurile din care iese un număr par de muchii suntchiar.

2. Proprietăţile graficului.

În timpul rezolvării problemei despre podurile Königsberg, Euler a stabilit, în special, proprietățile graficului:

1. Dacă toate vârfurile graficului sunt pare, atunci puteți desena un grafic cu o singură lovitură (adică fără să ridicați creionul de pe hârtie și fără să desenați de două ori pe aceeași linie). În acest caz, mișcarea poate începe de la orice vârf și se poate termina la același vârf.

2. Un grafic cu două vârfuri impare poate fi trasat și cu o singură lovitură. Mișcarea trebuie să înceapă de la orice vârf impar și să se termine la un alt vârf impar.

3. Un grafic cu mai mult de două vârfuri impare nu poate fi desenat cu o singură lovitură.

4.Numărul de vârfuri impare dintr-un grafic este întotdeauna par.

5. Dacă un grafic are vârfuri impare, atunci cel mai mic număr de linii care poate fi folosit pentru a desena graficul va fi egal cu jumătate din numărul de vârfuri impare ale acestui grafic.

De exemplu, dacă o cifră are patru numere impare, atunci poate fi desenată cu cel puțin două linii.

În problema celor șapte poduri ale lui Königsberg, toate cele patru vârfuri ale graficului corespunzător sunt impare, i.e. Nu poți trece o dată pe toate podurile și nu poți încheia călătoria de unde a început.

3. Rezolvarea problemelor folosind grafice.

1. Sarcini de desenare a figurilor cu o singură lovitură.

Încercarea de a desena fiecare dintre următoarele forme cu o singură mișcare a stiloului va avea rezultate diferite.

Dacă nu există puncte impare în figură, atunci aceasta poate fi întotdeauna desenată cu o singură mișcare a stiloului, indiferent de unde începeți să desenați. Acestea sunt figurile 1 și 5.

Dacă o figură are doar o pereche de puncte impare, atunci o astfel de figură poate fi desenată cu o singură lovitură, începând să desenați de la unul dintre punctele impare (nu contează care). Este ușor de înțeles că desenul ar trebui să se termine la al doilea punct impar. Acestea sunt figurile 2, 3, 6. În figura 6, de exemplu, desenul trebuie să înceapă fie din punctul A, fie din punctul B.

Dacă o figură are mai mult de o pereche de puncte impare, atunci nu poate fi desenată cu o singură lovitură. Acestea sunt figurile 4 și 7, care conțin două perechi de puncte impare. Ceea ce s-a spus este suficient pentru a recunoaște cu exactitate care figuri nu pot fi desenate cu o singură lovitură și care pot fi desenate, precum și din ce punct ar trebui să înceapă desenul.

Îmi propun să desenăm următoarele figuri dintr-o singură lovitură.

2. Rezolvarea problemelor logice.

SARCINA Nr. 1.

La campionatul de tenis de masă sunt 6 participanți: Andrei, Boris, Victor, Galina, Dmitry și Elena. Campionatul se desfășoară într-un sistem round robin - fiecare participant joacă o dată pe fiecare dintre ceilalți. Până în prezent, s-au jucat deja câteva jocuri: Andrey a jucat cu Boris, Galina, Elena; Boris - cu Andrey, Galina; Victor - cu Galina, Dmitri, Elena; Galina - cu Andrey, Victor și Boris. Câte jocuri s-au jucat până acum și câte au mai rămas?

SOLUŢIE:

Să construim un grafic așa cum se arată în figură.

7 jocuri jucate.

În această figură, graficul are 8 muchii, deci mai sunt 8 jocuri de jucat.

SARCINA #2

În curtea, care este înconjurată de un gard înalt, sunt trei case: roșu, galben și albastru. Gardul are trei porti: rosu, galben si albastru. Din casa roșie, trageți o potecă până la poarta roșie, de la casa galbenă la poarta galbenă, de la casa albastră la cea albastră pentru ca aceste poteci să nu se intersecteze.

SOLUŢIE:

Soluția problemei este prezentată în figură.

3. Rezolvarea problemelor de cuvinte.

Pentru a rezolva probleme folosind metoda graficului, trebuie să cunoașteți următorul algoritm:

1.Despre ce proces vorbim în problemă?2.Ce cantități caracterizează acest proces?3.Care este relația dintre aceste cantități?4. Câte procese diferite sunt descrise în problemă?5.Există o legătură între elemente?

Răspunzând la aceste întrebări, analizăm starea problemei și o notăm schematic.

De exemplu . Autobuzul a circulat timp de 2 ore cu viteza de 45 km/h si timp de 3 ore cu viteza de 60 km/h. Cât de departe a călătorit autobuzul în aceste 5 ore?

S
¹=90 km V ¹=45 km/h t ¹=2h

S=VT

S ²=180 km V ²=60 km/h t ²=3 h

S ¹ + S ² = 90 + 180

Soluţie:

1)45x 2 = 90 (km) - autobuzul a parcurs 2 ore.

2)60 x 3 = 180 (km) - autobuzul a parcurs 3 ore.

3)90 + 180 = 270 (km) - autobuzul a parcurs 5 ore.

Raspuns: 270 km.

III . CONCLUZIE.

Ca urmare a lucrului la proiect, am aflat că Leonhard Euler a fost fondatorul teoriei grafurilor și a rezolvat probleme folosind teoria grafurilor. Am concluzionat pentru mine că teoria grafurilor este folosită în diverse domenii ale matematicii moderne și numeroasele sale aplicații. Nu există nicio îndoială cu privire la utilitatea de a ne prezenta, studenților, conceptele de bază ale teoriei grafurilor. Rezolvarea multor probleme matematice devine mai ușoară dacă puteți folosi grafice. Prezentarea datelor V forma unui grafic le oferă claritate. Multe dovezi sunt, de asemenea, simplificate și devin mai convingătoare dacă folosiți grafice. Acest lucru se aplică în special unor domenii ale matematicii precum logica matematică și combinatoria.

Astfel, studiul acestei teme are o mare semnificație generală educațională, culturală generală și matematică generală. În viața de zi cu zi, ilustrațiile grafice, reprezentările geometrice și alte tehnici și metode vizuale sunt din ce în ce mai folosite. În acest scop, este utilă introducerea studiului elementelor de teoria grafurilor în școlile primare și gimnaziale, cel puțin în activitățile extracurriculare, întrucât această temă nu este inclusă în programa de matematică.

V . BIBLIOGRAFIE:

2008

Revizuire.

Proiectul pe tema „Grafe din jurul nostru” a fost finalizat de Nikita Zaytsev, elevă a clasei 7 „A” la Instituția Municipală de Învățământ nr. 3, Krasny Kut.

O trăsătură distinctivă a lucrării lui Nikita Zaitsev este relevanța, orientarea practică, profunzimea dezvăluirii subiectului și posibilitatea de a-l folosi în viitor.

Lucrarea este creativă, sub forma unui proiect de informare. Elevul a ales acest subiect pentru a arăta relația dintre teoria grafurilor cu practica folosind exemplul rutei unui autobuz școlar, pentru a arăta că teoria grafurilor este folosită în diverse domenii ale matematicii moderne și numeroasele sale aplicații, în special în economie, logica matematică și combinatorie . El a arătat că rezolvarea problemelor este mult simplificată dacă este posibil să se utilizeze grafice, prezentarea datelor sub formă de grafic le oferă claritate și multe dovezi;

Lucrarea abordează probleme precum:

1. Conceptul de grafic. Problemă cu podurile Königsberg.

2. Proprietăţile graficelor.

3. Probleme folosind teoria grafurilor.

4. Sensul graficelor.

5. Opțiune traseu autobuz școlar.

Când și-a îndeplinit munca, N. Zaitsev a folosit:

1. Alkhova Z.N., Makeeva A.V. „Lucrări extracurriculare în matematică”.

2. Revista „Matematica la școală”. Anexa „Primul Septembrie” Nr. 13

2008

3. Ya.I.Perelman „Sarcini și experimente distractive.” - Moscova: Educație, 2000.

Lucrarea a fost realizată cu competență, materialul îndeplinește cerințele acestui subiect, desenele corespunzătoare sunt atașate.

Instituție de învățământ bugetar municipal

Școala Gimnazială Doschatinskaya

districtul urban Vyksa, regiunea Nijni Novgorod

Rezolvarea problemelor logice.

Departamentul de Fizică și Matematică

Secțiunea de matematică

Am facut treaba:

elev de clasa a 5-a

Papotina Elena Sergheevna

consilier stiintific:

profesor MBOU Doschatinskaya Liceu

Roșchina Lyudmila Valerievna

Regiunea Nijni Novgorod

r/p Doschatoe

2016

adnotare

Scopul acestei lucrăriidentifica capacitatea de a raționa și de a trage concluzii corecte la rezolvarea problemelor logice.AcesteProblemele sunt distractive și nu necesită foarte multe cunoștințe matematice, așa că atrag chiar și acei studenți cărora nu le place foarte mult matematica.Lucrarea are următoarele sarcini:

1) familiarizarea cu conceptele de „logică” și „logică matematică”;

2) studiul metodelor de bază de rezolvare a problemelor logice;

3) studierea capacităţii de a rezolva probleme logice de către elevii din clasele 5-7.

Metodele de cercetare ale acestei lucrări sunt:

Colectarea și studiul informațiilor.

Generalizarea materialului experimental și teoretic.

Ipoteză : Elevii școlii noastre sunt capabili să rezolve probleme logice.

În timpul redactării lucrării au fost investigate tipuri și metode de rezolvare a problemelor logice. S-au desfășurat lucrări practice cu elevi de nivel mediu despre cum pot rezolva probleme logice. Rezultatele lucrării au arătat că nu toți elevii pot face față problemelor logice.Cel mai adesea, abilitățile școlarilor rămân nedescoperite pentru ei înșiși, nu au încredere în abilitățile lor și sunt indiferenți la matematică.Pentru astfel de studenți, propun utilizarea sarcinilor logice. Aceste sarcini pot fi luate în considerare în clasele de club și elective.

2.3 Metoda cercului Euler

Aceasta metodaeste un alt mod vizual și destul de interesant de a rezolva probleme logice. Această metodă se bazează pe construcția celebrelor cercuri Euler-Venn,probleme în care se cere să se găsească o anumită intersecție de mulțimi sau unirea lor, respectând condițiile problemei. Să ne uităm la un exemplu de utilizare a acestei metode.

Să rezolvăm problema 6:

Din cei 52 de școlari, 23 colecționează insigne, 35 colecționează timbre, iar 16 colectează atât insigne, cât și timbre. Restul nu sunt interesați să colecteze. Câți școlari nu sunt interesați să colecteze?

Soluţie. Condițiile acestei probleme nu sunt atât de ușor de înțeles. Dacă adaugi 23 și 35, primești mai mult de 52. Acest lucru se explică prin faptul că aici am numărat de două ori niște școlari, și anume cei care strâng atât insigne, cât și timbre.Pentru a ușura discuția, să folosim cercurile lui Euler

Există un cerc mare în imaginedenotă cei 52 de elevi în cauză; cercul 3 înfățișează școlari colecționând insigne, iar cercul M înfățișează școlari colecționând timbre.

