Ajutor la Tele2, tarife, intrebari

Deja în școala elementară, elevii sunt expuși la fracții. Și apoi apar în fiecare subiect. Nu poți uita acțiunile cu aceste numere. Prin urmare, trebuie să cunoașteți toate informațiile despre fracțiile ordinare și zecimale. Aceste concepte nu sunt complicate, principalul lucru este să înțelegeți totul în ordine.

De ce sunt necesare fracții?

Lumea din jurul nostru este formată din obiecte întregi. Prin urmare, nu este nevoie de acțiuni. Dar viața de zi cu zi îi împinge în mod constant pe oameni să lucreze cu părți ale obiectelor și lucrurilor.

De exemplu, ciocolata este formată din mai multe bucăți. Luați în considerare o situație în care țigla lui este formată din douăsprezece dreptunghiuri. Dacă îl împărțiți în două, obțineți 6 părți. Poate fi împărțit cu ușurință în trei. Dar nu va fi posibil să oferi cinci persoane un număr întreg de felii de ciocolată.

Apropo, aceste felii sunt deja fracțiuni. Și împărțirea lor ulterioară duce la apariția unor numere mai complexe.

Ce este o „fracție”?

Acesta este un număr format din părți ale unei unități. În exterior, arată ca două numere separate printr-o orizontală sau o oblică. Această caracteristică se numește fracțional. Numărul scris în partea de sus (stânga) se numește numărător. Ceea ce este în jos (dreapta) este numitorul.

În esență, slash-ul se dovedește a fi un semn de divizare. Adică, numărătorul poate fi numit dividend, iar numitorul poate fi numit divizor.

Ce fracții există?

În matematică există doar două tipuri: fracții ordinare și zecimale. Elevii se familiarizează cu primii din școala elementară, numindu-i pur și simplu „fracții”. Acesta din urmă se va învăța în clasa a V-a. Atunci apar aceste nume.

Fracțiile comune sunt toate cele care sunt scrise ca două numere separate printr-o linie. De exemplu, 4/7. O zecimală este un număr în care partea fracționară are o notație pozițională și este separată de numărul întreg printr-o virgulă. De exemplu, 4.7. Elevii trebuie să înțeleagă clar că cele două exemple date sunt numere complet diferite.

Fiecare fracție simplă poate fi scrisă ca zecimală. Această afirmație este aproape întotdeauna adevărată invers. Există reguli care vă permit să scrieți o fracție zecimală ca fracție comună.

Ce subtipuri au aceste tipuri de fracții?

Este mai bine să începeți în ordine cronologică, pe măsură ce sunt studiate. Fracțiile comune sunt pe primul loc. Dintre acestea se pot distinge 5 subspecii.

Corect. Numătorul său este întotdeauna mai mic decât numitorul său.

Gresit. Numătorul său este mai mare sau egal cu numitorul său.

Reductibil/ireductibil. Se poate dovedi a fi corect sau greșit. Un alt lucru important este dacă numărătorul și numitorul au factori comuni. Dacă există, atunci este necesar să împărțiți ambele părți ale fracției cu ele, adică să o reduceți.

Amestecat. Un număr întreg este alocat părții sale fracționale obișnuite (neregulate). Mai mult, este mereu în stânga.

Compozit. Este format din două fracții împărțite între ele. Adică conține trei linii fracționale simultan.

Fracțiile zecimale au doar două subtipuri:

finit, adică unul a cărui parte fracțională este limitată (are un capăt);

infinit - un număr ale cărui cifre după virgulă zecimală nu se termină (pot fi scrise la nesfârșit).

Cum se transformă o fracție zecimală într-o fracție comună?

Dacă acesta este un număr finit, atunci se aplică o asociere pe baza regulii - după cum aud, așa că scriu. Adică, trebuie să o citiți corect și să o scrieți, dar fără virgulă, dar cu o bară fracțională.

Ca un indiciu despre numitorul necesar, trebuie să vă amintiți că este întotdeauna unul și mai multe zerouri. Trebuie să scrieți atâtea dintre acestea din urmă câte cifre există în partea fracționară a numărului în cauză.

Cum se transformă fracțiile zecimale în fracții obișnuite dacă partea lor întreagă lipsește, adică egală cu zero? De exemplu, 0,9 sau 0,05. După aplicarea regulii specificate, se dovedește că trebuie să scrieți zero numere întregi. Dar nu este indicat. Tot ce rămâne este să notăm părțile fracționale. Primul număr va avea numitorul 10, al doilea va avea numitorul 100. Adică, exemplele date vor avea următoarele numere ca răspuns: 9/10, 5/100. Mai mult, se pare că acesta din urmă poate fi redus cu 5. Prin urmare, rezultatul pentru acesta trebuie scris ca 1/20.

Cum puteți converti o fracție zecimală într-o fracție obișnuită dacă partea sa întreagă este diferită de zero? De exemplu, 5.23 sau 13.00108. În ambele exemple, întreaga parte este citită și valoarea ei este scrisă. În primul caz este 5, în al doilea este 13. Apoi trebuie să treceți la partea fracțională. Aceeași operațiune ar trebui să fie efectuată cu ei. Primul număr apare 23/100, al doilea - 108/100000. A doua valoare trebuie redusă din nou. Răspunsul oferă următoarele fracții mixte: 5 23/100 și 13 27/25000.

Cum se transformă o fracție zecimală infinită într-o fracție obișnuită?

Dacă nu este periodică, atunci o astfel de operație nu va fi posibilă. Acest fapt se datorează faptului că fiecare fracție zecimală este întotdeauna convertită într-o fracție finită sau periodică.

