Puncte staționare și critice. Puncte critice ale unei funcții

Definitii:

Extremum numiți valoarea maximă sau minimă a unei funcții dintr-o mulțime dată.

Punct extrem este punctul în care se atinge valoarea maximă sau minimă a funcției.

Punct maxim este punctul în care se atinge valoarea maximă a funcției.

Punct minim este punctul în care se atinge valoarea minimă a funcției.

Explicaţie.

În figură, în vecinătatea punctului x = 3, funcția atinge valoarea maximă (adică în vecinătatea acestui punct anume nu există niciun punct mai mare). În vecinătatea lui x = 8, are din nou o valoare maximă (să lămurim din nou: în această vecinătate nu există niciun punct mai mare). În aceste puncte, creșterea face loc unei scăderi. Sunt punctele maxime:

x max = 3, x max = 8.

În vecinătatea punctului x = 5 se atinge valoarea minimă a funcției (adică în vecinătatea lui x = 5 nu există niciun punct dedesubt). În acest moment scăderea face loc unei creșteri. Este punctul minim:

Punctele maxime și minime sunt punctele extreme ale funcției, iar valorile funcției în aceste puncte sunt ale acesteia extreme.

Punctele critice și staționare ale funcției:

Condiție necesară pentru un extremum:

Condiție suficientă pentru un extremum:

Pe un segment funcția y = f(X) poate atinge valoarea minimă sau maximă fie în punctele critice , fie la capetele segmentului .

Algoritm pentru studierea unei funcții continuey = f(X) pentru monotonitate și extreme:

În discuțiile anterioare nu am folosit deloc metodele tehnice ale calculului diferențial.

Este greu să nu admitem că metodele noastre elementare sunt mai simple și mai directe decât metodele de analiză. În general, atunci când se ocupă de o anumită problemă științifică, este mai bine să se pornească de la caracteristicile sale individuale decât să se bazeze numai pe metode generale, deși, pe de altă parte, principiul general care clarifică semnificația procedurilor speciale utilizate, desigur , ar trebui să joace întotdeauna un rol de ghidare. Tocmai aceasta este semnificația metodelor de calcul diferențial atunci când se consideră probleme extreme. Dorința de generalitate observată în știința modernă reprezintă doar o latură a problemei, întrucât ceea ce este cu adevărat vital în matematică este, fără îndoială, determinat de caracteristicile individuale ale problemelor luate în considerare și ale metodelor folosite.

În dezvoltarea sa istorică, calculul diferențial a fost într-o măsură foarte semnificativă influențat de problemele individuale asociate cu găsirea celor mai mari și mai mici valori ale cantităților. Legătura dintre problemele extreme și calculul diferențial poate fi înțeleasă după cum urmează. În capitolul VIII ne vom angaja într-un studiu detaliat al derivatei f"(x) a funcției f(x) și al semnificației ei geometrice. Acolo vom vedea că, pe scurt, derivata f"(x) este panta lui tangenta la curba y = f(x)în punctul (x, y). Este evident din punct de vedere geometric că în punctele maxime sau minime ale unei curbe netede y = f(x) tangenta la curbă trebuie să fie cu siguranță orizontală, adică panta trebuie să fie zero. Astfel, obținem condiția pentru punctele extreme f"(x) = 0.

Pentru a înțelege clar ce înseamnă ca derivata f"(x) să dispară, luăm în considerare curba prezentată în Fig. 191. Vedem aici cinci puncte A, B, C, D, ?, la care tangenta la curbă este orizontală. ; să notăm valorile corespunzătoare ale lui f(x) în aceste puncte prin a, b, c, d, e. Cea mai mare valoare a lui f(x) (în zona prezentată în desen) se realizează în punctul D, cea mai mică în punctul A. În punctul B există un maxim - în sensul că în toate punctele vreun cartier punctele B, valoarea lui f(x) este mai mică decât b, deși în punctele apropiate de D, valoarea lui f(x) este totuși mai mare decât b. Din acest motiv, se obișnuiește să se spună că la punctul B există maxim relativ al funcției f(x), în timp ce în punctul D - maxim absolut.În același mod, în punctul C există minim relativ, iar la punctul A - minim absolut.În fine, ca și pentru punctul E, nu există nici un maxim, nici un minim în el, deși egalitatea este încă realizată în el. f"(x) = Q, Rezultă că dispariția derivatei f"(x) este necesar, dar deloc suficient condiție pentru apariția unui extremum al unei funcții netede f(x); cu alte cuvinte, în orice punct în care există un extremum (absolut sau relativ), egalitatea are loc cu siguranță f"(x) = 0, dar nu în orice punct în care f"(x) = 0, trebuie să fie un extremum. Acele puncte în care derivata f"(x) dispare, indiferent dacă există o extremă la ele, se numesc staționar. Analiza ulterioară conduce la condiții mai mult sau mai puțin complexe privind derivatele superioare ale funcției f(x) și caracterizează complet maximele, minimele și alte puncte staționare.