Cercul mare este împărțit de cercurile 3 și M în mai multe zone. Intersecția cercurilor 3 și M corespunde școlarilor care colectează atât insigne, cât și ștampile (Fig.). Partea cercului 3 care nu aparține cercului M corespunde școlarilor care colectează doar insigne, iar partea cercului M care nu aparține cercului 3 corespunde școlarilor care colectează doar timbre. Partea liberă a cercului mare reprezintă școlari care nu sunt interesați să colecteze.

Vom completa secvenţial diagrama noastră, introducând numărul corespunzător în fiecare zonă. Conform condiției, atât insignele, cât și ștampilele sunt colectate de 16 persoane, așa că la intersecția cercurilor 3 și M vom scrie numărul 16 (Fig.).

Întrucât 23 de școlari colectează insigne, iar 16 școlari colectează atât insigne, cât și ștampile, atunci 23 - 16 = 7 persoane colectează singuri insigne. La fel, doar timbrele sunt colectate de 35 - 16 = 19 persoane. Să scriem numerele 7 și 19 în zonele corespunzătoare ale diagramei.

Din imagine se vede clar câți oameni sunt implicați în colecționare. Pentru a afla astatrebuie să adăugați numerele 7, 9 și 16. Avem 42 de persoane. Aceasta înseamnă că 52 - 42 = 10 școlari rămân neinteresați să colecteze. Acesta este răspunsul la problemă; acesta poate fi introdus în câmpul liber al cercului mare.

Metoda lui Euler este indispensabilă pentru rezolvarea unor probleme și, de asemenea, simplifică foarte mult raționamentul.

2.4 Metoda diagramei bloc

Sarcină 7. La cantina școlii puteți comanda borș, solyanka și supă de ciuperci pentru primul fel, carne cu paste, pește și cartofi, pui cu orez pentru felul al doilea și ceai și compot pentru felul al treilea. Câte prânzuri diferite pot fi făcute din aceste feluri de mâncare?

Soluţie. Să formalizăm soluția sub forma unei diagrame bloc:

Răspuns: 18 opțiuni.

2.5 Probleme de adevăr

Vom numi problemele în care este necesar să se stabilească adevărul sau falsitatea afirmațiilor probleme de adevăr.

Problema 7 . Trei prieteni Kolya, Oleg și Petya se jucau în curte, iar unul dintre ei a spart din greșeală geamul ferestrei cu o minge. Kolya a spus: „Nu eu am spart sticla”. Oleg a spus: „Petia a fost cea care a spart sticla”. Ulterior s-a descoperit că una dintre aceste afirmații era adevărată, iar cealaltă era falsă. Care băiat a spart sticla?

Soluţie. Să presupunem că Oleg a spus adevărul, apoi Kolya a spus și adevărul, iar acest lucru contrazice condițiile problemei. În consecință, Oleg a spus o minciună, iar Kolya a spus adevărul. Din declarațiile lor rezultă că Oleg a spart paharul.

Sarcina 8. Patru elevi - Vitya, Petya, Yura și Sergei - au ocupat patru primele locuri la Olimpiada de Matematică. Când au fost întrebați ce locuri au luat, au fost date următoarele răspunsuri:

a) Petya - al doilea, Vitya - al treilea;

b) Serghei - al doilea, Petya - primul;

c) Yura - a doua, Vitya - a patra.

Indicați cine a ocupat ce loc dacă doar o parte din fiecare răspuns este corectă.

Soluţie. Să presupunem că afirmația „Petru - II” este adevărată, atunci ambele afirmații ale celei de-a doua persoane sunt incorecte, iar acest lucru contrazice condițiile problemei. Să presupunem că afirmația „Sergey - II” este adevărată, atunci ambele afirmații ale primei persoane sunt incorecte, iar acest lucru contrazice condițiile problemei. Să presupunem că afirmația „Jura - II” este adevărată, atunci prima afirmație a primei persoane este falsă, iar a doua este adevărată. Și prima afirmație a celei de-a doua persoane este incorectă, dar a doua este corectă.

Răspuns: primul loc - Petya, locul doi - Yura, locul trei - Vitya, locul patru Serghei.

2.6 Probleme rezolvate de la final.

Există un tip de probleme logice care se rezolvă de la capăt. Să ne uităm la un exemplu de rezolvare a unor astfel de probleme.

Sarcina 9. Vasya s-a gândit la un număr, a adăugat 5, apoi a împărțit suma cu 3, a înmulțit cu 4, a scăzut 6, a împărțit la 7 și a obținut numărul 2. La ce număr s-a gândit Vasya?

Rezolvare: 2·7=14

14+6=20

20˸4=5

5·3=15

15-5=10

Răspuns: Vasia s-a gândit la numărul 10.

Capitolul 3. Studierea capacităţii de a rezolva probleme logice.

În partea practică a lucrării de cercetare am selectat probleme logice de tipul: probleme rezolvate de la final; cine este cine?; Probleme de cuvinte.

Sarcinile corespundeau nivelului de cunoștințe al claselor a V-a, a VI-a, respectiv a VII-a. Elevii au rezolvat aceste probleme, iar eu am analizat rezultatele (Fig. 1). Să luăm în considerare rezultatele obținute mai detaliat.

*Pentru clasa a V-a au fost propuse următoarele sarcini:

Sarcina nr. 1. O problemă rezolvată de la capăt.

M-am gândit la un număr, l-am înmulțit cu doi, am adăugat trei și am obținut 17. La ce număr m-am gândit?

Sarcina nr. 2. Probleme precum „Cine este cine?”

Katya, Sonya și Lisa au numele de familie Vasnetsova, Ermolaeva și Kuznetsova. Ce nume de familie are fiecare fată dacă Sonya, Liza și Ermolaeva sunt membre ale unui cerc matematic, iar Liza și Kuznetsova studiază muzica?

Sarcina nr. 3. Sarcină de text.

La olimpiada de sport școlar au participat 124 de persoane, cu 32 mai mulți băieți decât fete. Câți băieți și fete au participat la olimpiade?

Majoritatea elevilor de clasa a cincea s-au confruntat cu problema de tipul: „rezolvabil de la final”. Astfel de probleme se găsesc în manualele pentru clasele 5-6.Cu tipul de sarcini text, această sarcină este mai complexă, a fost necesar să ne gândim la ea, doar 5 persoane au făcut față.(Fig.2)

*Pentru clasa a VI-a au fost propuse următoarele sarcini:

Sarcina nr. 1. O problemă rezolvată de la capăt.

M-am gândit la un număr, am scăzut 57, am împărțit la 2 și am obținut 27. La ce număr m-am gândit?

Sarcina nr. 2. Probleme precum „Cine este cine?”

Athos, Porthos, Aramis și D'Artagnan sunt patru tineri mușchetari talentați. Unul dintre ei luptă cel mai bine cu săbiile, celălalt nu are egal în lupta corp la corp, al treilea dansează cel mai bine la mingi, al patrulea trage cu pistoale fără să piardă o bătaie. Despre ele se cunosc următoarele:

Athos și Aramis și-au urmărit prietenul, un dansator excelent, la bal.

Porthos și cel mai bun trăgător au urmărit ieri lupta corp la corp cu admirație.

Trăgătorul vrea să-l invite pe Athos în vizită.

Porthos era foarte mare, așa că dansul nu era elementul lui.

Cine ce face?

Sarcina nr. 3. Sarcină de text. Sunt de 5 ori mai multe cărți pe un raft decât pe al doilea. După ce 12 cărți au fost mutate de pe primul raft pe al doilea, pe rafturi era un număr egal de cărți. Câte cărți erau inițial pe fiecare raft?

Dintre 18 elevi de clasa a VI-a, 1 persoană a îndeplinit toate sarcinile. Toți elevii de clasa a VI-a au făcut față problemei de tipul: „rezolvabil de la final”. Cu sarcina nr. 2, cum ar fi „Cine este cine?” 4 persoane au făcut-o. Doar o singură persoană a finalizat sarcina de text(Fig. 3).

*Pentru clasa a VII-a au fost propuse următoarele sarcini:

Sarcina nr. 1. O problemă rezolvată de la capăt.

M-am gândit la un număr, i-am adăugat 5, apoi am împărțit suma cu 3, am înmulțit cu 4, am scăzut 6, am împărțit la 7 și am obținut numărul 2. La ce număr m-am gândit?

Sarcina nr. 2. Probleme precum „Cine este cine?”

Vanya, Petya, Sasha și Kolya au nume de familie care încep cu literele V, P, S și K. Se știe că 1) Vanya și S. sunt elevi excelenți; 2) Petya și V. sunt elevi C; 3) Mai înalt decât P.; 4) Kolya este mai scurtă decât P.; 5) Sasha și Petya au aceeași înălțime. Cu ce ​​literă începe numele fiecăruia?

Sarcina nr. 3. Metoda de raționament.

O echipă a sosit pentru a repara școala, care includea de 2,5 ori mai mulți zugravi decât dulgheri. Curând, maistrul a inclus încă 4 pictori în echipă și a transferat doi dulgheri pe un alt șantier. Drept urmare, în echipă erau de 4 ori mai mulți pictori decât dulgheri. Câți pictori și câți dulgheri au fost inițial în echipă?

Dintre 20 de elevi de clasa a VII-a, 1 persoană a îndeplinit toate sarcinile.Treisprezece elevi au completat problema de tipul „rezolvată de la capăt”. CUUn elev a finalizat sarcina de text (Fig. 4).

Concluzie

În timpul cercetării se lucrează la studierea metodelor de rezolvare a problemelor logice. Consider ca scopurile si obiectivele pe care mi le-am propus sunt indeplinite. În primul capitol, m-am familiarizat cu conceptul de logică ca știință, cu principalele etape ale dezvoltării sale și cu oamenii de știință care îi sunt fondatorii. În al doilea capitol, am studiat diverse metode de rezolvare a problemelor logice și le-am analizat folosind exemple specifice. Am luat în considerare următoarele metode: mmetoda raționamentului, metoda tabelului, metoda graficului, metoda diagramei bloc, metoda cercului Euler, problemele de adevăr, metoda de rezolvare a unei probleme de la final.În al treilea capitol, am realizat un studiu practic în rândul elevilor din clasele 5-7, testându-le capacitatea de a rezolva probleme logice. Cercetările mele au arătat următoarele. Problemele pe care le-au rezolvat majoritatea elevilor au fost probleme rezolvate de la final. Cu sarcina „Cine este cine?” (metoda mesei) jumătate dintre elevi au făcut-o. Doar cel mai mic număr de oameni a rezolvat problema cuvântului (metoda raționamentului). Cred că ipoteza mea a fost parțial confirmată, deoarece jumătate dintre elevi au avut dificultăți în rezolvarea problemelor logice.