Singurul lucru pe care îl poți face cu o astfel de fracție este rotunjirea ei. Dar atunci zecimala va fi aproximativ egală cu acel infinit. Poate fi deja transformat într-unul obișnuit. Dar procesul invers: convertirea în zecimală nu va da niciodată valoarea inițială. Adică, fracțiile neperiodice infinite nu sunt convertite în fracții obișnuite. Acest lucru trebuie amintit.

Cum se scrie o fracție periodică infinită ca fracție obișnuită?

În aceste numere, există întotdeauna una sau mai multe cifre după virgulă zecimală care se repetă. Ele sunt numite o perioadă. De exemplu, 0,3(3). Aici „3” este în perioada. Ele sunt clasificate drept raționale deoarece pot fi transformate în fracții obișnuite.

Cei care au întâlnit fracții periodice știu că acestea pot fi pure sau amestecate. În primul caz, punctul începe imediat de la virgulă. În al doilea, partea fracționată începe cu câteva numere, iar apoi începe repetarea.

Regula după care trebuie să scrieți o zecimală infinită ca fracție comună va fi diferită pentru cele două tipuri de numere indicate. Este destul de ușor să scrieți fracții periodice pure ca fracții obișnuite. Ca și în cazul celor finite, acestea trebuie convertite: notați perioada la numărător, iar numitorul va fi numărul 9, repetat de câte ori numărul de cifre conține perioada.

De exemplu, 0,(5). Numărul nu are o parte întreagă, așa că trebuie să începeți imediat cu partea fracțională. Scrie 5 ca numărător și 9 ca numitor, adică răspunsul va fi fracția 5/9.

Regula despre cum se scrie o fracție periodică zecimală obișnuită care este amestecată.

Uită-te la durata perioadei. Cam atat va avea numitorul.

Notează numitorul: primele nouă, apoi zerouri.

Pentru a determina numărătorul, trebuie să scrieți diferența dintre două numere. Toate numerele de după virgulă vor fi reduse, împreună cu punctul. Deductibilă - este fără punct.

De exemplu, 0,5(8) - scrieți fracția zecimală periodică ca fracție comună. Partea fracțională dinaintea punctului conține o cifră. Deci va fi un zero. Există, de asemenea, un singur număr în perioada - 8. Adică există doar un nouă. Adică trebuie să scrieți 90 la numitor.

Pentru a determina numărătorul, trebuie să scădeți 5 din 58. Rezultă 53. De exemplu, ar trebui să scrieți răspunsul ca 53/90.

Cum se convertesc fracțiile în zecimale?

Cea mai simplă opțiune este un număr al cărui numitor este numărul 10, 100 etc. Apoi numitorul este pur și simplu aruncat și o virgulă este plasată între părțile fracționale și întregi.

Există situații în care numitorul se transformă ușor în 10, 100 etc. De exemplu, numerele 5, 20, 25. Este suficient să le înmulțim cu 2, 5 și, respectiv, 4. Trebuie doar să înmulțiți nu numai numitorul, ci și numărătorul cu același număr.

Pentru toate celelalte cazuri, o regulă simplă este utilă: împărțiți numărătorul la numitor. În acest caz, puteți obține două răspunsuri posibile: o fracție zecimală finită sau periodică.

Operații cu fracții obișnuite

Adunare si scadere

Elevii se familiarizează cu ei mai devreme decât alții. Mai mult, la început fracțiile au aceiași numitori, apoi au alții diferiți. Regulile generale pot fi reduse la acest plan.

Găsiți cel mai mic multiplu comun al numitorilor.

Scrieți factori suplimentari pentru toate fracțiile obișnuite.

Înmulțiți numărătorii și numitorii cu factorii specificați pentru ei.

Adunați (scădeți) numărătorii fracțiilor și lăsați numitorul comun neschimbat.

Dacă numărătorul minuendului este mai mic decât subtraendul, atunci trebuie să aflăm dacă avem un număr mixt sau o fracție proprie.

În primul caz, trebuie să împrumutați unul din întreaga parte. Adaugă numitorul la numărătorul fracției. Și apoi faceți scăderea.

În al doilea, este necesar să se aplice regula scăderii unui număr mai mare dintr-un număr mai mic. Adică, din modulul subtraendului, scădeți modulul minuendului și, ca răspuns, puneți semnul „-”.

Priviți cu atenție rezultatul adunării (scăderii). Dacă obțineți o fracție necorespunzătoare, atunci trebuie să selectați întreaga parte. Adică, împărțiți numărătorul la numitor.

Înmulțirea și împărțirea

Pentru a le efectua, fracțiile nu trebuie reduse la un numitor comun. Acest lucru facilitează efectuarea acțiunilor. Dar încă vă cer să respectați regulile.

Când înmulțiți fracții, trebuie să vă uitați la numerele din numărători și numitori. Dacă orice numărător și numitor au un factor comun, atunci ele pot fi reduse.

Înmulțiți numărătorii.

Înmulțiți numitorii.

Dacă rezultatul este o fracție reductibilă, atunci trebuie simplificată din nou.

Când împărțiți, trebuie mai întâi să înlocuiți împărțirea cu înmulțirea, iar divizorul (a doua fracție) cu fracția reciprocă (schimbați numărătorul și numitorul).

Apoi procedați ca la înmulțire (începând de la punctul 1).

În sarcinile în care trebuie să înmulțiți (împărțiți) cu un număr întreg, acesta din urmă ar trebui să fie scris ca o fracție improprie. Adică, cu un numitor de 1. Apoi procedați așa cum este descris mai sus.



