Ajutor la Tele2, tarife, intrebari

O parabolă este locul de puncte pentru fiecare dintre care distanța până la un punct fix din plan, numit focar, este egală cu distanța până la o linie fixă, numită directrice (presupunând că această linie nu trece prin focar) .

Focalizarea unei parabole este de obicei indicată prin literă F, distanța de la focalizare la litera directrice R. mărimea p numit parametru parabole. Imaginea parabolei este prezentată în Fig. 61 (cititorul va primi o explicație cuprinzătoare a acestui desen după ce a citit următoarele câteva paragrafe).

Cometariu. In concordanta cu P° 100 spune că parabola are excentricitate =1.

Să fie dată o parabolă (în același timp, presupunem că parametrul R). Să introducem pe plan un sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare, ale cărui axe vor fi poziționate în mod special față de această parabolă. Și anume, desenăm axa absciselor prin focalizare perpendiculară pe directrice și o considerăm îndreptată de la directrice către focar; Să plasăm originea coordonatelor la mijloc între se concentrezeşi directoare (Fig. 61). Să derivăm ecuația acestei parabole în acest sistem de coordonate.

Să luăm un punct arbitrar din avion Mși notează-i coordonatele prin XȘi u. Să notăm în continuare prin r distanta fata de punct M a se concentra (r=FM), prin r- distanta fata de punct M către directoare. Punct M va fi pe o parabolă (dată) dacă și numai dacă

Pentru a obține ecuația necesară, trebuie să înlocuiți variabilele în egalitate (1) rȘi A expresiile lor prin coordonatele curente X y. Rețineți că focalizarea F are coordonate; luând în considerare acest lucru și aplicând formula (2) P° 18. găsim:

(2)

Să notăm prin Q baza unei perpendiculare coborâte dintr-un punct M către directoare. Evident, punct Q are coordonate; de aici și de la formula (2) P° 18 obținem:

(3),

(la extragerea rădăcinii, am luat cu semnul nostru, deoarece - numărul este pozitiv; aceasta rezultă din faptul că punctul M(x;y) ar trebui să fie de partea directorului în care se află accentul, adică ar trebui să existe x > , de unde Înlocuind în egalitate (1) g şi d expresiile lor (2) și (3), găsim:

(4)

Aceasta este ecuația parabolei în cauză în sistemul de coordonate desemnat, deoarece este satisfăcută de coordonatele punctului M(x;y) dacă și numai dacă punctul M se află pe această parabolă.

Dorind să obținem ecuația parabolei într-o formă mai simplă, să punem la pătrat ambele părți ale egalității (4); primim:

(5),

Am derivat ecuația (6) ca o consecință a ecuației (4). Este ușor de arătat că ecuația (4) la rândul ei poate fi derivată ca o consecință a ecuației (6). De fapt, ecuația (5) este derivată din ecuația (6) într-un mod evident („în sens invers”); mai departe, din ecuația (5) avem.

Luați în considerare o dreaptă pe plan și un punct care nu se află pe această dreaptă. ȘI elipsă, Și hiperbolă poate fi definit într-un mod unificat ca locul geometric al punctelor pentru care raportul dintre distanța la un punct dat și distanța la o linie dreaptă dată este o valoare constantă

rangul ε. La 0 1 - hiperbola. Parametrul ε este excentricitatea atât a elipsei, cât și a hiperbolei. Dintre posibilele valori pozitive ale parametrului ε, una, și anume ε = 1, se dovedește a fi neutilizată. Această valoare corespunde locului geometric al punctelor echidistante de un punct dat și de o dreaptă dată.

Definiție 8.1. Locul punctelor dintr-un plan echidistant de un punct fix și de o dreaptă fixă ​​se numește parabolă.

Se numește punctul fix focalizarea parabolei, iar linia dreaptă - directriza unei parabole. În același timp, se crede că excentricitatea parabolei egal cu unu.

Din considerente geometrice rezultă că parabola este simetrică față de linia dreaptă perpendiculară pe directrice și care trece prin focarul parabolei. Această linie dreaptă se numește axa de simetrie a parabolei sau pur și simplu axa parabolei. O parabolă își intersectează axa de simetrie într-un singur punct. Acest punct se numește vârful parabolei. Este situat în mijlocul segmentului care leagă focarul parabolei cu punctul de intersecție a axei sale cu directriza (Fig. 8.3).