Sarcinile logice ajută la dezvoltarea gândirii logice și imaginative.Orice copil normal are o dorință de cunoaștere, o dorință de a se testa pe sine. Cel mai adesea, abilitățile școlarilor rămân nedescoperite pentru ei înșiși, nu au încredere în abilitățile lor și sunt indiferenți la matematică.Pentru astfel de studenți, propun utilizarea sarcinilor logice. Aceste sarcini pot fi luate în considerare în clasele de club și elective. Ei trebuie să fie accesibili, să trezească inteligența, să le capteze atenția, să surprindă, să-i trezească la imaginația activă și la decizii independente. De asemenea, cred că logica ne ajută să facem față oricăror dificultăți din viața noastră și tot ceea ce facem ar trebui să fie înțeles și structurat logic. Întâmpinăm probleme de logică și logică nu doar la școală la lecțiile de matematică, ci și la alte discipline.

Literatură

Vilenkin N.Ya. Matematică clasa a V-a.-Mnemosyne, M: 2015. 45 pp.

Vilenkin N.Ya. Matematică clasa a V-a.-Mnemosyne, M: 2015. 211 p.

Orlova E. Metode de rezolvare probleme logice și probleme de număr //

Matematică. -1999. Nr. 26. - p. 27-29.

Tarski A. Introducere în logica și metodologia științelor deductive - Moscova,: 1948.

Resurse de internet:

http://wiki. eu predau.

Orez. 3 Analiza lucrărilor din clasa a VI-a.

Orez. 4 Analiza lucrărilor din clasa a VII-a

Atenție studenți! Cursurile sunt efectuate independent, în strictă conformitate cu tema aleasă. Subiectele duplicat nu sunt permise! Vă rugăm să informați profesorul despre tema aleasă în orice mod convenabil, fie individual, fie într-o listă indicând numele dumneavoastră complet, numărul grupului și titlul lucrării de curs.

Exemple de subiecte pentru cursuri în disciplină
"Logica matematica"

1. Metoda rezoluției și aplicarea ei în algebra propozițională și algebra predicatelor.

2. Sisteme axiomatice.

3. CNF-uri și DNF-uri minime și cele mai scurte.

4. Aplicarea metodelor logicii matematice în teoria limbajelor formale.

5. Gramaticile formale ca calcule logice.

6. Metode de rezolvare a problemelor de logica a textului.

7. Sisteme de programare logica.

8. Joc de logică.

9. Indecidibilitatea logicii de ordinul întâi.

10. Modele non-standard de aritmetică.

11. Metoda diagonalizării în logica matematică.

12. Mașinile Turing și teza lui Church.

13. Calculabilitate pe abac și funcții recursive.

14. Reprezentabilitatea funcțiilor recursive și a rezultatelor negative ale logicii matematice.

15. Solvabilitatea aritmeticii de adunare.

16. Logica de ordinul doi și definibilitatea în aritmetică.

17. Metoda ultraproduselor în teoria modelelor.

18. Teorema lui Gödel privind incompletitudinea aritmeticii formale.

19. Teorii axiomatice rezolvabile și indecidabile.

20. Lema de interpolare a lui Craig și aplicațiile acesteia.

21. Cele mai simple convertoare de informații.

22. Circuite de comutare.

24. Structuri de contact.

25. Aplicarea funcţiilor booleene la circuitele de contact releu.

26. Aplicarea funcţiilor booleene în teoria recunoaşterii modelelor.

27. Logica matematică și sisteme de inteligență artificială.

Lucrarea de curs trebuie să fie compusă din 2 părți: conținutul teoretic al temei și un set de probleme pe tema (cel puțin 10) cu soluții. De asemenea, este permisă redactarea unui referat de tip cercetare, înlocuind partea a doua (rezolvarea problemelor) cu o dezvoltare independentă (de exemplu, un algoritm de lucru, program, eșantion etc.) creată pe baza materialului teoretic discutat. în prima parte a lucrării.

1) Barwise J. (ed.) Carte de referință despre logica matematică. - M.: Nauka, 1982.

2) Frații limbajelor de programare. - M.: Nauka, 1975.

3) Boulos J., computabilitate și logică. - M.: Mir, 1994.

4) Logica Hindikin în probleme. - M., 1972.

5) Logica Paliutin. - M.: Nauka, 1979.

6) Solvabilitatea Ershov și modele constructive. - M.: Nauka, 1980.

7), teoria Taitslin // Uspekhi Mat, 1965, 20, nr. 4, p. 37-108.

8) Igoshin - atelier de logică matematică. - M.: Educaţie, 1986.

9) Logica Igoshin și teoria algoritmilor. - Saratov: Editura Sarat. Universitatea, 1991.

10) În Ts., folosind Turbo Prolog. - M.: Mir, 1993.

11) introducere în metamatematică. - M., 1957.

12) logica atematică. - M.: Mir, 1973.

13) ogie în rezolvarea problemelor. - M.: Nauka, 1990.

14) Logica Kolmogorov: un manual de matematică pentru universități. specialităţi /, - M.: Editura URSS, 2004. - 238 p.

15) poveste cu noduri / Trad. din engleza - M., 1973.

16) joc ogic / Trans. din engleza - M., 1991.

17), Maksimov despre teoria mulțimilor, logica matematică și teoria algoritmilor. - a 4-a ed. - M., 2001.

18), logica Sukacheva. Curs de curs. Cartea de probleme practice și soluții: Ghid de studiu. Ed. a 3-a, rev. - St.Petersburg.

19) Editura „Lan”, 2008. - 288 p.

20) Lyskova în informatică / , . - M.: Laboratorul de Cunoștințe de bază, 2001. - 160 p.

21) Logica matematică / Sub redacția generală și altele - Minsk: Liceu, 1991.

22) introducere în logica matematică. - M.: Nauka, 1984.

23) Moșcenski despre logica matematică. - Minsk, 1973.

24) Nikolskaya cu logică matematică. - M.: Institutul Psihologic și Social din Moscova: Flint, 1998. - 128 p.

25) Logica Nikolskaya. - M., 1981.

26) Logica matematică Novikov. - M.: Nauka, 1973.

27) Teoria Rabin. În cartea: Carte de referință despre logica matematică, partea 3. Teoria recursiunii. - M.: Nauka, 1982. - p. 77-111.

28) Tey A., Gribomon P. et al. Abordarea logică a inteligenței artificiale. T. 1. - M.: Mir, 1990.

29) Tey A., Gribomon P. et al. Abordarea logică a inteligenței artificiale. T. 2. - M.: Mir, 1998.

30) Chen Ch., Li R. Logica matematică și demonstrarea automată a teoremelor. - M.: Nauka, 1983.

31) introducere în logica matematică. - M.: Mir, 1960.

32) Logica Shabunin. Logica propozițională și logica predicatelor: manual /, rep. ed. ; Statul Chuvash Universitatea poartă numele . - Ceboksary: ​​Editura Chuvash. Universitatea, 2003. - 56 p.

Această secțiune a site-ului nostru prezintă subiecte ale lucrării de cercetare despre logică sub formă de probleme logice, sofisme și paradoxuri la matematică, jocuri interesante de logică și gândire logică. Conducătorul de lucru ar trebui să îndrume și să asiste direct studentul în cercetarea sa.

Subiectele prezentate mai jos pentru lucrări de cercetare și proiectare asupra logicii sunt potrivite pentru copiii cărora le place să gândească logic, să rezolve probleme și exemple non-standard, să exploreze paradoxurile și problemele matematice și să joace jocuri logice non-standard.

În lista de mai jos, puteți selecta un subiect de proiect logic pentru orice clasă dintr-o școală secundară, de la școala elementară la liceu. Pentru a vă ajuta să proiectați corect un proiect de matematică despre logică și gândire logică, puteți utiliza cerințele dezvoltate pentru proiectarea lucrării.

Următoarele subiecte pentru proiectele de cercetare logică nu sunt finale și pot fi modificate din cauza cerințelor stabilite înainte de proiect.

Subiecte ale lucrărilor de cercetare privind logică:

Exemple de subiecte pentru lucrări de cercetare privind logică pentru studenți:

Logica interesanta in matematica.
Logica algebrei
Logica și noi
Logice. Legile logicii
Cutia logica. O colecție de probleme de logică distractive.
Sarcini logice cu numere.
Probleme de logica
Probleme de logică „Aritmetică amuzantă”
Probleme logice la matematică.
Probleme logice pentru determinarea numărului de forme geometrice.
Sarcini logice pentru dezvoltarea gândirii
Probleme de logică la lecțiile de matematică.
Jocuri de logica
Paradoxuri logice
Logica matematică.
Metode de rezolvare a problemelor logice și metode de alcătuire a acestora.
Simularea problemelor logice
Prezentare educațională „Fundamentele logicii”.
Tipuri de bază de probleme logice și metode de rezolvare a acestora.
Pe urmele lui Sherlock Holmes, sau Metode de rezolvare a problemelor logice.
Aplicarea teoriei grafurilor în rezolvarea problemelor logice.
Probleme de patru culori.
Rezolvarea problemelor logice
Rezolvarea problemelor logice folosind metoda graficului.
Rezolvarea problemelor logice în moduri diferite.
Rezolvarea problemelor logice folosind grafice
Rezolvarea problemelor logice folosind diagrame și tabele.
Rezolvarea problemelor logice.
Silogisme. Paradoxuri logice.

Subiecte de proiect logic

Exemple de subiecte pentru proiecte logice pentru studenți:
Sofistică
Sofistica în jurul nostru
Sofisme și paradoxuri
Metode de compunere și metode de rezolvare a problemelor logice.
Învață să rezolvi probleme logice
Algebra logicii si fundamentele logice ale unui calculator.
Tipuri de sarcini pentru gândirea logică.
Două moduri de a rezolva probleme logice.
Logica si matematica.
Logica ca știință
Ghicitori de logică.

Trimiteți-vă munca bună în baza de cunoștințe este simplu. Utilizați formularul de mai jos

Studenții, studenții absolvenți, tinerii oameni de știință care folosesc baza de cunoștințe în studiile și munca lor vă vor fi foarte recunoscători.

postat pe http://www.allbest.ru/

MUNCĂ DE LICENȚĂ

Tema tezei

„Utilizarea elementelor de logică matematică în lecțiile de matematică din școala primară”

logica matematică elementară

Introducere

Capitolul 1. Fundamente teoretice pentru studierea elementelor logicii matematice în școala primară

1.1 Înțelegerea structurii logice a conceptelor și propozițiilor matematice

1.2 Studiul logicii ca ramură a matematicii

1.3 Raționament logic

Concluzii pentru capitolul 1

Capitolul 2. Utilizarea elementelor de logică matematică în lecțiile de matematică din școala primară

2.1 Utilizarea elementelor de logică într-un curs inițial de matematică

2.2 Fundamentele psihologice și pedagogice ale utilizării elementelor de logică matematică conform complexului educațional „Prospectivă școală primară”

2.3 Un sistem de sarcini care vizează dezvoltarea conceptului de „elemente de logică matematică” în rândul elevilor la absolvirea școlii primare

Concluzii la capitolul 2

Concluzie

Bibliografie

Aplicații

Introducere

În prezent, țara caută în mod activ modalități de îmbunătățire a educației la matematică. Pe baza standardului educațional de stat federal al noului învățământ general, elevii din școala primară trebuie să respecte cerințele pentru rezultatele stăpânirii programului educațional de bază al învățământului general primar la disciplina matematică:

1) să folosească cunoștințele matematice de bază pentru a descrie și explica obiectele, procesele, fenomenele din jur, precum și pentru a evalua relațiile lor cantitative și spațiale;

2) stăpânesc elementele de bază ale gândirii logice și algoritmice, imaginația spațială și vorbirea matematică, măsurarea, recalcularea, estimarea și evaluarea, reprezentarea vizuală a datelor și proceselor, înregistrarea și execuția algoritmilor;

3) să poată efectua operații aritmetice orale și scrise cu numere și expresii numerice, să rezolve probleme cu cuvinte, să poată acționa în conformitate cu un algoritm și să construiască algoritmi simpli, să exploreze, să recunoască și să descrie forme geometrice, să lucreze cu tabele, diagrame, grafice și diagrame, lanțuri, agregate, prezintă, analizează și interpretează date.

