Suma primelor 8 numere ale unei progresii aritmetice. Progresie aritmetică
Sau aritmetica este un tip de succesiune numerică ordonată, ale cărei proprietăți sunt studiate într-un curs de algebră școlară. Acest articol discută în detaliu întrebarea cum să găsiți suma unei progresii aritmetice.
Ce fel de progres este aceasta?
Înainte de a trece la întrebarea (cum să găsiți suma unei progresii aritmetice), merită să înțelegeți despre ce vorbim.
Orice succesiune de numere reale care se obține prin adăugarea (scăderea) unei valori din fiecare număr anterior se numește progresie algebrică (aritmetică). Această definiție, atunci când este tradusă în limbaj matematic, ia forma:
Aici i este numărul de serie al elementului din rândul a i. Astfel, cunoscând doar un număr de început, puteți restabili cu ușurință întreaga serie. Parametrul d din formulă se numește diferență de progresie.
Se poate demonstra cu ușurință că pentru seria de numere luate în considerare este valabilă următoarea egalitate:
a n = a 1 + d * (n - 1).
Adică, pentru a găsi valoarea celui de-al n-lea element în ordine, ar trebui să adăugați diferența d la primul element a de 1 n-1 ori.
Care este suma unei progresii aritmetice: formula
Înainte de a da formula pentru suma indicată, merită luat în considerare un caz special simplu. Având în vedere o progresie a numerelor naturale de la 1 la 10, trebuie să găsiți suma lor. Deoarece există puțini termeni în progresia (10), este posibil să se rezolve problema direct, adică să însumăm toate elementele în ordine.
S 10 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55.
Merită să luați în considerare un lucru interesant: deoarece fiecare termen diferă de următorul prin aceeași valoare d = 1, atunci însumarea în perechi a primului cu al zecelea, al doilea cu al nouălea și așa mai departe va da același rezultat. Într-adevăr:
11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.
După cum puteți vedea, există doar 5 dintre aceste sume, adică exact de două ori mai puțin decât numărul de elemente ale seriei. Apoi înmulțind numărul de sume (5) cu rezultatul fiecărei sume (11), veți ajunge la rezultatul obținut în primul exemplu.
Dacă generalizăm aceste argumente, putem scrie următoarea expresie:
S n = n * (a 1 + a n) / 2.
Această expresie arată că nu este deloc necesară însumarea tuturor elementelor dintr-un rând; este suficient să cunoaștem valoarea primului a 1 și a ultimului a n, precum și numărul total de termeni n.
Se crede că Gauss s-a gândit pentru prima dată la această egalitate când a căutat o soluție la o problemă dată de profesorul său: însumați primele 100 de numere întregi.
Suma elementelor de la m la n: formula
Formula dată în paragraful anterior răspunde la întrebarea cum se găsește suma unei progresii aritmetice (primele elemente), dar adesea în probleme este necesară însumarea unei serii de numere la mijlocul progresiei. Cum să o facă?
Cel mai simplu mod de a răspunde la această întrebare este luând în considerare următorul exemplu: să fie necesar să se găsească suma termenilor de la m-a la n-a. Pentru a rezolva problema, ar trebui să prezentați segmentul dat de la m la n al progresiei sub forma unei noi serii de numere. În această reprezentare, al-lea termen a m va fi primul, iar a n va fi numerotat n-(m-1). În acest caz, aplicând formula standard pentru sumă, se va obține următoarea expresie:
S m n = (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.
Exemplu de utilizare a formulelor
Știind cum să găsiți suma unei progresii aritmetice, merită să luați în considerare un exemplu simplu de utilizare a formulelor de mai sus.
Mai jos este o secvență numerică, ar trebui să găsiți suma termenilor săi, începând cu a 5-a și terminând cu a 12-lea:
Numerele date indică faptul că diferența d este egală cu 3. Folosind expresia pentru al n-lea element, puteți găsi valorile termenilor al 5-lea și al 12-lea al progresiei. Se dovedește:
a 5 = a 1 + d * 4 = -4 + 3 * 4 = 8;
a 12 = a 1 + d * 11 = -4 + 3 * 11 = 29.
Cunoscând valorile numerelor de la capetele progresiei algebrice luate în considerare, precum și știind ce numere din seria ocupă acestea, puteți folosi formula pentru suma obținută în paragraful anterior. Se va dovedi:
S 5 12 = (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 = 148.
Este de remarcat faptul că această valoare ar putea fi obținută diferit: mai întâi găsiți suma primelor 12 elemente folosind formula standard, apoi calculați suma primelor 4 elemente folosind aceeași formulă, apoi scădeți pe al doilea din prima sumă.
Care este esența principală a formulei?
Această formulă vă permite să găsiți orice CU NUMĂRUL LUI " n" .