Operații cu zecimale

Adunare si scadere

Desigur, puteți converti oricând o zecimală într-o fracție. Și acționează conform planului deja descris. Dar uneori este mai convenabil să acționezi fără această traducere. Atunci regulile pentru adunarea și scăderea lor vor fi exact aceleași.

Egalizați numărul de cifre din partea fracțională a numărului, adică după virgulă zecimală. Adăugați numărul de zerouri lipsă.

Scrieți fracțiile astfel încât virgula să fie sub virgulă.

Adăugați (scădeți) ca numerele naturale.

Eliminați virgula.

Înmulțirea și împărțirea

Este important că nu trebuie să adăugați zerouri aici. Fracțiile trebuie lăsate așa cum sunt date în exemplu. Și apoi mergi conform planului.

Pentru a înmulți, trebuie să scrieți fracțiile una sub alta, ignorând virgulele.

Înmulțiți ca numere naturale.

Puneți o virgulă în răspuns, numărând de la capătul drept al răspunsului atâtea cifre câte sunt în părțile fracționale ale ambilor factori.

Pentru a împărți, trebuie mai întâi să transformați divizorul: faceți-l un număr natural. Adică, înmulțiți-l cu 10, 100 etc., în funcție de câte cifre sunt în partea fracționară a divizorului.

Înmulțiți dividendul cu același număr.

Împărțiți o fracție zecimală la un număr natural.

Pune o virgulă în răspunsul tău în momentul în care se termină împărțirea întregii părți.



Ce se întâmplă dacă un exemplu conține ambele tipuri de fracții?

Da, în matematică există adesea exemple în care trebuie să efectuați operații pe fracții ordinare și zecimale. În astfel de sarcini există două soluții posibile. Trebuie să cântăriți în mod obiectiv cifrele și să alegeți cel optim.

Primul mod: reprezentați zecimale obișnuite

Este potrivit dacă diviziunea sau translația rezultă în fracții finite. Dacă cel puțin un număr oferă o parte periodică, atunci această tehnică este interzisă. Prin urmare, chiar dacă nu vă place să lucrați cu fracții obișnuite, va trebui să le numărați.

Al doilea mod: scrieți fracțiile zecimale ca obișnuite

Această tehnică se dovedește a fi convenabilă dacă partea de după virgulă zecimală conține 1-2 cifre. Dacă sunt mai multe, s-ar putea să ajungeți la o fracție comună foarte mare, iar notația zecimală va face sarcina mai rapidă și mai ușor de calculat. Prin urmare, trebuie întotdeauna să evaluați cu atenție sarcina și să alegeți cea mai simplă metodă de soluție.

Ele sunt utilizate extrem de larg și într-o mare varietate de domenii ale activității umane, fie că este vorba de calcul științific și aplicat, dezvoltarea și funcționarea diferitelor echipamente, calcule economice etc. Din diverse motive, este adesea necesar să se efectueze conversie zecimală, precum și procesul invers. Trebuie remarcat faptul că similar transformare sunt produse relativ ușor și în conformitate cu anumite reguli și tehnici care au existat în matematică de multe sute de ani.

Transformarea unei fracții zecimale într-o fracție primă

Conversie zecimalăîn fracția „obișnuită” este destul de ușor și simplu. Pentru a face acest lucru, se folosește următoarea tehnică: numărul situat în dreapta punctului zecimal al numărului inițial este luat ca numărător al noii fracții; numărul zece este folosit ca numitor, la o putere egală cu numărul de cifre ale numărătorului. În ceea ce privește întreaga parte rămasă, aceasta rămâne neschimbată. Dacă partea întreagă este egală cu zero, atunci după transformare este pur și simplu omisă.

Cincizeci virgulă douăzeci și cinci este egal cu cincizeci virgulă unu și douăzeci și cinci împărțit la o sută este egal cu cincizeci virgulă unu patru.

Conversia unei fracții într-o zecimală

Conversia unei fracții într-o zecimală, de fapt, este inversul conversia unei fracții zecimale într-o fracție primă. De asemenea, implementarea sa nu provoacă dificultăți și este, de fapt, o operație aritmetică destul de simplă. Pentru a converti o fracție într-o zecimală trebuie să împărțiți numărătorul la numitorul său în conformitate cu anumite reguli.

Trebuie implementat conversia fracțiunilor cinci optimi în zecimal.

Împărțirea cinci la opt dă zecimal zero virgulă șase sute douăzeci și cinci de miimi.

Rotunjirea rezultatului conversiei unei fracții la zecimală

Trebuie remarcat faptul că, spre deosebire de un proces precum conversie zecimală, această procedură poate dura adesea la nesfârșit. În astfel de cazuri ei spun că rezultatul procedurii conversia unei fracții în zecimală poate să nu fie exactă. Cu toate acestea, practica arată că, în marea majoritate a cazurilor, nu este necesară obținerea unui rezultat perfect exact. De regulă, procesul de împărțire se încheie atunci când a obținut deja valorile acelor fracții zecimale care prezintă interes practic în fiecare caz specific.

Trebuie să tăiați o bucată de unt care cântărește un kilogram în nouă bucăți de greutate egală. La efectuarea acestei proceduri, se dovedește că masa fiecăruia dintre ele este de 1/9 kilogram. Dacă se efectuează conform tuturor regulilor transformare acest fracție comună V fracție zecimală, atunci se dovedește că masa fiecăreia dintre părțile rezultate este egală cu zero întreg și unul în perioada unui kilogram.