Astăzi, învățământul la matematică face parte din sistemul de învățământ secundar și în același timp un fel de etapă independentă a învățământului. Noul conținut al educației la matematică se concentrează în principal pe formarea unei culturi și a independenței de gândire a școlarilor mai mici, elemente ale activității educaționale prin mijloace și metode ale matematicii. În timpul antrenamentului, copiii trebuie să învețe metode generale de acțiune, efectuând controlul pas cu pas și autoevaluarea activităților finalizate pentru a stabili conformitatea acțiunilor lor cu planul propus.

De aceea, nu întâmplător, în programele de matematică se acordă o atenție deosebită formării liniilor algoritmice, logice și combinatorii, care sunt dezvoltate în procesul de studiu a secțiunilor aritmetice, algebrice și geometrice ale programului.

În lucrările matematicienilor A.N. Kolmogorov, A.I. Markushevici A.S. Stolyara, A.M. Pyshkalo, P.M. Erdnieva și alții evidențiază problemele fundamentale ale îmbunătățirii educației școlare la matematică, în special aspecte legate de consolidarea bazei logice a cursului școlar, inclusiv elemente de logică matematică din acesta.

În ultimul deceniu, când școala a intrat în procesul de modernizare, noi standarde, tehnologii, metode și diverse mijloace didactice sunt introduse în practică, problema continuității în educație între nivelul primar și cel de bază devine cea mai importantă. Prezența unui set de manuale este o componentă importantă a continuității între aceste niveluri. Potrivit lui A.A. Stolyar „este nevoie de un program mental, logic, care ar trebui implementat în clasele primare și secundare ale școlii”.

Cercetări ale psihologilor și profesorilor V.V. Vygotsky, L.V. Zankov, V.V. Davydova, N.M. Skatkina și alții arată că în anumite condiții este posibil să se obțină nu numai un nivel ridicat de cunoștințe, abilități și abilități, ci și dezvoltarea generală. În predarea tradițională, dezvoltarea apare ca un produs de învățare dezirabil, dar departe de a fi previzibil.

În opinia noastră, în literatura psihologică și metodologică problema formării elementelor de logică matematică la elevi este parțial luată în considerare în raport cu predarea matematicii în liceu.

Astfel, mulțimea numerică, începând chiar din primele clase ale unei școli de învățământ general, reprezintă laboratorul în care este posibil să se dezvolte mai clar la elevi abilitățile de raționament, care stau la baza determinării adevărului sau falsului unei anumite abordări, un formularea particulară a unei probleme. Se pune întrebarea: „Este o astfel de sarcină scopul principal al procesului de predare a matematicii la școală și ce pondere a acestei probleme apare în școala primară?” Răspunsul la această întrebare poate fi obținut doar după o analiză amănunțită a programului și a manualelor de matematică pentru clasele I-IV.

Urgența problemei este îmbunătățirea conținutului predării matematicii în clasele primare pentru a forma elemente de logică matematică la școlari mai mici.

Scopul studiului luați în considerare studiul elementelor de logică matematică în cadrul unui curs de matematică atunci când predați matematica în clasele 1-4 și dezvolta instrumente educaționale și metodologice pentru implementarea acestuia.

Obiect de studiu- procesul studierii elementelor de logică matematică la predarea lecțiilor de matematică în școala primară.

Articol- metode şi mijloace de formare a elementelor de logică matematică în rândul elevilor din clasele 1-4.

Ipoteza cercetării este că este posibil să se organizeze procesul de predare a matematicii, care, împreună cu pregătirea cunoștințelor și aptitudinilor matematice, vom dezvolta în mod conștient și sistematic aptitudini logice.

Pentru atingerea scopului și implementarea ipotezei au fost identificate următoarele: obiectivele cercetării:

1. Dați conceptul structurii logice a conceptelor și propozițiilor matematice;

2. Studiați logica ca știință și ramură a matematicii;

3. Aflați ce este raționamentul logic și dați definițiile acestuia;

4. Analizează standardele educaționale, programele școlare și manualele școlare actuale la matematică din punctul de vedere al dezvoltării logice a elevilor;

5. Să identifice fundamentele psihologice, pedagogice și metodologice ale formării elementelor de logică matematică la copiii aflați în procesul de predare a matematicii în școala primară;

6. Realizarea unui studiu experimental pentru a testa eficacitatea metodelor dezvoltate într-un cadru de școală primară.

Baza teoretică și metodologică a studiului a constat din: principiile de bază ale filosofiei dialectico-materialiste și doctrina abordării personal-active a învățării dezvoltate pe baza acestora (A.S. Vygotsky, A.N. Leontiev, S.L. Rubinstein etc.); punctele de plecare ale teoriei învățării dezvoltării (V.V. Davydov, L.V. Zankov, N.A. Menchinskaya, D.B. Elkonin, N.V. Yakimanskaya etc.); ideile fundamentale ale matematicienilor metodologici (A.M. Pyshkalo, P.M. Erdniev).

Capitolul 1. Fundamente teoretice pentru studierea elementelor logicii matematice în școala primară

1.1 Înțelegerea structurii logice a conceptelor și propozițiilor matematice

Când studiezi matematica la școală, este necesar să stăpânești un anumit sistem de concepte, propoziții și dovezi, dar pentru a stăpâni acest sistem și apoi a aplica cu succes cunoștințele și abilitățile dobândite, predând școlari mai mici și rezolvând problema dezvoltării lor folosind matematica , trebuie să înțelegeți care sunt caracteristicile conceptelor matematice, cum sunt acestea structurate definițiile, propozițiile care exprimă proprietățile conceptelor și dovezile.

Un profesor de școală primară are nevoie de astfel de cunoștințe, deoarece este primul care îi introduce pe copii în lumea cunoștințelor matematice, iar atitudinea copilului față de studiul matematicii în viitor depinde de cât de competent și de succes face acest lucru.

Studierea acestui material este asociată cu stăpânirea limbajului teoretic multimilor, care va fi folosit nu numai atunci când se ia în considerare structura logică a conceptelor, propozițiilor și demonstrațiilor matematice, ci și în construirea întregului curs.

Conceptele predate într-un curs introductiv de matematică sunt de obicei prezentate în patru grupe. Prima include concepte legate de numere și operații asupra acestora: număr, adunare, termen, mai mare etc. Aceasta include concepte algebrice: expresie, egalitate, ecuație etc. A treia grupă este formată din concepte geometrice: linie dreaptă, segment, triunghi etc. A patra grupă este formată din concepte legate de mărimi și măsurarea acestora.

Pentru a studia o astfel de abundență de concepte foarte diferite, este necesar să aveți o idee despre conceptul ca categorie logică și despre caracteristicile conceptelor matematice.

În logică, conceptele sunt considerate ca o formă de gândire care reflectă obiectele (obiecte sau fenomene) în proprietățile lor esențiale și generale. Forma lingvistică a unui concept este un cuvânt sau un grup de cuvinte.

A face un gând despre un obiect înseamnă a-l putea deosebi de alte obiecte similare. Conceptele matematice au o serie de caracteristici. Principalul lucru este că obiectele matematice în raport cu care se formează conceptele nu există de fapt. Toate obiectele matematice sunt create de mintea umană. Ideal pentru obiecte care reflectă obiecte sau fenomene reale.

De exemplu, în geometrie studiază forma și dimensiunea obiectelor fără a ține cont de alte proprietăți: culoare, masă, duritate etc. Sunt distrași de la toate acestea, abstrași. Prin urmare, în geometrie, în loc de cuvântul „obiect” se spune „figură geometrică”.

Rezultatul abstractizării sunt concepte matematice precum „număr” și „magnitudine”.

În general, obiectele matematice există doar în gândirea umană și în acele semne și simboluri care formează limbajul matematic.

Studiind formele spațiale și relațiile cantitative ale lumii materiale, matematica nu numai că folosește diverse tehnici de abstractizare, dar abstracția în sine acționează ca un proces în mai multe etape.

Apariția în matematică a unor concepte noi și, prin urmare, termeni noi care denotă aceste concepte, presupune definirea lor.

O definiție este de obicei o propoziție care explică esența unui nou termen (sau desemnare). De regulă, acest lucru se face pe baza conceptelor introduse anterior.

Deoarece definirea unui concept prin gen și diferență specifică este în esență un acord condiționat de a introduce un nou termen sau de a înlocui orice set de termeni cunoscuți, nu se poate spune despre definiție dacă este corectă sau incorectă; nu este nici dovedit, nici infirmat. Dar atunci când formulează definiții, acestea respectă o serie de reguli:

· Determinarea trebuie să fie proporțională. Aceasta înseamnă că volumele conceptelor definite și definitorii trebuie să coincidă. Această regulă decurge din faptul că conceptele definite și definitorii sunt interschimbabile;

· Nu ar trebui să existe un cerc vicios în definiție (sau în sistemul lor). Aceasta înseamnă că nu puteți defini un concept prin el însuși (termenul definitoriu nu trebuie să conțină termenul care este definit) sau să îl definiți printr-un altul, care, la rândul său, îl definește prin el. Pentru că în matematică ei iau în considerare nu doar concepte individuale. Și sistemul lor, atunci această regulă interzice cercul vicios în sistemul de definiții;

· Definiția trebuie să fie clară. Aceasta nu este o regulă evidentă la prima vedere, dar înseamnă mult. În primul rând, se cere ca sensul termenilor incluși în conceptul definitoriu să fie cunoscut până la momentul introducerii definiției noului concept. Condițiile pentru claritatea definiției includ și recomandarea de a include în diferența specifică numai atâtea proprietăți câte sunt necesare și suficiente pentru a izola obiectele definite din sfera conceptului generic.

Când studiezi matematica în școala primară, definițiile prin distincția de gen și specii sunt rareori folosite. Există o mulțime de concepte în cursul inițial de matematică.

Când studiezi matematica în școala elementară, cel mai des sunt folosite așa-numitele definiții implicite. În structura lor este imposibil să distingem determinatul de determinant. Printre acestea se disting contextuale și ostensive.