Desigur, trebuie să cunoști și primul termen a 1 si diferenta de progresie d, ei bine, fără acești parametri nu puteți nota o anumită progresie.
Memorarea (sau cribing) acestei formule nu este suficientă. Trebuie să-i înțelegeți esența și să aplicați formula în diverse probleme. Și, de asemenea, să nu uite la momentul potrivit, da...) Cum nu uita- Nu știu. Si aici cum să-ți amintești Dacă este necesar, cu siguranță te voi sfătui. Pentru cei care finalizează lecția până la sfârșit.)
Deci, să ne uităm la formula pentru al n-lea termen al unei progresii aritmetice.
Ce este o formulă în general? Apropo, aruncați o privire dacă nu l-ați citit. Totul este simplu acolo. Rămâne să ne dăm seama ce este al n-lea termen.
Progresia în general poate fi scrisă ca o serie de numere:
un 1, un 2, un 3, un 4, un 5, .....
a 1- denotă primul termen al unei progresii aritmetice, a 3- al treilea membru, a 4- al patrulea și așa mai departe. Dacă suntem interesați de al cincilea mandat, să presupunem că lucrăm cu un 5, dacă o sută douăzecea - s un 120.
Cum îl putem defini în termeni generali? orice termenul unei progresii aritmetice, cu orice număr? Foarte simplu! Ca aceasta:
un n
Asta e al n-lea termen al unei progresii aritmetice. Litera n ascunde toate numerele de membru simultan: 1, 2, 3, 4 și așa mai departe.
Și ce ne oferă un astfel de record? Gândește-te, în loc de un număr au notat o scrisoare...
Această notație ne oferă un instrument puternic pentru a lucra cu progresia aritmetică. Folosind notația un n, putem găsi rapid orice membru orice progresie aritmetică. Și rezolvă o grămadă de alte probleme de progres. Vei vedea singur mai departe.
În formula pentru al n-lea termen al unei progresii aritmetice:
| a n = a 1 + (n-1)d |
a 1- primul termen al unei progresii aritmetice;
n- numarul membrului.
Formula conectează parametrii cheie ai oricărei progresii: un n; a 1; dȘi n. Toate problemele de progresie gravitează în jurul acestor parametri.
Formula al n-lea termen poate fi folosită și pentru a scrie o anumită progresie. De exemplu, problema poate spune că progresia este specificată de condiția:
a n = 5 + (n-1) 2.
O astfel de problemă poate fi o fundătură... Nu există nici o serie, nici o diferență... Dar, comparând condiția cu formula, este ușor de înțeles că în această progresie a 1 =5 și d=2.
Și poate fi și mai rău!) Dacă luăm aceeași condiție: a n = 5 + (n-1) 2, Da, deschideți parantezele și aduceți altele asemănătoare? Obținem o nouă formulă:
a n = 3 + 2n.
Acest Doar nu general, ci pentru o evoluție specifică. Aici se ascunde capcana. Unii oameni cred că primul termen este un trei. Deși în realitate primul termen este cinci... Puțin mai jos vom lucra cu o astfel de formulă modificată.
În problemele de progresie există o altă notație - un n+1. Acesta este, după cum ați ghicit, termenul „n plus primul” al progresiei. Sensul său este simplu și inofensiv.) Acesta este un membru al progresiei al cărui număr este mai mare decât numărul n cu unul. De exemplu, dacă într-o problemă luăm un n al cincilea termen atunci un n+1 va fi al șaselea membru. etc.
Cel mai adesea desemnarea un n+1 găsite în formulele de recurenţă. Nu vă fie frică de acest cuvânt înfricoșător!) Acesta este doar o modalitate de a exprima un membru al unei progresii aritmetice prin cea precedentă. Să presupunem că ni se oferă o progresie aritmetică în această formă, folosind o formulă recurentă:
a n+1 = a n +3
a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8
a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11
Al patrulea - prin al treilea, al cincilea - prin al patrulea și așa mai departe. Cum putem număra imediat, să zicem, al douăzecilea termen? un 20? Dar nu există nicio cale!) Până nu aflăm al 19-lea termen, nu îl putem număra pe al 20-lea. Aceasta este diferența fundamentală dintre formula recurentă și formula celui de-al n-lea termen. Funcționează recurent numai prin anterior termen, iar formula celui de-al n-lea termen este prin primul si permite pe loc găsiți orice membru după numărul său. Fără a calcula întreaga serie de numere în ordine.
Într-o progresie aritmetică, este ușor să transformi o formulă recurentă într-una obișnuită. Numărați o pereche de termeni consecutivi, calculați diferența d, găsiți, dacă este necesar, primul termen a 1, scrieți formula în forma ei obișnuită și lucrați cu ea. Astfel de sarcini sunt adesea întâlnite în Academia de Științe de Stat.