Rotunjirea se efectuează conform regulilor standard prevăzute în aritmetică: dacă prima dintre cifrele „aruncate” are o valoare de 5 sau mai mult, atunci ultima dintre cele semnificative este mărită cu unu. In rest ramane neschimbat.

Convertiți fracția o optime la o fracție zecimală.

Când unul este împărțit la opt, rezultatul este zero virgulă o sută douăzeci și cinci de miimi, sau rotunjit - zero virgulă treisprezece sutimi.

În limbajul matematic uscat, o fracție este un număr care este reprezentat ca parte a unuia. Fracțiile sunt utilizate pe scară largă în viața umană: folosim fracții pentru a indica proporții în rețetele culinare, pentru a acorda scoruri zecimale în competiții sau pentru a calcula reduceri în magazine.

Reprezentarea fracțiilor

Există cel puțin două forme de scriere a unui număr fracționar: sub formă zecimală sau sub forma unei fracții obișnuite. În formă zecimală, numerele arată ca 0,5; 0,25 sau 1,375. Putem reprezenta oricare dintre aceste valori ca o fracție obișnuită:

• 0,5 = 1/2;
• 0,25 = 1/4;
• 1,375 = 11/8.

Și dacă convertim cu ușurință 0,5 și 0,25 dintr-o fracție obișnuită la o zecimală și înapoi, atunci în cazul numărului 1,375 totul nu este evident. Cum se transformă rapid orice număr zecimal într-o fracție? Există trei moduri simple.

Scaparea de virgula

Cel mai simplu algoritm presupune înmulțirea unui număr cu 10 până când virgula dispare de la numărător. Această transformare se realizează în trei etape:

Pasul 1: Pentru început, scriem numărul zecimal ca o fracție „număr/1”, adică obținem 0,5/1; 0,25/1 și 1,375/1.

Pasul 2: După aceasta, înmulțiți numărătorul și numitorul noilor fracții până când virgula dispare din numărători:

• 0,5/1 = 5/10;
• 0,25/1 = 2,5/10 = 25/100;
• 1,375/1 = 13,75/10 = 137,5/100 = 1375/1000.

Pasul 3: Reducem fracțiile rezultate la o formă digerabilă:

• 5/10 = 1 × 5 / 2 × 5 = 1/2;
• 25/100 = 1 × 25 / 4 × 25 = 1/4;
• 1375/1000 = 11 × 125 / 8 × 125 = 11/8.

Numărul 1,375 trebuia înmulțit cu 10 de trei ori, ceea ce nu mai este foarte convenabil, dar ce trebuie să facem dacă trebuie să convertim numărul 0,000625? În această situație, folosim următoarea metodă de conversie a fracțiilor.

Scapa de virgule si mai usor

Prima metodă descrie în detaliu algoritmul pentru „eliminarea” unei virgule dintr-o zecimală, dar putem simplifica acest proces. Din nou, urmăm trei pași.

Pasul 1: Numărăm câte cifre sunt după virgulă zecimală. De exemplu, numărul 1,375 are trei astfel de cifre, iar 0,000625 are șase. Vom nota această cantitate cu litera n.

Pasul 2: Acum trebuie doar să reprezentăm fracția sub forma C/10 n, unde C sunt cifrele semnificative ale fracției (fără zerouri, dacă există) și n este numărul de cifre după virgulă zecimală. De exemplu:

• pentru numărul 1,375 C = 1375, n = 3, fracția finală după formula 1375/10 3 = 1375/1000;
• pentru numărul 0,000625 C = 625, n = 6, fracția finală după formula 625/10 6 = 625/1000000.

În esență, 10n este un 1 cu n zerouri, așa că nu trebuie să vă deranjați să ridicați zece la putere - doar 1 cu n zerouri. După aceasta, este indicat să reduceți o fracție atât de bogată în zerouri.

Pasul 3: Reducem zerourile și obținem rezultatul final:

• 1375/1000 = 11 × 125 / 8 × 125 = 11/8;
• 625/1000000 = 1 × 625/ 1600 × 625 = 1/1600.

Fracția 11/8 este o fracție improprie deoarece numărătorul ei este mai mare decât numitorul, ceea ce înseamnă că putem izola întreaga parte. În această situație, scădem întreaga parte a lui 8/8 din 11/8 și obținem restul 3/8, prin urmare fracția arată ca 1 și 3/8.

Conversie după ureche

Pentru cei care pot citi corect zecimale, cel mai simplu mod de a le converti este prin auz. Dacă citiți 0,025 nu ca „zero, zero, douăzeci și cinci” ci ca „25 de miimi”, atunci nu veți avea nicio problemă să convertiți zecimale în fracții.

0,025 = 25/1000 = 1/40

Astfel, citirea corectă a unui număr zecimal vă permite să-l notați imediat ca fracție și să o reduceți dacă este necesar.

Exemple de utilizare a fracțiilor în viața de zi cu zi

La prima vedere, fracțiile obișnuite nu sunt practic folosite în viața de zi cu zi sau la locul de muncă și este dificil să vă imaginați o situație în care trebuie să convertiți o fracție zecimală într-o fracțiune obișnuită în afara sarcinilor școlare. Să ne uităm la câteva exemple.

Loc de munca

Deci, lucrezi într-un magazin de bomboane și vinzi halva la greutate. Pentru a face produsul mai ușor de vândut, împărțiți halva în brichete de kilograme, dar puțini cumpărători sunt dispuși să cumpere un kilogram întreg. Prin urmare, trebuie să împărțiți tratarea în bucăți de fiecare dată. Iar daca urmatorul cumparator iti cere 0,4 kg de halva, ii vei vinde fara probleme portia necesara.