În definițiile contextuale, conținutul unui nou concept este relevat printr-un pasaj de text, prin context, printr-o analiză a unei situații specifice. Descrierea sensului conceptului introdus. Prin context, se stabilește o conexiune între conceptul definit și alte concepte cunoscute și, prin aceasta, conținutul acestuia este dezvăluit indirect. Un exemplu de definiție contextuală ar fi definiția unei ecuații și soluția acesteia.

Definițiile ostensive sunt definiții prin demonstrație. Sunt folosite pentru a introduce termeni prin demonstrarea obiectelor la care se referă termenii. De exemplu, în acest fel conceptele de egalitate și inegalitate pot fi definite în școala elementară.

Studiul proceselor reale, descrierile matematice, sunt folosite ca limbaj verbal natural și semnificație simbolică. Descrierile sunt construite folosind propoziții. Dar pentru ca cunoștințele matematice să fie o reflectare exactă și adecvată a realității care ne înconjoară, aceste propuneri trebuie să fie adevărate. Fiecare teză de matematică este caracterizată de conținut și formă logică (structură), iar conținutul este indisolubil legat de formă și este imposibil să înțelegem prima fără a înțelege a doua.

1) Numărul 12 este par;

Vedem că propozițiile folosite în matematică pot fi scrise atât în ​​limba naturală (rusă), cât și în limbajul matematic, folosind simboluri. Despre propozițiile 1,4,5 și 6 putem spune că poartă informații adevărate, iar despre propoziția 2 - falsă. În ceea ce privește propoziția x +5 = 8, este în general imposibil de spus dacă este adevărată sau falsă. Privirea unei propoziții din poziția adevărat sau fals a condus la conceptul de enunț.

1.2 Studierea logicii ca ramură a matematicii

Logica este una dintre cele mai vechi științe. În prezent, nu este posibil să se stabilească cu exactitate cine, când și unde a apelat pentru prima dată la acele aspecte ale gândirii care constituie subiectul logicii. După cum subliniază Ivin A.A. , unele dintre originile învăţăturii logice se regăsesc în India, la sfârşitul mileniului II î.Hr. totuși, dacă vorbim despre apariția logicii ca știință, adică despre un corp de cunoștințe mai mult sau mai puțin sistematizat, atunci ar fi corect să considerăm marea civilizație a Greciei Antice drept locul de naștere al logicii. A fost aici în secolele V-IV î.Hr. În perioada de dezvoltare rapidă a democrației și renașterea fără precedent asociată a vieții socio-politice, bazele acestei științe au fost puse de lucrările lui Democrit, Platon și Socrate. Strămoșul, „părintele” logicii, este considerat pe drept cel mai mare gânditor al antichității. Studentul lui Platon este Aristotel (384-322 î.Hr.). El a fost cel care, în lucrările sale, s-a unit sub titlul general „Organon” (instrument de cunoaștere), pentru prima dată a analizat și descris temeinic formele și regulile logice de bază ale raționamentului, și anume: formele concluziilor din so- numite judecăți categorice - silogismul categorial („Prima analiză”), a formulat principiile de bază ale dovezilor științifice („A doua analiză”), a oferit o analiză a semnificației anumitor tipuri de enunțuri („Despre interpretare”) și a subliniat principalele abordări ale dezvoltării doctrinei conceptelor („Categorii”). Aristotel a acordat, de asemenea, o atenție deosebită expunerii diferitelor tipuri de erori logice și tehnici sofisticate în dispute („Despre refuzările sofistice”).

Logica are o istorie lungă și bogată, indisolubil legată de istoria dezvoltării societății în ansamblu.

Apariția logicii ca teorie a fost precedată de practica gândirii de mii de ani înapoi. Odată cu dezvoltarea activităților de muncă, materiale și de producție ale oamenilor, a avut loc o îmbunătățire treptată și o dezvoltare a abilităților lor de gândire, în special a capacității de abstractizare și inferență. Și asta, mai devreme sau mai târziu, dar inevitabil ar fi trebuit să ducă la faptul că obiectul cercetării a devenit gândirea în sine cu formele și legile sale.

După cum subliniază Ivin A.A. , istoria arată că problemele logice individuale au apărut în fața privirii mentale a unei persoane în urmă cu peste 2,5 mii de ani - mai întâi în India antică și China antică. Ei primesc apoi o dezvoltare mai completă în Grecia antică și Roma. Numai treptat se conturează un sistem mai mult sau mai puțin coerent de cunoaștere logică și se conturează o știință independentă.

Care sunt motivele apariției logicii? Ivin A.A. consideră că există două principale. Una dintre ele este originea și dezvoltarea inițială a științelor, în special a matematicii. Acest proces datează din secolul al VI-lea. î.Hr. și își primește cea mai completă dezvoltare în Grecia Antică. Născută în lupta împotriva mitologiei și religiei, știința s-a bazat pe gândirea teoretică, implicând inferențe și dovezi. De aici și necesitatea de a studia natura gândirii în sine ca mijloc de cunoaștere.

Potrivit lui Kurbatov V.I. , logica a luat naștere, în primul rând, ca o încercare de a identifica și justifica acele cerințe pe care gândirea științifică trebuie să le satisfacă pentru ca rezultatele ei să corespundă realității.

Un alt motiv, poate și mai important, este dezvoltarea oratoriei, inclusiv a artei judiciare, care a înflorit în condițiile democrației grecești antice. Cel mai mare orator și om de știință roman Cicero (106-43 î.Hr.), vorbind despre puterea oratorului, proprietarul „darului divin” al elocvenței, a subliniat: „El poate rămâne în siguranță chiar și printre dușmanii înarmați, protejat nu atât de personalul său, cât după titlul de vorbitor; el poate, prin cuvântul său, să stârnească indignarea concetăţenilor săi şi să doboare pedeapsa pe cei vinovaţi de crimă şi înşelăciune şi să salveze pe nevinovaţi de la judecată şi pedeapsă prin puterea talentului său; este capabil să-i motiveze pe oameni timizi și nehotărâți la eroism, este capabil să-i scoată din greșeală, este capabil să-i aprindă împotriva ticăloșilor și să calmeze mormăiala împotriva oamenilor vrednici; el știe cum, în sfârșit, cu un singur cuvânt poate atât excita, cât și potoli orice pasiuni umane atunci când circumstanțele cazului o cer.”

Potrivit lui Ivin A.A., fondatorul logicii - sau, așa cum se spune uneori, „părintele logicii” - este considerat cel mai mare filozof și enciclopedist grec antic Aristotel (384-322 î.Hr.). Cu toate acestea, trebuie reținut că prima prezentare destul de detaliată și sistematică a problemelor logice a fost dată de fapt de către filozoful și naturalistul grec antic Democrit (460 - aproximativ 370 î.Hr.). Printre numeroasele sale lucrări a fost un tratat amplu în trei cărți, „Despre logică sau despre canoane”. Aici s-a dezvăluit nu numai esența cunoașterii, principalele sale forme și criterii de adevăr, ci s-a arătat și rolul uriaș al raționamentului logic în cunoaștere și s-a dat o clasificare a judecăților. Unele tipuri de cunoștințe inferențiale au fost puternic criticate și s-a încercat dezvoltarea logicii inductive – logica cunoașterii experimentale. Din păcate, acest tratat al lui Democrit, ca toate celelalte, nu a ajuns la noi.

O nouă etapă superioară în dezvoltarea logicii începe în secolul al XVII-lea. Această etapă este legată organic de crearea în cadrul ei, împreună cu logica deductivă, a logicii inductive. Ea reflectă diversele procese de obținere a cunoștințelor generale bazate pe material empiric din ce în ce mai acumulat. Nevoia de a dobândi astfel de cunoștințe a fost realizată și exprimată pe deplin în lucrările sale de remarcabilul filozof și om de științe naturii englez F. Bacon (1561-1626). El a devenit fondatorul logicii inductive. „...logica care există acum este inutilă pentru descoperirea cunoașterii”, și-a pronunțat verdictul dur. Prin urmare, ca și cum ar fi în contrast cu vechiul „Organon” al lui Aristotel, Bacon a scris „Noul Organon...”, unde a conturat logica inductivă. El și-a acordat principala atenție dezvoltării metodelor inductive pentru determinarea dependenței cauzale a fenomenelor. Acesta este marele merit al lui Bacon. Cu toate acestea, doctrina inducției pe care a creat-o, în mod ironic, s-a dovedit a nu fi o negare a logicii anterioare. Și îmbogățirea și dezvoltarea sa în continuare. A contribuit la crearea unei teorii generalizate a inferenței. Și acest lucru este firesc, deoarece, așa cum se va arăta mai jos, inducția și deducția nu se exclud, ci se presupun reciproc și sunt în unitate organică.

Oamenii de știință ruși au adus o contribuție binecunoscută la dezvoltarea logicii formale tradiționale. Astfel, deja în primele tratate de logică, începând cu secolul al X-lea. s-au făcut încercări de a comenta în mod independent lucrările lui Aristotel și ale altor oameni de știință. Conceptele logice originale în Rusia au fost dezvoltate în secolul al XVIII-lea. și sunt asociate în primul rând cu numele lui M. Lomonosov (1711-1765) și A. Radishchev (1749-1802). Perioada de glorie a cercetării logice în țara noastră datează de la sfârșitul secolului al XIX-lea.

O încercare grandioasă de a dezvolta un sistem integral de nouă logică dialectică a fost făcută de filozoful german G. Hegel (1770-1831). În lucrarea sa fundamentală „Știința logicii”, el, în primul rând, a dezvăluit contradicția fundamentală dintre teoriile logice existente și practica reală a gândirii, care până atunci a atins cote semnificative.

După cum subliniază Kurbatov V.I, Hegel a reexaminat natura gândirii, legile și formele sale. În acest sens, el a ajuns la concluzia că „dialectica constituie însăși natura gândirii, că, ca rațiune, ea trebuie să cadă în negație de sine, în contradicție”. Gânditorul și-a văzut sarcina ca să găsească o modalitate de a rezolva aceste contradicții. Hegel a criticat sever logica veche, obișnuită, pentru legătura ei cu metoda metafizică a cunoașterii. Dar în această critică a mers atât de departe încât a respins principiile ei bazate pe legea identității și legea contradicției.

Ivin A.A. spune că problemele logicii dialectice, relația ei cu logica formală au găsit concretizare și dezvoltare ulterioară în lucrările filosofilor și oamenilor de știință germani K. Marx) 1818-1883) și F. Engels (1820-1895). Folosind cel mai bogat material intelectual acumulat de filozofie, științe naturale și sociale, au creat un nou sistem calitativ, dialectic-materialist, care a fost întruchipat în lucrări precum „Capital” de K. Marx, „Anti-Dühring” și „Dialectica naturii”. ” de F. Engels. Din aceste poziții filozofice generale, Marx și Engels au evaluat „învățătura gândirii și legile ei” specială - logica și dialectica. Ei nu au negat importanța logicii formale, nu au considerat-o „prostii”, ci au subliniat caracterul ei istoric. Astfel, Engels a remarcat că gândirea teoretică a fiecărei epoci este un produs istoric, care în momente diferite ia forme foarte diferite și, în același timp, conținut foarte diferit. „În consecință, știința gândirii, ca orice altă știință, este o știință istorică, știința dezvoltării istorice a gândirii umane.”