Ecuația parabolei. Pentru a deduce ecuația unei parabole, alegem în plan origine la vârful parabolei, ca axa x- axa parabolei, direcția pozitivă pe care este specificată de poziția focarului (vezi Fig. 8.3). Acest sistem de coordonate este numit canonic pentru parabola în cauză, iar variabilele corespunzătoare sunt canonic.

Să notăm distanța de la focar la directrice cu p. El este numit parametrul focal al parabolei.

Atunci focarul are coordonatele F(p/2; 0), iar directricea d este descrisă de ecuația x = - p/2. Locul punctelor M(x; y), echidistant de punctul F și de dreapta d, este dat de ecuație

Să pătratăm ecuația (8.2) și să prezentăm altele similare. Obținem ecuația

Care e numit ecuația parabolei canonice.

Rețineți că pătratul în acest caz este o transformare echivalentă a ecuației (8.2), deoarece ambele părți ale ecuației sunt nenegative, la fel ca și expresia de sub radical.

Tip de parabolă. Dacă parabola y 2 = x, a cărei formă o considerăm cunoscută, este comprimată cu un coeficient 1/(2р) de-a lungul axei absciselor, atunci se obține o parabolă de formă generală, care este descrisă de ecuația (8.3).

Exemplul 8.2. Să găsim coordonatele focarului și ecuația directricei unei parabole dacă aceasta trece printr-un punct ale cărui coordonate canonice sunt (25; 10).

În coordonate canonice, ecuația parabolei are forma y 2 = 2px. Deoarece punctul (25; 10) este pe parabolă, atunci 100 = 50p și, prin urmare, p = 2. Prin urmare, y 2 = 4x este ecuația canonică a parabolei, x = - 1 este ecuația directricei acesteia și focalizarea este în punctul (1; 0).

Proprietatea optică a unei parabole. Parabola are următoarele proprietate optică. Dacă o sursă de lumină este plasată la focarul parabolei, atunci toate razele de lumină după reflectarea din parabolă vor fi paralele cu axa parabolei (Fig. 8.4). Proprietatea optică înseamnă că în orice punct M al parabolei vector normal tangenta formează unghiuri egale cu raza focală MF și cu axa absciselor.

Definiție: O parabolă este locul geometric al punctelor dintr-un plan pentru care distanța până la un punct fix F al acestui plan este egală cu distanța până la o dreaptă fixă. Punctul F se numește focarul parabolei, iar linia fixă ​​se numește directrixa parabolei.

Pentru a deriva ecuația, să construim:

CU conform definitiei:

Deoarece 2 >=0, parabola se află în semiplanul drept. Pe măsură ce x crește de la 0 la infinit
. Parabola este simetrică față de Ox. Punctul de intersecție al unei parabole cu axa ei de simetrie se numește vârful parabolei.

45. Curbe de ordinul doi și clasificarea lor. Teorema principală despre kvp.

Există 8 tipuri de KVP:

1.elipse

2.hiperbole

3.parabole

Curbele 1,2,3 sunt secțiuni canonice. Dacă intersectăm conul cu un plan paralel cu axa conului, obținem o hiperbolă. Dacă planul este paralel cu generatricea, atunci este o parabolă. Nu toate planurile trec prin vârful conului. Dacă este orice alt plan, atunci este o elipsă.

4. pereche de drepte paralele y 2 +a 2 =0, a0

5. pereche de drepte care se intersectează y 2 -k 2 x 2 =0

6.o dreaptă y 2 =0

7.un punct x 2 + y 2 =0

8. multime goala - curba goala (curba fara puncte) x 2 + y 2 +1=0 sau x 2 + 1=0

Teorema (teorema principală despre KVP): Ecuația formei

A 11 X 2 + 2 a 12 x y + a 22 y 2 + 2 a 1 x + 2a 2 y+a 0 = 0

poate reprezenta doar o curbă a unuia dintre aceste opt tipuri.

Idee de dovadă este de a trece la un sistem de coordonate în care ecuația KVP va lua cea mai simplă formă, atunci când tipul de curbă pe care îl reprezintă devine evident. Teorema este demonstrată prin rotirea sistemului de coordonate printr-un unghi la care dispare termenul cu produsul coordonatelor. Și cu ajutorul transferului paralel al sistemului de coordonate în care dispare fie termenul cu variabila x, fie termenul cu variabila y.