Aplicarea formulei pentru al n-lea termen al unei progresii aritmetice.
Mai întâi, să ne uităm la aplicarea directă a formulei. La sfârșitul lecției anterioare a apărut o problemă:
Este dată o progresie aritmetică (a n). Găsiți un 121 dacă a 1 =3 și d=1/6.
Această problemă poate fi rezolvată fără formule, pur și simplu pe baza semnificației unei progresii aritmetice. Adăugați și adăugați... O oră sau două.)
Și conform formulei, soluția va dura mai puțin de un minut. Puteți să-l cronometrați.) Să decidem.
Condițiile oferă toate datele pentru utilizarea formulei: a 1 =3, d=1/6. Rămâne să ne dăm seama ce este egal n. Nici o problemă! Trebuie să găsim un 121. Deci scriem:
Vă rugam să acordați atentie! În loc de index n a apărut un anumit număr: 121. Ceea ce este destul de logic.) Ne interesează membrul progresiei aritmetice. numărul o sută douăzeci şi unu. Acesta va fi al nostru n. Acesta este sensul n= 121 vom înlocui în continuare în formulă, între paranteze. Înlocuim toate numerele în formulă și calculăm:
a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23
Asta este. La fel de repede se putea găsi termenul cinci sute al zecelea, iar o mie și al treilea, oricare. punem in schimb n numărul dorit în indexul literei " A"și între paranteze, și numărăm.
Permiteți-mi să vă reamintesc ideea: această formulă vă permite să găsiți orice termen de progresie aritmetică CU NUMĂRUL LUI " n" .
Să rezolvăm problema într-un mod mai viclean. Să întâlnim următoarea problemă:
Aflați primul termen al progresiei aritmetice (a n), dacă a 17 =-2; d=-0,5.
Dacă aveți dificultăți, vă spun primul pas. Scrieți formula pentru al n-lea termen al unei progresii aritmetice! Da Da. Scrieți cu mâinile, chiar în caiet:
| a n = a 1 + (n-1)d |
Și acum, privind literele formulei, înțelegem ce date avem și ce lipsește? Disponibil d=-0,5, există un al șaptesprezecelea membru... Asta e? Dacă crezi că asta este, atunci nu vei rezolva problema, da...
Mai avem un număr n! In conditie a 17 =-2 ascuns doi parametri. Aceasta este atât valoarea celui de-al șaptesprezecelea termen (-2), cât și numărul său (17). Acestea. n=17. Acest „fleeac” alunecă adesea pe lângă cap și fără el, (fără „fleeac”, nu cap!) problema nu poate fi rezolvată. Deși... și fără cap.)
Acum putem pur și simplu să substituim datele noastre în formula:
a 17 = a 1 + (17-1)·(-0,5)
O da, un 17știm că este -2. Bine, hai să înlocuim:
-2 = a 1 + (17-1)·(-0,5)
Asta e practic tot. Rămâne să exprimăm primul termen al progresiei aritmetice din formulă și să-l calculăm. Raspunsul va fi: a 1 = 6.
Această tehnică - scrierea unei formule și pur și simplu înlocuirea datelor cunoscute - este de mare ajutor în sarcini simple. Ei bine, desigur, trebuie să poți exprima o variabilă dintr-o formulă, dar ce să faci!? Fără această abilitate, matematica nu poate fi studiată deloc...
Un alt puzzle popular:
Aflați diferența progresiei aritmetice (a n), dacă a 1 =2; a 15 =12.
Ce facem? Vei fi surprins, noi scriem formula!)
| a n = a 1 + (n-1)d |
Să luăm în considerare ceea ce știm: a 1 =2; a 15 =12; și (voi evidenția în special!) n=15. Simțiți-vă liber să înlocuiți acest lucru în formula:
12=2 + (15-1)d
Facem aritmetica.)
12=2 + 14d
d=10/14 = 5/7
Acesta este răspunsul corect.
Deci, sarcinile pentru un n, un 1Și d hotărât. Tot ce rămâne este să înveți cum să găsești numărul:
Numărul 99 este un membru al progresiei aritmetice (a n), unde a 1 =12; d=3. Găsiți numărul acestui membru.
Înlocuim cantitățile cunoscute de noi în formula celui de-al n-lea termen:
a n = 12 + (n-1) 3
La prima vedere, există două cantități necunoscute aici: un n și n. Dar un n- acesta este un membru al progresiei cu un număr n...Și îl cunoaștem pe acest membru al progresiei! Este 99. Nu-i știm numărul. n, Deci, acest număr este ceea ce trebuie să găsiți. Inlocuim termenul progresiei 99 in formula:
99 = 12 + (n-1) 3
Exprimăm din formulă n, noi gândim. Primim raspunsul: n=30.