0,4 = 4/10 = 2/5

Viaţă

De exemplu, trebuie să faceți o soluție de 12% pentru a picta modelul în nuanța dorită. Pentru a face acest lucru, trebuie să amestecați vopsea și solventul, dar cum să o faceți corect? 12% este o fracție zecimală de 0,12. Convertiți numărul într-o fracție comună și obțineți:

0,12 = 12/100 = 3/25

Cunoașterea fracțiilor vă va ajuta să amestecați corect ingredientele și să obțineți culoarea dorită.

Concluzie

Fracțiile sunt utilizate în mod obișnuit în viața de zi cu zi, așa că dacă aveți nevoie frecvent să convertiți zecimale în fracții, veți dori să utilizați un calculator online care poate obține instantaneu rezultatul ca o fracție redusă.

Se întâmplă că, pentru confortul calculelor, trebuie să convertiți o fracție obișnuită într-o zecimală și invers. Vom vorbi despre cum să facem acest lucru în acest articol. Să ne uităm la regulile de conversie a fracțiilor obișnuite în zecimale și invers și să dăm și exemple.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Vom lua în considerare transformarea fracțiilor obișnuite în zecimale, urmând o anumită succesiune. Mai întâi, să ne uităm la modul în care fracțiile obișnuite cu un numitor care este un multiplu de 10 sunt convertite în zecimale: 10, 100, 1000 etc. Fracțiile cu astfel de numitori sunt, de fapt, o notație mai greoaie a fracțiilor zecimale.

În continuare, ne vom uita la cum să convertim fracții obișnuite cu orice numitor, nu doar multipli de 10, în fracții zecimale. Rețineți că atunci când convertiți fracțiile obișnuite în zecimale, nu se obțin numai zecimale finite, ci și fracții zecimale periodice infinite.

Să începem!

Translația fracțiilor ordinare cu numitorii 10, 100, 1000 etc. la zecimale

În primul rând, să presupunem că unele fracții necesită o anumită pregătire înainte de a se transforma în formă zecimală. Ce este? Înainte de numărul din numărător, trebuie să adăugați atât de multe zerouri, astfel încât numărul de cifre din numărător să devină egal cu numărul de zerouri din numitor. De exemplu, pentru fracția 3100, numărul 0 trebuie adăugat o dată la stânga lui 3 la numărător. Fracția 610, conform regulii menționate mai sus, nu necesită modificare.

Să ne uităm la încă un exemplu, după care vom formula o regulă care este deosebit de convenabilă de utilizat la început, în timp ce nu există prea multă experiență în conversia fracțiilor. Deci, fracția 1610000 după adăugarea zerourilor în numărător va arăta ca 001510000.

Cum se transformă o fracție comună cu numitorul 10, 100, 1000 etc. la zecimală?

Regula pentru transformarea fracțiilor proprii obișnuite în zecimale

1. Notează 0 și pune o virgulă după el.
2. Notăm numărul de la numărător care a fost obținut după adăugarea zerourilor.

Acum să trecem la exemple.

Exemplul 1: Conversia fracțiilor în zecimale

Să convertim fracția 39.100 într-o zecimală.

În primul rând, ne uităm la fracție și vedem că nu este nevoie să efectuăm nicio acțiune pregătitoare - numărul de cifre din numărător coincide cu numărul de zerouri din numitor.

Urmând regula, scriem 0, punem o zecimală după el și scriem numărul de la numărător. Obținem fracția zecimală 0,39.

Să ne uităm la soluția unui alt exemplu pe această temă.

Exemplul 2. Conversia fracțiilor în zecimale

Să scriem fracția 105 10000000 ca zecimală.

Numărul de zerouri la numitor este 7, iar numărătorul are doar trei cifre. Să mai adăugăm 4 zerouri înaintea numărului din numărător:

0000105 10000000

Acum notăm 0, punem un punct zecimal după el și notăm numărul de la numărător. Obținem fracția zecimală 0,0000105.

Fracțiile luate în considerare în toate exemplele sunt fracții proprii obișnuite. Dar cum transformi o fracție improprie într-o zecimală? Să spunem imediat că nu este nevoie de pregătire cu adăugarea de zerouri pentru astfel de fracții. Să formulăm o regulă.

Regula pentru transformarea fracțiilor improprie obișnuite în zecimale

1. Notează numărul care se află la numărător.
2. Folosim virgulă zecimală pentru a separa atâtea cifre din dreapta câte zerouri sunt în numitorul fracției inițiale.

Mai jos este un exemplu de utilizare a acestei reguli.

Exemplul 3. Conversia fracțiilor în zecimale

Să convertim fracția 56888038009 100000 dintr-o fracție neregulată obișnuită la o zecimală.

Mai întâi, să notăm numărul de la numărător:

Acum, în dreapta, separăm cinci cifre cu un punct zecimal (numărul de zerouri din numitor este cinci). Primim:

Următoarea întrebare care apare în mod natural este: cum se transformă un număr mixt într-o fracție zecimală dacă numitorul părții sale fracționale este numărul 10, 100, 1000 etc. Pentru a converti un astfel de număr într-o fracție zecimală, puteți folosi următoarea regulă.

Regula pentru conversia numerelor mixte în zecimale

1. Pregătim partea fracțională a numărului, dacă este necesar.
2. Notăm întreaga parte a numărului original și punem o virgulă după el.
3. Notăm numărul de la numărătorul părții fracționale împreună cu zerourile adăugate.