Trecerea la un nou sistem de coordonate: 1. Transfer paralel

2. Rotiți

45. Suprafețe de ordinul doi și clasificarea lor. Teorema principală despre pvp. Suprafețele de rotație.

P VP - un set de puncte ale căror coordonate dreptunghiulare satisfac ecuația de gradul 2: (1)

Se presupune că cel puțin unul dintre coeficienții pătratelor sau produselor este diferit de 0. Ecuația este invariabilă în ceea ce privește alegerea sistemului de coordonate.

Teorema Orice plan intersectează PVP de-a lungul CVP, cu excepția unui caz special când întregul plan este în secțiune (PVP poate fi un plan sau o pereche de planuri).

Există 15 tipuri de PVP. Să le enumerăm, indicând ecuațiile prin care sunt specificate în sisteme de coordonate adecvate. Aceste ecuații se numesc canonice (cele mai simple). Construiți imagini geometrice corespunzătoare ecuațiilor canonice folosind metoda secțiunilor paralele: Intersectați suprafața cu plane coordonate și plane paralele cu acestea. Rezultatul sunt secțiuni și curbe care dau o idee despre forma suprafeței.

1. Elipsoid.

Dacă a=b=c atunci obținem o sferă.

2. Hiperboloizi.

1). Hiperboloid cu o singură foaie:

Secțiunea unui hiperboloid cu o singură foaie după planuri de coordonate: XOZ:
- hiperbolă.

YOZ:
- hiperbolă.

avion XOY:
- elipsa.

2). Hiperboloid cu două foi.

Originea este un punct de simetrie.

Planurile de coordonate sunt plane de simetrie.

Avion z = h intersectează un hiperboloid de-a lungul unei elipse
, adică avion z = hîncepe să intersecteze hiperboloidul la | h |  c. Secțiunea unui hiperboloid pe planuri X = 0 Și y = 0 - acestea sunt hiperbole.

Numerele a, b, c din ecuațiile (2), (3), (4) se numesc semiaxele elipsoizilor și hiperboloizilor.

3. Paraboloizi.

1). Paraboloid eliptic:

Secțiune de avion z = h Există
, Unde
. Din ecuație este clar că z  0 este un bol infinit.

Intersecția avioanelor y = hȘi X= h
- aceasta este o parabolă și în general

2). Paraboloid hiperbolic:

Evident, planurile XOZ și YOZ sunt plane de simetrie, axa z este axa paraboloidului. Intersecția unui paraboloid cu un plan z = h- hiperbole:
,
. Avion z=0 intersectează un paraboloid hiperbolic de-a lungul a două axe
care sunt asimptote.

4. Con și cilindri de ordinul doi.

1). Un con este o suprafață
. Conul este format din drepte care trec prin originea 0 (0, 0, 0). Secțiunea transversală a unui con este o elipsă cu semi-axe
.

2). Cilindri de ordinul doi.

Acesta este un cilindru eliptic
.

Orice linie pe care o luăm care intersectează elipsele și este paralelă cu axa Oz satisface această ecuație. Deplasând această linie dreaptă în jurul elipsei obținem o suprafață.

G cilindru hiperbolic:

Pe planul XOU este o hiperbolă. Deplasăm linia dreaptă care intersectează hiperbola paralel cu Oz de-a lungul hiperbolei.

Cilindru parabolic:

N iar planul XOU este o parabolă.

Suprafețele cilindrice sunt formate dintr-o linie dreaptă (generativă) care se deplasează paralel cu ea însăși de-a lungul unei anumite linii drepte (ghid).

10. Pereche de plane care se intersectează

11.Pereche de plane paralele

12.
- Drept

13. Linie dreaptă - un „cilindru” construit pe un singur punct

14.Un punct

15.Set gol

Teorema principală despre PVP: Fiecare PVP aparține unuia dintre cele 15 tipuri discutate mai sus. Nu există alte PVP.

Suprafețele de rotație. Fie dat PDSC Oxyz iar în planul Oyz linia e definită de ecuația F(y,z)=0 (1). Să creăm o ecuație pentru suprafața obținută prin rotirea acestei linii în jurul axei Oz. Să luăm un punct M(y,z) pe dreapta e. Când avionul Oyz se rotește în jurul lui Oz, punctul M va descrie un cerc. Fie N(X,Y,Z) un punct arbitrar al acestui cerc. Este clar că z=Z.