Și acum o problemă pe același subiect, dar mai creativ):
Determinați dacă numărul 117 este membru al progresiei aritmetice (a n):
-3,6; -2,4; -1,2 ...
Să scriem din nou formula. Ce, nu există parametri? Hm... De ce ni se dau ochi?) Vedem primul termen al progresiei? V-om vedea. Acesta este -3,6. Puteți scrie în siguranță: a 1 = -3,6. Diferență d Poți spune din serial? Este ușor dacă știi care este diferența unei progresii aritmetice:
d = -2,4 - (-3,6) = 1,2
Deci, am făcut cel mai simplu lucru. Rămâne să ne ocupăm de numărul necunoscut n iar numărul de neînțeles 117. În problema anterioară, cel puțin se știa că era dat termenul progresiei. Dar aici nici nu știm... Ce să facem!? Ei bine, cum să fii, cum să fii... Porniți-vă abilitățile creative!)
Noi presupune că 117 este, până la urmă, un membru al progresiei noastre. Cu un număr necunoscut n. Și, la fel ca în problema anterioară, să încercăm să găsim acest număr. Acestea. scriem formula (da, da!)) și înlocuim numerele noastre:
117 = -3,6 + (n-1) 1,2
Din nou exprimăm din formulăn, numărăm și obținem:
Hopa! Numărul s-a dovedit fracționat! O sută și jumătate. Și numere fracționale în progresii nu poate fi. Ce concluzie putem trage? Da! Numărul 117 nu este membru al progresiei noastre. Este undeva între termenii o sută și primul și o sută și al doilea. Dacă numărul s-a dovedit natural, adică este un întreg pozitiv, atunci numărul ar fi un membru al progresiei cu numărul găsit. Și în cazul nostru, răspunsul la problemă va fi: Nu.
O sarcină bazată pe o versiune reală a GIA:
O progresie aritmetică este dată de condiția:
a n = -4 + 6,8n
Găsiți primul și al zecelea termen al progresiei.
Aici progresia este stabilită într-un mod neobișnuit. Un fel de formulă... Se întâmplă.) Cu toate acestea, această formulă (cum am scris mai sus) - de asemenea formula pentru al n-lea termen al unei progresii aritmetice! Ea permite, de asemenea găsiți orice membru al progresiei după numărul său.
Căutăm primul membru. Cel care gândește. că primul termen este minus patru este fatal greșit!) Deoarece formula din problemă este modificată. Primul termen al progresiei aritmetice în el ascuns. Este în regulă, îl vom găsi acum.)
La fel ca în problemele anterioare, înlocuim n=1în această formulă:
a 1 = -4 + 6,8 1 = 2,8
Aici! Primul termen este 2,8, nu -4!
Căutăm al zecelea termen în același mod:
a 10 = -4 + 6,8 10 = 64
Asta este.
Și acum, pentru cei care au citit aceste rânduri, bonusul promis.)
Să presupunem că, într-o situație dificilă de luptă a examenului de stat sau a examenului unificat de stat, ați uitat formula utilă pentru al n-lea termen al unei progresii aritmetice. Îmi amintesc ceva, dar cumva nesigur... Or n acolo, sau n+1 sau n-1... cum sa fii!?
Calm! Această formulă este ușor de obținut. Nu este foarte strict, dar cu siguranță este suficient pentru încredere și pentru decizia corectă!) Pentru a trage o concluzie, este suficient să vă amintiți semnificația elementară a unei progresii aritmetice și să aveți câteva minute de timp. Trebuie doar să desenezi o imagine. Pentru claritate.
Desenați o linie numerică și marcați-o pe prima. al doilea, al treilea etc. membrii. Și notăm diferența dîntre membri. Ca aceasta:
Ne uităm la imagine și ne gândim: ce înseamnă al doilea termen? Al doilea unu d:
A 2 =a 1 + 1 d
Care este al treilea termen? Al treilea termenul este egal cu primul termen plus Două d.
A 3 =a 1 + 2 d
Ai inteles? Nu degeaba evidențiez câteva cuvinte cu caractere aldine. Bine, încă un pas).
Care este al patrulea termen? Al patrulea termenul este egal cu primul termen plus Trei d.
A 4 =a 1 + 3 d
Este timpul să ne dăm seama că numărul de lacune, adică. d, Mereu cu unul mai puțin decât numărul membrului pe care îl căutați n. Adică la număr n, numărul de spații voi n-1. Prin urmare, formula va fi (fără variații!):
| a n = a 1 + (n-1)d |
În general, imaginile vizuale sunt de mare ajutor în rezolvarea multor probleme de matematică. Nu neglija pozele. Dar dacă este dificil să desenezi o imagine, atunci... doar o formulă!) În plus, formula celui de-al n-lea termen vă permite să conectați întregul arsenal puternic al matematicii la soluție - ecuații, inegalități, sisteme etc. Nu poți introduce o imagine în ecuație...