Domeniul unei funcții, calculați derivata acesteia, găsiți domeniul unei derivate a unei funcții, găsiți puncte transformând derivata la zero, demonstrați că punctele găsite aparțin domeniului de definire a funcției inițiale.

Exemplul 1 Identificați elementele critice puncte funcțiile y = (x - 3)²·(x-2).

Soluție Aflați domeniul de definiție al funcției, în acest caz nu există restricții: x ∈ (-∞; +∞); Calculați derivata y’. Conform regulilor de diferențiere a produsului a doi, avem: y' = ((x - 3)²)'·(x - 2) + (x - 3)²·(x - 2)' = 2·( x - 3)·(x - 2) + (x - 3)²·1. Apoi obținem o ecuație pătratică: y’ = 3 x² – 16 x + 21.

Aflați domeniul de definiție al derivatei funcției: x ∈ (-∞; +∞) Rezolvați ecuația 3 x² – 16 x + 21 = 0 pentru a afla la care devine zero: 3 x² – 16 x + 21 = 0.

D = 256 – 252 = 4x1 = (16 + 2)/6 = 3; x2 = (16 - 2)/6 = 7/3. Deci, derivata ajunge la zero la valorile lui x egale cu 3 și 7/3.

Stabiliți dacă cele găsite aparțin puncte domeniul de definire a funcției originale. Deoarece x (-∞; +∞), atunci ambele puncte sunt critice.

Exemplul 2: Identificați elementele critice puncte funcțiile y = x² – 2/x.

RezolvareDomeniul funcției: x ∈ (-∞; 0) ∪ (0; +∞), deoarece x este la numitor Calculați derivata y’ = 2 x + 2/x².

Domeniul de definiție al derivatei funcției este același cu cel al originalului: x ∈ (-∞; 0) ∪ (0; +∞) Rezolvați ecuația 2 x + 2/x² = 0: 2 x = -2/x² → x = -1.

Deci, derivata ajunge la zero la x = -1. Este îndeplinită condiția necesară, dar nu suficientă, pentru criticitate. Deoarece x=-1 se încadrează în intervalul (-∞; 0) ∪ (0; +∞), atunci acest punct este critic.

Surse:

Volum critic de vânzări, prag buc

Multe femei suferă de sindrom premenstrual, care se manifestă nu numai prin senzații dureroase, ci și prin creșterea apetitului. Drept urmare, zilele critice pot încetini semnificativ procesul de pierdere în greutate.

Motive pentru creșterea apetitului în perioadele menstruale

Motivul creșterii apetitului în timpul menstruației este o modificare a nivelurilor hormonale generale din corpul feminin. Cu câteva zile înainte de debutul menstruației, nivelul hormonului progesteron crește, organismul se adaptează la posibilitate și încearcă să-și facă rezerve de energie suplimentare sub formă de depozite de grăsime, chiar dacă femeia stă în șezut. Astfel, modificările de greutate în zilele critice sunt normale.

Cum să mănânci în timpul menstruației

Încercați să nu mâncați dulciuri, dulciuri și alte alimente bogate în calorii care conțin alimente „rapide” în aceste zile. Excesul lor se va depune imediat în grăsime. În această perioadă, multe femei își doresc foarte mult să mănânce ciocolată; în acest caz, puteți cumpăra ciocolată neagră și vă puteți răsfăța cu câteva felii, dar nu mai mult. În timpul menstruației, nu trebuie să consumați băuturi alcoolice, marinate, murături, carne afumată, semințe și nuci. În general, murăturile și alimentele afumate ar trebui limitate în dietă cu 6-8 zile înainte de începerea menstruației, deoarece astfel de produse cresc rezervele de apă din organism, iar această perioadă se caracterizează printr-o acumulare crescută de lichide. Pentru a reduce cantitatea de sare din dieta ta, adaugă cantități minime din aceasta la alimentele preparate.