Să ne uităm la un exemplu.

Exemplul 4: Conversia numerelor mixte în zecimale

Să convertim numărul mixt 23 17 10000 într-o fracție zecimală.

În partea fracționară avem expresia 17 10000. Să o pregătim și să mai adăugăm două zerouri în stânga numărătorului. Primim: 0017 10000.

Acum notăm întreaga parte a numărului și punem o virgulă după el: 23, . .

După virgulă zecimală, notați numărul de la numărător împreună cu zerourile. Obtinem rezultatul:

23 17 10000 = 23 , 0017

Conversia fracțiilor ordinare în fracții periodice finite și infinite

Desigur, puteți converti în zecimale și fracții obișnuite cu un numitor diferit de 10, 100, 1000 etc.

Adesea, o fracție poate fi redusă cu ușurință la un nou numitor și apoi utilizați regula stabilită în primul paragraf al acestui articol. De exemplu, este suficient să înmulțim numărătorul și numitorul fracției 25 cu 2 și obținem fracția 410, care este ușor convertită la forma zecimală 0,4.

Cu toate acestea, această metodă de conversie a unei fracții într-o zecimală nu poate fi întotdeauna utilizată. Mai jos vom lua în considerare ce să facem dacă este imposibil să aplicați metoda luată în considerare.

O modalitate fundamental nouă de a converti o fracție într-o zecimală este împărțirea numărătorului la numitor cu o coloană. Această operație este foarte asemănătoare cu împărțirea numerelor naturale cu o coloană, dar are propriile sale caracteristici.

La împărțire, numărătorul este reprezentat ca o fracție zecimală - o virgulă este plasată în dreapta ultimei cifre a numărătorului și se adaugă zerouri. În câtul rezultat, un punct zecimal este plasat atunci când se termină împărțirea părții întregi a numărătorului. Cum funcționează exact această metodă va deveni clar după ce ați analizat exemplele.

Exemplul 5. Conversia fracțiilor în zecimale

Să convertim fracția comună 621 4 în formă zecimală.

Să reprezentăm numărul 621 de la numărător ca o fracție zecimală, adăugând câteva zerouri după virgulă. 621 = 621,00

Acum să împărțim 621,00 la 4 folosind o coloană. Primii trei pași de împărțire vor fi la fel ca atunci când împărțim numerele naturale și vom obține.

Când ajungem la virgulă zecimală în dividend, iar restul este diferit de zero, punem virgulă zecimală în coeficient și continuăm împărțirea, fără să mai acordăm atenție virgulei din dividend.

Ca rezultat, obținem fracția zecimală 155, 25, care este rezultatul inversării fracției comune 621 4

621 4 = 155 , 25

Să ne uităm la un alt exemplu pentru a consolida materialul.

Exemplul 6. Conversia fracțiilor în zecimale

Să inversăm fracția comună 21 800.

Pentru a face acest lucru, împărțiți fracția 21.000 într-o coloană cu 800. Împărțirea întregii părți se va încheia la prima etapă, așa că imediat după aceasta punem o virgulă zecimală în coeficient și continuăm împărțirea, fără să acordăm atenție virgulei din dividend până când obținem un rest egal cu zero.

Ca rezultat, am obținut: 21.800 = 0,02625.

Dar ce se întâmplă dacă, la împărțire, tot nu obținem un rest de 0. În astfel de cazuri, împărțirea poate fi continuată la nesfârșit. Cu toate acestea, începând de la o anumită etapă, reziduurile se vor repeta periodic. În consecință, numerele din coeficient vor fi repetate. Aceasta înseamnă că o fracție obișnuită este convertită într-o fracție periodică infinită zecimală. Să ilustrăm acest lucru cu un exemplu.

Exemplul 7. Conversia fracțiilor în zecimale

Să convertim fracția comună 19 44 într-o zecimală. Pentru a face acest lucru, efectuăm împărțirea pe coloană.

Vedem că în timpul divizării, resturile 8 și 36 se repetă. În acest caz, numerele 1 și 8 se repetă în coeficient. Aceasta este perioada în fracție zecimală. La înregistrare, aceste numere sunt plasate între paranteze.

Astfel, fracția ordinară inițială este convertită într-o fracție zecimală periodică infinită.

19 44 = 0 , 43 (18) .

Să vedem o fracție ordinară ireductibilă. Ce formă va lua? Care fracții ordinare sunt convertite în zecimale finite și care sunt convertite în zecimale infinite periodice?

În primul rând, să presupunem că dacă o fracție poate fi redusă la unul dintre numitorii 10, 100, 1000..., atunci va avea forma unei fracții zecimale finale. Pentru ca o fracție să fie redusă la unul dintre acești numitori, numitorul ei trebuie să fie un divizor al cel puțin unuia dintre numerele 10, 100, 1000 etc. Din regulile de factorizare a numerelor în factori primi rezultă că divizorul numerelor este 10, 100, 1000 etc. atunci când sunt factorizați în factori primi, trebuie să conțină numai numerele 2 și 5.

Să rezumăm ce s-a spus:

1. O fracție comună poate fi redusă la o zecimală finală dacă numitorul ei poate fi factorizat în factori primi de 2 și 5.
2. Dacă, pe lângă numerele 2 și 5, există și alte numere prime în expansiunea numitorului, fracția se reduce la forma unei fracții zecimale periodice infinite.

Să dăm un exemplu.

Exemplul 8. Conversia fracțiilor în zecimale

Care dintre aceste fracții 47 20, 7 12, 21 56, 31 17 este convertită într-o fracție zecimală finală și care - doar într-una periodică. Să răspundem la această întrebare fără a converti direct o fracție într-o zecimală.