.

Înlocuind valorile găsite ale lui z și y în ecuația (1) obținem egalitatea corectă:
acestea. coordonatele punctului N satisfac ecuația
. Astfel, orice punct de pe suprafața de revoluție satisface ecuația (2). Nu este greu de demonstrat că dacă un punct N(x 1 ,y 1 ,z 1) satisface ecuația (2) atunci acesta aparține suprafeței luate în considerare. Acum putem spune că ecuația (2) este ecuația dorită pentru suprafața de revoluție.

Definiția 1. Parabolă este mulțimea tuturor punctelor planului, fiecare dintre ele fiind la fel de îndepărtat de un punct dat, numit concentrare, iar dintr-o linie dată care nu trece printr-un punct dat și numită directoare.

Să creăm o ecuație pentru o parabolă cu focus într-un punct dat Fși a cărui directrice este linia d, nu trece prin F. Să alegem un sistem de coordonate dreptunghiular după cum urmează: axa Oh să trecem prin focus F perpendicular pe director dîn direcția de la d La F, si originea DESPRE Să o plasăm la mijloc între focalizare și directrice (Fig. 1).

Definiția 2. Distanța de focalizare F către directoare d numit parametrul parabolei și este notat cu p(p> 0).

Din fig. 1 este clar că p = FK, prin urmare focalizarea are coordonate F (p/2; 0), iar ecuația directricei are forma X= – r/2, sau

Lăsa M(x;y) este un punct arbitrar al parabolei. Să conectăm punctele M Cu Fși vom cheltui MN d. Direct din Fig. 1 este clar că

iar după formula distanţei dintre două puncte

Conform definiției parabolei, MF = MN, (1)

prin urmare, (2)

Ecuația (2) este ecuația de parabolă necesară. Pentru a simplifica ecuația (2), o transformăm după cum urmează:

acestea.,

Coordonatele XȘi la puncte M parabolele satisfac condiția (1) și, prin urmare, ecuația (3).

Definiția 3. Ecuația (3) se numește ecuația canonică a unei parabole.

2. Studiul formei unei parabole folosind ecuația acesteia. Să determinăm forma parabolei folosind ecuația sa canonică (3).

1) Coordonatele punctului O (0; 0) satisface ecuația (3), prin urmare, parabola definită de această ecuație trece prin origine.

2) Deoarece în ecuația (3) variabila la apare doar la o putere egală, apoi parabola y 2 = 2px simetric fata de axa absciselor.

3) Din moment ce p > 0, apoi din (3) rezultă x ≥ 0. În consecință, parabola y 2 = 2px situat în dreapta axei OU.

4) Pe măsură ce abscisa crește X din 0 la +∞ ordonată la variază de la 0 inainte de ± ∞, adică punctele parabolei se îndepărtează nelimitat de axă Oh, iar din axă OU.

Parabolă y 2 = 2px are forma prezentată în fig. 2.

Definiția 4. Axă Oh numit axa de simetrie a parabolei. Punct O (0; 0) se numește intersecția unei parabole cu axa de simetrie vârful parabolei. Segment de linie FM numit raza focală puncte M.

Cometariu. Pentru a crea o ecuație de parabolă de forma y 2 = 2px am ales special un sistem de coordonate dreptunghiular (vezi punctul 1). Dacă sistemul de coordonate este ales într-un mod diferit, atunci ecuația parabolei va avea o formă diferită.

A

Deci, de exemplu, dacă direcționați axa Oh de la focalizare la regizor (Fig. 3, A

y 2 = –2px. (4)

F(–р/2; 0), și directoarea d dat de ecuaţie x = p/2.

Dacă axa OU să trecem prin focus F dîn direcția de la d La F, și originea DESPRE plasați-l la mijloc între focalizare și directrice (Fig. 3, b), atunci ecuația unei parabole este un exemplu de formă

x 2 = 2ru . (5)

Focalizarea unei astfel de parabole are coordonate F (0; p/2), și directoarea d dat de ecuaţie y=–p/2.

Dacă axa OU să trecem prin focus F perpendicular pe director dîn direcția de la F La d(Fig. 3, V), atunci ecuația parabolei ia forma

x 2 = –2ru (6)

Coordonatele sale de focalizare vor fi F (0; –р/2), și ecuația directricei d voi y = p/2.