Sarcini pentru soluție independentă.
A încălzi:
1. În progresia aritmetică (a n) a 2 =3; a 5 =5,1. Găsiți un 3.
Sugestie: conform imaginii, problema poate fi rezolvată în 20 de secunde... Conform formulei, se dovedește mai dificil. Dar pentru stăpânirea formulei, este mai util.) În Secțiunea 555, această problemă este rezolvată folosind atât imaginea, cât și formula. Simte diferenta!)
Și aceasta nu mai este o încălzire.)
2. În progresia aritmetică (a n) a 85 =19,1; a 236 =49, 3. Aflați un 3 .
Ce, nu vrei să faci un desen?) Desigur! Mai bine dupa formula, da...
3. Progresia aritmetică este dată de condiția:a 1 = -5,5; a n+1 = a n +0,5. Găsiți termenul o sută douăzeci și cinci al acestei progresii.
În această sarcină, progresia este specificată în mod recurent. Dar numărând până la al o sută douăzeci și cinci de termen... Nu toată lumea este capabilă de o asemenea ispravă.) Dar formula celui de-al n-lea termen este în puterea tuturor!
4. Având în vedere o progresie aritmetică (a n):
-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....
Aflați numărul celui mai mic termen pozitiv al progresiei.
5. Conform condițiilor sarcinii 4, găsiți suma celor mai mici termeni pozitivi și cei mai mari negativi ai progresiei.
6. Produsul termenilor al cincilea și al doisprezecelea al unei progresii aritmetice crescătoare este egal cu -2,5, iar suma celor trei și al unsprezecelea termeni este egală cu zero. Găsiți un 14.
Nu este cea mai ușoară sarcină, da...) Metoda „degetului” nu va funcționa aici. Va trebui să scrieți formule și să rezolvați ecuații.
Răspunsuri (în dezordine):
3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5
S-a întâmplat? E dragut!)
Nu merge totul? Se întâmplă. Apropo, există un punct subtil în ultima sarcină. Va fi necesară atenție când citiți problema. Și logica.
Soluția tuturor acestor probleme este discutată în detaliu în Secțiunea 555. Și elementul de fantezie pentru al patrulea și punctul subtil pentru al șaselea și abordări generale pentru rezolvarea oricăror probleme care implică formula celui de-al n-lea termen - totul este descris. Vă recomand.
Daca va place acest site...
Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)
Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Să învățăm - cu interes!)
Vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.
I. V. Yakovlev | Materiale de matematică | MathUs.ru
Progresie aritmetică
O progresie aritmetică este un tip special de secvență. Prin urmare, înainte de a defini progresia aritmetică (și apoi geometrică), trebuie să discutăm pe scurt conceptul important de secvență de numere.
Urmare
Imaginează-ți un dispozitiv pe ecranul căruia anumite numere sunt afișate unul după altul. Să spunem 2; 7; 13; 1; 6; 0; 3; : : : Acest set de numere este tocmai un exemplu de succesiune.
Definiție. O secvență de numere este un set de numere în care fiecărui număr i se poate atribui un număr unic (adică asociat cu un singur număr natural)1. Numărul n se numește al n-lea termen al șirului.
Deci, în exemplul de mai sus, primul număr este 2, acesta este primul membru al secvenței, care poate fi notat cu a1; numărul cinci are numărul 6 este al cincilea termen al șirului, care poate fi notat cu a5. În general, al n-lea termen al unei secvențe este notat cu un (sau bn, cn etc.).
O situație foarte convenabilă este atunci când al n-lea termen al secvenței poate fi specificat printr-o formulă. De exemplu, formula an = 2n 3 specifică succesiunea: 1; 1; 3; 5; 7; : : : Formula an = (1)n specifică succesiunea: 1; 1; 1; 1; : : :
Nu orice set de numere este o secvență. Astfel, un segment nu este o succesiune; conține „prea multe” numere pentru a fi renumerotate. Mulțimea R a tuturor numerelor reale nu este, de asemenea, o secvență. Aceste fapte sunt dovedite în cursul analizei matematice.
Progresia aritmetică: definiții de bază
Acum suntem gata să definim o progresie aritmetică.
Definiție. O progresie aritmetică este o succesiune în care fiecare termen (începând cu al doilea) este egal cu suma termenului anterior și a unui număr fix (numit diferența progresiei aritmetice).
De exemplu, secvența 2; 5; 8; unsprezece; : : : este o progresie aritmetică cu primul termen 2 și diferența 3. Secvența 7; 2; 3; 8; : : : este o progresie aritmetică cu primul termen 7 și diferența 5. Secvența 3; 3; 3; : : : este o progresie aritmetică cu o diferență egală cu zero.