În ultimele decenii, în țara noastră s-au făcut numeroase încercări fructuoase de a prezenta sistematic logica dialectică. Evoluțiile se desfășoară în două direcții principale. Pe de o parte, aceasta este dezvăluirea tiparelor de reflecție a realității în curs de dezvoltare în gândirea umană, a contradicțiilor sale obiective, iar pe de altă parte, dezvăluirea tiparelor de dezvoltare a gândirii în sine, propria sa dialectică.

În condițiile revoluției științifice și tehnologice, când științele trec la niveluri noi, mai profunde de cunoaștere și când rolul gândirii dialectice crește, nevoia logicii dialectice se intensifică din ce în ce mai mult. Primește noi stimulente pentru dezvoltarea sa ulterioară.

O adevărată revoluție în cercetarea logică a fost cauzată de crearea logicii matematice în a doua jumătate a secolului al XIX-lea, care a fost numită și simbolică și a marcat o nouă etapă modernă în dezvoltarea logicii.

Începuturile acestei logici pot fi urmărite deja la Aristotel, precum și la adepții săi, stoicii, sub forma elementelor logicii predicatelor și a teoriei inferențelor modale, precum și a logicii propoziționale. Cu toate acestea, dezvoltarea sistematică a problemelor sale datează de o perioadă mult mai ulterioară.

După cum subliniază Ivin A.A, succesele tot mai mari în dezvoltarea matematicii și pătrunderea metodelor matematice în alte științe deja în a doua jumătate a secolului al XVII-lea ridicau puternic două probleme fundamentale. Pe de o parte, aceasta este utilizarea logicii pentru a dezvolta fundamentele teoretice ale matematicii și, pe de altă parte, matematizarea logicii în sine ca știință. Cea mai profundă și fructuoasă încercare de a rezolva problemele apărute a fost făcută de cel mai mare filozof și matematician german G. Leibniz (1646-1416). Astfel, el a devenit, în esență, fondatorul logicii matematice. Leibniz a visat la o perioadă în care oamenii de știință se vor angaja nu în cercetări empirice, ci în calcul cu un creion în mână. El a căutat să inventeze în acest scop un limbaj simbolic universal prin care orice știință empirică să poată fi raționalizată. Noile cunoștințe, în opinia sa, vor fi rezultatul calculului logic - calcul.

Potrivit lui V.I. Kurbatov, ideile lui Leibniz au primit o oarecare dezvoltare în secolul al XVIII-lea și în prima jumătate a secolului al XIX-lea. Cu toate acestea, condițiile cele mai favorabile pentru dezvoltarea puternică a logicii simbolice au apărut abia în a doua jumătate a secolului al XIX-lea. În acest moment, matematizarea științelor a obținut progrese deosebit de semnificative și au apărut noi probleme fundamentale ale justificării sale în matematică însăși. om de știință, matematician și logician englez Railway. Boole (1815-1864) a aplicat în primul rând matematica logicii în lucrările sale. A făcut o analiză matematică a teoriei inferențelor și a dezvoltat calculul logic („algebra booleană”). Logicianul și matematicianul german G. Frege (1848-1925) a aplicat logica studiului matematicii. Prin calculul predicat extins, el a construit un sistem formalizat de aritmetică.

S-a deschis astfel o nouă etapă modernă în dezvoltarea cercetării logice. Poate cea mai importantă trăsătură distinctivă a acestei etape este dezvoltarea și utilizarea de noi metode pentru rezolvarea problemelor logice tradiționale. Aceasta este dezvoltarea și utilizarea unui limbaj artificial, așa-numitul formalizat - un limbaj al simbolurilor, de exemplu. semne alfabetice și alte semne (de unde și cel mai comun nume pentru logica modernă - „simbolic”).

După cum subliniază Ivin A.A. , există două tipuri de calcul logic: calcul propozițional și calcul predicat. Cu prima se permite abstracția din structura internă, conceptuală a judecăților, iar cu cea de-a doua, se ia în considerare această structură și, în consecință, limbajul simbolic este îmbogățit și completat cu semne noi.

Importanța limbajelor simbolice în logică este greu de supraestimat. G. Frege a comparat-o cu semnificația telescopului și microscopului. Iar filozoful german G. Klaus (1912-1974) credea că crearea unui limbaj formalizat a avut aceeași semnificație pentru tehnologia inferenței logice pe care a avut-o în sfera producției trecerea de la munca manuală la munca mașină. Apărând pe baza logicii formale tradiționale, logica simbolică, pe de o parte, clarifică, aprofundează și generalizează ideile anterioare despre legile și formele logice, în special în teoria inferenței, iar pe de altă parte, extinde și îmbogățește tot mai mult problemele logice. . Logica modernă este un sistem complex și foarte dezvoltat de cunoștințe. Include multe direcții, „logici” separate, relativ independente, care exprimă din ce în ce mai pe deplin nevoile practicii și reflectă în cele din urmă diversitatea complexității lumii înconjurătoare, unitatea și diversitatea gândirii despre această lume însăși.

Logica simbolică este din ce în ce mai folosită în alte științe - nu numai în matematică, ci și în fizică, biologie, cibernetică, economie și lingvistică. Ea duce la apariția de noi ramuri de cunoaștere (matematica). Rolul logicii în sfera producției este deosebit de impresionant și clar. Deschizând posibilitatea de automatizare a procesului de raționament, face posibilă transferul unor funcții de gândire către dispozitive tehnice. Rezultatele sale sunt din ce în ce mai utilizate în tehnologie: în crearea de circuite de contact releu, calculatoare, sisteme logice informaționale etc. Conform expresiei figurative a unuia dintre oamenii de știință, logica modernă nu este doar „instrumentul” gândirii precise, ci și „gândul” unui instrument precis, un automat electronic. Realizările logicii moderne sunt folosite și în sfera juridică. Astfel, în criminalistică, în diferite etape ale studiului, se realizează prelucrarea logică și matematică a informațiilor colectate.

Nevoile tot mai mari ale progresului științific și tehnologic determină dezvoltarea intensivă în continuare a logicii moderne.

Rămâne de spus că oamenii de știință ruși au adus o contribuție importantă la dezvoltarea sistemelor logicii simbolice. Dintre aceștia se remarcă în mod deosebit P. Poretsky (1846-1907). A fost primul din Rusia care a început să susțină prelegeri despre logica matematică. Logica matematică continuă să se dezvolte astăzi.

Potrivit lui V.I Kurbatov, studiul logicii matematice disciplinează mintea. Amintindu-ne de celebra zicală a lui M.V Lomonosov despre matematică, putem spune că logica matematică, mai mult decât orice altă știință matematică, „pune mintea în ordine”.

Limba oricărei algebre constă dintr-un set de semne numit alfabetul acestei limbi.

Semnele alfabetului, prin analogie cu semnele alfabetului limbajului natural, se numesc litere.

Întrebarea apare în mod firesc: ce litere ar trebui să fie conținute în alfabetul limbajului algebrei numerice?

În primul rând, evident, trebuie să avem litere pentru a desemna elementele unei mulțimi - purtătoarea algebrei, în acest caz pentru a desemna numere, și variabile pentru elementele acestei mulțimi.

Folosind sistemul numeric zecimal pentru a desemna numere, trebuie să includem în alfabetul algebrei numerice zece litere numite numere: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, cu ajutorul cărora, conform la anumite reguli, numele oricăror numere.

Ca variabile numerice (variabile pentru numerele oricăreia dintre seturile N, N0, Z, Q sau R) se folosesc litere din alfabetul latin a, b, c, x, y, z sau una dintre aceste litere cu index, pt. exemplu X1, X2, Xn.

Uneori, literele alfabetului latin sunt folosite și ca constante numerice, adică ca nume de numere (când vorbim despre un anumit, dar nu contează ce număr anume). În acest caz, literele inițiale ale alfabetului latin a, b, c sunt de obicei folosite ca constante, iar ultimele litere x, y, z sunt folosite ca variabile.

Avem nevoie și de litere pentru a reprezenta operațiuni. Pentru adunare și înmulțire se folosesc cunoscutele semne (litere) + și, respectiv, *.

În plus, rolul semnelor de punctuație în limbajul algebrei este jucat de paranteze (stânga și dreapta).

Astfel, alfabetul unui limbaj în care este descrisă orice algebră numerică trebuie să cuprindă un set format din patru clase de litere: I - numere din care sunt construite denumirile numerelor; II - litere ale alfabetului latin - variabile numerice sau constante; III - semne de operare; IV -- paranteze.

Semnele de scădere (--) și împărțire (:) pot fi introduse prin definiții ale operațiilor corespunzătoare.

Treptat, alfabetul algebrei numerice este completat cu alte „litere”, în special, sunt introduse semne ale relațiilor binare „egale”, „mai puțin decât”, „mai mare”.

Toate semnele enumerate sunt incluse în alfabetul limbajului matematic, un limbaj artificial care a apărut în legătură cu nevoia de formulări precise, concise și fără ambiguitate înțelese ale legilor, regulilor și dovezilor matematice.

Din punct de vedere istoric, simbolismul matematicii a fost creat de-a lungul secolelor cu participarea multor oameni de știință remarcabili. Astfel, se crede că desemnarea cantităților necunoscute cu litere a fost folosită de Diophantus (secolul al III-lea), iar utilizarea pe scară largă a literelor majuscule ale alfabetului latin în algebră a început cu Vieta (secolul al XVI-lea). literele mici ale acestui alfabet au fost introduse pentru desemnare de R. Descartes (sec. XVII). semnul egal (=) a apărut pentru prima dată în lucrările omului de știință englez R. Record (sec. XVI), dar a devenit folosit în mod obișnuit abia în secolul al XVIII-lea. Semne de inegalitate (< , >) apărute la începutul secolului al XVII-lea, au fost introduse de matematicianul englez Gariot. Și deși semnele „=”, „>”, „<» появились не так давно, сами понятия равенства и неравенства возникли в глубокой древности .

O afirmație la matematică este o propoziție despre care întrebarea are sens: este adevărată sau falsă.

Se pot face diverse judecăți cu privire la concepte și relațiile dintre ele. Forma lingvistică a judecăților este propozițiile declarative. De exemplu. Într-un curs de bază de matematică puteți găsi următoarele propoziții:

1) Numărul 12 este par;

4) Numărul 15 conține un zece și 5 uni;

5) Produsul nu se modifică de la rearanjarea factorilor;

6) Unele numere sunt divizibile cu 3.

Vedem că propozițiile folosite în matematică pot fi scrise atât în ​​limba naturală (rusă), cât și în limbajul matematic, folosind simboluri. Despre propozițiile 1,4,5 și 6 putem spune că poartă informații adevărate, iar despre propoziția 2 - falsă. În ceea ce privește propoziția x +5 = 8, este în general imposibil de spus dacă este adevărată sau falsă.