Se spune că ecuațiile (4), (5), (6) au cea mai simplă formă.

3. Transferul paralel al unei parabole. Să fie dată o parabolă cu vârful ei în punctul O" (a; b), a cărui axă de simetrie este paralelă cu axa OU, iar ramurile sunt îndreptate în sus (Fig. 4). Trebuie să creați o ecuație pentru o parabolă.

(9)

Definiția 5. Ecuația (9) se numește ecuația unei parabole cu un vârf deplasat.

Să transformăm această ecuație după cum urmează:

Punând

vom avea (10)

Nu este greu să arăți asta pentru niciunul A, B, C graficul unui trinom pătratic (10) este o parabolă în sensul Definiției 1. Ecuația unei parabole de forma (10) a fost studiată la un curs de algebră școlară.

EXERCIȚII PENTRU SOLUȚIE INDEPENDENTĂ

Numarul 1. Scrieți ecuația unui cerc:

A. cu centrul la origine și raza 7;

b. cu centrul în punctul (-1;4) și raza 2.

Construiți datele cercului într-un sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare.

nr. 2. Compuneți ecuația canonică a unei elipse cu vârfuri

si trucuri

Numarul 3. Construiți o elipsă dată de ecuația canonică:

1) 2)

nr. 4. Compuneți ecuația canonică a unei elipse cu vârfuri

si trucuri

nr. 5. Compuneți ecuația canonică a unei hiperbole cu vârfuri

si trucuri

nr. 6. Compuneți ecuația canonică a unei hiperbole dacă:

1. distanţa dintre focare şi între vârfuri

2. semiaxa reală și excentricitatea;

3. se concentrează pe axă, axa reală este 12, iar axa imaginară este 8.

nr. 7. Construiți o hiperbolă dată de ecuația canonică:

1) 2) .

nr 8. Scrieți ecuația canonică a unei parabole dacă:

1) parabola este situată în semiplanul drept simetric față de axă și parametrul acesteia;

2) parabola este situată în semiplanul stâng simetric față de axă și parametrul său este .

Construiți aceste parabole, focarele și directricele lor.

nr. 9. Determinați tipul dreptei dacă ecuația ei este:

ÎNTREBĂRI DE AUTOTESTARE

1. Vectori în spațiu.

1.1. Ce este un vector?

1.2. Care este mărimea absolută a unui vector?

1.3. Ce tipuri de vectori din spațiu cunoașteți?

1.4. Ce acțiuni poți face cu ei?

1.5. Ce sunt coordonatele vectoriale? Cum să le găsesc?

2. Acțiuni asupra vectorilor specificați prin coordonatele lor.

2.1. Ce acțiuni pot fi efectuate cu vectori dați sub formă de coordonate (reguli, egalități, exemple); cum să găsiți valoarea absolută a unui astfel de vector.

2.2. Proprietăți:

2.2.1 coliniar;

2.2.2 perpendicular;

2.2.3 coplanare;

2.2.4 vectori egali.
(formulări, egalități).

3. Ecuația unei drepte. Probleme aplicate.

3.1. Ce tipuri de ecuații ale unei linii drepte cunoașteți (să puteți scrie și interpreta din înregistrare);

3.2. Cum se examinează pentru paralelism - perpendicularitate două drepte definite de ecuații cu un coeficient unghiular sau ecuații generale?

3.3. Cum să găsiți distanța de la un punct la o linie dintre două puncte?

3.4. Cum să găsești unghiul dintre drepte dat de ecuații de linii generale sau ecuații de pantă?

3.5. Cum să găsiți coordonatele punctului de mijloc al unui segment și lungimea acestui segment?

4. Ecuația unui plan. Probleme aplicate.

4.1. Ce tipuri de ecuații plane cunoașteți (să puteți scrie și interpreta din înregistrare)?

4.2. Cum să examinăm paralelismul și perpendicularitatea liniilor drepte în spațiu?

4.3. Cum să găsiți distanța de la un punct la un plan și unghiul dintre avioane?

4.4. Cum se studiază poziția relativă a unei linii drepte și a unui plan în spațiu?

4.5. Tipuri de ecuație a unei drepte în spațiu: generală, canonică, parametrică, care trece prin două puncte date.

4.6. Cum să găsiți unghiul dintre liniile drepte și distanța dintre punctele din spațiu?

5. Linii de ordinul doi.

5.1. Elipse: definiție, focare, vârfuri, axe majore și minore, raze focale, excentricitate, ecuații directrice, cele mai simple (sau canonice) ecuații ale elipsei; desen.