Definiție echivalentă: șirul an se numește progresie aritmetică dacă diferența an+1 an este o valoare constantă (independentă de n).
O progresie aritmetică se numește crescătoare dacă diferența este pozitivă și descrescătoare dacă diferența este negativă.
1 Dar iată o definiție mai concisă: o succesiune este o funcție definită pe mulțimea numerelor naturale. De exemplu, o succesiune de numere reale este o funcție f: N ! R.
În mod implicit, secvențele sunt considerate infinite, adică care conțin un număr infinit de numere. Dar nimeni nu ne deranjează să luăm în considerare secvențe finite; de fapt, orice set finit de numere poate fi numită o secvență finită. De exemplu, secvența finală este 1; 2; 3; 4; 5 este format din cinci numere.
Formula pentru al n-lea termen al unei progresii aritmetice
Este ușor de înțeles că o progresie aritmetică este complet determinată de două numere: primul termen și diferența. Prin urmare, se pune întrebarea: cum, cunoscând primul termen și diferența, găsim un termen arbitrar al unei progresii aritmetice?
Nu este dificil să obțineți formula necesară pentru al n-lea termen al unei progresii aritmetice. Lasă an
progresie aritmetică cu diferență d. Avem: | |
an+1 = an + d (n = 1; 2; : : :): | |
În special, scriem: | |
a2 = a1 + d; | |
a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d; | |
a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d; | |
și acum devine clar că formula pentru an este: | |
an = a1 + (n 1)d: |
Problema 1. În progresia aritmetică 2; 5; 8; unsprezece; : : : găsiți formula pentru al n-lea termen și calculați al sutelea termen.
Soluţie. Conform formulei (1) avem:
an = 2 + 3(n 1) = 3n 1:
a100 = 3 100 1 = 299:
Proprietatea și semnul progresiei aritmetice
Proprietatea progresiei aritmetice. În progresie aritmetică an pentru orice
Cu alte cuvinte, fiecare membru al unei progresii aritmetice (începând de la al doilea) este media aritmetică a membrilor săi vecini.
Dovada. Avem: | ||||
a n 1+ a n+1 | (an d) + (an + d) | |||
care este ceea ce s-a cerut.
Mai general, progresia aritmetică an satisface egalitatea
a n = a n k+ a n+k
pentru orice n > 2 și orice k natural< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).
Se pare că formula (2) servește nu numai ca o condiție necesară, ci și ca o condiție suficientă pentru ca șirul să fie o progresie aritmetică.
Semnul progresiei aritmetice. Dacă egalitatea (2) este valabilă pentru toate n > 2, atunci șirul an este o progresie aritmetică.
Dovada. Să rescriem formula (2) după cum urmează:
a na n 1= a n+1a n:
Din aceasta putem observa că diferența an+1 an nu depinde de n și asta înseamnă tocmai că șirul an este o progresie aritmetică.
Proprietatea și semnul unei progresii aritmetice pot fi formulate sub forma unui enunț; Pentru comoditate, vom face acest lucru pentru trei numere (aceasta este situația care apare adesea în probleme).
Caracterizarea unei progresii aritmetice. Trei numere a, b, c formează o progresie aritmetică dacă și numai dacă 2b = a + c.
Problema 2. (MSU, Facultatea de Economie, 2007) Trei numere 8x, 3 x2 și 4 în ordinea indicată formează o progresie aritmetică descrescătoare. Găsiți x și indicați diferența acestei progresii.
Soluţie. Prin proprietatea progresiei aritmetice avem:
2(3 x2 ) = 8x 4 , 2x2 + 8x 10 = 0 , x2 + 4x 5 = 0 , x = 1; x = 5:
Dacă x = 1, atunci obținem o progresie descrescătoare de 8, 2, 4 cu o diferență de 6. Dacă x = 5, atunci obținem o progresie crescătoare de 40, 22, 4; acest caz nu este potrivit.
Răspuns: x = 1, diferența este 6.
Suma primilor n termeni ai unei progresii aritmetice
Legenda spune că într-o zi profesorul le-a spus copiilor să găsească suma numerelor de la 1 la 100 și s-a așezat în liniște să citească ziarul. Cu toate acestea, în câteva minute, un băiat a spus că a rezolvat problema. Acesta a fost Carl Friedrich Gauss, în vârstă de 9 ani, mai târziu unul dintre cei mai mari matematicieni din istorie.
Ideea micuțului Gauss a fost următoarea. Lăsa
S = 1 + 2 + 3 + : : : + 98 + 99 + 100:
Să scriem această sumă în ordine inversă:
S = 100 + 99 + 98 + : : : + 3 + 2 + 1;
și adăugați aceste două formule:
2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):
Fiecare termen dintre paranteze este egal cu 101 și există 100 de astfel de termeni în total.