Se recomandă consumul de produse lactate cu conținut scăzut de grăsimi, alimente vegetale și cereale. Fasole, cartofi fierți, orez - produse care conțin carbohidrați „lenti” vor fi utile. Fructele de mare, ficatul, peștele, carnea de vită, carnea de pasăre, ouăle, leguminoasele și fructele uscate vor ajuta la refacerea pierderilor de fier. Tarate de grau vor fi de folos. O reacție naturală în timpul menstruației este umflarea. Ierburile diuretice ușoare vor ajuta la corectarea stării: busuioc, mărar, pătrunjel, țelină. Se pot folosi ca condimente. In a doua jumatate a ciclului se recomanda consumul de alimente proteice (carnuri slabe si peste, lactate), iar cantitatea de carbohidrati din dieta trebuie redusa pe cat posibil.

Conceptul economic de volum critic vânzări corespunde poziției întreprinderii pe piață, în care veniturile din vânzarea mărfurilor sunt minime. Această situație se numește pragul de rentabilitate, când cererea de produse scade și profiturile abia acoperă costurile. Pentru a determina volumul critic vânzări, folosiți mai multe metode.

Instrucțiuni

Ciclul de lucru nu se limitează la activitățile sale - producție sau servicii. Aceasta este o lucrare complexă a unei anumite structuri, inclusiv munca personalului principal, personalului de conducere, personalului de conducere etc., precum și a economiștilor, a căror sarcină este analiza financiară a întreprinderii.

Scopul acestei analize este de a calcula anumite cantități care, într-o măsură sau alta, afectează mărimea profitului final. Acestea sunt diverse tipuri de volume de producție și vânzări, complete și medii, indicatori de cerere etc. Sarcina principală este identificarea volumului de producție la care se stabilește o relație stabilă între costuri și profit.

Volum minim vânzări, la care venitul acoperă complet costurile, dar nu mărește capitalul propriu al companiei, se numește volum critic vânzări. Există trei metode de calcul a metodei acestui indicator: metoda ecuațiilor, venitul marginal și grafic.

Pentru a determina volumul critic vânzări conform primei metode, creați o ecuație de forma: Вп – Zper – Зpos = Пп = 0, unde: Вп – venituri din vânzăriși ;Zper și Zpos – costuri variabile și constante; Pp – profit din vânzăriȘi.

Potrivit unei alte metode, primul termen, venituri din vânzări, prezentați-l ca produsul venitului marginal pe unitatea de bunuri și volum vânzări, același lucru este valabil și pentru costurile variabile. Costurile fixe se aplică întregului lot de mărfuri, așa că lăsați această componentă comună: MD N – Zper1 N – Zpos = 0.

Exprimați valoarea lui N din această ecuație și obțineți volumul critic vânzări:N = Zpos/(MD – Zper1), unde Zper1 este costurile variabile pe unitate de marfă.

Metoda grafică presupune construirea. Desenați două linii pe planul de coordonate: funcția venituri din vânzări minus atât funcția de cost, cât și cea de profit. Pe axa absciselor, grafic volumul producției, iar pe axa ordonatelor, reprezentați veniturile din cantitatea corespunzătoare de mărfuri, exprimată în unități monetare. Punctul de intersecție al acestor linii corespunde volumului critic vânzări, poziție de prag de rentabilitate.

Surse:

cum să definești munca critică

Gândirea critică este un ansamblu de judecăți pe baza cărora se formează anumite concluzii și se face o evaluare a obiectelor criticii. Este caracteristic în special cercetătorilor și oamenilor de știință din toate ramurile științei. Gândirea critică ocupă un nivel superior în comparație cu gândirea obișnuită.

Valoarea experienței în dezvoltarea gândirii critice

Este dificil să analizezi și să tragi concluzii despre ceva ce nu înțelegi bine. Prin urmare, pentru a învăța să gândim critic, este necesar să studiem obiectele în tot felul de conexiuni și relații cu alte fenomene. De asemenea, de mare importanță în această chestiune este deținerea de informații despre astfel de obiecte, capacitatea de a construi lanțuri logice de judecăți și de a trage concluzii rezonabile.