5.2. Hiperbolă: definiție, focare, vârfuri, axe reale și imaginare, raze focale, excentricitate, ecuații directrice, cele mai simple (sau canonice) ecuații de hiperbolă; desen.

5.3. Parabola: definiție, focalizare, directrice, vârf, parametru, axă de simetrie, cele mai simple (sau canonice) ecuații ale unei parabole; desen.

Notă la 4.1, 4.2, 4.3: Pentru fiecare linie de comandă a 2-a, puteți descrie construcția.

SARCINI DE AUTOTESTARE

1. Puncte date: , unde N este numărul elevului din listă.

3) aflați distanța de la punctul M la planul P.

4. Construiți o dreaptă de ordinul doi dată de ecuația sa canonică:

.

LITERATURĂ

1. Matematică superioară pentru economiști - Manual pentru universități, ed. N.Sh. Kremer et al., Moscova, UNITY, 2003.

2. Barkovsky V.V., Barkovska N.V. - Vischa matematică pentru economiști – Kiev, TsUL, 2002.

3. Suvorov I.F. - Curs de matematică superioară. - M., Liceul, 1967.

4. Tarasov N.P. - Curs de matematică superioară pentru școlile tehnice. - M.; Știință, 1969.

5. Zaitsev I.L. - Elemente de matematică superioară pentru școlile tehnice. - M.; Știință, 1965.

6. Valutse N.N., Diligul G.D. - Matematică pentru școlile tehnice. - M.; Știință, 1990.

7. Shipachev V.S. - Matematică superioară. Manual pentru universități - M.: Liceu, 2003.

Pe parcursul acestui capitol se presupune că s-a ales o anumită scară în plan (în care se află toate cifrele considerate mai jos); Sunt luate în considerare numai sistemele de coordonate dreptunghiulare cu această scară.

§ 1. Parabola

O parabolă este cunoscută cititorului de la un curs de matematică școlar ca o curbă, care este graficul unei funcții

(Fig. 76). (1)

Graficul oricărui trinom pătratic

este și o parabolă; este posibil prin simpla deplasare a sistemului de coordonate (cu un vector OO), adică transformând

asigurați-vă că graficul funcției (în cel de-al doilea sistem de coordonate) coincide cu graficul (2) (în primul sistem de coordonate).

De fapt, să substituim (3) în egalitate (2). Primim

Vrem să alegem astfel încât coeficientul la și termenul liber al polinomului (în raport cu ) din partea dreaptă a acestei egalități să fie egale cu zero. Pentru a face acest lucru, determinăm din ecuație

care dă

Acum stabilim din condiție

în care înlocuim valoarea deja găsită. Primim

Deci, prin intermediul schimbului (3), în care

am trecut la un nou sistem de coordonate, în care ecuația parabolei (2) a luat forma

(Fig. 77).

Să revenim la ecuația (1). Poate servi ca definiție a unei parabole. Să ne amintim proprietățile sale cele mai simple. Curba are o axă de simetrie: dacă un punct satisface ecuația (1), atunci un punct simetric față de punctul M față de axa ordonatelor satisface și ecuația (1) - curba este simetrică față de axa ordonatelor (Fig. 76) .

Dacă , atunci parabola (1) se află în semiplanul superior, având un singur punct comun O cu axa absciselor.

Odată cu o creștere nelimitată a valorii absolute a abscisei, și ordonata crește fără limită. O vedere generală a curbei este prezentată în Fig. 76, a.

Dacă (Fig. 76, b), atunci curba este situată în semiplanul inferior simetric față de axa absciselor față de curbă.

Dacă trecem la un nou sistem de coordonate, obținut din cel vechi prin înlocuirea direcției pozitive a axei ordonatelor cu cea opusă, atunci parabola, care are ecuația y în sistemul vechi, va primi ecuația y în noul sistem. sistem de coordonate. Prin urmare, atunci când studiem parabolele, ne putem limita la ecuațiile (1), în care .