2S = 101 100 = 10100;
Folosim această idee pentru a deriva formula sumei
S = a1 + a2 + : : : + an + a n n: (3)
O modificare utilă a formulei (3) se obține dacă înlocuim formula celui de-al n-lea termen an = a1 + (n 1)d în ea:
2a1 + (n 1)d | |||||
Problema 3. Aflați suma tuturor numerelor pozitive din trei cifre divizibile cu 13.
Soluţie. Numerele din trei cifre care sunt multipli ai lui 13 formează o progresie aritmetică, primul termen fiind 104 și diferența fiind 13; Al n-lea termen al acestei progresii are forma:
an = 104 + 13(n 1) = 91 + 13n:
Să aflăm câți termeni conține progresia noastră. Pentru a face acest lucru, rezolvăm inegalitatea:
un 6 999; 91 + 13n 6 999;
n 6 908 13 = 6911 13; n 6 69:
Deci, sunt 69 de membri în progresul nostru. Folosind formula (4) găsim cantitatea necesară:
S = 2 104 + 68 13 69 = 37674: 2
Progresii aritmetice și geometrice
Informații teoretice
Informații teoretice
Progresie aritmetică |
Progresie geometrică |
|
Definiție |
Progresie aritmetică un n este o succesiune în care fiecare membru, începând cu al doilea, este egal cu membrul anterior adăugat la același număr d (d- diferenta de progresie) |
Progresie geometrică b n este o succesiune de numere diferite de zero, fiecare termen al cărora, începând cu al doilea, este egal cu termenul anterior înmulțit cu același număr q (q- numitorul progresiei) |
Formula recurentei |
Pentru orice natural n |
Pentru orice natural n |
Formula al n-lea termen |
a n = a 1 + d (n – 1) |
b n = b 1 ∙ q n - 1 , b n ≠ 0 |
| Proprietate caracteristică |  |
|
| Suma primilor n termeni |  |
 |
Exemple de sarcini cu comentarii
Exercitiul 1
În progresie aritmetică ( un n) a 1 = -6, a 2
Conform formulei celui de-al n-lea termen:
un 22 = a 1+ d (22 - 1) = a 1+ 21 d
După condiție:
a 1= -6, atunci un 22= -6 + 21 d .
Este necesar să găsiți diferența de progresii:
d = a 2 – a 1 = -8 – (-6) = -2
un 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.
Răspuns : un 22 = -48.
Sarcina 2
Aflați al cincilea termen al progresiei geometrice: -3; 6;....
Prima metodă (folosind formula n termeni)
Conform formulei pentru al n-lea termen al unei progresii geometrice:
b 5 = b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.
Deoarece b 1 = -3,
A doua metodă (folosind formula recurentă)
Deoarece numitorul progresiei este -2 (q = -2), atunci:
b 3 = 6 ∙ (-2) = -12;
b 4 = -12 ∙ (-2) = 24;
b 5 = 24 ∙ (-2) = -48.
Răspuns : b 5 = -48.
Sarcina 3
În progresie aritmetică ( a n ) a 74 = 34; un 76= 156. Găsiți al șaptezeci și cincilea termen al acestei progresii.
Pentru o progresie aritmetică, proprietatea caracteristică are forma 
.
Prin urmare:
.
Să înlocuim datele în formula:
Raspuns: 95.
Sarcina 4
În progresie aritmetică ( a n ) a n= 3n - 4. Aflați suma primilor șaptesprezece termeni.
Pentru a afla suma primilor n termeni ai unei progresii aritmetice, se folosesc două formule:
.
Care dintre ele este mai convenabil de utilizat în acest caz?
Prin condiție, formula pentru al n-lea termen al progresiei inițiale este cunoscută ( un n) un n= 3n - 4. Puteți găsi imediat și a 1, Și un 16 fără a găsi d. Prin urmare, vom folosi prima formulă.
Raspuns: 368.
Sarcina 5
În progresie aritmetică ( un n) a 1 = -6; a 2= -8. Găsiți termenul douăzeci și doi al progresiei.
Conform formulei celui de-al n-lea termen:
a 22 = a 1 + d (22 – 1) = a 1+ 21d.
După condiție, dacă a 1= -6, atunci un 22= -6 + 21d . Este necesar să găsiți diferența de progresii:
d = a 2 – a 1 = -8 – (-6) = -2
un 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.
Răspuns : un 22 = -48.
Sarcina 6
Se scriu mai mulți termeni consecutivi ai progresiei geometrice:
Găsiți termenul progresiei etichetat x.