De exemplu, se poate judeca valoarea unei opere de artă numai cunoscând destul de multe alte fructe ale activității literare. În același timp, este bine să fii un expert în istoria dezvoltării umane, formarea literaturii și critica literară. Izolată de contextul istoric, o lucrare își poate pierde sensul dorit. Pentru ca evaluarea unei opere de artă să fie suficient de completă și justificată, este, de asemenea, necesar să vă folosiți cunoștințele literare, care includ regulile de construire a unui text literar în cadrul genurilor individuale, un sistem de diverse tehnici literare, clasificare și analiză. a stilurilor și tendințelor existente în literatură etc. În același timp, este, de asemenea, important să se studieze logica internă a intrigii, succesiunea acțiunilor, aranjarea și interacțiunea personajelor dintr-o operă de artă.

Caracteristicile gândirii critice

Alte caracteristici ale gândirii critice includ următoarele:
- cunoașterea obiectului studiat este doar un punct de plecare pentru continuarea activității creierului asociată cu construcția lanțurilor logice;
- raționamentul construit în mod consecvent și de bun simț duce la identificarea informațiilor adevărate și eronate despre obiectul studiat;
- gândirea critică este întotdeauna asociată cu evaluarea informațiilor disponibile despre un obiect dat și concluziile corespunzătoare, evaluarea, la rândul său, este asociată cu abilitățile existente.

Spre deosebire de gândirea obișnuită, gândirea critică nu este supusă unei credințe oarbe. Gândirea critică permite, cu ajutorul unui întreg sistem de judecăți despre obiectul criticii, să-i înțeleagă esența, să identifice cunoștințele adevărate despre acesta și să le infirme pe cele false. Se bazează pe logica, profunzimea și completitudinea studiului, veridicitatea, adecvarea și consistența judecăților. În acest caz, afirmațiile evidente și dovedite de mult timp sunt acceptate ca postulate și nu necesită dovezi și evaluări repetate.

Puncte critice– acestea sunt punctele în care derivata unei funcții este egală cu zero sau nu există. Dacă derivata este egală cu 0, atunci funcția în acest punct ia minim sau maxim local. Pe grafic în astfel de puncte funcția are o asimptotă orizontală, adică tangenta este paralelă cu axa Ox.

Se numesc astfel de puncte staționar. Dacă vedeți o „cocoașă” sau „găuri” pe graficul unei funcții continue, amintiți-vă că maximul sau minimul este atins într-un punct critic. Să luăm ca exemplu următoarea sarcină.

Exemplul 1. Aflați punctele critice ale funcției y=2x^3-3x^2+5.
Soluţie. Algoritmul pentru găsirea punctelor critice este următorul:

Deci funcția are două puncte critice.

Apoi, dacă trebuie să studiați o funcție, atunci determinăm semnul derivatei la stânga și la dreapta punctului critic. Dacă derivata își schimbă semnul de la „-” la „+” atunci când trece prin punctul critic, atunci funcția ia minim local. Dacă de la „+” la „-” ar trebui maxim local.

Al doilea tip de puncte critice acestea sunt zerourile numitorului funcțiilor fracționale și iraționale

Funcții logaritmice și trigonometrice care nu sunt definite în aceste puncte

Al treilea tip de puncte critice au funcții și module continue pe bucăți.
De exemplu, orice funcție-modul are un minim sau un maxim la punctul de întrerupere.

De exemplu, modulul y = | x -5 | în punctul x = 5 are un minim (punct critic).
Derivata nu există în ea, dar în dreapta și în stânga ia valoarea 1 și respectiv -1.

Încercați să determinați punctele critice ale funcțiilor

1)
2)
3)
4)
5)

Dacă răspunsul este y, obțineți valoarea
1) x=4;
2) x=-1;x=1;
3) x=9;
4) x=Pi*k;
5) x=1.
atunci știi deja cum să găsiți punctele criticeși să poată face față unui test sau unor teste simple.

Punctele staționare ale unei funcții. O condiție necesară pentru un extremum local al unei funcții

Prima condiție suficientă pentru un extremum local

A doua și a treia condiții suficiente pentru un extremum local

Cele mai mici și cele mai mari valori ale unei funcții pe un segment

Funcții convexe și puncte de inflexiune

1. Puncte staţionare ale funcţiei. O condiție necesară pentru un extremum local al unei funcții

Definiția 1 . Lasă funcția să fie definită pe
. Punct numit punctul staționar al funcției
, Dacă
diferentiat la un punct Și
.