Fracția 47 20, după cum este ușor de văzut, prin înmulțirea numărătorului și numitorului cu 5 se reduce la un nou numitor 100.

47 20 = 235 100. Din aceasta concluzionăm că această fracție este convertită într-o fracție zecimală finală.

Factorizarea numitorului fracției 7 12 dă 12 = 2 · 2 · 3. Deoarece factorul prim 3 este diferit de 2 și 5, această fracție nu poate fi reprezentată ca o fracție zecimală finită, ci va avea forma unei fracții periodice infinite.

Fracția 21 56, în primul rând, trebuie redusă. După reducerea cu 7, obținem fracția ireductibilă 3 8, al cărei numitor este factorizat pentru a da 8 = 2 · 2 · 2. Prin urmare, este o fracție zecimală finală.

În cazul fracției 31 17, factorizarea numitorului este însuși numărul prim 17. În consecință, această fracție poate fi convertită într-o fracție zecimală periodică infinită.

O fracție obișnuită nu poate fi convertită într-o fracție zecimală infinită și neperiodică

Mai sus am vorbit doar despre fracții periodice finite și infinite. Dar poate orice fracție obișnuită să fie convertită într-o fracție neperiodică infinită?

Noi răspundem: nu!

Important!

Când convertiți o fracție infinită într-o zecimală, rezultatul este fie o zecimală finită, fie o zecimală periodică infinită.

Restul unei diviziuni este întotdeauna mai mic decât divizorul. Cu alte cuvinte, conform teoremei de divizibilitate, dacă împărțim un număr natural la numărul q, atunci restul diviziunii în orice caz nu poate fi mai mare decât q-1. După finalizarea împărțirii, este posibilă una dintre următoarele situații:

1. Obținem un rest de 0 și aici se termină împărțirea.
2. Obținem un rest, care se repetă la împărțirea ulterioară, rezultând o fracție periodică infinită.

Nu pot exista alte opțiuni atunci când convertiți o fracție într-o zecimală. Să mai spunem că lungimea perioadei (numărul de cifre) într-o fracție periodică infinită este întotdeauna mai mică decât numărul de cifre din numitorul fracției ordinare corespunzătoare.

Conversia zecimale în fracții

Acum este timpul să ne uităm la procesul invers de conversie a unei fracții zecimale într-o fracție comună. Să formulăm o regulă de traducere care să includă trei etape. Cum se transformă o fracție zecimală într-o fracție comună?

Regula pentru conversia fracțiilor zecimale în fracții obișnuite

1. În numărător scriem numărul din fracția zecimală inițială, eliminând virgula și toate zerourile din stânga, dacă există.
2. La numitor scriem unul urmat de atâtea zerouri câte cifre sunt după virgulă în fracția zecimală inițială.
3. Dacă este necesar, reduceți fracția obișnuită rezultată.

Să ne uităm la aplicarea acestei reguli folosind exemple.

Exemplul 8. Conversia fracțiilor zecimale în fracții obișnuite

Să ne imaginăm numărul 3,025 ca o fracție obișnuită.

1. Scriem fracția zecimală însăși la numărător, eliminând virgula: 3025.
2. În numitor scriem unul, iar după el trei zerouri - exact câte cifre sunt conținute în fracția inițială după virgulă: 3025 1000.
3. Fracția rezultată 3025 1000 poate fi redusă cu 25, rezultând: 3025 1000 = 121 40.

Exemplul 9. Conversia fracțiilor zecimale în fracții obișnuite

Să convertim fracția 0,0017 din zecimală în ordinară.

1. La numărător scriem fracția 0, 0017, eliminând virgula și zerourile din stânga. Se va dovedi a fi 17.
2. Scriem unul la numitor, iar după el scriem patru zerouri: 17 10000. Această fracție este ireductibilă.

Dacă o fracție zecimală are o parte întreagă, atunci o astfel de fracție poate fi convertită imediat într-un număr mixt. Cum să o facă?

Să mai formulăm o regulă.

Regula pentru conversia zecimalelor în numere mixte.

1. Numărul dinaintea punctului zecimal din fracție este scris ca parte întreagă a numărului mixt.
2. În numărător scriem numărul după virgulă zecimală din fracție, eliminând zerourile din stânga dacă există.
3. La numitorul părții fracționale adăugăm unul și atâtea zerouri câte cifre sunt după virgulă zecimală din partea fracțională.

Să luăm un exemplu

Exemplul 10. Conversia unei zecimale într-un număr mixt

Să ne imaginăm fracția 155, 06005 ca un număr mixt.

1. Scriem numărul 155 ca parte întreagă.
2. La numărător scriem numerele după virgulă, eliminând zero.
3. Scriem unu și cinci zerouri în numitor

Să învățăm un număr mixt: 155 6005 100000

Partea fracțională poate fi redusă cu 5. O scurtăm și obținem rezultatul final:

155 , 06005 = 155 1201 20000

Conversia infinitelor zecimale periodice în fracții

Să ne uităm la exemple despre cum să convertim fracțiile zecimale periodice în fracții obișnuite. Înainte de a începe, să clarificăm: orice fracție zecimală periodică poate fi convertită într-o fracție obișnuită.

Cel mai simplu caz este atunci când perioada fracției este zero. O fracție periodică cu o perioadă zero este înlocuită cu o fracție zecimală finală, iar procesul de inversare a unei astfel de fracțiuni se reduce la inversarea fracției zecimale finale.