Să schimbăm în cele din urmă numele axelor, adică ne vom muta la un nou sistem de coordonate, în care axa ordonatelor va fi vechea axă a absciselor, iar axa absciselor va fi vechea axă a ordonatelor. În acest nou sistem, ecuația (1) va fi scrisă sub forma

Sau, dacă numărul este notat cu , în forma

Ecuația (4) se numește în geometria analitică ecuația canonică a unei parabole; sistemul de coordonate dreptunghiular în care o parabolă dată are ecuația (4) se numește sistem de coordonate canonic (pentru această parabolă).

Acum vom stabili semnificația geometrică a coeficientului. Pentru a face acest lucru, luăm punctul

numită focarul parabolei (4) și linia dreaptă d, definită de ecuație

Această linie este numită directricea parabolei (4) (vezi Fig. 78).

Fie un punct arbitrar al parabolei (4). Din ecuația (4) rezultă că. Prin urmare, distanța punctului M de directricea d este numărul

Distanța punctului M de focalizarea F este

Dar, prin urmare

Deci, toate punctele M ale parabolei sunt echidistante de focalizarea și directricea acesteia:

În schimb, fiecare punct M care satisface condiția (8) se află pe parabola (4).

Într-adevăr,

Prin urmare,

și, după ce am deschis parantezele și am adus termeni similari,

Am demonstrat că fiecare parabolă (4) este locul punctelor echidistante de focarul F și de directriza d a acestei parabole.

Totodată, am stabilit sensul geometric al coeficientului din ecuația (4): numărul este egal cu distanța dintre focar și directrixa parabolei.

Să presupunem acum că un punct F și o dreaptă d care nu trece prin acest punct sunt date în mod arbitrar pe plan. Să demonstrăm că există o parabolă cu focar F și directrice d.

Pentru a face acest lucru, trageți o dreaptă g prin punctul F (Fig. 79), perpendiculară pe dreapta d; să notăm punctul de intersecție al ambelor drepte cu D; distanța (adică distanța dintre punctul F și linia dreaptă d) va fi notată cu .

Să transformăm linia dreaptă g într-o axă, luând direcția DF pe ea ca pozitivă. Să facem din această axă axa de abscisă a unui sistem de coordonate dreptunghiular, a cărui origine este mijlocul O al segmentului

Apoi linia dreaptă d primește și ecuația .

Acum putem scrie ecuația canonică a parabolei în sistemul de coordonate selectat:

unde punctul F va fi focarul, iar linia dreaptă d va fi directricea parabolei (4).

Am stabilit mai sus că o parabolă este locul punctelor M echidistante de punctul F și dreapta d. Deci, putem da o astfel de definiție geometrică (adică, independentă de orice sistem de coordonate) a unei parabole.

Definiție. O parabolă este locul de puncte echidistante de un punct fix („focalizarea” parabolei) și o linie fixă ​​(„directricea” parabolei).

Notând distanța dintre focar și directriza unei parabole cu , putem găsi întotdeauna un sistem de coordonate dreptunghiular care este canonic pentru o parabolă dată, adică unul în care ecuația parabolei are forma canonică:

În schimb, orice curbă care are o astfel de ecuație într-un sistem de coordonate dreptunghiular este o parabolă (în sensul geometric tocmai stabilit).

Distanța dintre focar și directriza unei parabole se numește parametru focal sau pur și simplu parametrul parabolei.

Linia care trece prin focar perpendicular pe directriza parabolei se numește axa sa focală (sau pur și simplu axa); este axa de simetrie a parabolei - aceasta rezultă din faptul că axa parabolei este axa absciselor în sistemul de coordonate, față de care ecuația parabolei are forma (4).

Dacă un punct satisface ecuația (4), atunci un punct simetric față de punctul M față de axa absciselor satisface și această ecuație.

Punctul de intersecție al unei parabole cu axa ei se numește vârful parabolei; este originea sistemului de coordonate canonic pentru o parabolă dată.

Să dăm o altă interpretare geometrică a parametrului parabolei.

Să trasăm o linie dreaptă prin focarul parabolei, perpendiculară pe axa parabolei; va intersecta parabola în două puncte (vezi Fig. 79) și va determina așa-numita coardă focală a parabolei (adică coarda care trece prin focar paralel cu directriza parabolei). Jumătate din lungimea coardei focale este parametrul parabolei.

De fapt, jumătate din lungimea coardei focale este valoarea absolută a ordonatei oricăruia dintre puncte, abscisa fiecăruia dintre acestea fiind egală cu abscisa focarului, adică. Prin urmare, pentru ordonata fiecărui punct avem

Q.E.D.