Când rezolvăm, vom folosi formula pentru al n-lea termen b n = b 1 ∙ q n - 1 pentru progresii geometrice. Primul termen al progresiei. Pentru a găsi numitorul progresiei q, trebuie să luați oricare dintre termenii dați ai progresiei și să împărțiți la cel anterior. În exemplul nostru, putem lua și împărți prin. Obținem că q = 3. În loc de n, înlocuim 3 în formulă, deoarece este necesar să găsim al treilea termen al unei progresii geometrice date.
Înlocuind valorile găsite în formulă, obținem:
.
Răspuns : .
Sarcina 7
Din progresiile aritmetice date de formula celui de-al n-lea termen, selectați-l pe cel pentru care este îndeplinită condiția un 27 > 9:
Deoarece condiția dată trebuie îndeplinită pentru al 27-lea termen al progresiei, înlocuim 27 în loc de n în fiecare dintre cele patru progresii. În a 4-a progresie obținem:
.
Raspuns: 4.
Sarcina 8
În progresie aritmetică a 1= 3, d = -1,5. Specificați cea mai mare valoare a lui n pentru care este valabilă inegalitatea un n > -6.
Instrucțiuni
O progresie aritmetică este o succesiune de forma a1, a1+d, a1+2d..., a1+(n-1)d. Pasul numărul d progresie.Este evident că generalul unui n-lea termen arbitrar al aritmeticii progresie are forma: An = A1+(n-1)d. Apoi cunoașterea unuia dintre membri progresie, membru progresie si pas progresie, puteți, adică numărul membrului de progres. Evident, acesta va fi determinat prin formula n = (An-A1+d)/d.
Să se cunoască acum al-lea termen progresieși un alt membru progresie- n-lea, dar n , ca în cazul precedent, dar se știe că n și m nu coincid. progresie poate fi calculat folosind formula: d = (An-Am)/(n-m). Atunci n = (An-Am+md)/d.
Dacă se cunoaşte suma mai multor elemente ale unei ecuaţii aritmetice progresie, precum și primul și ultimul său, atunci se poate determina și numărul acestor elemente.Suma aritmeticii progresie va fi egal cu: S = ((A1+An)/2)n. Atunci n = 2S/(A1+An) - chdenov progresie. Folosind faptul că An = A1+(n-1)d, această formulă poate fi rescrisă ca: n = 2S/(2A1+(n-1)d). Din aceasta putem exprima n prin rezolvarea unei ecuații pătratice.
O secvență aritmetică este un set ordonat de numere, fiecare membru al căruia, cu excepția primului, diferă de cel precedent cu aceeași cantitate. Această valoare constantă se numește diferența progresiei sau pasul acesteia și poate fi calculată din termenii cunoscuți ai progresiei aritmetice.
Instrucțiuni
Dacă din condițiile problemei sunt cunoscute valorile primului și celui de-al doilea sau a oricărei alte perechi de termeni adiacenți, pentru a calcula diferența (d) pur și simplu scădeți-l pe cel anterior din termenul următor. Valoarea rezultată poate fi fie un număr pozitiv, fie un număr negativ - depinde dacă progresia este în creștere. În formă generală, scrieți soluția pentru o pereche arbitrară (aᵢ și aᵢ₊₁) de termeni vecini ai progresiei, după cum urmează: d = aᵢ₊₁ - aᵢ.
Pentru o pereche de termeni ai unei astfel de progresii, dintre care unul este primul (a₁), iar celălalt este oricare altul ales în mod arbitrar, este de asemenea posibil să se creeze o formulă pentru găsirea diferenței (d). Cu toate acestea, în acest caz, numărul de serie (i) al unui membru arbitrar selectat al secvenței trebuie să fie cunoscut. Pentru a calcula diferența, adăugați ambele numere și împărțiți rezultatul rezultat la numărul ordinal al unui termen arbitrar redus cu unu. În general, scrieți această formulă după cum urmează: d = (a₁+ aᵢ)/(i-1).
Dacă, pe lângă un membru arbitrar al unei progresii aritmetice cu numărul ordinal i, se cunoaște un alt membru cu numărul ordinal u, modificați în mod corespunzător formula din pasul anterior. În acest caz, diferența (d) a progresiei va fi suma acestor doi termeni împărțită la diferența numerelor lor ordinale: d = (aᵢ+aᵥ)/(i-v).
Formula de calcul a diferenței (d) devine oarecum mai complicată dacă condițiile problemei dau valoarea primului său termen (a₁) și suma (Sᵢ) unui număr dat (i) a primilor termeni ai șirului aritmetic. Pentru a obține valoarea dorită, împărțiți suma la numărul de termeni care o compun, scădeți valoarea primului număr din succesiune și dublați rezultatul. Împărțiți valoarea rezultată la numărul de termeni care alcătuiesc suma redusă cu unu. În general, scrieți formula pentru calcularea discriminantului după cum urmează: d = 2*(Sᵢ/i-a₁)/(i-1).