Teorema 1 (condiția necesară pentru o extremă locală a unei funcții) . Lasă funcția
determinat pe
si are la punct
extremul local. Atunci una dintre condiții este îndeplinită:

Astfel, pentru a găsi puncte care sunt suspecte pentru un extremum, este necesar să se găsească puncte staționare ale funcției și puncte în care derivata funcției nu există, dar care aparțin domeniului de definire a funcției.

Exemplu . Lăsa
. Găsiți puncte pentru aceasta care sunt suspecte pentru extremum. Pentru a rezolva problema, în primul rând, găsim domeniul de definire al funcției:
. Să găsim acum derivata funcției:

Puncte în care derivata nu există:
. Puncte de funcționare staționare:

Din moment ce și
, Și
aparțin domeniului de definire a funcției, atunci ambele vor fi suspecte pentru un extremum. Dar pentru a concluziona dacă va exista într-adevăr un extremum acolo, este necesar să se aplice condiții suficiente pentru extremum.

2. Prima condiție suficientă pentru un extremum local

Teorema 1 (prima condiție suficientă pentru extremul local) . Lasă funcția
determinat pe
și diferențiat pe acest interval peste tot, cu excepția, poate, a punctului
, dar în acest moment funcţie
este continuu. Dacă există astfel de semivecinații din dreapta și din stânga unui punct , în fiecare dintre care
păstrează un anumit semn, atunci

1) funcția
are un extremum local la punct , Dacă
ia valori ale diferitelor semne în semi-cartierele corespunzătoare;

2) funcția
nu are un extremum local la punct , dacă la dreapta și la stânga punctului
are acelasi semn.

Dovada . 1) Să presupunem că într-un semi-cartier
derivat
, si in

.

Astfel la punct funcţie
are un extremum local, și anume un maxim local, care era ceea ce trebuia demonstrat.

2) Să presupunem că la stânga și la dreapta punctului derivatul își păstrează semnul, de exemplu,
. Apoi
Și
funcţie
crește strict monoton, adică:

Astfel extremul la punct funcţie
nu are, ceea ce trebuia dovedit.

Nota 1 . Dacă derivatul
la trecerea printr-un punct schimbă semnul de la „+” la „-”, apoi la punctul funcţie
are un maxim local, iar dacă semnul se schimbă de la „-” la „+”, atunci există un minim local.

Nota 2 . O condiție importantă este continuitatea funcției
la punct . Dacă această condiție nu este îndeplinită, atunci teorema 1 poate să nu fie valabilă.

Exemplu . Se ia în considerare funcția (Fig. 1):

Această funcție este definită pe și este continuă peste tot, cu excepția unui punct
, unde are un gol detașabil. La trecerea printr-un punct

schimbă semnul din „-” în „+”, dar funcția nu are un minim local în acest moment, dar are un maxim local prin definiție. Într-adevăr, aproape de punct
este posibil să se construiască o vecinătate astfel încât pentru toate argumentele din această vecinătate valorile funcției să fie mai mici decât valoarea
. Teorema 1 nu a funcționat pentru că în acel moment
funcția avea un decalaj.

Nota 3 . Prima condiție suficientă pentru un extremum local nu poate fi utilizată atunci când derivata funcției
isi schimba semnul in fiecare semivecinatate stanga si dreapta a unui punct .

Exemplu . Funcția luată în considerare este:

Deoarece
, Acea
, prin urmare
, Dar
. Prin urmare:

acestea. la punct
funcţie
are un minim local prin definiție. Să vedem dacă prima condiție suficientă pentru un extremum local funcționează aici.

Pentru
:

Pentru primul termen din partea dreaptă a formulei rezultate avem:

şi deci într-o mică vecinătate a punctului
semnul derivatei este determinat de semnul celui de-al doilea termen, adică:

ceea ce înseamnă că în orice vecinătate a punctului

va lua atât valori pozitive, cât și negative. Într-adevăr, luați în considerare o vecinătate arbitrară a punctului
:
. Când

Acea

(Fig. 2) și își schimbă semnul aici de nenumărate ori. Astfel, prima condiție suficientă pentru un extremum local nu poate fi utilizată în exemplul dat.