Dacă sunt date enunțurile A și B, atunci pot fi făcute noi enunțuri din ele folosind conexiunile „și”, „sau”, „dacă... atunci...”, „fie... sau...”, „dacă și numai dacă dacă”, precum și particula „nu”. De exemplu, să fie A să însemne afirmația „Acum este soare”, iar B să însemne afirmația „Acum bate vânt”. Apoi afirmația „A și B” înseamnă: „Acum este soare și vânt”, afirmația „Dacă nu este A, atunci nu este B” înseamnă „Dacă nu este însorit acum, atunci nu e vânt”.

Astfel de afirmații se numesc compuse, iar enunțurile A și B incluse în ele se numesc enunțuri elementare. Se spune că două afirmații compuse A și B sunt echivalente dacă ambele sunt adevărate și în același timp false în baza oricăror presupuneri despre adevărul enunțurilor elementare incluse în ele. În acest caz ei scriu: A=B.

Deja de la prima lecție de matematică, elevii din clasele primare întâlnesc afirmații, în mare parte adevărate. Ei se familiarizează cu următoarele afirmații: 2 > 1, 1< 2, 3 > 2, 2 + 1 = 3, 3 - 1= 2.

Dacă A este o afirmație, atunci afirmând că este falsă, obținem o nouă afirmație, care se numește negarea declarației A și este desemnat prin simbolul B.

Astfel, dacă o afirmație este adevărată, atunci negația ei este falsă și invers. Această concluzie poate fi scrisă folosind un tabel în care „I” înseamnă o afirmație adevărată, iar „L” înseamnă una falsă. Tabelele de acest tip sunt numite tabele de adevăr (vezi Anexa 2, Fig. 1).

Fie A și B două afirmații elementare. Conectându-le cu conjuncția „și”, obținem o nouă declarație numită conjuncţie date declarații și este desemnat A? B. Intrarea A? B citi: „A și B”.

Prin definiție, o conjuncție de două enunțuri este adevărată dacă și numai dacă ambele enunțuri sunt adevărate. Dacă cel puțin unul dintre ele este fals, atunci conjuncția este falsă (vezi Anexa 2, Fig. 2).

Luați în considerare afirmația „7 - 4 = 3 și 4 este un număr par”. Este conjuncția a două afirmații: „7 - 4 = 3” și „4 este un număr par”. Deoarece ambele afirmații sunt adevărate, atunci conjuncția lor este adevărată.

Dacă în conjuncția A? Dacă schimbăm afirmațiile A și B, atunci obținem o conjuncție de forma B? A. Din tabelul de adevăr este clar că formulele A? B și B? Și pentru sensuri diferite ale afirmațiilor A și B sunt fie simultan adevărate, fie simultan false.

În consecință, ele sunt echivalente, iar pentru orice afirmații A și B avem: A? B = B? A

Această notație exprimă proprietatea comutativă a unei conjuncții, care permite ca membrii conjuncției să fie schimbate.

Ați compilat tabele de adevăr pentru (A? B)? S și ​​A? (B? C), obținem că pentru orice valori de adevăr ale afirmațiilor A, B, C, valorile de adevăr ale afirmațiilor (A? B)? S și ​​A? (B? C) meci.

Astfel, (A? B) ? C = A? (B? C).

Această egalitate exprimă proprietatea asociativă a unei conjuncții. O astfel de conjuncție este adevărată dacă și numai dacă toate afirmațiile incluse în ea sunt adevărate.

Conectând două enunțuri elementare A și B cu conjuncția „sau”, obținem un nou enunț numit disjuncție date declarații . Disjuncția dintre afirmațiile A și B este notată cu A?B și se citește „A sau B”. O disjuncție este falsă numai dacă ambele enunțuri din care este formată sunt false; în toate celelalte cazuri disjuncția este adevărată. Tabelul de adevăr al disjuncției are forma (vezi Anexa 2, Fig. 3).

Pentru disjuncție, precum și pentru conjuncție, pot fi indicate o serie de echivalențe. Pentru orice A, B și C avem:

A? B = B? A (disjuncție comutativă);

(Huh? B)? C = A? (B? C) (asociativitatea disjuncției).

Proprietatea asociativă a disjuncției ne permite să omitem parantezele și să scriem A? ÎN? C în loc de (A? B) ? CU.

Folosind tabelele de adevăr, este ușor de stabilit

(Huh? B)? C = (A? C) ? (B? C)

(Huh? B)? C = (A? C) ? (B?C)

Prima egalitate exprimă legea distributivă a conjuncției relativ la disjuncție, iar a doua egalitate exprimă legea distributivă a disjuncției relativ la conjuncție.

Operațiile de conjuncție, disjuncție și negație sunt legate prin următoarele relații, a căror validitate poate fi stabilită cu ajutorul tabelelor de adevăr:

Aceste relații se numesc formulele lui de Morgan.

Să considerăm o declarație compusă, care este formată din două elementare folosind cuvintele „dacă ... atunci ...”.

Să li se dea, de exemplu, afirmațiile A: „Ieri a fost duminică” și B: „Nu am fost la serviciu”. Apoi afirmația compusă „Dacă ieri a fost duminică, atunci nu am fost la serviciu” are formula „Dacă A, atunci B”.

Se numește afirmația „Dacă A, atunci B”. implicarea afirmaţiilor A, B și cu ajutorul simbolurilor se scriu astfel: A => B. Enunțul A, inclus în implicația A => B, se numește condiția implicației, iar enunțul B este concluzia ei.

Prin urmare, tabelul de adevăr al implicației „Dacă A, atunci B” arată ca (vezi Anexa 2, Fig. 4).

Din două afirmații A și B, puteți face o nouă afirmație, care sună astfel: „Și dacă și numai dacă B”. Această afirmație se numește afirmații echivalente A și B și notăm: A B. Afirmația A B este considerată adevărată dacă ambele afirmații A și B sunt adevărate sau ambele afirmații A și B sunt false. În alte cazuri (adică, dacă o afirmație este adevărată și cealaltă este falsă), echivalența este considerată falsă. Astfel, tabelul de adevăr pentru echivalența lui A și B are forma (vezi Anexa 2, Fig. 5).

1.3 Raționament logic

Orice raționament constă într-un lanț de afirmații care decurg unul din celălalt după anumite reguli. Capacitatea de a raționa și de a fundamenta corect concluziile cuiva este necesară pentru oamenii de orice profesie. O persoană învață să raționeze din momentul în care începe să vorbească, dar pregătirea țintită în logica raționamentului începe la școală. Deja cursul inițial de matematică presupune dezvoltarea abilităților elevilor de a face comparații, de a clasifica obiecte, de a analiza fapte și de a demonstra cele mai simple afirmații. Raționamentul logic este necesar nu numai pentru rezolvarea problemelor matematice, ci și pentru analiza gramaticală, stăpânirea principiilor istoriei naturale etc. Prin urmare, un profesor de școală primară trebuie să fie familiarizat cu logica, adică. cu știința legilor și a formelor de gândire, despre modele generale de raționament.

Principalele tipuri de judecăți și inferențe sunt considerate în logica clasică, creată de filozoful grec antic Aristotel (384-322 î.Hr.).

În logică, raționamentul este împărțit în:

1. corect;

2. incorect.

Raționamentul corect este raționamentul în care sunt respectate toate regulile și legile logicii. Raționamentul incorect este raționamentul în care se comit erori logice din cauza încălcării regulilor sau legilor logicii.

Există două tipuri de erori logice:

1. paralogisme;

2. sofism.

Paralogismele sunt erori logice care sunt făcute neintenționat (din ignoranță) în procesele de raționament.

Sofismele sunt erori logice care sunt făcute în procesele de raționament în mod intenționat cu scopul de a induce în eroare adversarul, de a justifica o afirmație falsă, ce prostie etc.

Sofismele sunt cunoscute din cele mai vechi timpuri. Sofiștii au folosit pe scară largă astfel de considerații în practica lor. De la ei provine numele „sofism” numeroase exemple de raționament pe care sofiştii le-au folosit în diverse dispute au supraviețuit până în vremea noastră. Să enumerăm câteva dintre ele.

Cel mai faimos sofism antic este un raționament numit „Cornut”.

Imaginați-vă o situație: o persoană vrea să o convingă pe alta că are coarne. Justificarea pentru aceasta este dată: „Ceea ce nu ai pierdut, ai. Nu ți-ai pierdut coarnele. Deci ai coarne”.

La prima vedere, această gândire pare corectă. Dar conține o eroare logică pe care o persoană care nu înțelege logica este puțin probabil să o poată găsi imediat.

Să dăm un alt exemplu. Protagoras (fondatorul școlii de sofiști) a fost un elev al lui Euathlus. Profesorul și elevul au încheiat un acord conform căruia Evatl avea să plătească școlarizarea numai după ce va câștiga primul său proces. Dar, după ce și-a terminat studiile, Evatl nu se grăbea să se prezinte în instanță. Răbdarea profesorului s-a terminat și a intentat un proces împotriva elevului său „În orice caz, Euathlus va trebui să mă plătească”, gândi Protagoras. - Ori va câștiga această încercare, ori o va pierde. Dacă câștigă, plătiți conform acordului; dacă pierde, va plăti conform sentinței judecătorești.” — Nimic de genul, obiectă Evatl. - Într-adevăr, ori voi câștiga proba, ori o voi pierde.

Dacă voi câștiga, hotărârea judecătorească mă va scuti de la plata, dar dacă pierd, nu voi plăti conform acordului nostru *.

Există, de asemenea, o eroare logică în acest exemplu. Și care anume - vom afla mai departe.

Sarcina principală a logicii este analiza considerațiilor corecte. Logicienii se străduiesc să identifice și să exploreze tiparele unor astfel de considerații, să le definească diferitele tipuri etc. Raționamentul incorect în logică este analizat doar din punctul de vedere al erorilor care s-au făcut în ele.

De remarcat că corectitudinea unui raționament nu înseamnă adevărul premiselor și concluziei acestuia. În general, logica nu este preocupată de determinarea adevărului sau falsității premiselor și concluziilor considerațiilor. Dar în logică există o astfel de regulă: dacă considerația este construită corect (în conformitate cu regulile și legile logicii) și, în același timp, se bazează pe premise adevărate, atunci concluzia unui astfel de raționament va fi întotdeauna necondiționat adevărată. În alte cazuri, adevărul concluziei nu poate fi garantat.

Astfel, dacă un raționament este construit incorect, atunci, chiar și în ciuda faptului că premisele sale sunt adevărate, concluzia unui astfel de raționament poate fi adevărată într-un caz și falsă în al doilea.

Să luăm în considerare, de exemplu, următoarele două considerente, care sunt construite conform aceleiași scheme incorecte:

(1) Logica este o știință.

Alchimia nu este logică.

Alchimia nu este o știință.

(2) Logica este o știință.

Legea nu este logică.

Dreptul nu este o știință.