Exemplul 11. Transformarea unei fracții zecimale periodice într-o fracție comună

Să inversăm fracția periodică 3, 75 (0).

Eliminând zerourile din dreapta, obținem fracția zecimală finală 3,75.

Convertind această fracție într-o fracție obișnuită folosind algoritmul discutat în paragrafele precedente, obținem:

3 , 75 (0) = 3 , 75 = 375 100 = 15 4 .

Ce se întâmplă dacă perioada fracției este diferită de zero? Partea periodică trebuie considerată ca suma termenilor unei progresii geometrice, care scade. Să explicăm asta cu un exemplu:

0 , (74) = 0 , 74 + 0 , 0074 + 0 , 000074 + 0 , 00000074 + . .

Există o formulă pentru suma termenilor unei progresii geometrice descrescătoare infinite. Dacă primul termen al progresiei este b și numitorul q este astfel încât 0< q < 1 , то сумма равна b 1 - q .

Să ne uităm la câteva exemple folosind această formulă.

Exemplul 12. Transformarea unei fracții zecimale periodice într-o fracție comună

Să avem o fracție periodică 0, (8) și trebuie să o transformăm într-una obișnuită.

0 , (8) = 0 , 8 + 0 , 08 + 0 , 008 + . .

Aici avem o progresie geometrică descrescătoare infinită cu primul termen 0, 8 și numitorul 0, 1.

Să aplicăm formula:

0 , (8) = 0 , 8 + 0 , 08 + 0 , 008 + . . = 0 , 8 1 - 0 , 1 = 0 , 8 0 , 9 = 8 9

Aceasta este fracția ordinară necesară.

Pentru a consolida materialul, luați în considerare un alt exemplu.

Exemplul 13. Transformarea unei fracții zecimale periodice într-o fracție comună

Să inversăm fracția 0, 43 (18).

Mai întâi scriem fracția ca o sumă infinită:

0 , 43 (18) = 0 , 43 + (0 , 0018 + 0 , 000018 + 0 , 00000018 . .)

Să ne uităm la termenii dintre paranteze. Această progresie geometrică poate fi reprezentată după cum urmează:

0 , 0018 + 0 , 000018 + 0 , 00000018 . . = 0 , 0018 1 - 0 , 01 = 0 , 0018 0 , 99 = 18 9900 .

Adăugăm rezultatul la fracția finală 0, 43 = 43 100 și obținem rezultatul:

0 , 43 (18) = 43 100 + 18 9900

După adăugarea acestor fracții și reducerea, obținem răspunsul final:

0 , 43 (18) = 19 44

Pentru a încheia acest articol, vom spune că fracțiile zecimale infinite neperiodice nu pot fi convertite în fracții obișnuite.

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

O fracție este un număr format din una sau mai multe unități. Există trei tipuri de fracții în matematică: comună, mixtă și zecimală.

• 
  Fracții comune

O fracție obișnuită este scrisă ca un raport în care numărătorul reflectă câte părți sunt luate din număr, iar numitorul arată în câte părți este împărțită unitatea. Dacă numărătorul este mai mic decât numitorul, atunci avem o fracție proprie, de exemplu: ½, 3/5, 8/9.

Dacă numărătorul este egal sau mai mare decât numitorul, atunci avem de-a face cu o fracție improprie. De exemplu: 5/5, 9/4, 5/2 Împărțirea numărătorului poate avea ca rezultat un număr finit. De exemplu, 40/8 = 5. Prin urmare, orice număr întreg poate fi scris ca o fracție improprie obișnuită sau o serie de astfel de fracții. Să luăm în considerare intrările aceluiași număr sub forma unui număr de altele diferite.

• Fracții mixte

În general, o fracție mixtă poate fi reprezentată prin formula:

Astfel, o fracție mixtă este scrisă ca un întreg și o fracție proprie obișnuită, iar o astfel de notație este înțeleasă ca suma întregului și a părții sale fracționale.

• zecimale

O zecimală este un tip special de fracție în care numitorul poate fi reprezentat ca o putere a lui 10. Există zecimale infinite și finite. La scrierea acestui tip de fracție se indică mai întâi întreaga parte, apoi se înregistrează partea fracționară printr-un separator (punct sau virgulă).

Notarea unei părți fracționale este întotdeauna determinată de dimensiunea acesteia. Notația zecimală arată astfel:

Reguli de conversie între diferite tipuri de fracții

• Transformarea unei fracții mixte într-o fracție comună

O fracție mixtă poate fi convertită doar într-o fracție improprie. Pentru a traduce, este necesar să aduceți întreaga parte la același numitor cu partea fracțională. În general, va arăta astfel:
Să ne uităm la utilizarea acestei reguli folosind exemple specifice:

• Transformarea unei fracții comune într-o fracție mixtă

O fracție improprie poate fi convertită într-o fracție mixtă prin simplă împărțire, rezultând întreaga parte și restul (partea fracțională).

De exemplu, să convertim fracția 439/31 în mixt:
​​

• Conversia fracțiilor

În unele cazuri, conversia unei fracții într-o zecimală este destul de simplă. În acest caz, se aplică proprietatea de bază a unei fracții: numărătorul și numitorul sunt înmulțite cu același număr pentru a aduce divizorul la o putere de 10.

De exemplu:

În unele cazuri, poate fi necesar să găsiți coeficientul împărțind prin colțuri sau folosind un calculator. Și unele fracții nu pot fi reduse la o zecimală finală. De exemplu, fracția 1/3 atunci când este împărțită nu va da niciodată rezultatul final.