Este evident că în primul raționament concluzia este adevărată, dar în al doilea este incorectă, deși premisele în ambele cazuri sunt afirmații adevărate.

De asemenea, este imposibil să se garanteze adevărul concluziei unui argument atunci când cel puțin una dintre premisele acestuia este incorectă, chiar dacă acest raționament este corect.

Raționamentul corect este raționament în care unele gânduri (concluzii) decurg în mod necesar din alte opinii (premise).

Un exemplu de raționament corect ar putea fi următoarea concluzie: „Fiecare cetățean al Ucrainei trebuie să-și recunoască Constituția. Toți deputații poporului din Ucraina sunt cetățeni ai Ucrainei. Deci, fiecare dintre ei trebuie să recunoască Constituția statului lor”, iar un exemplu de gândire adevărată este judecata: „Există cetățeni ai Ucrainei care nu recunosc măcar unele articole din Constituția statului lor”.

Următorul raționament ar trebui considerat incorect: „Deoarece criza economică din Ucraina se face simțită în mod clar după proclamarea independenței sale, aceasta din urmă este cauza acestei crize”. Acest tip de eroare logică se numește „după aceasta - din cauza asta”. Constă în faptul că succesiunea temporală a evenimentelor în astfel de cazuri este identificată cu cauzalitatea. Un exemplu de opinie neadevărată ar putea fi orice poziție care nu corespunde realității, să zicem afirmația că națiunea ucraineană nu există deloc.

Scopul cunoașterii este de a obține cunoștințe adevărate. Pentru a obține astfel de cunoștințe prin raționament, trebuie, în primul rând, să aveți premise adevărate, iar în al doilea rând, să le combinați corect, să raționați după legile logicii. Atunci când folosesc premise false, fac erori de fapt, iar când încalcă legile logicii, regulile de construire a considerațiilor, comit erori logice. Erorile de fapt, desigur, trebuie evitate, ceea ce nu este întotdeauna posibil. În ceea ce privește cele logice, o persoană cu o cultură intelectuală înaltă poate evita aceste greșeli, deoarece legile de bază ale gândirii corecte din punct de vedere logic, regulile de construire a raționamentului și chiar erorile semnificative tipice în raționament au fost formulate de mult timp.

Logica vă învață să raționați corect, să evitați erorile logice și să distingeți raționamentul corect de raționamentul incorect. Clasifică considerațiile corecte pentru a le înțelege sistematic. În acest context, poate apărea o întrebare: întrucât există multe considerații, este posibil, în cuvintele lui Kozma Prutkov, să îmbrățișăm nelimitatul? Da, este posibil, deoarece logica ne învață să raționeze, concentrându-ne nu pe conținutul specific al gândurilor care fac parte din raționament, ci pe schema, structura raționamentului, forma combinării acestor gânduri. Să spunem o formă de raționament precum „Fiecare x este y, iar acest z este x; În consecință, r-ul dat este corect, iar cunoașterea corectitudinii sale include informații mult mai bogate decât cunoașterea corectitudinii unui argument separat semnificativ de o formă similară. Și forma de raționament conform schemei „Fiecare x este y și z este și y; prin urmare, z este x" se referă la cele incorecte. Așa cum gramatica studiază formele cuvintelor și combinațiile lor într-o propoziție, făcând abstracție din conținutul specific al expresiilor lingvistice, tot așa logica studiază formele opiniilor și combinațiile lor, făcând abstracție de conținutul specific al acestor gânduri.

Pentru a dezvălui forma unui gând sau a unei considerații, acesta trebuie formalizat.

Concluzii pentru capitolul 1

Pe baza celor de mai sus se pot trage următoarele concluzii:

1. Logica a apărut ca ramură a cunoașterii filozofice. Principalele motive pentru apariția sa sunt dezvoltarea științei și oratoriei. Deoarece știința se bazează pe gândirea teoretică, care implică construirea de concluzii și dovezi, este nevoie de a studia gândirea în sine ca formă de cunoaștere.

2. În știința modernă, importanța logicii simbolice este foarte mare. Își găsește aplicație în cibernetică, neurofiziologie și lingvistică. Logica simbolică este o etapă modernă în dezvoltarea logicii formale. Studiază procesele de raționament și demonstrație prin reprezentarea sa în sisteme logice. Astfel, în subiectul său această știință este logica, iar în metoda ei este matematica.

După ce am studiat materialele, ne-am clarificat ideile despre conceptele matematice:

Acestea sunt concepte de obiecte ideale;

Fiecare concept matematic are un termen, un scop și un conținut;

Conceptelor li se dau definiții; ele pot fi explicite sau implicite. Cele implicite includ definiții contextuale și ostensive;

Învățarea conceptului are loc de la clasă la clasă cu o explorare extinsă a subiectului.

Când am studiat materialul, ne-am familiarizat cu concepte cu ajutorul cărora am clarificat sensul conjuncțiilor „și”, „sau”, particula „nu”, cuvintele „fiecare”, „există”, „prin urmare” și „echivalent” folosit în matematică. Acestea sunt conceptele:

Afirmație;

Declarații elementare;

Conexiuni logice;

Declarații compuse;

Conjuncția de afirmații;

Disjuncția enunțurilor;

Negarea declarațiilor.

Revizuit regulile:

Determinarea valorii de adevăr a unei afirmații compuse;

Construcţii de negaţie a propoziţiilor de diferite structuri.

Capitolul 2. Utilizarea elementelor de logică matematică în lecțiile de matematică din școala primară

2.1 Utilizareelemente de logică în cursul inițial de matematică

Matematica oferă premise reale pentru dezvoltarea gândirii logice, sarcina profesorului este să folosească mai mult aceste oportunități atunci când îi predă copiilor matematica. Cu toate acestea, nu există un program specific pentru dezvoltarea tehnicilor de gândire logică care ar trebui formulat atunci când studiați acest subiect. Ca urmare, lucrările privind dezvoltarea gândirii logice continuă fără cunoașterea sistemului de tehnici necesare, fără cunoașterea conținutului și a secvenței lor de formare.

Barakina V.T. evidențiază următoarele cerințe pentru cunoștințele, abilitățile și abilitățile elevilor atunci când studiază elementele de logică în școala elementară:

1. Elemente ale teoriei mulțimilor:

Faceți cunoștință cu seturi de diferite naturi folosind exemple specifice și modalități de scriere a acestora (prin enumerare);

Învață să identifici elementele unui set;

Familiarizați-vă cu principalele tipuri de relații dintre mulțimi și modul în care acestea sunt reprezentate folosind cercurile Euler-Venn;

Învățați să efectuați unele operații pe mulțimi (unire, intersecție).

2. Elemente de teorie propozițională:

Familiarizați-vă cu enunțul la nivel de idei;

Învață să deosebești enunțurile de alte propoziții;

Familiarizați-vă cu principalele tipuri de enunțuri;

Învață să efectuezi unele operații asupra enunțurilor (negație, conjuncție, disjuncție).

3. Elemente de combinatorie:

Familiarizați-vă cu acest concept la nivel de idei;

Învață să deosebești problemele combinatorii de alte tipuri de probleme de cuvinte abordate în lecțiile de matematică;

Învață să rezolvi probleme pentru a determina numărul de plasări a n elemente de m elemente.

Elementele de logică din școala elementară sunt acoperite atât în ​​lecțiile de matematică, cât și în lecțiile de informatică. În același timp, nivelul cerințelor pentru cunoștințele, abilitățile și abilitățile studenților, precum și conținutul formării din această secțiune, diferă oarecum în diferite programe. Acest lucru se datorează, în primul rând, faptului că, în prezent, standardul educațional de stat federal pentru învățământul general primar nu necesită luarea în considerare obligatorie a acestui subiect în clasele 1-4.

În prezent, toate cursurile de matematică sunt destinate dezvoltării elevilor. De exemplu, cursul Istomina N.B. scopul său principal este dezvoltarea metodelor de activitate mentală a elevilor, operații mentale: analiză, sinteză, comparație, clasificare, analogie, generalizare.

...

Documente similare

Studierea cursului logicii matematice. Baza logicii este conștientizarea structurii științei matematice și a conceptelor sale fundamentale. Schiță istorică. Echivalența propozițiilor. Negarea declarațiilor. Urmărire logică.

teză, adăugată 08.08.2007


Activitățile extrașcolare ca una dintre formele de muncă. Bazele pedagogice ale studierii logicii matematice în liceu, ca parte a activităților extracurriculare. Analiza metodelor existente de dezvoltare a abilităților logice și logice generale la școlari.

lucrare de curs, adăugată 19.11.2012


Fundamentele metodelor de studiere a conceptelor matematice. Concepte matematice, conținutul și domeniul lor de aplicare, clasificarea conceptelor. Trăsături psihologice și pedagogice ale predării matematicii în clasele 5-6. Aspecte psihologice ale formării conceptelor.

teză, adăugată 08.08.2007


Fundamentele lingvistice ale învățării adjectivelor în școala primară. Fundamentele psihologice și pedagogice ale învățării adjectivelor în școala primară. Metodologia de lucru a adjectivelor după sistemul de educație pentru dezvoltare L.V. Zankova.

teză, adăugată 04.03.2007


Baze teoretice ale pregătirii copiilor pentru învățarea matematicii la școală. Probleme de pregătire a copiilor pentru școală în literatura psihologică, pedagogică și metodologică. Conceptul, esența, sensul pregătirii matematice pentru învățarea la școală. Program de cercetare.

lucrare de curs, adăugată 23.10.2008


Caracteristici ale studierii matematicii în școala primară conform standardului educațional de stat federal pentru învățământul general primar. Conținutul cursului. Analiza conceptelor matematice de bază. Esența unei abordări individuale în didactică.

lucrare curs, adaugat 29.09.2016


Fundamente psihologice și pedagogice pentru dezvoltarea gândirii logice la elevii din ciclul primar. Elaborarea unei metodologii pentru rezolvarea problemei dezvoltării alfabetizării logice a elevilor la lecțiile de matematică din școala primară, exemple de rezolvare a problemelor aritmetice nestandard.

teză, adăugată 31.03.2012


Fundamentele teoretice și metodologice ale sarcinilor de testare și tipurile acestora. Fundamente psihologice și pedagogice. Teste la lecțiile de matematică. Analiza experienței profesorilor în utilizarea itemilor de testare. Scurtă descriere a avantajelor utilizării unei forme de testare de control.

lucrare de curs, adăugată 17.04.2017


Caracteristicile psihologice ale unui școlar junior. Tehnici și metode de utilizare a elementelor de analiză etimologică în lecțiile din școala elementară. Caracteristici ale predării scrisului competent elevilor. Analiza complexului educațional „Limba rusă” în clasele primare.

teză, adăugată 24.03.2015


Dezvoltarea vorbirii elevilor la lecțiile de matematică. Tehnici de dezvoltare a vorbirii matematice. Legături între vorbire, gândire și limbaj. Dezvoltarea logicii, expresivității, dovezilor și acurateței vorbirii matematice. Creșterea nivelului culturii vorbirii elevilor.